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1 PROJETO SIMULADÃO– http://uehelenacarvalho.wordpress.com -FINACEIRA PROF. RANILDO LOPES 1

APOSTILAS DE REVISÃO PROF: RANILDO LOPES ALUNO(A)___________________________________

APOSTILA

MATEMÁTICA

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SUMÁRIO

1 – Operações com frações

2 – Divisão de frações

3 – Operações com números relativos

4 – Resolução de equações do 1º grau (1º tipo)



7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo)

8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo)

9 – Equação do 2º grau completa

10 – Radicais

11 – Operações com radicais

12 – Exponenciais

13 – Propriedade distributiva

14 – Produtos notáveis

15 – Diferença de quadrados

16 – Trinômio ao quadrado

17 – Binômio ao quadrado

18 – Fatoração

19 – Racionalização de expressões numéricas

20 – Racionalização de expressões algébricas

21 – Solução de equações irracionais

22 – Resolução de sistemas de 2 equações a 2 incógnitas

1 – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:

b

a+

d

c =

bd

cd

bda

b

bd

= bd

bcda

Ex. 1) 3

2 +

7

5 =

73

57

732

3

73

= 21

1514 =

21

29

Ex. 2) 5

4 -

7

2 =

75

27

754

5

75

= 35

1028 =

35

18

Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo.

b

a +

d

c +

f

e =

fdb

ef

fdbc

d

fdba

b

fdb

= fdb

edbcfbafd )()()(

Ex. 3) 7

5+

5

2-

4

3 =

457

34

4572

5

4575

7

457

= 720

335228520

=

140

51

Resolver:

a) 7

2 +

9

1 b)

7

3 -

5

1 c)

11

8 -

5

4 d)

7

3

9

2

4

1 e)

11

4

8

3

9

4 f)

5

4

9

2

3

5

2 – DIVISÃO DE FRAÇÕES



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d

c

b

a É só inverter a 2ª fração e multiplicar

d

c

b

a =

c

d

b

a =

bc

ad

Ex. 1) 7

4

3

2 =

4

7

3

2 =

12

14 =

6

7

Ex. 2)

3

48

5

= 4

3

8

5 =

32

15

Ex. 3)

2

1

7

48

5

5

2

=

72

78

85

5528

=

14

140

41

= 1

14

40

41 =

20

287

Resolver:

a) 5

2

23

11 b)

9

8

3

4 c)

8

1

7

3 d)

7

4

3

2

2

1

4

15 e)

5

1

3

7

8

7

3

4

3 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS

Ex. 1) -2 + (-3) -2 – 3 = - 5

Ex. 2) +5 – (-8) 5 + 8 = 11

Ex. 3) (-2) (-3) = 6

Ex. 4) (-3) 5 = -15

Ex. 5) (-2)2 = (-2) (-2) = 4

Ex. 6) (-3)3 = (-3)2 (-3) = 9 (-3) = - 27

Resolver:

a) -9 + 12 – (-14) = b) 13 + (-9) – 3 = c) 7 – (-8) = d) -14 – (-12) – 24 =

e) (-3) (-8) + 25 = f) 9 (-2) (-3) = g) (-5)2 = h) (-2)5 =

PRINCIPAIS CASOS DE RACIONALIZAÇÃO:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

é o fator racionalizante de , pois . = = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de




POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL

Observe as seguintes igualdades: ou

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.



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De modo eral, definimos: , com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.

Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

Potenciação e radiciação de números fracionários Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente,

estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando

essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas.

Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como

fazemos com os números inteiros.

Exemplo 1: Qual é a soma:

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão



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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e

denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da

segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos

elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando

essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

4 – RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU Ex. 1) ax = b , divide os 2 membros por “a”

ax/a = b/a x = b/a

Resolver:

a) 3x = -7 b) 15x = 3

5 – EQUAÇÕES DO 1º GRAU (CONTINUAÇÃO) Ex. 1) 6x + 8 = 26 (subtrai 8 nos dois membros p/ isolar x)

6x + 8 – 8 = 26 – 8 6x = 18 x = 18/6 x = 3

Ex. 2) 3x – 12 = -13 (soma 12 nos dois membros p/ isolar x)

3x – 12 + 12 = 12 – 13 3x = -1 x = -1/3

Resolver:

a) 4x + 12 = 6 b) 7x + 13 = 9



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c) -5x – 9 = 6 d) 3x + 15 = 0

6 – EQUAÇÕES DO 1º GRAU (CONTINUAÇÃO) Ex. 1) 5x – 13 = 2x + 7 (subtrai 2x nos dois membros)

5x – 2x – 13 = -2x + 2x + 7

3x – 13 = 7 (soma 13 nos dois membros)

3x – 13 + 13 = 7 + 13 3x = 20 x = 20/3

Resolver:

a) 3x + 9 = 5x + 3 b) -2x + 3 = 12 + 3x

c) 7x – 13 = -3x + 7 d) 9x – 2 = 6x + 4

e) (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x

7 – EQUAÇÃO DO 2º GRAU INCOMPLETA (1º TIPO)

