Guía de programación de cálculos geodésicos

Proyecto de Innovación Docente

M. Isabel Ramos Galán

M. Clara de Lacy Pérez de los Cobos

Introducción

El presente proyecto de innovación docente con título “Guía de programación de cálculos geodésicos” se enmarca dentro de los estudios de la titulación de Ingeniería Técnica en Topografía y más concretamente dentro de la asignatura troncal de Geodesia, que se imparte en tercer curso. Los conceptos que se explican en esta materia presentan un fuerte contenido matemático que en general dificulta a los alumnos la comprensión de los mismos. La utilización de una herramienta matemática para la resolución de problemas debería disminuir la abstracción de la asignatura, ya que facilitaría los cálculos evitando enmascarar los conceptos detrás de complejos y largos métodos matemáticos.

Es precisamente en este aspecto en el que pretende innovar este proyecto: su objetivo es presentar un compendio de instrucciones básicas para programar en una hoja de cálculo la resolución de los principales problemas geodésicos de la asignatura, potenciando en el alumno aptitudes para la organización y planificación de tareas y resolución óptima de problemas, conectando con los conocimientos adquiridos durante su formación como Ingeniero Técnico en Topografía. El hecho de utilizar EXCEl y no otros programas más potentes como Matlab o Matemática es que el alumno pueda utilizar los programas implementados en una PDA o similar en un futuro cuando tenga que trabajar fuera del ámbito universitario.

El programa de la asignatura de Geodesia incluye los siguientes temas ordenados por unidades didácticas:

UNIDAD DIDÁCTICA 0: INTRODUCCIÓN

• Tema 1: La Geodesia

• Tema 6: Sistemas de referencia

UNIDAD DIDÁCTICA I: GEODESIA FÍSICA

• Tema 2: El campo de la gravedad terrestre

• Tema 3: Medidas de la gravedad

• Tema 4: Determinación de la figura de la Tierra

UNIDAD DIDÁCTICA II: GEODESIA GEOMÉTRICA

• Tema 5: El elipsoide terrestre

• Tema 7: Problemas de la Geodesia Geométrica

• Tema 8: Redes geodésicas

• Tema 9: Teoría general de las proyecciones cartográficas

• Tema 10: Teoría general de las proyecciones conformes.

• Tema 11: Proyección UTM

UNIDAD DIDÁCTICA III: GEODESIA POR SATÉLITES

• Tema 12: Geodesia Espacial

El documento que se adjunta presenta dos secciones: la primera es una guía de cálculo y la segunda una recopilación de ejercicios. La guía está ordenada por temas o secciones siguiendo el programa anterior y centrándose fundamentalmente en la Geodesia Geométrica. Esta guía se puede poner en práctica en los próximos cursos. La asignatura de Geodesia consta de 4.5 créditos de teoría y 1.5 de práctica. La parte de teoría será explicada por el profesor de la asignatura combinando el uso de pizarra y tiza con las nuevas tecnologías. La parte práctica, sin embargo, será fundamentalmente trabajo realizado por el alumno. Para ello, el profesor entregará al inicio del curso esta guía a los estudiantes y finalizada la teoría de cada tema el alumno realizará en las horas de clase prácticas los problemas correspondientes ayudándose de la guía de cálculo. Para ello, el profesor al inicio de estas clases recordará los conceptos fundamentales sobre los que tratan los ejercicios y las herramientas necesarias para resolver con la hoja EXCEL los problemas correspondientes. A continuación los alumnos pasarán a trabajar en estos ejercicios siguiendo las pautas de la guía y preguntando al profesor cuando su apoyo fuera necesitado. En los últimos minutos de clase, el profesor puede dar a los alumnos los resultados de los ejercicios para que éstos comprueben si los han resuelto correctamente.

Una vez puesto en práctica este proyecto se podrá verificar si el uso de una herramienta matemática facilita a los alumnos el entendimiento de problemas en tres dimensiones, es decir hasta tercer curso han resuelto todos los problemas en el plano haciendo uso de una matemática sencilla. En Geodesia pasan a trabajar con distancias largas y por tanto a resolver los problemas en el espacio y en el elipsoide como figura matemática que se aproxima la Tierra. La Matemática ahora es bastante más complicada y en muchos casos los conceptos geodésicos se pierden detrás de pesados cálculos matemáticos con los que el alumno no está familiarizado. Esta guía pretende solventar este problema y facilitar al alumno el camino hacia la comprensión de la asignatura.

GUÍA DE CÁLCULO

GEODESIA FÍSICA

o Cálculo de la media: PROMEDIO(…;…;…)

o Cálculo de la desviación estándar: DESVEST(…;…;…)

o Cálculo del mínimo: MIN(…;…;…)

o Cálculo del máximo: MAX(…;…;…)

GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE

1) Determinación de longitud de arco de paralelo comprendido entre dos longitudes dadas:

- Paso (ϕ, Δλ) de grados sexagesimales a radianes (ya que Excel opera en radianes):

Si formato gg mm ss paso a Deg empleando operaciones de división y suma.

Se deberá utilizar una casilla diferente para los gg, otra para los mm y otra para los ss. El resultado se añadirá en otra casilla diferente.

Paso de Deg a Radianes opción RADIANES. Además se mantendrá el signo de la longitud del meridiano: para ello se empleará la Función Lógica “SI”.

- Cálculo de radio de curvatura del primer vertical “N”: de funciones matemáticas.

• Nota: Poner tres casillas con Nombre elipsoide, semieje mayor, excentricidad. Para los cálculos tomar los parámetros del elipsoide empleado de estas casillas de manera que sean variables y no valores constantes.

Lógica “SI”.

- Cálculo del arco de paralelo: empleo de funciones matemáticas.

2) Determinación de longitud de arco de meridiano comprendido entre dos latitudes dadas:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) +ϕ−ϕ−

−ϕ−ϕ+ϕ−ϕ−ϕ−ϕ−=

12

1212122

6sen6sen6D

4sen4sen4C2sen2sen

2BAe1aS

donde:

λ∆ϕ−

ϕ=λ∆=

2sen2e1

cosaprps

A = 1+43

e2 +6445

e4 + 256175

e6+ 1638411025

e8 + ...

B = 43

e2 +1615

e4 + 512525

e6 + 20482205

e8 + ...

C = 6415

e4 + 256105

e6 + 40962205

e8 + ...

D= 51235

e6 + 20486

315e8 + ...

E= 16384

315e8 + ...

- Paso (ϕ) de grados sexagesimales a radianes (ya que Excel opera en radianes):

Si formato gg mm ss paso a Deg empleando operaciones de división y suma.

