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PROVA DE MATEMÁTICA DO 3O ANO _ EM DO COLÉGIO ANCHIETA – BA.

ANO 2006 – UNIDADE III – PRIMEIRA AVALIAÇÃO. ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

QUESTÃO 01. Quantos inteiros são soluções da inequação x 8 2x ≤− ?

01) 2 02) 3 03) 4 04) 5 05) 6 RESOLUÇÃO:

8 x e 3

8 x x 8 2x e x 8 2x x 8 2x x x 8 2x ≤≥⇒≤−−≥−⇒≤−≤−⇒≤−

{3, 4, 5, 6. 7. 8} ∈

8,

3

8.

RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO 02. Qual das proporções, a seguir, é falsa?

01) 25

9

23

7

21

5<< .

02) 2

9

y x

y x

3

5

y 2x

2y x =

−

+⇒=

−

+.

03) O conjunto solução da equação 1 x x

2

x

2 x ++=

+ é um conjunto unitário.

04) x x R, x 2=∈∀ .

05) O conjunto solução de 2 1x x −=++ , é o vazio. RESOLUÇÃO: 01) 0,2380952...... < 0,30434782...... < 0,36. (V).

3559-4-AvaEsp2a4uPor-15/10/04-marb 2

02) 11y 7x 9y -9x 2y 2x

2

9

y x

y x

11y 7x y 5 -10x 6y 3x 3

5

y 2x

2y x

=⇒=+⇒=−

+

=⇒=+⇒=−

+

, logo todo par (x, y) que torna verdadeira a

igualdade 3

5

y 2x

2y x =

−

+ torna também verdadeira a igualdade

2

9

y x

y x =

−

+. (V)

03) O domínio da equação 1 x x

2

x

2 x ++=

+ é dado por x ≠≠≠≠ 0.

Resolvendo a equação encontramos 0 x x x 2 2 x 1 x x

2

x

2 x 22=⇒++=+⇒++=

+. ⇒

x = 0 que não pertence ao domínio. Logo a afirmação é falsa. 04) (V) 05) 2 1x x −=++ ⇒ 3 x4 1 x x4 4 x 1x 2 x −=⇒+=++⇒+=+ ⇒ que ó valor de x que é a solução da equação 2 1x x −=++ não é um número real. (V). RESPOSTA: Alternativa 03. QUESTÃO 03. Se A = ] –2, 4] e B = [1, 5[, então A) B ( A −∩ é igual a: 01) ]4, 5[ 02) [0, 4] 03) [–2, 0[ 04) ] –∞, –2] 05) [–2, 5[ RESOLUÇÃO: Pela análise da figura A solução de A) B ( A −∩ é a alternativa 01.

QUESTÃO 04.

Sendo A =

21

11 e B =

−

01

12calcule a soma dos elementos da matriz X, tal que AXB = I,

onde I é a matriz identidade


01) 0 02) 1 03) 2 04) – 2 05) 3 RESOLUÇÃO:: AXB = I ⇒ A

-1. AXB = A-1. I ⇒ XB = A-1

⇒ XB.B-1 = A-1. B-1 ⇒ X = A-1. B-1 ⇒ X = (B. A)-1

B.A =

−

01

12.

21

11=

=

−−

11

01

11

2212 ⇒ X = (B.A)-1

⇒ X =

−=

−

11

01

1

11

01

.

Então a soma dos elementos da matriz X é 1. RESPOSTA: Alternativa 02. QUESTÃO 05.

Considere as matrizes A =

b14

123

a32

, O =

0

0

0

e X =

z

y

x

.

Sabendo que A é uma matriz simétrica e que o sistema AX = O é indeterminado calcule o valor de b. 01) – 2 02) 2 03) 4 04) 6 05) 8 RESOLUÇÃO:

Sendo A uma matriz simétrica, então se verifica sempre a igualdade jiij a a = com i ≠ j.

Temos então: a = 4.

Sendo o sistema

b14

123

a32

.

z

y

x

=

0

0

0

, homogêneo e indeterminado, então 0

b14

123

a32

= .

Em 0

b14

123

a32

= substituindo a por seu valor 4, temos: 0

b14

123

432

= ⇒

4b + 12 + 12 – 32 – 2 – 9b = 0 ⇒ 5b = – 10 ⇒ b = –2. RESPOSTA: Alternativa 01.


