profa. dra. maria ivanilde silva araújo 1biostatística/ufam - profª maria ivanilde
TRANSCRIPT
Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo
1Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde
ProbabilidadeExperimento AleatórioEspaço AmostralEventos
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 2
Experimento AleatórioExperimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos varias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 3
Espaço AmostralA cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 4
Espaço AmostralAo conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representados por S ou .
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 5
EventosChamamos de eventos qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 6
ProbabilidadeProcura quantificar as incertezas existentes em determinada situação.
Não é possível fazer inferências estatísticas sem utilizar alguns resultados da teoria das probabilidades.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 7
Objetiva: ClássicaDef.: Se um evento pode ocorrer em N maneiras mutuamente excludentes e igualmente prováveis, e se m dessas ocorrências tem uma característica E, então a probabilidade de ocorrência de E é:
P(E) = m/N
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 8
Freqüência relativaDef.: Se algum processo é repetido um grande número de vezes, n, e se algum evento com característica E ocorre m vezes, a freqüência relativa m/n é aproximadamente igual à probabilidade de E: P(E)
Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(E).
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 9
Propriedades GeraisSeja um experimento aleatório e espaço amostral associado a . A cada evento A associa-se um número real representado por P(A) que é denominado probabilidade de A que satisfaça às seguintes propriedades:
0 ≤ P(A) ≤ 1 P() = 1 Se A e B são eventos mutuamente
exclusivos então: P(A U B) = P(A) + P(B)
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 10
Probabilidade com EventosVárias conseqüências relacionadas a P(A) decorrem das condições citadas anteriormente. Se A for o evento vazio (), então: P(A) = P() = 0
Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)Se for o evento complementar de A então:
P( ) = 1 – P(A)A
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 11
Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos associados ao
experimento . Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido.
.0)(,)(
)()|(
APquedesde
AP
BAPABP
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 12
Exemplo:Resultado do desempenho de um novo teste de diagnóstico para câncer de mama em 200 pacientes com nódulo mamário único.
Biópsia
Novo
Teste
Sensibilidade = P(Novo Teste+| Biópsia +) = 65/100
Especificidade = P(Novo Test -| Biópsia -) = 30/100
VPP (do teste) = P(Biopsia +|NovoTest +) = 65/135
VPN (do teste) = P(Biópsia -|NovoTest -) = 30/65
Positivo Negativo
Positivo 65 70 135
Negativo 35 30 65
100 100 200
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 13
Independência de EventosDado dois eventos A e B de um espaço amostral , diremos que A independe de B se:P(A | B) = P(A)Isto é, independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. Dois eventos A e B são chamados independentes seP(A B) = P(A) x P(B).
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 14
Variável AleatóriaQuando os valores assumidos por uma variável são o produto de fatores casuais e estes não podem ser preditos com exatidão, esta variável é chamada de aleatória.
Exemplo: número de alunos aprovados no primeiro período 2014 da UFAM no curso de Odontologia.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 15
Variável AleatóriaSe a variável aleatória pode assumir somente um particular conjunto de valores (finito ou infinito enumerável), diz-se que é uma variável aleatória discreta.
Uma variável aleatória é dita contínua se pode assumir qualquer valor em um certo intervalo.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 16
Função de ProbabilidadeÉ a probabilidade de que uma variável aleatória “X” assuma o valor “x”. É representada por P(X = x) ou P(x) e pode ser:
Discreta
Contínua
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 17
Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta
É a função de probabilidade no ponto, ou seja, é o conjunto de pares
(xi ; P(xi)), para i = 1, 2, ..., n, ...
Para cada possível resultado de x teremos:
(i) 0 ≤ P(x) ≤ 1
(ii)
1xP1i
i
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 18
Esperança e Variância de uma variável aleatória discreta Esperança de X,
Variância de X,
ou
Var(X) = E(X²) – [E(X)]²
i1i
i xPxXE
i2
1ii x.PXExXVar
i1i
2i
2 x.PxXEonde
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 19
Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua
É uma função de probabilidade quando X é definida sobre um espaço amostral contínuo.
