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Prof. Roberto Riguzzi

STATICA DEI LIQUIDI

Sono le basi scientifiche fondamentali del trasporto e stoccaggio dei liquidi e si basano sulla teoria della meccanica dei fluidi.

I liquidi non oppongono alcuna resistenza alle forze di trazione, mentre reagiscono alle forze di compressione aumentando la loro pressione in ogni punto della massa (Principio di Pascal). A differenza dei gas il loro volume non varia significativamente. In quanto i liquidi sono incomprimibili (Volume e densità del liquido non variano con la pressione).

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PRESSIONE IDROSTATICA(LEGGE DI STEVIN)

La pressione esercitata da un liquido, calcolata ad unacerta profondità, è chiamata pressione idrostatica. La p.i.dipende dall’altezza della colonna del liquido, dalla suadensità, dalla accelerazione di gravità.

Calcoliamo la pressione idrostatica di una colonna liquidadi altezza H e densità d ricavandoci la Legge di Stevin.

La pressione è definita con P =𝐹

𝑆

Dove F è la forza peso (Fp) data dal prodotto del pesospecifico (g ) e del volume del liquido. Fp= g V

Il volume si ottiene moltiplicando l’altezza della colonna(H in m) con la sezione (S, in m2) del liquido. V= S H

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PRESSIONE IDROSTATICA(LEGGE DI STEVIN)

Il peso specifico si ottiene moltiplicando la densità perl’accelerazione di gravità (g=9,81 ms-2) g= d g Calcolodimensionale [g]= ML-3 (d)* L T-2 (g)= M L-2 T-2

Sostituiamo nella formula della pressione

P =𝐹

𝑆=g∗V𝑆

=g 𝑆 𝐻𝑆

= g H Calcolo dimensionale :[P]= M L-1 T-2

[g]= M L-2 T-2 [H]=LLa pressione esercitata da una colonna di liquido dipendeunicamente dalla profondità e dal peso specifico delliquido (da non confondere con la densità). Tutti i puntiposti a quella profondità sono sottoposti alla medesimapressione. Non dipende dalla geometria del contenitore.Questa pressione, per il Principio di Pascal è esercitata intutte le direzioni.

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PRESSIONE IDROSTATICA(LEGGE DI STEVIN)

Esempio:

Determinare l’altezza di colonna d’acqua chedetermina la pressione idrostatica di 1 atm.

P= 1atm= 101325 Pa gH2O= d*g= 1000kg/m3

9,81ms-2= 9810N/m3

P= g*H H=𝑃

g=

101325N/m2

9810N/m3= 10,33 m.c.a.

(metri colonna d’acqua)

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PRESSIONE IDROSTATICA(LEGGE DI STEVIN)

Esempio: un contenitore cilindrico contiene due liquidiimmiscibili, di peso specifico g1= 9810 N/m3 e g2= 12000N/m3. Occupano entrambi una altezza di 1,5 m calcolarela pressione esercitata ai due liquidi sul fondo delcontenitore.La forza peso esercitata sul fondo del contenitore è datadalla somma dei pesi dei due liquidi. p=p1+p2, da cuirisulta: p1=V1 g1 = 𝑆 𝐻1 𝛾1 e p2=V2 g2 = S H2 g2.La pressione sarà:

P=p1+p2

𝑆=

S H1 g1+S H2 g2𝑆

= H1 g1+ H2 g

Sostituendo i valori dell’esercizioP=1,5m * 9810N/m3 +1,5m*12000 n/m3=32715 Pa(N/m2)

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EQUAZIONE DELLA STATICA DEI LIQUIDI

Energia di un sistema: rappresenta la capacità dello stesso di compiereun lavoro. L’energia totale di un liquido in quiete è data dalla sommadella:Energia Interna: nei liquidi incomprimibili, in cui non avvenganoreazioni chimiche e la temperatura è costante, non subisce variazioni.Sono i casi studiati nella statica dei liquidi.Energia potenziale gravitazione: è l’energia posseduta da un liquidoper effetto della sua posizione nel campo gravitazionale (g). Si calcolaponendo uguale a zero il suo valore ad una determinata quota ecalcolando il lavoro compiuto per portare una massa di liquido m aduna quota h rispetto a quella iniziale. Epot= m*g*hEnergia di Pressione: rappresenta il lavoro che può svolgere un liquidoposto ad una certa pressione idrostatica (è alla base del principio deivasi comunicanti). Epress= m*g*

