ตรรกะ เพรดิเคต (predicate logic)

หลั�กการปั�ญญาปัระดิ�ษฐ์� : ตรรกะเพรดิ�เคตAI 1

ตรรกะเพรดิ�เคต(Predicate Logic)

• ไวยากรณ์�และความหมาย (Syntax and Semantic)• การอนุ�มานุ (Inference)• การทำ�าให�เทำ�าก�นุ (Unification)• ร�โซล!ชั�นุ (Resolution)

การแทนความร� �ทางปั�ญญาปัระดิ�ษฐ์� โดิยตรรกะเพรดิ�เคต


ตรรกะเพตดิ�เคต (Predicate Logic)

• การแทนความร� � (Knowledge Representation) ทางปั�ญญาปัระดิ�ษฐ์�ม�หลัายว�ธี� เช่"น Rules Frames Bayesian Networks Predicate Logic อื่$%นๆ


Syntax และ Semantic• เพรดิ�เคตลัอื่จิ�ก ม�อื่งค�ปัระกอื่บดิ�งน�)

สั�ญลั�กษณ์�เพรดิ�เคต (Predicate Symbol) ใช่�ต�วอื่�กษร 1 ต�วขึ้.)นไปั ขึ้.)นต�นดิ�วยต�วอื่�กษรต�วใหญ" เช่"น P, Q, R, Father หร$อื่ FATHER เปั0นต�น

สั�ญลั�กษณ์�ต�วแปัร (Variable Symbol) ใช่�ต�วอื่�กษร 1 ขึ้.)นไปั เปั0นต�วอื่�กษรต�วเลั1ก เช่"น x, y แลัะ z เปั0นต�น

สั�ญลั�กษณ์�ฟั�งก�ช่�น (Function Symbol) ใช่�ต�วอื่�กษร 1 ขึ้.)นไปั เปั0นต�วอื่�กษรต�วเลั1ก เช่"น f, g แลัะ h เปั0นต�น

สั�ญลั�กษณ์�ค"าคงท�% (Constant Symbol) ใช่�ต�วอื่�กษร 1 ต�วขึ้.)นไปั ขึ้.)นต�นดิ�วยต�วอื่�กษรต�วใหญ" เช่"น A, B, C, Somchai หร$อื่ SOMCHAI เปั0นต�น

เคร$%อื่งหมายวงเลั1บ เช่"น { }, ( ) แลัะ [ ] เปั0นต�น


Syntax และ Semantic (ต�อ)

• สั�ตรท�%ถู�กต�อื่งตามหลั�กไวยากรณ์�ขึ้อื่งตรรกะเพรดิ�เคต เร�ยกว"า สั�ตรร�ปัดิ� (well form formula; wff)

• สั�ตรอื่ะตอื่ม (Atomic Formula) ค$อื่สั�ตรท�%เลั1กท�%สั4ดิท�%ถู�กต�อื่งตามหลั�กไวยากรณ์� เช่"น FATHER(SOMCHAI, SOMSRI)

Predicate Symbol ใชั�แสดิงความส�มพ�นุธ์�ของส�'ง

ต�างๆในุ domain นุ�)นุ เชั�นุ

SOMCHAI และ SOMSRI ค*อค�าคงทำ�' (Constant)


ต�วอย�างการเข�ยนุเพรดิ�เคตตรรกะตามหล�กไวยากรณ์�

• FATHER(x,y)

• Daughter(SOMSRI,x) SOMSRI เปั0นค"าคงท�% สั"วน x เปั0นต�วแปัร

• HAS-MONEY(SOMCHAI,salary(SOMCHAI)) salary เปั0นฟั�งก�ช่�นท�%ใช่�หาค"าเง�นเดิ$อื่น

x แลัะ y ค$อื่ต�วแปัร (Variable Symbol)


การแปลความหมาย (Interpretation)

