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TRANSCRIPT
Propriétés remarquables de certains modes de Lamb
Applications
Claire Prada avec Daniel Royer, Dominique Clorennec,
Franck Philippe, Maximin Ces et Jérôme Laurent
Institut Langevin, Ondes et Image – ESPCI – CNRS, Paris
Journée scientifique de la Fed3G Mardi 11 Juin 2013
Local resonance of a plate : impact echo method
Impact Echo method for testing concrete structures in civil engineering
(NIST, Cornell University, Sansalone 1986).
• In 1998 an empirical correction factor b=0.96 was introduced in ASTM* C 1383
standard for measuring the thickness of concrete plates.
Apparent longitudinal velocity bVL and resonance at f = b V L
2d
* American Society for Testing and Materials
‘Expected’ Resonance at V L
2d fL=
d
V L
2d f < but measured resonance at
First longitudinal thickness mode
Pulsed Laser excitation of a plate
Duralumin plate
Thickness d = 500µm
Longitudinal velocity VL = 6.34 mm/µs,
Frequency content of the normal surface displacement
Below the thickness
resonance V L
2d
f2d 6 < VL
Laser source Interferometer
Quelques questions
1. Quelle est cette résonance ?
2. Que faire de cette résonance ?
3. Comment cette résonance décroit-elle ?
4. Existe-t-il d’autres résonances de ce type ?
5. Qu’en est-il pour les plaques anisotropes ?
Nd:YAG laser (1064 nm)
Pulse duration : 20ns
Energie : 4mJ
Heterodyne interferometer BW : 20kHz - 40 MHz (532 nm)
Duralumin plate Thickness (d) : 0.49 mm
Pulse laser Experiment
Pulse laser source couples very well into a narrow resonance
Normal surface displacement
Low frequency mode
Reflected mode
High frequency
Dis
pla
cem
en
t (n
m)
Time (µs)
Duralumin plate d = 0.49 mm
Source and detection
superimposed
Am
pli
tud
e (
A.U
)
Frequency (MHz)
Frequency spectrum
Acquisition time : 4 ms (excitation 10ns)
Dis
pla
cem
ent
(nm
)
Time (µs)
…… a very narrow resonance indeed!
f = 430 Hz
Quality factor:
Q = 13 400
Frequency (MHz)
Duralumin plate d = 0.49 mm
Source and detection
superimposed
Detection
- step 10µm
- Ø detection = 30µm
Source:
Ø beam = 1mm
Moving detection point
Experiment on the 0.5 mm Duralumin plate
propagation measurement
dB
Tim
e (µ
s)
Distance (mm)
Bscan u(r,t)
Detection
- step 10µm
- Ø detection = 30µm
Source:
Ø beam = 1mm
Scanning detection point
Experiment on the 0.5 mm Duralumin plate
Propagation measurement
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Distance (mm)
Tim
e (
µs)
0 2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
25
dB
Tim
e (µ
s)
Distance (mm)
Bscan after HP filter u(r,t)
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
Distance from the source (mm)
dB
At the resonance frequency a standing wave is observed
Temporal Fourier transform u(r,)
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
Distance (mm)
At the resonance frequency a standing wave is observed
Temporal Fourier transform u(r,)
Amplitude Profile at f = 5.89 MHz
- J0(kx)
Symmetrical modes Antisymmetrical modes
S0, S1 … A0, A1 …
h
x2 x2
A local impact generates Lamb waves
Rayleigh Lamb
equation
2
2
22 k
Vp
L
=2
2
22 k
Vq
T
=
,)(
)(14 22
2
4
=
qhtg
phtg
q
pqk
VT
2
,0
Thermoelastic
expansion
bulk waves
Lamb modes
Laser pulse
Lamb waves are dispersive modes
Fre
qu
en
cy
th
ick
ne
ss
(MH
z.m
m)
Dispersion curves (k)
Thickness / wavelength
A3
S0
A1
S1
A0
S2
S3
VL = 6340 m/s
VT = 3100 m/s
0.5VT
VT
VL
1.5VT
At cut-off frequencies
Stretch or shear vibration
uniform over the plate
k = 0 or l =
duralumin plate
resonance thickness0 velocitygroup =dk
d
Origin of the local resonance
Thermoelastic
expansion Bulk waves
Laser impact ( 2d)
Lamb waves
A2
S0
A1
S2
A0
S1
S3
VL = 6340 m/s
VT = 3100 m/s
Fre
qu
en
cy
th
ick
ne
ss
(MH
z.m
m)
kd/2
d
Thickness / wavelength
Tolstoy et Usdin (JASA vol. 29, 1957):
« this point must be associated with a
sharp CW resonance and ringing effects »
Zero Group Velocity :
Energy is trapped under the source
ZGV resonance of S1 mode
0=dk
d
Complex solutions k of the Rayleigh Lamb equation
Real(k)*Thickness
0
1
2
3
4
5
6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Imag(k)*Thickness
0
1
2
3
4
5
6
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 F
req
uen
cy T
hic
kn
ess M
Hz.m
m
S1 S2
S2b
S2b and S2 branches are linked through a purely imaginary branch
-2 -1 0 1 2 3 40
100
200
300
400
500
600
Spatial frequency k/2 (mm-1
)
Am
plit
ud
e (
A.U
.)
