LA proportion

LA proportion

LA proportion

Présenté par: Melle YAHIAOUI Nassima 2008-2009Atelier 4eme année

Introduction.Chap I: la proportion:Définition de la proportion.La proportion dans la nature.La proportion dans les arts: peinture , music ...La proportion en architecture.Chap II: Le nombre d’or et le modulor:•Le nombre d’or :Ses propriétés algébriques et géométriques.Le nombre d’or dans la nature .Dans les arts.•Le modulor:Le Corbusier et le modulor: un rationalisme architectural.Conclusion.

Plan du travail:

Si l’étude savante des proportions, leur analyse et leur application se situent du coté du travail intellectuel, il n’est pas moins vrai que certains individus possèdent un sens inné des proportions. Nombre d’artisans, en développant leurs compositions traditionnelles, en témoignent.

INTRODUCTION:

Le projet d’architecture agit toujours par des dimensions et par la manière de les répéter et de les regrouper pour établir des relations contrôlées entre elles .parler de proportions c’est parler de « la juste mesure » des objets que nous fabriquons.

D’où tirer les rapports justes ; si ce n’est de la nature ou de l’abstraction de l’esprit c’est à dire des mathématiques et plus particulièrement de la géométrie ?

•Proportion:« Rapport de grandeur (entre les différentes parties d'un tout et entre les parties et le tout) »-dicos encarta - 

•« C’est une règle fondamentale de toute composition. La proportion ne concerne pas seulement les surfaces ; mais aussi les volumes intérieurs et extérieurs, aussi bien que leurs rapports ».

• La proportion nous dit encore George Gromort, est «la convenance et la relation des partie d’un tout, comparées entre elles et comparées à ce tout ». C’est donc toujours ce même rapport de la partie et du tout que la proportion doit régler de la façon la plus harmonieuse possible. Autrement dit, ce ne sont pas les répétitions des mêmes dimensions qui peuvent assurer l’unité d’une œuvre, mais la présence partout à l’intérieur de cette œuvre des mêmes rapports entre les dimensions.

Définition:

-onze leçons sur la composition urbaine-

De l’Antiquité a la renaissance on a cherché à réunir la géométrie euclidienne et les formes de la nature en un système unique et universel. La nature étant considérée au summum de sa perfection le corps humain ; c’est lui qui « se fait géométriser ». Il y a en effet des rapports étonnants de dimensions équivalentes tels que la main qui couvre exactement le visage; et de multiples tel que le pied qui est un sixième du corps debout ; la largeur de la main mesurant quatre pouces ;… Comme il n y a peut-être rien au monde qui enchante plus nos sens qu’un beau corps humain, sa valeur d’exemple n’à cesser d’occuper les esprits. La renaissance cherche dans le corps humain des formes ; des mesures ; et des rapports de mesure universels qui puissent être érigés en principes numériques. La recherche d’une vérité cosmique imprègne ces alliances entre le corps, la géométrie et le nombre.

Dans la nature:

La proportion et la peinture:Les peintres connaissent depuis toujours l’importance de la proportion.les grandes coupures qui traversent leurs toiles, la limite qui définit des zones d’ombre et de lumière, la séparation des masses colorées, l’intérieur et l’extérieur , la place du sujet dans l’ensemble sont pour eux de première importance. Ces questions sont l’objet d’une recherche constante visant une juste proportion.

Dans les arts:

Dans une large mesure, Pythagore est à l’ origine d’une science mathématique reliée a l’esthétique par l’intermédiaire de la musique et que Vitruve est la référence de la renaissance pour les proportions ;Pour une analyse plus approfondie de la logique des harmonies musicales en rapport avec l’architecture, on dit qu’ il y a une coïncidence entre les sons harmonieux et des dimensions physiques. Le son d’une corde tendue divisé en son milieu ; correspond exactement à l’écart d’une octave et l’oreille est en mesure d’en percevoir la justesse ou la déviation avec une précision étonnante. La tentative de rapporter ces mesures à la vision est grande.les œuvres d’Alberti sont proportionnée strictement d’après l’analogie musicale et nul ne contestera leur qualité.

Proportion et musique:

le dimensionnement des ordres antiques part de l’élément unitaire de base, le diamètre de la colonne. Ce diamètre sert d’unité de mesure pour définir la hauteur de la colonne, mais aussi celle des bases, des chapiteaux, entablements. Cette même mesure règle aussi l’espace libre entre les colonnes.les architectes de la renaissance répondront les mêmes systèmes de mesure pour fixer les proportions des colonnades ; des portiques et des arcades dont ils firent grand usage. C’est ainsi qu’ont été étudiés, soigneusement dimensionnés les admirables motifs de Brunnelleschi ou de Palladio. Qui montrent à ceux qui les contemplent la force extraordinaire des seules proportions, l’unité des formes par la justesse des mesures. Rappelons-nous ce que disait Albert Durer en 1525 : « l’art de la mesure sans lequel personne ne peut devenir créateur … s’atteler à la mesure et y découvrir par l’œil et l’esprit l’authentique vérité ».