• การแปัลัความหมาย ค$อื่ การก5าหนดิค"าให�ก�บเพรดิ�เคต ต�วแปัร แลัะฟั�งก�ช่�น ใน domain น�)นๆขึ้อื่งสั�ตรอื่ะตอื่ม

• เม$%อื่ม�การน�ยามการแปัลัความหมายให�ก�บสั�ตรอื่ะตอื่มแลั�ว เราสัามารถูหาค"าทางตรรกะให�ก�บสั�ตรอื่ะตอื่มน�)นๆไดิ� ว"าเปั0น จิร�ง (True) หร$อื่ เท1จิ (False) เช่"น FATHER(x,y) ก5าหนดิให� FATHER ค$อื่ความสั�มพ�นธี�เปั0นพ"อื่

โดิย x เปั0นพ"อื่ขึ้อื่ง y แลัะก5าหนดิให� x ค$อื่นาย ก. แลัะ y ค$อื่นาย ขึ้.


ต�วเชั*'อม (Connective)• ต�วเช่$%อื่มใช่�เช่$%อื่มสั�ตรอื่ะตอื่มหลัายสั�ตรเขึ้�าดิ�วยก�นเพ$%อื่เปั0น

สั�ตรใหม"• ต�วเช่$%อื่มในเพรดิ�เคตตรรกะม�ดิ�งน�)

และ (and) ใช่�สั�ญลั�กษณ์� หร*อ (or) ใช่�สั�ญลั�กษณ์� นุ�เสธ์ (not) ใช่�สั�ญลั�กษณ์� ~ ถ้�า-แล�ว (If-then) (Implication) ใช่�สั�ญลั�กษณ์�

• การใช่�ต�วเช่$%อื่มแลัะ John lives in a yellow house.

LIVE(JOHN,HOUSE-1)^COLOR(HOUSE-1,YELLOW)


ต�วเชั*'อม (Connective) (ต�อ)

• การใช่�ต�วเช่$%อื่มน�เสัธี John don’t write computer-chess

~WRITE(JHON,COMPUTER-CHESS)

• การใช่�ต�วเช่$%อื่มถู�า-แลั�ว If the car belongs to John then it is

green

OWNS(JHON,CAR-1) COLOR(CAR-1,GREEN)


ต�วบ่�งปร�มาณ์ (Quantifier)

• ต�วบ"งปัร�มาณ์เอื่กภพ (Universal Quantifier) ใช่�สั�ญลั�กษณ์�

• ต�วบ"งปัร�มาณ์ม�อื่ย�" (Existential Quantifier) ใช่�สั�ญลั�กษณ์�

• ต�วอื่ย"างการใช่�ต�วบ"งปัร�มาณ์ All Elephants are gray.

There is a person who wrote computer-chess.

• เน$)อื่หาท�%จิะสัอื่นในเร$%อื่งน�)จิะกลั"าวถู.ง First-order predicate logic เท"าน�)น

( ( ) ( , ))x ELEPHANT x COLOR x GRAY

( ( , ))x WRITE x COMPUTER CHESS


ต�วอย�างการเข�ยนุตรรกะเพรดิ�เคต

สั�ตรร�ปัดิ�ท�%ถู�กต�อื่ง เช่"น

สั�ตรร�ปัดิ�ท�%ไม"ถู�กต�อื่ง เช่"น


การอนุ�มานุ (Inference)• กฎโมดิ�สัโพเน1นสั� (Modus Ponens)

W1 W2

• กฎเจิาะจิงต�วแปัรเอื่กภาพ (Universal Specialization)

W1W2

( ( ))x W x

( )W A


ต�วอย�างการอนุ�มานุ

( 1( ) 2( ))x W x W x

1( ) 2( )W A W A

1( )W A

2( )W A

Universal SpecializationModus Ponens

สั�ตรใหม"ท�%ไดิ�จิากการอื่น4มาน เร�ยกว"า Theorem


การแทำนุค�า (Substitution)