S1
S2b
S0
A0
Spatial Fourier transform
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
Distance (mm)
At the resonance frequency two counter-propagating modes interfere
Temporal Fourier transform
u(x,t) = a1e j(k1x + t) + a2be j(k2b
x + t) with k2b = – k1
S1 mode S2b mode
k/2 (mm ) -1
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
S2b S1
S2
Displacements distribution inside the plate
In-plane
displacement
Out-of-plane
displacement
Simulations
with Spicer model
(APL 1990)
Distance from the laser source (µm)
Po
sit
ion
in
th
e p
late
P
osit
ion
i
n t
he
pla
te d/2
-d/2
d/2
-d/2
At the resonance : ‘Combination of’
a shear thickness mode
and a stretch thickness mode
Quelques questions 1. Quelle est cette résonance ? Elle résulte de l’interférence de deux modes de Lamb à vitesse de groupe nulle (ZGV)
et de vitesse de phase opposées, S1 et S2b, à la fréquence minimum du mode S1
2. Que faire de cette résonance ?
3. Comment cette résonance décroit-elle ?
4. Existe-t-il d’autres résonances de ce type ?
5. Qu’en est-il pour les plaques anisotropes ?
6. Peut-on jouer avec l’onde à vitesse de phase négative ?
Application 1 : Detection of an adhesive disbond
Air bubble Lasers
C-scan of ZGV Resonance Amplitude
dB
Distance (mm)
Dis
tan
ce (
mm
)
Duralumin
glue
glass
Line Scan Across Support
Imaging of Sub-Surface Features
in 4mm thick membranes
350mm
scan
Balogun, Murray, Prada, J. App. Phys., 102 1 (2007)
Amplitude of the ZGV resonance
Murray, Balogun, “High sensitivity laser based
acoustic microscopy using a modulated laser source,”
Appl. Phys. Lett. 85 (14), pp. 2974 (2004).
High frequency measurements
Application 1
Application 2 : Thickness measurement, Corrosion detection
0.5 µm 1 µm 1.5 µm
Plate corroded with
orthophosphoric
acid solution
10 min 20 min 30 min
Sensitivity : 0,1 µm (0,02 %)
Resolution : 1 mm (source)
Th
ick
ne
ss
va
ria
tio
n (
µm
)
Distance (mm)
1 mm
1.8 mm
0.5 mm
Clorennec, Prada et Royer, Appl. Phys. Lett. (2006)
d /d = – f /f
Substrate + layer
Substrate
f
k=0 k=kZGV k
fZGV
fc
Application 3 : Thin layer measurements
m
m K
f
f
zgv
zgv =
m
m
f
f
c
c =
similar to quartz resonator
ZGV resonance and mass sensor
Substrate Layer K
Dural Gold 1.16
Dural Silicon carbide 0.3
Copper Silicon carbide - 0.48 !!
