prova in itinere di sistemi dinamici del 29.11.2016...
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Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 29.11.2016
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita del sistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = αy(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore di α inmodo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k). Calcolareanche gli altri modi del sistema.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 1.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 3, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsiva delsistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativa al-l’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valore massimodella sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e data dalsegnale:
{g(k)}+∞k=0
=
{
5,10
3,20
9,40
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti il segnaledi ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf (k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 4
0, k ≥ 5.
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf (t) relativa all’ingresso agradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta libera
del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).
RISULTATI
Esercizio 1.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 2.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 3.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 4.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).
Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
10,20
3,40
9,80
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 1
0, k ≥ 2.
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 2.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 2, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +1
2y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
RISULTATI
Esercizio 1.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 2.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 3.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 4.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
2,4
3,8
9,16
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 2
0, k ≥ 3.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
16y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 3.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 5, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
RISULTATI
Esercizio 1.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 2.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 3.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 4.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 4.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 4, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +17
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
4,8
3,16
9,32
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 3
0, k ≥ 4.
RISULTATI
Esercizio 1.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 2.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 3.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 4.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +1
2y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 5.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 2, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
10,20
3,40
9,80
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 1
0, k ≥ 2.
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).
RISULTATI
Esercizio 1.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 2.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 3.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 4.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).
Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
2,4
3,8
9,16
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 2
0, k ≥ 3.
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 6.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 5, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
16y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
RISULTATI
Esercizio 1.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 2.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 3.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 4.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
4,8
3,16
9,32
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 3
0, k ≥ 4.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +17
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 7.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 4, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
RISULTATI
Esercizio 1.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 2.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 3.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 4.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 8.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 3, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
5,10
3,20
9,40
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 4
0, k ≥ 5.
RISULTATI
Esercizio 1.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 2.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 3.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 4.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
16y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 9.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 5, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
2,4
3,8
9,16
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 2
0, k ≥ 3.
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).
RISULTATI
Esercizio 1.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 2.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 3.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 4.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
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Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).
Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
4,8
3,16
9,32
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 3
0, k ≥ 4.
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 10.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 4, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +17
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
RISULTATI
Esercizio 1.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 2.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 3.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 4.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
5,10
3,20
9,40
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 4
0, k ≥ 5.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 11.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 3, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
RISULTATI
Esercizio 1.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 2.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 3.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 4.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 12.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 2, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +1
2y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
10,20
3,40
9,80
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 1
0, k ≥ 2.
RISULTATI
Esercizio 1.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 2.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 3.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 4.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +17
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 13.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 4, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 3. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
4,8
3,16
9,32
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 3
0, k ≥ 4.
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 2 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√2 t 1(t).
RISULTATI
Esercizio 1.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 2.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 3.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 4.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 3 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√3, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√3 t 1(t).
Esercizio 2. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva e datadal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
5,10
3,20
9,40
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 4
0, k ≥ 5.
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 14.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 3, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
4y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
RISULTATI
Esercizio 1.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 2.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 3.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 4.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
10,20
3,40
9,80
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 1
0, k ≥ 2.
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +1
2y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 4 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K = 2, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la rispostalibera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−2 t 1(t).
Esercizio 4. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 15.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 2, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
RISULTATI
Esercizio 1.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =
Esercizio 2.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 3.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 4.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Prova in itinere di SISTEMI DINAMICI del 26.11.2015
Candidato: ......................................................... Corso di Laurea ...............................................
Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo mostrato in figura:
+
+u(t) y(t)G1(s) G2(s)
G3(s)
Figura 16.
dove
G1(s) =K
s, G2(s) =
1
s+ 5, G3(s) =
1
s+ 1.
e K e una costante reale.
I) Determinare la funzione di trasferimento W (s) dall’ingresso u(t) all’uscita y(t).
II) Determinare per quali valori di K il valore di regime per t → +∞ della risposta impulsivadel sistema risulta essere maggiore di 10.
III) Determinare per quali valori di K, l’ampiezza della risposta di regime permanente relativaall’ingresso u(t) = cos(2t), risulta essere minore di 1 (per ampiezza si intende il valoremassimo della sinusoide rispetto al valor medio).
Esercizio 2. Si consideri il sistema lineare a tempo continuo descritto dal modello ingresso-uscita
y(t) + 2K y(t) + 5 y(t) = u(t)− 2 u(t)
dove K e una costante reale.
I) Determinare per quali valori di K il sistema ha solo modi pseudoperiodici convergenti.
II) Assumendo K = 1, determinare la risposta forzata del sistema yf(t) relativa all’ingressoa gradino unitario u(t) = 1(t).
III) Assumendo K =√5, determinare le condizioni iniziali y(0), y(0), in modo che la risposta
libera del sistema risulti essere pari a yl(t) = e−√5 t 1(t).
Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare a tempo discreto, descritto dall’equazione ingresso-uscita
y(k + 3) + y(k + 2) +5
16y(k + 1) = u(k).
I) Determinare le matrici A, B, C, D di una rappresentazione ingresso-stato-uscita delsistema.
II) Determinare i modi del sistema.
III) Assumendo di porre u(k) = α y(k), dove α e un parametro reale, determinare il valore diα in modo che nella risposta libera del sistema risultante sia presente il modo (−1)k 1(k).Calcolare anche gli altri modi del sistema.
Esercizio 4. Si consideri un sistema lineare a tempo discreto, la cui risposta impulsiva edata dal segnale:
{g(k)}+∞
k=0=
{
2,4
3,8
9,16
27, . . .
}
.
I) Determinare la funzione di trasferimento G(z) del sistema.
II) Determinare una rappresentazione ingresso-uscita del sistema, in cui u(k) rappresenti ilsegnale di ingresso e y(k) il segnale di uscita.
III) Determinare la risposta forzata del sistema yf(k), relativa all’ingresso
u(k) =
{
2, 0 ≤ k ≤ 2
0, k ≥ 3.
RISULTATI
Esercizio 1.
I) W (s) =
II) K :
III) K :
Esercizio 2.
I) K :
II) yf(t) =
III) y(0) = y(0) =
Esercizio 3.
I)
A = B =
C = D =
II) Modi :
III)
α =
Modi: :
Esercizio 4.
I) G(z) =
II) Rappr. i/o :
III) yf(k) =