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Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret
Aula 6: Matrizes (3)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
©Prof. Lineu MialaretAula 6 - 2/35Cálculo Numérico
Seja a matriz A e os seguintes vetores u e v apresentados como se segue.
E sejam as seguintes transformações operadas em A que resultam em:
Autovalores e Autovetores (1)
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As transformações realizadas podem ser apresentadas graficamente, como apresentado a seguir.
Autovalores e Autovetores (2)
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Generalizando, tomando como foco as transformações lineares do tipo Ax = λx, com λ constante, têm-se transformações nas quais o vetor x tem seu tamanho expandido ou diminuído.
Autovalores e Autovetores (3)
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Exemplo 1: Seja a matriz A e o vetor x como apresentados a seguir.
Tem-se que a matriz Ax apresenta o seguinte formato:
Autovalores e Autovetores (4)
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Um autovetor para uma matriz A de ordem k é um vetor x, não nulo, tal que Ax = x, para algum escalar .
Um escalar é chamado de autovalor de uma matriz A se há uma solução não trivial x para a equação Ax = x.
Obs.:O escalar e a matriz x são chamados de autovalor e
autovetor associado; e Normalmente, os autovetores são dados num formato
padronizados e, tal que
em que
Autovalores e Autovetores (5)
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Considere a transformação Ax = λx, então tem-se que
Ax − λx = (A − λI)x = 0.A matriz quadrada A − λI é uma matriz singular e
pode-se resolver a equação matricial a seguir,
Ax − λIx = (A − λI)x = 0
para λ, usando-se o fato que o determinante de (A − λI) deve ser 0, ou seja, |A − λI| = 0.
Essa equação é conhecida como Equação ou Função Característica. Dessa forma, deve-se obter os valores de λ que são raízes da função característica.
Seja A uma matriz quadrada de ordem k, então existem k autovalores λ1, λ2, λ3, ..., λk que satisfazem a equação polinomial |Ax − λI| = 0. Assim sendo, existem k autovetores e1, e2, ..., ek associados.
Autovalores e Autovetores (6)
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Exemplo 2: Seja a matriz A apresentada a seguir.
Então tem-se que
E chega-se na seguinte equação polinomial
Autovalores e Autovetores (7)
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Tem-se o cálculo das seguintes raízes
Finalmente, os autovalores da matriz A são
Autovalores e Autovetores (8)
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Para o cálculo dos autovetores associados, deve-se calcular Autovetor e1 associado ao autovalor λ1 = 3
Tem-se que x11 = 0 e x12 pode ser qualquer valor, e será considerado igual a 1. O primeiro autovetor é x′1 = (0,1). Padronizando x1, tem-se
Autovalores e Autovetores (9)
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Autovetor e2 associado ao autovalor λ2 = 1
Tem-se que x21 = -2x22. Fazendo x22 = 1, então x21 fica igual a x21 = -2 e o segundo autovetor é x′2 = (-2,1). Padronizando o autovetor x2 , tem-se
Autovalores e Autovetores (10)
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Exercício 1: Calcular os autovalores e autovetores associados à matriz A apresentada a seguir.
Autovalores e Autovetores (11)
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Seja uma a matriz A simétrica de ordem k, então A pode escrita por
Exemplo 3: Seja a matriz A apresentada a seguir.
Têm-se os autovalores λi e
autovetores ei associados.
Decomposição Espectral (1)
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Portanto,
Decomposição Espectral (2)
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Defina-se uma matriz ortogonal U cujas colunas consistem nos autovetores e1, e2 , ..., ek , e da mesma forma, definindo-se uma matriz ortogonal V, tal que V = U′, ou seja,
Defina-se ainda uma matriz Λ (lambda) formada
pelos autovalores λ1, ..., λk , ou seja,
Pode-se escrever que
ou
Decomposição Espectral (3)
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Para o caso de uma matriz de ordem 2, tem-se que
e
Assim, uma matriz A de ordem 2 pode ser representada por
Decomposição Espectral (4)
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Exemplo 4: Para o caso da matriz A, apresentada a seguir,
Têm-se as matrizes U e Λ apresentadas a seguir
e
Decomposição Espectral (5)
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Seja a matriz x′Ax. Como se tem apenas termos quadráticos x2
i e termos cruzados xixj, essa matriz recebe o nome de Forma Quadrática.