La proportion et l’architecture

.L’ordre dorique : c’est le premier et le plus simple des trois ordres grecs. La colonne dorique a de quatre à huit diamètres de haut. Son chapiteau se compose de moulures, filets et quarts de rond. Il apparaît au VIe siècle av. J.-C.. Parmi les bâtiments doriques les plus célèbres, le Parthénon à Athènes.

Dans les ordres classiques grecs:

.L’ordre corinthien :apparu au milieu du Ve siècle av. J.-C. , et dont le caractère est surtout déterminé par un chapiteau décoré de rangées de feuilles d’acanthe. La colonne corinthienne a ordinairement dix diamètres de haut.

.L’ordre ionique: apparu vers 560 av. J.-C.. La colonne ionique va jusqu'a neuf diamètres de hauteur et est caractérisée par un chapiteau orné de deux volutes latérales. Des modèles de ces colonnes peuvent être vus dans les temples de la Fortune, Virile et de Marcellus à Rome.

a

4à 8

a

C’est une règle qui vaux à toute les échelles, depuis l’objet usuel jusqu’à la ville. La proportion des espaces urbains, des vides aussi bien que des volumes construits, doit pouvoir s’apprécier d’une manière sensible, pour cela, les proportions du plan sont absolument décisives, c’est encore là une catégorie qui traverse tous les modes de composition.

La proportion est une composante essentielle de la qualité des espaces construits ou non.

en ce qui concerne les ordres , on ne cherche les rapports de mesures au pied de la colonne, mais à son milieu. Les fûts des colonnes des ordres grecs étant coniques, il est clair que les rapports entre le diamètre de ces colonnes, leur hauteur et leurs entrecolonnements, différeront sensiblement si l'on mesure l'ordre à la base de la colonne au milieu du fût. Or, prenant les mesures au milieu du fût, on trouve des rapports de mesure tels, par ex, que 5 pieds pour les colonnes, 10 pieds pour les entrecolonnements.

La ligne de séparation d’une surface, la division d’une droite s’apprécie immédiatement et l’on peut s’apercevoir que sa position est plus au moins harmonieuse selon qu’elle est placée au centre ; divisant la surface en deux parties égales ou près des extrémités en opposant des surfaces trop inégales.les bons rapports, les plus beaux se situent quelque part entre le tiers et la moitié, le plus parfait étant celui défini par le célèbre nombre d’or, la divine proportion (1509). On connait la théorie mathématique de cette proportion et sa construction géométrique (la diagonale rabattue du demi-carré) qui a donné naissance à de nombreux tracés régulateurs, sur les façades classiques et modernes.

Introduction:

Le nombre d’or et le modulor:

•Le nombre d’or:

L'apparition du nombre d'or remonte à la préhistoire. Ayant appris à diviser un cercle en 5 ou en 10, les hommes en vinrent au pentagone et au décagone , et dès lors ils avaient sous les yeux le nombre d'or.

Ses propriétés algébriques et géométriques:

Cet architecte et ingénieur militaire romain, 1er siècle avant notre ère; étudia l'art architectural des Grecs et tout particulièrement les proportions utilisées ainsi que les proportions du corps humain déclare qu’il y a section d’or quand: « Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que la grande au tout. ».

Dans son De Architectura, Vitruve évoque longuement les proportions du corps humain, en étroite relation avec les lois d'une architecture harmonieuse, dont Léonard de Vinci s'inspirera pour son Étude des proportions du corps humain

Le partage en "extrême et moyenne raison" d'un segment: Euclide (365 - 300 av. J.C.)

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment,ainsi est le plus grand relativement au plus petit.

Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition.

Soit A, B, et C trois points sur une droite;

si le point C est tel que :

il est alors le point d'or ou section dorée du segment AB.

,

• Kepler, Johannes (1571-1630), astronome et physicien allemand, célèbre pour ces lois en astrophysiqueKepler appela la proportion précédente "divine

proportion". Il en détermina la valeur:Si x et 1 sont les longueurs des segments AC et CB respectivement.

2 solutions:

La solution positive est le nombre d'or; il est représenté par la lettre grecque Ø (phi); en hommage au sculpteur grec Phidias (490 430 av J.C) qui décora le Parthénon à Athènes . Ø= 1.618

La suite de Fibonacci et le nombre d'or

Fibonacci (1175 - 1240) ,Léonardo Pisano, ou Léonard de Pise.c’est l'un des plus grands mathématiciens du Moyen-âge.Il a introduit la numération décimale et l'écriture arabe des chiffres en Occident, en ramenant dans son livre Liber abaci, les connaissances acquises en Algérie où travaillait son père. célèbre problème de prolifération des lapins dû au mathématicien italien "Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de chaque mois si commençant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence ?"

