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Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare

Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo

Lezione 9

Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 1 / 51

Libri di testo consigliati

B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche: “Particelle e Nuclei“D. Prosperi: ”Corso di Istituzioni di Fisica Nucleare“W.S.C. Williams: “Nuclear and Particle Physics”F. Ceradini: ”Appunti del Corso di Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare“,Roma3, A.A. 2001-2002K. Heyde: ”Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics“J.L. Basdevant, J. Rich, M. Spiro: ”Fundamentals in Nuclear Physics - FromNuclear Structure to Cosmology“W.N. Cottingham, D.A. Greenwood: ”An Introduction to Nuclear Physics“C. Dionisi, E. Longo: ”Fisica Nucleare e Subnucleare“C. Schaerf: Slides del Corso di Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare,Università di Roma “Tor Vergata”, Anno 2012


LE FORZE NUCLEARI E IL NUCLEO

I nucleoni che compongono il nucleo sono tenuti insieme dalle forze nucleari che sonodescritte dalla QCD. Il problema principale della fisica nucleare è quello di calcolare epredire le principali caratteristiche dei nuclei, come:

massa

momento angolare

momento di dipolo e quadrupolo

distribuzioni di carica

livelli energetici del nucleo

densità nucleare

valori dei coefficienti della formula semi-empirica delle masse.


POTENZIALE NUCLEONE-NUCLEONE

La struttura delle forze nucleari, studiate per la prima volta da Yukawa nel 1935, èestremamente complessa. Una delle ragioni di questo risiede nel fatto che le interazioninucleone-nucleone sono il “residuo” delle interazioni fondamentali tra i quark all’interno delnucleone. Una situazione analoga si presenta nel caso delle forze di Van der Waals tra gliatomi e le molecole, che non sono delle forze fondamentale ma sono anch’esse forze residualidelle forze coulombiane schermate all’interno dell’atomo.Per questa ragione le forze nucleone-nucleone vengono descritte in manierasemi-fenomenologica e dedotte solo in parte da principi fondamentali.Consideriamo due nucleoni descritti dalle coordinate spaziali ~r1 e ~r2 rispetto al centro delnucleo e dai loro vettori di spin ~s1 e ~s2 e ~r12 = ~r1 − ~r2 sia la loro distanza relativa.Dallo studio delle energie di legame e di esperimenti di diffusione elastica nucleone-nucleonesono state dedotte le proprietà principali dell’interazione nucleone-nucleone:

l’interazione è attrattiva e a breve raggio di azione (' 1÷ 2 fm). Questecaratteristiche possono essere ben descritte da un potenziale centrale, VC(r12). Laforma di tale potenziale non è nota a priori e può essere approssimata con potenzialinoti, quali l’oscillatore armonico, la buca sferica, il potenziale di Wood-Saxon. Irisultati a cui portano questi diversi potenziali sono simili e cioè: raggio del potenziale' 2 fm e profondità della buca di potenziale V0 ' 40MeV .l’interazione è repulsiva a brevissimo raggio d’azione (core repulsivo). Il terminerepulsivo è confermato dalla diffusione nucleone-nucleone che a bassa energia evidenziaun potenziale attrattivo, mentre per impulsi pcm > 400MeV/c corrispondenti ar < 0.5 fm mostra un potenziale repulsivo. L’effetto deriva dal principio di esclusione diPauli. Il termine repulsivo può essere costruito con le stesse combinazioni che vedremonel caso del potenziale tensoriale.


POTENZIALE NUCLEONE-NUCLEONE (continua)

l’interazione contiene un termine di spin-orbita responsabile della separazione dilivelli degeneri per i potenziali centrali e che può essere cos̀ı espresso:

Vls(~r12) = Vls(r12)(~l · ~s)

dove ~l e ~s sono il momento angolare orbitale e lo spin totali dei due nucleoni.

l’interazione è indipendente dalla carica elettrica: dagli spettri dei nuclei speculari(stesso A ma Z,N scambiati) e dalla diffusione elastica nucleone-nucleone a bassaenergia, si giunge a concludere che le interazioni p− p, n− n e p− n sono simili.N.B. Questa affermazione è vera, ovviamente, solo se le coppie confrontate sono nellostesso stato quantico: |j, l, s >. Tuttavia, mentre le coppie n− p possono interagiretrovandosi in uno stato qualunque, alle coppie n− n e p− p, che sono costituite danucleoni identici, sono accessibili solo gli stati in cui i due nucleoni non hanno tutti inumeri quantici uguali (v. dopo nel punto in cui si esamina la dipendenza dallo spin);

l’interazione è invariante per trasformazioni di parità e di inversionetemporale. I nuclei infatti non hanno momento di dipolo elettrico nè momento diquadrupolo magnetico, che sono interpretabili appunto come segnali sperimentali di unaviolazione di tali simmetrie.



l’interazione è dipendente dallo spin: lo stato nucleone-nucleone con spin totaleS = 1 (tripletto) e quello con S = 0 hanno proprietà differenti, come si può ad esempioinferire dal fatto che l’unico stato legato nucleone-nucleone è la coppia n− p con s = 1 e(principalmente) l = 0, mentre quella con s = 0 non lo è:

n−p s = 1⇒ sistema legato n− p s = 0⇒ sistema non legato

Il potenziale è quindi più attrattivo per lo stato di tripletto e meno per lo stato disingoletto. Da questo possiamo trarre delle considerazioni sul perchè non esistano statilegati n− n e p− p. Dato che le interazioni forti non distinguono i neutroni dai protoni,il fatto che non esista uno stato legato n− p con s = 0 (e l = 0) ci porta a concludereche anche le seguenti coppie non costituiscono stati legati:

n−n s = 0⇒ sistema non legato p−p s = 0⇒ sistema non legato

Il fatto invece che non esistano i sistemi legati n− n e p− p con s = 1 e l = 0 è dovutoal principio di esclusione di Pauli, che impone che la funzione d’onda totale di unsistema di due fermioni identici sia globalmente antisimmetrica. Essendo in questo casosimmetriche sia la parte spaziale sia la parte di spin della funzione d’onda, lacombinazione delle due sarebbe globalmente simmetrica e quindi non accettabile; inparole povere, se due fermioni identici si trovano nello stesso posto (l = 0) devono averegli spin antiallineati (e cioè s = 0), quindi lo stato con l = 0, s = 1 è proibito.



