proyecto fin de grado grado en ingeniería de las...

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Proyecto Fin de Grado

Grado en Ingeniería de las Tecnologías

Industriales

Modelado del Oído Medio Humano mediante técnicas de Dinámica de Sistemas Multicuerpo

Autor: Javier González Martín

Tutor: Daniel García Vallejo

Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

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Modelado del oído medio humano mediante técnicas de dinámica de sistemas

multicuerpo

Modelado del Oído Medio Humano mediante técnicas de Dinámica de Sistemas Multicuerpo

Autor:

Javier González Martín

Tutor:

Daniel García Vallejo

Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

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iv

Proyecto Fin de Grado

Modelado del oído medio humano mediante técnicas de dinámica de sistemas multicuerpo

Autor: Javier González Martín

Tutor: Daniel García Vallejo

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2015

v

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multicuerpo

El Secretario del Tribunal

A mis padres

vi

vi

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AGRADECIMIENTOS

Agradezco a mi tutor Daniel García, por toda su ayuda e increíble disposición a lo largo del desarrollo de todo el proyecto. También la cercanía y la simpatía con la que siempre me ha tratado. Ha sido una experiencia muy enriquecedora y motivadora que me ha ayudado a entender mejor cómo funciona la mecánica computacional y despertar mi interés en la investigación.

Agradezco también a Antonio Luis García toda la ayuda y documentación aportada. Sin él, este proyecto no hubiese sido posible.

También agradezco a mi familia por su incondicional apoyo durante toda la carrera, especialmente a mi madre, que ha estado junto a mí transmitiéndome ánimos durante todo el camino.

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RESUMEN

Este documento recoge un estudio de la aplicación de técnicas basadas en Multibody System Dynamics al modelado del oído medio humano.

El estudio consta de dos partes bien diferenciadas:

En la primera se desarrolla el modelo, definiendo las propiedades de los huesos y fuerzas que actúan sobre ellos.

En la segunda parte, se realiza un post-procesado del modelo y se realizan modificaciones con el fin de mejorar los resultados.

El objetivo final del estudio, es el desarrollo de un programa en Matlab, el cual, permite conocer los parámetros dinámicos de cualquier punto de la cadena ósea a lo largo del tiempo.

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ABSTRACT

The following report analyzes a study of the application of a technique based on Multibody System Dynamics to the human middle hearing system modeling.

The report has two much differentiated parts:

The first of these parts, seeks to develop the modeling, defining bones properties and forces that actuate over them.

The second part is focused on the post-processing of the simulation results. Modifications of the systems are implemented in order to improve the results.

The final goal is the development of an Matlab program, which, will allow determine all the dynamics parameters of any point belonging to the bones chain through time.

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ÍNDICE

Modelado del Oído Medio Humano mediante técnicas de Dinámica de Sistemas Multicuerpo .. i

Modelado del Oído Medio Humano mediante técnicas de Dinámica de Sistemas Multicuerpo . iii

Agradecimientos ................................................................................................. vii

Resumen .......................................................................................................... viii

Abstract ............................................................................................................ ix

Índice .............................................................................................................. 10

1 Huesos ........................................................................................................... 16

1.1 Anatomía ............................................................................................... 16

1.2 Sólidos .................................................................................................. 16

1.3 Sistema de coordenadas............................................................................. 16

1.3.1 Triedro de referencia .......................................................................... 17

1.3.2 Coordenadas angulares ........................................................................ 17

1.4 Matriz de giro ......................................................................................... 18

1.5 Masa e inercia ......................................................................................... 19

2 Uniones y Ligamentos ..................................................................................... 22

2.1 Anatomía ............................................................................................... 22

2.2 Modelado como resortes ............................................................................ 22

2.3 Cálculo de Kax ........................................................................................ 23

2.4 Función Felas .......................................................................................... 25

3 Uniones ...................................................................................................... 26

3.1 Anatomía ............................................................................................... 26

3.2 Discretización mediante mallado. ................................................................. 26

3.2.1 Objetivos de modelización .................................................................... 26

3.2.2 Discretización ................................................................................... 27

3.2.3 Mallado ........................................................................................... 27

3.2.4 CALCULO DE ÁREAS ............................................................................. 28

3.3 Rigidez axial ........................................................................................... 28

3.4 Rigidez tangencial .................................................................................... 29

3.4.1 Objetivo del modelo ........................................................................... 29

3.4.2 Proyección rpq ................................................................................... 29

3.4.3 Constante de rigidez tangencial ............................................................. 30

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3.4.4 Código ............................................................................................. 31

3.4.5 Flexión y torsión ................................................................................ 32

3.5 Método alternativo propuesto para el cálculo ................................................... 32

4 Cóclea ........................................................................................................ 33

4.1 Anatomía ............................................................................................... 33

4.2 Amortiguamiento ..................................................................................... 33

4.3 Código .................................................................................................. 34

4.4 Constante C de amortiguamiento .................................................................. 35

4.5 Conexión con otro modelo .......................................................................... 35

4.6 Desfase ................................................................................................. 35

5 Tímpano ...................................................................................................... 36

5.1 Anatomía ............................................................................................... 36

5.2 Modelado del tímpano empleando elementos finitos. ......................................... 36

5.3 Aplicación de la fuerza .............................................................................. 39

5.4 Follower y no Follower .............................................................................. 39

5.5 Seno y no coseno ..................................................................................... 40

5.6 Código .................................................................................................. 40

5.7 Conexión con otro modelo .......................................................................... 40

6 Integración del modelo .................................................................................... 41

6.1 Fuerzas obtenidas y objetivo ....................................................................... 41

6.2 Ecuaciones de Newton-Euler........................................................................ 41

6.3 Fuerzas aplicadas ..................................................................................... 42

6.4 Fueras de inercia ..................................................................................... 42

6.5 Matriz de masa ........................................................................................ 43

6.6 Función a integrar .................................................................................... 43

6.6.1 Base de la función .............................................................................. 43

6.6.2 Estructura de la función ....................................................................... 43

6.6.3 Condiciones iniciales ........................................................................... 44

6.6.4 Resolver .......................................................................................... 44

7 Post Procesado .............................................................................................. 46

7.1 Construcción de gráficas ............................................................................ 46

7.1.1 Dibuja ............................................................................................. 46

7.1.2 Dibuja FFT ........................................................................................ 47

7.1.3 Dibuja new ....................................................................................... 48

7.1.4 Tic Toc ............................................................................................ 49

7.1.5 Modelo visual C++. .............................................................................. 49

7.2 Primeros resultados .................................................................................. 49

7.2.1 Probar con distintos integradores ............................................................ 49

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8 Modelo 2 huesos ............................................................................................ 53

8.1 Errores en el modelo ................................................................................. 53

8.2 Comparación de los módulos elásticos ............................................................ 53

8.3 Nuevo modelo ......................................................................................... 54

8.4 Cambio en las funciones ............................................................................ 54

8.5 Sistema rígido, comparación en los tiempos de ejecución .................................... 55

8.6 Post Procesado ........................................................................................ 55

8.6.1 Problema en el desplazamiento del umbo ................................................. 56

8.6.2 Resultado sin rigidez tangencial ............................................................. 59

8.6.3 Resultado con rigidez tangencial............................................................. 59

8.6.4 Comparación .................................................................................... 61

8.7 Análisis resultados filtrando ........................................................................ 62

8.7.1 Modelo sin rigidez tangencial en el ligamento incudomaleolar. ........................ 63

8.7.2 Modelo con rigidez tangencial en el ligamento incudomaleolar. ....................... 63

8.7.3 Comparación de los dos modelos una vez filtrados. ...................................... 64

9 Corrección del sistema de bases vectoriales .......................................................... 65

9.1 Necesidad de un nuevo sistema de bases vectoriales .......................................... 65

9.2 Descripción del nuevo SBV .......................................................................... 65

9.3 Un SBV por cada punto .............................................................................. 66

9.4 Post procesado ........................................................................................ 67

10 Ajuste del amortiguamiento ........................................................................... 69

10.1 Objetivo ................................................................................................ 70

10.2 Problema debido al ruido ........................................................................... 71

10.3 Ajuste .................................................................................................. 71

11 Superposición ............................................................................................ 75

11.1 Objetivo ................................................................................................ 75

11.2 Condiciones normales................................................................................ 75

11.3 Aumentando la frecuencia .......................................................................... 76

11.4 Disminuyendo la frecuencia ........................................................................ 77

11.5 Aumentando los decibelios ......................................................................... 77

12 Conclusiones ............................................................................................. 79

12.1 La constante de amortiguamiento tiene poca influencia en el desfase ..................... 79

12.2 El principio de superposición no se cumple a bajas frecuencias ............................. 79

12.3 Existe un enmascaramiento del resultado. ...................................................... 79

12.4 La respuesta de la placa podal es mejor que la del umbo. ................................... 80

12.5 Conclusiones finales.................................................................................. 83

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13 Anexos ..................................................................................................... 83

13.1 Linealización .......................................................................................... 84

13.1.1 Objetivo .......................................................................................... 84

13.1.2 Desarrollo ........................................................................................ 84

13.2 Scripts del modelo dos huesos ...................................................................... 86

13.2.1 Función A.m ..................................................................................... 86

13.2.2 Función Aphi.m .................................................................................. 86

13.2.3 Función Apsi.m .................................................................................. 86

13.2.4 Funcion Atetha.m ............................................................................... 86

13.2.5 Función CalciulaM.m ........................................................................... 87

13.2.6 Función CalculaQap............................................................................. 87

13.2.7 Función CalculaQvel.m ......................................................................... 87

13.2.8 Script Datos.m ................................................................................... 88

13.2.9 Función dGlocal.m .............................................................................. 92

13.2.10 Script dibuja.m ............................................................................... 92

13.2.11 Script dibujanew.m .......................................................................... 94

13.2.12 Función Fcoclea.m ........................................................................... 95

13.2.13 Función Felas2.m ............................................................................ 96

13.2.14 Función Felasligametos.m .................................................................. 97

13.2.15 Función Ffollower.m ......................................................................... 97

13.2.16 Función Fligamentoanular.m ............................................................... 98

13.2.17 Función Fnofollower.m ...................................................................... 98

13.2.18 Función funcion.m ........................................................................... 99

13.2.19 Función Glocal.m ............................................................................ 99

13.2.20 Función productovectorial.m .............................................................. 99

13.2.21 Script Resolver.m .......................................................................... 100

13.3 Tablas Excel de resultados ........................................................................ 100

14 Bibliografía ............................................................................................. 101

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Primera parte

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1 HUESOS

1.1 Anatomía

Cuando las ondas sonoras hacen vibrar la membrana timpánica o tímpano, ésta a su vez mueve el huesecillo más cercano, el martillo, al que está unida. El martillo, entonces, transmite las vibraciones por medio del yunque y el estribo hasta la membrana oval, que cierra la abertura al vestíbulo del oído interno. Esto se ilustra en la siguiente figura:

Ilustración 1-Esquema de los componentes del oído medio.

1.2 Sólidos

Para modelar los huesos se tienen en cuenta dos hechos fundamentales:

Sus módulos elásticos son mucho mayores que los del resto de elementos que forman parte de dicha cadena.

Las fuerzas que se transmiten a través de ellos no son lo suficientemente elevadas como para provocar una deformación significativa.

Por tanto, en este estudio, los tres huesos se modelarán como sólidos rígidos, es decir, la distancia entre los puntos que conforman cada uno de los huesecillos se mantiene constante a lo largo del tiempo. Cuando uno de los huesos sufre una traslación o un giro, todos los puntos asociados a ese hueso (puntos de unión con ligamentos, tímpano…) se mueven de forma solidaria con el sólido.

1.3 Sistema de coordenadas

Para poder conocer la posición de cada uno de los puntos del hueso, es necesario crear un modelo matemático de cada huesecillo como sólido rígido. Para ello, se asocia un triedro de referencia a

https://es.wikipedia.org/wiki/Ondas_sonoras

https://es.wikipedia.org/wiki/Vibraci%C3%B3n

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cada huesecillo. Dicho triedro de referencia consta de tres ejes ortogonales y unitarios que se mueven y giran con el sólido.

1.3.1 Triedro de referencia

Los triedros de referencia podrían colocarse en cualquier punto del huesecillo. Dependiendo de donde se coloquen, las coordenadas locales (referidas a dicho triedro) de los puntos pertenecientes a los huesecillos tendrán un valor u otro, pero una vez fijado en un punto, se mantienen constantes a lo largo del tiempo.

Sabemos a priori, que se va a estudiar, la evolución a lo largo del tiempo del modelo. Debido a esto, se aplicarán las ecuaciones de Newton-Euler; para poder formularlas de un modo más sencillo y disminuir el coste computacional, se colocará el centro del triedro de referencia, justo en el centro de gravedad de cada uno de los huesecillos que conforman la cadena.

Las coordenadas del triedro asociado a cada huesecillo respecto al triedro de referencia fijo, se denominarán como coordenadas de posición, y serán recogidas en un vector que se estructura de la siguiente forma:

Donde el subíndice i varía desde 1 hasta 3 para el Martillo, Yunque y Estribo y las coordenadas

son las coordenadas en cada uno de los ejes.

Por lo tanto, obtenemos 9 coordenadas, 3 por huesecillo, las cuales pueden recogerse en otro vector de la siguiente forma:

1.3.2 Coordenadas angulares

Como en todo modelo en 3D, los sólidos no solo se trasladan por el espacio, también giran. La base de todos los sistemas de referencia es, representar la orientación del triedro definido anteriormente respecto al triedro de referencia fijo. Dentro del abanico de posibilidades, se elige los ángulos de Euler, por los siguientes motivos:

Necesitan el menor número necesario de coordenadas angulares (3)

No añaden ningún tipo de restricción adicional

Su principal desventaja (singularidad de coordenadas) no afecta a este estudio, debido a la pequeña amplitud del desplazamiento y giro de los huesecillos.

Las 3 coordenadas pueden recogerse en un vector que presenta la siguiente estructura:

Dónde:

i es un subíndice que indica el huesecillo en cuestión.

es el ángulo de giro alrededor del eje z asociado al hueso, necesario para hacer coincidir el eje x asociado al hueso, con la línea de nodos (intersección entre los planos formados por los planos XY de ambos triedros de referencia, hueso y fijo).

es el ángulo de giro alrededor del eje X asociado al hueso para hacer coincidir ambos ejes Z.

es el ángulo de giro alrededor del eje Z (de ambos, ya que ahora coinciden) para hacer coincidir los ejes X.

Las tres ternas de ángulos de giro se pueden recoger en un vector denominado vector de

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coordenadas angulares que se estructura del siguiente modo:

Para la obtención de los valores iniciales de dichos ángulos, se procedió de la siguiente forma:

Se crea un script que obtiene cada uno de los ángulos a partir de las componentes del valor inicial de la matriz de giro.

Se evalúa la matriz de giro a partir de los valores calculados anteriormente.

Se substrae dicha matriz a la inicial. Se calcula la norma de este resultado.

Se prueban distintas combinaciones de signos en las expresiones que calculan los ángulos hasta que la norma del resultado sea 0. Una y solo una combinación dará lugar a una norma igual a 0.

Se almacenan los ángulos obtenidos.

Para concluir, podemos agrupar todas las coordenadas, ya sean cartesianas o angulares en un solo vector, de modo que tengamos en un único elemento, los datos necesarios para definir la posición de cualquier punto de la terna de huesecillos. Dicho vector, se denotará con la letra q, se denominará vector de coordenadas generalizadas y tendrá la siguiente estructura:

1.4 Matriz de giro

Una vez definidos el giro y traslación de los triedros, hay que definir de algún modo la posición del resto de puntos pertenecientes al huesecillo.

Para ello se emplea el uso de coordenadas locales (referidas al triedro fijado al huesecillo) las cuales se recogen en los llamados vectores de referencia locales, que presentan la siguiente forma:

La posición de un punto cualquiera perteneciente a un huesecillo respecto al triedro de referencia fijo viene dada de la siguiente forma:

Donde es la matriz de giro del huesecillo i. Dicha matriz se define como la terna de vectores unitarios del triedro de referencia móvil respecto al fijo, en columnas. También coincide, con el producto matricial de las tres matrices de giro provenientes, de cada uno de los giros elementales. Se calcula su valor en función de desarrollando el producto matricial anterior, de forma analítica.

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Una vez definida la matriz de giro, se puede escribir una función que proporciona dicha matriz a partir del vector de coordenadas angulares de uno de los huesos. Su nombre es A.

1.5 Masa e inercia

Una vez definida la forma en la que se van a estructurar los datos de posición del sistema, es hora de comenzar a obtener el resto de parámetros geométricos.

La geometría de un sistema como el del oído medio es algo complicado de definir. La forma y tamaño cambian de un oído a otro, pero también de una persona a otra.

