pt luonggiac

8/15/2019 Pt Luonggiac

1/44

219

Bài 1. PHƯƠ NG TRÌNHĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚ I SINX, COSX

1. Phươ ng pháp chung: 2 2sin cos ; 0a x b x c a b+ = + > (1)

Cách 1. ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 sin cos cosc a b x x xa b a b a b

⇔ = + = − α+ + +

Vớ i2 2 2 2 2 2

sin ; cos ; cos 2a b c x k a b a b a b

= α = α = β ⇒ = α ± β + π+ + +

Chú ý: (1) có nghi ệm 2 2 2c a b⇔ ≤ +

Cách 2. Xét cos 02 x = là nghi ệm c ủa (1) 0b c⇔ + =

Xét 0b c+ ≠ . Đặt tan2 xt = thì

2

2 22 1sin ; cos

1 1t t x xt t

−= =+ +

. Khi đó

( )1 ⇔ ( ) ( ) ( )2 2 0 f t c b t at c b= + − + − =

Cách 3. Phân tích thành ph ươ ng trình tích2. Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1.Giải ph ươ ng trình: 33sin 3 3 cos 9 1 sin 3 x x x− = +

Giải

( )3 33sin 3 3 cos 9 1 4sin 3 3sin 3 4sin 3 3 cos9 1 x x x x x x− = + ⇔ − − =

31 1sin 9 3 cos 9 1 sin 9 cos 92 2 2

x x x x⇔ − = ⇔ − = ( ) 1sin 9 3 2 x π⇔ − =

( )

29 2

3 6 18 95 7 29 23 6 54 9

k x k x

k k x k x

π π π π − = + π = + ⇔ ⇔ ∈ π π π π− = + π = +

Bài 2.Giải ph ươ ng trình: cos 7 . cos 5 3 sin 2 1 sin 7 . sin 5 x x x x x− = − (1)

Giải

( ) ( )1 cos 7 .cos 5 sin 7 .sin 5 3 sin 2 1 x x x x x⇔ + − =

( )cos 7 5 3 sin 2 cos 2 3.sin 2 1 x x x x x⇔ − − ⇔ − =

31 1 1cos 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 22 2 2 3 3 2

x x x xπ π⇔ − = ⇔ − =

( ) ( )1cos 2 2 23 2 3 3 3 x x k x k x k k π π π −π⇔ + = ⇔ + = ± + π⇔ = π ∨ = + π ∈

www.laisac.page.tl

PPPHHHƯƯƯ ƠƠƠ NNNGGG TTTRRR ÌÌÌNNNHHH LLLƯƯƯ ỢỢỢ NNNGGG GGGIIIÁÁÁCCC Thầy: Trần Phương


2/44

Chươ ng VII. Ph ươ ng trình l ượ ng giác – Tr ầ n Ph ươ ng

220

Bài 3.Giải ph ươ ng trình: ( )2 2 sin cos cos 3 cos 2 x x x x+ = + (1)

Giải

( ) ( )1 2 sin 2 2 1 cos 2 3 cos 2 x x x⇔ + + = + ( )2 sin 2 2 1 cos 2 3 2 x x⇔ + − = −

.Ta có( ) ( )

( )

2 22 2

222 2 1 5 2 2

3 2 11 6 2

a b

c

+ = + − = −

= − = −. Ta s ẽ ch ứng minh: 2 2 2a b c+ <

5 2 2 11 6 2⇔ − < − ( )2 24 2 6 32 36⇔ < ⇔ < (đúng). V ậy (1) vô nghi ệm.

Bài 4.Giải ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( )3sin 4sin 5sin 5 03 6 6 x x xπ π π− + + + + = Giải

( ) ( ) ( )3sin 4cos 5sin 53 2 6 6 x x xπ π π π

⇔ − + − + = − +

( ) ( ) ( )3sin 4cos 5sin 5

3 3 6 x x xπ π π ⇔ − + − = + + π

. Đặt 34sin , cos

5 5α = α =

( ) ( )7cos sin sin .cos sin 53 3 6 x x xπ π π ⇔ α − + α − = + ( ) ( )7sin sin 53 6 x xπ π

⇔ − + α = + 924 4 2 36 6 3

k k x xπ α π π α π⇔ = + + ∨ = − +

Bài 5.Giải ph ươ ng trình: 3 34 sin cos 3 4 cos sin 3 3 3 cos 4 3 x x x x x+ + = (1)

Giải

( ) [ ] [ ]1 3sin sin 3 cos 3 3cos cos 3 sin 3 3 3 cos 4 3 x x x x x x x⇔ − + + + =