l’interazione contiene un contributo non-centrale, detto potenziale tensorialeVT (~r12). Dato che l’unica direzione definita è quella dello spin, il termine tensorialedipenderà dall’orientazione di ~r12 rispetto agli spin dei nucleone e potrà quindi esserecos̀ı parametrizzato:

VT (~r12) = VT (r12)

[3

(~s1 · ~r12r12

)(~s2 · ~r12r12

)− (~s1 · ~s2)

]A causa di questo termine, |~l |2 non è più una costante del moto, mentre lo sono ancora|~j |2 e |~s |2 e la parità π del sistema. Sono possibili solo gli stati con s = 1; gli stati con ldiverso vengono mescolati:

Ψjmπ,s=1 =∑l

clΨjml,s=1

purché |j − 1| ≤ l ≤ (j + 1)La configurazione a destra ha un potenziale tensorialedifferente rispetto alle due configurazioni a sinistra acausa della diversa orientazione relativa tra ~r12 e glispin dei due nucleoni (in tutti i casi s = 1).

È un termine che, pur essendo dominante nelle forze che legano ad esempio il deutone(è responsabile del momento di quadrupolo elettrico del deutone), gioca un ruolominore nei nuclei a molti nucleoni, in quanto si riduce a zero nei nuclei pesanti dove sideve mediare sulle posizioni di tutti i nucleoni.



l’interazione contiene forze di scambio: nella diffusione elastica neutrone-protone siosserva diffusione sia a piccoli angoli (ϑ ' 0) (cosa che ci si attende), sia a grandi angoli(ϑ ' π) (fenomeno che non è giustificato dalla cinematica). Tale fenomeno si osservaanche nel caso della diffusione protone-protone e in tal caso è giustificata dal fatto che iprotoni sono particelle identiche e quindi interscambiabili. Essendo particelle identicheanche il neutrone e il protone (dal punto di vista delle interazioni forti), il fenomenoosservato sarà dovuto a reazioni di scambio tra le due particelle.

I potenziali di scambio proposti sono di vari tipi:

Operatore di scambio di Bartlett, che scambia gli spin dei due nucleoni:

PBΨj ml s (~r12, ~s1, ~s2) = Ψ

j ml s (~r12, ~s2, ~s1) = (−1)

s+1Ψj ml s (~r12, ~s1, ~s2)

(N.B. Ricordate che dalla combinazione di due particelle di spin 1/2 si ottengono:

1) un tripletto simmetrico di stati con s = 1; 2) un singoletto antisimmetrico con s = 0.

Pertanto la simmetria degli stati può essere sintetizzata come: (−1)s+1.Operatore di scambio di Majorana, che scambia le coordinate dei due nucleoni:

PMΨj ml s (~r12, ~s1, ~s2) = Ψ

j ml s (~r21, ~s1, ~s2) = (−1)

lΨj ml s (~r12, ~s1, ~s2)

Operatore di scambio di Heisenberg, che scambia le coordinate e gli spin dei duenucleoni simultaneamente (coincide con PB · PM ):

PHΨj ml s (~r12, ~s1, ~s2) = Ψ

j ml s (~r21, ~s2, ~s1) = (−1)

l+s+1Ψj ml s (~r12, ~s1, ~s2)



da: C. Schaerf, didattica.uniroma2.it, Lezione 26/03/2012


I MODELLI NUCLEARI

Nella descrizione dei nuclei, occorre dunque affrontare sia il problema dellacomplessità del potenziale nucleone-nucleone visto prima, sia il fatto che i nuclei sonosistemai a multicorpi.Nella pratica il numero di nucleoni in un nucleo con A� 3 (A può arrivare fino a240) è troppo grande per effettuare calcoli diretti, ma è troppo piccolo per usare letecniche della meccanica statistica.A partire dalle osservazioni sperimentali è invece possibile costruire dei ”modellifenomenologici del nucleo“, trattazioni approssimate, che, partendo da un insieme diipotesi fisiche, permettono di risolvere problemi semplificati rispetto a quelli reali.I differenti modelli trattano il nucleo con descrizioni spesso in netta contraddizionetra loro e ciascun modello serve a ricavare solo alcune delle caratteristiche tra quelleelencate prima (ma non tutte).Dobbiamo infatti pensare il nucleo come un insieme di particelle indipendenti tra loroo, al contrario, come una goccia di liquido nella quale si possono instaurare moticollettivi vibrazionali e rotazionali? Dobbiamo considerare il nucleo come un insiemedi nucleoni immersi in un campo medio oppure occorre andare a esplorare più inprofondità nella struttura a quark dei nucleoni? Non c’è una risposta unica a questadomanda, in quanto il nucleo si comporta in modi diversi a seconda di quali sono lecaratteristiche del nucleo che stiamo studiando, a seconda della sonda con cui loesploriamo, a seconda delle energie di questa sonda.


I MODELLI NUCLEARI (continua)

I modelli sono pertanto validi solo nell’ambito delle ipotesi a partire dalle quali esso èstato sviluppato. La bontà di un modello è tanto maggiore quanto maggiore è ilnumero di predizioni corrette che consente di fare.I modelli si dividono essenzialmente in due categorie:

S.I.M.

Strong Interaction ModelsTutti i nucleoni interagiscono fortementetra loro all’interno del nucleo e questo dàorigine a fenomeni collettivi

I.P.M.

Independent Particle ModelsI nucleoni vengono assimilati a particellequasi libere all’interno del nucleo che simuovono indipendentemente nella buca dipotenziale efficace prodotta dagli altrinucleoni. L’interazione con gli altrinucleoni viene sostituita da un campo diforze che rappresenta la forza media ditutti gli altri nucleoni.