En la tesis de Fco. Caminos se realiza un estudio sobre estos parámetros y se concluye definiendo un modelo 3D. Los archivos .SAT del modelo 3D completo, se han importado a Autocad y se han eliminado las partes correspondientes al oído externo e interno, quedando únicamente los elementos que resultan interesantes en el presente trabajo.

Mediante el comando “_Solunion” se han ido juntando todas y cada una de las partes que conforman cada uno de los huesos. “_Solunion” realiza una operación booleana de unión. De modo que si se tiene un conjunto de elementos, tras aplicarles dicho comando, se obtiene uno solo, cuyo volumen es la unión de todos.

Ilustración 2- Modelado CAD de la cadena ósea y sus ligamentos

Una vez creado el volumen total de cada hueso, se utiliza el comando _Massprop para estudiar sus características geométricas. Dicho comando abre una ventana en la que se muestra información sobre el sólido seleccionado. Entre dicha información, se encuentran el volumen, centro de gravedad y ejes principales de inercia del sólido.

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Ilustración 3- Cuadro que contiene la información devuelta por el comando _Massprop

En el presente estudio, se supone que la densidad de los huesecillos es uniforme, por lo que el centro de gravedad físico, coincidirá con el geométrico, mostrado por Autocad. Los tres centros de gravedad, obtenidos de este modo, conformarán las coordenadas iniciales del vector de referencia cartesiana.

Para medir las coordenadas locales de los puntos de los huesecillos es necesario definir un SCP para cada huesecillo. Un SCP es un sistema de coordenadas personal, el cual puede activarse o desactivarse para tomar medidas y definir elementos, usándolo a él de referencia. El SCP no es más que una forma de trabajar con el triedro de referencia del hueso en Autocad. La forma más fácil de definirlo es hacerlo mediante 3 puntos. Estos 3 puntos se definen respecto al SCU, sistema de coordenadas universal, el cual corresponde al triedro de referencia fijo.

El primer punto del SCP, el cual coincide con el centro del triedro, será el centro de gravedad, aportado por el comando _massprop. Los otros 2 puntos se elegirán, no de forma arbitraria, sino haciéndolos coincidir con el extremo de los vectores principales de inercia. De este modo, la matriz de inercia expresada en coordenadas locales, será simétrica, lo cual no simplifica el sistema, pero reduce el número de parámetros a introducir. El valor de dichos vectores es proporcionado, también, por _massprop.

Una vez definido el SCP, conviene volver a ejecutar _massprop, y comprobar, que efectivamente, el centro de gravedad está en la posición [0, 0, 0] y que los ejes principales de inercia coinciden con los ejes de referencia del sistema.

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Ilustración 4- Cuadro devuelto por _massprop una vez definido el nuevo SCP local. Se puede comprobar que la posición del centro de gravedad es 0 y que los ejes de inercia son paralelos a

los ejes del triedro de referencia.

A continuación, se han anotado los volúmenes e inercias geométricas de cada huesecillo, para posteriormente, multiplicarlo por la densidad ósea y obtener las masas y matrices de inercia, las cuales, son propiedades fundamentales del sistema.

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2 UNIONES Y LIGAMENTOS

2.1 Anatomía

La cadena ósea está conectada al cráneo mediante una serie de tendones y ligamentos. Son un total de 6 y se representan en la siguiente figura:

Ilustración 5- Esquema del oído medio en el que se indican cada uno de sus componentes

Algunos de estos tendones y ligamentos pueden contraerse en el caso de un campo auditivo severo, para reducir las vibraciones transmitidas. En un principio, la longitud y rigidez de estos tendones y ligamentos se considerará constante, pudiendo, en un futuro, modificarse para estudiar la influencia que tiene este fenómeno.

Se puede observar que de las seis, cuatro van conectadas directamente al martillo, quedando una solo para el estribo y otra para el yunque. Hay que tener en cuenta, que también existen uniones entre cada uno de los huesos y una unión entre el estribo y la ventana oval. De forma que los tendones y ligamentos no son los únicos elementos que aportan rigidez al sistema. Pero dichas uniones se estudiarán más adelante.

2.2 Modelado como resortes

Estos tendones y ligamentos, proporcionan rigidez al sistema, aportando una fuerza que se opone a su deformación. Por lo tanto, para el modelo que se está construyendo, es necesario computar dicha fuerza.

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Uno de los objetivos de este modelo es que sea sencillo y con pocos grados de libertad, para poder, posteriormente, unirlo con otros modelos de las otras partes del oído. No es viable, por tanto, realizar un modelo elástico del ligamento en el que se introduzcan muchos grados de libertad (como el de los elementos finitos) y que tenga una carga computacional demasiado grande.

Por otro lado, hay dos hechos de especial interés para el modelado de estos elementos:

1. La longitud tiene un elevado valor en comparación con el diámetro característico de los ligamentos, siendo en la mayoría de las ocasiones, diez veces mayor.

2. Los tendones y ligamentos están conectados al cráneo a través de una conexión que no opone una resistencia ante la flexión o torsión de los ligamentos.

Debido a esto, y buscando la simplicidad computacional, se decide modelar los tendones y ligamentos como resortes. Este tipo de elemento solo aporta rigidez axial, que crece de forma lineal y opuesta al movimiento del hueso. Dicha fuerza es siempre proporcional a una constante

intrínseca a cada elemento. La expresión que se emplea para computar dicha fuerza es:

Donde es la longitud natural de cada elemento y el vector que va desde el punto de

conexión con el hueso hasta el punto de conexión con el cráneo.

Ilustración 6- Se muestra que la fuerza elástica se aplica en el sentido opuesto a la deformación.

2.3 Cálculo de Kax

Una vez definido el modelo a emplear para los tendones y ligamentos, es necesario definir cómo se van a obtener los parámetros y .

Hay dos formas de medir :

1. Medir directamente la distancia entre los centros de las caras opuestas en el modelo Autocad de la cadena ósea. Para ello se dibujan dos líneas que unan los vértices de dichas caras y luego se seleccionan los puntos de intersección mediante el comando _Medir.

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2. La otra es obtener la norma del vector evaluado en la posición inicial del conjunto de

huesos. La forma de evaluar dicho vector se explicará en el siguiente apartado.

Para calcular es necesario emplear conceptos básicos de elasticidad como el del límite elástico. Dicho valor varía dependiendo del material. Los valores para los tendones y ligamentos se especifican en la siguiente tabla, la cual ha sido extraída de la tesis de Fco. Caminos.

Tabla 1-Contiene las propiedades mecánicas de los componentes del oído medio. Ha sido extraída de la Tesis de Fco. Caminos

Suponiendo que el material sea isótropo, y tomando los valores de la tabla, se puede definir un vector que contenga las seis rigideces del siguiente modo:

Donde E es el módulo elástico y A el área trasversal al ligamento, obtenida midiendo directamente con Autocad, o bien, como el doble de la norma del producto vectorial de dos vectores consecutivos de la cara.

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2.4 Función Felas

Una vez definidos todos los parámetros y el modelo, la única tarea que falta por realizar, es: Definir una función que reciba como argumento de entrada el vector de coordenadas generalizadas y devuelva como salida el vector de fuerzas que se aplican sobre cada huesecillo.

Esta función es la que se denomina Felasligamentos.m. La función es un bucle de seis ciclos (uno por ligamento) el cual está estructurado en tres partes:

1. Se cargan los parámetros correspondientes al ligamento y coordenadas del sistema. Los parámetros son: constante de rigidez, longitud inicial y coordenadas de los dos extremos. Las coordenadas han sido cargadas en dos matrices. La matriz Mligamentos1 contiene las coordenadas globales de los puntos de unión con el cráneo ( ) y la matriz Mligamentos2 las locales de los puntos de unión con los huesos ( ).

2. Se calcula el vector y . El vector se calcula del siguiente modo:

3. El valor de , fuerza aportada por el ligamento en cuestión, se calcula mediante la expresión mostrada en el apartado anterior.

En la parte que finaliza el ciclo, se calcula el momento provocado por la fuerza anteriormente computada. Dicho momento, deberá de ser pre multiplicado por la matriz expresada en coordenadas locales. De este modo, el momento provocado, puede computarse en el sistema de coordenadas angulares que se está empleando. Para finalizar, la fuerza de cada ligamento se introduce en otro vector que va sumando los valores de cada ligamento y es el que finalmente, devuelve la función.

El vector de fuerzas de salida está ordenado de modo que cada componente ocupa la posición de la coordenada a la que le corresponde.

El código de esta función está disponible en los anexos. Pueden existir variaciones en la nomenclatura debido a que el diseño del programa ha sido un proceso iterativo en el que se han ido realizando multitud de comprobaciones.

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3 UNIONES

3.1 Anatomía

En el oído medio existen elementos, los cuales, pese a aportar rigidez, poseen una geometría muy distinta de la de los tendones y ligamentos estudiados en el apartado anterior. Debido a esto, han de modelarse de una forma distinta, teniendo en cuenta sus peculiaridades. Estos elementos son:

Ilustración 7- Muestra la localización de las distintas uniones entre huesos.

Unión incudomaleolar: Es un tejido que une el martillo y el yunque. En la realidad tiene una forma curva y compleja. Pero en la tesis de Fco Caminos, y por tanto en el presente estudio, se ha modelado como la unión de tres placas que conectan las superficies de ambos huesecillos.

Unión incudoestapeidal: Es un tejido similar al de la unión incudomaleolar. Esta unión une el yunque con el estribo. Se puede aproximar como una placa, la cual es bastante más pequeña que la unión anterior, pero su forma aplanada impide que se realice un modelo simple como el de los ligamentos.

Ligamento anular del estribo. Es un tejido del mismo tipo que los ligamentos y tendones, el cual sirve de unión entre el estribo y la ventana oval. La geometría se puede apreciar en la siguiente figura.

A pesar de ser elementos cuya naturaleza es algo compleja, se modelarán como elementos sin masa, cuyo modulo elástico y constante de Poisson están detallados en la tabla de propiedades del oído medio que aparece en la tesis de Fco. Caminos.

3.2 Discretización mediante mallado.

3.2.1 Objetivos de modelización

En el modelado de estas uniones, otro hecho a tener muy en cuenta, es que va a formar parte de una función, la cual será evaluada de forma iterativa para cada instante de tiempo a lo largo del proceso de integración. Por lo tanto, la rigidez ha de definirse de forma que se alcance un

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compendio entre la fiabilidad del modelo y la carga computacional.

Lo ideal, desde el punto de vista computacional, sería definir una función equivalente a la de los ligamentos. Pero en vista de la geometría de estas uniones, no es suficiente con un modelo en el que se compute la rigidez axial. También hay que incluir la rigidez correspondiente al giro y movimiento trasversal de los huesos, es decir, la rigidez a torsión, flexión y cortante en todas las direcciones.

En la realidad, estas mallas provocan un campo de presiones y esfuerzos tangenciales sobre las superficies de los huesos con los que están en contacto. Dicho campo, no es uniforme y computarlo de forma exacta es inviable.

3.2.2 Discretización

Un objetivo más alcanzable, sería realizar una discretización: dividir dichas superficies en áreas más pequeñas. Cada área tendrá asociada una pareja de fuerzas sustitutivas, las cuales representarán el fruto de la integración de los valores de presión y esfuerzos tangenciales sobre dicha área.

Conforme más pequeñas sean las áreas (y, por tanto, más numerosas), mayor será la aproximación del modelo discreto al continuo.

Las fuerzas sustitutivas empleadas, serán dos:

Una perpendicular al área y actuando sobre su centro geométrico, llamada fuerza axial, la cual sustituye a la presión.

Una tangencial al área, también actuando sobre su centro geométrico, llamada fuerza tangencial, la cual sustituye a los esfuerzos tangenciales.

El centro geométrico de cada área que compone el mallado, será denominado nodo de aquí en adelante.

Como se ha insistido antes, este modelo no dará resultados exactos, pero supone un buen compendio entre el coste computacional y la aproximación al comportamiento real del sistema.

Ambas fuerzas se evaluarán en función de unos parámetros (que serán definidos con posterioridad) y la posición global del sistema.

3.2.3 Mallado

Al principio se pensó en realizar un mallado muy exhaustivo, pero luego se cayó en la cuenta de que este hecho no tenía tanta influencia como otras hipótesis empleadas en este estudio, por lo que con mallar de forma que se puedan computar las fuerzas correspondientes a las rigideces más representativas es suficiente.

Es interesante remarcar que en el modelo 3D, las uniones son protrusiones. Debido a esto, el área en contacto con un hueso, es idéntica a su homóloga. Luego, si se selecciona un punto mediante operaciones vectoriales, es suficiente con repetir dichas operaciones vectoriales sobre las coordenadas de la otra cara para obtener el homólogo en el otro hueso.

La forma de realizar el mallado, depende de la unión, y se hace de modo manual. Se anotaron las coordenadas de los puntos correspondientes a la conexión entre las uniones y los huesos. Dichas coordenadas se recogieron como coordenadas locales (excepto en el ligamento anular), ya que los puntos en cuestión permanecen inmóviles respecto al hueso al que pertenecen.

La forma en la que se computaron los nodos de las mallas se describe en los tres siguientes sub apartados.

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3.2.3.1 Union Incudoestapeidal

Debido a su geometría es la más sencilla de todas. Mediante Autocad se tomaron las coordenadas de cada uno de los vértices que conforman la cara. Las coordenadas de los vértices se almacenan en un par de matrices (una para cada hueso) en el script Datos. Cada uno de estos vértices, actuará como un nodo. Mediante operaciones vectoriales desarrolladas en el script Datos, se obtienen las coordenadas del centro del cuadrado que conforma la cara. Dicho punto corresponde a un quinto nodo.

3.2.3.2 Ligamento anular del estribo.

Es algo más complejo. Los nodos se sitúan en el centro de cada uno de los rectángulos que conforman la cara. Para obtener sus coordenadas, se parte de las coordenadas de los ocho puntos que delimitan la superficie. Dichas coordenadas serán locales para la cara que conecta con el estribo y globales para la cara que está en contacto con el cráneo.

3.2.3.3 Unión incudomaleolar.

Es la más compleja de todas. Para obtener los nodos que conforman su mallado, se procedió del siguiente modo:

Se numeraron todos los puntos que conforman los vértices de las caras. Sus coordenadas se almacenaron en un par de matrices. En esas matrices las coordenadas ocupan el espacio indicado por su numeración. De este modo, un punto ocupa un lugar en su matriz, idéntico al que ocupa su homólogo en la suya.

Se dibujaron los triángulos que definen las áreas que conforman el mallado de las caras. Se creó una matriz en la que se almacenaban por columnas las ternas de índices que define a cada triangulo.

Los centros de cada una de las caras se obtiene mediante una serie de operaciones vectoriales sobre las matrices que almacenan las coordenadas mediante la ayuda de la matriz que contiene los índices. Dichas operaciones están desarrolladas en la matriz datos. Este método permite cambiar la configuración de las áreas con solo modificar la matriz de los índices.

3.2.4 CALCULO DE ÁREAS

El mallado de las superficies se ha realizado intentando que sea lo más uniformemente posible, aun así, existen diferencias entre las áreas correspondientes a un nodo y otro. Para tener esto en cuenta, se han de computar las áreas asociadas a cada nodo y almacenarlas en un vector. Esto se realiza mediante un proceso de operaciones vectoriales que tiene en cuenta que el área de un triángulo es la mitad de la norma del producto vectorial de los dos vectores que la definen. Dicho proceso está desarrollado en el script Datos. Estas áreas se emplearán más adelante para definir los parámetros que caracterizan el cálculo de fuerzas normales o tangenciales.

3.3 Rigidez axial

Comenzaremos por definir la fuerza perpendicular al área de mallado.

Esta fuerza deberá de ser linealmente creciente con la distancia entre los puntos homólogos de la malla. Esto recuerda a la fuerza ejercida por los tendones y ligamentos. En consecuencia, esta fuerza se modela, siguiendo un principio físico similar a la fuerza axial en tendones y ligamentos.

La diferencia radica en que en este caso, el vector no se calcula en base a un punto

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perteneciente a un hueso y otro perteneciente al cráneo, sino que ambos puntos forman parte de huesos. Por tanto, el programa deberá cargar las coordenadas correspondientes a los dos huesos,

calcular sus matrices de giro, y, en base a ellas, el vector , el cual va de un nodo a otro, de

modo que su expresión esta vez es:

La fuerza se calcula de forma similar al caso de los ligamentos, teniendo especial cuidado en su sentido. Una fuerza igual pero de sentido opuesto, actuará sobre el hueso homólogo en función de a qué coordenadas se va a asociar dicha fuerza.

Dentro del vector que computa la fuerza, se introducen ambas, cada una situada en la posición que corresponde a las coordenadas cartesianas del hueso sobre el que actúa.

El momento que provoca dicha fuerza se calcula más tarde, una vez conocida la fuerza tangencial, ya que ambas fuerzas están actuando sobre el mismo punto.