• การแทนค"า ค$อื่การแทนพจิน� (term) ให�ก�บต�วแปัรในสั�ตร โดิยสั�ตรท�%ไดิ�จิากการแทนค"าเร�ยกว"า ต�วอย�างการแทำนุ (Substitution Instance)

• ต�วอื่ย"าง Substitution Instance ขึ้อื่ง P(x,f(y),B) เช่"น P(z,f(w),B) หร$อื่ P(C,f(A),B)

• การแทนค"าสัามารถูเขึ้�ยนให�อื่ย�"ในร�ปัขึ้อื่งเซ็1ตค�"ลั5าดิ�บ

s = {t1/v1, t2/v2,…, tn/vn} โดิย tn ค$อื่ term ท�% n น5ามาแทนค"าใน variable ท�% n (vn)


การแทำนุค�า (Substitution) (ต�อ)

• ต�วอื่ย"างเซ็1ตค�"ลั5าดิ�บขึ้อื่งการแทนค"า ถู�า Substitution Instance ขึ้อื่ง P(x,f(y),B) ค$อื่

P(z,f(w),B) สัามารถูเขึ้�ยนค�"ลั5าดิ�บขึ้อื่งการแทนค"าไดิ�ค$อื่ s1 = {z/x, w/y}

ถู�า Substitution Instance ขึ้อื่ง P(x,f(y),B) ค$อื่ P(C,f(A),B) สัามารถูเขึ้�ยนค�"ลั5าดิ�บขึ้อื่งการแทนค"าไดิ�ค$อื่ s2 = {C/x, A/y}

• เราสัามารถูเขึ้�ยนสั�ตรใหม"ท�%ไดิ�จิากการแทนค"า s ในสั�ตร E (ต�วอื่ย"างขึ้�างบน)ดิ�งน�) P(z,f(w),B) = P(x,f(y),B)s1

P(C,f(A),B) = P(x,f(y),B)s2


การทำ�าให�เทำ�าก�นุ (Unification)

• สั�ตร 2 สั�ตรใดิๆ (สั�ตร E1 แลัะ สั�ตร E2) สัามารถูท5าให�เท"าก�นไดิ� ถู�าม�ต�วแทนค"า (s) ท�%ท5าให� (E1)s = (E2)s โดิยเราจิะเร�ยก s ว"า ต�วทำ�าให�เทำ�าก�นุ (Unifier) ขึ้อื่ง E1 แลัะ E2 เช่"น E1 = P(x,f(y),B) แลัะ E2 = P(x,f(B),B)

Unifier ขึ้อื่ง E1 แลัะ E2 ค$อื่ s = {A/x,B/y}

(E1)s = P(A,f(B),B) แลัะ (E2)s = P(A,f(B),B)

• ต�วท5าให�เท"าก�นกว�างสั4ดิ (Most General Unifier; mgu) ค$อื่ต�วท5าให�เท"าก�นท�%ใช่�การแทนค"าท�%น�อื่ยท�%สั4ดิ

• mgu ขึ้อื่ง E1 = P(x,f(y),B) แลัะ E2 = P(x,f(B),B) ค$อื่ s = {B/y} ซ็.%งจิะไดิ�(E1)s = (E2)s = P(x,f(B),B)


อ�ลกอร�ทำ.มในุการหา mguAlgorithm Unify(L1,L2)1. If L1 หร$อื่ L2 เปั0นต�วแปัรหร$อื่ค"าคงท�% Then

If L1 = L2 Then ค$นค"า NIL

Else If L1 เปั0นต�วแปัร Then

If L1 ปัรากฏใน L2 Then ค$นค"า {Fail} Else ค$นค"า {L2/L1}

Else If L2 เปั0นต�วแปัร Then

If L2 ปัรากฏใน L1 Then ค$นค"า {Fail} Else ค$นค"า {L1/L2}

Else ค$นค"า {Fail}


อ�ลกอร�ทำ.มในุการหา mgu (ต�อ)