Se deberá utilizar una casilla diferente para los gg, otra para los mm y otra para los ss. El resultado se añadirá en otra casilla diferente.

Paso de Deg a Radianes opción RADIANES. Además se mantendrá el signo de la longitud del meridiano: para ello se empleará la Función Lógica “SI”.

- Cálculo de los valores de los parámetros constantes:

Hacemos una tabla con los valores de los parámetros A, B, C, D…

Debemos tomar los valores de e^2 de la casilla donde hemos insertado los parámetros del elipsoide seleccionado.

- Sustituimos los valores calculados hasta el momento en la expresión indicada para calcular el arco de meridiano: se emplean las funciones matemáticas disponibles en Excel.

3) Determinación de Latitud correspondiente a un arco de meridiano dado:

( )

( )

−β

−ϕ+ϕ−

+ϕ+ϕ−ϕϕ−−ϕ=ϕ −

2

2/3221nn

e1a8senE

816senD

61

4senC412senB

21Asene1

- Cálculo iterativo de ϕn :

Tener disponibles las casillas con los valores ya calculados de A, B, C, D, según el elipsoide seleccionado.

Tener disponibles seis o siete casillas (en función del número de iteraciones a realizar) para hacer los cálculos de ϕn. En la primera casillas, hacer el cálculo de ϕ0 (n=0, para ϕ = 0). Con ese valor obtenido calcular ϕ1 (n=1, para ϕ = ϕ0), proceder sucesivamente hasta completar todas las casillas destinadas al cálculo iterativo. El resultado final buscado será aquel que se repita dos veces o cuya diferencia entre dos casillas consecutivas sea inferior a una tolerancia prefijada.

Para los cálculos de las diferentes expresiones se emplearán funciones trigonométricas y matemáticas disponibles en Excel.

*NOTA: operar con valores angulares transformados previamente en radianes.

4) Determinación del área de un trapecio:

( ) ( )

( )−ϕ

ϕ−ϕ+

+ϕ

ϕ−ϕ−ϕ

ϕ−ϕ−λ∆=

m12

m12

m12/22

5cos2

5sen'C

3cos2

3sen'Bcos

2senAe1a2S

A´ = 1+21

e2 +83

e4 + 165

e6+ 12835

e8 + ...

B´ = 61

e2 +163

e4 + 163

e6+ 19235

e8+ ...

C´ = 803

e4 + 161

e6+ 645

e8 + ...

D´ = 112

1e6+

2565

e8+ ...

E´ = 2304

5e8+ ...

- En primer lugar transformación de valores latitud y longitud a radianes.

- Disponer de tres casillas para nombre y parámetros del elipsoide seleccionado.

- Cálculo de coeficientes A’, B’, C’, D’ y E’.

- Aplicar expresión de cálculo empleando funciones trigonométricas y matemáticas disponibles.

5) Determinación del Problema geodésico Directo:

- Datos de entrada:

o Coordenadas geodésicas del punto A. Se transforman a radianes

o Distancia geodésica del punto A a un punto B (s)

o Acimut de A a B. Se transforma a radianes (A12)

o Parámetros del elipsoide a emplear

- Cálculo de radios de curvatura principales y radio medio en A (N1, ρ1 y R1)

- Cálculo de coordenadas de Cassini Soldner.

=

=

121

1

121

1

senARssenarcsenRy

AcosRstanarctanRx

- Cálculo de latitud e P0.

o Cálculo del arco de meridiano desde el ecuador hasta el pto A (s1) (proceso de cálculo visto en el punto 2).

o Después: s0 = s1 + x.

o Cálculo de la latitud (ϕ’ ) correspondiente al arco de meridiano s0. (proceso de cálculo visto en el apartado 3)

o Cálculo de la latitud geográfica

020

2

002 tgN2y

ϕ−ϕ=ϕ∆−ϕ=ϕ

o Cálculo de la longitud geográfica

ϕ=λ∆ 0

0

secNytanarctan

λ2 = λ1 ± ∆λ

siendo: + si B está al Este - si B está al Oeste

- Cálculo del acimut recíproco.

o Cálculo de convergencia de meridianos.

00

tanNysentan ϕ=γ

o Cálculo del acimut recíproco según cuadrante.

- A21 = A12 ± |γ| ± |π|

6) Determinación del Problema geodésico Inverso:

- Datos de entrada:

o Coordenadas geodésicas del punto A y punto B. Se transforman a radianes

o Parámetros del elipsoide a emplear

- Cálculo de Coordenadas de Soldner:

o Cálculo de radio de curvatura de la sección primer vertical en B (N2).

o Incremento de longitud entre los meridianos que pasan por A y B.

o Cálculo arco de meridiano entre las latitudes de los 2 puntos (visto en apartado 2)

o Cálculo del parámetro “m”:

22

2

tanN2ym ϕ=

o Cálculo de coordenadas de Soldner:

( )22 cossenarcsenNy ϕλ∆= ; ( ) ( )∫ϕ

ϕ

−+−−=

2

1

mdxxsene1e1ax 2/3222

- Cálculo de Acimut Directo:

o Cálculo de la superficie del triángulo que forman los puntos y P0:

yx21s =

o Cálculo del Radio medio a partir de la latitud media de A y B. (Rm) y cálculo del exceso esférico.

mm2m

departiracalculadoR,R

Sϕ=ε

o Cálculo del parámetro “t”.

ε−=

3yxcotarct

o Cálculo del acimut.

3tA12

ε+=

- Cálculo de la Distancia Geodésica:

s = y cosec t

- Cálculo de Acimut Recíproco:

o Cálculo de la convergencia de meridianos:

2sentantan ϕλ∆=γ

o Cálculo del acimut recíproco según cuadrante.

A21 = A12 ± |γ| ± |π|

SISTEMAS DE REFERENCIA

- Cálculo de la traspuesta de una matriz.

o =TRANSPONER(……)

- Producto de matrices.

o =MMULT(….;…..)

- Cálculo de la inversa de una matriz

o =MINVERSA(….)

AJUSTES POR MÍNIMOS CUADRADOS

1) Método de relaciones de observación:

Ax-t=v

- Cálculo de los valores aproximados de los parámetros incógnita. Según el tipo de variables

y observaciones realizadas calcular según corresponda empleando las funciones

matemáticas y trigonométricas disponibles en Excel. Importante transformar previamente

valores angulares en radianes.

- Rellenar matriz de diseño “A”, vector “x“ y vector de términos independientes “t” según la

relación de observación correspondiente.

