1. De la siguiente elipse: x2+4 y2−4 x−8 y−92=0 Determine:

a. Centrob. Focosc. Vértices

x2+4 y2−4 x−8 y=92

x2−4 x+4 y2−8 y=92

(x2−4 x )+(4 y2−8 y )=92

(x2−4 x )+4 ( y2−2 y )=92

(x2−4 x+4 )+4 ( y2−2 y+1 )=92+4+4

( x−2 )2+4 ( y−1 )2=100

( x−2 )2

100+4 ( y−1 )2

100=100100

( x−2 )2

100+

( y−1 )2

25=1

Dada la ecuación canónica de la elipse con eje paralelo en x:

(x−h)2

a2+

( y−k)2

b2=1

Es posible determinar que el centro de la misma corresponde a los valores h y k

Centro= (2,1 )

Para hallar la distancia focal, usamos la ecuación

c2=a2−b2

Reemplazando

c2=100−25

c2=75

c=√75

c=8,660

Para hallar los focos, y conociendo que se trata de una elipse con eje paralelo en x y centro en (2,1) se toma la distancia del centro y se suma y resta el valor de la distancia focal:

2+8,660=10,6602−8,660=−6,660

Focos (10.66 ,1 ) y (−6.66,1 )Al igual que para los focos, los vértices son encontrados tomando los valores de a y b y sumando y restando su valor con respecto a su respectivo eje de medición.

V=2+10=12

V=2−10=−8

V= (12,1 ) y (−8,1 )

u=1+5=6

u=1−5=−4

u=(2,6 ) y (2 ,−4 )

Dando respuesta a lo planteado

Centro= (2,1 )

Focos (10.66 ,1 ) y (6.66,1 )

V= (12,1 ) y (−8,1 )

u=(2,6 ) y (2 ,−4 )

2. De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación :

√ ( x−c )2+ y2+√ (x+c )2+ y2=2a

En la ecuación:

x2

a2+ y

2

b2=1

Se pasa uno de los términos iniciales hacia el lado derecho de la igualdad:

√ ( x−c )2+ y2=2a−√ (x+c )2+ y2

Se elevan al cuadrado las dos partes de la igualdad, y se realizan las operaciones

(√ ( x−c )2+ y2)2=(2a−√ (x+c )2+ y2)

2

( x−c )2+ y2=4a2−4 a√( x+c )2+ y2+( x+c )2+ y2

Se realizan las operaciones existentes en la igualdad

x2−2 xc+c2+ y2=4 a2−4 a√ ( x+c )2+ y2+x2+2xc+c2+ y2

Se simplifican términos semejantes en los dos lados de la igualdad.

−4 xc=4 a2−4a√ ( x+c )2+ y2

Se cambian los términos de posición.

4 a√ ( x+c )2+ y2=4a2+4 xc

Se dividen los dos lados de la igualdad por el numero 4.

4 a√( x+c )2+ y2

4=4a

2

4+ 4 xc4

a√ ( x+c )2+ y2=a2+xc

Se eleva nuevamente los términos de la igualdad al cuadrado, y se realizan las operaciones resultantes:

(a √( x+c )2+ y2)2=(a2+xc )2

a2 [ ( x+c )2+ y2 ]=a4+2a2 xc+ x2 c2

a2 [ x2+2xc+c2+ y2 ]=a4+2a2 xc+ x2 c2

a2 x2+2a2 xc+a2c2+a2 y2=a4+2a2 xc+ x2 c2

a2 x2+a2 c2+a2 y2=a4+x2c2

Se cambian los términos de posición.

a2 x2−x2 c2+a2 y2=a4−a2 c2

Se utiliza factor común.

x2(a¿¿2−c2)+a2 y2=a2(a¿¿2−c2)¿¿

Se dividen los dos términos de la ecuación por a2(a¿¿2−c2)¿

x2(a¿¿2−c2)

a2(a¿¿2−c2)+ a2 y2

a2(a¿¿2−c2)=a2(a¿¿2−c2)a2(a¿¿2−c2)¿

¿¿¿¿

x2

a2+ y2

(a¿¿2−c2)=1¿

Debido a la ecuación a2−c2=b2es posible efectuar el remplazo en la ecuación trabajada.

x2

a2+ y

2

b2=1

Llegando así a lo propuesto inicialmente.

