projektiranje optimalnih fir filtara
DESCRIPTION
Projektiranje optimalnih FIR filtara. Digitalna obradba signala. Valovitost kod filtara. Filtri dobiveni metodom vremenskih otvora valovitost definirana vrstom vremenskog otvora nemogućnost kontrole nad valovitostima u pojedinim frekvencijskim područjima - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Projektiranje optimalnih Projektiranje optimalnih FIR filtaraFIR filtara
Digitalna obradba signala
2
Valovitost kod filtaraValovitost kod filtara Filtri dobiveni metodom vremenskih otvora
valovitost definirana vrstom vremenskog otvora nemogućnost kontrole nad valovitostima u
pojedinim frekvencijskim područjima Filtri dobiveni korištenjem adaptivnih vremenskih
otvora (Kaiser, Dolph-Chebyshev) omogućuju kontrolu minimalnog gušenja
Optimalni FIR filtri kontrola valovitosti za svako pojedino područje
3
Specifikacija optimalnog niskog Specifikacija optimalnog niskog propustapropusta
11 + p
1 – p
s
–s
p s
Hd(ej)
0
Neki od parametara N, s, p, p, s su fiksirani, a iterativnim postupcima se podešavaju ostali parametri.
4
Numeričko projektiranje FIR Numeričko projektiranje FIR filtarafiltara
- frekvencijska karakteristika digitalnog filtra H(z) koja aproksimira željenu frekvencijsku karakteristiku .
Primjenjuje se iterativni postupak.
)( jeH
)( jeD
5
Numeričko projektiranje FIR Numeričko projektiranje FIR filtarafiltara
Iterativno se određuju koeficijenti H(z) tako da je razlika i preko zatvorenih subintervala od minimalna.
Greška aproksimacije dana je s:
gdje je težinska funkcija
)( jeH )( jeD0
)]()()[()( jjj eDeHeWE
)( jeW
6
Numeričko projektiranje FIR Numeričko projektiranje FIR filtarafiltara
Chebyshev ili minimax kriterij:Minimizira se maksimalna vrijednost greške:
gdje je R skup razdvojenih frekvencijskih područja unutar za koje jedefiniran.
Na primjer, za niski propust R to područje je unija i .
)(max
ER
0 )( jeD
],0[ p ],[ s
7
Projektiranje FIR filtara jednake Projektiranje FIR filtara jednake valovitosti (equiripple)valovitosti (equiripple)
FIR filtri linearne faze projektirani na temelju maksimalne greške
nazivaju se equiripple FIR filtri Za minimizirani funkcija greške E()
karakterizirana je jednakom valovitošću u području R
)(max
ER
8
Projektiranje FIR filtara jednake Projektiranje FIR filtara jednake valovitostivalovitosti
Opći oblik frekvencijske karakteristike kauzalnog FIR filtra duljine N=2M + 1 je:
gdje je amplitudna karakteristika realna funkcija od .
Funkcija greške je tada dana s:
gdje je željena amplitudna karakteristika a pozitivna težinska funkcija
( ) ( ), 0 ili /2j jM jH e e e H
)(H
)]()()[()( DHW
)(D)(W
E
9
Projektiranje FIR filtara jednake Projektiranje FIR filtara jednake valovitostivalovitosti
Parks-McClellan algoritam – Temelji se na iterativnom podešavanju koeficijenatadok maksimum pogreške E() ne postane minimalan.
Ako maksimum od E() u području iznosi , tada za apsolutnu grešku vrijedi:
)(H
bao
WDH
,
)()()(
ba o
10
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Za projektiranje filtra
treba zadovoljiti gornji zahtjev s
valovitošću u pojasu propuštanja i valovitošću u pojasu gušenja.