Ex. 1) x2 = 4 2x = 4 (extrai a raiz de ambos os membros)

X = 2 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas)

Prova: (x)2 = (+2)2 x2 = 4 As 2 raízes satisfazem

(x)2 = (-2)2 x2 = 4

Resolver:

a) 3x2 = 12 b) x2 = 7

8 – EQUAÇÃO DO 2º GRAU INCOMPLETA (2º TIPO) Ex. 1) x2 – 2x = 0 (põe x em evidência)

x – 2 = 0 x = 2

Resulta (x – 2)x = 0

x = 0 x = 0

Resolver:

a) 4x2 – 8x = 0 b) x2 + 3x = 0

c) 3x2 + 7x = 0 d) x2 – 5x = 0

9 – EQUAÇÃO DO 2º GRAU COMPLETA Forma: ax2 + bx + c = 0

Solução: = b2 – 4ac , > 0 (solução real, 2 raízes diferentes)

= 0 (sol. real, 2 raízes iguais)

Fórmula: x = a

b

2

ou x’ = (-b + ) / 2a x” = (-b - )/2a

Ex. 1) 2x2 + 5x + 2 = 0

= 22425 = 1625 = 9 = 3

Soluções: x’ = (-5 + 3) / 4 = -2/4 = -1/2

x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = -2

Resolver:

a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0

c) 3x2 + 11x + 8 = 0

10 – RADICAIS

n mA A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando

n mA = Am/n (fórmula geral)

Ex. 1) 4 = 2 22 = 22/2 = 21 = 2

Ex. 2) 3 27 = 3 33 = 3



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Ex. 3) 5 1024 = 5 102 = 210/5 = 22 = 4

Ex. 4) 2x = x x = 2x = x

11 – OPERAÇÕES COM RADICAIS

Ex. 1) x x = 2x = x2/2 = x

Ex. 2) x y = yx

Ex. 3) 3 8 = 3 32 = 2

Ex. 4) 81

64 =

2

2

9

8 =

2

9

8

=

9

8

Ex. 5) 2n

n

x

x = )2( nnx = 2x = x

Ex. 6) 16 = 42 = 2/42 = 2

Resolver:

a) 3 729 b)

3 64 c) 5 107

d) 4 81 e)

2)2( x f) 81

12 – EXPONENCIAIS Ax - A é a base, x é o expoente

P1) Ax Ay = Ax+y

P2) Ax / Ay = Ax-y

P3) (Ax)y = Ax.y

P4) (A . B)x = AxBx

P5) x

xA

A

1

e

x

B

A

=

x

x

B

A = Ax . B-x

Ex. 1) 27 = 23+4 = 23 . 24 = 8 16 = 128

Ex. 2) (22)3 = 26 = 23+3 = 23 . 23 = 8 8 = 64

Ex. 3) (2 3)3 = 23 33 = 22 2 32 3 = 4 2 9 3 = 216

Ex. 4) 20

23

5

5 = 523-20 = 53 = 52 5 = 25 5 = 125

Resolver:

a) 210 b) 2

4

7

7 c)

4

2

3

d) 16 2-3

13 - PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

1) A (B + C) = A B + A C

2) (A B)(C + D) = (A B)(C + D) = A(C + D) B(C + D)

Ex. 1) 2(4 + x) = 8 + 2x

Ex. 2) (3 – x)(x – 2) = 3(x – 2) – x(x – 2) = 3x – 6 – x2 + 2x = -x2 + 5x – 6

Resolver:

a) (x - 7 )(x + 7 ) b) (a + b)(a + b)

c) (2 + 3 )(2 - 3 ) d) (2 + x )(3 + 2 x )

14 – PRODUTOS NOTÁVEIS (A + B)2



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Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir:

(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + 2AB + B2

(A – B)2 = (A – B)(A – B) = A2 – 2AB + B2

Ex. 1) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4

Resolver:

a) (x – 3)2 b) (a + 2)2 c) (x + y)2

15 – DIFERENÇA DE QUADRADOS x2 – a2 = (x – a)(x + a)

Ex. 1) x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)

Ex. 2) x2 – 3 = (x - 3 )(x + 3 )

Ex. 3) x2 – A = (x - A )(x + A )

Resolver:

a) ( 3 - 2)( 3 + 2) = b) x2 – 16 = c) x2 – 7 = d) (2 + 3 )(2 - 3 ) =

16 – TRINÔMIO AO QUADRADO (a + b + c)2 = [(a + b) + c)]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2

= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Resolver:

a) (x + y + 1)2 b) (x – y +2)2

17 – BINÔMIO AO CUBO

(a + b)3 = (a + b)2 (a + b)

18 – FATORAÇÃO (TIRAR FATOR COMUM PARA FORA DO PARÊNTESES)

Ex. 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2)

Ex. 2) x x + x2 = x( x + x)

Ex. 3) )2)(3(

)3(4)3(5 22

xxx

xxxx =

23

435)3(

xxx

xxxx =

2

4155

x

xx =

2

159

x

x

Resolver:

a) 12

48 2

x

xx = b)

13

1213

x

xxx = c)

ba

ba

2

= d) 2

42

x

x =

19 – RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS Consiste em tirar uma raiz do denominador.

