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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA
CURSO :MECNICA DE SLIDOS I
PROFESOR :Ing. JORGE MONTAO PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y CABLES
PROBLEMA N 1
La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, est conectada mediante un pasador en B y se sostiene
por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la
viga.
Resolucin
Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta ABC (viga
conformada por las vigas AB y BC) y luego una de sus partes, de esta manera determino las
reacciones en los apoyosA, By C.
Anlisis de la viga c om puesta ABC
Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesAM
A BC
3 pies 6 pies
piebf /500
A B
C
3 pies 6 pies
bf4500 4,5 pies
CR YA
R
XAR
AM
+
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0)5,4(45009 CA RM piebfRM CA 202509 . . . (1)
Por primera condicin de equilibrio:
0 XF 0XAR
0
Y
F
bfRRCAY
4500. . . (2)
Anlis is d e la vi ga BC
Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesBM
0)3(3000)6( piesbfpiesRC bfRC 1500
Por primera condicin de equilibrio:
0 XF 0XBR
0 YF bfRR CBY 3000 bfR YB 1500
Reemplazando en la ecuacin (1), tenemos que: piebfMA 6750
Reemplazando en la ecuacin (2), tenemos que: bfRYA
3000
Determin acin del nmero de co rtes y anlis is d e segm entos de vig a obtenid os
Desde el extremo A de la viga compuesta hasta el extremo C, es suficiente hacer un solo corte, porque
entre dichos extremos solo hay un tipo de fuerzas distribuidas y no actan ms fuerzas o momentos
externos sobre esta viga. Si asumimos que el punto de corte es el punto D, a una distancia x del
extremo A, tenemos que:
CB
3 pies 3 pies
bf3000
CR YB
R
XBR
+
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Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesDM
030006750)2/(500 xxxMD
piebfxxMD )67502503000( 2
bfxdx
dMV DD )5003000(
* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para 0x , tenemos:
piebfMbfV DD 6750;3000
* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para piesx 9 , tenemos:
0;1500 DD MbfV
Diagramas V vs. x (fuerza cortante en funcin de la posicin x) y M vs. x (momento
flector en funcin de la posicin x)Para realizar estos diagramas se recomienda primero hacer el DCL de la viga completa y debajo de
este dibujar los diagramas solicitados.
A
x
bfx )500(
DV
bf3000
piebf6750 DM x/2
D
+
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* De estos diagramas se observa que:
piebfMybfV MAXIMOMAXIMO 67503000
3000
3000 lbf
4500 lbf
1500 lbf
-1500
2250
-6750
6 9 x (pies)
x (pies)
6
90
0
V (lbf)
M (lbf.pie)
6750 lbf.pie
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1 m 1m
4 m
1 m 1 m
6 kN 6 kN5 kN/m
A B
w
PROBLEMA N 2
Si se supone que la reaccin del suelo sobre la viga AB que muestra la figura est dirigida hacia arriba
y es uniformemente distribuida, trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.
Determine asimismo los valores absolutos mximos de la fuerza cortante y del momento flector.
Resolucin
Para resolver problemas de vigas, primero se hace el DCL de la viga completa y se hallan las
reacciones en los apoyos. A continuacin, se determina el nmero de cortes imaginarios que se
deben realizar a la viga y se hallan las ecuaciones de Vy de M, en funcin de x, para cada uno de los
segmentos de viga que resulten despus de realizar los cortes. Finalmente se dibujan los diagramas
de V vs x y M vs x a partir de las ecuaciones halladas anteriormente.
DCL de la viga completa y clculo de w (reaccin por unidad de longitud que ejerce
el suelo sobre la viga)
1 m 1m
4 m
1 m 1 m
6 kN 6 kN
20 kN
A B
R =8w
En este diagrama de cuerpo libre, las
fuerzas de 20 kNy 8w representanlas fuerzas resultantes de las fuerzas
distribuidas que actan sobre la viga.