2. If สั�ญลั�กษณ์�เพรดิ�เคต หร$อื่ สั�ญลั�กษณ์�ฟั�งก�ช่�น ขึ้อื่ง L1 ไม"เท"าก�บ L2 Then ค$นค"า {Fail}3. If L1 ม�จิ5านวน argument ไม"เท"าก�บ L2 Then ค$นค"า {Fail}4. SUBST = NIL5. For i =1 to จิ5านวน argument ขึ้อื่ง L1 Do 5.1 เร�ยก algorithm unify ดิ�วย argument ต�วท�% i ขึ้อื่ง L1 แลัะ L2 เก1บผลัลั�พธี�ท�% S 5.2 If S = Fail Then ค$นค"า {Fail} 5.3 If S ไม"เท"าก�บ NIL Then 5.3.1 แทนค"าพจิน� (term) ให�ก�บต�วแปัรใน L1 แลัะ L2 ตาม S 5.3.2 SUBST = append(S,SUBST)6. ค$นค"า SUBST


ร�โซล!ชั�นุ (Resolution)• ร�โซ็ลั�ช่�น เปั0นการอื่น4มานท�%ใช่�ก�บสั�ตรท�%เปั0นอื่น4ปัระ

โยค (Clause)• อื่น4ปัระโยค (Clause) ค$อื่สั�ตรท�%อื่ย�"ในร�ปั disjunction ขึ้อื่ง

literals (การ or ก�นขึ้อื่ง atomic formulas) เช่"น P(x) v Q(x,y) v ~R(A)

• การแปัลังตรรกะเพรดิ�เคตไปัเปั0นอื่น4ปัระโยค

1. Eliminate implication symbols : เปัลั�%ยนร�ปั ไปัเปั0น

2. Reduce scope of negation symbols

( ){ ( ) {( )[ ( ) ( ( , ))] ~ ( )[ ( , ) ( )]}}x P x y P y P f x y y Q x y P y

X Y ~ X Y( ){~ ( ) {( )[~ ( ) ( ( , ))] ~ ( )[~ ( , ) ( )]}}x P x y P y P f x y y Q x y P y

( ){~ ( ) {( )[~ ( ) ( ( , ))] ( )[ ( , ) ~ ( )]}}x P x y P y P f x y y Q x y P y


การแปลงตรรกะเพรดิ�เคตไปเป/นุอนุ�ประโยค

3. Standardize variables : เปัลั�%ยนช่$%อื่ต�วแปัรตามขึ้อื่บเขึ้ตขึ้อื่งต�วบ"งปัร�มาณ์

4. Eliminate existential quantifiers : แทนค"าต�วแปัรดิ�วย skolem function

5. Convert to prenex form ย�ายต�วบ"งปัร�มาณ์เอื่กภพมาอื่ย�"หน�าสั4ดิ โดิยร�ปัแบบท�%ไดิ�ใหม"น�)เร�ยกว"า prenex form

( ){~ ( ) {( )[~ ( ) ( ( , ))] ( )[ ( , ) ~ ( )]}}x P x y P y P f x y w Q x w P w

( ){~ ( ) {( )[~ ( ) ( ( , ))] [ ( , ( )) ~ ( ( ))]}}x P x y P y P f x y Q x g x P g x

( )( ){~ ( ) {[~ ( ) ( ( , ))] [ ( , ( )) ~ ( ( ))]}}x y P x P y P f x y Q x g x P g x


การแปลงตรรกะเพรดิ�เคตไปเป/นุอนุ�ประโยค (ต�อ)

6. Put prenex form in conjunctive normal form : ท5าให�สั�ตรท4กต�วเช่$%อื่มก�นดิ�วย And (^)

7. Eliminate universal quantifier : ต�ดิต�วปัร�มาณ์เอื่กภพท�)งไดิ�เลัย เน$%อื่งจิากต�วแปัรท4กต�วม�ต�วบ"งปัร�มาณ์เปั0น ต�วบ"งปัร�มาณ์เอื่กภพท�)งสั�)น