gušenja pojas za,0
apropuštanj pojas za,1)(D
)(H
p
s
11
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Zato težinska funkcija može biti izabrana kao
ili
gušenjapojasu u ,/
apropuštanjpojasu u ,1)(
sp
W
gušenjapojasu u ,1
apropuštanjpojasu u ,/)( psW
12
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Tip 1. -
gdje je
Tip 2. -
gdje je
0
( ) [ ]cos( )M
n
H a n n
(2 1) / 2
1
21
( ) [ ]cos ( )M
n
H b n n
[0] [ ], [ ] 2 [ ], 1a h M a n h M n n M
2 1 2 1[ ] 2 [ ], 1
2 2
M Mb n h n n
13
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Tip 3. -
gdje je
Tip 4. -
gdje je
1
( ) [ ]sin( )M
n
H c n n
(2 1) / 2
1
1( ) [ ]sin ( )
2
M
n
H d n n
[ ] 2 [ ], 1c n h M n n M
2 1 2 1[ ] 2 [ ], 1
2 2
M Md n h n n
14
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Amplitudna karakteristika za sva četiri tipa FIR filtra s linearnom fazom može biti prikazana kao
gdje je
)()()( AQH
4.tipza),2/sin(
3.tipza),sin(
2.tipza/2),cos(
1. tipza,1
)(Q
15
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
te
gdje je
0
( ) [ ]cos( )L
n
A a n n
[ ], za tip 1.
[ ], za tip 2.[ ]
[ ], za tip 3.
[ ], za tip 4.
a n
b na n
c n
d n
16
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
za
Što su , i ?
4.tipza,
3.tipza,1
2.tipza,
1.tipza,
2
12
2
12
M
M
M
M
L
[ ]b n [ ]c n [ ]d n
17
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Što je ? Za tip 2 vrijedi
gdje je Moguća je transformacija koja vodi na
[ ]b n
(2 1) / 2
1
1( ) [ ]cos ( )
2
M
n
H b n n
2 1 2 1[ ] 2 [ ], 1
2 2
M Mb n h n n
(2 1) / 2
0
( ) cos [ ]cos2
M
n
H b n n
18
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
U kakvoj su vezi i ?
]2
12[
~
2
1]
2
12[
Mb
Mb
(2 1) / 2
0
( ) cos [ ]cos2
M
n
H b n n
1[ ] [ ] [ 1]
2b n b n b n
]0[~
]1[~
2
1]1[ bbb
2 12
2
Mn
[ ]b n[ ]b n
19
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Modificirani oblik funkcije greške je
uz notaciju
)]()()()[()( DAQW
])()[()()()(
QDAQW
)](~)()[(~ DAW
)()()(~ QWW
)(/)()(~ QDD
E
20
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Optimizacijski problem - Odrediti koji minimiziraju maksimalnu vrijednost od:
za specificirano frekvencijsko područje Kada su određeni računaju se
odgovarajući koeficijenti originala . Iz njih se tada određuju h[n].
0
E( ) ( )[ [ ]cos( ) ( )]L
n
W a n n D
[ ]a n
R
)( jeA[ ]a n
21
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Alternacijski teorem -
je najbolje jedinstveno rješenje u minimizaciji
ako i samo ako postoje najmanje L + 2 točke takve da jei , za .
0( ) ( ) cos( )
L
nA a n n
,10},{ Lii
10 Li110 L
)()( 1 ii EE )( iE
)]()()()[(max)(Emax
DAQWRR
22
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara - primjerFIR filtara - primjer
Primjer niskopropusnog FIR filtra tipa 1. reda N = 12. U ovom slučaju je .
Neka je:
R = [0, p] U [s, ]
i za [0, p]
i za [s, ] Težinska funkcija definira da će valovitost u pojasu
gušenja biti polovica valovitosti u pojasu propuštanja.
1)()(~ DD
0)()(~ DD
1)()(~ WW
2)()(~ WW
)()( AH
23
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara - primjerFIR filtara - primjer
Ekstremi od E() su u = i, 0 i L + 1 i u njima je
Za [0, p] i za [s, ] isu konstante pa vrijedi
pa za naš primjer vrijedi…
)(~ D )(
~ W
0)(
d
dE
id
dA
d
dE
za0)()(
24
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara - primjerFIR filtara - primjer
1
1 + p
1 – p
s
–s p s 0
A() p = s = /2
–
0
E()
25
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara - primjerFIR filtara - primjer
Za naš primjer je L = N/2 = 6 pa A() sadrži sedam nepoznanica:
Broj točaka ekstrema je L + 2 = 8:
0, 1, 2,…, 7 = L + 1 Metoda pronalaženja optimalnog filtra svodi se
na iterativni postupak određivanja frekvencija ekstrema.