• Thickness resonance
• ZGV resonance
Examples of Numerical values
Ces, Clorennec, Royer, Prada, Review of Scientific Instrument 2011
2%m
m
pour
1.503 mm 100 nm
5 cm scan
frequency
Thickness
• reference scan and
temperature control
required
1.503 mm
5 cm scan
Application 3 : Detection of 100nm of gold through 1.5mm thick plate
Distance (mm)
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
S1S2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1.908
1.909
1.91
1.911
Fre
qu
en
cy s
hif
t (k
Hz)
Distance (mm)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -2
-1
0
1
2
Δf=0.96 kHz
ZGV
ZGV
f
fmK
m (gold on Dural : K=1.16) >> deposited mass
Quelques questions 1. Quelle est cette résonance ? Elle résulte de l’interférence de deux modes de Lamb à vitesse de groupe nulle (ZGV)
et de vitesse de phase opposées, S1 et S2b, à la fréquence minimum du mode S1
2. Que faire de cette résonance ?
Mesurer sans contact mécanique l’épaisseur, la masse déposée, un décollement …
3. Comment cette résonance décroit-elle ?
4. Existe-t-il d’autres résonances de ce type ?
5. Qu’en est-il pour les plaques anisotropes ?
6. Peut-on jouer avec l’onde à vitesse de phase négative ?
200)( kkDωkω
How does this ZGV resonance decay ?
Parabolic approximation around ZGV point:
0 0.2 0.4 2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
S 2
S 1
(k0,0)
Dispersion curves
Thermoelastic conversion coefficient Laser source
Normal displacement:
kdkekrJkBQkCr,tu tith
=
0
0)()()(2
1)(
)4/(
4)( 0
000
=
tierkJ
Dt
kAr,tu with A(k0) = Cth(k0)Q(0)B(k0)k0
Amplitude decreases as t -1/2
Stationary phase approximation kd/2
d/2
Application 4 : The temporal decay provides local attenuation
Prada, Clorennec and Royer, Wave Motion (2008)
Short time Long time
/2/1)( tettu
attenuation
0
1 1)(V
m =
f (MHz) (ms) (dB/m)
Copper 4.6 60 18
Steel 6.1 400 2.1
Dural 5.8 800 0.9
0 20 40 60 80 100 0
0.1
0.2
0.3
0.4
Time (µs)
0 20 40 60 80 100
e -t/
t -1/2
Amplitude at ZGV frequency
Am
pli
tud
e (
A.U
)
Quelques questions 1. Quelle est cette résonance ? Elle résulte de l’interférence de deux modes de Lamb à vitesse de groupe nulle (ZGV)
et de vitesse de phase opposées, S1 et S2b, à la fréquence minimum du mode S1
2. Que faire de cette résonance ? Mesure locale sans contact mécanique d’un décollement, de l’épaisseur, de la masse déposée…
3. Comment cette résonance décroit-elle ?
Application : mesure de l’atténuation
4. Existe-t-il d’autres résonances de ce type ?
5. Qu’en est-il pour les plaques anisotropes ?
6. Peut-on jouer avec l’onde à vitesse de phase négative ?
/2/1)( tettu
Existence of ZGV modes depends on Poisson’s ratio
Relative positions of thickness modes at k = 0 are decisive
f d =
VT
VL /2
Thickness modes
2
2
2
2 1
L T
L T
V V
V V
=
Application 5 : The two first ZGV modes provide Poisson’s ratio
Clorennec, Prada et Royer, J.Appl.Phys. Vol. 101 (2007)
0 2 4 6
5
10
15
20
25
Frequency (MHz)
S1
A2
Displacement measured on a
Fused silica plate (d = 1,1 mm)
A2
S1
f1 d = 2,85 MHz.mm
f2 d = 5,44 MHz.mm
Fre
qu
en
cy
th
ick
ne
ss
(MH
z.m
m)
Thickness / wavelength kd/2
Am
pli
tud
e (
A.U
)
Absolute and local
measurement
of Poisson’s ratio
Fused silica: = 1.905 =0.172f 2
f 1
0 0.1 0.2 0.3 0.41.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
f2 / f1
Poisson's ratio
Thickness modes
Thickness shear Thickness stretch
f d =
VL
VL /2
c
f d =
VT
VT
c
Coincidence of cut-off frequencies
for two modes of the same family
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0
1
2
3
4 th
ickn
ess /
tra
nsvers
e w
avele
ng
th
Poisson's ratio
A 6
S 5
A 4
A 9
S 1 0
S 8
A
7
A
5
S 4
A 1
A 3
S 1
S 2
S 6
S 3
A
2
5 f d/VT c
Fre
qu
en
cy t
hic
kn
es
s / t
ran
sve
rse
ve
loc
ity (
fd/V
)
T
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0
1
2
3
4
5
Poisson's ratio
A 6
S 5
A 4
S 3
A 2
S 1
A 9
S 1 0
S 8
A
7
S 6
A
5
S 4
A
3
S
2
A
1
A 2
A 2
A 3
S
2
S 1
A 5
S 6
S 3
S 5
S 8
A 4
A 7
Thickness modes and ZGV resonances
Coincidence of thickness
modes at k = 0:
• same symetry
• different parity
Modes coupling