𝑃

g

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EQUAZIONE DELLA STATICA DEI LIQUIDIEsempio: Consideriamo un serbatoio con liquidofino alla altezza L. Valutare le diverse forme dienergia posseduta dal liquido in superficie (a), sulfondo (b), ad una altezza intermedia(c). La sezione èsufficientemente sottile da considerare la massa mdel liquido posta alla stessa quota. H=profonditàrispetto alla superficie del liquidoh= altezza rispetto al fondo del serbatoioa) Possiede solo Epot= m*g*h= m*g*Lb) Possiede solo energia di pressione, pari a quellaesercitata dalla colonna di liquido sovrastante.Epress=m*g*H=m*g*Lc) Nelle quote intermedie l’energia totale del liquidoè ripartita tra quella potenziale e quella di pressioneEpot + Epress= m*g*h + m*g*H= m*g*(h+H)=m*g*L.Spostandosi dalla superfice verso il fondo, la Epotdiminuisce a favore della Epress, mentre la lorosomma rimane costante.Epot+ Epress=Costante

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EQUAZIONE DELLA STATICA DEI LIQUIDIConsideriamo un cubo di liquido dimassa m in quiete. Sulla facciasuperiore e inferiore sono esercitatele forze della pressione idrostatica(F1 e F2) in accordo con il principiodi Pascal.Sulla massa liquida agisce anche laforza peso Fp= g*V = g *S*(h1-h2)Siccome il liquido è in quiete avremoche F1+Fp=F2 Da cui si ottieneP1*S + g*S*(h1-h2)=P2*S e persuccessivi sviluppi algebrici edividendo tutti i termini per g

h1+𝑷𝟏

g= h2+

𝑷𝟐

gin cui 1 e 2

rappresentano due punti qualunquedel nostro fluido.

F1=P1*S

F2=P2*S h1h2

h1- h2

Fp= g V

Piano di riferimento

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EQUAZIONE DELLA STATICA DEI LIQUIDI

h+𝑃

g= Costante=Etotale (Epot+Epress)

Una semplice analisi dimensionale conferma che tutti imembri della equazione sono delle lunghezze (metri). Idiversi termini rappresentano inoltre una energia perunità di peso (non di massa, sono due grandezzediverse!). Per questa ragione l’Epot espressa nella formulada h è spesso indicata come altezza geometrica e Epress

(𝑃

g) come altezza piezometrica.

Esempio 5.5 pag 120 del libro di testo.

Esercitazione: Esercizi 1,2,4,5 ,6 pag. 147-150.

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ESERCIZI

1) Sapendo che la pressione assoluta di una colonna di fluido è579160,3 Pa, la densità del fluido r=0,727 gcm-3, determinare:

A) l’altezza in metri di un getto di acqua e vapore che fuoriesceda un geyser;(R: 67m)

B) la forza minima che l’energia geotermica deve possedere perfar fuoriuscire la colonna di fluido da una apertura della roccia di2,75m di diametro. (R:2,44 MN)

2) Calcola il diametro in cm di un pistone di sollevamento, di unsollevatore idraulico sapendo che al portata massima dasollevare è 1 Mg, che la forza agente sul pistone premente è35kgf, e che il diametro di tale pistone è 5,50 cm. (R:29,4 cm)

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SERBATOI

• CARATTERISTICHE: pag 202-205• Quantità di fluido• Caratteristiche fisiche/chimiche/biologiche.• Resistenza alla pressione• Resistenza alla corrosione• Serbatoi aperti (vasche): la pressione atmosferica agisce sia sul

liquido che sulle pareti. La pressione aumenta con la profondità. Il tetto può essere fisso o mobile.

• Serbatoi chiusi: possono essere in pressione. Le pareti sopporteranno una P= Pserb-Pamb+H*g. Pserb-Pamb= Pe pressione effettiva. Oppure possono essere sotto vuoto. Il carico è diretto dall’esterno verso l’interno del serbatoio ed è pari alla pressione effettiva.

• Gasometri (Pag 215 par 7.1.5)

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SERBATOI

• PAR 7.1.7 Dispositivi ausiliari ed accessori dei serbatoi.• Indicatori di livello (galleggiante, spinta idrostatica, microonde e

onde radar, ultrasuoni.• Indicatore di pressione (per quelli sotto pressione).• Prese di campionamento• Valvole di intercettazione• Serpentini per il riscaldamento/raffreddamento.• Valvole di respirazione• Ispezione: scale e passarelle• Sicurezza: bacini di contenimento, valvole di sicurezza e dischi di

rottura, sistemi di anti traboccamento, sistemi di rilevamento sostanze pericolose, antincendio. Procedure per l’accesso / manutenzione dei serbatoi. Problematiche per l’intossicazione –asfissia e caduta materiali.