- Cálculo de traspuesta de “A”.

o =TRANSPONER(……)

- Cálculo del producto de traspuesta de “A” por “A”.

o =MMULT(….;…..)

- Cálculo de la matriz inversa del resultado anterior.

- Cálculo del producto del resultado anterior por la traspuesta de “A”.

- Cálculo del producto del resultado anterior por el vector “t”.

2) Método de ecuaciones de condición:

Bv+t=0

- Establecer ecuaciones de condición y rellenar matrices correspondientes.

PROYECCIÓN UTM

1) Transformación de Coordenadas geodésicas en Rectangulares UTM:

- Establecer una tabla con los parámetros del elipsoide a emplear así como los valores ya calculados de los coeficientes A, B, C, D, E… También poner en una casilla el valor de los coeficientes de reducción de escala K0.

Por ejemplo:

Parámetros Hayford GRS80 a = 6378388,00 6378137 b = 6356911,95 6356752,31

e2 = 0,00672267 0,00669438 e'2 = 0,00676817 0,00673950

α = 0,003367003 0,004197145 CoefA = 1,005073987 1,005052500 CoefB = 0,005084684 0,005063106 CoefC = 1,07170E-05 1,06265E-05 CoefD = 2,10868E-08 2,08204E-08 CoefE = 4,000444E-11 3,933222E-11 CoefF = 7,259928E-14 7,108454E-14

K0 = 0,9996 0,9996

- Transformación de valores de latitud y longitud en radianes.

- Cálculo de los parámetros que los siguientes parámetros en el orden que se indica.

o Cálculo del meridiano central del huso. Para ello primero hay que calcular el huso en el que se encuentra el punto:

+=

+

+=6xEnt31

6180xEnt1Huso

Cálculo del meridiano central del huso (λ0):

6*(Huso-30)-3

NOTA: este valor está en grados sexagesimales (Deg) hay que transformarlo a radianes.

o Incremento de longitud (Δλ, en radianes) del punto dado respecto al meridiano central del huso.

o Radio de curvatura de la sección primer vertical en el punto dado (N).

o Cálculo de (η):

ϕ=η cos´e

o Cálculo de los siguientes parámetros. (I)= (β) es el arco de meridiano comprendido entre Ecuador y el punto dado (ver proceso de cálculo en apartado de “Cálculos sobre el Elipsoide”).

o Cálculo de (II), (III), (IV), (V), A6, B5:

( )( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )ϕη−η+ϕ+ϕ−ϕ=

ϕηη+ϕ+ϕ−ϕϕ=

η+ϕ−ϕ=

ϕ=

η+η+ϕ−ϕϕ=

ϕϕ=

β=λ∆=

2244255

2224266

223

4224

2

rad

tan5814tantan185cosNB

tan330270tantan5861tancosNA

tan1cosNV

cosNIV

49tan5tancosNIII

tancosNII

Ip

120

5p

720

6p

6

1

24

1

2

1

o Cálculo de “x” e “y”:

( ) ( ) ( )( ) ( ) 5

3

642

BpVpIVx

ApIIIpIIIy

++=

+++=

- Cálculo de “X” e “Y”:

−=

+=

SurHemisferioyK000.000.10NorteHemisferioyK

Y

xK000.500X

0

0

0

Aquí en la casilla en la cual se calcule “Y” habrá que imponer una función lógica “SI” por la cual se seleccione la expresión (K0 y) ó (10000-K0 y) en función del signo de la latitud del punto.

2) Transformación de Rectangulares UTM en Coordenadas geodésicas:

- Establecer una tabla con los parámetros del elipsoide a emplear así como los valores ya calculados de los coeficientes A, B, C, D, E… También poner en una casilla el valor de los coeficientes de reducción de escala K0.

- Colocar las casillas correspondientes a los valores de X e Y.

- Es necesario incluir una casilla donde se especifique si el punto dado está en el hemisferio Norte o Sur. Por ejemplo: “0” si está en el Hemisferio Norte y “-1” si está en el Sur.

- También es necesario indicar el Huso en el que se encuentra el punto dado.

- Cálculo de la variable β:

β = Y/K0

- Cálculo de la variable ϕ´ (Proceso de cálculo iterativo explicado en apartado “3” de la sección Cálculos sobre el elipsoide):

( )

( )

−β

−ϕ+ϕ−

+ϕ+ϕ−ϕϕ−−ϕ=ϕ −

2

2/3221nn

e1a8senE

816senD

61

4senC412senB

21Asene1

- Cálculo de las variables “N´” y “η´2”:

ϕ′−

=22sene1

aN ; ( )22 cos´e´ ϕ′=η

- Cálculo de las variables (VII), (VIII), (IX), (X), (D6), (E5):

( ) ( )

( ) ()

( )

( ) ( )

()

()

+ϕη−ϕη−

−η+ϕ+ϕ+ϕ

=

+ϕη+η+

+ϕ+ϕ+ϕ

=

η+ϕ+ϕ

=

ϕ=

ϕη−η−

+ϕη−η+ϕ+ϕ

=

η+ϕ

=

'tan'45'tan'162

'107'tan45'tan9061'N720

'tanqD

'tan'8'6

'tan24'tan285'cos'N120

qE

''tan21'cos'N6

1X

'cos'N1IX

'tan'9'3

'tan'6'6'tan35'N24

'tanVIII

'1'N2

'tanVII

4222

2426

6

6

222

2425

5

5

223

244

22224

22

- Cálculo de la variable Δλ:

o Cálculo de la longitud del meridiano central del huso (λ0) (lo pasamos a radianes)

RADIANES(6*(Huso-30)-3)

o Cálculo de la variable “x”:

0K000.500Xx −

=

o Cálculo de la variable “Δλ”:

( ) ( ) 53 ExXxIX +−=λ∆

- Cálculo de las variables ϕ y λ (en radianes, después habrá que transformarlas a grados sexagesimales o según proceda):

( ) ( )λ∆+λ=λ

−+−ϕ′=ϕ

0

642 DxVIIIxVII

3) Cálculo de la convergencia de meridianos a partir de las Coordenadas geodésicas:

- En este caso es interesante añadir una hoja nueva por cada sección y, en el caso de que sea necesario emplear en una hoja cálculos realizados en otra enlazar éstas entre sí. Para ello basta con poner seleccionar una casilla (en la cual se vaya a incluir el valor calculado en otra hoja) y poner “=” y a continuación seleccionar la casilla de la hoja de la cual se desee extraer el valor.

- Cálculo de variable “Δλ” (la copiamos de la hoja de la sección 1).