Ex. 1) n A

1

n n

n n

A

A

1

1

n A

1 =

n n

n n

A

A 1

= A

An n 1

Ex. 2) 2

1 =

2

2

2

1 =

2

2

Ex. 3) 3

3 2

3 3

3 2

33 2

3 2

393

3

39

3

39

3

9

3

3

3

9

Resolver:

a) 3

3 b)

3 5

3 c)

4 3

2 d)

3 9

1

20 - Racionalização de Expressões Algébricas



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Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para

resultar numa diferença de quadrados.

Ex.1) 1)1(

)()(

)()(2

x

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

xx

x

xx

x

Ex. 2) )32(31

)32(3

22

)32(3

)32(

32

)32(

3

32

32

Resolver :

a) 21

1

b)

x1

1 c)

1

2

x

d) 73

7

e)

ba

1 f)

23

1

21 - SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Ex.1) 123 2 x isola a raiz

24 2 x eleva ao quadrado ambos os membros

216 2 x 142 x 14x

Resolver:

a) xx b) 12 x c) 315 2 x

d) xx 2 e) xx 1

22 - Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas

Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação.

)25

)11223

yx

yx

a) Por substituição : da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído na 1).

Então 3(5 - y) + 2y =12 y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 - 3 = 2.

b) Por eliminação: multiplica-se a 2) por -3 e soma-se com a 1)

Então

3x + 2y = 12

-3x - 3y = -15

- y = - 3 y = 3 voltando na 2) , tem-se x = 2.

Resolver:

a) 2x + y = 12 b) 3x + 2y = 4

x + 7y = 19 x - y = 2

c) 2x + 3y = 8 d) x - y = 3

3x + 4y = 11 2x + y = 9

RESPOSTAS DAS QUESTÕES

1) a) 25/63 ; b) 8/35 ; c) -4/55 ; d) 227/252 ; e) 343/792 ; f) 147/135

2) a) 55/46 b) 3/2 ; c) 24/7 ; d) 104/357 ; e) 256/371

3) a)17 ; b) 1 ; c) 15 ; d) –26 ; e) 49 ; f) 54 ; g) 25 ; h) –32



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10 PROJETO SIMULADÃO– http://uehelenacarvalho.wordpress.com -FINACEIRA PROF. RANILDO

LOPES

10

4) a) x= -7/3 ; b) x=1/5

5) a) –3/2 ; b) -4/7 ; c) x= -3 ; d) x= - 5

6) a) x=3 ; b) x=-9/5 ; c) x=2 ; d) x=2 ; e) x= -5/2

7) a) x= 2 ; b) x = 7

8) a) x=0 e x= 2 ; b) x=0 e x= -3 ; c) x=0 e x= -7/3 ; d) x=0 e x= 5

9) a) x=2 e x=3 ; b) x=4 e x= 2 ; c) x= -1 e x = -8/3

11) a) 9 ; b) 4 ; c) 49 ; d) 3 ; e) x + 2 ; f) 3

12) a) 1024 ; b) 49 ; c) 81/16 ; d ) 2

13) a) x2 – 7 ; b) a2 + 2ab +b2 ; c) 1 ; d) 2x + 7 x + 6

14) a) x2 – 6x +9 ; b) a2 + 4a + 4 ; c) x2 +2xy + y2

15) a) –1 ; b) (x-4)(x+4) ; c) ( x - 7 )(x + 7 ) ; d) 1

16) a) x2 + y2 +1 + 2xy + 2x + 2y ; b) x2 + y2 + 4 - 2xy + 4x - 4y

18) a) 4x ; b) x - 2 ; c) a + b ; d) x+ 2

19) a) 3 ; b) 3 3 25 /5 ; c) 2 4 27 /3 ; d) 3 81 / 9

20) a) 2 - 1 ; b) (1 + x ) / (1 - x) ; c) 2 ( x -1 ) / (x -1)

d) (7/2).(3 - 5 ) ; e ) ( a - b )/ (a2 – b2 ) ; f) 3 - 2

21) a) x=0 e x=1 ; b) x=5 ; c) x = 5 d) x=4 e x= 1 ; e) x= ( 1 5 )/2

1.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Calcular as seguintes expressões:

a) 125

b) 7,07,3

c) 28,072,1

d) 352472

e) 751269


a) 24

b) 410

c) 39

d) 57

e) 26


a) 54

b) 54

c) 12

d) 52314

e) 54132


a) 312

b) 315

c) 436

d) 642

e) 981

5) Calcular as seguintes potências:

a) 52 b) 33 c) 32

d) 37 e) 410

6) Calcular os valores algébricos das seguintes

raízes:

a) 4 625 a) 3 8 a) 4 81

a) 3 27 a) 5 32

7) Efetuar os seguintes produtos notáveis:

a) 2343 52 mbym

b)

2

52

4

3

3

2

xa

c) 25 25 aa

8) Resolver as seguintes equações do 1.º grau:

a) 52

x

b) 22132435 zzz

c) yy

5

526

9) Resolver as seguintes equações do 2.º grau:

a) 01582 zz

b) 0156 12 zz

c)

67

1

zz

d) 0442 zz

e) 03

12 zz



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LOPES

11

10) Calcular 13a na progressão aritmética

: 1 , 5 , 9 ,

11) Calcular 1a em uma progressão aritmética,

sabendo-se que 4r e 318 a .