Au premier mois, il y aura 1 couple. Au deuxième, il y aura 1 couple. Au troisième mois, il y aura 2 couples. Et ainsi de suite pour obtenir la suite de Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ;.... ,dont chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.1+1=2 1+2=3 2+3=5 5+3=8 ……etc. En prenant les rapports de deux nombres successifs de la suite, on constate que ces rapports se rapprochent du nombre d’or

•Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituées de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l'époque, relatives au corps humain

•Pour passer d'une mesure à la suivante, on peut constater que l'on multiplie par le nombre d'or , environ 1,618.

Ses propriétés algébriques et géométriques :

Carré du nombre d'or:

Pour calculer le carré du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1 Inverse du nombre d'or:

Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui soustraire 1

Puissances du nombre d'or: Pour obtenir une puissance du nombre d'or, il suffit de connaître les deux puissances précédentes et de les additionner, ce qui est exactement le procédé de construction de la suite de Fibonacci !

Le rectangle d’or:

On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur vaut le nombre d'or.

Si de ce rectangle, nous supprimons le carré de côté de longueur b, alors le rectangle restant est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport φ. nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits.

Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré,

a

b= Ø

Si on demande à des personnes de dessiner un

rectangle quelconque, le rectangle sera (dans 77% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du rectangle d'or.

Triangles d'or

Les triangles d'or sont des triangles isocèles dont le rapport des côtés est égal au nombre d'or. Il en existe de deux types. Ceux pour lesquels le rapport côté / base vaut φ qui donnent des triangles aigus appelés parfois triangles d'argent et ceux pour lesquels le rapport base / côté vaut φ.

•Soit C le point du segment AD tel que la distance AC soit égale à b alors le triangle BCD est un triangle d'or et le triangle ABC est un triangle d’argent

b

Pour construire une spirale d’or, on construit un rectangle d’or dans lequel on construit un grand carré de côté la longueur du rectangle. On réitère l’opération dans le rectangle restant qui est un rectangle d’or … et ainsi de suite, … Puis, on construit des quarts de cercle dans les carrés.

Spirale d’or

Le côté du pentagone étoilé est phi fois le côté du pentagone convexe.       AB/AD=phi=1,618 (le nombre d'or) 

Le pentagone

on trouve aussi ce rapport pour assurer des croissances harmonieuses (fleurs, fruits, coquilles, cornes...)

Dans la nature:

Le nautile Le nautile est un coquillage dont l' intérieur présente  une spirale formée d'une douzaine de petites loges Plus l'animal grandit, plus la taille des loges s'accroît mais sa forme conserve la structure d'une spirale logarithmique ou le rapport entre deux rayons vecteurs opposés est le nombre d'or = 1.618 . Le modèle mathématique se superpose exactement  à la réalité .

Ø

L'un qui tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse.

Dans un ananas ou une pomme de pin les écailles s'organisent en deux ensembles de spirales:

En coupant une pomme ou une poire en deux dans le sens de son équateur, on y découvre les pépins disposés en étoile à 5 branches.

Le nombre d'or se retrouve un peu partout dans les arts : peinture, sculpture, musique, ...

Dans les arts:

Le Parthénon d'Athènes fait apparaître un peu partout le nombre d'or . Il s'inscrit dans un rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d'or.

Sur la figure :• DC/DE = Phi

•la toiture du temple: GF/GI =Phi

Le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par rapport à sa demi base est égal au nombre d'or.

Le personnage de saint Jérôme est encadré dans un parfait rectangle d’or

Ce tableau, de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli explique un théorème, fait apparaitre le partage la " divine proportion "d'or : Si E est la projection orthogonale sur (D C) de l'extrémité de l'index de la main gauche du moine on a : DC / DE = PhiPar ailleurs, le pouce et l'index gauches de Fra Luca Pacioli partage la hauteur du livre selon la section dorée

Le nombre d'or présente un intérêt réel en matière d'esthétique;Mais il ne peut que donner à un ensemble de bâtiments ayant des concepteurs différents un début d'harmonie commune. Son rôle principal concernerai des question d'urbanisme plus que d'architecture;

Le Corbusier 1887-1965 architecte français d'origine Suisse.

•Le Corbusier et le Modulor

LE MODULOR Présenté en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un système de mesure basé sur les proportions du corps humain mis au point à  partir de 1943. Il prendra de l'ampleur après sa présentation.