Se uma matriz simétrica A de ordem k é tal que
Então se diz que a matriz A é uma Matriz Definida Positiva.Se uma matriz A de ordem k é definida positiva, então seus
autovalores são todos positivos, ou seja,
Matriz Definida Positiva (1)
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Exemplo 5: Seja a forma quadrática 6x12 + 4x1x2 + 3x2
2 , então
Sabendo-se que
Então a matriz A é definida positiva
Matriz Definida Positiva (2)
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Algumas propriedades:Se x′Ax ≥ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida
positiva;Se x′Ax < 0, ∀x não nulo, então a matriz A é definida
negativa; eSe x′Ax ≤ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida
negativa.
Casos Especiais:Matriz Inversa - a inversa de uma matriz simétrica A de
ordem k pode ser obtida fazendo-se
ou
Matriz Definida Positiva (3)
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Matriz Raiz Quadrada - a Matriz Raiz Quadrada de uma matriz A definida positiva de ordem k, é uma matriz tal que A1/2A1/2 = A, e pode ser obtida fazendo-se
ou
Em que a matriz Λ1/2 é dada por
Matriz Definida Positiva (4)
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Há outra relações que envolvem a matriz raiz quadrada:A−1/2 = (A−1/2 )−1 = UΛ −1/2 U′;A−1/2 A−1/2 = A−1.
Exemplo 6: Seja a matriz A apresentada a seguir.
Então tem-se (de exemplo anterior) que
e
Matriz Definida Positiva (5)
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Fazendo-se
Tem-se que
Matriz Definida Positiva (6)
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A matriz A1/2 é a matriz raiz quadrada de A, sendo que
Fazendo-se
Tem-se que
Matriz Definida Positiva (7)
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E assim,
Matriz Definida Positiva (8)
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Seja A uma matriz de valores m x k. Há uma matriz U de ordem m x n e uma matriz V de ordem k x k, ambas ortogonais, tais que
Em que a matriz Λ é uma matriz do seguinte tipo
Onde r = rank de A e a matriz D é uma matriz diagonal com os r valores singulares de A.
Pode-se entender a decomposição em valores singulares como uma expressão numa relação matricial que depende do rank da matriz.
Decomposição em Valores Singulares (1)
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Dado que m > k, então existem r constantes positivas λ1, λ2 , ..., λr, r autovetores u1, u2, ..., ur de dimensão m x 1 e r autovetores v1,v2, ..., vr , de dimensão k x 1 tal que
Onde as matrizes definidas abaixo são ortogonais
E a matriz Λr é uma matriz diagonal do tipo
Decomposição em Valores Singulares (2)
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Neste cenário, λ1, λ2 , ..., λr e u1, u2, ..., ur são pares de autovalores e autovetores de AA′, obtidos de
Em que λ1 > λ2 > . . . > λr > 0, são valores estritamente positivos.
Os vetores vi, por sua vez, estão relacionados aos autovetores ui, i = 1, 2, ..., r, pela relação abaixo
Alternativamente, vi, i = 1, 2, ..., r, são autovetores associados aos mesmos autovalores positivos λ1 > λ2 > . . . > λr > 0 de A′A.
Decomposição em Valores Singulares (3)
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Desta forma, a decomposição em valores singulares pode ser escrita pela expressão a seguir,
Decomposição em Valores Singulares (4)
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Exemplo 6: Seja a matriz A apresentada a seguir.
Então tem-se AA′ é
Decomposição em Valores Singulares (5)
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Os autovalores de AA′ são
Os autovetores associados são
Os vetores v1 e v2 são obtidos como se segue
Decomposição em Valores Singulares (6)
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Dessa forma, a matriz A pode ser escrita como se segue,
Ou seja,
Decomposição em Valores Singulares (7)
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Bibliografia (1)
Referência Básica 1 GERSTING, J. L.
Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2004
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Bibliografia (2)
Referência Básica 2 LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.
Matemática Discreta. 2ª ed., São Paulo: Bookman, 2004.
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Bibliografia (3)
Referência Básica 3 LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.
Álgebra Linear. 4ª ed., São Paulo: Bookman, 2011.