[ ]3 sin cos3 sin 3 cos 3 3 cos 4 3 sin 4 3 cos 4 1 x x x x x x x⇔ + + = ⇔ + =

( )31 1 1sin 4 cos 4 cos sin 4 sin cos 4 sin 42 2 2 3 3 3 2 x x x x xπ π π⇔ + = ⇔ + = + = ( )

24 2 8 2k k x x k −π π π π⇔ = + ∨ = + ∈

Bài 6.Giải ph ươ ng trình: 3sin cos 1 x x+ =

Giải

Ta có 3sin cos 1 3sin 1 cos x x x x+ = ⇔ = −

( )26sin cos 2sin 2sin 3cos sin 02 2 2 2 2 2 x x x x x x⇔ = ⇔ − = . Xét 2 kh ả n ănga. sin 0 2

2 2 x x k x k = ⇔ = π⇔ = π

b. ( )3cos sin 0 tg 3 2 22 2 2 2 x x x x k x k k − = ⇔ = ⇔ = α + π⇔ = α + π ∈


3/44

Bài 1 . Ph ươ ng trình đẳ ng c ấ p bậ c nh ấ t, b ậ c hai, b ậ c ba v ớ i sinx, cosx

221

Bài 7.Giải ph ươ ng trình: sin 5cos 1 x x+ = (1)Giải

( ) ( )( ) ( )2

1 5cos 1 sin 5 cos sin cos sin cos sin2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x⇔ = − ⇔ − + = −

( )( ) 2cos sin 4 cos 6sin 0 tan 1 tan tan2 2 2 2 2 2 3 x x x x x x⇔ − + = ⇔ = ∨ = − = α ( )2 2 2

2 4 2 2 x xk k x k x k k π π⇔ = + π ∨ = α + π⇔ = + π ∨ = α + π ∈

Bài 8.Giải ph ươ ng trình: ( )sin 3 cos sin 3 cos 2 1 x x x x+ + + =

Giải

Ta có: ( )31sin 3 cos 2 sin cos 2sin2 2 3 x x x x x π+ = + = +

Đặt ( )sin 3 cos 2 sin 0 23t x x x t π= + = + ⇒ ≤ ≤ , khi đó( ) ( ) [ ]2 21 2 2 2 5 4 0 1 0; 2t t t t t t t t t ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − + = ⇔ = ∈

( ) ( ) 12sin 1 sin3 3 2 x xπ π⇔ + = ⇔ + = ( )2 26 2 x k x k k −π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ Bài 9.Giải ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( )1 3 sin 1 3 cos 2 1 x x+ + − =

Giải

Do ( )1 3 2 2 3 0b c+ = + + = − ≠ nên cos 02 x = không là nghi ệm c ủa (1)

Đặt 22ttan sin

2 1+t xt x= ⇒ và

2

21cos1

t xt

−=+

, khi đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

2 22 2

2 11 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 1 2 11 1

t t t t t t t

−⇔ + + − = ⇔ + + − − = +

+ +

( ) ( ) ( )23 3 2 1 3 1 3 0t t ⇔ − − + + + = ⇔

1 3 51 tan tan tan tan2 6 2 123 1 3 x xt t + π π= ∨ = − ⇔ = ∨ =

−52 2

3 6 x k x k π π⇔ = + π ∨ = + π

Bài 10.Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )sin 3 3 2 cos 3 1 1 x x+ − =

Giải

Do ( )3 2 1 3 1 0b c+ = − + = − ≠ nên 3cos 02 x = không là nghi ệm c ủa (1)


4/44


222

Đặt 23 2tan sin 32 1 x t t x

t = ⇒ =

+ và

2

21cos31

t xt

−=+

, khi đó

( ) ( )( )2 21 2 3 2 1 1t t t ⇔ + − − = + ( ) ( )21 3 2 3 3 0t t ⇔ − + + − =

1 3 3tan 1 tan 32 23

t x xt

=

⇔ ⇔ = ∨ ==( )2 2 2

6 3 9 3k k

x x k π π π π

⇔ = + ∨ = + ∈

Bài 11.Tìm m để ( )2sin cos 1 1 x m x m+ = − có nghi ệm ,2 2

x −π π ∈

Giải

Do ( )1 0b c m m+ = + − ≠ nên cos 02 x = không là nghi ệm c ủa (1)

Đặt tan2 xt = thì ( )

2

2 22 11 2 1

1 1t t m mt t

−⇔ ⋅ + ⋅ = −

+ +

( ) ( )( ) ( )2 2 2

4 1 1 1 4 1 2 0t m t m t f t t t m⇔ + − = − + ⇔ = − + − =

Cách 1: Yêu c ầu bài toán ( ) 2 4 1 2 0 f t t t m⇔ = − + − = có nghi ệm [ ]1,1t ∈ −