8. Eliminate ^ symbol : แทน ดิ�วยเซ็ต {X1,X2,…,Xn} โดิยท�% Xi เปั0น disjunction of literals หร$อื่ อื่น4ปัระโยค ซ็.%งจิะไดิ� 3 อื่น4ปัระโยค

( )( ){[~ ( ) ~ ( ) ( ( , ))] [~ ( ) ( , ( ))] [~ ( ) ~ ( ( ))]}x y P x P y P f x y P x Q x g x P x P g x

[~ ( ) ~ ( ) ( ( , ))] [~ ( ) ( , ( ))] [~ ( ) ~ ( ( ))]P x P y P f x y P x Q x g x P x P g x

( 1 2 ... )X X Xn

1) ~ ( ) ~ ( ) ( ( , ))P x P y P f x y 2) ~ ( ) ( , ( ))P x Q x g x 3) ~ ( ) ~ ( ( ))P x P g x


9. Rename variables : เปัลั�%ยนช่$%อื่ต�วแปัร เพ$%อื่ให�แต"ลัะอื่น4ปัระโยคม�ต�วแปัรไม"ซ็5)าก�น

การแปลงตรรกะเพรดิ�เคตไปเป/นุอนุ�ประโยค (ต�อ)

1 11) ~ ( ) ~ ( ) ( ( , ))P x P y P f x y

2 2 22) ~ ( ) ( , ( ))P x Q x g x

3 33) ~ ( ) ~ ( ( ))P x P g x


ร�โซล!ชั�นุของอนุ�ประโยคพ*)นุฐานุ

• อื่น4ปัระโยคพ$)นฐ์าน (Ground Clause) ค$อื่อื่น4ปัระโยคท�%ไม"ม�ต�วแปัร

• ในการท5าร�โซ็ลั�ช่�นขึ้อื่งอื่น4ปัระโยคพ$)นฐ์านจิะร�บอื่น4ปัระโยคพ"อื่แม" (Parent Clause) 2 อื่น4ปัระโยค สั"วนอื่น4ปัระโยคผลัลั�พธี�ท�%ไดิ�เร�ยกว"า ร�โซ็เวนท� (Resolvent)

1 2 ...P P Pn ~ 1 2 ...P Q Qm

2 ... 2 ...P Pn Q Qm


ร�โซล!ชั�นุของอนุ�ประโยคพ*)นุฐานุ (ต�อ)

Parent Clauses

Resolvent

P and ~P Q Q

P Q and ~P Q

Q

P Q and ~P ~Q

~Q Q or ~P P

~P P NIL

~P Q and ~Q R

~P R


ร�โซล!ชั�นุทำ�'วไป (General Resolution)

• ในการท5าร�โซ็ลั�ช่�นก�บอื่น4ปัระโยคท�%ม�ต�วแปัรน�)น ต�อื่งใช่�การท5าให�เท"าก�น เพ$%อื่ท5าให�อื่น4ปัระโยคพ"อื่แม"ปัระกอื่บดิ�วยสั�จิพจิน�เต�มเต1ม (Complimentary Literals)

• สั�จิพจิน�เต�มเต1ม ค$อื่สั�จิพจิน� (Literals) ท�%ต"างก�นเฉพาะเคร$%อื่งหมายน�เสัธี (~) เช่"น P(x) แลัะ ~P(x)


ร�โซล!ชั�นุทำ�'วไป (General Resolution) (ต�อ)

การทำ�าร�โซล!ชั�นุทำ�'วไปประกอบ่ดิ�วยข�)นุตอนุดิ�งนุ�)1. ก5าหนดิให� Parent Clause ค$อื่ {Li} แลัะ {Mi}

