REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSIÓN MARACAY

Programación lineal

ALGEBRA LINEAL

INTEGRANTES:

MARYCER BRAZON

SECCION SM

MARACAY, julio de 2013

PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal es una técnica para la resolución de problemas matemáticos

de optimización de recursos cuando existe más de una restricción lineal (masificación,

minimización), denominada función objeto, formulado a través de ecuaciones lineales.

Para que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que

se expresan a través de un sistema de inecuaciones lineales.

Es otras palabras la programación lineal enfrenta una serie de problemas en el cual

la función objeto a optimizar así como las variables adecuada a los recursos son

representaciones lineales.

Ejercicio

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de

acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos

invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del

tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la

inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo

interés anual?

Solución

Es un problema de programación lineal.

Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A

Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

inversión rendimiento

Tipo A x 0,1x

Tipo B y 0,08y

                                 210000               0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

            

            

R1   

  R2   

  R3   

  R4       

 

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región

factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)

         r1                                            r2 (paralela a OY)                      r3(paralela a OX)                           r4

x y x y x y x y

0 210000 130000 0 0 60000 0 0

210000 0 130000 65000

 

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

 A (0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)

La función objetivo es;

F(x, y)= 0.1x+0.08y

Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar

gráficamente que el vértice  mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.

Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la

función objetivo,  F,  se alcanza en el vértice D).

Hiperplanos

El hiperplanos es una variedad lineal, cuya dimensión es inferior que la del espacio

vectorial que lo integra. Un hiperplano es un conjunto vacío, en una recta, este por su parte

en un espacio de n-dimensión no tiene límite para agregar tan solo una coordenada más.

Conjunto convexo

Los conjuntos convexo podemos decir que si dos puntos cualquiera de un conjunto

de segmentos, el mismo queda contenido en el propio segmento, es decir, que sin salir se

puede desplazar de un punto cualquiera a otro en una línea recta.

Desigualdades lineales

Son expresiones que indican que dos cantidades no son necesariamente iguales.

También llamadas inecuaciones con la diferencia que se reemplaza el igual (=) por el

mayor y el menos o el mayor igual o el menor igual.

Conjunto conexo poliédrico

Es el segmento lineal que une dos puntos extremos para que así ningún punto en el

segmento vaya a ser el punto medio de otros dos puntos del conjunto que no estén en el

segmento que une dos puntos cualesquiera que esta contenido en el poliédrico.

Semiplanos

Es cada una de las regiones en la que se divide el plano a través de una recta

contenida por el mismo. Esta recta se define como contorno, borde u origen del semiplano,

el cual se puede llamar semiplanos opuestos, siendo común a ambos. En otras palabras

podemos decir que toda recta concerniente a un plano lo separa en dos partes o porciones,

llamando a cada uno de ellos semiplanos.

Combinación conexa

Las combinaciones conexas podemos decir que son combinaciones lineales de punto

en el cual todos los coeficientes son no-negativos y suman 1.

Propiedades de los semiplanos

La intersección de dos segmentos determinados por una recta de división

Todo segmento determinado por dos puntos de diferentes semiplano corta a

la recta de división.

Representación grafica