- Cálculo de la variable “η2”:

( )22 cos´e ϕ=η

- Cálculo de las variables (p), (XII), (XIII) y (C5):

( )( )

( ) ( )

( )ϕ−ϕϕ=

η+η+ϕϕ=

ϕ=λ∆=

245

422

rad

tan2cossenC

231cossenXIII

senXIIp

5

1

3

1

- Cálculo de la variable γ:

γ = (XII) p + (XIII)p3 + C5 p5

4) Cálculo de la convergencia de meridianos a partir de las Coordenadas rectangulares UTM:

- Cálculo de la variable ϕ´, N´y η´2 (se pueden copiar los valores de la hoja con los cálculos de la sección 2).

- Cálculo de x:

0K000.500Xx −

=

- Cálculo de las variables (XV), (XVI) y (F5):

( )

( ) ( )

( )'tan3'tan52'N15

'tanF

'2''tan1'N3

'tanXVI

'N'tanXV

4255

4223

ϕ+ϕ+ϕ

=

η−η−ϕ+ϕ

=

ϕ=

- Cálculo de la variable γ:

γ = (XV) x - (XVI)x3 + F5 x5

5) Cálculo del coeficiente de deformación lineal a partir de las Coordenadas geodésicas

- Cálculo de la variable Δλ y η. Las de la hoja de la sección 1.

- Cálculo de las variables (p) y (XX):

( )

( ) ( )22

rad

1cosXX

p

2

1η+ϕ=

λ∆=

- Cálculo de la variable K:

K = K0 [1 + (XX) p2 ]

6) Cálculo del coeficiente de deformación lineal a partir de las Coordenadas rectangulares UTM:

- Cálculo de la variable ϕ´, N´y η´2 (se pueden copiar los valores de la hoja con los cálculos de la sección 2).

- Cálculo de la variable (x) y (XVIII):

( ) ( )22

0

'1'N2

1XVIII

K000.500Xx

η+=

−=

- Cálculo de la variable K:

K = K0 [1 + (XVIII) q2 + 2.995 10-29 q4 ]

7) Cálculo de la reducción angular a la cuerda a partir de las Coordenadas rectangulares UTM.

- Cálculo de la variable ϕ´, N´y η´2 de cada punto (se pueden copiar los valores de la hoja con los cálculos de la sección 2).

- Cálculo de la variable (x) y (XVIII) de cada punto:

( ) ( )22

0

'1'N2

1XVIII

K000.500Xx

η+=

−=

- Cálculo de la reducción angular a la cuerda:

dT''B’A’ = 6.8755 104 (XVIII)m (yA’ – yB’) (2xB’ + xA’)

dT'' A’B’ = 6.8755 104 (XVIII)m (yB’ – yA’) (2xA’ + xB’)

RECOPILACIÓN DE EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE GEODESIA

GEODESIA FÍSICA

1. Considerando los modelos de geopotencial GOCO02S, EIGEN05C, AIUB-GRACE03S, y EGM2008 y dada la zona delimitada por

36 38

7.0 1.5

ϕ

λ

≤ ≤

− ≤ ≤ −

se pide:

a) Calcular las anomalías de la gravedad y ondulación del geoide en una malla de 0.5º de paso haciendo uso de la utilidad disponible en

http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/

b) Rellenar en ambos casos una tabla con los siguientes parámetros estadísticos

Modelo Nº puntos

Media STD Mínimo Máximo

GOCO02S

AIUB-GRACE03S

EIGEN05C

EGM2008

c) A la vista de los resultados estadísticos obtenidos para el geoide, razonar cual es el modelo que mejor representa la zona considerada.

d) Haciendo uso de la herramienta “calculadora geodésica” del Instituto Geodésico Nacional calcular la ondulación del geoide en cinco puntos de la malla anterior.

e) Comparar con los valores obtenidos en el apartado b) y explicar a que pueden ser debidas.

GEOMERÍA DEL ELIPSOIDE

1. Determinar la longitud de un arco del paralelo 37º45’36.21’’ de latitud norte comprendido entre los puntos A y B de longitudes geodésicas λΑ= 3º35’24.83’’ W y λΒ= 3º49’21.78’’ E, respectivamente.

2. Determinar la longitud de un paralelo de latitud 15º.

3. Determinar el valor de ϕ para el cual ρ = a.

4. Determinar la longitud del arco de meridiano comprendido entre los puntos A y B de latitudes 25º16’43.08’’N y 28º21º45.10’’ N, respectivamente.

5. Determinar el área encerrada por un trapecio elipsoidal cuyos vértices son los puntos A (ϕ=63ºΝ, λ=2ºW), B (ϕ=66ºΝ, λ=9ºW) y sus respectivas intersecciones de arcos y paralelos.

6. Calcular la latitud del punto extremo del arco de meridiano que abarca 1523690.450 m desde el ecuador del elipsoide.

7. Obtener la expresión de la latitud que ha de tener un punto para que la longitud de arco de su paralelo coincida con la mitad de la longitud de arco del ecuador.

8. Determinar la longitud del arco de paralelo de 3º de amplitud situado a 45º de latitud norte para distintos elipsoides.

9. Suponiendo que e4 = 0 y que e6 = 0, determinar el error absoluto que se comete al

calcular el arco de meridiano comprendido entre 45º S y 45º N con la fórmula.

10. Sean dos puntos E1 y E2 sobre el ecuador y sean sus longitudes respectivas 45min WG y 15min EG. Determinar el área del paralelogramo definido por los puntos P1E1E2P2 siendo P1 y P2 puntos situados sobre un mismo paralelo y tales que la longitud del arco del meridiano E1P1 es el doble de la distancia de E1 a E2. (Suponer que e4 = 0).

11. Sean E1, E2 puntos situados sobre el Ecuador del elipsoide de Hayford,

a) Determinar la expresión del área del paralelogramo definido por los puntos P1E1E2P2 siendo P1 y P2 puntos situados sobre un mismo paralelo y tales que la longitud del arco del paralelo P1P2 es la mitad que la distancia de E1 a E2.

b) Resolver el problema para E1 situado a 30min WG y E2 situado a 30min EG. c) Justificar si para calcular el área pedida podemos suponer que el trapecio P1E1E2P2

está situado en la esfera de latitud media.

12. Sean A, B dos puntos situados sobre el mismo paralelo ϕ y tales que la diferencia de sus longitudes es de 180º. Determinar la máxima diferencia existente entre la distancia recorrida al ir por el paralelo que une A con B y la recorrida al ir por la geodésica que une A y B. (Sugerencia: Recordar la derivación bajo el signo integral).

