Mini Examen 81Procesos Estocasticos

Semestre 2011-I

1. Sea (Bt)t0 un Movimiento Browniano de parametro 2. CalcularP (Bt > Bs) si t > s.

Sol:

P (Bt > Bs) = P (Bt Bs > 0)

= P (Bts > 0)

= 1 P (Bts 0)

= 1 P(BtsE(Bts)

V ar(Bts) 0E(Bts)

V ar(Bts)

).

Notar lo siguiente, debido a que

(Bt)t0

es un Movimiento Browniano de parametro 2:

Bts N(0, 2(t s)), por tanto E(Bts) = 0 yV ar(Bts) = 2(t s) > 0.

As que,

P (Bt > Bs) = 1 P(BtsE(Bts)

V ar(Bts) 0E(Bts)

V ar(Bts)

)= 1 ( 00

V ar(Bts))

= 1 (0)

= 1 12= 12 .

1Profesor David Josafat Santana Cobian

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2. Si (Bt)t0 es un Proceso de Wiener de parametro 2. Como sedistribuye

Wt = Bt/2?

Sol: Notar lo siguiente, debido a que (Bt)t0 es un Proceso de Wiener= Movimiento Browniano de parametro 2:

Bt/2 N(0, 2(t/2)) = N(0, t),por lo tanto Wt N(0, t).

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