Xét ( )1 0 6 2 0 3 f m m− = ⇔ − = ⇔ = thỏa mãn

Xét ( )1 0 2 2 0 1 f m m= ⇔ − − = ⇔ = − thỏa mãn

Xét ( ) 0 f t = có 1 nghi ệm ( )1,1t ∈ − và 1 nghi ệm [ ]1,1t ∉ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 6 2 2 2 0 2 6 2 2 0 1 3 f f m m m m m⇔ − = − − − < ⇔ − + < ⇔ − < <

Xét ( ) 0 f t = có 2 nghi ệm 1 2,t t thỏa mãn 1 21 1t t − < ≤ <

( ) ( ){ }0; 1. 1 0 ; 1. 1 0; 1 12S f f ′⇔ ∆ ≥ − > > − < < , hệ này vô nghi ệm K ế t lu ậ n : (1) có nghi ệm , 1 3

2 2 x m−π π ∈ ⇔ − ≤ ≤ .

Cách 2 : ( ) 2 4 1 2 0 f t t t m= − + − = có nghi ệm [ ]1,1t ∈ −

( ) 21 122 2

g t t t m⇔ = − + = có nghi ệm [ ]1,1t ∈ −

Ta có: ( ) [ ] ( )2 0 1,1g t t t g t ′ = − < ∀ ∈ − ⇒ ngh ịch bi ến trên [ ]1,1−

Suy ra t ập giá tr ị ( )g t là đoạn ( ) ( ) [ ]1 , 1 1,3g g − ≡ − . T ừ đó (1) có nghi ệm( ),

2 2 x g t m−π π ∈ ⇔ = có nghi ệm [ ]1,1 1 3t m∈ − ⇔ − ≤ ≤


5/44


223

II. PHƯƠ NG TRÌNHĐẲNG CẤP BẬC 2 VỚ I SINX, COSX1. Phươ ng pháp chung

2 2sin sin cos cos 0a x b x x c x d + + + = vớ i ( )2 2 2 0 1a b c+ + >

Bướ c 1: Xét cos 0 x = có là nghi ệm c ủa (1) hay không 0a d ⇔ + = Bướ c 2: Xét 0 cos 0a d x+ ≠ ⇒ = không là nghi ệm c ủa (1)

Chia 2 v ế của (1) cho 2cos 0 x ≠ ta nh ận đượ c ph ươ ng trình

( ) ( )2 21 tan tan 1 tan 0a x b x c d x⇔ + + + + = . Đặt tant x=

( ) ( ) ( ) ( )21 0 f t a d t bt c d ⇔ = + + + + =

Bướ c 3: Gi ải và bi ện lu ận ( ) 0 f t = ⇒ Nghi ệm 0 tgt x= ⇒ nghi ệm x.

2. Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1. a. Gi ải ph ươ ng trình: 2 2sin 2sin cos 3cos 3 0 x x x x+ + − =

b. Gi ải ph ươ ng trình: 2sin 3sin cos 1 0 x x x− + =

Giải

a. 2 2sin 2 sin cos 3cos 3 0 x x x x+ + − = (1)

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa (1) thì t ừ (1)2

2 2

cos 0 sin 1

sin 3 0 sin 3

x x

x x

= = ⇒ ⇔

− = =

⇒ Vô lý. Chia 2 v ế của (1) cho 2cos 0 x ≠ ta nh ận đượ c

( ) ( )2 2 21 tan 2 tan 3 3 1 tan 0 2 tan 2 tan 0 x x x x x⇔ + + − + = ⇔ − =

( ) ( )tan 02 tan 1 tan 0tan 1

4

x k x x x k

x k x= π=

⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π= + π=

b. 2sin 3sin cos 1 0 x x x− + = (2)

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa (2) thì t ừ (2) 2cos 0

sin 1 0

x

x

=⇒

+ =⇒ Vô lý


( ) ( )2 2 22 tan 3 tan 1 tan 0 2 tan 3 tan 1 0 x x x x x⇔ − + + = ⇔ − + =

( ) ( ) ( )tan 1 tan 4 4tan 1 2 tan 1 0

1tan tan2

x x k x x k

x x k

π= = π= + π⇔ − − = ⇔ ⇔ ∈

= = α = α + π


6/44


224

Bài 2. a.Giải ph ươ ng trình: 2 2 54 3 sin cos 4 cos 2sin2

x x x x+ = +

b. GPT: ( ) ( ) ( ) ( )2 25 33sin 3 2sin cos 5sin 02 2 2 x x x x xπ π ππ − + + + − + = Giải