MODELLI A INTERAZIONE FORTE (Prosperi, Tab. 7.2, pag. 346)

Modello Ipotesi di base Applicazioni

Il nucleo è come una goccia di liquido in Calcolo energie di legameA goccia liquida cui i nucleoni hanno il ruolo delle molecole. Fissione dei nuclei pesanti

Sulla superficie della goccia si possono Livelli vibrazionaliinstaurare moti vibrazionali.

Il nucleo si comporta come un oggettoRotazionale a simmetria ellissoidale o sferoidale Livelli rotazionali di

che può ruotare sui suoi assi nuclei deformati

All’interno del nucleo si formano delle Livelli energetici deiA particelle α sub-unità stabili di α debolmente nuclei Be8, C12, O16

legate tra loro

Quando un nucleone viene assorbito daun nucleo, si amalgama con gli altri Sezioni d’urto in

A nucleo composto nucleoni e cede loro la sua energia. I modi associazione con ildi disintegrazione del nucleo composto modello otticodipendono solo dalla sua composizionee temperatura, non da come si è formato.


MODELLI A PARTICELLE INDIPENDENTI (Prosperi, Tab. 7.2, pag. 346)


Il nucleo è come un gas di fermioni Calcolo approssimato diA gas di Fermi non interagenti in una buca livelli energetici

rettangolare di potenziale. Le Termine di volume e diautofunzioni dei singoli nucleoni simmetria della formulasono onde piane semiempirica delle masse

I nucleoni si muovono in una buca Livelli energetici più bassiA shell (strati) di potenziale sferica che riproduce Esistenza dei numeri magici

la distribuzione dei nucleoni se si introduce l’interazionenel nucleo. Potenziale più semplice: spin-orbitaoscillatore armonico (+spin-orbita)

Se il nucleo ha un nucleone in più Primi livelli del nucleone otticoA strati a particella (o meno) dell’ultima shell completa, Mom. magn. dei nuclei. Es.:

singola alcune proprietà possono essere 13C 17O 209Pb 209Biattribuite al nucleone (o alla lacuna) 11C 15O 207Pb 207Tldisaccoppiato (nucleone ottico) (nocciolo+lacuna)

Se il nucleo ha due o più particelle Proprietà di nuclei comeA strati a molte fuori dall’ultimo strato pieno occorre 18O, 210Pb

particelle anche tener conto dell’interazionetra di essi.


MODELLI A PARTICELLE INDIPENDENTI (Prosperi, Tab. 7.2, pag. 346)


Simile al modello a shell. Livelli di eccitazione a particellaA nocciolo sferoidale Il nocciolo viene però deformato singola per nuclei deformati

dalla nube esterna. e A dispari

I nucleoni sono immersi in una Livelli dovuti sia all’eccitazioneUnificato buca di potenziale non sferica e di un singolo nucleone sia a moti

lentamente variabile nella forma collettivi rotazionali ein funzione del tempo. vibrazionali

A buca di potenziale I nucleoni sono immersi in una Usato in passato per calcolarebuca di potenziale reale. sezioni d’urto elastiche di

proiettili nucleari (p, n, d, α)su nucleo. Ha anticipato ilmodello che segue.

I nucleoni sono immersi in una Sezioni d’urto elastiche e diOttico buca di potenziale complessa: assorbimento di proiettili

V (r) = U(r) + iW (r) nucleari su nucleo


MODELLI NUCLEARI

Come già detto, nessun modello è completamente soddisfacente, in quanto riesce arendere conto soltanto di alcune delle proprietà elencate prima, ma non di tutte.Studiando i livelli nucleari e i numeri magici, il modello più interessante è senzadubbio il ”modello a shell“, basato sull’ipotesi che ciascun nucleone si muovaindipendentemente dagli altri, in una buca di potenziale da essi generata.Tale modello è una evoluzione del modello a gas di Fermi.Altre proprietà, tuttavia, possono essere spiegate solo in termini di moti collettivi,possibili ad esempio nel quadro del modello a goccia di liquido, nel quale la gocciapuò essere sede di vibrazioni superficiali o movimenti rotazionali.Anche nel caso delle reazioni tra proiettili nucleari e nucleo, il modello ottico descrivel’interazione come dovuta a una buca di potenziale complessa che rende conto dellesezioni d’urto elastica e di assorbimento.Se peró vogliamo trattare i particolari canali di decadimento del nucleo in stati finali,occorre allora ricorrere al modello a forte interazione a nucleo composto.


MODELLO A GOCCIA DI LIQUIDO

È stato storicamente il primo modello a essere adoperato per tentare di descrivere leproprietà nucleari (Gamow, 1929).Abbiamo infatti già visto il modello a goccia di liquido nella lezione precedentequando da esso abbiamo ricavato il termine di volume e il termine di superficie checontribuiscono alla formula semiempirica delle masse:

−b0 ·A e b1 ·A23 b1 ·A

23

Il primo rappresenta il contributo ”legante“ proporzionale al numero di nucleoni erende conto del fatto (come abbiamo visto) che le forze nucleari abbiano corto”range“ e siano quindi saturate.Il secondo rappresenta il contributo ”slegante“ all’energia di legame dovuto al fattoche i nucleoni sulla superficie del nucleo hanno un minor numero di legami rispetto ainucleoni interni.


MODELLO A GOCCIA DI LIQUIDO (continua)

Ricordiamo i punti salienti del modello:

è un modello collettivo del nucleo;

l’energia di interazione tra due nucleoni è indipendente dal tipo e numero deinucleoni;

l’interazione è attrattiva e a breve raggio d’azione Rint, come nel caso dellegocce di liquido in cui le molecole hanno interazioni dipolo-dipolo;

l’energia di legame del nucleo è approssimativamente proporzionale al numero dinucleoni.