2. {li} แลัะ {mi} เปั0นเซ็1ตย"อื่ยขึ้อื่ง {Li} แลัะ {Mi}

ตามลั5าดิ�บ โดิยม� s ซ็.%งเปั0น mgu ขึ้อื่ง {li} แลัะ {~mi}

3. Resolvent ขึ้อื่งอื่น4ปัระโยค {Li} แลัะ {Mi}ค$อื่ {{Li} - {li}}s {{Mi} - {mi}}s

4. สั5าหร�บ 2 อื่น4ปัระโยคใดิๆ อื่าจิม�การท5า Resolvent มากกว"า 1 คร�)ง ขึ้.)นอื่ย�"ก�บการเลั$อื่ก {li} แลัะ {mi}


ต�วอย�างการทำ�าร�โซล!ชั�นุทำ�'วไปก5าหนดิให� {Li} = {P[x,f(A)],P[x,f(y)],Q(y)}

{Mi} = {~P[z,f(A)],~Q(z)}

{li} = {[P(x,f(A)]} {mi}

= {~P[z,f(A)}

จิาก {li} แลัะ {mi} จิะไดิ� • จิะไดิ� Resolvent เปั0น {P[z,f(y)], Q(y),

~Q(z)}

• แต"ถู�าให� {li} = {P[x,f(A)],P[x,f(y)]} แลัะ {mi} = {~P[z,f(A)}

• จิะไดิ� Resolvent เปั0น {Q(A),~Q(z)}

s = {z/x}

s = {z/x,A/y}


การปฏิ�เสธ์แบ่บ่ร�โซล!ชั�นุ (Resolution Refutation)

• สั�จิพจิน� (Literals) 2 ต�วใดิๆจิะขึ้�ดิแย�งก�นหร$อื่ไม" จิะดิ�ว"าสั�จิพจิน�ต�วหน.%งสัามารถูท5าให�เท"าก�น (unify) ก�บน�เสัธีขึ้อื่งสั�จิพจิน�อื่�กต�วหน.%งไดิ�หร$อื่ไม" เช่"น MAN(x) ก�บ ~MAN(Spot) ขึ้�ดิแย�งก�น

ว�ธี�การปัฏ�เสัธีแบบร�โซ็ลั�ช่�น ค$อื่การพ�สั�จิน�ว"าสั�ตร (wff) W เปั0นผลัสัร4ปัขึ้อื่งเซ็1ตขึ้อื่งสั�ตร K ท5าไดิ�โดิยการพ�สั�จิน�ว"า

ขึ้�ดิแย�งก�น

เนุ*'องจากเราสามารถ้ทำ�าให� MAN(x) เทำ�าก�นุก�บ่ MAN(Spot)

{~ }K W


K = {MAN(Marcus),~MAN(x) V MORTAL(x)}W = MORTAL(Marcus) = {MAN(Marcus),~MAN(x) V MORTAL(x),~MORTAL(Marcus)}

การปฏิ�เสธ์แบ่บ่ร�โซล!ชั�นุ (Resolution Refutation) (ต�อ)

{~ }K W

~MORTAL(Marcus) ข�ดิแย�งก�บ่ MAN(Marcus) และ ~MAN(x) V MORTAL(x) แสดิงว�า MORTAL(Marcus) เป/นุผลสร�ปของ K


K = {MAN(Marcus),~MAN(x) V MORTAL(x)}W = MORTAL(Marcus) = {MAN(Marcus),~MAN(x) V MORTAL(x),~MORTAL(Marcus)}

การปฏิ�เสธ์แบ่บ่ร�โซล!ชั�นุ (Resolution Refutation) (ต�อ)

{~ }K Wจากการทำ�าร�โซล!ชั�นุระหว�าง ~MAN(x) V MORTAL(x) และ ~MORTAL(Marcus) จะไดิ� ~MAN(Marcus) ซ.'งข�ดิแย�งก�บ่อนุ�ประโยคแรก (MAN(Marcus)) แสดิงว�า MORTAL(Marcus) เป/นุผลสร�ปของ K


ต�วอย�างการปฏิ�เสธ์แบ่บ่ร�โซล!ชั�นุ

ตรรกะ เพรดิเคต (predicate logic)

Documents