12) Somar os 15 primeiros termos da

progressão aritmética : 3 , 2

7 , 4 ,

13) Quantas vezes bate um relógio em 24 horas,

admitindo-se que apenas bata as horas?

14) Calcular o 5.º e 8.º termos da progressão

geométrica :: 2 , 4,

15) Em uma progressão geométrica, sabemos que

1284 a e 4q . Achar 1a .

16) Sendo x e y positivos, calcular os limites das

expressões a seguir quando o número de radicais

cresce indefinidamente.

a) xxxx

b) yxyx

c) xxxx

RESUMO DE MATEMÁTICA BÁSICA

RADICAIS

n mA A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando

n mA = n

m

A (Fórmula geral)

Ex. 1) 4 = 2 22 = 22/2 = 21 = 2 Ex. 2) 3 27 =

3 33 = 3

Ex. 3) 5 1024 = 5 102 = 210/5 = 22 = 4 Ex. 4) 2x = x x = 2x = x

OPERAÇÕES COM RADICAIS

Ex. (1) x x = 2x = x2/2 = x Ex. 2) x y = yx

Ex. (3) 3 8 = 3 32 = 2 Ex. 4)

81

64 =

2

2

9

8 =

2

9

8

= 9

8

Ex. (5) 2n

n

x

x = )2( nnx = 2x = x Ex. 6) 16 = 42 = 2/42 = 2

DIFERENÇA DE QUADRADOS

Estrutura: (a+b) (a-b) = a2-b2

Ex. 1) x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) Ex. 2) x2 – 3 = (x - 3 )(x + 3 )

Ex. 3) x2 – A = (x - A )(x + A ) Ex. 4) (x+3)(x-3) = x 2 -9

Exercício: a) ( 3 - 2)( 3 + 2) b) x2 – 16 c)(x - 7 )(x + 7 ) d)(2+ 3 )(2- 3 )

FATORAÇÃO (tirar fator comum para fora dos parênteses)

Ex. 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2) Ex. 2) x x + x2 = x( x + x)

Ex. 3) )2)(3(

)3(4)3(5 22

xxx

xxxx = 23

435)3(

xxx

xxxx = 2

4155

x

xx = 2

159

x

x

Resolver: a) 12

48 2

x

xx b) 13

1213

x

xxx c) ba

ba

2

d) 2

42

x

x

RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS Consiste em tirar uma raiz do denominador.

Ex. 1) n A

1

n n

n n

A

A

1

1

n A

1 =

n n

n n

A

A 1

= A

An n 1

Ex.3) 3

3 2

3 3

3 2

33 2

3 2

393

3

39

3

39

3

9

3

3

3

9



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LOPES

12

Ex. 2) 2

1 = 2

2 2

1 = 2

2

Resolver: a) 3

3 b) 3 5

3 c) 4 3

2 d) 3 9

1

RACIONALIZAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar

numa diferença de quadrados.

Ex.1) 1)1(

)()(

)()(2

x

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

xx

x

xx

x

Ex. 2) )32(31

)32(3

22

)32(3

)32(

32

)32(

3

32

32

Resolver:

a) 21

1

b) 23

1

c) 1

2

x

d) 73

7

e)ba

1

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Ex.1) 123 2 x isola a raiz Ex.2) 24 2 x eleva ao quadrado ambos os membros

216 2 x 142 x 14x

Resolver: a) xx b) 12 x c) 315 2 x d) xx 2 e) xx 1

PRODUTOS NOTÁVEIS

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o

trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis Exemplos

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9

(a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9

(a+b) (a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9

(x+a) (x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2) (x+3) = x2+5x+6

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8

(a+b) (a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2) (x2-2x+4) = x3+8

(a-b) (a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2) (x2+2x+4) = x3-8

Resolver: a) (x – 3)2 b) 2

52

4

3

3

2

xa c) 2343 52 mbym

Trinômio ao quadrado (a + b + c)2 = [(a + b) + c)] 2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c 2

= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Resolver: a) (x + y + 1)2 b) (x – y +2)2

Binômio ao cubo

(a + b)3 = (a + b)2 (a + b)

Fatoração (tirar fator comum para fora dos parênteses)

Ex. 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2) Ex. 2) x x + x2 = x( x + x)

Ex. 3) )2)(3(

)3(4)3(5 22

xxx

xxxx =

23

435)3(

xxx

xxxx =

2

4155

x

xx =

2

159

x

x

Resolver: a) 12

48 2

x

xx b) 13

1213

x

xxx c) ba

ba

2

d) 2

42

x

x



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LOPES

13

EQUAÇÕES DO 1º GRAU (CONTINUAÇÃO)