Recuerde que estas fuerzas estn
aplicadas en un punto de la viga que
tiene la misma direccin de la recta
que pasa por el centroide del rea de
la figura formada por las fuerzas
distribuidas (o rea encerrada por lacurva de carga).
1 m 1m 4 m 1 m 1 m
6 kN 6 kN
5 kN/m
A B
Por condicin del problema, la
reaccin del suelo sobre la viga AB
est dirigida hacia arriba y es
uniformemente distribuida, por lo
tanto la figura dada equivale a la que
se muestra a continuacin. En ella,
w representa la reaccin por
unidad de longitud que ejerce el
suelo sobre la vi a.
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Por primera condicin de equilibrio:
0 yF 0328 kNw mkNw /4
Determinacin del nmero de cortes imaginarios que se deben realizar a la viga y
del nmero de segmentos de viga que se deben analizar
Analizando las fuerzas que actan sobre la viga completa (observe su DCL) concluimos que, desde el
extremo A hasta el extremo B de la viga, debemos realizar CINCO cortes imaginarios (puntos C, D,
E, Fy G en la figura siguiente).
Al realizar los CINCO cortes imaginarios y observando el lado izquierdo de cada corte, tenemos
CINCO SEGMENTOS DE VIGA que debemos analizar. Asumiendo que el extremo A de la viga es el
origen de coordenadas (ver la figura), la posicinxdel punto de corte viene dada por:
- Para el segmento de viga AC: mx 10
- Para el segmento de viga AD: mxm 21
- Para el segmento de viga AE: mxm 62
- Para el segmento de viga AF: mxm 76
- Para el segmento de viga AG: mxm 87
Anlisis del segmento de viga AC(0 < x < 1 m)
Observando el segmento de viga AC notamos que sobre el actan: la resultante de las fuerzas
distribuidas igual a 4x (reaccin hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza cortante VCy
el momento de flexin MC, como se muestra en la figura siguiente.
A B
y
x (m)0 1 2 6 7 8
xx
xx
x
1er corte
2do corte
3er corte4to corte
5to corte
C D E F G
Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesCM 0)2/(4 xxMC
mkNxMC )2( 2
Luego:
kNxdx
dMV CC )4(
(Es una ecuacincuadrtica)
(Es una ecuacinlineal)
+
4x VC
MC
CA
x
x /2
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Anlisis del segmento de viga AD(1 m < x < 2 m)
Sobre este segmento de viga actan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reaccin
hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kNdirigida hacia abajo, la
fuerza cortante VDy el momento de flexin MD(ver figura siguiente).
Anlisis del segmento de viga AE(2 m < x < 6 m)
Sobre este segmento de viga actan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reaccin
hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia
abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 5(x-2) dirigida hacia abajo, la fuerza
cortante VEy el momento de flexin ME (ver figura siguiente).
Anlisis del segmento de viga AF(6 m < x < 7 m)
En este caso, sobre este segmento de viga actan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x
(reaccin hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kNdirigida hacia
abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza
cortante VF y el momento de flexin MF (ver figura siguiente).
4x VF
MF
FA
x
6 kN
1 m
20 kN
1 m
2 m 2 m
4xVD
MD
DA
x
6 kN
1 m
4x VE
ME
EA
x
6 kN
1 m
5(x-2)
1 m
Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesDM 0)2/(4)1(6 xxxMD
mkNxxMD )662( 2
Luego:
kNxdx
dMV CD )64(
Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesFM 0)2/(4)4(20)1(6 xxxxMF
mkNxxMF )86262( 2
Luego:
kNxdx
dMV CF )264(
Por segunda condicin de equilibrio: 0 TotalesEM
0)2/(4)1(62/)2(5 2 xxxxME
mkNxxME )442
1( 2
Luego:
kNxdx
dMV CE )4(
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De la figura se concluye que:
kNV 4.max ; mkNM 4.max
PROBLEMA N 3
Un cable de transmisin elctrica de 240 m de longitud y masa por unidad de longitud 0,6 kg/m se
suspende entre dos puntos que tienen la misma altura. Si la flecha es de 24 m. Calcule la tensin
mxima en el cable y el claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo).
