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Programa de Matemática

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GUÍA N°1 DE CÁLCULO I

Funciones y sus Gráficas

I Funciones

En esta guía trabajaremos con funciones polinómicas tanto en su forma algebraica como

gráfica. Tendrás que graficar funciones lineales y cuadráticas identificando dominio

Contextualizado, intervalos de crecimiento y decrecimiento, valores máximos y mínimos.

Dominio Contextualizado:

Cuando se habla de dominio contextualizado se hace referencia al dominio real de la función

restringido al contexto del problema.

1. La función 𝑓(𝑥) nos muestra el % de las utilidades de una empresa durante los

primeros 11 años de su creación, 𝑓(𝑥) = 1500

𝑥5 − 23400

𝑥4 + 0,58𝑥3 − 2,36𝑥2 + 3,2𝑥,

donde 𝑥 es el tiempo transcurrido en años desde la creación de la empresa.

a) Escriba el Dominio Contextualizado de la función

b) Marque (destaque) en el gráfico, la porción de la curva que modela el

problema.

c) Identifique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las utilidades.

d) Durante todos los años de análisis ¿dónde se observa el mayor y el menor %

de utilidad? Indique el valor de esa utilidad.


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2. La función 𝑇(𝑥) indica las temperaturas mínimas en °C registradas en una región

de chile a partir del año 1998 hasta inicios del 2003, donde x corresponde a los

años transcurridos desde el año 2000.


b) Marque en el gráfico, la porción de la curva que modela el problema.

c) Escriba en la gráfica la coordenada inicial y la final1

d) ¿Cuándo la temperatura fue de 0ºC?

3. A inicios del año 1985 se funda un club deportivo. Se sabe que después de x años

transcurridos desde la fundación del club hasta inicios 2013, el total de

integrantes nuevos se puede estimar mediante la función:

𝑃(𝑥) = 𝑥3

12− 4𝑥2 + 48𝑥 + 0,05 (𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑑𝑀 𝑆𝑆𝑆𝑀𝑆𝑀).


b) Marque en el gráfico, la porción de la curva que modela el problema.

c) Escriba en la gráfica la coordenada final e inicial. Interprete los valores de las

coordenadas.

d) Identifique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la cantidad de

integrantes nuevos en el club deportivo

e) ¿En qué año el club tiene la mayor cantidad de socios nuevos? Indique la

cantidad de socios. 1 Corresponden a las coordenadas de los puntos del gráfico de la función, que marcan el inicio y el fin de la porción de la curva determinada por el Dominio Contextualizado.


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II Funcione Lineal

Forma Algebraica

𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥, donde 𝑎 y 𝑏 son constantes

𝑎: Corresponde a la intersección con el eje Y

𝑏: Pendiente de la Recta.

Forma Gráfica

La gráfica de una función lineal es una Recta, cuya inclinación dependerá del valor de la

pendiente

Pendiente Positiva 𝐛 > 0

Pendiente Negativa 𝒃 < 0

4. La altura promedio 𝐻 en centímetros, de un bebé durante su primer año de vida

se puede estimar mediante la función 𝐻(𝑎) = 73𝑎 + 48, donde 𝑎 son los meses del

bebé.


b) Esboce la gráfica de la función2

c) En la gráfica, marque la porción de recta que modela el problema

d) Determine coordenada inicial y final, interpretando dichos resultados

e) Interprete la Pendiente de la función

2 Recuerde que al graficar siempre debe colocar nombre a los ejes coordenados, indicando unidad de medida.


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5. Se analizaron las ventas de una empresa y se determinó que la función

𝑉(𝑡) = 18 + 2𝑡 es el mejor modelo matemático que estima los ingresos en miles

de dólares por las ventas de la empresa, donde 𝑡 representa el tiempo transcurrido

medido en años a partir del año 2000.


b) Esboce la gráfica de la función

c) En la gráfica, marque la porción de recta que modela el problema

d) Determine e interprete la coordenada inicial

e) Interprete la Pendiente de la función

6. Una empresa que fabrica cintas de audio, estima que el costo C (en miles de

pesos) cuando se producen a lo más 100 cintas, es una función de la forma

𝐶(𝑥) = −23𝑥 + 100, donde 𝑥 es cantidad de cintas.

a) Esboce la gráfica de la función

b) Interprete la Pendiente de la función

c) Determine e Interprete 𝐶(0)

d) ¿Cuántas cintas se deben producir para minimizar el costo? Indique el valor de

ese costo.