Para calcular la rigidez axial, es necesario, conocer, además del área (calculada anteriormente) la longitud inicial. Esta longitud, será igual a la distancia entre dos puntos homólogos de la malla

cuando el sistema está en condiciones de equilibrio. Para ello, se evalúa la norma del vector

en la posición inicial, para cada par de nodos. Dichas operaciones se realizan en el script Datos, y las longitudes iniciales se almacenan en un vector por cada malla.

3.4 Rigidez tangencial

3.4.1 Objetivo del modelo

Las fuerzas tangenciales son las más complicadas de aproximar. Parece intuitivo pensar que al aplicar un esfuerzo cortante sobre cada malla, esta, a su vez, realice un esfuerzo en la misma dirección y en sentido contrario. De este modo, si se deformase la malla en cualquiera de sus direcciones tangenciales, la malla sufriría un esfuerzo interno para volver a su posición inicial.

Luego, la dificultad está en modelar dicho esfuerzo interno. ¿Cómo se puede medir dicho desplazamiento relativo? ¿Cuál es la relación entre la fuerza y dicho desplazamiento relativo?

Pues bien, dado que se ha podido calcular con éxito el vector que une ambos puntos de la malla,

una buena forma de medir el desplazamiento relativo, es, proyectar el vector sobre los

planos que conforman las áreas de mallado. Pero hay que tener en cuenta que dichas áreas de mallado, sufren, no solo un desplazamiento tangencial, sino también angular. Debido a esto

último, se decide proyectar el vector sobre el plano bisectriz de las áreas que corresponden a

la pareja de nodos en cuestión. En cuanto a la relación entre el valor de esta proyección y la fuerza, debido al tamaño de los desplazamientos, se considerará una relación lineal. Dicha relación lineal se caracteriza por una constante, la cual se denominará rigidez tangencial. Dicha constante se puede extraer de la teoría de la elasticidad.

3.4.2 Proyección rpq

No es posible proyectar un vector sobre una superficie de forma numérica. Lo que si puede hacerse, es proyectarlo sobre una base vectorial contenida dicha superficie. Debido a la cantidad de nodos existentes en el mallado, el proceso de cálculo de bases vectoriales, no es algo inmediato. Si se tuviese que realizar en cada proceso iterativo, añadiría una carga computacional demasiado grande. Debido a lo anterior y teniendo en cuenta el pequeño valor de los giros experimentados por los huesos, se opta por calcular la base vectorial una sola vez, respecto a la

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posición de equilibrio.

Se explica a continuación, la metodología que sigue el código para calcular las bases vectoriales. Dicho código ser encuentra desarrollado en el script Datos

Como los valores de que se van a emplear son los correspondientes a la posición

inicial, basta con almacenarlos en una matriz cuando se evalúan para calcular la longitud natural.

En un bucle, se define un vector aleatorio, se compara con para verificar que son

linealmente independientes. En el caso de que no lo sean se comienza el bucle de nuevo.

Se obtiene el primer vector de la base, , como el producto vectorial de y el vector

aleatorio obtenido en el bucle. Hay que dividir por su norma para que sea unitario. De la forma en la que obtiene se asegura de que este esté contenido en el plano

perpendicular a .

El siguiente vector de la base, , se obtiene como la normalización del vector obtenido

en el producto vectorial de y .

El conjunto de la base vectorial de una malla, se almacena en la matriz . El subíndice de la matriz hace referencia a la unión. La matriz será de orden 6xn, donde n es el número de nodos de la malla. En las primeras tres filas se almacena el primer vector de la base y en las tres últimas el otro vector del nodo. Es importante que las bases ocupen un orden en la matriz fijado por la numeración de sus nodos.

Una vez obtenida la matriz que recoge las bases vectoriales, puede definirse la metodología, para el cálculo de proyecciones para cada valor de tiempo de la integración.

Se multiplica escalarmente por . El escalar, vuelve a multiplicarse por ,

obteniendo un vector proyección de sobre la dirección de .

Se realiza un proceso análogo con .

Se suman ambos vectores.

Al vector proyección se le llamará .

3.4.3 Constante de rigidez tangencial

De la teoría de la elasticidad se sabe que:

Siendo la norma de y G el módulo de cizalladura, una constante propia del material. Los parámetros se pueden observar en la siguiente figura.

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Ilustración 8- Esfuerzo de cizalladura.

Gracias a esta expresión, la constante de rigidez axial puede definirse del siguiente modo:

De la teoría de la elasticidad, también se conoce el valor del módulo de cizalladura:

Siendo el coeficiente de Posisson. En los trabajos en los que se basa este estudio, se le asignó un valor de 0.3 para todos los elementos, por lo que será el valor que se le asigne de aquí en adelante.

Finalmente puede definirse la constante de rigidez axial para cada nodo de la malla del siguiente modo:

3.4.4 Código

Una vez definida la metodología a emplear para evaluar las fuerzas y medidos los parámetros necesarios para ello, se escribe un código distinto para cada una de las tres uniones.

Dichas funciones, tienen como entrada el vector de coordenadas generalizadas y por salida un vector del mismo orden, el cual contiene las fuerzas aplicadas a cada hueso.

Aunque la metología es la misma y están estructuradas de la misma forma, es necesario escribir tres funciones distintas, ya que en cada caso, se leerán unos parámetros u otros (coordenadas, matrices de base vectorial, vectores de rigidez nodal...)

Los códigos siguen la siguiente estructura:

La función es un bucle, en el que se ejecuta un ciclo para cada nodo.

El primer paso es cargar los datos referentes a las coordenadas, rigideces y base vectorial.

Se evalúa en la posición que corresponde a las coordenadas que se han cargado. A

partir de él se evalúa la fuerza axial que actúa sobre un hueso y la otra. (Son la misma fuerza pero con signo opuesto.)

Se evalúa la proyección de y en base a ella, la fuerza tangencial que actúa sobre cada

nodo. Esta fuerza se suma con la fuerza axial y se tiene como resultado, la fuerza total que actúa sobre el nodo.

Se obtiene el momento que produce la fuerza total sobre el hueso. Para ello se hace el producto vectorial del vector de coordenadas locales con el resultado de la fuerza, en

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coordenadas locales. Para pasar la fuerza a coordenadas locales, se premultiplican por la transpuesta de la matriz de giro. Este torque calculado, ha de ser pre multiplicado por la transpuesta de la matriz , para pasarlo al sistema de ángulos de Euler.

Las funciones que ejecutan estos bucles son Felas1.m para la unión incudomaleolar, Felas2.m para la incudoestapeidal y Fligamentoanular.m para el ligamento anular del estribo.

3.4.5 Flexión y torsión

Aparentemente, con el modelo de las mallas realizado hasta ahora, solo se ha conseguido aportar rigidez axial y tangencial. Pero, ¿qué ocurre al aplicar torsión o flexión a la malla?

La superposición de las fuerzas de los múltiples nodos que tiene una malla, responden a este problema, aplicando los esfuerzos necesarios para hacer que el sistema tienda hacia su posición inicial.

3.5 Método alternativo propuesto para el cálculo

Existen posibles métodos alternativos para el cálculo de las fuerzas provocadas por las uniones.

Una sería calcular la integral superficial del campo de desplazamientos axiales y tangenciales que se genera al mover las caras que están en contacto con los huesos.

Pero realizar dicha integral, en función de las coordenadas locales, es una tarea poco viable, viendo las características geométricas que tienen las uniones, en especial la incudomaleolar.

Dicho modelo de cálculo fue el que se intentó realizar en un primer momento, pero terminó por abandonarse debido a su complejidad, aunque sería muy interesante, poder desarrollarlo del todo y comparar los resultados con los obtenidos en este estudio. De este modo podría verse hasta donde influye la hipótesis de discretización.

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4 CÓCLEA

4.1 Anatomía

La cóclea es la parte del oído interno que está en contacto con el estribo. Es una estructura en forma de tubo enrollado en espiral. En su interior se encuentra un fluido en régimen viscoso, el cual, al desplazarse, excita el órgano de Corti, quien manda los impulsos nerviosos al cerebro.

Ilustración 9- Muestra el aspecto del interior de la cóclea y sus componentes

La cóclea tiene un orificio, el cual está en contacto con la placa podal. Dicho orificio es conocido por el nombre de ventana oval. A través de la ventana oval, el estribo transmite la energía de vibración al líquido contenido dentro de la cóclea. Y este, por el principio de acción y reacción, provocará una fuerza de resistencia en la placa podal del estribo.

Este estudio solo trata de abarcar la dinámica del oído medio, pero la fuerza transmitida por la cóclea es tan importante, que ha de ser modelada de algún modo.

Para ello, se realiza un modelo similar al del resto de publicaciones: Debido a que el líquido contenido en la cóclea es viscoso, se puede sustituir por una fuerza que sea contraria y linealmente proporcional con la velocidad, es decir, una fuerza similar a la provocada por un amortiguador viscoso.

4.2 Amortiguamiento

Para modelar el amortiguamiento que sufre el estribo debido a la cóclea, se coloca un amortiguador lineal en el centro de la placa podal. Para ello se miden las coordenadas de ese punto en locales y también en globales. El punto medido en globales será el que permanecerá constante a lo largo del tiempo y el otro será el que se irá moviendo con el estribo. Para obtenerlo, se realizan operaciones vectoriales a partir de la malla de coordenadas locales medidas al definir el ligamento anular del estribo.

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Hay otras formas de modelarlo, como colocar varios amortiguadores más débiles a lo largo de la placa podal, pero en muchos de los estudios previos, se ha colocado un solo amortiguador, lo cual mejora la velocidad de cómputo y simplifica el modelo, sin comprometer los resultados obtenidos.

Para computar la fuerza, se empleará la función F de Rayleigh:

La fuerza provocada por el amortiguador, será el menos gradiente de dicha función respecto a las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas

Dónde:

El vector es la derivada de las coordenadas generalizadas respecto al tiempo, dicho vector es parte de la entrada de la función.

C es la denominada constante de amortiguamiento.

se calcula como en la fuerza de los tendones y ligamentos.

A su vez:

Siendo la derivada de la matriz de giro del estribo respecto al ángulo de Euler .

La matriz es la matriz unidad de orden 3.

El vector es el vector de posición del punto donde actúa el amortiguador en

coordenadas locales.

También, también se puede desarrollar el siguiente término:

Donde los términos y ya se han calculado previamente.

Otra tarea a realizar es encontrar un valor adecuado de dicho amortiguamiento. Existen aproximaciones en otros modelos como en la tesis de Fco. Caminos. El amortiguamiento elegido

en este estudio será 717 . Aunque es algo aproximado y una vez comiencen las simulaciones se

intentará aproximar a un valor más adecuado.

4.3 Código

El modelo definido se recogerá en una función que reciba como entrada el vector de coordenadas generalizadas, la derivada respecto al tiempo de dicho vector (vector de velocidades) y devuelva

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como salida, la fuerza a las que está sometido el sistema debido a la cóclea.

La función se estructura de la siguiente forma:

Se cargan los valores de posición, velocidad y parámetros del sistema.

Se calcula la matriz mediante las ecuaciones desarrolladas anteriormente.

Se calcula y su norma,

Se calcula el vector a partir de los elementos calculados anteriormente.

Se calcula la fuerza generalizada. En esta fuerza se incluyen tanto fuerzas aplicadas sobre el centro de gravedad, como momentos expresados en las coordenadas angulares correspondientes.

Se asignan los valores de la fuerza al vector para su posterior cómputo.

Dicha función se encuentra desarrollada en el script Fcoclea.m

4.4 Constante C de amortiguamiento

El valor de dicha constante fue tomado de la tesis de Fco. Caminos. En la página 31 de dicha tesis, se cita textualmente: << La carga de la cóclea se tomó como el efecto de elementos amortiguadores colocados perpendicularmente sobre la placa podal con una constante de amortiguamiento total de 0.717 Ns/m. >>

4.5 Conexión con otro modelo

El modelado de la cóclea no es más que una aproximación. El objetivo de este estudio es simular el oído medio a lo largo del tiempo, de forma que posteriormente, se pueda conectar con las otras dos partes del oído. En el caso de que existiese un estudio más detallado de la cóclea, y del cual surgiese un modelo simulable a lo largo del tiempo, sería interesante unir estos dos modelos. Pues bien, es en esta fuerza, el punto en el cual se produciría la interacción entre ambos modelos. A la hora de unirlo, habría que eliminar esta fuerza y sustituirlo por la interacción. Si se hiciese un modelo de la cóclea, esta sería la fuerza que debería emplearse para excitar el fluido que excita el órgano de Corti.

4.6 Desfase

Uno de los objetivos a realizar a posteriori es tratar de ajustar la constante de amortiguamiento para que el desfase entre la excitación provocada en el umbo y su desplazamiento, coincida a altas frecuencias con los valores que aparecen en otros estudios. De este modo, se aproximará mejor los resultados obtenidos. Pero esta tarea no puede realizarse hasta que el modelo haya sido definido por completo, y sea posible simularlo a lo largo del tiempo.

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5 TÍMPANO

5.1 Anatomía

El tímpano es una membrana muy fina, elástica y de forma cónica, la cual comunica el oído externo con el oído medio. El tímpano sella el oído medio, de forma que no entra aire del externo al medio (entra aire pero a través de la trompa de Eustaquio). La sobrepresión del aire sobre el tímpano, hace que este se deforme. El umbo une el tímpano con el manubrio (la parte del martillo en contacto con el tímpano), de forma solidaria, por lo que si dicho elemento se desplaza, el martillo sufrirá un desplazamiento solidario. Es el tímpano, el elemento que excita el sistema del oído medio.

Ilustración 10- Fotografía del tímpano desde el oído externo. Puede apreciarse el manubrio y el umbo.

Aunque el presente trabajo solo cubra el estudio de la dinámica de los huesecillos del oído, es de especial interés conocer la presión que ejerce el tímpano sobre el martillo, ya que la función de respuesta en frecuencia del sistema, va a depender de dicha presión. Se ha de obtener por tanto, un valor aproximado, orientativo de cuánto vale la fuerza ejercida por el tímpano a 80 y 90 dB.

5.2 Modelado del tímpano empleando elementos finitos.

En un principio se multiplicó la sobrepresión del aire por el área del tímpano. Dicha fuerza sería la que incidiría sobre el centro del umbo, provocando vibraciones en el manubrio.

Esta aproximación es demasiado mala. La presión transmitida es mucho menor debido fundamentalmente a dos hechos:

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El tímpano está anclado al cráneo a través del ligamento anular. Luego, se deforma, no transmite toda la presión.

El tímpano no es plano, tiene forma cónica y se va deformando. Al actuar la presión en la dirección perpendicular a la superficie del tímpano, la componente perpendicular al eje se compensa, siendo efectiva únicamente la que es paralela al eje.

Para aproximar mejor esta presión, se recurre a un modelo de elementos finitos. Concretamente el de la tesis de Fco. Caminos.

Mediante el .Log de la tesis de Fco. Caminos, se definen los puntos, líneas y áreas que delimitan la geometría del tímpano

Ilustración 11- Modelo geométrico del tímpano en Ansys. A la izquierda se muestran los nodos del sistema y a la izquierda las líneas-

Ilustración 12-Superficies definidas en el modelo geométrico del tímpano en Ansys.

El área roja es el ligamento anular del tímpano, la azul la pars tensa y la morada la pars flácida.

A continuación se restringen los desplazamientos en todos los grados de libertad de las áreas que corresponden a la conexión con el martillo. También se ha definido una presión perpendicular a dichas áreas.

De este modo se puede generar una Reaction Solution List, en la que aparecen todos los nodos a los que se han restringido los desplazamientos. Se apunta la numeración de estos nodos, ya que son los que reaccionan con el martillo.

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A continuación se procede a restringir los desplazamientos en el ligamento anular.

Ilustración 13 - Restricción de los desplazamientos del ligamento anular del tímpano.

El sumatorio de las reacciones aparecidas en los nodos antes señalados será la reacción sobre el umbo.

De esta forma no se obtiene la reacción real, ya que para ello habría que colocar un resorte que representase la rigidez del sistema completo. Pero restringiendo el desplazamiento del área de contacto, se obtiene una cota superior de dicha reacción.

Ilustración 14-Modelo completo del tímpano en Ansys. Sobre él se han definido geometrías, propiedades mecánicas, cargas y restricción de movimientos.

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Mediante un código de Matlab se cargan los archivos .txt, se realizan los sumatorios de todas las reacciones y se obtienen las reacciones para 80 dB (0.2 Pa) y 90 dB (0.632 Pa).

Los resultados obtenidos son 8.2429 y 26.0664 para 80 y 90 dB respectivamente.

Estas fuerzas se incluirán el código de Matlab y se activaran o desactivarán en función de los decibelios de presión que se quisiesen estudiar.

Si fuese necesario estudiar otros valores de sobrepresión en el aire, como por ejemplo, los 130 dB que produce un avión en despegue, habría que ir al modelo en Ansys, introducir una presión correspondiente a los decibelios en cuestión, y, mediante el script arriba indicado, calcular la fuerza equivalente del tímpano sobre el manubrio.