Le conseguenze sono che:

le forze nucleari sono saturate;

come per la goccia di liquido, il nucleo è incompressibile, nel senso che la suadensità è costante e l’eventuale aumento nel numero di nucleoni comporta soloun aumento del volume del nucleo stesso;

l’energia di legame è ridotta da effetti di superficie.


MODELLO A GOCCIA DI LIQUIDO (continua)

Il modello riproduce gli andamenti dominanti dell’energia di legame B(Z,A)/A ed èstato anche usato da Bohr e da Wheeler (nel 1939) per spiegare la fissione del nucleo.Tuttavia esso presenta tuttavia dei chiari limiti nella descrizione del nucleo:

non è in grado di riprodurre i picchi che vi sono in corrispondenza di valori di Amultipli di 4: A = 4n (n = 1 4He, n = 2 8Be, n = 3 12C, n = 4 16O) cherivelano una presenza favorita di sub-strutture α all’interno del nucleo, indicedelle caratteristiche della forza nucleone-nucleone;

non è in grado di riprodurre i nuclei magici;

in un liquido, la distanza media tra due urti è più piccola della dimensione dellagoccia stessa, mentre i nucleoni hanno distanze medie comparabili con il raggiodel nucleo stesso, cioè gli urti all’interno del nucleo sono eventi rari rispetto aifenomeni di collisioni che hanno luogo nei fluidi. Questo è dovuto al fatto che inucleoni sono fermioni e non sono disponibili livelli energetici che sono tuttioccupati fino al livello di Fermi. Quindi il nucleo deve essere trattato come unliquido quantistico, non classico. È dunque più opportuno parlare di “gas diFermi”.


MODELLO A GAS DI FERMI

Abbiamo già parlato di questo modello nella lezione precedente, quando da essoabbiamo ricavato il termine di simmetria e la correzione al termine di volume.Richiamiamone i punti salienti.Si tratta del più semplice modello a particelle indipendenti, che descrive il nucleocome un gas nel quale i nucleoni si muovono come particelle quasi libere. La mobilitàdei nucleoni all’interno del gas è una conseguenza del fatto che i legami fra nucleonisono deboli, visto che la distanza media tra i nucleoni è molto maggiore del raggio delnocciolo duro del nucleone.I nucleoni, essendo fermioni, cioè particelle a spin semi-intero, devono obbedire alPrincipio di Pauli, che impedisce che due protoni o due neutroni vadano adoccupare lo stesso stato quantico.

Nei limiti imposti da tale principio, i nucleoni simuovono liberamente all’interno del volumenucleare. La buca di potenziale nella quale simuovono i nucleoni è un potenziale medio generatoda tutti gli altri nucleoni e nel modello a gas diFermi essa viene assimilata ad una bucarettangolare.


MODELLO A GAS DI FERMI (continua)

Nella lezione precedente avevamo inoltre ricavato che in un nucleo simmetrico(N = Z = A/2) l’impulso di Fermi è costante e uguale per protoni e neutroni e vale:

pF = pnF = p

pF =

3

√9π

8

~ccr0' 1.5200MeV · fm

1.2fm · c ' 250MeV/c (1)

e l’energia di Fermi (cioè l’energia dello stato occupato più elevato), è data da:

EF ' 33MeV

Il nucleone si muove quindi liberamente con impulso elevato all’interno del nucleo.Dagli esperimenti di diffusione quasi-elastica elettrone-nucleo con conseguenteespulsione di un nucleone dal nucleo, emerge che l’elettrone non interagisce con unprotone a riposo nel sistema del laboratorio (come sarebbe se il bersaglio fosse fattodi protoni liberi), bensi con un protone che si muove con impulsi casuali in direzionee verso e di modulo massimo pari all’impulso di Fermi. Gli esperimenti forniscono unvalore dell’impulso di Fermi in buon accordo con le predizioni del modello a gas diFermi.


MODELLO A SHELL

Nel caso del nucleo vi sono molte evidenze sperimentali che la situazione possa essereanaloga a quella dell’atomo (vedremo dopo la lista di tali evidenze).Dal punto di vista storico, benchè Rutherford avesse, già nel 1934, pronosticato che forse ungiorno sarebbe apparso un novello Mendeléev a discutere dell’ordine naturale dei nucleiatomici, era apparso tuttavia difficile immaginare una struttura formata da particellefortemente interagenti e che fornissero un potenziale centrale simile a quello dell’atomo. Ilmodello a goccia di liquido aveva infatti descritto in modo soddisfacente alcunecaratteristiche del nucleo e pertanto questo sembrava escludere la possibilità che il nucleoneavesse un lungo cammino libero medio all’interno del nucleo, come sarebbe richiesto da unmodello a shell.Solo più tardi si comprese che, a causa del principio di esclusione di Pauli, tale camminolibero medio era decisamente più lungo del previsto (dell’ordine del raggio del nucleo stesso)e ciò a causa del fatto che le collisioni tra nucleoni non potevano avere luogo se esse avevanocome esito livelli energetici già occupati da altri nucleoni.Nel modello a shell, i nucleoni occupano livelli energetici discreti simili a quelli occupati daglielettroni delle orbite atomiche. Essi possono quindi essere pensati come particelle che simuovono in un potenziale medio generato dagli altri nucleoni.

In analogia con gli atomi, quando una shell viene riempita completamente, il nucleo

corrispondente gode di particolari proprietà di stabilità (come succede per i “gas nobili”).


MODELLO A SHELL - Nuclei Magici

Esaminiamo adesso le evidenze sperimentali che fanno pensare che anche i nucleoniall’interno del nucleo siano organizzati in strati (o “shell”) analoghi a quelli deglielettroni atomici:

l’esistenza, anche tra i nuclei, di nuclei particolarmente stabili, checorrispondono al riempimento di una shell” da parte dei protoni o dei neutroni.I numeri di protoni o di neutroni di tali nuclei sono detti ”numeri magici“ e sono:

2 8 20 28 50 82 126

I nuclei ”doppiamente magici“ sono quelli con un numero magico sia di protonisia di neutroni e sono nuclei particolarmente stabili. Questi sono:

42He2

168 O8

4020Ca20

4820Ca28

20882 Pb126

N.B. Ricordate la notazione dei nuclei AZXN .