3. De la siguiente hipérbola: −x2+4 y2−2x−16 y+11=0 Determine.

a. Centrob. Focosc. Vértices

Debido a que es una hipérbola con eje transverso en y se organiza la ecuación de acuerdo a lo que debe llegar a ser en la ecuación canoníca:

4 y2−16 y−x2−2 x=−11

(4 y2−16 y )−(x¿¿2+2 x)=−11 ¿

4 ( y2−4 y )−(x¿¿2−2x )=−11¿

4 ( y2−4 y+4 )−(x¿¿2−2 x+1)=−11+16−1¿

4 ( y−2 )2−(x+1)2=4

4 ( y−2 )2

4−

(x+1)2

4=44

( y−2 )2

1−

(x+1)2

4=1

Dada la ecuación canónica de la hipérbola con eje transverso en y:

( y−k )2

a2−

( x−h)2

b2=1

Es posible determinar que el centro de la misma corresponde a los valores h y k

Centro= (−1,2 )

Para hallar la distancia focal, usamos la ecuación

c2=a2+b2

Reemplazando

c2=1+4

c=√5

c=2.236

Para hallar los focos, y conociendo que se trata de una hipérbole con eje transversal en “Y” y centro en (-1,2) se toma la distancia del centro y se suma y resta el valor de la distancia focal:

2+2,236=4.236

2−2,236=−0.236Focos (−1,4.236 ) y (−1 ,−0.236 )

Los vértices son encontrados tomando el valor de a y sumando y restando su valor con respecto a la coordenada k del centro.

V=2+1=3

V=2−1=1

V= (−1,3 ) y (−1,1 )

Dando respuesta a lo planteado

Centro= (−1,2 )

Focos (−1,4.236 ) y (−1 ,−0.236 )

V= (−1,3 ) y (−1,1 )

4. Deducir la ecuación de la hipérbola: x2

a2− y2

b2=1

A partir de la ecuación √ ( x−c )2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=±2a

Para dar la solución al ejercicio se toma inicialmente una de las posibles soluciones de la ecuación

√ ( x−c )2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=2a

−√ ( x+c )2+ y2=2a−√( x−c )2+ y2

Se multiplican los dos lados de la igualdad por (-1)

(−1 ) (−√( x+c )2+ y2 )= (−1 ) (2a−√ ( x−c )2+ y2 )

√ ( x+c )2+ y2=−2a+√ ( x−c )2+ y2

Se elevan los términos al cuadrado

(√( x+c )2+ y2 )2=(−2a+√( x−c )2+ y2 )2

( x+c )2+ y2=4 a2−4a√ ( x−c )2+ y2+( x−c )2+ y2

x2+2xc+c2+ y2=4a2−4 a√( x−c )2+ y2+x2−2 xc+c2+ y2

Simplificando términos semejantes en la ecuación

4 xc=4 a2−4a√ ( x−c )2+ y2

Reorganizando la ecuación

4 xc−4 a2=−4a√ ( x−c )2+ y2

Dividiendo toda la ecuación en 4

4 xc4

−4 a2

4=

−4a√ ( x−c )2+ y2

4

xc−a2=−a√ ( x−c )2+ y2

Elevando nuevamente al cuadrado

(xc−a2 )2=(−a√ ( x−c )2+ y2 )2

x2 c2−2a2 xc+a4=a2 [ (x−c )2+ y2 ]

x2 c2−2a2 xc+a4=a2 [ x2−2 xc+c2+ y2 ]

x2 c2−2a2 xc+a4=a2 x2−2a2 xc+a2 c2+a2 y2

Simplificando términos semejantes

x2 c2+a4=a2 x2+a2c2+a2 y2

x2 c2−a2 x2−a2 y2=a2 c2−a4

Se saca factor común

x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2 (c2−a2 )

Se divide en los dos lados de la ecuación por a2(c2−a2)

x2 (c2−a2 )a2 (c2−a2 )

− a2 y2

a2 (c2−a2 )=a2 (c2−a2 )a2 (c2−a2 )

x2

a2− y2

(c2−a2 )=1

Teniendo en cuenta que c2−a2=b2es posible reemplazar la en la ecuación.

x2

a2− y2

b2=1

Llegando así a lo propuesto inicialmente.