7. Una empresa presenta durante varios años disminución en sus utilidades. La

función que estima las utilidades de esa empresa está dada por 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 18,

en millones de pesos, donde 𝑥 son los años transcurridos desde el 2012.

a) Esboce la gráfica de la función

b) Interprete la Pendiente de la función

c) ¿Dónde se observa la mayor utilidad?

d) ¿Después de qué año se estima que la empresa tenga pérdidas?


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III Función Cuadrática

Forma Algebraica

cbxaxxf ++= 2)( , donde cba ,, son constantes y 0≠a

Forma Gráfica

La gráfica de la función cuadrática es una parábola y su concavidad dependerá del valor 𝑎

Vértice

Concavidad

Intersección Ejes

Eje x a

acbbx2

42 −±−=

Eje y ),0( c

−−

=abf

abV

2,

2


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8. Cada 7 años se renueva la directiva del club campestre “Cartagua’s Club”. Durante

la segunda administración las utilidades por el arriendo de las cabañas se ajustan

a la función 𝑅(𝑥) = 𝑥2 − 100𝑥 + 2100, donde 𝑥 corresponde a los meses

transcurridos desde que inicia la segunda directiva.

a) Escriba el dominio Contextualizado.

b) En la gráfica, marque la porción de la parábola que modela el problema y

escriba coordenada inicial y final.

c) Determine e Interprete el vértice de la función.

d) Determine e interprete la Intersección con los Ejes.

e) Determine e interprete el intervalo de decrecimiento de la función.


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9. La temperatura de un día, en grados Celsius, se puede modelar con la función

𝐶(𝑡) = −16𝑡2 + 4𝑡 − 22

3 , donde 𝑡 representa las horas trascurridas del día.

a) Escriba el dominio Contextualizado

b) Indique en la gráfica:

I. l punto correspondiente al Vértice con sus coordenadas

II. Los puntos correspondientes a la Intersección con los ejes con sus

coordenadas.

III. Marca la porción de la curva que modela el problema

IV. Las coordenadas de los puntos inicial y final

c) Interprete el vértice de la función y la intersección con los ejes

f) Determine e interprete el intervalo de crecimiento la función.

10. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido por 7 minutos.

Resultó que de temperatura (en grados Celsius) estaba dada por la función

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8, donde 𝑥 representa el tiempo en minutos.

a) Esboce la gráfica de la función considerando siguientes aspectos: Nombre a los

Ejes Coordenados, Vértice, Intersección con los ejes.

b) Escriba el dominio contextualizado y marque la porción de la curva que

modela el problema

c) ¿Cuál fue la temperatura del líquido al iniciar y finalizar el experimento?

d) ¿En qué minuto la temperatura fue de 0ºC?

e) ¿Cuál fue la mínima temperatura del líquido? Indique en qué momento se

produjo.

f) ¿Durante qué tramo de tiempo la temperatura del líquido disminuye?


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11. Supongamos que el rendimiento (medido en %) de un alumno que realiza un

examen de certificación de JAVA, cuya duración es de 2,5 horas viene dado por la

función 𝑓(𝑥) = 120𝑥 − 40𝑥2, donde 𝑥 es el tiempo en horas.



b) ¿Cuándo se observa el mayor rendimiento? Indique valor

c) ¿Durante qué periodo el rendimiento del alumno disminuye?

d) Determine las coordenadas inicial y final, interpretando dichos resultados

12. Grafique las siguientes funciones cuadráticas considerando el Vértice, Intersección

con los ejes.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 12𝑥 + 32 𝑏) 𝑓(𝑥) = −13𝑥2 + 91𝑥 𝑆) 𝑓(𝑥) = 100𝑥2 − 500𝑥 + 300

SIGUE PRACTICANDO:

13. La función 𝐼(𝑡) determina la utilidad de una empresa desde el inicio del 2do año

(después del 1er año de funcionamiento) y hasta el 6to año de funcionamiento.

𝐼(𝑡) =15𝑡5 −

134𝑡4 +

593𝑡3 −

1072

𝑡2 + 60𝑡

Donde 𝑡 es el tiempo en años, transcurrido desde la creación de la empresa.

a) Escribe Dominio Contextualizado de la función

b) Identifique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las utilidades

c) Donde se observa la menor utilidad (indique el valor).

d) Determine coordenada inicial y final, interpretando dichos resultados


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14. Una estimación de la temperatura diaria promedio (en grados Celsius) de un

pueblo de América del Norte durante el año 2000, desde febrero y hasta

mediados de diciembre, se obtiene a través de la función:

𝑓(𝑥) = 160𝑥6 − 3

5𝑥5 + 8,15𝑥4 − 51,6𝑥3 + 151,65𝑥2 − 178,1𝑥 + 65,

con 𝑥 correspondiente al tiempo transcurrido (en meses) desde el inicio de ese año.


b) Marque (destaque) en el gráfico, la porción de la curva que modela el

problema.

c) Identifique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las temperaturas

dentro del dominio contextualizado.

d) ¿En qué momento del año se observa la mayor y la menor temperatura?