Ex. (1) 5x – 13 = 2x + 7 (subtrai 2x nos dois membros) 5x – 2x – 13 = -2x + 2x + 7

3x – 13 = 7 (soma 13 nos dois membros) 3x – 13 + 13 = 7 + 13 3x = 20 x = 20/3

Resolver: a) 3x +9 = 5x+3 b) -2x + 3 = 12 +3x c)(2 – x) – (7– 3x) = 5 + 6x d)9x– 2=6x +4

EQUAÇÃO DO 2º GRAU INCOMPLETA (1º TIPO)

Ex (1) 2x = 4 2x = 4 x = 2 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas)

1º Prova: 2)(x =

2)2( 2x = 4 1º Prova:

2)(x = 2)2(

2x = 4

Resolver: a) 3x2 = 12 b) x2 = 7

EQUAÇÃO DO 2º GRAU INCOMPLETA (2º TIPO)

Ex.1)2x – 2x = 0 (põe x em evidência) Resulta (x – 2)x = 0

00

202

xx

xx

Resolver: a) 4x2 – 8x = 0 b) x2 + 3x = 0 c) 3x2 + 7x = 0 d) x2 – 5x = 0

EQUAÇÃO DO 2º GRAU COMPLETA

Forma: 02 cbxax

Fórmula: acbx 42

(Real) solução Possui Não0

diferentes soluções Duas0

solução só Uma0 Fórmula:

a

bx

2

a

bx

a

bx

2''

2'

Ex. 1) 2x2 + 5x + 2 = 0 = 22425 = 1625 = 9 = 3

2

1

4

2

4

)35('

x e 2

4

8

4

)35(''

x

Resolver: a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0 c) 3x2 + 11x + 8 = 0

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES A 2 INCÓGNITAS

Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação.

º2 5

º1 1223

yx

yx

a) Por substituição: Da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído na 1).

Então 3(5 - y) + 2y =12 y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 - 3 = 2.

b) Por eliminação: Multiplica-se a 2) por -3 e soma-se com a 1)

Então:

33

1533

12 23

yy

yx

yx

voltando na (2), tem-se x = 2.

Resolver:

a)

19 7

12 2

yx

yx b)

2

4 23

yx

yx c)

11 43

8 32

yx

yx b)

9 2

3

yx

yx

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE RADICAIS

Dois ou mais radicais têm o mesmo índice e o mesmo radicando são chamados de radicais

semelhantes. São exemplos de radicais semelhantes:



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LOPES

14

a) 35 e 32 b) 333 52 e 5,5 c) 555 122 e 128,124

Se uma expressão apresenta radicais semelhantes, estes podem ser simplesmente através da

aplicação da propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação.

1o exemplo: Simplificar a expressão: 383234- 35

Resolução: 383234- 35 = 373824- 5

2o exemplo: Simplificar a expressão: 56735372-54

Resolução: 56735372-54 7372-565354

7)32(5)634( 75

3º exemplo: Calcular o valor de 84327218

Resolução: 232318 2 / 36332272 2 / 2822484 2

Então: 84327218 2833623 3362823

35211

Exercício: 1) Associe V ou F.

a) 85 3 (F) b) 15215 5 (V) c) )0(44 xyxyxy (V)

2) Reduzindo os termos semelhantes, simplifique a 442253-2 expressão abaixo.

R: 572

3) Calcule o valor da expressão 7512

588

Resposta: 2

MULTIPLICAÇÃO

1º PROPRIEDADE: Recordando a 4ª propriedade dos radicais aritméticos:

nnn baba 0 e 0 baCom

Então: = O produto de dois ou mais radicais aritméticos de mesmo índice é um radical que tem o

mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores.

Exemplos:

01 - 102525

02 - 10390303033

03 - 4 2344 2 yxxyyx ( 0 e 0 yxcom )

04 - 107)5()2(52 2 xxxxxx

Para multiplicar dois ou mais radicais que têm índices diferentes, devemos primeiro, reduzi-los ao

mesmo índice.

xemplos:

01 - 666 236 26 33 2 108108232323

02 - 15 14815 935515 3315 555 23 yxyxyxyxyxxyxy

03 - 4 2344 2 yxxyyx ( 0 e 0 yxcom )

Em alguns casos, efetuamos o produto de expressões que envolvem radicais aplicando a propriedade

distributiva da adição em relação à multiplicação.

EXERCÍCIOS

01) Qual o valor de “ x ” que satisfaz a igualdade 22 55 3 x R: 2x

02) Dados 51x e 52 y qual o valor numérico da expressão yyx ? R:

4 yyx

03) Qual a forma mais simples de escrever a expressão )55()55( ? R: 52



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LOPES

15

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE RADICAIS

Dois ou mais radicais têm o mesmo índice e o mesmo radicando são chamados de radicais

semelhantes. São exemplos de radicais semelhantes:

a) 35 e 32 b) 333 52 e 5,5 c) 555 122 e 128,124

Se uma expressão apresenta radicais semelhantes, estes podem ser simplesmente através da

aplicação da propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação.

