Problema 1

Sistemas linealesProblema 1.Demostrar que la matriz P es la matriz psudoinversa derecha del sistema Ax= B, donde:P = -0.9444 0.4444

-0.1111 0.1111

0.7222 -0.2222

A = 1 2 3

4 5 6

x =[ x1]

[ x2]

[ x3]

b = 10

20

donde AID es la matriz pseudoinversa derecha (o mnima inversa derecha) de A que cumple la propiedad: AAID = InPrograma:

clear

clc

syms x1

syms x2

syms x3

P=[-0.9444 0.4444;-0.1111 0.1111; 0.7222 -0.2222];

A=[1 2 3; 4 5 6];

x=[x1; x2; x3];

b=[10;20];

AiD=A'*inv(A*A')

AiD =

-0.9444 0.4444

-0.1111 0.1111

0.7222 -0.2222

Donde se cumple que la Matriz AiD es igual a la matriz P

P =

-0.9444 0.4444

-0.1111 0.1111

0.7222 -0.2222

Problema 2.

Se sabe que la matriz de estado de un SLIT posee los eigenvalores:e1 = 1 eigenvalor con 1= 0.0

e2 = 1 eigenvalor con 2= -0.5e3 = 3 eigenvalores con 3= -0.3e4 = 2 eigenvalores con 4= -0.8Determinat la matriz canonica de JordanEL SLIT posee un valor cero en sus eigenvalores, esto significa que el sistema es inestable Entonces A tiene un orden de 7 que es (e1+e2+e3+e4)

Y la matriz de Jordan del sistema es:

J =

0 1.0000 0 0 0 0 0

0 -0.5000 0 0 0 0 0

0 0 -0.3000 0 0 0 0

0 0 0 -0.3000 0 0 0

0 0 0 0 -0.3000 0 0

0 0 0 0 0 -0.8000 0

0 0 0 0 0 0 -0.8000

Problema 3.

Un Sistema Lineal Invariante con el tiempo (SLIT) es la representacin linealizada en el espacio de estado por lo tanto tendra su respectiva matriz de estado, teniendo en cuenta de que no tenemos la presencia de parmetros variantes con el tiempo. Por lo tanto, un sistema SLIT posee la forma:

en donde todas las matrices son constantes.

A es la matriz de estado,

B es la matriz de control,

E es la matriz de disturbios en los estados,

C es la matriz de salida de los estados,

D es la matriz de salida de las entradas y

F es la matriz de disturbios en las salidas.

Las dimensiones de dichas matrices son: Ann, Bnm, Enn, Crn, Drm y Err, donde el primer subndice es el nmero de filas de la matriz y el segundo, el nmero de columnas. Es importante notar que en la ecuacin estamos empleando las variables residuales o variables de desviacin que son las siguientes:

Problema 4.

Dibuje las trayectorias de fase del SLIT sabiendo que sus eigenvalores son 1 y -4. Usted puede emplear resultados ya conocidos si se conoce la singularidad del sistema.

A =

1 -2

0 -4

x =

[ x1]

[ x2]

U =

1

2

El sistema es inestable ya que posee un eingenvalor positivo

Y los puntos singulares son los siguientes suponiendo una entrada unitaria, lo que me da la siguiente ecuaciones

x1-2*x2+1 = 0donde los puntos para x1 y x2 son (1,1)

-4*x2+2 = 0

donde los puntos para x1 y x2 son (x1,0.5)

clear

clc

%syms x1%syms x2x1=1;x2=1;A=[1 -2;0 -4]

x=[x1;x2]

B=A*x

U=[1; 2]*[1]

X=B+U

%C=eig(X)

clear all

g = inline('[x1-2*x2+1;-4x2+2]','t','x'); % MODELO MATEMATICO

vectfield(g,-1:0.2:1,-1:0.2:1)

%RANGOS DE LAS COORDENADAS

hold on

for x20=-1:0.2:1

%CONDICIONES INICIALES DE x(2)

[ts,xs] = ode45('g',[0,10],[0;x20]);%[0,10] INDICA SIMULACION DE 0-10s

plot(xs(:,1),xs(:,2)); grid;

end

hold off

Error in ==> F:\MATLAB_0\bin\top_2_2.m

On line 17 ==> vectfield(g,-1:0.2:1,-1:0.2:1)

%RANGOS DE LAS COORDENADAS

help vecfield

vecfield.m not found.

Pero como el sistema tiene un eigenvalor positivo la grafica puede ser:

Problema 5.

Determine la solucin del sistema.

sabiendo que u(t) posee la forma:para un tiempo 0 t 2la salida es -1

para un tiempo t > 2

la salida es 0de la ecuacin:se tiene los valores de A= -1 y B = 1

Para 0 t 2

para t=2; x_2 = 0.8646

para t > 2,x(t) = x_2 e-1(t -2)Programa

clear all

syms tau

a = int(exp(-tau)*(-1)) % INTEGRAL SIMBOLICA

% exp(-tau)

x_2 = 0.8646; k=1; T=10;

for t=0:.1:10

x(k)=0;

if t>0

x(k)= exp(-2*t)-exp(-t);

end

if t>2

x(k)= x_2*exp(-1*(t-2));

end

k=k+1;

end

t=0:.1:T;

plot(t,x)

grid

Problema 6.

Determine la funcin de transferencia del SLIT y hallar las ecuaciones de estado y de salida correspondiente a su segunda forma cannica controlable.

De las ecuaciones se halla:A, B, C y D

A = 1 -2

0 -4

B = 1

2

C = 1 0

D = [0]

A = [1 -2; 0 -4];

B = [1;2]; C = [1 0]; D = [0];

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

num =

0 1.0000 0

den =

1 3 -4

eig(A)

1

positivo -4

Del numerador y denominador se saca la funcin de transferencia y despus se consistencia la funcin:

G(s) =

Problema 8.

Determinar la transformada inversa de la siguiente funcion de transferencia disreta, empleando la formula general.

donde P es el nmero de polos ai no repetidos de G(z) y Q es el nmero de polos bj que se repiten con multiplicidad mj .

La funcin de transferencia es:

y utilizando la formula general es:

Problema 10.

Consideremos al sistema de control en tiempo discreto definido por:

(1)

(2)

Donde:

x(kT) = vector de estado de orden n en el periodo k de muestreo

u(kT) = vector de control de orden r en el periodo k de muestreo

y(kT) = vector de salida de orden m en el periodo k de muestreo

F = matriz de estado de orden n x n, constante.

G = matriz de control de orden n x r, constante.

C = matriz de salida de orden m x n, constante.

T = Periodo de muestreo.

El sistema SLIT es completamente controlable, si existe un vector u(k) realizable y capaz de trasladar el estado del proceso desde un estado inicial x(0) hacia cualquier estado final x(N) en un tiempo finito N. para k = N la ecuacin tendr la forma:

clc

clear

F = [1 -2; 0 -4];

G = [1;2]; C = [1 0]; D = [0];

Od = obsv(F,C)

rank(Od)%que es igual que poner Md1 =[G F*G]; rMd1 = rank(Md1)

Md1 =[G F*G]; rMd1 = rank(Md1)

%=2Nd1 = [C' F'*C']; rNd1 = rank(Nd1)

Od =

1 0

1 -2

ans =

2

rMd1 = 2

n=2

Es Completamente Controlable.rNd1 = 2

2 < n=2

No Es Completamente Observable._1196373647.unknown

_1196377087.unknown

_1196379015.unknown

_1196374094.unknown

_1196373602.unknown