SISTEMAS DE REFERENCIA

1. Dado un punto P0 de coordenadas geodésicas:

0

37º 09 '26.8617 ''3º 50 '16.0890 ''724.670

NW

h m

ϕλ

===

respecto al elipsoide GRS80 caracterizado por los siguientes parámetros:

6378137.0006356752.314

a mb m

==

Se pide calcular las coordenadas cartesianas geocéntricas del punto P0

2. Sea el punto P de coordenadas cartesianas geocéntricas:

= 5078620.539 =-340687.296 =3831772.512

X mY mZ m

Calcular las coordenadas geodésicas (ϕ,λ, h) respecto al elipsoide GRS80.

3. Las coordenadas ITRF2000(2000.0) de la estación de San Fernando en Cádiz son:

mZmYmX

295.3769803952.555145047.5105519

=−=

=

Considerando los parámetros de transformación entre el ITRF2000 y los marcos de referencia precedentes que aparecen en la dirección http://itrf.ensg.ign.fr/

calcular las coordenadas de San Fernando en los siguientes marcos de referencia:

a) ITRF89(1988.0) b) ITRF93(1988.0) c) ITRF97(1997.0)

4. Sea el punto P0 de coordenadas geodésicas:

0

0

0

37º14 '7.747582"4º 02 '14.455679"734.501

NW

h m

ϕλ

===

Sea dado un sistema cartesiano local con origen en la proyección de P0 sobre el elipsoide y los ejes orientados la siguiente manera:

z a lo largo de la normal al elipsoide que pasa por P0 (positiva hacia arriba)

y a lo largo del meridiano dirigido hacia el Norte

x a lo largo del paralelo dirigida hacia el Este

En el sistema de coordenadas geodésicas se considera el punto P1 de coordenadas:

37º 09 '26.8617 ''3º 50 '16.0890 ''724.670

NW

h m

ϕλ

===

Sabiendo que el elipsoide considerado es el GRS80, se pide calcular las coordenadas cartesianas locales del punto P1

5. Las siguientes ecuaciones representan la transformación entre el sistema ED50 y el WGS84.

−−

−+

−−−

=

50

50

50

84

84

84

11

1

1.1238.935.89

ED

ED

ED

XY

XZ

YZ

WGS

WGS

WGS

ZYX

RRRRRR

mmm

ZYX

λ

siendo 0=XR , 0=YR , ZR = 0.156’’ y λ = 1.000 001 2.

Determinar a partir de ellas las coordenadas geodésicas WGS84 de un punto cuyas coordenadas geodésicas respecto al elipsoide de Hayford son:

ϕ = 38º 00’ 03’’.1360 N, λ = 3º 15’ 10’’.4685 W. Su altitud ortométrica es H = 636.3 m, y su ondulación del geoide N = -31.56 m

6. Considérese situados sobre el elipsoide WGS84 ( kma 137.6378,257223563.298/1 ==α ) los vértices siguientes vértices:

Mulhacén:

mhW

N

342.3565''95.36'18º3

''75.16'03º37

===

λϕ

Veleta:

mZmYmX

493.3825105574.299279715.5090867

=−=

=

Se pide:

a) Coordenadas cartesianas geocéntricas de Mulhacén b) Coordenadas geodésicas de Veleta c) Radios de curvatura de las secciones principales en Mulhacén d) Radio de curvatura medio en Mulhacén e) Altitud ortométrica de Veleta, sabiendo que la ondulación del geoide en dicho

vértice es 49.00 m.

7. Sea un punto P0 de coordenadas:

mZmY

mX

6398.38673074802.2986304

4690.4088246

0

0

0

−==

−=

Y un punto P1 de coordenadas

1

1

1

12072276.918913650148.2148

19470170.40862

X mY mZ m

= −== −

Considerando el elipsoide WGS84, se pide:

a) Coordenadas geodésicas de P0 b) Coordenadas cartesianas (x, y, z) de P1 en el sistema de referencia local con origen

en la proyección de P0, sobre el elipsoide, eje z en la dirección de la normal al elipsoide que pasa por P0, eje x en el plano del horizonte geodésico hacia el Norte (tangente al meridiano) y el eje y en el mismo plano hacia el este.

c) Ángulo cenital y acimut de la dirección P0P1 respecto de P0, así como la distancia P0P1

NOTA:

Parámetros del elipsoide GRS80, 257222101.298/1=α , a = 6378.137 km,

Parámetros del elipsoide WGS84 257223563.298/1=α , a = 6378.137 km

PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA GEOMÉTRICA

1. Sean los puntos A(37º10’30’’N, 0º15’20W) y B(37º10’30’’N, 0º15’20’’E) sobre el elipsoide de Hayford. Determinar:

a) La convergencia de meridianos b) La diferencia entre la geodésica que los une y el arco de paralelo correspondiente. c) El acimut directo y el recíproco

2. Sea un punto A de coordenadas (39º45’20.40’’N, 3º23’36.0’’W). Sea un punto B tal que la distancia geodésica entre A y B es 45632.0 m y el acimut de esta geodésica α AB

= 310º15’11.11’’. Determinar las coordenadas geodésicas de B

3. Dados los puntos A y B de coordenadas geodésicas

WN

WN

B

B

A

A

64.34'12º4''62.45'23º41

''7.59'28'3''40.20'50º40

==

==

λϕ

λϕ

sobre el elipsoide de parámetros a = 6378388 km y .297/1=α

Calcular:

a) Las coordenadas de Cassini-Soldner

b) Acimut directo

c) Convergencia de meridianos

d) Acimut inverso

e) Longitud de la línea geodésica que une A y B.

4. Sea el punto A de coordenadas geodésicas (40º35’40.00’’N, 3º24’33.40’’W) en el elipsoide de Hayford. Calcular:

a) Coordenadas de un punto B situado a 25000m al sur del punto A y a lo largo del meridiano de A.

b) Coordenadas de un punto C situado a una distancia geodésica de 25000m respecto de B con un acimut de 90º0’0’’.

c) Coordenadas de un punto D situado a 25000m al oeste de B y sobre el mismo paralelo.

d) Distancia geodésica CD.

5. Las coordenadas de un punto A son: A (41º 01' 06'' 35 N, 4º 20'40''71 W). Se pide:

a) Determinar las coordenadas de un punto B sabiendo que el acimut de la línea AB es 15º 04' 16''21 y la longitud de la geodésica entre A y B 43437.497 m

b) Acimut de la línea BA. c) Convergencia de meridianos.