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SERBATOIO SCHEMA REGOLAZIONI

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SERBATOI (DISEGNO)

• PAG 220 FIG 7.18, SIMBOLI UNICHIM PAG 510

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DINAMICA DEI LIQUIDIStudia i movimenti dei liquidi.La corrente liquida sono tutti quei tipi di moto delle particelle del liquido inmovimento che assumono mediamente traiettorie parallele tra la loro.La principale grandezza di una corrente è la portata.Portata in massa: è la massa di liquido che attraversa una sezionetrasversale (perpendicolare) al flusso. Fm=

𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑖 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜nel SI si esprime

in kg/sPortata volumetrica: è il volume di liquido che attraversa per unità ditempo un determina sezione trasversale al flusso Fv=

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑖 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜nel SI

si esprime in m3/sFv è correlata alla velocità media di flusso v attraverso la sezionetrasversale della corente (S in m2).Fv = v* S calcolo dimensionale m3/s=m/s * m2

Fv e Fm sono correlate fra loro dalla densità dFm=Fv*d Vedi esempio 5.7 pag 123 del libro.

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EQUAZIONE DI CONTINUITA’

Regime stazionario o permanente: quando le portate (in volume e inmassa), la velocità media, la pressione e la densità nei vari punti delliquido non variano nel tempo. In caso contrario il regime si dicetransitorio.Prendiamo un liquido incomprimibile con la densità costante.Consideriamo due sezioni del condotto in cui fluisce la corrente liquidacon 𝑆1 ≠ 𝑆2, conseguentemente anche v1≠v2. La portata in massa nelledue sezioni è costante per il principio di conservazione della massa(non ci sono né immissioni né prelievi). Da qui si ricavaFm1=Fm2 d*Fv1 = d*Fv2 v1*S1 = v2*S2

per tubazioni a sezione circolare la velocità è funzione della portata edel diametro del tubo (esempi 5.8 e 5.9 pag 124 del libro).

𝑣 =4𝐹𝑣

𝜋𝑑2

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VISCOSITA’In natura esistono forze che non sono conservative, ovvero che non conservano illavoro fatto come energia meccanica (esempio attrito). Nei liquidi le forze che sioppongono al moto con dissipazione di energia dipendono da una proprietàintensiva del fluido chiamata viscosità. La viscosità possiamo immaginarla comel’attrito che ostacola lo scorrimento delle lamine infinitesime che rappresentano ilmoto del fluido.La Legge di Newton consente di determinare questa grandezza per la maggiorparte dei liquidi omogenei e dei gas:

𝐹

𝐴= 𝜇 ∗

𝑣

𝑑dove F è la forza tangenziale applicata al fluido, A è la superficie dello strato piano,𝜇 è la viscosità, v è la velocità relativa degli strati e d la distanza fra gli strati, v/d è ilgradiente di velocità. Maggiore è la viscosità, maggiore è la forza da applicare perconsentire il movimento del fluido. Dal calcolo dimensionale determiniamo che leunità di misura della viscosità è Pa*s.La viscosità nei liquidi diminuisce all’aumentare della temperatura, mentre nei gasè il contrario.Molti liquidi non omogenei, con fasi in dispersione, non seguono la Legge diNewton (liquidi non-newtoniani), molto frequenti nelle industrie chimiche.

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MOTO LAMINARE

• Avviene per traiettorie parallele

• La velocità di ogni singola particella di liquido in ogni istante e in ogni punto è parallela all’asse della tubazione

• Non ci sono spostamenti di massa in direzione trasversale al flusso

Il profilo di velocità nel moto laminare ha un andamento parabolico (maggiore al centro, minimo sulle pareti del tubo)con Vmedia che è circa la metà di Vmax.

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Vmedia

Vmax

MOTO TURBOLENTO

• La velocità di ogni singola particella di liquido varia continuamente nel tempo in modulo, direzione e verso. Alcune particelle possono anche avere, in particolari istanti, velocità opposta a quella netta del flusso. Comunque la velocità media di tutte le particelle poste su una sezione è sempre parallela all’asse della tubazione

• Ci sono spostamenti di massa in direzione trasversale al flusso

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Vmedia

Vmax

Nel moto turbolento il profilo di velocità è più schiacciato e la velocità si mantiene vicino al valore massimo anche in prossimità delle pareti

NUMERO DI REYNOLDSReynolds accertò che l’instaurarsi di un moto laminare oturbolento dipende dalla velocità del flusso v, dallecaratteristiche fisiche del fluido (densità e viscosità), dallageometria del sistema. Nelle tubazioni a sezione circolare,la geometria è espressa dal diametro.Questi parametri sono ricompresi nel Numero diReynolds (Re), grandezza adimensionale:

𝑅𝑒 =𝜌 ∗ 𝑣 ∗ 𝑑

𝜇=4 ∗ 𝜌 ∗ 𝐹𝑣

𝜋 ∗ 𝜇 ∗ 𝑑𝜌= densità v= velocità d= diametro del tubo 𝜇=viscosità𝐹𝑣 =portata volumetricaRe<2000 moto laminare Re>4000 moto turbolento per ivalori intermedi non si hanno indicazioni certe del moto.Esempio 5.10 pag. 129.