Resolucin
Segn el enunciado se trata de un cable flexible sujeto a la accin de su propio peso, por lo tanto laforma que adopta es de una catenaria tal como se muestra en la figura siguiente:
M kN.m
x (m)
2
4
0 1 2 4 6 7 8
Parbo las
x
y
xBxA
c
yB
24m
BA
C
Cable
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Si consideramos que el origen del sistema de coordenadas se halla a una distancia vertical c debajo
del punto ms bajo del cable (ver la figura anterior), la longitud S del segmento de cable CB y la
coordenada y del punto B, vienen dados por:
mS 120 ; mcy 24
Adems, se cumple que:
222 cSy
Reemplazamos y y S :
222 120)24( cc
Despejando c (parmetro de la catenaria) , obtenemos: mc 288
Clc u lo demaxT del cable:
Se sabe que la tensin del cable es mxima en el punto donde el cable tiene mayor pendiente o mayor
inclinacin. En nuestro caso sera cualquiera de los apoyos, dado que los dos estn al mismo nivel.
Para calcular esta tensin mxima aplicamos la ecuacin
22 ScwT
Al reemplazar la carga por unidad de longitud w, igual a 5,886 N (0,6 kg x 9,81 m/s2), el parmetro
c de la catenaria, igual a 288 m, y la longitud S del cable, igual a 120 m, obtenemos:
NT 432,1836max
Clculo del claro (distancia h orizontal entre los dos pun tos d e apoyo)
De la figura se observa que el claro viene dado por la suma de las distancias xA y xB , pero como
estas distancias son iguales, la suma de ambas es igual al doble de una de ellas. Adems, de la
ecuacin de la catenaria
c
xhCoscy , despejando x obtenemos:
c
yharcocx cos
Luego:
m
mmharcomc
yharcocxClaro BB288
24288cos)288(2cos22
mClaro 5479,233
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PROBLEMA N 4
Un cable elctrico cuelga entre un poste y una casa. Si la masa por unidad de longitud del cable es de
2,1 kg/m, determine:
a) La distancia desde la casa hasta el punto ms bajo, C, del cable.
b) La tensin mxima del cable.
c) La longitud del cable.
Resolucin
Por tratarse de un cable que tiene la forma de una catenaria, elijo primero un sistema de coordenadascuyo origen se encuentre a una distancia vertical c debajo del punto ms bajo de la catenaria (ver
figura siguiente).
Se sabe que la ecuacin de la catenaria es:
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c
xhCoscy
Adems, cuando los apoyos estn a diferente nivel el cable se analiza por partes.
Para el segmento de cable AC, tenemos:
cxhCoscy AA , Donde: )(5,0 menycy AA
Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:
1
5,0cosh
carcocxA
Para el segmento de cable CB, tenemos:
c
xhCoscy BB , Donde: )(2,1 menycy
BB
Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:
1
2,1cosh
carcocxB
De la figura dada observamos que:
mxx BA 8
Reemplazando Ax y Bx tenemos
812,1cosh15,0cosh
carcoc
carcoc . . . (1)
Para resolver esta ecuacin (1) tenemos dos mtodos:
Primer mtodo:utilizando una calculadora programable
Si utilizamos, por ejemplo, una calculadora CASIO FX570 PLUS, obtenemos que:
mc 99873243,9
Segundo mtodo:por TANTEOS
Para aplicar este mtodo, primero hallo el valor referencial de c aplicando la ecuacin de la parbola.