a. Phươ ng trình ( )2 2 52sin 4 3 sin cos 4cos 0 12

x x x x⇔ − − + =

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa (1) thì t ừ (1) 2 52sin 02

x⇒ + = ⇒ Vô lý


( ) ( )2 2 251 2 tan 4 3 tan 4 1 tan 0 9 tan 8 3 tan 3 02

x x x x⇔ − − + + = ⇔ − − =

( )3tan 3 tan tan tan3 9 3

x x x k x k k −π π⇔ = = ∨ = = α ⇔ = + π ∨ = α + π ∈

b. ( ) ( ) ( ) ( )2 25 33sin 3 2 sin cos 5sin 02 2 2 x x x x xπ π ππ − + + + − + = ( )2 23sin 2 sin cos 5cos 0 2 x x x x⇔ − − =

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa (1) thì t ừ (2)cos 0

sin 0

x

x

=⇒

= ⇒ Vô lý


( ) 2tan 1 tan

4 42 3 tan 2 tan 5 05tan tan3

x x k x x

x x k

−π= − = −π= + π⇔ − − = ⇔ ⇔

= = α = α = π

Bài 3.GPT: a. 13 sin coscos

x x x

+ = b. 14 sin 6 coscos

x x x

+ =

Giải

a. 223 sin cos1 13 sin cos 3 tan 1 1 tan

cos cos cos x x x x x x

x x x++ = ⇔ = ⇔ + = +

( ) {2 tan 0tan 3 tan 0 tan tan 3 0 ; 3tan 3 x

x x x x x k k x

= π⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π + π

=

b.2

2

4 sin 6 cos1 14sin 6 cos 4 tan 6 1 tancos cos cos

x x x x x x x x x

++ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔

( ) ( )2 tan 1 tan 4 4tan 4 tan 5 0 tan 1 tan 5 0tan 5 tan

x x k x x x x

x x k

−π −π = − = = + π − − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = = α = α + π


7/44


225

Bài 4.Giải ph ươ ng trình: 2 2 37sin 2sin 2 3cos 3 15 0 x x x+ − − = (1)

Giải

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa (1) thì t ừ (1)2 3

cos 0

7sin 3 15

x

x

=⇒

= ⇒ Vô lý

Chia 2 v ế của (1) cho 2cos 0 x ≠ ta có ( ) ( )2 231 7 tan 4 tan 3 3 15 1 tan 0 x x x⇔ + − − + =

( ) ( ) ( )23 37 3 15 tan 4 tan 3 3 15 0 2 x x⇔ − + − + = . Ta có 3 2325 12 15 9 15′∆ = + −

Đặt 3 33 515 15 253

t t t = ⇒ = ⇒ = , ta s ẽ ch ứng minh ∆′ ∀ ∈

+ +

( )g t ⇒ tăng / ( ) ( )0,1 g t m⇒ = có nghi ệm ( ) ( ) ( )( ) ( )0,1 0 , 1 1, 2t m g g∈ ⇔ ∈ ≡ .

Bài 6.Cho ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( )2 2sin 2 2 sin cos 1 cos 1 x m x x m x m+ − − + =

a. GPT: 2m = − b. Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm.Giải

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (1) thì t ừ (1) suy ra

2

cos 0

sin

x

x m

=

=

2

22

11sin 1 1

cos 0sin 1sin 2

mm x m

x k x x x m

= == = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ π= + π=

==

Nếu 1m ≠ thì cos 0 x = không là nghi ệm c ủa (1), khi đó chia 2 v ế của (1) cho2cos 0 x ≠ ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 21 tan 2 2 tan 1 1 tan x m x m m x⇔ + − − + = +


8/44


226

( ) ( ) ( )2tan 1 tan 2 1 tan 2 1 0 f x m x m x m⇔ = − − − + + =

a. Nếu 2m = − thì ( ) ( ) 21 3 tan 1 04

x x k π⇔ − − = ⇔ = + π

b. (1) có nghi ệm2

11

1 2 110 2 0

mm

m mmm m

==

≠⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤≠ ′∆ ≥ − − + ≥

Bài 7.Cho ph ươ ng trình: ( )2 2cos sin cos 2sin 0 1 x x x x m− − − −

a. Gi ải ph ươ ng trình (1) khi 1m = b. Gi ải bi ện lu ận theo m Giải

a. V ớ i 1m = ta có ( ) 2 21 cos sin cos 2 sin 1 0 x x x x⇔ − − − = ( ) { }cos 3sin sin 0 sin 0 co tg 3 cotg ; x x x x x x k k ⇔ + = ⇔ = ∨ = − = α ⇔ ∈ π α + π

b. ( ) ( )1 cos 2 11 sin 2 1 cos 2 0 3cos 2 sin 2 2 12 2 x x x m x x m+⇔ − − − − = ⇔ − = +