1o exemplo: Simplificar a expressão

Resolução:

2o exemplo: Simplificar a expressão: 56735372-54

Resolução: 56735372-54 7372-565354

7)32(5)634( 75

3º exemplo: Calcular o valor de 84327218

Resolução: 232318 2 / 36332272 2 / 2822484 2

Então: 84327218 2833623 3362823

35211

Exercício: 1) Associe V ou F.

a) 85 3 (F) b) 15215 5 (V) c) )0(44 xyxyxy (V)

2) Reduzindo os termos semelhantes, simplifique a 442253-2 expressão abaixo.

Resposta: 572

3) Calcule o valor da expressão 7512

588

Resposta: 2

MULTIPLICAÇÃO

1º PROPRIEDADE: Recordando a 4ª propriedade dos radicais aritméticos:

nnn baba 0 e 0 baCom

Então: = O produto de dois ou mais radicais aritméticos de mesmo índice é um radical que tem o

mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores.

Exemplos:

01 - 102525

02 - 10390303033

03 - 4 2344 2 yxxyyx ( 0 e 0 yxcom )

04 - 107)5()2(52 2 xxxxxx

Para multiplicar dois ou mais radicais que têm índices diferentes, devemos primeiro, reduzi-los ao

mesmo índice.

Exemplos:

01 - 666 236 26 33 2 108108232323

02 - 15 14815 935515 3315 555 23 yxyxyxyxyxxyxy

03 - 4 2344 2 yxxyyx ( 0 e 0 yxcom )

Em alguns casos, efetuamos o produto de expressões que envolvem radicais aplicando a propriedade

distributiva da adição em relação à multiplicação.

EXERCÍCIOS

01 ) Qual o valor de “ x ” que satisfaz a igualdade 22 55 3 x R: 2x



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3) Dados 51x e 52 y qual o valor numérico da expressão yyx ? R:

4 yyx

4) Qual a forma mais simples de escrever a expressão )55()55( ? 52R

REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA Aluno (a): ________________________________________ Nº _____

Prof. Ranildo Lopes – Bem aventurados são os que estudam matemática, pois ...! DICAS PARA DIVIDIR OU MULTIPLICAR E OUTROS – AULA 01

(1) Usar a decomposição ao de números

{ segundo as ordens / Exemplo: 235 = 200 + 30 + 5 { em parcelas convenientes / Exemplo: 9 = 10 ¡ 1; 90 = 100 ¡ 10; 37 = 35 + 2 Exemplo: 196 + 425 = 200 + 400 + 25 ¡ 4 = 621 (2) Usar o complementar de um número

{ para 10 / Exemplo: 2 é o complementar de 8 { para 100 / Exemplo: 35 é o complementar de 65 { para 1000 / Exemplo: 360 é o complementar de 640 Exemplo: 165 + 538 = 165 + 35 + 500+ 3 = 703 (3) Associar parcelas { usar a propriedade associativa da adição, simplificando a soma ou a

diferença. Exemplo: 173 + 8 + 269 = 150 + 23 + 8 + 269 = 150 + 31 + 269 = 150 + 300 = 450 (4) Associar factores { usar a propriedade associativa da multiplicação, simplificando o produto.

Exemplos: 25 £ 48 = 50 £ 24 = 100 £ 12 = 1200 / 15 £ 32 = 5 £ 96 = 10 £ 96 ¥ 2 = 480 (5) Distribuir { usar a propriedade distributiva da multiplicação.

Exemplo: 18 £ 33 = 20 £ 33 ¡ 2 £ 33 = 660 ¡ 66 = 600 ¡ 6 = 594 (6) Multiplicar por 4 { é o mesmo que duplicar duas vezes.

Exemplo: 4 £ 815 = 1630 £ 2 = 3260 (7) Dividir por 4 { é o mesmo que achar a metade duas vezes consecutivas.

Exemplo: 156 ¥ 4 = 78 ¥ 2 = 39 (8) Multiplicar por 5 { é o mesmo que multiplicar por 10 e achar a metade (ou achar a metade



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LOPES

17

e multiplicar por 10).

Exemplo: 762 £ 5 = 7620 ¥ 2 = 3810 (9) Dividir por 5 { é o mesmo que dividir por 10 e duplicar (ou achar o dobro e dividir por 10).

Exemplo: 163 ¥ 5 = 326 ¥ 10 = 326 (10) Multiplicar por 20 { é o mesmo que multiplicar por 10 e duplicar, ou vice-versa.

Exemplo: 1354 £ 20 = 2708 £ 10 = 27 080 (11) Dividir por 20 { é o mesmo que dividir por 10 e achar a metade, ou vice-versa.

Exemplo: 1570 ¥ 20 = 785 ¥ 10 = 785 (12) Multiplicar por 8 { é o mesmo que achar o dobro três vezes consecutivas.