for k 0
ZGV Modes
Prada, Clorennec et Royer, J. Acoust .Soc. Am. Vol.124 (2008)
Thickness / wavelentgh (kd / 2)
0 0.5 1 3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
= 0.155
0 0.5 1 3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
= 0.179
0 0.5 1 3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5 = 0.200
0 0.5 1 3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
f d
/ V
T
= 0.130
S 5
S 8
S 5
S 8
S 5
S 8 S
5
S 8
k 0
Coïncidence Dispersion curves
Mode repulsion : case of S5/S8
Local vibration spectrum provides Poisson’s ratio
Fused silica = 0.172 Duralumin = 0.338
Poisson ratio Amplitude (dB) Amplitude (dB)
S1 S2
A2 A3
S5 S8
S1 S2
S3 S6
S5 S10
fd/VT
Local vibration spectrum
Quelques questions 1. Quelle est cette résonance ? Elle résulte de l’interférence de deux modes de Lamb à vitesse de groupe nulle (ZGV)
et de vitesses de phases opposées, S1 et S2b, à la fréquence minimum du mode S1
2. Que faire de cette résonance ? Mesure locale sans contact mécanique d’un décollement, de l’épaisseur, de la masse déposée…
3. Comment cette résonance décroit-elle ?
Application : mesure de l’atténuation
4. Existe-t-il d’autres résonances de ce type ? Oui, plein! Quand (n+0.5)VL et mVT ou bien nVL et (m+0.5)VT sont proches (n,m entiers)
>> application : mesure sans contact du coefficient de Poisson
5. Qu’en est-il pour les plaques anisotropes ?
6. Peut-on jouer avec l’onde à vitesse de phase négative ?
/2/1)( tettu
Silicon wafer
cut: [0 0 1]
thickness: 0.525mm
diameter: 5
On the backward Lamb waves near thickness resonances in anisotropic plates
A.L. Shuvalov, O. Poncelet, IJSS 45 (2008)
Anisotropic plates
[1 0 0]
[1 1 0]
Thickness / wavelength
d/2
Fre
qu
en
cy
th
ick
ne
ss
(MH
z.m
m)
kd/2
[1 0 0]
[1 1 0]
Excitation with a point source
S1
A0 Am
pli
tud
e (
A.U
)
Frequency (MHz)
Normal displacement spectrum
Frequency (MHz)
Am
pli
tud
e (
A.U
) ZGV Cut-off
S1 mode
A2
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
Angle (degrees)
Laser
source
Displacement
spectrum
S1 ZGV mode
Line source
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
S1 ZGV mode
Thickness mode
Prada, Clorennec, Murray and Royer, J. Acoust .Soc. Am. Vol.126 (2009)
Detection
Similar behaviour in rolled stainless steel
Angle (°)
Fre
quen
cy (
MH
z)
Frequency (MHz)
Measurement of anisotropy
Measurement of the elastic constants of a zircalloy cladding tube
© La médiathèque EDF / Patrick Landmann
Heterodyne
interferometer
2b
d Pressurized Water Reactors
(PWR) - Zirconium 98%; étain 1,5 %; fer 0,2%; chrome 0,1%
- External diameter 9,5 mm
- Thickness 0,57 mm
M. Cès, D. Royer, C. Prada, J. Acoust. Soc. Am. 132 (1), (2012)
The ZGV resonance spectrum depends on source orientation
axial circonferential
The medium is anisotropic
With isotropic assumption : VL1 = 4740 m/s
VT1 = 2405 m/s
VL2 = 4830 m/s
VT2 = 2300 m/s
Influence of curvature on ZGV resonance frequency
Lamb modes in a plate of thickness d
Circonferential modes in a tube of
external radius a, internal radius b=a-d
thick tube a = 5d (b/a=0.8)
thin tube a = 21d (b/a= 0.95)
For zircaloy tube (b/a=0.87) material anisotropy dominates
o
circonferential
+ axial
10-2
10-4
ZGV frequency slightly modified by curvature
For zircalloy cladding tube a/d ≈ 8
ΔfZGV/fZGV<10-3 for circonferential modes
ΔfZGV/fZGV induced by curvature
n = 0,34
c11 and c66 deduced from circumferential ZGV resonance spectrum
Propagation in ┴x3 plane :
- longitudinal : VL1 = (c11/r½
- transverse polarised ┴x3 : VT1= (c66/r) ½
Isotropy in plane ┴x3
ZGV frequencies provide :
c11 = 148 GPa
c66 = 38 GPa
Circ. measured dispersion curves
Assumption : transverse isotropic medium
c33 and c44 deduced from axial ZGV resonance spectrum
Axial modes depend on
- longitudinal velocity along x3 : VL2 = (c33/r½
- longitudinal velocity along x1 : VL1 = (c11/r½
- transverse velocity with // polarisation :
VT2 = (c44/r) ½
Assuming the velocities are correctly
determined by ZGV method
c33 = 154 GPa
c44 = 35 GPa
c13 is determined by dispersion curves fitting.