Se quisermos calcular a probabilidade de X assumir um valor x entre “a” e “b” devemos calcular:
dxxfbxaPb
a
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 20
Distribuição de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua
Onde a curva limitada pela área em relação aos valores de x é igual a 1
f(x)
x
a b
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 21
Função de Densidade de Probabilidade
A função f(x) é uma função de densidade de probabilidade (f. d. p.) para uma v. a. contínua X, definida nos reais quando
dx.xfbxaP(iii)
1;dxxf(ii)
0;xf(i)
b
a
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 22
Distribuições de ProbabilidadeBinomialPoissonNormalNormal PadrãoQui-quadradot-studentF de Snedecor
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 23
Distribuição Binomial
1) Os ensaios são independentes; 2) Cada resultado do ensaio pode assumir
somente uma de duas possibilidades: sucesso ou fracasso;
3) A probabilidade de sucesso em cada ensaio, denotado por p, permanece constante.
Um experimento aleatório é chamado
binomial se em n repetições:
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 24
Distribuição Binomial
A probabilidade de obtermos exatamente x sucessos em n tentativas é:
E(X) = np e Var(X) = np(1 – p)
,...,n.1,0xp)1(pxnxXP xnx
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 25
Exemplo:Uma mulher engravida 20 vezes. Qual a probabilidade de nascerem 8 meninas?
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 26
Solução:Seja X: número de sucessos (meninas);
m = nascer menina.
X = 0, 1, 2, ..., 20 p = P(m) =
X~ B
P(X = 8) =
2
1,20
12013,02
1
2
1
8
20 128
2
1
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 27
Exemplo:Suponha que 30% dos indivíduos de uma população sejam contrárias a um projeto de saneamento municipal. Se sortearmos 10 indivíduos desta população (amostra) qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos sejam favoráveis?
Seja X o nº de indivíduos favoráveis;
P(X = 4) = %7,30,03675693,07,0
4
10 64
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 28
Distribuição Normal
A distribuição normal é uma distribuição em
forma de sino que é usada muito
extensivamente em aplicações estatísticas
em campos bem variados. Sua densidade de
probabilidade (f.d.p.) é dada por:
x,x
2
1exp
2
1xf 2
2
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 29
Distribuição NormalSua média é e sua variância é 2. Quando X tem uma distribuição normal com média e variância 2, escrevemos, de forma compacta, X N (,2).
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 30
Distribuição Normal
Características:Características:
Simétrica em relação à média ;
A média, moda e mediana são iguais;
A área total sob a curva é igual a 1, 50% à
esquerda e 50% à direita da média.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 31
Distribuição NormalA área entre A área entre - 1- 1 e e + + 1 1 é aproximadamente é aproximadamente
68%68%
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 32
Distribuição NormalA área entre A área entre - 2- 2 e e + + 2 2 é aproximadamente é aproximadamente
95%95%
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 33
Distribuição NormalA área entre A área entre - 3- 3 e e + + 3 3 é aproximadamente é aproximadamente
99,7%99,7%
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 34
Distribuição NormalA distribuição normal é completamente A distribuição normal é completamente determinada pelos parâmetros determinada pelos parâmetros e e
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 35
Distribuição Normal Padrão
Caracterizada pela média igual a zero e desvio padrão igual a 1.
Se X tem distribuição normal com média e variância 2 então:
X
Z
zz
zf ,2
exp2
1 2
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 36
Distribuição NormalExemplo: (Predição de uma valor) Suponha uma população normal com colesterol médio de 200mg% e desvio padrão de 20mg%. Qual é a probabilidade de um indivíduo sorteado ao acaso desta
população apresentar um colesterol entre 200 e 225 mg%?