MODELLO A SHELL - Isotopi o Isotoni stabili

l’esistenza di un elevato numero di isotopi (stesso Z ma diverso N) o di isotoni(stesso N ma diverso Z) di nuclei magici, che sono stabili o comunque moltolongevi. Se si osserva la carta dei nuclei stabili, in cui è rappresentato Z vs. N ,si constata che il numero di isotopi o di isotoni è più elevato in corrispondenza diN o Z = numero magico o entrambi.


MODELLO A SHELL - Energie di separazione

In fisica atomica, definiamo l’energia di ionizzazione W come l’energia necessaria adestrarre un elettrone da un atomo neutro con Z elettroni. Tale energia mostra deipicchi di discontinuità intorno a Z = 2, 10, 18, 36, 54, 86 cioè per i gas cosiddetti“nobili”. Queste discontinuità sono associate al riempimento totale con elettroni deilivelli energetici previsti dal potenziale coulombiano, le cosiddette “shell” elettroniche.

(Burcham, Fig. 9.1(a), pag. 243)


MODELLO A SHELL - Energie di separazione (continua)

Gli equivalenti dell’energia di ionizzazione atomica sono le “energie di separazione” Sp e Sndefinite come le energie necessarie a separare un protone o un neutrone dal suo nucleo:

Sp = |B(Z,N)− B(Z − 1, N)| Sn = |B(Z,N)− B(Z,N − 1)|

Si osserva che nei nuclei magici tale energia di separazione è molto elevata; se ad un nucleomagico aggiungiamo invece un nucleone, che andrà quindi a posizionarsi all’esternodell’ultima shell completa, la sua energia di estrazione sarà molto piccola.La situazione è del tutto simile a quella degli atomi dei gas nobili, dotati di elettroni moltolegati, che hanno energie di ionizzazione (o eccitazione) molto elevate, e dei metalli alcalinicon un solo elettrone nello strato più esterno, con energie di ionizzazione (o eccitazione)molto piccole.

Es. 168 O8 B = 15.663 MeV (8 protoni e 8 neutroni)

178 O9 B = 4.143 MeV (un neutrone in più rispetto all’

168 O8)

179 F8 B = 0.603 MeV (un protone in più rispetto all’

168 O8)

Es. 42He2 B = 20.577 MeV (2 protoni e 2 neutroni)

52He3 B = 0.890 MeV (un neutrone in più rispetto all’

42He2)

53Li2 B = 1.965 MeV (un protone in più rispetto all’

42He2)



Energia di separazione Sn di un neutronenegli isotopi del Pb (Z = 82) in funzionedi N . I punti neri rappresentano i datisperimentali, mentre i cerchiettirappresentano le predizioni della formuladi Weiszäcker. È evidente in figura ladiscontinuità di Sn in corrispondenza diN = 126, che non è prevista dalla formulasemiempirica.(Basdevant, Fig. 2.7, pag. 82)

Energia di separazione Sn di un neutronenegli isotopi del Ce (Z = 82) in funzionedi N . Come prima, in corrispondenza diN = 82, si constata una bruscadiminuzione dell’ulteriore neutrone legato.(Heyde, Fig. 7.11, pag. 219)



(a) Differenze tra le energie di separazionedel neutrone osservate e calcolate infunzione del numero di neutroni N . Sinotino i picchi in corrispondenza diN = 50, 82, 126.

(b) Variazioni nella energia di separazionenegli isotopi dello 54Xe intorno al valore7− 8MeV previsto dalla formulasemiempirica, in funzione del numero dineutroni N . Si noti la brusca decrescita incorrispondenza dell’83◦ neutrone.(Basdevant, Fig. 2.7, pag. 82)


MODELLO A SHELL - Energia del primo livello eccitato

Cosi come è particolarmente elevata per i nuclei magici l’energia di separazione

dell’ultimo neutrone, allo stesso modo per questi nuclei è elevata la differenza di energia

tra il “ground state” (stato fondamentale) e l’energia di eccitazione del primo stato

eccitato, in particolare nel caso di nuclei con N pari e/o Z pari. Vediamo degli esempi.

- In tabella tale differenza è illustrata per gli isotopi pari-pari di 80Hg, 82Pb e 84Po. La

maggior differenza è osservata per il nucleo doppiamente magico 20884 Po126.

(Basdevant Tab. 2.1, pag. 85)

- Energia media di eccitazione delprimo livello eccitato nei nucleipari-pari in funzione di N . Sinotino i picchi in corrispondenza

di N= numero magico.

(Heyde, Fig. 9.4, pag. 238)


MODELLO A SHELL - Energia del primo livello eccitato (continua)

- Vista 3-D dell’energia di eccitazione del

primo livello eccitato nei nuclei pari-pari nella

regione A = 208 in funzione di N e Z. Si noti

il picco in corrispondenza di N = 126 e

Z = 82, cioè in corrispondenza del nucleo20882 Pb126.

(Williams, Fig. 8.2(a), pag. 133)

- Vista 3-D dell’energia di eccitazione delprimo livello eccitato nei nuclei pari-pari nellaregione con N,Z = 20÷ 28 in funzione di N eZ. Si notino i picchi in corrispondenza diN = 20, 28 e Z = 20, 28, cioè incorrispondenza dei nuclei:

Z = 20−N = 20, 4020Ca20Z = 20−N = 28, 4820Ca28Z = 28−N = 28, 5628Ni28

(Williams, Fig. 8.2(b), pag. 133)


MODELLO A SHELL - Energia del primo livello eccitato (continua)

- Energia del primo livello eccitato in

nuclei pari-pari raffigurata sulla

carta dei nuclei stabili Z vs. N . I

nuclei con energie di eccitazione

superiori a 5. MeV sono indicati con

quadretti molto scuri. La dimensione

del quadretto a decrescere fornisce le

energie di eccitazione al di sotto dei

5 MeV .

(Povh, Fig. 17.5, pag. 252)


MODELLO A SHELL - Energie di legame e Masse

Discontinuità si osservano anche nell’andamento delle energie di legame incorrispondenza dei nuclei magici.