Il va, a l’âge de 23 ans se posait une question : « quelle est la règle qui ordonne, qui lie toute les choses? »A partir de la, sa recherche va s’axer vers les tracées régulateurs et une normalisations des dimensions qui va aboutir au MODULOR, qu’il fera breveter en 1945.

Il construit et représente sa grille sur la silhouette d'un homme debout, levant un bras. Comme ceux ci il aménage l'espace architectural pour que le corps s'y reconnaisse.Sa réflexion sur le comportement de l'homme, sur l'équilibre des volumes, de leurs dimensions et proportions l'amène à établir une grille de mesures s'appuyant sur le "Nombre d'Or". Il construit sa grille par rapport aux différentes parties du corps humain et l'appelle "le Modulor".

Le Corbusier utilise la section d’or d’un carré d’à peu près un mètre de coté après un processus géométrique complexe il aboutit a une grille.

•C'est avant tout la prise en compte de l'homme, qui guide les choix architecturaux de Le Corbusier.

Le Corbusier ; s’appuyant sur les séries de Fibonacci du XIIIème siècle ; a eu le mérite de ramener le nombre d’or à des nombres rationnels applicables à l’architecture. Son modulor est le système de proportions le plus novateur et le plus important élaboré par un architecte du XXème siècle.

Le principe de ses séries est connu depuis des siècles. La construction de le Corbusier réside dans le fait d’être parvenu à réunir un principe géométrique fondamental avec des nombres rationnels et des dimensions significatives pour le corps et les gestes de l’homme.

La grille fournit 3 mesures 113,70,43 qui sont en rapport avec Phi et la série Fibonacci 43+70=113 113+70=183 113+70+43=226

Ces trois mesures sont celles qui caractérisent l’occupation de l’espace par un homme de 6 pieds

La mesure 113 fournit la section d’or 70 (série rouge)

La mesure 226(double) fournit la section 140 (série bleue)

Une division de la hauteur totale en segments dont les rapports voisins correspondent au nombre d’or, donne la série de Fibonacci (226, 86,53, 33,20,….) . Une division successive de la demi hauteur, donne la deuxième série de Fibonacci (113, 70, 43, 27,16…).

226/140=1,61=phi; 183/113=1,62=phi; 140/186=1,62=phi; 113/70=1,61=phi; 70/43=1,62=phi; 43/27=1,6=phi  

Dans Le Modulor on a les rapports suivants:

Statures humaines selon Le Corbusier

Hauteur de plafond : 226 cmHauteur de table : 70 cm Hauteur d'un élément de cuisine : 86 cm Hauteur de chaise : 43 cm Hauteur de bar : 113 cm

Ces valeurs sont utilisées pour mettre en œuvre un milieu de vie dans lequel on se sent bien.

Quelques exemples de l'échelle du Modulor :

Maison individuelle- Le Corbusier:

On constate que la balustrade, le rebord en ciment, les fenêtres du premier et deuxième étage sont placés selon le rapport phi . De plus, la façade s'inscrit à peu prés dans un rectangle d'or.  

AG/GE=phi; AE/AC=phi; CE/DE=phi; BD/BC=phi; BC/BF=phi

Tracé régulateur de la façade de la Villa LA ROCHE:

Le Corbusier va désormais recourir au modulor dans toutes ces conceptions, apogée de l’utilisation étant la « Cité Radieuse de Marseille » où absolument tout sera calculé en fonction du modulor aussi bien l’aspect technique, fonctionnelle qu’esthétique. En appliquant le modulor à son

unité d’habitation de Marseille, le Corbusier a pourtant démontré comment sa méthode pouvait mener à des proportions agréables pour l’œil et le corps.

L’unité d’habitation de Marseille:

Le modulor n’a eu qu’un succès très limité jusqu’à présent. Il est en effet peu pratique, par ce qu’on ne trouve presque jamais des multiples d’une mesure plus petite dans les nombres plus élevés sauf dans le voisinage immédiat des deux séries.Comme la construction est forcément un processus d’addition d’éléments identiques, la standardisation n’a pas pu se servir du modulor comme le Corbusier l’aurait souhaité.

Combien de fois nous est-il arrivé de tomber en arrêt devant la façade d’une maison paysanne, la plus simple, pour apprécier le rapport du mur et du toit, l’emplacement de la porte et de la fenêtre, leur hauteur et leur largeur et la façon dont elles mettent en valeur le mur plein qui les entoure. Certes, il s’agit bien là d’une catégorie permanente de la composition!  

CONCLUSION:

Le fait que l’on éprouve la sensation d’être bien, d’occuper un espace qui nous convient est souvent du aux bonnes proportions de cet espace même si l’on ne s’en rend pas très bien compte. A l’inverse, un espace mal proportionné sera toujours difficilement habitable.