A estatística Z mede quanto um determinado valor afasta-se da média em unidades de desvio padrão
(quando coincide c/ a média, o escore é Z = 0)
37Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde
Distribuição Normal
Consultando a Tabela de Distribuição normal, ou um
programa estatístico vemos que
a probabilidade de Z assumir valor entre 0 e Z = 1,25
é 0,3944 ou 39,44
38Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde
Exemplo:
Seja X: N(100, 25). Calcular:
= 100 e = 5 →5
100XZ
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 39
Solução:a) P(100 X 106 )
P(100 X 106 ) =
= P(0 Z 1,2 )
= 0,384930
5
100-106 Z
5
100-100P
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 40
Solução:
b) P(89 X 107)
P(89 X 107) =
= P(-2,2 Z 1,4)
= P(-2,2 Z 0) + P(0 Z 1,4)
= 0,486097 + 0,419243
= 0,90534
5
100-107 Z
5
100-89P
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 41
Exemplo:Sendo X: N(50, 16), determinar X tal que: = 50, = 4a) P(X X) = 0,05
Procurando no corpo da tabela 0,45 (0,5 – 0,05), encontramos: Z= 1,64
como →
X= 56,56 P(X 56,56) = 0,05
σ
μXZ α
α
4
50X1,64 α
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 42
Solução:
b) P(X X) = 0,99
Procurando no corpo da tabela 0,49 (0,5
– 0,01), encontramos: Z= 2,32
X= 59,28
P(X 59,28) = 0,99
4
50X2,32 α
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 43
Distribuição 2 (Qui-quadrado)
Uma v. a. contínua Y, com valores positivos, tem uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade (denotada por χ²(n) ), se sua densidade for dada por
E(Y) = n, Var(Y) = 2n.
.y,
y,eynn;yf
ynn
00
022
1212
2
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 44
A Distribuição 2 (Qui-quadrado) pode ser vista como:
O quadrado de uma v.a. com distribuição normal padrão é uma v.a. com
distribuição 2(1) ( seja Z~N(0,1) e
considere Y = Z2. Então Y~2(1) );
A distribuição 2n é a distribuição da soma
de n variáveis normais independentes padronizadas.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 45
Se X N(0, 1) e Y 2n e X e Y são independentes, então
t = tem densidade dada por
tal v. a. tem distribuição t com n graus de liberdade.
E(t) = 0, Var(t) = .
n/Y
X
Distribuição t de Student
.t,ntnn
nn;tf n
21212
21
2n
n
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 46
A distribuição t é uma distribuição simétrica como a normal, um pouco mais achatada e com caudas mais longas que a normal.
Quando o tamanho da amostra cresce, a distribuição t se aproxima da normal.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 47
Distribuição F
Se Y1 e Y2 e Y1 e Y2 são
independentes, então
W = tem densidade dada por
tal v. a. tem distribuição F com graus de liberdade n1 e n2. Escrevemos WF(v,r).
E(W) = , Var(W) =
21n 2
2n
.w,nf.n
w
n
n
nn
nnn,n;wg nn
nn
0122
22
21
222
2
1
21
2121
21
11
22
11
n/Y
n/Y
22
2
n
n 42
22
22
21
212
2
nnn
nnn
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 48
Distribuições de Probabilidade0 1 2 3 4 5 6
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279
Probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,2549Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde
Tipos de Estimações de Parâmetros
i) Estimação Pontualii) Estimação Intervalar
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 50
Estimador e estimativa
estimador de πpProporção =
estimador de σ²S²Variância =
estimador de µMédia =Amostra:
πProporção =
σ²Variância =
µMédia =População:
estimador de πpProporção =
estimador de σ²S²Variância =
estimador de µMédia =Amostra:
πProporção =
σ²Variância =
µMédia =População:
X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 51
Estimação intervalar
Limitação da estimação pontual desconhecimento da magnitude do erro que se está cometendo;
Surge a idéia da construção de um intervalo que contenha, com um nível de confiança conhecido, “ valor verdadeiro do parâmetro”;
baseado na distribuição amostral do estimador pontual.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 52
Erro Máximo da Estimativa
Representa a diferença máxima (erro) que será permitida entre a estimativa pontual ( ) e o valor verdadeiro do parâmetro que está sendo estudado (μ).