Se procede a completar el ejercicio resolviendo lo planteado inicialmente en la ecuación con igualdad de resultado negativo

√ ( x−c )2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=−2a

−√ ( x+c )2+ y2=−2a−√( x−c )2+ y2

Se multiplican los dos lados de la igualdad por (-1)

(−1 ) (−√( x+c )2+ y2 )= (−1 ) (−2a−√( x−c )2+ y2 )

√ ( x+c )2+ y2=2a+√ ( x−c )2+ y2

Se elevan los dos miembros de la ecuación al cuadrado

(√( x+c )2+ y2 )2=(2a+√ ( x−c )2+ y2 )2

( x+c )2+ y2=4 a2+4 a√ ( x−c )2+ y2+ (x−c )2+ y2

x2+2xc+c2+ y2=4a2+4a√ ( x−c )2+ y2+x2−2xc+c2+ y2

Se simplifican términos semejantes en la ecuación

4 xc=4 a2+4 a√ (x−c )2+ y2

Reorganizando la ecuación

4 xc−4 a2=4a√ ( x−c )2+ y2

Se divide toda la ecuación por el numero 4

4 xc4

−4 a2

4=4a√ ( x−c )2+ y2

4

xc−a2=a√ ( x−c )2+ y2

Nuevamente se elevan los dos términos al cuadrado

(xc−a2 )2=(a√ (x−c )2+ y2)2

x2 c2−2a2 xc+a4=a2 [ (x−c )2+ y2 ]

x2 c2−2a2 xc+a4=a2 [ x2−2 xc+c2+ y2 ]

x2 c2−2a2 xc+a4=a2 x2−2a2 xc+a2 c2+a2 y2

Simplificando términos

x2 c2+a4=a2 x2+a2c2+a2 y2

x2 c2−a2 x2−a2 y2=a2 c2−a4

Factor común x2 y a2respectivamente

x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2 (c2−a2 )

Se divide en ambos miembros de la ecuación por a2(c2−a2)

x2 (c2−a2 )a2 (c2−a2 )

− a2 y2

a2 (c2−a2 )=a2 (c2−a2 )a2 (c2−a2 )

x2

a2− y2

(c2−a2 )=1

Teniendo en cuenta que c2−a2=b2es posible reemplazar la en la ecuación.

x2

a2− y2

b2=1

Llegando así a lo propuesto inicialmente.

Se evidencia entonces que a partir de la ecuación

√ ( x−c )2+ y2−√ ( x+c )2+ y2=±2a

Es posible llegar a la ecuación

x2

a2− y2

b2=1

5. Demostrar que la ecuación x2+ y2+6 x−2 y+6=0 es una circunferencia. Determinar:

a. Centrob. Radio

x2+ y2+6 x−2 y=−6

x2+6 x+ y2−2 y=−6

(x2+6 x)+( y¿¿2−2 y)=−6¿

(x2+6 x+9 )+( y¿¿2−2 y+1)=−6+9+1¿

( x+3 )2+( y−1 )2=4

Siendo la ecuación general de la circunferencia, con centro en (h, k)

( x−h )2+ ( y−k )2=R2

Es posible determinar qué:

Centro=(−3 ,1)

Así mismo que:

R2=4 R=√4 R=2

Dando respuesta a lo planteado se obtiene que:

Centro=(−3,1)R=2

6. De la siguiente parábola Determine

a. Vérticeb. Fococ. Directriz

y=2x2+4 x−6

2 x2+4 x− y−6=0

2 x2+4 x= y+6

Se dividen los miembros de la ecuación entre 2

2x2

2+ 4 x2

= y2+ 62

x2+2x=12y+3

(x¿¿2+2 x+1)=12y+3+1¿

(x+1)2=12y+4

( x+1 )2=12

( y+8 )

Siendo la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo al eje y:

(x−h)2=4 p( y−k )

Es posible determinar qué:

V= (−1,−8 )

Siendo:

4 p=12

p=

124

p=18=0.125

El foco debido a que el eje de simetría se encuentra en y se toma el valor del vértice en k y se suma con lo encontrado para p

−8+0.125=−7.875

Foco (−1 ,−7.875 )

Para la directriz se toma el valor del vértice en k y se le resta lo encontrado en p

−8−0.125=−8.125

Directriz=(−8.125)

Dando respuesta a lo planteado

V= (−1,−8 )

Foco (−1 ,−7.875 )

Directriz=(−8.125)

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3), y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2). Escribir la ecuación de la recta de forma general.

Siendo L1 la ecuación conocida y L2 la ecuación desconocida

l1=(4,1 ) (−2,2 )

Se puede obtener la pendiente de L1de acuerdo a la ecuación de pendiente:

m=y2− y1x2−x1

m= 2−1−2−4

= 1−6

Conociendo la pendiente y dos puntos de la ecuación l1 es posible escribir la forma general de la misma.

y=mx+b

1=−16

(4 )+b

b= 1−16

(4 )

b= 1−46

b=−64

=−32

Siendo esta: y=−16x−32

Debido a que conocemos la pendiente de la primera y siendo paralelas es la misma podemos utilizar la ecuación de punto pendiente.

y− y1=m (x−x1 )

y−(−3)=−16

(x−(2))

y+3=−16

(x−2 )

y+3=−16x+ 13

y=−16x+ 13−3

y=−16x−83

Siendo así las ecuaciones generales de L1 y L2

l1= y=−16x−32

−16x− y−3

2=0

l2= y=−16x−83

−16x− y−8

3=0

8. Calcular las siguientes sumatorias:

a.

∑k=1

5

(−1 )k+1(2k−1)2

b.

∑k=1

4 (−2)k +1

k

Procediendo con el ejercicio a.

∑k=1

5

(−1 )k+1(2k−1)2

[ (−1 )2(2 (1 )−1)2 ]+[ (−1 )3(2 (2 )−1)2 ]+ [ (−1 )4(2 (3 )−1)2 ]+[ (−1 )5(2 (4 )−1)2 ]+[ (−1 )6(2 (5 )−1)2 ]

[ (1 ) (1 )2 ]+ [ (−1 ) (3 )2 ]+ [ (1 ) (5 )2 ]+[ (−1 ) (7 )2 ]+ [ (1 ) (9 )2 ][1 ]+ [−9 ]+ [25 ]+ [−49 ]+ [81 ]

1−9+25−49+81=49

∑k=1

5

(−1 )k+1(2k−1)2=49

Procediendo con el ejercicio b.

∑k=1

4 (−2 )k +1

k

[ (−2)21 ]+[(−2)32 ]+[(−2)43 ]+[ (−2)54 ][ 41 ]+[−82 ]+[ 163 ]+[−324 ][4 ]+ [−4 ]+[ 163 ]+ [−8 ]=−8

3

∑k=1

4 (−2 )k +1

k=−83

9. Calcular las siguientes productorías

a.

∏i=−2

4

2 i+5

b.

∏i=1

3i

(i+1)+2

Procediendo con el ejercicio a.

∏i=−2

4

2 i+5

[2 (−2 )+5 ]∗[2 (−1 )+5 ]∗[2 (0 )+5 ]∗[2 (1 )+5 ]∗[2 (2 )+5 ]∗[2 (3 )+5 ]+[2 (4 )+5 ]

[−4+5 ]∗[−2+5 ]∗[0+5 ]∗[2+5 ]∗[4+5 ]∗[6+5 ]∗[8+5 ]

1∗3∗5∗7∗9∗11∗13=135135

∏i=−2

4

2 i+5=135135

Procediendo con el ejercicio b.

∏i=1

3i

(i+1)+2

[ 11+1 +2]∗[ 22+1 +2]∗[ 33+1+2][ 12 +2]∗[ 23+2]∗[ 34 +2]52∗8

3∗11

4=44024

=553

∏i=1

3i

(i+1 )+2=55

3