Es decir:
0
2
2T
xwy , donde: cwT 0
Luego, para el segmento de cable AC, tenemos:
cw
xw A
25,0
2
cxA
Para el segmento de cable CB, tenemos:
cw
xw B
22,1
2
cxB 4,2
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Adems: mxx BA 8 mcc 84,2
Resolviendo esta ecuacin obtenemos: mc 848598,9
A partir de este valor referencial de c ( mc 848598,9 ) hallo el verdadero valor de c. Para ello
construyo la tabla siguiente, colocando como primer valor de c a este valor referencial, los dems
valores que asumimos deben ser siempre mayores, hasta hallar el verdadero valor de c.
)(mc
1
2,1cosh1
5,0cosh
carcoc
carcoc
La suma
debe
resultarigual a
8 m
848598,9 , m9388135,7
9,9 m959815,7 10 m0005,8
99,9 m99645391,7
998,9 m9997026,7
De la tabla se concluye que el valor que ms se aproxima a 8 m (sin sobrepasarlo) es 7,9997026
m, por lo tanto asumimos que:
mc 998,9 NOTA.- para mayor exact i tud (que la suma se aproxim a muc ho ms a 8m) po demo s agregar
ms decimales al valor de c, es decir asum ir que c es por ejemp lo m9985,9 , hasta
hallar su valor verdadero. En eso consis te el mtod o de tanteos.
a) Clculo de Ax (distancia de la casa hasta el p un to ms b ajo del cab le):
Se hall que: cxA
Reemplazando mc 998,9 (el valor hallado por el mtodo de tanteos), obtenemos:
mxA 162,3
b) Clcu lo de la tensin mxim a del cable
La tensin del cable es mxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo B.
NywTT BBima 69,230max
Donde: mcyB 2,1 ; siendo mc 998,9 (el valor hallado por el mtodo de tanteos)
Valor
referencial
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c) Clcu lo de la lon gitu d del cable ( TOTALs )
Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuacin siguiente:
xs c senh
c
Esta ecuacin se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del
cable viene dada por:
)/()/( cxhsenccxhsencsss BACBACTOTAL
Reemplazando mxA 162,3 , mxB 838,4 y mc 998,9 (el valor hallado por el mtodo
de tanteos), obtenemos que:
msTOTAL 244,8
PROBLEMA N 5
El cable de transmisin elctrica tiene un peso por unidad de longitud de 15 piebf / . Si el punto ms
bajo del cable debe estar al menos 90 pies sobre el suelo, determine la tensin mxima desarrollada
en el cable y la longitud del cable entre A y B.
Resolucin
Por tratarse de una catenaria, primero elijo un sistema de coordenadas cuyo origen se halla a una
distancia vertical c debajo del punto ms bajo del cable (ver la figura siguiente).
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Se sabe que la ecuacin de la catenaria es:
c
xhCoscy
Como los apoyos estn a diferente nivel, el cable se analiza por partes.
Para el segmento de cable AC, tenemos:
c
xhCoscy AA , Donde: )(90 piesenycy AA
Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:
carcocxA
901cosh
Para el segmento de cable CB, tenemos:
cxhCoscy BB , Donde: )(30 piesenycy BB
Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:
carcocxB
301cosh
De la figura dada observamos que:
piesxx BA 300
Reemplazando Ax y Bx tenemos que:
piesc
arcocc
arcoc 30030
1cosh90
1cosh
C
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Para resolver la ecuacin anterior utilizamos una calculadora programable CASIO FX570 PLUS,
y obtenemos que:
piesc 3054592,211
a) Clcu lo de la tensin mxima de l cabl e
La tensin del cable es mxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyoA.
bfywTT AAima 58188,4519max
Donde: piescyA 90 ; siendo piesc 3054592,211
b) Clcu lo de la lon gitu d del cable ( TOTALs )
Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuacin siguiente:
xs c senh
c
Esta ecuacin se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del
cable viene dada por:
)/()/( cxhsenccxhsencsss BABCABTOTAL
Reemplazando:
piesxA 6932526,188 , piesxB 3067474,111 y piesc 3054592,211 , obtenemos que:
piessTOTAL 3166362,331