X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 53
Erro Erro
*
XErro
nZXI
2
nZXS
2X*
XErro
nZXI
2
nZXS
2X
LI – Limite Inferior LS – Limite Superior
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 54
Intervalo de Confiança da Média Populacional
LI – Limite Inferior LS – Limite Superior
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 55
Intervalo de confiança com variância desconhecida
nX
(µ, σ²)
População
X
x96,1 x96,1xX S96,11
xX S96,12
xkX S96,1
1X
2X
kX
µ
n
amostra
amostra
amostra
95% dos intervalosContêm µ
n1
X(µ, σ²)
X
x96,1 x96,1xX 96,11
xX 96,12
xkX 96,1
1X
2X
kX
µ
n2
nK
Amostra 1
Amostra 2
Amostra k
95% dos intervalosContêm µ
X X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 56
Estimação Intervalar
É o intervalo definido pela estimativa pontual mais ou menos o erro máximo da estimativa.
X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 57
Média populacional, quando σ é desconhecido
IC para média;Estatística de t de Student.
Xt
S
n
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 58
Intervalo de confiança da média
Substituindo o t
/ 2 / 2( ) 1P t t t
/ 2 / 2( ) 1X
P t tS
n
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 59
Intervalo de Confiança da média
Na tabela de t de Student
( 1; / 2) ( 1; / 2) 1n n
S SP X t X t
n n
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 60
Amostra de tamanho n ≤ 30 Para amostra de tamanho n ≤ 30 da população de
interesse;
Calcule os valores de e S;
Escolha o valor do coeficiente de confiança 1 – α ;
Determine os valores de t(α/2;n – 1) apartir da tabela da distribuição t de Student;
Calcule os limites do intervalo de confiança.
X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 61
Intervalo de Confiança da média
Com um nível de confiança (1 ) 100%
( 1; / 2) ( 1; / 2);n n
S SX t X t
n n
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 62
Encontre: média e desvio padrão
Média
Desvio Padrão
1
n
ii
XX
n
2
2 1
1
1
n
ini
ii
X
XnS
n
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 63
Como calcular o Intervalo de Confiança da média ?
Os intervalos de confiança da média
( 1; / 2)n
St
n
X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 64
Encontre o valor de t de Student
glgl
n-1n-1αα
0,050,05 0,010,01
2 4,303 9,925
... ...... ......
88 2,302,3066
3,3553,355
... ... ...
1,960 2,576
n-1
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 65
Como calcular o intervalo de confiança da média?
Os intervalos inferior e superior
Limite Inferior X
X
Limite Superior X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 66
Exemplo
Uma amostra de tamanho 9, extraída de uma população normal com = 1,0 e S = 0,264.
Construir intervalos de 95% e 99% de confiança para média populacional.
X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 67
Resultado
Para 1 – α = 95% α = 0,05; α/2 = 0,025 graus de liberdade = 9 – 1 = 8, = 1,0 e S =
0,264.
0,2642,306 0,2029
9
[0,797; 1,203].X
X
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 68
ResultadoPara 1 – α = 99% α = 0,01; α/2 = 0,005
graus de liberdade = 9 – 1 = 8.
Intervalo: ∆ [3,355(0,264/3)] =0,088
LI=0,912
LS=1,088
[0,912; 1,088].
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 69
Resultado
Para 1 – α = 95% α = 0,05; gl = 9 – 1 = 8.Intervalo: [0,797; 1,203].[0,797; 1,203].
Para 1 – α = 99% α = 0,01; gl = 9 – 1 = 8.Intervalo: [0,705; 1,295].[0,705; 1,295].
NotaNota: aumentando o nível de confiança, o tamanho do intervalo também aumenta.