5.3 Aplicación de la fuerza

La fuerza calculada en el apartado anterior, debería ser aplicada sobre toda la superficie del manubrio. Dado que esto no es posible numéricamente, se aplicará sobre puntos concretos del manubrio. Dada la geometría del modelo 3D, se aplicará sobre el centro de las dos caras que conforman la unión con el tímpano. Se ha de repartir la fuerza obtenida en el apartado anterior, de forma proporcional al área.

Para ello, se obtienen las coordenadas locales de los seis puntos que conforman el manubrio. Mediante operaciones vectoriales realizadas el script Datos.m se obtiene el par de puntos y las áreas.

Las fuerzas se han de aplicar de forma perpendicular a las caras sobre las que actúan. Empleando las coordenadas locales que se han tomado del modelo, se puede realizar un producto vectorial y obtener un vector perpendicular para cada cara. Dicho vector se normaliza posteriormente. Una vez normalizado será almacenado, pues se multiplicará por la fuerza actuante sobre la cara y será la fuerza que excite al sistema.

5.4 Follower y no Follower

El par de fueras ejercidas sobre el manubrio se han de mantener perpendiculares a la cara sobre la que actúan a lo largo del tiempo. Es decir, son fuerzas de las denominadas de tipo Follower.

Por tanto, dichas fuerzas, no solo dependen del tiempo, sino que también dependen de la situación en la que se encuentre el sistema, es decir, del vector de coordenadas generalizadas.

A la hora de evaluar dicha fuerza a lo largo del tiempo, eso no provoca ningún problema, se reciben los valores de y para cada instante de tiempo, y en función de ellos se evalúa la fuerza.

El problema aparece a la hora de plantear un modelo lineal. El resto de fuerzas solo depende de , o de y , mientras que en las fueras Follower, también existe una dependencia explicita con

el tiempo. Dicha dependencia, impide el proceso de linealización. No es posible separar las fuerzas de excitación de las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento. Luego, para estudiar la linealización, no queda más remedio que buscar una forma de formular la fuerza, en la que no exista dicha dependencia con las coordenadas del sistema.

Para ello, se define una fuerza denominada No-follower, la cual, a pesar de actuar siempre en los mismos puntos del manubrio, mantiene su dirección inicial, constante a lo largo del tiempo. De este modo, no existe una relación con las coordenadas, lo que permite continuar en el proceso de linealizado.

Estas dos formas de formular las fuerzas, darán lugar a dos scripts distintos, Ffollower.m y Fnofollower.m, los cuales se activaran o desactivarán en función de que se esté realizando la simulación del modelo obteniendo su modelo lineal.

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5.5 Seno y no coseno

Las fuerzas ejercidas por el tímpano, han de ser moduladas por una función trigonométrica. De este modo, se puede ir modificando la frecuencia de excitación.

Se elegirá un seno, ya que, para . Por lo que el sistema se irá desplazando de su posición de equilibrio de forma suave.

Si se eligiese un coseno, para . De este modo, al comienzo de la simulación, el manubrio recibiría una fuerza de valor máximo, lo cual puede considerarse como un impacto. Esto podría perturbar el sistema de un modo demasiado brusco, el cual influenciase de forma negativa el resto de la simulación.

5.6 Código

Una vez definida la metodología para calcular estas fuerzas, se escribe un script para calcular Ffollower.m y Fnofollower.m. Ambas tienen la misma estructura.

Se cargan las entradas al sistema. El vector de coordenadas generalizadas y el valor del tiempo para Ffollower.m y el tiempo solo para Fnofollower.m.

Se define el valor de fuerza correspondiente a la sobrepresión del aire en cuestión y la frecuencia.

Se cargan los vectores uumbo (posición en locales del punto de aplicación de la carga) y vumbo (vector en locales que define la línea de actuación de la fuerza).

Se definen la matriz de giro y matriz . En función de para Ffollower.m y en función de .

Se calculan el par de fuerzas que actúa sobre el manubrio.

Se obtienen los momentos provocados por ambas fuerzas.

Se ordenan en un vector de fuerzas generalizadas, el cual se devuelve como salida.

Este código permite, ir modificando parámetros, como la frecuencia o la sobrepresión del aire a lo largo del tiempo. Lo cual puede ser interesante una vez se haya verificado el modelo.

5.7 Conexión con otro modelo

Análogamente a lo que ocurría con la cóclea, esta fuerza es el punto de unión entre el modelo del oído medio con el del oído externo. Sería interesante sustituir los valores de la fuerza aproximada con el modelo de elementos finitos, por otra, que variase con el tiempo, fruto de la evolución del sistema. El manubrio, a su vez, serviría de resistencia, al modelo del oído externo de la misma forma que la cóclea lo es a este modelo. Al juntar ambos modelos, los resultados serían más exactos, no solo por un valor más realista de la fuerza de excitación, sino por la rigidez aportada por el tímpano al sistema.

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6 INTEGRACIÓN DEL MODELO

6.1 Fuerzas obtenidas y objetivo

Hasta ahora se han alcanzado dos objetivos:

1. Conseguir caracterizar el sistema mediante una serie de parámetros y coordenadas.

2. Modelar las fuerzas que actúan sobre cada hueso.

Por lo tanto, el siguiente paso, será obtener la evolución del sistema a lo largo del tiempo. Para ello, es necesario, hacer un estudio dinámico directo del sistema. Un estudio dinámico directo es aquel, en el cual, se obtiene la evolución en el tiempo de las coordenadas a partir de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Para ello es necesario integrar una serie de ecuaciones, que se detallan en el siguiente apartado.

6.2 Ecuaciones de Newton-Euler

Las ecuaciones de Newton-Euler, para un sólido orientado en el espacio mediante ángulos de Euler, pueden expresarse de la siguiente forma:

Dónde:

La parte de arriba son las conocidas como ecuaciones de Newton y las de abajo como ecuaciones de Euler.

m es la masa del sólido en cuestión, obtenida en el capítulo 1.

es la matriz nula de orden 3. es la matriz identidad de orden 3.

es la matriz de inercia del sólido expresada en coordenadas locales. También obtenida en el primer capítulo. Al estar expresada en coordenadas locales, permanece constante a lo largo del tiempo.

es la matriz que relaciona el vector con el vector del siguiente modo: . Su expresión y cálculo se encuentra desarrollado en los anexos

es la derivada segunda respecto al tiempo del vector de posición del centro de gravedad.

es la derivada segunda de la terna de ángulos de Euler respecto al tiempo.

es una fuerza aplicada sobre el sólido en coordenadas locales. es la antitransformada del vector de posición del punto donde se aplica la fuerza en coordenadas locales..

es un momento concentrado aplicado sobre el sólido en coordenadas locales.

es el vector de velocidad angular del sólido en coordenadas locales. es su antitransformada.

Las ecuaciones escritas anteriormente, pueden expresarse de forma matricial, para facilitar su notación:

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Dónde:

es la matriz de masa del sólido.

es la derivada segunda respecto al tiempo del vector de coordenadas generalizadas del sólido.

es el vector de fuerzas externas generalizadas que actúan sobre el sólido, es decir, las que se han modelado hasta ahora (ligamentos, uniones, cóclea y tímpano).

es el vector de fuerzas de inercia generalizadas del sólido. También son denominadas fuerzas de Coriolis o fuerzas cuadráticas con la velocidad.

Para estudiar el sistema por completo, se han de computar las ecuaciones de Newton-Euler para los tres sólidos. De este modo, se obtienen un total de 18 ecuaciones, para 18 coordenadas generalizadas.

Las ecuaciones se reordenan, de forma que las 9 ecuaciones de Newton (las relacionadas con las coordenadas cartesianas) quedan arriba y las 9 ecuaciones de Euler (las relacionadas con las coordenadas angulares quedan abajo). De este modo, se define un sistema de ecuaciones matricial del siguiente modo:

Donde esta vez las matrices están reorganizadas y representan a todo el sistema.

6.3 Fuerzas aplicadas

Son todas las fuerzas que se han ido modelando anteriormente. No hace falta reorganizarlas ni obtener sus momentos, ya que estos se han ido calculando en cada función.

Lo único que queda por hacer, es definir una función, que recibiendo como entrada el valor del tiempo, el vector de coordenadas generalizadas y su derivada respecto al tiempo, devuelva el vector suma de todas las fuerzas modeladas con anterioridad.

Esta función se llamará CalculaQap.m y se desarrolla en los anexos. En ella pueda activarse Ffollower.m y Fnofollower.m.

6.4 Fueras de inercia

El vector de fuerzas de inercia tendrá la siguiente forma:

Dónde:

Los valores de las matrices de inercia estaban definidos anteriormente.

Los valores de se extraen del vector que contiene la derivada temporal de las coordenadas generalizadas.

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Se crea una función llamada Glocal.m la cual calcula la matriz a partir de su expresión analítica, la cual se especifica en los anexos. Se realiza el mismo procedimiento para la

matriz , la función que la calcula se llama dGlocal.m

Los vectores de velocidades angulares se obtienen mediante el producto .

Las antitransformadas se calculan extrayendo los términos del vector .

Se multiplica respetando el orden que marca la expresión.

De este modo se pueden evaluar las fuerzas cuadráticas con la velocidad para cada valor de y . Esto se hace en una función llamada CalculaQvel.m.

6.5 Matriz de masa

La matriz de masa, una vez reordenada, tendrá la siguiente forma:

Donde se ha representado solo la diagonal, ya que el resto de elementos son matrices cuadradas, nulas de orden 3.

Los valores de son conocidos del primer capítulo, así como los valores de la matriz de inercia

en coordenadas locales de cada hueso. Las matrices se obtienen mediante la función Glocal.m.

La función CalculaM.m obtiene como entrada el vector de coordenadas generalizadas y devuelve la matriz de masa correspondiente.

6.6 Función a integrar

6.6.1 Base de la función

Ya se ha explicado como calcular todos los elementos de la expresión

Por lo que se puede expresar la aceleración de las coordenadas generalizadas del siguiente modo:

Donde se cumple que:

Luego, se puede crear una función, que reciba las coordenadas generalizadas, su vector de velocidad y el tiempo y devuelva el vector de aceleraciones.

6.6.2 Estructura de la función

Pero hay que tener en cuenta, que para resolver dicha ecuación sería necesario resolver un

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sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Dichos sistemas son mucho más difíciles de integrar mediante Matlab, por lo que se hace lo siguiente:

Se define un vector de la siguiente forma:

La derivada de dicho vector será:

Entonces se puede definir una función a la que se llamará funcion.m y realiza los siguientes pasos:

Recibe como entrada los valores de y .

Extrae los valores de y , los cuales están contenidos en .

Evalúa las matrices , y a través de las funciones desarrolladas hasta ahora.

En base a las matrices del punto anterior obtiene .

Crea y devuelve el vector .

Dicha función, representa un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para este tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales, existen multitud de integradores en Matlab, son mucho más rápidos que los de segundo orden.

6.6.3 Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales son fáciles de calcular. Se supone que el sistema se encuentra en reposo en el instante , debido a esto, el valor inicial del vector de velocidades de las coordenadas generalizadas será nulo. .

Los valores del vector de coordenadas en la posición inicial, son los que se han ido midiendo mientras se tomaban los parámetros del modelo 3D.

Luego, se puede construir como .

6.6.4 Resolver

La simulación del sistema se realiza a través del script Resolver. Este script se encarga de cargar los datos que caracterizan el sistema, integrar el sistema y representar gráficamente los resultados.

La línea Datos realiza la llamada a otro script, que se encargará de cargar todos los datos.

El comando [T,Y] = integrador(@funcion,[Tinicio:PasoDeTiempo:Tfinal],[q0;dq]); es el que realiza la integración del sistema. El integrador finalmente empleado para integrar el sistema es el ode23tb aunque se ha probado con varios tipos de integradores.

Dentro de este comando se puede ajustar el tiempo de integración y las condiciones iníciales de velocidad y posición del sistema.

De este modo, a través del script Resolver se realizan llamadas a todas las funciones definidas con anterioridad. En él se pueden definir también, la frecuencia y fuerza de excitación.

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Tabla 2- Muestra la relación entre los distintos scripts.

Resolver

Datos

ode23tb(funcion)

CalculaM(q)

CalculaQap(q,dq,t)

Fligamentos(q)

Fuerzas malladas(q)

Felas1

Felas2

Fligamentoanular Ffollower(q,t)

Fcoclea(q,dq)

CalculaQvel(q,dq) dibujar

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7 POST PROCESADO

En este capítulo se analizarán todas las cuestiones correspondientes a la representación de resultados.

7.1 Construcción de gráficas

Los parámetros que resultan de mayor interés son:

Amplitud del movimiento de la placa podal del estribo

Amplitud del movimiento del umbo.

Se obtendrá la evolución en el tiempo de ambos valores así como su espectro de frecuencia.

También interesa conocer, cuanto tiempo tarda el sistema en integrar.

7.1.1 Dibuja

Este script proporciona una figura, que muestra cuatro gráficas:

Evolución de las coordenadas cartesianas de cada hueso a lo largo del tiempo.

Evolución de los ángulos de Euler a lo largo del tiempo.

Desplazamiento de la placa podal del estribo a lo largo del tiempo

Energía mecánica de cada hueso y total del sistema.

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Ilustración 15 - Figura devuelta por el script Dibuja.m una vez realizada la simulación.

Esta figura no es tan útil en el post procesado como en la parte de desarrollo del modelo.

Esta gráfica permite ver de un modo claro fenómenos como:

Discontinuidades en el sistema.

Excesiva evolución de alguna de las coordenadas respecto a las otras.

Tratar de obtener una conservación de la energía mecánica cuando sobre el sistema no actúan fuerzas.

De modo que se puede ver donde se producen errores en la simulación e intentar corregirlos.

7.1.2 Dibuja FFT

7.1.2.1 Objetivos

Este script se emplea para calcular el espectro de la amplitud de los desplazamientos del umbo y de la placa podal. Se emplea una vez se ha comprobado que el modelo funciona correctamente y sirve para obtener información que no puede observarse a través de la evolución en el tiempo.

Para obtener los espectros, es importante que la frecuencia de muestreo sea el doble que la frecuencia de excitación. De este modo se cumplirá el teorema de Nyquist, y no habrá aliasing.

Para aumentar la frecuencia de muestreo, se ha de reducir el paso de tiempo entre los datos que devuelve la simulación. Esto se hace en el comando que ejecuta la simulación a la hora de definir los límites de tiempo de la integración.

Al definir dicho paso de tiempo, se asegura además que el paso de tiempo es constante y la función de Matlab que calcula el espectro lo está haciendo bien.

Las líneas que calculan el espectro son las siguientes:

espectroumbo=fftshift(fft(amplitudumbo));

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espectronormalizado=abs(espectroumbo)/n;

Como puede observarse, se aplica el fftshift, de este modo, se centran los valores obtenidos, para hacerlos coincidir con un vector de frecuencias simétrico, el cual se define de la siguiente forma:

n=length(T); tfin=T(n); f=linspace(-0.5*n/tfin,0.5*n/tfin,n);

Siendo T el vector de tiempos que devuelve el integrador.

Ilustración 16 – Gráfica obtenida al emplear Dibujafft.m una vez realizada la simulación. Se observa que el espectro aparece tanto para frecuencias positivas como negativas. Por tanto, al

realizar las mediciones, habrá que duplicar la amplitud medida en este tipo de gráficas.

7.1.3 Dibuja new

Es la que más se empleó en la etapa final del proyecto.

Se representa una figura que contiene los siguientes elementos:

Desplazamiento del umbo respecto al tiempo.

Espectro del desplazamiento del umbo respecto al tiempo.

Desplazamiento de la placa podal respecto al tiempo.

Espectro del desplazamiento de la placa podal respecto al tiempo.

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Ilustración 17- Gráfica obtenida por dibujanew.m una vez realizada la simulación

La forma de obtener cada uno de los subplots es similar a la de las funciones descritas anteriormente.

7.1.4 Tic Toc

Se coloca una línea en la que pone tic justo antes de la línea en la que se integra. Justo después se coloca una línea que realiza un toc. De este modo, se muestra en pantalla el tiempo que se ha empleado para integrar el sistema.

7.1.5 Modelo visual C++.

Al comienzo del estudio se planteó la creación de un programa en C++, el cual, recibiendo el vector de coordenadas a lo largo del tiempo, mostrase el movimiento de los huesos.

No resultó factible debido al tamaño de los desplazamientos respecto al tamaño de los huesos.

7.2 Primeros resultados

7.2.1 Probar con distintos integradores

Dadas las condiciones de rigidez del sistema que se está estudiando, cabe preguntarse si el

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comportamiento del sistema dependerá del tipo de integrador a emplear. Ya que al resolver el sistema con el integrador más general (ode45) se cometen una series de errores que el propio matlab asocia a la naturaleza del sistema a integrar.