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DINAMICA DEI LIQUIDI IDEALI (IDRODINAMICA)

Considerando i presupposti visti con la statica dei liquidi, l’energia totale di un liquido in movimento sarà data dalla somma della:• Energia potenziale Epot= 𝑚𝑔ℎ

• Energia di Pressione Epress= 𝑚𝑔𝑃

𝛾

• Energia cinetica Ecin= 1

2𝑚𝑣2

Etotale= 𝑚𝑔ℎ + 𝑚𝑔𝑃

𝛾+ 1

2𝑚𝑣2dividendo per m e g

otterremo l’energia per unità di peso.

Ep= ℎ +𝑃

𝛾+

𝑣2

2𝑔

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EQUAZIONE DEI BERNOULLI

Nell’ipotesi di regime stazionario, senza dissipazione di energia e che illiquido occupi l’intera sezione, l’energia dovrà rimanere costante duranteil moto del liquido. Se considero due sezioni qualunque, l’energia totaleposseduta dal fluido nella sezione 1 dovrà essere uguale a quellaposseduta nella sezione 2.

ℎ1 +𝑃1𝛾+𝑣1

2

2𝑔= ℎ2 +

𝑃2𝛾+𝑣2

2

2𝑔EQUAZIONE DI BERNOULLI

Come nella equazione della statica ogni termine come grandezza fisica èuna lunghezza. Il terzo termine è chiamato altezza cinetica. Passando dadue sezioni l’energia totale del fluido non cambia, può cambiare laripartizione dei diversi contributi.Esempio 5.11 pag 131.Alcune considerazioni per tubo orizzontale: h costante, se aumenta lavelocità del fluido (diminuisce il diametro a parità di portata), diminuiscela sua pressione e viceversa.

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DINAMICA DEI LIQUIDI REALI

Il bilancio di energia per i liquidi reali, nell’ipotesi di regime stazionario e la sezione interamente occupata dal liquido, dovrà comprendere anche l’energia dissipata.

ℎ1+𝑃1𝛾+𝑣1

2

2𝑔= ℎ2+

𝑃2𝛾+𝑣2

2

2𝑔+ Σ𝑦

Σ𝑦 rappresenta le perdite di carico, ovvero l’energia dissipata per unità di peso espresse anch’esse in metri. È una quantità sempre positiva. Esempio 5.12 pag. 133 del libro di testo.

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PERDITE DI CARICO

Σ𝑦= ℎ1− ℎ2 +𝑣12

2𝑔−

𝑣22

2𝑔+

𝑃1

𝛾−

𝑃2

𝛾

Per tubazioni orizzontali a sezione costante si avrà

Σ𝑦=𝑃1

𝛾−

𝑃2

𝛾

Perdite di carico continue: sono distribuite lungo la corrente pereffetto degli attriti viscosi che si manifestano all’interno del liquido etra il liquido e la parete della tubazione.Perdite di carico localizzate: sono causate da cambi di direzione,valvole, ingressi e uscite dai serbatoi, apparecchi di misura, ecc.Apposite tabelle (Tab 5.4 pag 139) indicano in metri il contributo delleperdite localizzate più comuni. Si calcolano sommando ogni contributosotto forma di Leq/d nel termine L/d nell’equazione delle perdite dicarico continue(vedi slide seguente). (Esempio 5.15 pag. 140)

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PERDITE DI CARICO CONTINUE(Esempio 5.14 pg 138 libro)

Si utilizza l’espressione di Darcy – Weisbach

𝑦′ = 𝛌𝐿

𝑑

𝑣2

2𝑔• 𝑦′=energia dissipata per unità di peso (metri)• 𝛌= fattore di attrito (adimensionale). Dipende dal tipo di moto (numero di

Reynolds) e dalla rugosità interna della tubazione. La presenza della rugositàdetermina la formazione di vortici che sono la causa della dissipazione dienergia e della minore velocità del fluido in prossimità della parete. Dipendedalla scabrezza relativa=

𝜀

𝑑. Si usa l’abaco di Moody (pag 137 libro) in cui in

funzione del Re e della𝜀

𝑑il grafico fornisce il fattore di attrito.

• 𝜀= scabrezza-altezza media delle rugosità superficiali. Sono riportate in appositetabelle (vedi Tab5.3 pag 136 libro).

• L= lunghezza tratto tubazione (metri).• d= diametro tubazione (metri). Il rapporto L/d dipende dalle caratteristiche

geometriche della tubazione.

•𝑣2

2𝑔= altezza cinetica (metri) dipende dalla portata.

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PERDITE DI CARICO

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