]6[~,],2[~],1[~],0[~ aaaa
26
Numeričko projektiranjeNumeričko projektiranjeFIR filtara jednake valovitostiFIR filtara jednake valovitosti
Po alternacijskom teoremu znamo da će optimalni filtar A(ej) zadovoljavati sljedeće jednakosti
koje napisane u matričnom obliku su
][~
]1[~]0[~
)(~/)1()cos()cos(1
)(~/)1()cos()cos(1
)(~/1)cos()cos(1
)(~/1)cos()cos(1
111
1
111
000
La
a
a
WL
WL
WL
WL
LL
LL
LL
LL
)(~)(~
)(~)(~
1
1
0
L
L
D
D
D
D
10,)1()](~)()[(~ LiDAW iiii
27
Remez-algoritamRemez-algoritam Matrična jednadžba može biti riješena za
nepoznanicu i ako su unaprijed poznate L + 2 frekvencije ekstrema.
Remez-algoritam se koristi da bi se odredile pozicije frekvencija ekstrema.
][~ ia
28
Remez-algoritamRemez-algoritam Postupci kod Remez-algoritma su slijedeći:
1) proizvoljni odabir početnih ekstremalnih frekvencija,
2) računanje iz prije dane matrične jednakosti,
3) računanje A(ej) provlačenjem Lagrangeovog polinoma kroz L + 1 od L + 2 odabrane točke ekstrema,
4) određivanje novih točaka ekstrema od A(ej) odnosno funkcije pogreške E(ej).
29
Remez-algoritamRemez-algoritam Iterativni postupak se ponavlja dok se u dva uzastopna
koraka ne promijeni za neku zadanu malu vrijednost. Tada je željena pogreška aproksimacije po minimax
kriteriju. U algoritmu se u svakom koraku implicitno mijenjaju
sve vrijednosti uzoraka impulsnog odziva h[n], ali se stvarne vrijednosti h[n] eksplicitno uopće ne računaju.
Na kraju se iz uzoraka funkcije dobivene interpolacijom polinomom pomoću DFT-a računaju uzorci h[n].
30
Remez-algoritamRemez-algoritam Optimalni FIR filtri imaju najmanju valovitost za
definirano prijelazno područje [s, p]. Rezultirajuća valovitost je za niski propust u području
gušenja p , a u području propuštanja s K. Za procjenu potrebnih broja uzoraka N + 1 za
ostvarenje nisko propusnog filtra zadanog prijelaznog područja i valovitosti može se koristiti slijedeći izraz:
)(324,2
13)(log10 10
sp
psN
Moguće je realizirati različite i vrlo složene tipove filtara.
31
Korištenje MATLAB funkcije Korištenje MATLAB funkcije remez()remez()
Funkcija remez() služi za realizaciju višepojasnih optimalnih FIR filtara s proizvoljnim omjerom valovitosti u pojasevima.
Poziv funkcije: b = remez(N, f, m, wt) b – vektor dužine N + 1 s uzorcima impulsnog
odziva, N – red filtra, f – vektor s frekvencijama u rasponu [0, 1]
(1 predstavlja pola frekvencije otipkavanja), m – magnitude željene frekv. karakteristike, wt – vektor s težinskim faktorima.
32
Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()
Primjer željene frekvencijske karakteristike:
0
0,2
1
0,250,75
0,8
1
0,5
Hd(ej)
prijelaznopodručje
33
Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()
Definicije varijabli potrebnih za ostvarenje primjera željene frekvencijske karakteristike:
N = 24
f = [0 0.2 0.25 0.75 0.8 1]
m = [0.5 0.5 0 0 1 1]
w = [4 1 2] Poziv funkcije remez():
b = remez(N, f, m, w)
340,25 0,8
0
0,2
1
0,751
0,5
Ae(ej)N = 24
odnos valovitosti
1
4 2
ekstremi
Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()
Dobivena optimalna frekvencijska karakteristika:
35
0 0,20,25 0,75
0,8–0,2
0
0,2
E()
1
Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()
Konačna pogreška s 0.2.
36
0
0,2
1
0,250,75
0,8
1
0,5
Ae(ej)N = 38
N = 24
N = 38
Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()
Optimalna frekvencijska karakteristika uz N
37
0 0,20,25 0,75
0,8 1–0,2
0
0,2
E()
–0,1
0,1
N = 24
N = 38
Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()
Konačna pogreška uz N = 38, s 0,1.
38
1
0,25 0,4 0,55 0,7 0,850 0,2 0,35 0,5 0,8 10,65
Hd(ej)
Primjer korištenja MATLAB Primjer korištenja MATLAB funkcije funkcije remez()remez()
Primjer u MATLAB-u:
39
Matlab primjeriMatlab primjeri(primjer i filtdemo)(primjer i filtdemo)