Para solucionar estos problemas, sería interesante probar con un integrador, cuyo código esté preparado para sistemas más rígidos, y que al menos, no apareciese el warming correspondiente.

En la página de Matlab, se muestra un variado abanico de integradores, los más importantes y que se aproximan más a este sistema, se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 3- Diferentes integradores implementados en Matlab, método que emplean y tipo de ecuaciones diferenciales que resuelven.

Debido a la complejidad del sistema en estudio, no se puede saber, a priori, cual es el integrador más adecuado. Pero dada la alta frecuencia y rigidez del sistema solo se probará el sistema con aquellos que resuelvan ecuaciones diferenciales rígidas.

Se ha eliminado la fuerza debida al amortiguamiento y al tímpano. De este modo no existen fuerzas no conservativas actuando en el sistema. La energía mecánica debería de ser continua.

El sistema que integre la ecuación de movimiento a lo largo del tiempo y obtenga una evolución de las coordenadas las cuales impliquen una evolución de la energía mecánica constante en el tiempo, será el integrador adecuado para resolver el sistema.

Para evaluar la energía mecánica se calculan las energías potenciales y cinéticas asociadas a cada hueso. La energía cinética se compondrá a su vez de la energía debida a la traslación y a la debida la rotación del hueso. La potencial será la suma de cada uno de los elementos elásticos, tanto de los tendones y ligamentos, como de los elementos que conforman la malla.

Pero en la posición de equilibrio, sin fuerzas externas actuando, el sistema se mantiene en su posición de equilibrio. La única forma de excitarlo, es, aportar una pequeña perturbación a su posición de equilibrio inicial.

Se modifica la posición de equilibrio del centro de gravedad del yunque en el eje Y menos de una milésima. Se muestra a continuación la evolución de las coordenadas, energía y amplitud de la cóclea para los distintos integradores en estudio.

Hay que tener en cuenta que no se ha modificado el paso de tiempo, ni tolerancias de los integradores. Estos integran con los valores predefinidos.

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Ilustración 18 – Evolución de la energía mecánica de cada hueso para distintos integradores.

Superior izquierda: Ode15s. Superior derecha: Ode23s. Inferior izquierda: Ode23t. Inferior derecha: Ode23tb.

Ninguno de los integradores que se han probado, es capaz de resolver el sistema de forma que la energía mecánica se mantenga estable. Esto se debe principalmente a dos motivos:

Una perturbación en la posición inicial del hueso, por pequeña que sea, es demasiado

severa. Al desplazar el centro de gravedad o dar un giro inicial al sólido, todas las fuerzas

del sistema se activan una especie de percusión, que el sistema no es capaz de resolver.

Existe una pérdida de la energía mecánica debido al cómputo numérico del integrador.

Esto ocurre en todo tipo de sistemas, pero en este modelo, al ser tan rígido, resulta más

crítico.

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, así como las descripciones que proporciona Matlab, el más adecuado para continuar trabajando y solucionar los problemas de rigidez, es el ode23tb.

Dicho integrador se usará para el resto de simulaciones, a la hora de tratar de mejorar el modelo.

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Segunda parte

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8 MODELO 2 HUESOS

8.1 Errores en el modelo

Debido a la baja velocidad de simulación, dispersión de los resultados obtenidos y pérdida de la energía mecánica, cabe plantearse la eficacia del modelo definido.

En un principio, el objetivo del proyecto era construir un modelo, que al ser de solo 18 grados de libertad consiguiese simplificar el estudio realizado mediante elementos finitos, disminuir el coste computacional y ser capaz de obtener de forma rápida una amplia gama de resultados cuando interesase variar cualquier parámetro del oído.

Este objetivo no se ha cumplido con el modelo de los 3 huesos. Para simular la respuesta dinámica ante una onda sonora de tan solo 500 Hz y 80 dB durante medio segundo se necesitan unas 24 horas. Si se quisiese estudiar que ocurre en el sistema al cambiar algún parámetro, se necesitarían semanas para obtener suficientes datos.

Estos hechos, obligan a volver a repasar los parámetros que definen el modelo y compararlos con los modelos previos. Por ejemplo, el hecho de no haber calculado bien la longitud inicial de uno de los muelles que componen el modelado de las mallas puede llevar a resultados que no representan la realidad del modelo.

Pero tras una serie de minuciosas comprobaciones se llega a la conclusión de que los datos parecen haber sido introducidos de acuerdo a lo especificado en las demás tesis y datos obtenidos de AutoCAD.

8.2 Comparación de los módulos elásticos

Para este modelo, la rigidez de los huesos se ha supuesto infinita frente a la de los elementos que componen las uniones y ligamentos.

Pero, comparando los valores de densidad y modulo elástico de cada uno de los elementos que componen el sistema auditivo, se llega a la conclusión de que realmente, hay elementos que pueden considerarse rígidos respecto a otros.

Se observan lo siguiente:

Los huesos tienen un módulo elástico de 14.1 GPa

Los tendones y la unión incudomaleolar son del orden de 0.001Gpa

Por tanto, los huesos pueden considerarse rígidos y modelar únicamente estos elementos flexibles.

La unión incudomaleolar (la que une el martillo con el yunque), tiene un módulo elástico del mismo valor que el óseo.

Esto hace pensar, que debido a la gran superficie de esta unión y a su módulo elástico, podría considerarse que la unión entre ambos huesos es completamente rígida.

Debido a la necesidad de plantearse modos alternativos para resolver el problema y aprovechando que la unión en cuestión podría considerarse rígida, de aquí en adelante, se desarrollará un sistema idéntico al anterior, pero compuesto por dos sólidos:

Uno de los sólidos, será el estribo, que conservará su SCP y por tanto, la mayoría de los parámetros que se midieron anteriormente.

El otro, será una unión entre el martillo y el yunque.

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8.3 Nuevo modelo

Se obtendrá un sistema con 12 variables, reduciendo el coste computacional y permitiendo una integración más rápida.

Las variables de este sistema quedan recogidas en el siguiente vector de coordenadas generalizadas:

Cada uno de los sólidos tendrá una masa y matriz de inercia asociada.

En este modelo se computarán todas las fuerzas existentes en el anterior, exceptuando las fuerzas debidas a la unión incudomaleolar.

Se obtendrá un sistema con 12 variables, reduciendo el coste computacional y permitiendo una integración más rápida.

8.4 Cambio en las funciones

Los vectores en coordenadas locales, tendrán que redefinirse, así como las matrices de inercia y el centro de gravedad.

Para ello, se vuelve a introducir el modelo de Autocad desde el que se partió en un principio. En este modelo se vuelve a realizar todas las operaciones booleanas originales. Pero se aplica una operación de unión al conjunto del martillo y al del yunque. De esta forma se puede definir un nuevo SCP, el cual proporcionará los valores de la matriz de inercia en coordenadas locales así como la capacidad de poder medir la posición de los elementos necesarios en el sistema en coordenadas locales.

Se miden todos los elementos necesarios para reprogramar el modelo. Esto incluye, entre otros, masa, coordenadas de puntos de unión y valores iniciales de los ángulos de Euler.

A continuación es necesario modificar todas y cada una de las funciones que empleaba el modelo 3 huesos.

Se modifica el script datos, eliminando la parte que definía la unión incudomaleolar, se reescriben los valores de q y q0.

Se modifican las funciones CalculaM.m y CalculaQvel.m de forma que los elementos que devuelven son de menor orden. La metodología de cálculo sigue siendo la misma.

Se modifican todas las funciones de muestreo de datos, para no representar nada que esté en función de un tercer hueso.

Se modifica la estructura de la función Fligamentos.m.

Aunque se modifican algunos índices de las funciones Ffollower.m, Fnofollower.m Felas2.m y Fcoclea.m las funciones tienen exactamente la misma estructura que antes.

Se modifica la estructura de la función funcion.m.

Una vez realizados los cambios, lo más laborioso es comprobar que no se haya producido ningún error. Un solo índice que no se haya actualizado correctamente, puede hacer que el modelo compute una fuerza correspondiente a una componente cartesiana, sobre una componente angular, volviendo el sistema completamente inestable.

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8.5 Sistema rígido, comparación en los tiempos de ejecución

Una vez se ha trabajado con el modelo 2 huesos cabe plantearse porqué el sistema integra más rápido y es más preciso que el modelo 3 huesos.

En un primer momento, se pensó que esta mejora computacional se debía a una reducción del número de grados de libertad:

El modelo 3 huesos tenía un total de 18 grados de libertad, (6 por cada uno de los huesos). Al haber redefinido el modelo en el que existen dos huesos en uno, se han eliminado 6 grados de libertad, quedando únicamente 12.

Posteriormente, se llegó a la conclusión de que no es un cambio tan significativo, ya que los computadores actuales, son capaces de integrar sistemas de muchos más grados de libertad sin que ello suponga un problema en la velocidad de cálculo ni en los resultados obtenidos.

Más tarde, se recordó, que todos los problemas de integración obtenidos en el modelo 3 huesos se debían a la rigidez del sistema. Pero el sistema real, no era tan rígido, lo que ocurría era que se estaba computando la elasticidad de la unión incudomaleolar, cuyo módulo elástico era del mismo valor que el de los huesos. Por lo tanto, los problemas de integración obtenidos, se deben a ese exceso de rigidez y no a un exceso de grados de libertad.

Para demostrarlo, se simula el modelo de 3 huesos durante medio segundo a 200 Hz, y se prueban distintos valores del módulo elástico para la unión incudomaleolar.

Los valores obtenidos al reducir el módulo elástico de la unión incudomaleolar, no representan nada, pero se simulan para ver cuánto tiempo tarda el programa en integrar las ecuaciones.

Ilustración 19-Tiempo de ejecución frente a módulo elástico de la unión incudomaleolar.

Y como puede observarse, el tiempo de ejecución disminuye a la vez que el módulo elástico de la unión incudomaleolar.

8.6 Post Procesado

En el siguiente apartado se discuten los resultados obtenidos en este nuevo modelo.

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Los primeros datos analizados son los correspondientes al modelo que no contempla la rigidez tangencial. En el último apartado se hace un estudio similar al anterior, del modelo que si contempla dicha rigidez.

8.6.1 Problema en el desplazamiento del umbo

A la hora de comenzar a obtener los resultados del desplazamiento del umbo, se observa que, la amplitud, no sufre un cambio tan severo como en el resto de estudios al variar la frecuencia de excitación; más bien permanece entre valores del mismo orden a lo largo de todo el espectro. Se muestra en la siguiente figura, la evolución del tímpano para varias frecuencias de excitación.

Ilustración 20 – Amplitud del desplazamiento del umbo a lo largo del tiempo para cuatro frecuencias de excitación de ordenes muy distintos.

Esto no ocurre en los resultados obtenidos en la placa podal. La amplitud de su desplazamiento si sufre una modificación dependiendo de la frecuencia de excitación.

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Ilustración 21- Amplitud del desplazamiento de la placa podal para las distintas frecuencias de excitación.

Para tratar de explicar este suceso, es necesario conocer la respuesta en mayor profundidad. Para ello se emplea un análisis en frecuencia de la respuesta de ambos desplazamientos.

Se puede observar que en el desplazamiento del umbo, hay una frecuencia cuyo valor asociado permanece mayor al resto de los demás.

Ilustración 22- Espectro de la respuesta del umbo para distintas frecuencias de excitación. Se ha de observar que la frecuencia dominante permanece constante para todas ellas.

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La siguiente tabla muestra para cada valor de la frecuencia de excitación, tres parámetros:

La amplitud de los desplazamientos del umbo medida respecto a la evolución en el tiempo.

El valor máximo en el espectro.

La frecuencia correspondiente a dicho espectro.

Esta última se ve que permanece constante y no se iguala a la de excitación excepto en 1000 Hz.

Estas tablas pueden encontrarse explicadas en los anexos para los tres modelos.

Tabla 4- Recoge las mediciones de las simulaciones del modelo con rigidez tangencial

De este modo, esa frecuencia, hace sombra al resto, dominando el comportamiento de la onda. Puede pensarse que al modificar la frecuencia de excitación, lo único que se puede observar, es la variación de la magnitud asociada a esta onda. De esta forma no se puede contemplar la variación de la magnitud del resto de frecuencias del desplazamiento del umbo.

Para obviar este fenómeno, se medirá como respuesta del desplazamiento del umbo, las magnitudes asociadas a las ondas que coinciden con la excitación del tímpano.

Una vez realizado esto, se obtiene un resultado, que si varía con la frecuencia de excitación, acercándose aún más al comportamiento del oído, tal y como muestran el siguiente conjunto de figuras:

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8.6.2 Resultado sin rigidez tangencial

Se muestra ahora, las magnitudes del desplazamiento del umbo y placa podal en función de la frecuencia de excitación. En este modelo, al no existir rigidez tangencial en la malla, los desplazamientos, por lo general, deberían ser mayores que los reales.

Ilustración 23

8.6.3 Resultado con rigidez tangencial

Se muestra ahora, las magnitudes del desplazamiento del umbo y placa podal en función de la

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frecuencia de excitación. En este modelo, existe rigidez tangencial en la malla, los desplazamientos, por lo general, deberían ser menores que los anteriores.

Ilustración 24

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8.6.4 Comparación

Se representa la superposición de las gráficas obtenidas anteriormente con la del modelo de la tesis de Fco. Caminos.

Como resultados de la tesis de Fco. Caminos se han medido los datos de la siguiente figura:

Ilustración 25 – Figura 3.21, página 85 de la tesis de Fco. Caminos.

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Ilustración 26 - Se puede comprobar, que en efecto, la amplitud de los desplazamientos en el modelo sin rigidez tangencial tiende a ser mayor que en el que si tiene rigidez.

8.7 Análisis resultados filtrando

Se muestra a continuación, para cada uno de los modelos, los resultados, una vez filtrados y analizadas las frecuencias de resonancia.

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8.7.1 Modelo sin rigidez tangencial en el ligamento incudomaleolar.

Ilustración 27

8.7.2 Modelo con rigidez tangencial en el ligamento incudomaleolar.

Ilustración 28

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8.7.3 Comparación de los dos modelos una vez filtrados.

Ilustración 29-Se comprueba que los resultados han mejorado.

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9 CORRECCIÓN DEL SISTEMA DE BASES

VECTORIALES

9.1 Necesidad de un nuevo sistema de bases vectoriales

Una vez analizados los resultados del modelo de dos huesos, se trata de realizar mejoras en el sistema, para que su comportamiento se asemeje aún más al experimental.

Los elementos críticos, sobre los que se han tomado las hipótesis más drásticas, son las uniones.

Tras la formulación del modelo dos huesos, se ha eliminado la malla incudomaleolar, la cual, resultaba más compleja de modelar, debido a su forma. Ahora se tienen dos uniones, las cuales son planas y están discretizadas por solo cuatro y cinco puntos.

Debido a esto, se trata a continuación de mejorar el modelo de las mallas, para obtener un resultado más exacto (no para mejorar el tiempo de ejecución).

En un principio se intenta realizar una formulación analítica, fruto de la integración sobre la superficie. Pero el planteamiento se vuelve demasiado complejo, debido a que su resolución es la integración de productos cruzados de funciones trigonométricas de 12 variables distintas.

Otro aspecto a mejorar de las mallas, era la forma de calcular la rigidez tangencial. Cuando se

calculaba la proyección del vector sobre el área de la malla, se hacía sobre una base definida

en coordenadas globales y para cada punto.

Existen a priori, dos mejoras para este modelo:

Ahora que las uniones son planas, crear una sola base vectorial para cada unión.

Definir la base vectorial en coordenadas locales.

Con el primer punto se conseguiría reducir la velocidad de integración. Con el segundo obtener unos mejores resultados.

En el modelo anterior, al estar las mallas colocadas en coordenadas globales, se incurría en un error computacional, sobre todo, cuando se entraba en regímenes que provocasen un gran giro de los huesos.

Si un hueso se queda quieto y el otro se desplaza tangencialmente, la proyección de se

calcula correctamente. El problema comienza si ambos huesos giran solidariamente. En este caso no debería de existir ningún tipo de fuerza asociada a la rigidez tangencial. Pero al haber girado

ambos huesos, existe una proyección de sobre la base vectorial. Esto genera una fuerza que

no debería existir.

A altas frecuencias, esto no importa tanto, ya que ese posible desplazamiento solidario de los huesos es mínimo. Pero a bajas frecuencias, puede magnificarse, sufriendo los huesos, fuerzas ficticias, lo cual aumentaría la magnitud de los desplazamientos.

9.2 Descripción del nuevo SBV

Para solucionar el problema expuesto en el apartado anterior, se redefine la base.

Para ello se calculan los vectores de la base del mismo modo que la base antigua, pero se premultiplican por la transpuesta de la matriz de giro, y a continuación, se almacenan. De este modo, los vectores se han almacenado en coordenadas locales.

Posteriormente, en las funciones correspondientes al cálculo de las fuerzas de la mallas, se

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cargarán estos vectores en coordenadas locales y se premultiplicarán por la matriz de giro. De este modo la base va girando con el sólido, y se elimina el problema anterior.