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 70
Estimação da média
Estimativa por ponto, a qual consiste em apenas um valor da média=1;
O intervalo de confiança para o parâmetro (μ), estamos fazendo uma estimativa por intervalo.
Intervalo de 95% de confiança [0,797; 1,203][0,797; 1,203];
Intervalo de 99% de confiança [0,705; 1,295][0,705; 1,295];
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 71
Tabela 1 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro Tabela 1 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época seca.seca.
Parâmetros Químicos e Parâmetros Químicos e BiológicosBiológicos
São RaimundoSão Raimundo EducandosEducandos TarumãTarumã
Limites do Limites do CONAMA 357CONAMA 357InferiorInferior SuperiorSuperior InferiorInferior SuperiorSuperior Inferior Inferior Superior Superior
pHpH 5,885,88 7,157,15 5,145,14 6,666,66 4,694,69 5,235,23 6 a 96 a 9
Cond. ElétricaCond. Elétrica 73,873,8 233,92233,92 109,46109,46 283,38283,38 8,378,37 10,710,7 --
TurbidezTurbidez 12,3612,36 38,1438,14 4,144,14 21,0321,03 00 23,8423,84 <40unt<40unt
O2O2 0,910,91 3,93,9 1,491,49 2,922,92 5,475,47 6,976,97 >6mg/L>6mg/L
NO3NO3 0,10,1 0,250,25 0,080,08 0,30,3 0,020,02 0,060,06 10,0m/L10,0m/L
NH4NH4 0,370,37 4,114,11 3,483,48 66 00 0,070,07 --
Ferro TotalFerro Total 0,310,31 1,561,56 0,610,61 2,832,83 0,060,06 0,370,37 --
Ferro DissolvidoFerro Dissolvido 0,010,01 0,150,15 00 1,141,14 0,010,01 0,080,08 0,3mg/L0,3mg/L
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 72
Tabela 2 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro Tabela 2 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época chuvosa.chuvosa.
Parâmetros Químicos e Parâmetros Químicos e BiológicosBiológicos
São RaimundoSão Raimundo EducandosEducandos TarumãTarumã
Limites do Limites do CONAMA 357CONAMA 357InferiorInferior SuperiorSuperior InferiorInferior SuperiorSuperior Inferior Inferior Superior Superior
pHpH 5,325,32 7,17,1 5,155,15 6,666,66 4,64,6 5,245,24 6 a 96 a 9
Cond. ElétricaCond. Elétrica 66,6366,63 218,18218,18 92,8892,88 249,76249,76 6,996,99 13,813,8 --
TurbidezTurbidez 2,992,99 31,6731,67 68,0968,09 274,55274,55 0,190,19 12,9812,98 <40unt<40unt
O2O2 1,161,16 2,692,69 1,521,52 4,654,65 6,656,65 7,737,73 >6mg/L>6mg/L
NO3NO3 0,040,04 0,260,26 0,010,01 0,520,52 0,020,02 0,040,04 10,0m/L10,0m/L
NH4NH4 1,261,26 6,446,44 1,591,59 5,355,35 0,130,13 0,210,21 --
Ferro TotalFerro Total 0,870,87 4,024,02 0,870,87 4,014,01 0,070,07 0,380,38 --
Ferro DissolvidoFerro Dissolvido 0,040,04 0,120,12 0,060,06 0,20,2 0,020,02 0,060,06 0,3mg/L0,3mg/L
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 73
Intervalo de confiança para a média da população quando é conhecido.
Intervalo de confiança para a média da população quando é desconhecido.
Intervalo de confiança para a variância da população.
Intervalo de confiança para o desvio-padrão da população.
Intervalo de confiança para uma proporção populacional
Estimação por intervalo
Teoria da estimação
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 74
Exercício práticoConsiderando-se que uma amostra de cem
elementos extraídas de uma população aproximadamente normal, cujo desvio-padrão é igual a 2,0, forneceu média =35,6, construir um intervalo de 95% de confiança para a média dessa população
x
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 75