Indique el valor de esa temperatura.

15. Un estudio medioambiental de cierta comunidad sugiere que el nivel promedio de

monóxido de carbono en el aire será de 10005,0)( += ppM partículas por millón,

donde p es el número de habitantes de la comunidad.

a) Esboce la gráfica de la función (se recomienda utilizar dos valores de 𝑥 , el

cero y un múltiplo de 1000)

b) Escriba dominio Contextualizado

c) Determine e interprete la coordenada inicial

d) Interprete pendiente


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16. La cantidad de trabajadores durante los 20 años de funcionamiento de una

empresa está dada por la función 𝑇(𝑥) = −𝑥2 + 22𝑥 + 104, donde 𝑥 son los años

trascurridos desde que se creó la empresa.



b) Escriba dominio contextualizado. Marque la porción de la curva que modela el

problema

c) Determine e interprete las coordenadas inicial y final

d) Interprete vértice

e) ¿Durante qué periodo la cantidad de trabajadores disminuye?


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SOLUCIONES GUÍA N°1

Funciones y sus Gráficas

N°1 a) [ ]11,0=fDom

b)

c) Intervalos de crecimiento ]0,1[, ]4,8[, ]10,11[

Intervalos de decrecimiento]1,4[, ]8,10[

d) Al transcurrir 4 años (al finalizar el 4to año) se observa la menor utilidad

correspondiente a un pérdida de un 0,51%.

Transcurridos 11 años se registra el mayor % de utilidad correspondiente a

1,86%.

N°2 a) [ ]3,2−=fDom

b)

c)

d) A inicios del 1998, 2000 y 2003 se registró 0°c de temperatura.


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N°3 a) [ ]28,0=fDom

b)

c) El club inicia con 50 integrantes y la cantidad de nuevos socios que se

inscriben después de 28 años es de 37.380 personas.

d) Intervalos de crecimiento ]0,8[, ]24,28[

Intervalos de decrecimiento ]8,24[

e) x=8 , P(8)=170,716666

A inicios de 1993 se integra la mayor cantidad de personas, 170.717

socios aproximadamente

N°4 a) [ ]12,0=fDom

b)


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c)

d) Coordenada Inicial (0,48)

Coordenada Final (12,76)

Se estima que un bebe mida 48 cm al nacer (0 años) y al año 76 cm.

d) Pendiente 𝟕𝟑≈ 𝟐,𝟑

Posibles Interpretaciones:

- Un bebe crecerá 2,3 cm por mes aproximadamente

- Un bebe crecerá mensualmente 2,3 cm aproximadamente

N°5 a) [ [∞= ,0fDom

b)


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c)

d) Coordenada inicial (0,18)

Los ingresos iniciando el año 2000 fueron de 18.000 dólares

e) Pendiente 2, al estar en miles se debe multiplicar para la interpretación

(2 ∙ 1000 = 2.000)


- Los ingresos de la empresa aumentan 2.000 dólares por año

- Los ingresos de la empresa por año aumentaran 2.000 dólares

N°6 a)


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b) Pendiente −23≈ −0,666666 , al estar en miles se debe multiplicar para la

interpretación (−0,666666 ∙ 1000 ≈ −667)


- Los costos de la empresa disminuye en 667 Pesos por cinta

aproximadamente.

- los costos de la empresa disminuye por cinta en 667 Pesos

aproximadamente.

c) 𝐶(0) = 100 , al estar en miles se debe multiplicar para la interpretación

100 ∙ 1000 = 10.000)


- Si la empresa no fabrica cintas su costo será de $100.000

- Los costos fijos de la empresa corresponden a $100.000

d) 𝐶(100) ≈ 33,33333 , al estar en miles se debe multiplicar para la

interpretación (33,33333 ∙ 1000 = 33.333)

Para minimizar el costo se deben producir 100 cintas a un costo de

$33.333

N°7 a)


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b) Pendiente -3, , al estar en millones se debe multiplicar para la

interpretación (−3 ∙ 1.000.000 = −3.000.000)


- Se estima que las utilidades de la empresa disminuye en 3

Millones de pesos por año aproximadamente

- Se estima que las utilidades de la empresa disminuirán por año

en $3.000.000

-

c) 𝐶(0) = 18 , al estar en millones se debe multiplicar para la interpretación

(18 ∙ 1.000.000 = 18.000.000)

A inicios del año 2012 (trascurrido cero años) la empresa registra la

mayor utilidad correspondiente a $18.000.000

d) Después de iniciado el año 2018 (trascurridos 6 años) se estima que la

empresa comience a tener pérdidas.