(Basdevant, Fig. 2.9, pag. 84)



da Williams, Fig. 4.6 Pag.61

La formula semiempirica delle masse fornisce una predizione smooth per i valori delle energie di

legame per nucleone dei nuclei stabili (smooth se trascuriamo il termine di accoppiamento

consideriamo che Z e N sono valori interi) Nella figura sono evidenti alcune discrepanze di B/A

dal valore predetto in corrispondenza in particolare di Z = 82 e N = 126 (nucleo dopp. magico).



Differenza ∆M tra la massa del nucleo e la massa predetta dalla formulasemiempirica in funzione del numero di neutroni N . È illustrato qui solo l’andamentogenerale. In figura si notano le valli in corrispondenza dei “numeri magici” (28, 50,82, 126). (Burcham, Fig. 9.1(b), pag. 244)


MODELLO A SHELL - Sezioni d’urto di assorbimento

La sezione d’urto d’assorbimento di un neutrone da parte di un nucleo presentadei minimi in corrispondenza dei nuclei magici, in quanto per il nucleo magiconon è energeticamente favorevole assorbire un neutrone in più.Nelle figure sono illustrate le sezioni d’urto in funzione del numero atomico Z (asinistra) e del numero di massa atomica A (a destra). Sono evidenti le ”valli“ incorrispondenza dei numeri magici.

A sx: da Giampaolo Co’, http://www.dmf.unisalento.it/ gpco/welcome new.html,

Cap. Modelli a Particelle Indipendenti per neutroni di 30 keV

A dx: da http://astrofisica.altervista.org/doku.php?id=c11:neutronizzazione lenta -

Sez. d’urto in mb (millibarn) per neutroni di 25 keV


MODELLO A SHELL - Sezioni d’urto di assorbimento (continua)

Sezioni d’urto di cattura neutronica perneutroni termici (cioè di energia minoredi 0.1 eV ) raffigurate sulla carta deinuclei stabili Z vs. N . Come si vede, inparticolare in corrispondenza di nucleidoppiamente magici, le sezioni d’urtosono nella scala del verde o del giallo.N.B. La cattura radiativa rappresenta ilprocesson+AZ XN →

AZ X

∗N+1

Successivamente:AZX∗N+1 →

A+1Z Y + γ

A+1Z Y →

A+1Z+1 YN + β

− + ν̄e)

(Wikipedia, alla voce ”CatturaNeutronica“)


MODELLO A SHELL - Spin e momenti

I nuclei magici hanno spin totale nullo, momento di dipolo magnetico e momentodi quadrupolo elettrico nulli, in quanto gli spin dei nucleoni si accoppiano traloro a due a due dando spin totale nullo.

I sette punti illustrati sono una forte evidenza dell’analogia tra la struttura del nucleoe quella atomica. I nucleoni si trovano su livelli discreti di energia. La shell ècostituita da nucleoni su livelli energetici tra loro molto vicini. Il riempimento di unashell dà origine a un nucleo:

che è particolarmente stabile (ha molti isotopi e/o isotoni);

al quale è più difficile ”strappare“ un nucleone (energie di separazione elevate);

il cui primo livello di eccitazione è più elevato rispetto agli altri nuclei;

che ha energia di legame e massa diverse da quelle attese dalla formulasemiempirica di Weiszäcker (discontinuità nelle energie di legame e nelle masse);

che più difficilmente assorbe un neutrone proiettile (valli nelle sezioni d’urto dicattura neutronica);

che ha JP = 0+ e momenti nulli.


MODELLO A SHELL (continua)

L’analogia con gli elettroni atomici presenta anche alcune difficoltà concettuali da superare.Nel caso dell’atomo:

1 la forza che lega gli elettroni al nucleo è nota ed è quella coulombiana;

2 il potenziale è centrale e proviene da un unico centro ben definito (la carica concentratanel nucleo).

Nel caso del nucleo invece:

1 il potenziale nucleare non è noto;

2 se assumiamo un’interazione centrale, i centri diffusori sono tutti i nucleoni dentro ilnucleo;

3 il cammino libero medio del nucleone all’interno del nucleo sembrerebbe essere moltopiù corto delle dimensioni del nucleo e quindi non dovrebbe essere possibile parlare diparticelle indipendenti all’interno del nucleo.

Quest’ultima difficoltà, come già accennato, può essere superata osservando che,essendo nel nucleo tutti i livelli energetici occupati, l’interazione nucleone-nucleone sirisolve in una semplice interazione di scambio, in cui i nucleoni interagenti non possonoandare ad occupare altri livelli energetici già occupati da altri nucleoni per il principiodi esclusione di Pauli.



Ecco dunque i passi che seguiremo per costruire un modello:

scegliamo una buca di potenziale con forma semplice;

risolviamo l’equazione di Schrödinger e troviamo le soluzioni di particella singola;

riempiamo i livelli con i protoni e i neutroni nel rispetto del principio diesclusione di Pauli;

verifichiamo se il riempimento totale delle shell avviene in corrispondenza deinumeri magici osservati sperimentalmente. Se cos̀ı non è torniamo al primopunto.


MODELLO A SHELL - MODELLI A PARTICELLE INDIPENDENTI

Nei modelli a particelle indipendenti, il problema dei multicorpi viene notevolmentesemplificato. Si risolve infatti un’equazione del moto per singola particella descrivendolacome immersa in un campo medio. Supponendo solo interazioni a due corpi, l’hamiltonianatotale di un sistema di N nucleoni può quindi essere cosi espressa:

H =A∑i

Ti +1

2

A∑i 6=k

Vik(~ri, ~rk)

dove:

Ti = energia cinetica dell’i-mo nucleone;

Vik = potenziale di interazione tra l’i-mo e il k-mo nucleone.