Aunque ahora existe un problema distinto. Si un sólido se queda quieto y el otro gira, la base

vectorial gira con él. Entonces, en el sólido que ha girado, se produce una proyección de la

cual no se corresponde con un movimiento transversal de los puntos de la malla.

Pero realmente, estas fuerzas, a pesar de ser ficticias, hacen avanzar al sistema hacia un estado de equilibrio estable. Tienden a mover los huesos hacia la posición inicial, aportando rigidez. El problema hubiese sido, si debido a la formulación, estas fuerzas desplazasen a los huesos de un modo inestable.

El problema, queda ensombrecido, debido a las rigideces axiales que se oponen al giro relativo de ambos huesos.

9.3 Un SBV por cada punto

Una vez definida la base vectorial, en primer lugar se prueba a crear una sola base por hueso y unión. Ya que todos los puntos de la malla están contenidos en el mismo plano.

Para comprobar que funcione bien, se realiza una simulación sin excitación externa, con coordenadas iniciales las de equilibrio.

Este tipo de ensayo se ha realizado en numerosas ocasiones con el modelo, y la respuesta a obtener es una en la que las coordenadas no se modifiquen a lo largo del tiempo.

Pero el sistema, se integra, y se observa una evolución de las coordenadas a lo largo del tiempo.

Ilustración 30 - Sistema en reposo tras colocar una base vectorial por mallado. El sistema se vuelve inestable.

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Esto quiere decir, que las mallas nuevas, están calculando proyección cuando no deberían.

Esto se debe a que aunque los puntos estén en un plano ideal, sus coordenadas se han de medir con un limitado número de variables significativas. Esto quiere decir, que en la práctica los puntos no se encuentran realmente en un plano, sino que existen unas pequeñas desviaciones. Debido a estas desviaciones, la proyección calculada inicialmente no será nula.

Para eliminar este efecto se define una base vectorial distinta por cada punto. Se vuelve a ensayar en las condiciones anteriormente descritas, y, esta vez sí, el sistema permanece en reposo.

Ilustración 31-Sistema en reposo tras colocar una base vectorial en cada nodo. El sistema se

mantiene en reposo.

9.4 Post procesado

El post procesado que se realiza es similar al realizado con los otros dos modelos de dos huesos.

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Existe también, una frecuencia, la cual ensombrece los resultados en el umbo, por lo que se ha de realizar un análisis en frecuencia similar a los otros. Este fenómeno queda reflejado en las tablas presentes en los anexos y en las siguientes figuras:

Ilustración 32-Representación de todos los modelos sin realizar filtrado

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Ilustración 33 – Comparativa de todos los sistemas tras realizar filtrado.

Los resultados obtenidos se pueden expresar superpuestos con los de los otros modelos.

Se observa que la amplitud del desplazamiento del umbo a bajas frecuencias ha disminuido, tal y como se predijo.

La respuesta del estribo no se modifica tanto, debido a que una de las mallas de este hueso, el ligamento anular, no podía sufrir el problema debido al giro solidario de ambos huesos, ya que une al estribo con el cráneo.

10 AJUSTE DEL AMORTIGUAMIENTO

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10.1 Objetivo

Hasta este momento se ha conseguido mejorar dos cosas:

El tiempo de ejecución mediante un modelo de dos huesos.

El comportamiento del conjunto martillo-yunque mediante la corrección en el sistema de bases vectoriales.

Pero un problema sigue siendo la respuesta del estribo.

La diferencia entre la respuesta obtenida y los datos experimentales, puede deberse al modelado de la cóclea como un amortiguador.

Para mejorar el modelo, se podría modificar la constante de amortiguamiento que se ha tomado inicialmente. Tal vez, al ajustar dicho amortiguamiento podría obtenerse una mejor respuesta del sistema.

Pero el proceso de ajustar y obtener la respuesta en frecuencia de todo el sistema, sería algo no factible, ya que no se sabe a priori cómo puede afectar al sistema completo.

No obstante, existe una serie de estudios previos, que relacionan el valor de la frecuencia de excitación con el valor del desfase entre excitación y movimiento del umbo. Es el caso de Voss Rosowski.

Ilustración 34 – Magnitud y desfase de la amplitud del umbo según Rosowski

Se intentará ajustar el valor de la constante de amortiguamiento para que el valor del desfase coincida con el proporcionado por estas tablas. Interesa que el amortiguamiento haga que el sistema funcione bien a altas frecuencias, ya que es la situación más crítica y la que presenta más desviación entre el modelo y los datos experimentales.

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multicuerpo

La frecuencia seleccionada es 4000 Hz, la cual es alta, pero no lo suficiente como para que se produzcan comportamientos extraños del modelo. A esta frecuencia, según las gráficas aportadas por Rosowski, el desfase entre la excitación y el movimiento de la placa podal, ha de ser de medio ciclo. Este medio ciclo, se corresponde a medio periodo, es decir, 0.000125 segundos.

10.2 Problema debido al ruido

Ya que el desfase es un tiempo tan diminuto, los resultados han de representarse del modo más claro posible para poder observar los ciclos sin mucho ruido y medir el desfase de un modo fiable.

Esto es un problema, no solo porque las respuestas están compuestas por la suma de varias frecuencias, también porque el desfase depende del umbo, y este, está ensombrecido, debido a la frecuencia que se mantenía predominante para cada frecuencia de excitación.

Debido a estos dos hechos, se ha de filtrar la respuesta, eliminando todas las excitaciones que no se correspondan a los 4000 Hz a los que se excita el sistema.

10.3 Ajuste

Una vez realizado el filtrado y representado la excitación del sistema en la misma gráfica, se cae en la cuenta de que puede llegar a ser una operación demasiado laboriosa y que el filtrado no es lo suficientemente efectivo. Por ello, se realiza una medida del desfase, similar a la realizada con la respuesta en frecuencia. Mediante el siguiente código se grafica el desfase de cada frecuencia:

phase=fftshift(angle(fft(amplitudumbo)))/pi;

Al estar dividido por π, muestra directamente el número de ciclos, por lo que no hay que tener en cuenta los segundos. Para el valor de la cóclea inicial, se obtiene el siguiente desfase:

Ilustración 35 – Desfase de la respuesta del umbo expresada en ciclos para la constante de amortiguamiento inicial.

El cual se aproxima bastante al valor deseado.

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Se prueba con un valor diez veces menor y esto es lo que ocurre:

Ilustración 36 - Desfase de la respuesta del umbo expresada en ciclos para una constante de amortiguamiento diez veces menor de la original.

Los ángulos presentan una distribución tan irregular debido a que el sistema comienza a estar muy poco amortiguado.

Los resultados obtenidos podrían deberse a dos motivos:

Errores de tipo numérico asociados a la simulación.

Al evolucionar el sistema, cambia su configuración y sale del rango lineal. Al estar fuera de este rango, sus modos de vibración se han modificado y con ellos su frecuencia. Debido a que este es un cambio progresivo, aparecen multitud de frecuencias en el espectro de la respuesta.

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Ilustración 37 – Evolución inestable del sistema al colocar una constante de amortiguamiento diez veces menor de la inicial.

En cambio, al multiplicar el amortiguamiento inicial por uno diez veces mayor esto es lo que se obtiene:

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Ilustración 38 - Desfase de la respuesta del umbo expresada en ciclos para una constante de amortiguamiento diez veces mayor.

Donde se puede observar lo siguiente:

El valor del desfase se aproxima más al deseado a medida que se aumenta el amortiguamiento. Pero de manera sensible. De hecho, el aumento del tiempo de desfase, se encuentra dentro de la incertidumbre asociada a su medida.

Al aumentar el valor del amortiguamiento, La frecuencia que ensombrece los resultados del umbo, disminuye su valor tanto en frecuencia como amplitud.

El tiempo de ejecución aumenta con el amortiguamiento.

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11 SUPERPOSICIÓN

11.1 Objetivo

El objetivo de este capítulo es comprobar si el modelo creado cumple o no el principio de superposición.

Para que se cumpliese dicho principio, la respuesta del sistema ante una excitación compuesta por varias ondas, ha de ser la suma de las respuestas del sistema ante cada onda por separado.

Para comprobarlo se sumarán las respuestas del sistema ante dos ondas sonoras variando la frecuencia o los decibelios. Se representará la suma de las respuestas junto a la respuesta de las sumas y se podrá observar si son muy parecidas o no. De este modo se podrá observar en que rangos de frecuencia y decibelios el sistema se comporta linealmente y en cuáles no.

11.2 Condiciones normales

Para comenzar se simulan dos ondas a 80 dB, lo cual no es ni muy fuerte ni muy débil. La frecuencia de las ondas será de 800 y 1000 Hz respectivamente. Dichas frecuencias representan un sonido ni muy agudo ni muy grave. Además se corresponden con los valores de las frecuencias en los que el modelo se aproxima más a los resultados experimentales.

Ilustración 39 – Prueba a 80 dB, 800 Hz y 1000 Hz. Se cumple el principio de superposición.

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11.3 Aumentando la frecuencia

A continuación, se mantienen los decibelios empleados en el apartado anterior y se aumenta la frecuencia. En este caso se emplearan 8000 y 10000 Hz. Las amplitudes de la respuesta del sistema habrán bajado.

Ilustración 40 - Prueba a 80 dB, 8000 Hz y 10000 Hz. Se cumple el principio de superposición.

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multicuerpo

11.4 Disminuyendo la frecuencia

Debido a que no se observa una grosera diferencia entre ambas respuestas, y en vista a que el modelo se comporta peor a baja frecuencia, se decide comprobar que ocurre al bajar la frecuencia.

Se mantienen los decibelios del apartado anterior y se emplean frecuencias de 80 y 100 Hz.

Esto es lo que ocurre:

Ilustración 41 - Prueba a 80 dB, 100 Hz y 100 Hz. No se cumple el principio de superposición a baja frecuencia.

11.5 Aumentando los decibelios

Para finalizar, se vuelve a las frecuencias originales, 800 y 1000 Hz pero se multiplica la presión eficaz que actúa con el tímpano por 100.

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Ilustración 42 - Prueba multiplicando por 100 la presión efectiva, 800 Hz y 1000 Hz. Se cumple el principio de superposición.

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multicuerpo

12 CONCLUSIONES

12.1 La constante de amortiguamiento tiene poca influencia en el desfase

El amortiguamiento coclear, tiene una notable influencia en la evolución del sistema.

No obstante, el valor del desfase de la amplitud del umbo, no sufre severas modificaciones al variar los valores de la constante coclear.

Esto se demuestra observando que:

Para valores de la constante de amortiguamiento diez veces menores del inicial, el desfase aumenta solo un poco, y en el espectro de la amplitud del umbo, aparecen frecuencias que no existían con anteriormente.

Para valores de la constante de amortiguamiento diez veces mayores al inicial, el desfase tiende a aumentar aunque no varía de un modo considerable.

La variación del desfase sufrida por las modificaciones de la constante coclear, están dentro de la incertidumbre asociada a la medida experimental de dicho desfase.

Por tanto, la constante de amortiguamiento se deja en su valor inicial, el cual fue extraído de la tesis de Fco. Caminos.

12.2 El principio de superposición no se cumple a bajas frecuencias

Se ha podido comprobar que, la suma de las respuestas ante dos frecuencias de excitación distintas, se aproximan bastante a la respuesta ante una excitación compuesta por la suma de esas dos frecuencias. Son casi iguales, teniendo una pequeña disparidad, pero a efectos prácticos puede admitirse que se cumple el principio de superposición.

Si se realiza el mismo estudio aumentando la frecuencia, o bien la fuerza que actúa sobre el umbo y se obtienen unos resultados similares.

Sin embargo, el principio de superposición deja de cumplirse a bajas frecuencias.

Esto quiere decir que el sistema deja de comportarse de linealmente para sonidos graves.

Lo que determina que el sistema deje de comportarse de forma lineal, es la gravedad del sonido, y no sus decibelios, como se pensaba en un principio.

Esto tiene sentido, ya que en sonido graves también se producía la mayor disparidad entre los resultados experimentales y el modelo de la tesis de Fco. Caminos. El cual, al haberse desarrollado para elementos finitos, era lineal. Esto puede observarse en la figura 25.

Unos sonidos tan graves, alrededor de 80 Hz, se corresponden a tonos bajos. Pueden escucharse en el siguiente enlace:

https://www.youtube.com/watch?v=cFgv4vPevIQ

Por tanto, es a estas frecuencias, donde este modelo tendría ventaja frente a uno elaborado mediante elementos finitos.

12.3 Existe un enmascaramiento del resultado.

Los resultados se ven perturbados por unas frecuencias que non deberían ocurrir. Estas frecuencias se mantienen constantes para casi todas las frecuencias de excitación. Lo único que

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cambia es la amplitud asociada a ellas. Por tanto, cuando se realiza la medición de la amplitud sobre la evolución temporal, no se está midiendo los resultados reales, sino las amplitudes asociadas a dichas frecuencias.

Cuando se eliminan las amplitudes relacionadas con estas frecuencias, los resultados obtenidos se acercan más a los experimentales y los de la tesis de Fco. Caminos.

Es interesante remarcar los siguientes hechos:

Cuando se aumentó la constante de amortiguamiento coclear, las frecuencias enmascaradoras modificaron su valor y la amplitud asociada a ellas, se redujo. La amplitud asociada a ellas aumentó al disminuir el valor de la constante.

La existencia de estas frecuencias enmascaradoras no es tan severa en la respuesta de la placa podal del estribo. Donde sí es realmente severo es en el umbo, el cual no tiene amortiguamiento alrededor.

Esto hace pensar en la posibilidad de que dichas frecuencias hayan aparecido por una falta de amortiguamiento en el modelo, más concretamente, amortiguamiento asociado al conjunto martillo-yunque.

Dicho amortiguamiento, no existe en el modelo, pero si existe en la realidad, y, sería aportado por el tímpano.

Esta ausencia de amortiguamiento puede conllevar la no disipación del transitorio en los tiempos de simulación. Por tanto, aparecen las frecuencias a él asociadadas.

12.4 La respuesta de la placa podal es mejor que la del umbo.

En estas gráficas se muestran las amplitudes máximas de la placa podal y el umbo (asociadas a las frecuencias de enmascaramiento).

Conforme más se acerca la línea azul a la verde, menor es el efecto de la frecuencia enmascaradora.

Conforme más se acerca la línea verde a la roja, menor es la influencia del resto de frecuencias presentes en la respuesta.

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multicuerpo

Ilustración 43 – Resultados del sistema sin rigidez tangencial en las mallas.

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Ilustración 44 – Resultados del sistema con rigidez tangencial en las mallas.

La respuesta en la placa podal es mejor que la del umbo esto, puede deberse en parte a la ausencia de enmascaramiento.

Este tipo de error podría deberse también a los errores cometidos al modelar la malla, pero persisten una vez la base vectorial fue corregida.

No se ha modelado la rigidez que aporta el tímpano a la parte del umbo. Debido a esto, pude que la frecuencia enmascaradora esté asociada a un movimiento tangencial el cual desaparecería al acoplar el presente modelo a otro que modelase el oído externo. Esto podría explicar, porque este fenómeno no ocurre en la placa podal, ya que su desplazamiento tangencial está restringido por el ligamento anular.

Se puede observar, que en el umbo, a altas frecuencias, el sistema se comporta mejor. Esto puede hacer pensar que las frecuencias de enmascaramiento se han disipado. Pero no ocurre así, son persistentes. Lo que ha ocurrido es que la amplitud del movimiento en el sistema completo, es mucho menor. Entonces, las amplitudes asociadas a las frecuencias de enmascaramiento serán también menores.

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multicuerpo

12.5 Conclusiones finales

Se espera que las frecuencias enmascaradoras desaparezcan al conectar este modelo con los otros dos que simulan el oído externo y el interno. Concretamente el externo tendrá que modelar el tímpano, lo cual debe de eliminar el fenómeno de enmascaramiento.

Sería interesante linealizar el sistema para ver a qué modo de vibración se encuentra asociada la ausencia de amortiguación. Este tema se trata con más detalle en los anexos.

El modelo será útil a bajas frecuencias (sonidos graves), ya que en este rango de frecuencias el sistema deja de comportarse linealmente y podría dar resultados más exactos que mediante elementos finitos.

El modelo servirá para estudiar todos los parámetros asociados a la cinemática y dinámica de cualquier punto del sistema a lo largo del tiempo.

13 ANEXOS

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13.1 Linealización

13.1.1 Objetivo

La resolución del modelo planteado en los apartados anteriores no es lineal. Se ha empleado un integrador a lo largo del tiempo. Visto el amplio rango en el que se cumple el principio de superposición, algo que podría aportar mucha información es el sistema linealizado.

Esto permitiría extraer los modos de vibración y los parámetros asociados a ellos. Se podría tratar de obtener el amortiguamiento asociado a cada uno de los modos y tratar de dar una explicación al fenómeno de las frecuencias que enmascaran el resultado.