Axial measured dispersion curves
Quelques questions 1. Quelle est cette résonance ? Elle résulte de l’interférence de deux modes de Lamb à vitesse de groupe nulle (ZGV)
et de vitesses de phases opposées, S1 et S2b, à la fréquence minimum du mode S1
2. Que faire de cette résonance ? Mesure locale sans contact mécanique de l’épaisseur, la masse déposée, un décollement …
3. Comment cette résonance décroit-elle ?
Application : mesure de l’atténuation
4. Existe-t-il d’autres résonances de ce type ? Oui, plein! Quand (n+0.5)VL et mVT ou bien nVL et (m+0.5)VT sont proches (n,m entiers)
>> application : mesure sans contact du coefficient de Poisson
5. Qu’en est-il pour les plaques anisotropes ? Les modes ZGV existent, ils peuvent être sélectionnés en utilisant un ligne source.
>> mesure locale sans contact de l’anisotropie.
6. Peut-on jouer avec l’onde à vitesse de phase négative ?
/2/1)( tettu
-2 -1 0 1 2 3 40
100
200
300
400
500
600
Spatial frequency k/2 (mm-1
)
Am
plit
ud
e (
A.U
.)
S1
S2b
S0
A0
Spatial Fourier transform
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
Distance (mm)
The S2b mode has a negative phase velocity
Temporal Fourier transform
u(x,t) = a1e j(k1x + t) + a2be j(k2b
x + t) with k2b = – k1
S1 mode S2b mode
k/2 (mm ) -1
Fre
qu
en
cy (
MH
z)
S2b S1
S2
Negative Refraction and Focusing of Backward Waves V.G. Veselago, Soviet Phys. Uspekhi, 10 (1968)
Medium 1
Medium 2
i r
If v2 is negative
Wave refracts on opposite side of the normal t
“Veselago Lens”
Negative Velocity medium
Can we achieve such a planar
lens with Lamb waves?
Negative refraction and focusing
1 1 2
sin sin sini r t
v v v
= =
Negative refraction at a thickness change
thin
thick First experimental evidence with
Todd Murray using a continuous
modulated laser source Bramhavar & al. Phys Rev B 2011
Pb : a laser source generates several modes
Results after low Pass Filter
Quelques questions et réponses 1. Quelle est cette résonance ? Elle résulte de l’interférence de deux modes de Lamb à vitesse de groupe nulle (ZGV)
et de vitesses de phases opposées, S1 et S2b, à la fréquence minimum du mode S1
2. Que faire de cette résonance ? Mesure locale sans contact mécanique de l’épaisseur, la masse déposée, un décollement …
3. Comment cette résonance décroit-elle ?
Application : mesure de l’atténuation
4. Existe-t-il d’autres résonances de ce type ? Oui, plein! Quand (n+0.5)VL et mVT ou bien nVL et (m+0.5)VT sont proches (n,m entiers)
>> application : mesure sans contact du coefficient de Poisson
5. Qu’en est-il pour les plaques anisotropes ? Les modes ZGV existent, ils peuvent être sélectionnés en utilisant un ligne source.
>> mesure locale sans contact de l’anisotropie.
6. Peut-on jouer avec l’onde à vitesse de phase négative ? Oui
D’autres questions ?
/2/1)( tettu