Se supponiamo che l’interazione tra i nucleoni possa essere sostituita da un potenziale mediogenerato da tutti i nucleoni più una parte piccola di interazione residua nucleone-nucleone,possiamo riscrivere cos̀ı l’hamiltoniana del sistema:

H =A∑i

Ti +A∑i

V0(~ri)︸︷︷︸Pot. medio

) +

12

A∑i6=k

Vik(~ri, ~rk)−A∑i

V0(~ri)

︸︷︷︸

Inter. residua

= H0 + Vres


MODELLO A SHELL - MODELLI A PARTICELLE INDIP. (continua)

Riassumendo l’hamiltoniana totale H:

H = H0 + Vres (2)

sarà data dalla somma di:

una hamiltoniana H0, che è somma di hamiltoniane di particella singola:

H0 =A∑i

Hi =

A∑i

[Ti + V0(~ri)] (3)

un termine che rappresenta l’interazione residua che non è stato possibileinglobare nel potenziale medio:

Vres =

12

A∑i 6=k

Vik(~ri, ~rk)−A∑i

V0(~ri)

(4)Il modello a campo medio risolve l’equazione di Schrödinger SOLO perl’hamiltoniana H0 che è una somma di hamiltoniane di singola particella (3) e leequazioni agli autovalori delle hamiltoniane Hi forniscono una base ortonormale difunzioni d’onda di singola particella:

Hiψi = Eiψi



L’autofunzione totale del sistema sarà data da:

ΨTOT =

A∏i=1

ψi(~ri) = ψ1(~r1)ψ2(~r2) . . . ψA(~rA)

che deve essere opportunamente resa antisimmetrica per scambio di due nucleoniidentici per soddisfare il principio di Pauli.Il potenziale medio scelto sarà accettabile se esso prevede una distribuzione didensità all’interno del nucleo compatibile con quella effettiva. Questo è quello che sichiama un metodo di Hartree autoconsistente.



Se il potenziale medio ha una dipendenza dalla quantità di moto dei nucleoni, questadipendenza può essere solo dalle sue potenze pari per la conservazione della parità:

V0(~ri) = V00(~ri) + αp2i + . . .

Se ci limitiamo a uno sviluppo al second’ordine, otteniamo un termine che può essereinglobato nell’analogo termine quadratico in p contenuto nell’energia cinetica,fornendoci una massa efficace m∗ della particella:

Hi = Ti + V0(~ri) =p2i2m

+ V00(~ri) + αp2i = p

2i

(1

2m+ α

)+ V00(~ri) =

p2im∗

+ V00(~ri)

dove:

1

2m+ α =

1 + 2 ·m · α2 ·m =

12m

1+2m·α=

1

2 m1+2m·α

=1

2m∗

m∗ =m

1 + 2m · α



Considereremo ora solo i nuclei sferici, per i quali il potenziale medio agente sui singolinucleoni ha simmetria sferica:

V0(~r ) = V0(r)

Si considerano forme di potenziale realistiche. Le buche di potenziale che si considerano sonodiverse per neutroni e per protoni e tengono conto della repulsione coulombiana tra protoni.Gli esempi più naturali sono (N.B. L’equazione di Schrödinger può essere risolta analiticamentesolo per il potenziale a buca rettangolare o per quello a oscillatore armonico):

1 un potenziale di tipo coulombiano: questo non puòessere adottato perchè descrive un’interazione alungo range;

2 il potenziale a buca sferica:

V (r) =

{−V0 per r ≤ Rnucl

0 per r > Rnucl

3 il potenziale di tipo oscillatore armonico:

V (r) = −V0 +1

2kr2

4 il potenziale di Wood e Saxon:

V (r) =−V0

1 + exp(r−ab

)Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 9 43 / 51

MODELLO A SHELL - POTENZIALE DI WOOD-SAXON

In particolare nel potenziale di Wood e Saxon:

V (r) =−V0

1 + exp(r−ab

)possiamo interpretare:

a come il raggio del nucleo;

b come lo spessore della corteccia.

A partire dai dati sperimentali si trova che una buona approssimazione per a e b è laseguente:

a = R′ + (1.1± 0.2) fm con R′ ' 1.1 ·A1/3 fm

b = (1.2± 0.1) · σ fm con σ ' 0.55 fmLo spessore t(0.1−0.9) rappresenta la distanza che impiega la densità superficiale delnucleo a passare dal 90% al 10% del suo valore al centro del nucleo. Dai datisperimentali si trova:

t(0.1−0.9) ' 4.4σ ' 2.42 fm


MODELLO A SHELL - POTENZIALE WOOD-SAXON (continua)

Si possono riprodurre in modo soddisfacente i valori sperimentali delle energie dei singolinucleoni con la seguente approssimazione per il potenziale:

V0 = 53.3MeV − 0.55 · E ± 27(N − Z)

A− VCoul

dove:

1 il termine (−0.55 · E) introduce la dipendenza dall’energia dei nucleoni, cioè si ha unadiversa profondità della buca a seconda dello stato occupato: i nucleoni con maggioreenergia sono i meno legati;

2 il terzo termine rappresenta un contributo dovuto al principio di esclusione di Pauli,associato all’energia di simmetria. Il segno ”+“ vale per i protoni, il segno ”−“ per ineutroni, perchè, se nel nucleo vi è un eccesso di neutroni (N > Z), allora i protonisaranno più legati e viceversa.

A causa del principio di esclusione di Pauli, infatti, gli stati accessibili per una coppian− p sono di più che per una coppia p− p o n− n. Come conseguenza, la forza effettivatra un neutrone e un protone è più forte che per le altre coppie, come è dimostratodall’esistenza del sistema legato n− p (il deutone) e dalla non-esistenza dei sistemilegati n− n o p− p.

