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SJBV

•  Densidade de corrente Elétrica

•  Equação da Continuidade – Forma Integral

•  Equação da Continuidade – Forma Diferencial

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2

Densidade de Corrente e Eq. da Continuidade (Capítulo 4 – Páginas 109 a 113)

SJBV

•  Sabemos que a corrente elétrica é um escalar definido

como a taxa da quantidade de carga por unidade de tempo

que atravessa a seção de um meio condutor:



Densidade de Corrente

•  Em eletromagnetismo é mais conveniente trabalhar com a

densidade de corrente J.

I = dQdt [A]

I =!J ⋅d!S

S∫x

y

z

I

Qual é o valor de J no condutor cilíndrico?

•  J está relacionada com a corrente total I que passar por um

condutor de área S por:

SJBV

•  A densidade de corrente pode ser de três tipos: de condução, de convecção e de

deslocamento.



Densidade de Corrente

•  A corrente de convecção não envolve condutores e não obedece a lei de Ohm. Ela

resulta do fluxo de cargas através de um meio não condutor (feixe de elétrons em TRC).

•  Se um densidade de carga ρv estiver se movendo com velocidade v, a densidade de

corrente de convecção é:

ρv !v

!J = ρv

!v

SJBV

•  Considere uma superfície fechada ‘S’ numa região do espaço.

•  Se em um instante de tempo uma densidade de corrente J atravessa superfície ‘S’, a corrente que atravessa ‘S’ é:



Equação da Continuidade (de Cargas)

•  Pergunta: Quando a corrente vai ser positiva ou negativa?

I =!J ⋅d!S

S"∫S

Qi

•  Se Qi for a carga contida dentro de ‘S’, a equação da continuidade na forma integral

nos diz que a corrente saindo (entrando) de ‘S’ é igual a taxa de diminuição (aumento)

temporal de Qi, !J ⋅d!S

S"∫ = −∂Qi

∂t

SJBV

•  Cargas não são criadas nem destruídas.

•  Cargas são conservadas: se há uma diminuição da quantidade de carga em algum lugar do espaço, há um aumento da quantidade de carga em outro.



Equação da Continuidade (de Cargas)

Qi

•  Considere o seguinte gráfico de Qi ao longo do tempo: S

t

Qiα

•  Pergunta: A corrente I está saindo ou entrando da superfície fechada ‘S’?

•  Pergunta: Qual o valor da corrente? I = tan(α)

!J ⋅d!S

S"∫ = −∂Qi

∂t

SJBV

•  E se no lugar de Qi houver uma densidade de cargas ρv dentro de ‘S’?



Equação da Continuidade (Forma Diferencial)

ρv

S

vol.

•  A carga dentro do volume ‘vol.’ envolvido por ‘S’ é:

Qi = ρv dvvol.∫§  Teorema de Gauss (ou da Divergência): A integral de superfície do vetor

Densidade de corrente (J) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica do divergente de J no volume ‘vol.’ envolvido pela superfície ‘S’.

!J ⋅d!S =

S"∫ ∇ ⋅!J dv

vol.∫

SJBV

•  Substituindo as duas últimas equações na equação da continuidade na forma integral:



Equação da Continuidade (Forma Diferencial)

ρv

S

vol.

§  Chegamos à equação:

!J ⋅d!S

S"∫ = −∂Qi

∂t

∇⋅!J dv

vol.∫ = −∂∂t

ρv dvvol.∫⎡⎣ ⎤⎦

§  Note que ‘vol.’ pode ser qualquer volume. Assim, chega-se à forma diferencial (ou pontual) da equação da continuidade:

∇⋅!J = −∂ρv

∂tRelaçao com 1a Lei de Kirschhoff (correntes)?

SJBV



§  Lembrando que o divergente do vetor J é igual ao fluxo de densidade de corrente saindo de um volume infinitesimal Δv por unidade de volume.

∇⋅!J = lim

Δv→0

!J ⋅d!S

S"∫Δv

Equação da Continuidade na Forma Diferencial

§  A interpretação física da Eq. da Continuidade é que um fluxo de corrente saindo de um ponto infinitesimal gera a diminuição da densidade de carga neste ponto.

§  Um fluxo de corrente entrando num ponto infinitesimal gera o aumento da densidade de carga neste ponto.

SJBV



§  Considere a expansão de um gás dentro de um volume quando um embolo é puxado e a pressão sobre o gás é diminuída.

Analogia com a Equação de continuidade de massa

§  Enquanto o embolo está parado, o fluxo líquido de moléculas saindo do volume é zero. O que entra é igual ao que sai.

§  Se o embolo é puxado, há um fluxo liquido para fora do volume ( divergente positivo), indicando expansão do ar.

§  Se o embolo é empurrado, há um fluxo liquido para dentro (divergente negativo), indicando compressão do ar.

volume fixo

SJBV

Dado

(a)  Calcule a densidade de corrente em (ρ = 3, φ = 30º, z = 2).

(b)  Determine a corrente total que flui para fora da faixa

circular ρ = 3; 0 < φ <2π; 2 < z <2,8.



Exemplo

!J =10ρ2zaρ − 4ρ cos

2φ aφ [mA /m2 ]

SJBV

Dado

(a)  Calcule a corrente total que atravessa a superfície z = 0,1m na direção az.

(b)  Se vz = 2x106 m/s é a velocidade dos portadores de carga em z = 0,1 m, calcule ρv.

(c)  Se a densidade volumétrica de carga em z = 0,15m é -2000 C/m3, calcule a velocidade da carga.



Exemplo

!J =

−106 z1,5az [A /m2 ] 0 ≤ ρ ≤ 20µm

0 ρ > 20µm

⎧⎨⎪

⎩⎪

SJBV

Considere uma densidade de corrente que decresce exponencialmente com o

tempo:

(a)  Em t = 1s calcule a corrente total que flui para fora em r = 5m.

(b)  No mesmo instante, calcule a corrente total para r = 6m.

(c)  Calcule a densidade volumétrica de carga.

(d)  Calcule a velocidade dos portadores de carga.



Exemplo 3

!J = 1

re−t ar [A /m

2 ]

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