problematique on lance 100 fois de suite une pièce de monnaie. on obtient 45 fois pile et 55 fois...
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PROBLEMATIQUE
On lance 100 fois de suite une pièce de monnaie.
On obtient 45 fois PILE et 55 fois FACE .
Cette pièce est-elle « équilibrée » ?
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Étude expérimentale à l’aide du tableur
On simule le lancer d'une pièce 100 fois C’est : 1 échantillon.
Fichier Adequation.xls
et on recommence ainsi pour N échantillons de 100 lancers
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Pour une pièce THEORIQUEPour une pièce THEORIQUE
f 1 = f 2 = 1/2
Pour notre pièce EXPERIMENTALEPour notre pièce EXPERIMENTALE
Pour chaque échantillon on note:
f1 la fréquence d’apparition de pile (codée 0) f2 la fréquence d’apparition de face (codée 1)
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Comparaison Théorie/Expérience
On calcule pour chaque échantillon un paramètre dedispersion :
Fichier Adequation.xls
22
2
1
12ii
fd
2 2
1 21 12 2
f f
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Pour une pièce THEORIQUEPour une pièce THEORIQUE
f1 = 1/2 et f2 = 1/2
22
2
1
1 02ii
fd
d 2 est positif et d’autant plus petit que l’on est proche du modèle théorique.
Il nous faut « étalonner » ce paramètre.
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On regroupe ces résultats statistiques pour
N=100, 500, 1000, 2000 échantillons.
On calcule le 9 ième Décile = d9
90% des valeurs de d2 sont inférieures à d9
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On remarque que d9 n’est pas fixe:
c’est la fluctuation d’échantillonnage,mais d9 se stabilise lorsque le nombre
d’échantillons N augmenteN=100, 500, 1000, 2000.
N 100 500 1000 2000
Mini 0 0 0 0
1° Décile 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002
Q1 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008
Mé 0.0018 0.0018 0.0018 0.0018
Q3 0.0072 0.0072 0.0072 0.0072
9° Décile 0.01314 0.0162 0.0128 0.0128
Maxi 0.0578 0.0578 0.0578 0.0578
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Statistiquement on peut affirmer que:
Pour 90% des pièces, le paramètre dedispersion vérifie : d2 ≤ d9
10% des pièces vérifient : d2 > d9
On définit ainsi un niveau de confiance à 90%
Et donc un seuil d’erreur de 10%
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Qu’en est-il de notre ?
d2 = 0,005 < d9 = 0,0128
Notre pièce ressemble aux 90% des pièces testées
2 2 2(0,45 0,5) (0,55 0,5) d 0,005
Le paramètre d 2 de notre pièce est :
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Conclusion
on dit qu’il y a AdéquationAdéquation entre la pièce
et le modèle théorique de pièce équilibréeavec un niveau de confiance de 90%( soit un risque d'erreur de 10% )
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Exercice
Dans les mêmes conditions que ci-dessus, onveut tester trois pièces A, B et C. On lance 100 fois chaque pièce et on obtientles résultats suivants ( à compléter ) :
Pièce A B C
Nombre de FACE 43 47 40
Nombre de PILE 57 53 60
paramètre d 2
Adéquation ?
Solutions
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Ce dé est-il « équilibré » ?Ce dé est-il « équilibré » ?
On lance 100 fois un Dé cubique et on obtient les résultats suivants :
Face apparue
1 2 3 4 5 6
Effectif observé
20 11 12 17 21 19
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6
22
1
i ii
d f p
Face apparue
1 2 3 4 5 6
Effectif observé
20 11 12 17 21 19
et pi = 1/6
2 2 22
2 2 2
0.20 1/ 6 0.11 1/ 6 0.12 1/ 6
0.17 1/ 6 0.21 1/ 6 0.19 1/ 6
d
d2 = 0.0089
Fichier Adequation.xls
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Conclusion pour ce dé:
d2=0.0089
On peut affirmer avec un niveau de confiance de 90%
que ce dé est régulier.
d9 = 0.015<
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Exercice
Même chose avec le dé suivant :
Face apparue 1 2 3 4 5 6
Effectif observé
14 21 12 9 20 24
d2 = …………………………………………………………………………….
Au niveau de confiance 90%, rejettera-t-on l'hypothèse que ce dé est régulier ?
Solution
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Réponses
Les trois pièces A, B et C.
Pièce A B C
Nombre de FACE 43 47 40
Nombre de PILE 57 53 60
paramètre d 2
Adéquation ?
0.0098
Oui
0.0018 0.02
Oui Non
d9 = 0.0128
Retour
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Solution pour ce dé :
Face apparue 1 2 3 4 5 6
Effectif observé 14 21 12 9 20 24
Au niveau de confiance 90%, on rejette l'hypothèse que ce dé est régulier
d2 = 0.017 d9 = 0. 015>
Retour
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The End
Exercices complémentaires
Retrouvez ce diaporama et le fichier Excel sur mon site
http://www.elm.boxnet.net
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Annexe
Deux autres critères de décision :
• La méthode de Karl Pearson (1857-1936)
• Le test du khi-2
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Méthode de Pearson
Condition: les k issues sont équiprobables
pi = 1/k. (k=6 pour le dé)
La taille de l’échantillon est n.
2
22
1 1
1
k k
i i ii i
d f p fk
Pour un niveau de confiance de 90%, on a : d2 < 2/n
Pour un niveau de confiance de 95%, on a : d2 < 1,6/n
Pour un niveau de confiance de 99%, on a : d2 < 3,4/n
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Le test du khi-2
22
1
/
: ,
k
i i i
i
i i i i
effectif observé effectif théorique effectif théorique
avec effectif observé n f effectif théorique n p
Pour un niveau de confiance de 90%, on a : 2 < 9,23635
Pour un niveau de confiance de 95%, on a : 2 < 11,0705
Pour un niveau de confiance de 99%, on a : 2 < 15,0863
Pour notre dé : 6
22 2
1
6 1/ 6 6
ii
n f n d
5 degrés de liberté
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Exercices complémentaires
En adaptant pour chaque exercice la feuille de calcul, déterminer le 9° décile d9 .
Ex. 1 Sur 200 semaines, on a examiné chaque jour, le nombre d’appels des pompiers d’une grande ville.
Peut-on dire qu’il y a équiprobabilité pour chaque jour de la semaine, avec un risque d’erreur de 10% ?
Ex. 2 Le maire d’une commune examine l’état civil à la fin d’une année. Il dénombre 134 naissances de garçons et
108 filles. En simulant 5000 échantillons de 242 naissances équiréparties, déterminer le 9° décile et en déduire
s’il faut accepter ou rejeter l’hypothèse selon laquelle il naît autant de garçons que de filles.
Ex. 2 Pour frapper sa balle, Roger Federer, dispose de quatre types de coups : le coup plat, lifté, coupé ou
chopé. Sur 100 échanges, la distribution est la suivante :
Que pouvez-vous en conclure ?
Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi dimanche
26 26 27 29 30 39 23
Type de coup Plat Lifté Coupé Chopé
Effectif 28 31 24 17