3 l’ultimo termine è quello della repulsione coulombiana e contribuisce solo per i protoni.Una buona approssimazione è:

VCoul = 0.42Z

A1/3


BUCA DI POTENZIALE CENTRALE

Impostiamo la risoluzione dell’equazione di Schrödinger per un generico potenziale asimmetria centrale: (

− ~2

2m∇2 + V (r)

)ψ(~r ) = Eψ(~r ) (5)

Essendo il problema di tipo centrale, conviene esprimere gli operatori nellecoordinate sferiche r, ϑ e ϕ. Ricordiamo che in tali coordinate l’operatore laplacianoè cosi esprimibile:

− ~2

2m∇2 = p

2

2m=

1

2m

(p2r +

L2

r2

)(6)

dove:p2r = −~2 1r2

∂∂rr2 ∂∂r

L2 = −~2(

1sinϑ

∂∂ϑ

sinϑ ∂∂ϑ

+ 1sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2

) (7)


BUCA DI POTENZIALE CENTRALE (continua)

Sostituendo la (6) nella (5), in presenza di un generico potenziale a simmetria sferica,l’equazione di Schrödinger diventa:[(

p2r +L2

r2+ 2mV (r)

)]ψ(r, ϑ, ϕ) = 2m · Eψ(r, ϑ, ϕ) (8)

e può essere opportunamente riscritta nella forma:

r2[p2r + 2m (V (r)− E)

]ψ(r, ϑ, ϕ) = −L2ψ(r, ϑ, ϕ) (9)

Le soluzioni possono quindi essere fattorizzate nel prodotto di una funzione dipendente da re una funzione dipendente solo dagli angoli ϑ e ϕ:

ψ(r, ϑ, ϕ) = φ(r)Y (ϑ, ϕ)

L’equazione (9) può quindi essere cos̀ı separata (facendo filtrare a sinistra degli operatori lefunzioni su cui gli operatori non agiscono):

Y (ϑ, ϕ) · r2[p2r + 2m(V (r)− E)

]φ(r) = −φ(r)L2Y (ϑ, ϕ) (10)

Dividiamo ambo i membri della (10) per il prodotto φ(r)Y (ϑ, ϕ):

1

φ(r)r2[p2r + 2m(V (r)− E)

]φ(r) = −

1

Y (ϑ, ϕ)L2Y (ϑ, ϕ) (11)



I due membri della (11) dipendono da variabili diverse, pertanto possono essereuguali tra loro solo se separatamente sono uguali a una costante:

r2[p2r + 2m(V (r)− E)

]φ(r) = −λφ(r) (12)

L2Y (ϑ, ϕ) = λY (ϑ, ϕ) (13)

e riscrivendo per comodità la costante λ come:

λ = ~2l(l + 1)

la (13) diventa l’equazione agli autovalori del quadrato del momento angolare, che hacome autofunzioni le armoniche sferiche Y ml (ϑ, ϕ):

L2Y ml (ϑ, ϕ) = ~2l(l + 1)Y ml (ϑ, ϕ) l = 0, 1, 2, . . . |m| ≤ l (14)



Sostituendo nella (12) la forma esplicita di p2r dalla prima delle (7):

p2r = −~2(

2

r

∂

∂r+

∂2

∂r2

)(15)

otteniamo la cosiddetta EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER RADIALE:[(2

r

∂

∂r+

∂2

∂r2

)− 2m

~2(V (r)− E)

]φ(r) =

l(l + 1)

r2φ(r) (16)

φ′′(r) +2

rφ′(r) +

[2m

~2(E − V (r))− l(l + 1)

r2

]φ(r) = 0 (17)

La funzione φ(r) deve godere delle seguenti proprietà :

per r = 0 φ(r) deve essere finitaper r →∞ φ(r)→ 0

Essa sarà caratterizzata da due numeri quantici, n e l: φ(r) = φnl(r):

n = numero quantico radiale = 1, 2, . . . ,∞l = numero quantico orbitale = 0, 1, 2, . . . ,∞



L’equazione radiale (17) nella funzione φ(r) si risolve ponendo:

χ = rφ→ φ = χr

φ′ = − χr2

+ χ′

r

φ′′ = 2χr3− χ

′

r2− χ

′

r2+ χ

′′

r= 2χ

r3− 2χ

′

r2+ χ

′′

r

Con queste sostituzioni, la (17) si semplifica:

2χ

r3− 2χ

′

r2+χ′′

r︸︷︷︸φ′′

+2

r

(− χr2

+χ′

r

)︸︷︷︸

φ′

+

[2m

~2(E − V (r))− l(l + 1)

r2

]χ

r︸︷︷︸φ

= 0

��2χr3−��2χ′

r2+χ′′

r−��2χr3

+��2χ′

r2+

[2m

~2(E − V (r))− l(l + 1)

r2

]χ

r= 0

χ′′ +

[2m

~2E − 2m

~2

(V (r) +

~2

2m

l(l + 1)

r2

)]χ = 0 (18)



L’equazione (18) è formalmente identica all’equazione di Schrödingerunidimensionale:

i~∂ψ∂t︸︷︷︸

Eψ

=

(− ~

2

2m∇2 + V (r)

)ψ ⇒ ψ′′ + 2m

~2(E − V (r))ψ = 0

dove al posto del potenziale si sostituisca il cosiddetto “potenziale efficace”:

V → Veff = V (r) +~2

2m

l(l + 1)

r2

nel quale, al potenziale V (r) si aggiunge un termine centrifugo. Il segno positivo tra idue indica che il termine centrifugo è repulsivo, cioè respinge il nucleone che hamomento angolare l 6= 0 dall’origine, in quanto:

per r → 0 Term. Centrifugo →∞ ⇒ χ→ 0

Per procedere oltre nella soluzione dell’equazione (18), occorre conoscere la formaanalitica del potenziale. La soluzione dell’equazione produce il numero quanticoradiale.


prof.ssa r. sparvoli-dr.ssa r. di salvo lezione...

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