Exemplo: 86 £ 8 = 172 £ 4 = 344 £ 2 = 688 (13) Dividir por 8 { é o mesmo que achar a metade três vezes consecutivas.

Exemplo: 1896 ¥ 8 = 948 ¥ 4 = 474 ¥ 2 = 237 (14) Multiplicar por 11 { é o mesmo que multiplicar por 10 e somar o número dado.

Exemplo: 67 £ 11 = 670 + 67 = 740 ¡ 3 = 737 (15) Multiplicar por 12 { é o mesmo que multiplicar por 10 e somar o dobro do número dado.

Exemplo: 85 £ 12 = 850 + 170 = 850 + 150 + 20 (16) Multiplicar por 15 { é o mesmo que multiplicar por 10 e somar metade deste resultado.

Exemplo: 76 £ 15 = 760 + 380 = 760 + 240 + 140 = 1140 (17) Multiplicar por 3 { é o mesmo que duplicar e somar o número dado.

Exemplo: 381 £ 3 = 762 + 381 = 760 + 240 + 143 = 1143 (18) Multiplicar por 50 { é o mesmo que multiplicar por 100 e achar a metade.

Exemplo: 89 £ 50 = 8900 ¥ 2 = 4450 (19) Dividir por 50 { é o mesmo que dividir por 100 e duplicar.

Exemplo: 7630 ¥ 50 = 763 £ 2 = 1526 (20) Multiplicar por 25 { é o mesmo que multiplicar por 100 e dividir por 4.

Exemplo: 47 £ 25 = 4700 ¥ 4 = 2350 ¥ 2 = 1175 (21) Dividir por 25 { é o mesmo que dividir por 100 e multiplicar por 4.

Exemplo: 1850 ¥ 25 = 185 £ 4 = 37 £ 2 = 74 (22) Multiplicar por 2,5 { é o mesmo que multiplicar por 10 e dividir por 4.

Exemplo: 38 £ 25 = 380 ¥ 4 = 190 ¥ 2 = 95 (23) Multiplicar por 2,5 { é o mesmo que somar o dobro à metade do número.

Exemplo: 38 £ 25 = 76 + 19 = 95 (24) Dividir por 2,5 { é o mesmo que dividir por 10 e multiplicar por 4.

Exemplo: 186 ¥ 25 = 186 £ 4 = 372 £ 2 = 744 (25) Multiplicar por 0,5 { é o mesmo que achar a metade.

Exemplo: 342 £ 05 = 342 ¥ 2 = 171 (26) Dividir por 0,5 { é o mesmo que achar o dobro.

Exemplo: 85 ¥ 05 = 85 £ 2 = 170 (27) Multiplicar por 0,25 { é o mesmo que dividir por 4.

Exemplo: 148 £ 025 = 148 ¥ 4 = 74 ¥ 2 = 37 (28) Dividir por 0,25 { é o mesmo que multiplicar por 4.

Exemplo: 45 ¥ 025 = 45 £ 4 = 90 £ 2 = 180 (29) Multiplicar por 0,2 { é o mesmo que dividir por 5, ou seja, dividir por 10 e duplicar.

Exemplo: 68 £ 02 = 68 £ 2 = 139 (30) Dividir por 0,2 { é o mesmo que multiplicar por 5 , ou seja, multiplicar por 10 e achar



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LOPES

18

a metade. Exemplo: 230 ¥ 02 = 2300 ¥ 2 = 1150 (31) Multiplicar por 0,4 { é o mesmo que dividir por 10 e duplicar duas vezes.

Exemplo: 180 £ 04 = 18 £ 4 = 36 £ 2 = 72 (32) Dividir por 0,4 { é o mesmo que multiplicar por 10 e achar a metade duas vezes consecutivas.

Exemplo: 180 ¥ 04 = 1800 ¥ 4 = 900 ¥ 2 = 450 (33) Multiplicar por 0,125 { é o mesmo que dividir por 8 (achar a metade 3 vezes consecutivas).

Exemplo: 76 £ 0125 = 76 ¥ 8 = 38 ¥ 4 = 19 ¥ 2 = 95 (34) Dividir por 0,125 { é o mesmo que multiplicar por 8 (duplicar 3 vezes consecutivas).

Exemplo: 13 ¥ 0125 = 13 £ 8 = 26 £ 4 = 52 £ 2 = 104

REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA Aluno (a): ________________________________________ Nº _____ Prof. Ranildo Lopes – Bem aventurados são os que estudam matemática, pois ...!!!!

DICAS PARA OPERAÇÕES BÁSICAS

DICA 1: MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 10:

Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita.

Exemplo 1: 16 x 10 = 160 Exemplo 2: 15,567 x 10 = 155,67

DICA 2: MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 10N:

Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a direita.

Exemplo 1: 16 x 103 = 16000 Exemplo 2: 15,567 x 104 = 155670

Então, se quisermos efetuar a seguinte multiplicação: 12 x 100. Sabemos que 100=102, então:

12 x 100 = 12 x 102 = 1200.

DICA 3: DIVIDIR UM NÚMERO POR 10:

Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda.