También se podría tratar de hacer una comparativa entre las respuestas del modelo lineal y de los modelos simulados en el tiempo. De este modo se podría acotar de un modo más preciso que rangos de frecuencia cumplen el principio de superposición.

Una vez construido el modelo, podríamos obtener resultados en el rango lineal de forma casi inmediata. Estos resultados tardarían mucho más tiempo en ser obtenidos mediante simulación en el tiempo.

13.1.2 Desarrollo

Para el cálculo del modelo linealizado se emplea como base los scripts definidos a lo largo del resto de la memoria.

Para comenzar, se parte de que mediante la función función.m se pueden calcular las aceleraciones del siguiente modo:

Puede realizarse el siguiente desarrollo en serie:

En el cual se han despreciado los términos de orden superior considerando el minúsculo tamaño de los desplazamientos.

Sabiendo que y la siguiente expresión:

Se puede desarrollar la expresión de

Q puede dividirse en la suma de , que engloba todas las fuerzas elásticas y de

amortiguamiento, y que define la fuerza ejercida por el tímpano y es

formulada como una fuerza que no sigue al tímpano. De este modo solo dependerá del tiempo y no del vector de coordenadas generalizadas.

Tras estas consideraciones el sistema queda:

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multicuerpo

Agrupando términos y sabiendo que :

Es conveniente, una vez llegado a este punto, definir un vector de variables incrementales para facilitar el desarrollo:

La expresión en variables incrementales queda:

De donde podrían obtenerse las matrices del sistema linealizado de no ser por los términos coloreados en rojo.

La dependencia de la matriz de masa con las coordenadas de posición (más concretamente con los ángulos de Euler) imposibilita la linealización del sistema de forma simbólica. Sería de interés linealizar el sistema de forma numérica, evaluando el jacobiano de la función. Pero dado que la linealización no ha sido un objetivo principal de este trabajo, se deja aquí el desarrollo.

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13.2 Scripts del modelo dos huesos

13.2.1 Función A.m

function [ A ] =A(ang) phi=ang(1,1); tetha=ang(2,1); psi=ang(3,1); A1=[cos(phi) -sin(phi) 0;sin(phi) cos(phi) 0;0 0 1]; A2=[1 0 0;0 cos(tetha) -sin(tetha);0 sin(tetha) cos(tetha)]; A3=[cos(psi) -sin(psi) 0;sin(psi) cos(psi) 0;0 0 1]; A=A1*A2*A3; end

13.2.2 Función Aphi.m

function [ A ] = Aphi(ang) phi=ang(1); tetha=ang(2); psi=ang(3);

A1=[-sin(phi) -cos(phi) 0;cos(phi) -sin(phi) 0;0 0 1]; A2=[1 0 0;0 cos(tetha) -sin(tetha);0 sin(tetha) cos(tetha)]; A3=[cos(psi) -sin(psi) 0;sin(psi) cos(psi) 0;0 0 1]; A=A1*A2*A3;

end

13.2.3 Función Apsi.m

function [ A ] =Apsi(ang) phi=ang(1); tetha=ang(2); psi=ang(3); A1=[cos(phi) -sin(phi) 0;sin(phi) cos(phi) 0;0 0 1]; A2=[1 0 0;0 cos(tetha) -sin(tetha);0 sin(tetha) cos(tetha)]; A3=[-sin(psi) -cos(psi) 0;cos(psi) -sin(psi) 0;0 0 1]; A=A1*A2*A3; end

13.2.4 Funcion Atetha.m

function [ A ] =A(ang) phi=ang(1,1); tetha=ang(2,1); psi=ang(3,1); A1=[cos(phi) -sin(phi) 0;sin(phi) cos(phi) 0;0 0 1]; A2=[1 0 0;0 cos(tetha) -sin(tetha);0 sin(tetha) cos(tetha)]; A3=[cos(psi) -sin(psi) 0;sin(psi) cos(psi) 0;0 0 1]; A=A1*A2*A3;

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multicuerpo

end

13.2.5 Función CalciulaM.m

function [M] =CalculaM(q) global I1 I2 dens %unidades en mm y g

G1=Glocal(q(7:9,1)); G2=Glocal(q(10:12,1));

M=zeros(12);

M(1:3,1:3)=eye(3)*34.2222*dens; M(4:6,4:6)=eye(3)*2.3763*dens;

M(7:9,7:9)=G1'*I1*G1; M(10:12,10:12)=G2'*I2*G2;

%%%Las I ya han sido multiplicadas por la densidad anteriormente end

13.2.6 Función CalculaQap

function [F] =CalculaQap(q,dq,t) global dens %Devuelve el vector de fuerzas que actuan sobre el sistema.

F=zeros(12,1);

%Fuerza ejercida por los tendones % F=Felasligamentos(q)+F; % % Fuerza ejercida en la union incudoestapeidal (yunque estribo)

F=Felas2(q)+F; %Fuerza ligamento anular estribo

F=F+Fligamentoanular(q); %Amortiguamiento

F=F+Fcoclea(q,dq);

%Fuerza ejercida por el tímpano sobre el martillo

F=F+Ffollower(q,t); % % %Fuerza peso % F(3)=F(3)-14.0150*dens*9.81; % F(6)=F(6)-18.9312*dens*9.81; % F(9)=F(9)-2.3763*dens*9.81; end

13.2.7 Función CalculaQvel.m

function [ Qv ]=CalculaQvel(q,dq)

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global I1 I2

Qv=zeros(12,1);

dG=dGlocal(q(7:9,1),dq(7:9,1)); G=Glocal(q(7:9,1)); w=G*dq(7:9,1); want=[0 -w(3,1) w(2,1); w(3,1) 0 -w(1,1);-w(2,1) w(1,1) 0]; Qv(7:9,1)=-G'*(want*I1*w+I1*dG*dq(7:9,1));

dG=dGlocal(q(10:12,1),dq(10:12,1)); G=Glocal(q(10:12,1)); w=G*dq(10:12,1); want=[0 -w(3,1) w(2,1); w(3,1) 0 -w(1,1);-w(2,1) w(1,1) 0]; Qv(10:12,1)=-G'*(want*I2*w+I2*dG*dq(10:12,1));

end

13.2.8 Script Datos.m

clear all close all clc

global q0 q dq dens I1 I2 Mligamentos l0 kax0 Munion12 base21 base22 kax2

ktan2 l02 global base3 Munion33 Munion34 kax3 ktan3 l03 c Amortig3 Amortig4 global vumbo vnoumbo uumbo unoumbo l04 %Posición

inicial%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A10 = [ 0.9718 -0.0471 -0.2310; 0.0314 0.9970 -0.0710; 0.2337 0.0618 0.9703]; A20=[.9966 .0048 .0824;.0309 .9041 -.4263;-.0766 .4274 .9008];

ang1 = [ -1.272906163298349; 0.244328428935250; 1.312459990108460]; ang2=[0.190917028409436;0.449187994186045;-0.177330425312945]; R10 = [ -1.1445;5.9037;-.2850]; R20=[-2.5352;3.22;-4.2772];

dens=1.9*10^-3; %g/mm^3

M1=34.2222*dens; M2=2.3763*dens;

I1=diag([102.7254 79.2534 148.2271])*dens; I2=diag([3.2020 4.3586 1.3346])*dens;

q=[R10;R20;ang1;ang2]; q0=q; dq=zeros(12,1);

%%%Tendones y ligamentos%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Tendón tensor del tímpano=1

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multicuerpo

%Ligamento lateral del martillo=2 %Ligamento anterior del martillo=3 %Ligamento superior del martillo=4 %Ligamento posterior del yunque=5 %Tendón del estribo=6

%Mligamentos(1:3,:) contiene las coordenadas de los puntos que conectan

cráneo en coordenadas globales %Mligamentos(4:6,:) son los puntos que conectan con cada hueso en su sistema

de referencia local

Mligamentos=[1.0386 0.1827 2.214 0.1909 -6.2865 -3.6765; 3.3368 6.0257 4.4402 10.0586 6.6823 2.3898; -1.9344 3.1259 1.3364 -1.5106 -0.3965 -2.6615; 0.7914 1.6219 1.6831 1.537 -4.2213 -0.2902; -2.4146 0.1003 -1.2372 2.0352 0.9735 -0.0607; 0.3407 1.0575 0.5967 -1.2276 0.8398 1.7977 ];

%%2 longitud inicial de los ligamentos (mm) l0(1)=norm(A(q0(7:9,1))*Mligamentos(4:6,1)+R10-Mligamentos(1:3,1)); l0(2)=norm(A(q0(7:9,1))*Mligamentos(4:6,2)+R10-Mligamentos(1:3,2)); l0(3)=norm(A(q0(7:9,1))*Mligamentos(4:6,3)+R10-Mligamentos(1:3,3)); l0(4)=norm(A(q0(7:9,1))*Mligamentos(4:6,4)+R10-Mligamentos(1:3,4)); l0(5)=norm(A(q0(7:9,1))*Mligamentos(4:6,5)+R10-Mligamentos(1:3,5)); l0(6)=norm(A(q0(10:12,1))*Mligamentos(4:6,6)+R20-Mligamentos(1:3,6));

E=[2.6E6 6.7E4 2.1E6 4.9E4 6.5E6 5.2E5]; %kg/(s^2*m)=g/(s^2*mm) Area0=[.49 .25 .64 .04 .1338 .2822]; %Area en mm^2 kax0=E.*Area0./l0; %g/s^2 %Cuando kax0 se multiplica por mm se obtiene g*mm/s^2 que son unidades de %fuerza.

% 4 Union2 (Yunque estribo)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Munion12=[-1.5075 -1.4543 -2.0379 -2.0929; -3.9678 -3.6003 -3.572 -3.9395; -1.5092 -1.3603 -1.2211 -1.37; 0.3071 0.3044 -0.2959 -0.2932; -0.259 0.1408 0.1379 -0.2619; 1.8952 1.9046 1.855 1.8456 ];

%Obtencion del punto central for i=1:6 Munion12(i,5)=sum(Munion12(i,:))/4; end

%Bucle creado para calcular las bases vectoriales en locales.

for i=1:5 rpq(:,i)=A(q(7:9))*Munion12(1:3,i)+R10-A(q(10:12))*Munion12(4:6,i)-R20; l02(i)=norm(rpq(:,i)); aux=rand(3,1); while aux(1)/rpq(1,i)==aux(2)/rpq(2,i); aux=rand(3,1); end %Primer vector de la base base21(1:3,i)=A(q0(7:9))'*cross(aux,rpq(:,i)); base22(1:3,i)=A(q0(10:12))'*cross(aux,rpq(:,i)); %Segundo vector de la base

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base21(4:6,i)=A(q0(7:9))'*cross(A(q0(7:9))*base21(1:3,i),rpq(:,i));

base22(4:6,i)=A(q0(10:12))'*cross(A(q0(10:12))*base22(1:3,i),rpq(:,i)); %Se normalizan los vectores base21(1:3,i)=base21(1:3,i)/norm(base21(1:3,i)); base21(4:6,i)=base21(4:6,i)/norm(base21(4:6,i)); base22(1:3,i)=base22(1:3,i)/norm(base22(1:3,i)); base22(4:6,i)=base22(4:6,i)/norm(base22(4:6,i)); end

Area2=norm(cross(Munion12(1:3,2)-Munion12(1:3,1),Munion12(1:3,3)-

Munion12(1:3,2))); kax2=6E5*Area2./(5*l02); %e=6*e-9 N/mm^2 G=6E5/(2*(1+.3)); %G=E/(2*(1+coefpoisson)) ktan2=G*Area2./(5*l02);

%5 Ligamento anular del estribo%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Munion33a=[-1.2257 -1.2829 -1.2188 -1.2752 1.5388 1.5960 1.5319 1.5883; .4729 .5296 -.5490 -.6062 -.5356 -.5924 .4862 .5435; -1.3452 -1.3486 -1.3692 -1.3752 -1.1410 -1.1377 -1.1171 -1.1110];

k=1; for i=1:2:7 Munion33b(:,k)=(Munion33a(:,i)+Munion33a(:,i+1))/2; k=k+1; end

Munion33(:,1)=(Munion33b(:,1)+Munion33b(:,2))/2; Munion33(:,2)=(Munion33b(:,2)+Munion33b(:,3))/2; Munion33(:,3)=(Munion33b(:,3)+Munion33b(:,4))/2; Munion33(:,4)=(Munion33b(:,4)+Munion33b(:,1))/2;

Munion34a=[-3.8623 -3.9193 -3.8623 -3.9193 -1.0953 -1.0383 -1.0953 -1.0383; 4.2298 4.2807 3.3164 3.2655 3.3164 3.2655 4.2298 4.2807; -5.2860 -5.2604 -5.7448 -5.7704 -5.7448 -5.7704 -5.2860 -5.2604]; k=1; for i=1:2:7 Munion34b(:,k)=(Munion34a(:,i)+Munion34a(:,i+1))/2; k=k+1; end

Munion34(:,1)=(Munion34b(:,1)+Munion34b(:,2))/2; Munion34(:,2)=(Munion34b(:,2)+Munion34b(:,3))/2; Munion34(:,3)=(Munion34b(:,3)+Munion34b(:,4))/2; Munion34(:,4)=(Munion34b(:,4)+Munion34b(:,1))/2;

Area3=3.2733-2.8284; perimetro=norm(Munion34b(:,2)-Munion34b(:,1))+norm(Munion34b(:,3)-

Munion34b(:,2)); Area33=Area3*[norm(Munion34b(:,2)-Munion34b(:,1))/perimetro ; norm(Munion34b(:,3)-Munion34b(:,2))/perimetro ; norm(Munion34b(:,2)-Munion34b(:,1))/perimetro ; norm(Munion34b(:,3)-Munion34b(:,2))/perimetro]';

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multicuerpo

%Bucle creado para crear una base vectorial en locales.

for i=1:4

rpq(:,i)=A(q(10:12))*Munion33(:,i)+R20-Munion34(:,i); l03(i)=norm(rpq(:,i));

aux=rand(3,1); while aux(1)/rpq(1,i)==aux(2)/rpq(2,i); aux=rand(3,1); end %Primer vector de la base base3(1:3,i)=A(q0(10:12))'*cross(aux,rpq(:,i));

%Segundo vector de la base base3(4:6,i)=A(q0(10:12))'*cross(A(q0(10:12))*base3(1:3,i),rpq(:,i));

%Se normalizan los vectores base3(1:3,i)=base3(1:3,i)/norm(base3(1:3,i)); base3(4:6,i)=base3(4:6,i)/norm(base3(4:6,i));

end

kax3=2E5*Area33./l03(1); G=2E5/(2*(1+.3)); ktan3=G*Area33./l03(1); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6 caminos pagina 31 c=717; %g/s^3 for i=1:3 Amortig3(i,1)=sum(Munion33(i,:))/4; Amortig4(i,1)=sum(Munion34(i,:))/4; end

l04=norm(q(4:6,1)+A(q(10:12,1))*Amortig3-Amortig4);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Timpano

%Mtimpano definida para el scu del martillo

Mtimpano=[ 0.3232 0.9126 0.7245 0.1351 0.0875 -0.5019; -5.5107 -5.4087 -4.4538 -4.5558 -1.7579 -1.8599; -.8132 -.7655 -.4842 -.5319 1.6183 1.5706];

%Se redefine Mtimpano para el scu nuevo R10antiguo=[.0847;5.5369;.0919]; for i=1:6 Mtimpano (:,i) = R10antiguo + Mtimpano(:,i) - R10; end Aumbo=0.6079; %mm^2 Anoumbo=2.0866; %mm^2 Atimpano=64.3; %mm^2 %uumbo es el punto de aplicación de la fuerza del timpano y vumbo es el %vector perpendicular a la cara en locales

for i=1:3

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92

uumbo(i,1)=sum(Mtimpano(i,1:4))/4; unoumbo(i,1)=sum(Mtimpano(i,3:6))/4; end

%Se define un vector perpendicular a la cara y a continuación se multiplica %por la relacción de áreas para repartir la presión.

vumbo=cross(Mtimpano(:,2)-Mtimpano(:,1),Mtimpano(:,3)-Mtimpano(:,2)); vnoumbo=cross(Mtimpano(:,3)-Mtimpano(:,4),Mtimpano(:,5)-Mtimpano(:,3)); vumbo=vumbo*Aumbo/(Aumbo+Anoumbo)/norm(vumbo); vnoumbo=vnoumbo*Anoumbo/(Aumbo+Anoumbo)/norm(vnoumbo);

13.2.9 Función dGlocal.m

function [dG]=dGlocal(ang,dang)

dG=[cos(ang(2,1))*sin(ang(3,1))*dang(2,1)+sin(ang(2,1))*cos(ang(3,1))*dang(3,

1) -sin(ang(3,1))*dang(3,1) 0; cos(ang(2,1))*cos(ang(3,1))*dang(2,1)-

sin(ang(2,1))*sin(ang(3,1))*dang(3,1) -cos(ang(3,1))*dang(3,1) 0; -sin(ang(2,1))*dang(2,1) 0 0]; end