6. Sea A un punto de coordenadas (42º N, 3 W). Sea B un punto de coordenadas (41º 47' 35'' N, 3º 15' 06'' 96 W). Determinar:

a) La distancia geodésica AB. b) El acimut de la geodésica AB c) Las coordenadas geodésicas de un punto C sabiendo que la distancia entre A y

B es la mitad de la distancia AC y que el ángulo geodésico BAC, medido en A, desde B y en el sentido contrario a las agujas del reloj es: 99º 31' 36''73.

7. Dados los puntos A(41º 32’ 24.60” N, 4º 23’ 45.52” W) y B(41º 20’ 06.82” N, 4º 03’ 17.00” W), se pide:

a) Distancia entre A y B. b) Acimut de la línea geodésica AB. a) Coordenadas de C, punto medio de la geodésica AB. b) Si un observador situado en C, mide el ángulo geodésico ACB, y éste resulta ser

180º 00’ 00.80”, determinar el error de cierre y el exceso esférico del triángulo geodésico ABC.

8. Dado el punto A (40º 44’ 39.03” N, 3º 26’ 21.356” W), se pide:

a) Coordenadas de un punto B situado a 45000.0 m al sur del punto A. b) Coordenadas de un punto C situado a 45000.0 m al este de A y en el mismo

paralelo. c) Distancia de B a C. d) Acimut directo e inverso entre B y C. e) Comprobar que el exceso esférico del triángulo geodésico BAC es su superficie

partida por el radio al cuadrado.

REDUCCIÓN DE OBSERVACIONES AL ELIPSOIDE

1. Dados los puntos A y B con altitudes 1000 m y 1200 m respectivamente separados por una distancia geométrica de 7850 m, calcular dicha distancia reducida al elipsoide. Suponer una latitud media de 40º35’36.11’’.

2. Consideremos que desde un vértice A se mide la distancia AB = 6940.17 m y que la

distancia cenital que hemos medido con el teodolito de A a B es ' 99 9935gAZ = . Si la cota

del punto A es de 267 m, calcular:

a) Distancia reducida al horizonte de A b) Distancia sobre el elipsoide c) Cota del punto B

3. Sean los vértices A y B de coordenadas geodésicas A(28º16’21’’N, 17º38’21’’W) y B(28º45’12’’N, 17º52’34’’W) y de altitudes ortométricas HA = 3716m y HB = 2426m), respectivamente. Se pide:

a) La longitud de la geodésica que los une b) La longitud de la cuerda c) El acimut de la geodésica AB d) La distancia geométrica y la cenital de la visual AB e) La distancia reducida sobre el horizonte de B

4. Considérese los vértices A y B que respecto al elipsoide WGS84 ( 257223563.298/1=α , a= 6378.137 km) tienen como coordenadas geodésicas:

A )0.3565,''95.36'18º3,''75.16'03º37( m−== λϕ

B )0.3476,''86.51'21º3,''22.26'03º37( m−== λϕ

Se sabe que la geodésica que une ambos puntos tiene como longitud 4824.546 m

Se pide:

a) La longitud de la cuerda que une A y B b) La distancia reducida al nivel medio del mar sabiendo que la ondulación

del geoide en la zona vale 49 m. c) La distancia geométrica entre A y B d) La cenital de la visual AB e) La distancia reducida al horizonte de B

5. Sabiendo que las coordenadas de A son A (40º 40' 40''.40 N, 4º 04' 04''.04 WG, 1500 m), el acimut del lado AB, θAB = 330º 30' 30''.30, la distancia sobre el elipsoide entre A y B es de 13131'313 m y la distancia cenital aparente de A a B es de 85º 41' 47''.01; determinar:

a) La altura de B. b) Las correcciones por esfericidad y refracción

NOTA: Las alturas están dadas sobre el elipsoide y se supone nula la ondulación del geoide.

6. En la siguiente del problema anterior se muestra el esquema de una triangulación en la

que conocemos las coordenadas de A(42º 14' 44''.36 N, 2º 12' 04''.13 W, 1500 m), la altura de C, hc = 2500 m y el acimut del lado AC 266º 03' 00''.00. También se ha medido la distancia AC, que resulta ser igual a dAC = 20031.2511 m. Se pide: a) Reducir la distancia AC al elipsoide. b) Coordenadas geodésicas de C c) Si la distancia sobre el elipsoide entre A y B es de 13927'713 m, determinar la altura de

B sabiendo que la distancia cenital aparente de A a B es de 86º 56' 50''.22. (Determinar, por separado, las correcciones por esfericidad y refracción).

NOTA: Las alturas están dadas sobre el elipsoide y se supone nula la corrección al geoide.

APROXIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA

1. El siguiente esquema es el de una triangulación geodésica observada, en la cual se conoce la longitud sobre el elipsoide del lado AB, SAB = 14567.0m y la latitud media de la zona 40º15'20.00 '' Nmϕ = . Sabiendo que se han observado los siguientes ángulos

X1= 89º39’19.00’’ X4= 45º14’03.08’’

X2= 61º42’14.00’’ X5= 40º18’36.42’’

X3= 28º39’31.64’’ X6= 94º28’32.25’’

Determinar:

a) El exceso esférico de los triángulos ABD y BCD b) El error de cierre de ambos triángulos c) Compensar los ángulos de la triangulación d) Sabiendo que el puntos A tiene una altitud ortométrica de 1500m y que la

ondulación del geoide en esta zona es de 45.0 m, calcular la cota ortométrica del punto B sabiendo que la distancia AB medida en campo es 14750m.

2. Partiendo de un vértice A de altitud conocida se realiza una nivelación pasando por otros vértices cuya altitud se desea conocer, obteniendo de los datos de campo los desniveles que aparecen en la figura.

Se supone que las observaciones son independientes y de la misma precisión.

Se pide:

a) Estimar las altitudes de B, C y D utilizando el método de ecuaciones de observación.

b) Suponiendo que el test del modelo ha sido superado estimar la precisión de las altitudes compensadas.

c) Estimar las altitudes de B, C y D utilizando el método de ecuaciones de condición.

d) Suponiendo que el test del modelo ha sido superado estimar la precisión de las altitudes compensadas.

3. Se conocen las coordenadas de cinco vértices A, B, C, D y E, a los que desde un punto P se visa midiéndose con un distanciómetro las respectivas distancias. Estimar utilizando el método de ecuaciones de observación las coordenadas del punto P. Suponiendo que el test del modelo ha sido superado, calcular la precisión de dichas coordenadas.