Exemplo 1: 16 / 10 = 1,6 Exemplo 2: 15,567 / 10 = 1,5567

DICA 4: DIVIDIR UM NÚMERO POR 10N:

Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda.

Exemplo 1: 16 / 103 = 0,016 Exemplo 2: 15,567 / 102 = 0,15567

Então, se quisermos efetuar a seguinte divisão: 12 / 1000. Sabemos que 1000=103, então:

12 / 1000 = 12 / 103 = 0,012.


Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no

meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11.

Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar esse

8 no meio deles: a resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286.

EXEMPLOS:

1) 34 x 11 somamos os algarismos do número 34: 3+4=7

colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = 374.

2) 81 x 11 somamos os algarismos do número 81: 8+1=9. colocamos o resultado no meio deles: 891.

Portanto 81x11 = 891.

3) 37 x 11 somamos os algarismos do número 37: 3+7=10. Como deu um nº maior que 9, então não

podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no

meio deles, e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto

37x11 = 407.



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LOPES

19

Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em um

número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11.

Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4. Somando o 2º

com o 3º algarismo desse número temos 3+5=8. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número

135, tirando o seu algarismo do meio: 1485. Portanto 135 x 11 = 1485.


Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos

efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9.

Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440. Então subtraímos desse valor o valor

inicial: 440-44 = 396. Portanto 44 x 9 = 396.

Outros exemplos:

27 x 9 = 270-27 = 243. 56 x 9 = 560-56 = 504. 33 x 9 = 330-33 = 297.


Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos

efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99.

Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400. Então subtraímos desse valor o valor

inicial: 4400-44 = 4356. Portanto 44 x 99 = 4356.

OUTROS EXEMPLOS:

27 x 99 = 2700-27 = 2673 56 x 99 = 5600-56 = 5544 33 x 99 = 3300-33 = 3267


Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB.

Alguns exemplos:

43 x 101 = 4343 32 x 101 = 3232 14 x 101 = 1414

DICA 9:M ULTIPLICAR 2 NÚMEROS (DE 2 ALGARISMOS) QUE POSSUAM O MESMO

ALGARISMO DAS DEZENAS, E A SOMA DE SEUS ALGARISMOS DAS UNIDADES SEJA

10.

Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48, 53x57, 21x29,

35x35, 87x83, 94x96, etc.

Devem ser seguidos os seguintes passos:

1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele;

2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente;

3) Juntamos as duas partes.

Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57:

Passo 1: 5x6 = 30

Passo 2:3x7 = 21Passo 3: Juntamos os dois números: 3021.

Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada!

Outro exemplo: 94 x 96:

Passo 1: 9x10 = 90 Passo 2: 4x6 = 24

Passo 3: Juntamos os dois números: 9024.

Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada!

DICA 10: MULTIPLICAÇÃO POR NÚMEROS TERMINADOS EM 0:

Multiplicam-se as partes sem os zeros finais e acrescenta-se a quantidade de zeros finais.

Exemplos:

23 x 10 = (23 x 1)0 = 230 45 x 20 = (45 x 2)0 = 900

15 x 300 = (15 x 3)00 = 4500 30 x 90 = (3 x 9)00 = 2700


Some o número com a sua metade, e multiplique o resultado por 10.

Exemplos:

14×15 =(14+7)×10=210 10,4×15=(10,4+5,2)×10=15,6×10=156

DICA 12: TABUADA DO 9:

Se você tem dificuldades para decorar a tabuada do 9, pode fazer o seguinte:

1) Considere o número anterior ao qual você irá multiplicar o 9.

2) Veja quanto falta para ele chegar ao 9.



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LOPES

20

3) Junte os dois números encontrados.

Por exemplo:

1) 9 x 2 => o número anterior ao dois é o 1.

2) Para o 1 chegar ao 9, faltam 8.

3) Agora basta unir os dois números: 18

Portanto, 9 x 2 = 18.

Da mesma forma pode ser feito para os outros números, até chegar em 9x9:

1) 9 x 9 => o número anterior ao nove é o 8.

2) Para o 8 chegar ao 9, falta 1

3) Agora basta unir os dois números: 81 Portanto, 9 x 9 = 81.

DICA 13: DIVIDIR QUALQUER NÚMERO POR 5:

Basta multiplicar o número por 2 e "arrastar" a vírgula para a esquerda.

Ex: 345 / 5 = 345 * 2 = 690. Arrastando a vírgula, temos 69,0.

Ex: 1526 / 5 = 1526 * 2 = 3052. Arrastando a vírgula, temos 305,2.

DICA 14: COMO DESCOBRIR O PRÓXIMO QUADRADO?

Some o quadrado anterior com duas vezes com o número do qual você quer descobrir o quadrado, e

depois diminua uma unidade.

Ex: Se 32=9, quanto vale 42? Aplicando a regra, temos:

a) 9 + 4 + 4 = 17 17 - 1 = 16 Portanto, 42 = 16

Outro exemplo: 52 = ? 16 + 5 + 5 - 1 = 25



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