13.2.10 Script dibuja.m

global Amortig3 Amortig4 l04

figure(1) title('ode23tb') subplot(2,2,1) hold on ylabel('angulos') plot(T,Y(7,:),'r') plot(T,Y(8,:),'r') plot(T,Y(9,:),'r') plot(T,Y(10,:),'g') plot(T,Y(11,:),'g') plot(T,Y(12,:),'g')

hold off

subplot(2,2,2) hold on ylabel('posición centro gravedad')

plot(T,Y(1,:),'r') plot(T,Y(2,:),'r') plot(T,Y(3,:),'r') plot(T,Y(4,:),'g') plot(T,Y(5,:),'g') plot(T,Y(6,:),'g')

hold off

93

93


multicuerpo

subplot(2,2,3) %Representamos la energía

for i=1:length(T) %ENERGIA de translación y rotación. energiatraslacion1 = 0.5* 14.0150 * dens * (Y(13:15,i)'*Y(13:15,i)); energiatraslacion2 = 0.5* 18.9312 * dens * (Y(16:18,i)'*Y(16:18,i)); energiarotacion1= 0.5 *

(I1*(Glocal(Y(7:9,i))*Y(19:21,i)))'*(Glocal(Y(7:9,i))*Y(19:21,i)); energiarotacion2= 0.5 *

(I2*(Glocal(Y(10:12,i))*Y(22:24,i)))'*(Glocal(Y(10:12,i))*Y(22:24,i));

%Energía potencial ligamentos. energiapotencial0=0; for j=1:5 rpq=Y(1:3,i)+A(Y(7:9,i))*Mligamentos(4:6,j)-Mligamentos(1:3,j); l=norm(rpq); energiapotencial0=0.5*kax0(j)*(l-l0(j))^2+energiapotencial0; end rpq=Y(4:6,i)+A(Y(10:12,i))*Mligamentos(4:6,6)-Mligamentos(1:3,6); l=norm(rpq); %dldq va en el sentido contrario a la fuerza y hay

que cambiarle el signo energiapotencial0=0.5*kax0(6)*(l-l0(6))^2+energiapotencial0;

%ENERGIA de la malla 2 energiapotencialM2=0; for j=1:length(Munion12(1,:))

rpq=Y(1:3,i)+A(Y(7:9,i))*Munion12(1:3,j)-Y(4:6,i)-

A(Y(10:12,i))*Munion12(4:6,j); l=norm(rpq); energiapotencialM2=0.5*k*(l-l02(j))^2+energiapotencialM2; end %Energía del ligamento anular del estribo energiapotencialM3=0; for j=1:4 ang1(:,1)=Y(16:18,i); k=kax3(j); R1(:,1)=Y(7:9,i); R2=Munion34(:,j); r1=Munion33(:,j); b1=base3(1:3,j); b2=base3(4:6,j); rpq = R1+A(ang1)*r1-R2; l = norm(rpq); energiapotencialM3 =0.5*k*(l-l03(j))^2+energiapotencialM3; end %cómputo de todas las energías.

energiamecanica(i)=energiatraslacion1+energiatraslacion2+energiarotacion1+ene

rgiarotacion2; energiapotencial(i)=energiapotencial0+energiapotencialM2+energiapotencialM3;

end

plot(T(:,1),energiamecanica,'r',T(:,1),energiapotencial,'g',T(:,1),energiamec

anica+energiapotencial,'b') ylabel('energias mecánicas')

94

94

%Amplitud de la placa podal del estribo subplot(2,2,4) amplitudestribo=zeros(1,length(T)); for i=1:length(T) amplitudestribo(i)=norm(Y(4:6,i)+A(Y(10:12,i))*Amortig3-Amortig4); amplitudestribo(i)=amplitudestribo(i)-l04; end plot(T,amplitudestribo) ylabel('Amplitud de movimiento placa podal')

figure (2) plot(T,amplitudestribo) ylabel('Amplitud de movimiento placa podal')

13.2.11 Script dibujanew.m

global dens I1 I2 l0 Mligamentos kax0 kax2 ktan2 Munion12 uumbo global Amortig3 Amortig4 l04

n=length(T); tfin=T(n); f=linspace(-0.5*n/tfin,0.5*n/tfin,n);

%Representamos el movimiento del umbo

amplitudumbo_0=norm(Y(1:3,1)+A(Y(7:9,1))*uumbo); amplitudumbo=zeros(1,length(T));

for i=1:length(T) amplitudumbo(i)=norm(Y(1:3,i)+A(Y(7:9,i))*uumbo); amplitudumbo(i)=amplitudumbo(i)-amplitudumbo_0; %Se elimina la frecuencia del movimiento tangencial end

subplot(4,1,1) plot(T,amplitudumbo) ylabel('Amplitud(mm)') title('Amplitud umbo respecto al tiempo') xlabel('Tiempo (s)') grid

subplot(4,1,2) espectroumbo=fftshift(fft(amplitudumbo)); espectronormalizado=abs(espectroumbo)/n;

plot(f,espectronormalizado) title('Espectro de la respuesta del umbo') ylabel('Amplitud (mm)') xlabel('Frecuencia (Hz)') grid

% figure (2)

95

95


multicuerpo

% % phase=fftshift(angle(fft(amplitudumbo)))/pi; % plot (f,phase)

%Amplitud de la placa podal del estribo subplot(4,1,3) amplitudestribo=zeros(1,length(T)); for i=1:length(T) amplitudestribo(i)=norm(Y(4:6,i)+A(Y(10:12,i))*Amortig3-Amortig4); amplitudestribo(i)=(amplitudestribo(i)-l04); end plot(T,amplitudestribo) title('Amplitud p.podal respecto al tiempo') ylabel('Amplitud (mm)') xlabel('Tiempo (s)') grid

espectroestribo=fftshift(fft(amplitudestribo)); espectronormalizado=abs(espectroestribo)/n;

subplot(4,1,4) plot(f,espectronormalizado) title('Espectro de la respuesta p.podal') xlabel('Frecuencia (Hz)') ylabel('Amplitud (mm)') grid

13.2.12 Función Fcoclea.m

function [Famort] =Fcoclea(q,dq) global c Amortig3 Amortig4

ang1(:,1)=q(10:12); R1(:,1)=q(4:6); R2=Amortig4; r1=Amortig3; qpunto=[dq(4:6,1); dq(10:12,1)];

%Fuerza axial

drpqdq=[eye(3) Aphi(ang1')*r1 Atetha(ang1')*r1 Apsi(ang1')*r1]; rpq=R1+A(ang1)*r1-R2; %rpq vector que va desde el fijo al huesecillo. Si

aumenta, drpqdq>0 por lo que l=norm(rpq); %dldq va en el sentido contrario a la fuerza y hay que

cambiarle el signo dldq=1/l*drpqdq'*rpq; F1=-c*(dldq'*qpunto)*dldq;

% rpq=R1+A(ang1)*r1-R2; % l=norm(rpq); % F1(1:3,1)=-c*(rpq/l)*norm(dq(4:6)); % G=Glocal(q(10:12)); % F1(4:6,1)=G'*productovectorial(r1,A(q(10:12))'*F1(1:3));

Famort(4:6,1)=F1(1:3);

96

96

Famort(10:12,1)=F1(4:6); end

13.2.13 Función Felas2.m

function [ Ftotal ] =Felas2(q) %devuelve la fuerza que ejerce 2 sobre 3 y viceversa %b1 y b2 son la base que genera el plano perpendicular al vector rpq0 %Fuerza axial(cómo se dió el año pasado)

global base21 base22 Munion12 kax2 ktan2 l02

Ftotal=zeros(12,1);

for i=1:5

b1=A(q(7:9))*base21(1:3,1); b2=A(q(7:9))*base21(4:6,1); b3=A(q(10:12))*base22(1:3,1); b4=A(q(10:12))*base22(4:6,1);

F=zeros(12,1);

% Calculo de la fuerza axial % rpq es el vector que va desde el hueso 2 al hueso 1. % p es un punto del hueso 2 y q un punto del hueso 1. rpq=q(1:3)+A(q(7:9))*Munion12(1:3,i)-q(4:6)-A(q(10:12))*Munion12(4:6,i); l=norm(rpq);

F(1:3,1)=-kax2(i)*(l-l02(i))*rpq/l; F(4:6,1)=-F(1:3);

% Fuerza tangencial (utilizando la base)

t1=b1*sum(b1.*rpq); t2=b2*sum(b2.*rpq); tmartillo=t1+t2;

t3=b3*sum(b3.*rpq); t4=b4*sum(b4.*rpq); testribo=t3+t4;

F(1:3,1)=F(1:3,1)-ktan2(i)*tmartillo; F(4:6,1)=F(4:6,1)+ktan2(i)*testribo;

%Calculo de los momentos G1=Glocal(q(7:9)); F(7:9,1)=G1'*productovectorial(Munion12(1:3,i),A(q(7:9))'*F(1:3)); G2=Glocal(q(10:12)); F(10:12,1)=G2'*productovectorial(Munion12(4:6,i),A(q(7:9))'*F(4:6));

Ftotal=F+Ftotal; end end

97

97


multicuerpo

13.2.14 Función Felasligametos.m

function [ Ftotal ] =Felasligamentos(q)

global l0 Mligamentos kax0 Ftotal=zeros(12,1);

%%Cálculo de las fuerzas elegidas sobre 1

for i=1:5

%rpq vector que va desde el fijo al huesecillo. Si aumenta, drpqdq>0 por lo

que

rpq=q(1:3,1)+A(q(7:9,1))*Mligamentos(4:6,i)-Mligamentos(1:3,i); l=norm(rpq); %dldq va en el sentido contrario a la fuerza y hay que

cambiarle el signo F1=-kax0(i)*(l-l0(i))*rpq/l; G=Glocal(q(7:9,1)); M1=G'*productovectorial(Mligamentos(4:6,i),A(q(7:9,1))'*F1);

Ftotal(1:3,1)=F1(1:3,1)+Ftotal(1:3,1); Ftotal(7:9,1)=M1(1:3,1)+Ftotal(7:9,1); end

%%Cálculo de las fuerzas elegidas sobre 2

%rpq vector que va desde el fijo al huesecillo. Si aumenta, drpqdq>0 por lo

que rpq=q(4:6,1)+A(q(10:12,1))*Mligamentos(4:6,6)-Mligamentos(1:3,6);

l=norm(rpq); %dldq va en el sentido contrario a la fuerza y hay que

cambiarle el signo F1=-kax0(6)*(l-l0(6))*rpq/l; G=Glocal(q(10:12,1)); M1=G'*productovectorial(Mligamentos(4:6,6),A(q(10:12))'*F1);

Ftotal(4:6,1)=F1(1:3,1)+Ftotal(4:6,1); Ftotal(10:12,1)=M1(1:3,1)+Ftotal(10:12,1);

end

13.2.15 Función Ffollower.m

function [ F ] =Ffollower(q,t) %Aproxima la fuerza ejercida por el tímpano sobre el martillo

global uumbo unoumbo vumbo vnoumbo Fuerzatimpano frecuencia

Agiro=A(q(7:9,1)); G=Glocal(q(7:9,1)); F=zeros(12,1);

F1=Fuerzatimpano*Agiro*vumbo*sin(frecuencia*2*pi*t); F2=Fuerzatimpano*Agiro*vnoumbo*sin(frecuencia*2*pi*t);

M1=G'*productovectorial(uumbo,Agiro'*F1);

98

98

M2=G'*productovectorial(unoumbo,Agiro'*F2);

F(1:3,1)=F1+F2; F(7:9,1)=M1+M2;

end

13.2.16 Función Fligamentoanular.m

function [ Ftotal ] =Fligamentoanular(q)

global base3 Munion33 Munion34 kax3 ktan3 l03 Ftotal=zeros(12,1); %Cálculo de la fuerza elástica

for i=1:4

F=zeros(12,1);

b1=A(q(10:12,1))*base3(1:3,1); b2=A(q(10:12,1))*base3(4:6,1); %Fuerza axial %%rpq vector que va desde p hasta q %%Siendo p el punto movil y q el fijo F = zeros(12,1); rpq = q(4:6,1)+A(q(10:12))*Munion33(:,i)-Munion34(:,i); %rpq vector que va

desde el fijo al huesecillo. Si aumenta, drpqdq>0 por lo que l = norm(rpq); %dldq va en el sentido contrario a la fuerza y hay que

cambiarle el signo F(4:6,1) = -kax3(i)*(l-l03(i))/l*rpq;

% % %Ftangencial t1=b1*sum(b1.*rpq); t2=b2*sum(b2.*rpq); t=t1+t2; F(4:6,1)=F(4:6,1)-ktan3(i)*t;

%%Momento provocado G = Glocal(q(10:12)); F(10:12,1) = G'*productovectorial(Munion33(:,i),A(q(10:12))'*F(4:6));

Ftotal=Ftotal+F;

end

end

13.2.17 Función Fnofollower.m

function [ F ] =Fnofollower(t) %Aproxima la fuerza ejercida por el tímpano sobre el martillo

global uumbo unoumbo vumbo vnoumbo frecuencia q0

99

99


multicuerpo

frecuencia=500; Fuerzatimpano=8.2429;

Agiro=A(q0(7:9,1)); G=Glocal(q0(7:9,1)); F=zeros(12,1);

F1=Fuerzatimpano*Agiro*vumbo*sin(frecuencia*2*pi*t); F2=Fuerzatimpano*Agiro*vnoumbo*sin(frecuencia*2*pi*t);

M1=G'*productovectorial(uumbo,Agiro'*F1); M2=G'*productovectorial(unoumbo,Agiro'*F2);

F(1:3,1)=F1+F2; F(7:9,1)=M1+M2;

end

13.2.18 Función funcion.m

function [dy] =funcion(t,y)

q(:,1)=y(1:12,1); dq(:,1)=y(13:24,1);

M = CalculaM(q); Qap = CalculaQap(q,dq,t); Qvel = CalculaQvel(q,dq); ddq = M\(Qap+Qvel); dy = [dq;ddq];

t end

13.2.19 Función Glocal.m

function [G] =Glocal(ang) G=[sin(ang(2,1))*sin(ang(3,1)) cos(ang(3,1)) 0; sin(ang(2,1))*cos(ang(3,1)) -sin(ang(3,1)) 0; cos(ang(2,1)) 0 1]; end

13.2.20 Función productovectorial.m

function C = productovectorial (A,B)

C(1,1)=A(2,1)*B(3,1)-A(3,1)*B(2,1); C(2,1)=A(3,1)*B(1,1)-A(1,1)*B(3,1); C(3,1)=A(1,1)*B(2,1)-A(2,1)*B(1,1);

end

100

100

13.2.21 Script Resolver.m

%Resolver clear all close all clc format long

Datos

global Fuerzatimpano q0 frecuencia frecuencias=[0]; Fuerzatimpano=8.2429; %80 dB %Fuerzatimpano=26.0664 %90 dB

% options=optimoptions('fsolve','TolX',1e-20) % q1=fsolve(@CalculaQestatica,q,options);

for i=1:length(frecuencias) frecuencia=frecuencias(i); tic [T,Y] = ode23tb(@funcion,[0:10^-6:0.2],[q0;dq]); TiempoEjecucion(i)=toc Y=Y'; figure(i) dibujanew end

13.3 Tablas Excel de resultados

Ilustración 45 – Sistema sin rigidez tangencial en las mallas

Ilustración 46 - Sistema con rigidez tangencial en las mallas pero base errónea

101

101


multicuerpo

Ilustración 47 – Sistema con rigidez tangencial en las mallas

14 BIBLIOGRAFÍA

J. Bascuñana Pareja, A. García González, D. Camas Peña, L. Caminos Gámez, A. González Herrera. Análisis de la influencia de las propiedades mecánicas en el modelado del oído medio humano. 2012.

Albrecht Eiber, Hans-Georg Freitag, Claus Burkhardt, Werner Hemmert, Marcus Maassen, Jesus Rodriguez Jorge, Hans-Peter Zenner. Dynamics of Middle Ear Prostheses - Simulations and Measurement. 1999.

W. Schiehlen. Multibody System Dynamics: Roots and Perspectives. 1997.

John J. Rosowski. New Data on the Motion of the Normal and Reconstructed Tympanic Membrane. 2011.

PFC Bascunana. Oido medio simplificado. 2011.

Francisco Caminos. Estudio de la influencia de parámetros en el modelado numérico del comportamiento del oído medio y externo humano. 2011.

Antonio Luis García González. Análisis numérico de la influencia de la cavidad timpánica en el sistema auditivo humano. 2013.

H.P. Zenner. Acoustomechanical properties of open TTP titanium middle ear prostheses. 2014.

proyecto fin de grado grado en ingeniería de las...

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