Vértice X (m) Y(m) Distancia medida (m)

A 5525.37 14012.98 6761.08

B 10854.07 11527.53 5930.53

C 12834.62 6251.24 6281.98

D 8711.22 2482.86 5282.30

E 429.12 4930.52 6672.18

4. Conocidas las altitudes de los vértices A y D, se realiza una nivelación para calcular las altitudes de B y C, obteniéndose los siguientes desniveles: ΔHAB =1. 20 m

ΔHBC =1. 40 m

ΔHCD=1. 00 m

Las observaciones han sido realizadas de manera independiente y con la misma precisión. Sabiendo que HA=0 m y HD= 3.75 m, estimar utilizando el método de ecuaciones de observación las altitudes ortométricas de B y C, indicando:

a) Número de observaciones y número de incógnitas b) Redundancia c) Modelo funcional d) Modelo estocástico e) Matriz normal f) Residuos estimados g) Varianza a posteriori h) Matriz de covarianza de las altitudes estimadas

6. Conocidas las altitudes de tres puntos A, B y C se han observado de manera independiente

los desniveles , ,AD BD CDH H H∆ ∆ ∆ , con pesos p1, p2 y p3 respectivamente.Aplicando la aproximación mínimo cuadrática determinar la altitud del punto D indicando:

a) Modelo funcional b) Modelo estocástico c) Altitud del punto D d) Altitud del punto D si p1 = p2 = p3

7. Se ha realizado una observación geodésica en la que se han visado de manera independiente y con la misma precisión los vértices de coordenadas UTM en el huso 30 que aparecen a continuación:

Vértice X UTM (ED50) (m) Y UTM (ED50) (m) H ortométrica

(m)

Jabalcuz 425804,597 4177221,691 1618,1

San Juan de Dios 434260,360 4186626,357 439,8

Cuevas 438624,058 4190147,453 521,7

Serrezuela de Pegalajar 441982,278 4177620,287 1126,1

Del estadillo de campo se ha obtenido la siguiente tabla:

Vértice Lecturas Horizontales Promediadas (g)

Serrezuela de Pegalajar 0.0024

Jabalcuz 123.0841

San Juan de Dios 307.9910

Cuevas 318.6937

Se sabe que las coordenadas aproximadas UTM (ED50) del punto de estación P son

(431669.149, 4182695.257) m. Se pide:

a) Ecuación de observación que permite estimar las coordenadas de P mediante mínimos

cuadrados

b) Linealización de la ecuación de observación

c) Modelo estocástico

d) Redundancia del sistema

e) Las coordenadas geodésicas estimadas del punto P mediante mínimos cuadrados

f) Sabiendo que la altitud geodésica respecto al elipsoide de Hayford de San Juan de Dios es 489.378 m, calcular su ondulación del geoide.

g) Las coordenadas geodésicas de San Juan de Dios respecto al elipsoide de Hayford

h) Calcular las coordenadas cartesianas geocéntricas de dicho vértice considerando el elipsoide de Hayford

i) Sabiendo que la transformación de ED50 a ETRS89 en esta zona se define por

50891

11

)1(

EDXY

XZ

YZ

Z

Y

X

ETRSZYX

RRRRRR

TTT

ZYX

−−

−++

=

µ

donde

rad21860.000000526814rad;0.000000007575rad;0.00001014

6110;0.00001154;298.167466.141655.136

===

=

−−−

=

ZYX

Z

Y

X

RRR

mTTT

µ

calcular las coordenadas ETRS89 de San Juan de Dios.

j) Calcular las coordenadas geodésicas respecto al elipsoide GRS80 de San Juan de Dios.

NOTA:

Parámetros del elipsoide de Hayford: semieje mayor a = 6378.388 km y cuadrado de la excentricidad e2 = 0.006722670

Parámetros del elipsoide GRS80: semieje mayor a = 6378137.000 m, semieje menor b = 6356752.314 m

8. Sean P1, P2, P3 y P4 cuatro puntos de altitudes ortométricas conocidas:

mHmHmHmH

P

P

P

P

945.25660.2325.0550.10

4

3

2

1

====

Desde ellos se han medido los desniveles a un punto P, de altitud ortométrica desconocida, obteniéndose los siguientes valores:

mdHmdH

mdHmdH

PP

PP

PP

PP

940.24670.1

670.0540.9

4

3

2

1

−=−=

=−=

Se supone que todas las observaciones son independientes y de la misma precisión, con una

varianza a priori de 2420 10 m−=σ .

Utilizando el método de ecuaciones de observación estimar la cota ortométrica de P, indicando:

a) Número de observaciones, número de incógnitas y redundancia b) Modelo funcional y modelo estocástico c) Matriz normal d) Altitud estimada de P e) Residuos estimados f) Varianza a posteriori g) Matriz de covarianza de la altitud estimada h) Precisión de la cota estimada

9. Desde los puntos P1, P2, P3 y P4 de altitudes conocidas se han medido de manera independiente y con la misma precisión los desniveles ΔH15, ΔH25, ΔH35, ΔH45.

Aplicar el método de ecuaciones de observación para estimar la altitud de P5, indicando:

a) Vector de observaciones b) Modelo funcional (indicando cada término de la ecuación de observación) c) Modelo estocástico d) Matriz normal y su inversa e) Altitud de P5

10. Compensar los ángulos que aparecen en el siguiente esquema de una triangulación:

x1 = 49º 03' 18''.00 x4 = 44º 02' 42''.00

x2 = 41º 55' 30''.00 x5 = 46º 14' 42''.00

x3 = 44º 16' 30''.00 x6 = 44º 27' 18''.00

C

D

B

A

X1

X2

X3

X4

X5

X6

11. Sea la siguiente figura en la que se sabe que la latitud media de la zona es ''20'15º40=mϕ y que la longitud de la geodésica que une A y B es 25000.00ABS m= , se

han observado de manera independiente y con la misma precisión los ángulos

321 ,, xxx obteniéndose:

''30'33º28,''14'42º63,''18'45º87 321 === xxx

Se pide

a) El exceso esférico b) El error de cierre c) Utilizando el método de ecuaciones de condición estimar 321 ,, xxx ,

indicando: c.1) Número de observaciones y número de incógnitas

c.2) Redundancia

c.3) Modelo funcional

c.4) Modelo estocástico

c.5) Residuos estimados

c.6) Ángulos estimados

c.7) Varianza a posteriori

d) Distancia geométrica de A a B sabiendo que las altitudes de A y B son 1500.0Ah m= y 1950.0Bh m= , respectivamente.