QUESTÃO 06. Se os pontos A = (2, 1), B = (p+1, 3) e C = (p, 2) estão em linha reta, qual o valor de p? 01) –1 02) 0 03) 1 04) 3 05) 6 RESOLUÇÃO: Sendo os pontos A, B e C colineares (pertencentes a uma mesma linha reta) não formam um triângulo. Podemos então calcular o valor de p considerando o ”triângulo ABC” como de área nula. A área de um triângulo pode ser calculada, a partir das coordenadas dos seus vértices, usando

a seguinte relação: S =

1yx

1yx

1yx

2

1

3

3

22

11

Então se a área do triângulo ABC é nula, temos 0

12p

131p

112

=+ ⇒

6 + 2p + 2 + p – 3p – 4 – p – 1 = 0 ⇒ p = 3. RESPOSTA: Alternativa 04. QUESTÃO 07. Considere os pontos A = (2, 1) e B = (–3, 4). Existem dois pontos do eixo dos x que formam com os pontos A e B triângulos de áreas iguais a 16u.a. Calcule a soma das abscissas desses pontos

01) 3

22 02)

3

7 03)

3

4 04)

5

2 05)

5

4

RESOLUÇÃO: Pela relação usada na questão anterior:

⇒=− 16

10x

143

112

.2

1⇒=− 32

10x

143

112

| 8 + x – 4x + 3 | = 32 ⇒ | 11 – 3x | = 32 ⇒

11 – 3x = 32 ou 11 – 3x = – 32 ⇒ 3x = – 21 ou 3x = 43 ⇒ x = – 7 ou x = 3

43 ⇒

x’ +x’’ = 3

227

3

43=− .

RESPOSTA: Alternativa 01.


QUESTÃO 08. A interseção dos semiplanos x ≥≥≥≥ 0, y ≤≤≤≤ 3, y ≤≤≤≤ x, y ≥≥≥≥ –1 e x ≤≤≤≤ 3 é um quadrilátero de área igual a: 01) 6 02) 6,5 03) 7 04) 7,5 05) 8 RESOLUÇÃO: O gráfico ao lado representa a interseção dos semi-planos dados na questão que determina o quadrilátero ABCD, que é um trapézio retângulo de bases AB = 4, CD = 1 e altura AC = 3,

cuja área é ( )

5,72

314=

+


QUESTÃO 09. O gráfico cartesiano da relação F = {(x, y) ∈ R2; x (y2 – 4) ≥≥≥≥ 0} tem a seguinte configuração: 01)

02)

03)

04)

05)

RESOLUÇÃO: x (y2 – 4) ≥≥≥≥ 0 ⇒⇒⇒⇒ x (y – 2) ( y + 2 ) ≥ 0. As raízes dos fatores x, (y – 2) e ( y + 2 ) são, respectivamente, 0, 2 e –2. Marquemos no plano cartesiano as retas x = 0, y = 2 e y = – 2 e tomemos pontos nas regiões que ficam determinadas e testemos quais são os pontos que suas coordenadas satisfazem à desigualdade em questão.


1) Testando o ponto B: 2 ( 1 – 2) ( 1 + 2) = – 6 < 0, logo B não pertence à região determinada pela inequação, nem as regiões angulares opostas pelo vértice àquela a qual pertence o ponto B.

Assim o gráfico cartesiano determinado por x (y2 – 4) ≥≥≥≥ 0 tem a seguinte configuração:

RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO 10

Determine b sabendo que 1x

c

1x

b

x

a

1) x(x

4 x2

2

++

−+=

−

−é uma identidade

01) 2

1 02)

2

3− 03) 1 04)

3

2 05) – 2

RESOLUÇÃO:

Multiplicando. todos os termos da igualdade 1x

c

1x

b

x

a

1) x(x

4 x2

2

++

−+=

−

− pela expressão x(x2 –

1):

1) x(x1x

c 1) x(x

1x

b 1) x(x

x

a 1) x(x

1) x(x

4 x 2222

2

2

−

++−

−+−

=−

−

− ⇒

x2 – 4 = ax2 – a + bx2 + bx + cx2 – cx ⇒


x2 – 4 = (a + b + c) x2 + (b – c)x – a ⇒

−=

−=

=

⇒

=

−=+

=

⇒

=−

=++

=

2

3c

2

3b

4a

cb

3cb

4a

0cb

1cba

4a

.

RESPOSTA: Alternativa 02. QUESTÃO 11. Um polinômio do 2º grau é divisível por x – 2 e, também, por x + 4. Sabendo que P(1) = 2, calcule P(6). 01) 8 02) –8 03) 16 04) –16 05) 24 RESOLUÇÃO: Se o polinômio é do segundo grau e divisível por (x – 2) e por (x + 4) podemos representá-lo da seguinte forma:P(x) = a(x – 2)(x+4).

Sendo P(1) = 2, temos: P(1) = a(– 1) (5) = 2 ⇒ – 5a = 2 ⇒ a = 5

2− .⇒

P(6) = 5

2− (6 – 2)(6+4) =

5

2− .40 = – 16.