N°8 a) [ ]84,0=fDom

b)

c) 𝑽(𝟓𝟓,−𝟒𝟓𝟓):

Al finalizar el mes 50 se observa la utilidad mínima de -400 euros (o bien

la mayor pérdida de 400 euros)


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d) Intersección Eje Y (0, 2100) :

La directiva comienza con 2100 euros de utilidad

Intersección Eje X (30, 0) y (70,0) :

No se perciben utilidades al finalizar el mes 30 y 70.

e) Intervalo de decrecimiento ]𝟓,𝟓𝟓[:

Las utilidades fueron disminuyendo durante los primeros 50 meses de la

nueva administración

N°9 a) [ ]24,0=fDom

b)

c) Vértice 𝑽(𝟏𝟐, 𝟏𝟏.𝟏𝟕)

A las 12 horas (mediodía) se observa la mayor temperatura del día

sábado con 16,7°C aproximadamente

Intersección Eje Y (0, -7,3)

El día sábado comienza con -7, 3°C de temperatura

Intersección Eje X (2, 0) y (22,0)

A la 2 y 22 horas la temperatura fue de 0°C

d) Intervalo de crecimiento ]0,12[ :

Durante las primeras 12 horas del día sábado la temperatura está en

aumento.


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N°10 a)

b)

[ ]7,0=fDom

c) La temperatura inicial del experimento fue de 8ºC y al finalizar de 15ºC

d) A los 2 y 4 minutos la temperatura fue de 0ºC

e) Vértice 𝑉(3,−1):

La menor temperatura -1°C se observa al tercer minuto

f) Intervalo de decrecimiento ]0,3[ : Durante los primeros 3 minutos la

temperatura del líquido está disminuyendo


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N°11 a)

b) El mayor rendimiento se observa a 1 ½ hora de iniciado el examen,

correspondiente al 90%.

c) intervalo decrecimiento ]1.5 , 2.5[

El rendimiento del alumno disminuye después de los 90 minutos, hasta

completar los 2,5 horas

d) 𝑓(0) = 0, coordenada inicial (0,0)

Al comenzar el examen el rendimiento del alumno es de un 0%

𝑓(2,5) = 50, coordenada final (2.5 , 50)

Al finalizar el examen el rendimiento del alumnos es de un 50%

N°12 a)


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b)

c)

N°13 a) [ ]6,1=fDom

b) Intervalos de crecimiento ]3,4[, ]5,6[

Intervalos de decrecimiento ]1,3[, ]4,5[

c) la menor se registró al finalizar el 5to año ($14.580.000)

d) 𝑓(1) ≈ 23,116666667: Al iniciar el segundo años (finalizar el primer año) la

utilidad corresponde a $23.116.667

𝑓(6) = 25,2 Al finalizar el sexto año se observa la mayor utilidad

correspondiente a $25.200.00


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N°14 a) [ ]5.11,1=fDom

b)

c) Intervalos de crecimiento, ]1,3[, ]6,9[, ]11,11.5[

Intervalos de decrecimiento ]3,6[, ]9,1[

d) Al finalizar septiembre (inicios octubre) se registra la mayor

temperatura correspondiente a 29,45°C, y al finalizar junio (inicios de

julio) la menor -15,4°C.

N°15 a)

b) [ [∞= ,0fDom

c) Coordenada inicial (0,1)

En una ciudad deshabitada (cero habitantes) el nivel promedio de

monóxido de carbono en el aire se estima en 1 ppm


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d) Pendiente 0,0005

Posibles interpretaciones:

- Se estima que el nivel promedio de monóxido de carbono aumenta en

0,0005 PPM por Persona aproximadamente

-Por cada habitante se estima que en nivel promedio de monóxido de

carbono en el aire aumente en 0,0005 ppm

N°16 a)

b) [ ]20,0=fDom

c) 𝑇(0) = 104

La empresa comienza a funcionar con 104 trabajadores

𝑇(20) = 144

La empresa finaliza sus actividades después de 20 años con 144

trabajadores

d) Vértice (11,225)

Trascurridos 11 años, se observa la mayor cantidad de trabajadores en la

empresa correspondiente a 225 personas

e) Intervalo de decrecimiento ]11,20[

Entre los 11 y 20 años de funcionamiento la cantidad de trabajadores

disminuye en la empresa

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