12. Supongamos que desde tres vértices A, B, C se visa a un punto P. Las coordenadas de los

tres primeros, que considero como fijos, son:

Vértice A B C X 70025.98 62921.12 56868.20 Y 27791.92 24351.75 35519.36

Las observaciones de campo son:

Punto visado B C P

Punto de

estación

A 136g 11m 57s 238g 55m 73s

B 268g 91m 92s 320g 25m 54s

C 69g 66m 79s 0g 00m 00s

Determinar las coordenadas de P, compensadas por mínimos cuadrados por el método de ecuaciones de observación.

13. En el triángulo geodésico formado por los vértices V1, V2, V3 se conocen los acimutes que figuran la tabla adjunta. Calcular los valores compensados de sus ángulos y los desarrollos de los lados V1V3 y V2V3. Si B es un punto del lado V3V2 tal que V3B tiene una longitud de un kilómetro, determinar, sin usar la esfera local, sus coordenadas geodésicas y los acimutes con respecto a V1 y V3 sabiendo que el vértice V3 está fijado por el par: ϕ = 35º15'20''.23 N y λ = 4º58'11'.81W

Vértices V V1 V

2 V3 1V2

= 44113.42 m

ϕm = 35º.2927 V 1 175º 52’ 17’’63 231º 58’ 55’’63

V 355º 43’ 31’’65 2 294º 56’ 35’’16

V 51º 46’ 59’’69 3 114º 31’ 28’’70

CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA

1. Estudiar la conformidad de la proyección de Littrow dada por

coscos

senx

y tg

λϕ

ϕ λ

= =

2. Estudiar la conformidad o equivalencia de la proyección cilíndrica central dada por

==

φλ

RtgyRx

Considerar la esfera como superficie de referencia.

3. Estudiar la conformidad de la proyección cilíndrica dada por

x Ry R sen

λϕ

= =

Considerar la esfera de radio unidad como superficie de referencia.

4. Teniendo en cuenta que si se considera como superficie de referencia la esfera de radio R, las proyecciones equivalentes verifican la siguiente condición

2 cos ,y x x y R ϕϕ λ ϕ λ

∂ ∂ ∂ ∂− =

∂ ∂ ∂ ∂

estudiar si conserva las áreas la proyección dada por x Ry Rsen

λϕ

= =

5. Calcular la elipse indicatriz de Tissot infinitesimal de la proyección de Mercator en la esfera de radio unidad. Las ecuaciones de esta proyección son:

ln tan4 2

x

y

λ

π ϕ

=

= +

6. Calcular los semiejes de la elipse indicatriz para la proyección cilíndrica equivalente de Lambert, en el caso de la esfera de radio R.

Las ecuaciones de esta proyección son:

x Ry R sen

λϕ

==

7. Determinar los elementos de la proyección Transversa de Mercator:

( )

1

2

1ln1

, costanarctancos

Bx RB

B seny R

ϕ λ ϕ λϕλ

+ = − = =

8. Determinar, en el punto ϕ= 60º y λ= 60º, el tipo y los elementos de la proyección dada por:

1/2 1/2

2 2 cos 22

1 cos 1 cos2 2

sen senx ysen sen

λϕ ϕλ λϕ ϕ

= = + +

LA PROYECCIÓN UTM

1. Dadas las coordenadas geodésicas de lo siguientes vértices respecto del elipsoide GRS80:

Punto Latitud Longitud

V1 43º22’47.4391’’ -3º46’39.5714’’

V2 43º11’54.8560’’ -1º53’20.0775’’

Calcular para cada punto:

a) Las coordenadas UTM(ETRS89) b) La convergencia de meridianos c) El módulo de deformación lineal

2. Dadas las coordenadas UTM(ETRS89) en el huso 30 de los siguientes puntos:

Punto X(m) Y(m)

A’ 448611.149 4377788.602

B’ 461816.178 4371427.267

Se pide:

a) Sus coordenadas geodésicas b) Los acimutes directo y recíproco de la geodésica que pasa por los puntos A y B

en el elipsoide c) La longitud de la geodésica que une los puntos A y B en el elipsoide

3. Sea un punto A’ de coordenadas UTM (601545.320 m, 4758137.621 m) y un punto B de coordenadas geodésicas respecto del elipsoide de Hayford, B (37º29’42.07’’, -3º53’55.48’’), determinar:

a) Coordenadas UTM de B, que denotamos como B’ b) Coordenadas geodésicas de A’, que denotamos A c) Distancia entre A’ y B’ en el plano d) Acimut geodésico de A a B e) Coordenadas UTM de un punto C, sabiendo que el acimut geodésico BC es

aproximadamente165º y la distancia BC sobre el elipsoide es de 150000.0 m f) Calcular el exceso esférico del triángulo geodésico ABC

4. Sea un punto A de coordenadas UTM (ETRS89) en el huso 30 dadas por (601439.3121 m, 4757928.2399 m) y un punto B de coordenadas geodésicas (37º29’37.5666, -3º54’0.1321), se pide:

a) Calcular las coordenadas UTM(ETRS89) de B b) Calcular las coordenadas geodésicas de A c) Representar las puntos A y B en el plano de la proyección UTM y añadir al dibujo un

punto C de coordenadas UTM(ETRS89) dadas por (457879.0838 m, 4004837.1254 m). d) Calcular el ángulo que en B forman las cuerdas que unen B con A y B con C e) Calcular el ángulo que en B forman las transformadas de las curvas BA y BC.

(Parámetros de elipsoide GRS80, 257222101.298/1=α , a = 6378.137 km).

5. Sea un punto A de coordenadas UTM (ETRS89) en el huso 30 dadas por X= 420438.2231 m, Y = 4150030.3832 m y un punto B de coordenadas geodésicas (36º11’14.6815, -3º28’6.4444), se pide:

a) Calcular las coordenadas UTM (ETRS89) de B y el acimut de la cuerda AB en el plano de la proyección UTM

b) Calcular la convergencia de meridianos en A c) Sin resolver el problema inverso de la Geodesia Geométrica en el elipsoide, obtener el

acimut geodésico de AB.

6. Sea el punto A' cuyas coordenadas UTM son: X = 459 257,274 m Y = 4 521 075,695 m y sea B cuyas coordenadas geodésicas (ED50) son: (40º38'26"49, 4º28'41"51W). Ambos puntos están situados en el Hemisferio Norte y en el mismo huso que B. Sea C' un punto situado al norte de A' y tal que el triángulo plano A'B'C' es equilátero.

a) Determinar las coordenadas geodésicas de C. b) Determinar el ángulo geodésico ACB. c) Determinar el acimut de la línea CB. d) Determinar la distancia sobre el elipsoide de CA y de CB.(Asumir que s' = D)