RESPOSTA: Alternativa 04. QUESTÃO 12. Comprei um objeto por 2x reais e vendi com um lucro de 20% sobre o preço de custo. Se o valor obtido com a venda fosse aplicado para render juros compostos de 10% ao mês, após 2 meses, o montante obtido seria. R$ 1.597,20. O valor em reais de x é: 01) 500,00 02) 550,00 03) 600,00 04) 700,00 05) 800,00 RESOLUÇÃO: Representemos o custo do objeto por C, seu preço de venda por V e por M, o montante gerado pela aplicação de V: C = 2x. V = 1,2. 2x = 2,4x.

M = (2,4x).(1,1)2 = 1.597,20 ⇒ x = 550)21,1).(4,2(

20,597 1= .



QUESTÃO 13. Uma compra no valor de x reais deve ser paga em duas parcelas. A primeira, um mês após a compra, no valor de R$ 400,00 A segunda, 2 meses após a compra, no valor de R$ 528,00, quando então, a dívida estará quitada. Sabendo que foram cobrados juros de 10% ao mês, qual o valor de x em reais? 01) 600,00 02) 650,00 03) 800,00 04) 850,00 05) 900,00 RESOLUÇÃO: Sendo x o valor da compra cujo pagamento deverá ser feito em prestações com a cobrança de

juros de 10% ao mês, podemos escrever a relação: x = 2

21

1,1

p

1,1

p+ .

Logo: x = 80021,1

968

21,1

528440

1,1

528

1,1

4002

==+

=⇒+ x

RESPOSTA: Alternativa 03. QUESTÃO 14. . O projeto de uma avenida exige que a Prefeitura desaproprie a região hachurada, indicada no croquis, ao lado, que está na escala 1:200. O total do terreno foi avaliado em R$ 17.520,00. Calcule o valor, em reais, que a Prefeitura deverá pagar ao proprietário do terreno pela área desapropriada. Considere π = 3. 01) 6.200,00 02) 5.520,00 03) 4.840,00 04) 7.200,00 05) 6.800,00


RESOLUÇÃO: Sendo 1:200, a escala usada para o desenho do croquis então as medidas do terreno são: AC = 200.5cm = 1000cm = 10m; CG = 200.10cm = 2000cm = 20m; CD = 200.1cm = 200cm = 2m Área total = SACGH +SADEF

+ Ssetor = 200+16+3= 219m2.

Valor de 1m2 : =219

17520 80 reais.

Área a ser desapropriada: SABC +SADEF

+ Ssetor = 50+16+3= 69 Valor da idenização: 69. 80 = 5.520. RESPOSTA: Alternativa 02.


QUESTÃO 15.

A figura representa um corte longitudinal de um tanque cilíndrico de diâmetro externo igual a 2,20m. A parede e o fundo são de concreto armado com espessura de 0,1m. A capacidade do tanque é de 6m3. Quantos sacos de cimento são necessários para a concretagem da parede e do fundo desse tanque, sabendo que 1m3 de concreto consome 5 sacos de cimento. Considerar π = 3. 01) 5 02) 6 03) 7 04) 8 05) 9 RESOLUÇÃO:

Volume do tanque: 1,12.. (h+0,1) = 1,21 . 3 (h+0,1) = 3,63 (h+0,1). Volume interno: 1.π.h = 3h = 6 ⇒ h = 2 Volume do tanque: 1,12. 3. (2+0,1) = 3,63 (2,1) = 7,623. Volume da parede mais fundo: 7,623 – 6 = 1,623. Como para a concretagem de 1m3 são necessários 5 sacos de cimento, então para concretar 1,623 m3 necessitamos de 5.(1,623) = 8,115 sacos. RESPOSTA: Alternativa 05.


QUESTÃO DISCURSIVA QUESTÃO 16 O lugar geométrico dos pontos P(x,y) eqüidistantes do ponto A = (0,4) e do eixo dos x, é uma curva chamada parábola.

1) Determine a relação entre x e y, isto é a equação da parábola. 2) Verifique se o ponto (8, 10) pertence a essa parábola. RESOLUÇÃO: a) Sendo P(x,y) eqüidistantes dos pontos A = (0,4) e B = (x,0), temos:

(x – 0)2 + (y – 4)

2 = y

2 ⇒ x

2 + y

2 – 8y + 16 = y

2 ⇒ y = 2

8

x 2

+ .

b) Na função y = 28

x 2

+ determinemos a imagem de 8:

f(8) = .1028

64=+ ⇒ o ponto (8,10) pertence à parábola.

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