3 2 11cos 2 sin 210 10 10

m x x +⇔ − = . Đặt 3 1cos , sin10 10

α = α = , khi đó ta có

( )2 1 2 1cos cos 2 sin sin 2 cos 210 10

m m x x x+ +α − α = ⇔ + α =

+ N ếu 1 10 1 102 1 12 210

m m m − − − ++ > ⇔ < > ∪ thì (2) vô nghi ệm

+ N ếu 1 10 1 102 1 1 ,2 210

m m − − − ++ ≤ ⇔ ∈

thì đặt 2 1 cos

10

m + = β

Khi đó ( ) ( ) ( )1 2 cos 2 cos2

x x k ± β − α

⇔ ⇔ + α = β⇔ = + π

Bài 8.Giải và bi ện lu ận: ( )2 2sin 4 sin cos 2cos 0 1m x x x x+ + =

Giải

• 0m = , ( ) ( ) { }cos 01 2cos 2sin cos 0 ;2cot 2 cot x

x x x x k k x

= π⇔ + = ⇔ ⇔ ∈ + π α + π

= − = α

• 0m ≠ thì ( ) 21 tan 4 tan 2 0m x x⇔ + + = vớ i 4 2 m′∆ = −

+ N ếu 2m > thì (1) vô nghi ệm; N ếu 2m = thì tan 1 4 x x k −π= − ⇔ = + π

+ N ếu 0 2m≠ < thì 2 4 2tan tanm x x k m

− ± −= = β⇔ = β + π .


9/44


227

III. PHƯƠ NG TRÌNHĐẲNG CẤP BẬC 3 VỚ I SINX, COSX1. Phươ ng pháp chung

3 2 2 3sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x+ + + = vớ i ( )2 2 2 2 0 1a b c d + + + >

( )3 2 2 3sin sin cos sin cos cos sin cos 0a x b x x c x x d x m x n x+ + + + + =

Bướ c 1: Xét cos 0 x = có là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình hay không Bướ c 2: Xét cos 0 x ≠ không là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình. Chia 2 v ế của (1)

cho 3cos 0 x ≠ và s ử dụng công th ức ( )2 22 3

sin1 1 tan ; tan 1 tancos cos

x x x x x x

= + = +

ta nh ận đượ c ph ươ ng trình b ậc 3 ẩn tan x . Bướ c 3: Gi ải và bi ện lu ận ph ươ ng trình b ậc 3 ẩn tg x .


Bài 1.Giải ph ươ ng trình: ( )3 3 24sin 3cos 3sin sin cos 0 1 x x x x x+ − − =

Giải

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa (1) thì t ừ (1) suy ra

3 3

cos 0 sin 1 sin 1

4sin 3sin 0 4sin 3sin 0

x x x

x x x x

= = ∨ = − ⇔ ⇒

− = − = Vô lý

Chia 2 v ế của (1) cho 3cos 0 x ≠ ta có ( ) ( )3 2 21 4tan 3 3tan 1 tan tan 0 x x x x⇔ + − + − =

( ) ( ) ( )3 2 2 2 2tan tan 3 tan 1 tan tan 0 tan 1 tan 3 0 x x x x x x x⇔ − − + − = ⇔ − − =

( )tan 1 tan 34 3

x x x k x k k π π⇔ = ∨ = ± ⇔ = + π ∨ = ± + π ∈

Bài 2.Giải ph ươ ng trình: ( )3sin 2 .sin 2 sin 3 6 cos 1 x x x x+ =

Giải

( ) ( ) 3 31 sin 2sin cos 3sin 4 sin 6 cos x x x x x x⇔ + − =

3 2 34sin 3sin 2 sin cos 6 cos 0 x x x x x⇔ − − + = (2)


3 3

cos 0 sin 1 sin 1

4sin 3sin 0 4sin 3sin 0

x x x

x x x x

= = ∨ = − ⇔ ⇒

− = − = Vô lý

Chia 2 v ế của (2) cho 3cos 0 x ≠ ta có ( ) 3 22 tan 2 tan 3 tan 6 0 x x x⇔ − − + =

( ) ( ) { }2tan 2 tan 3 0 tan 2 tan tan 3 ; 3 x x x x x k k π⇔ − − = ⇔ = = α ∨ = ± ⇔ ∈ α + π ± + π


10/44


228

Bài 3.Giải ph ươ ng trình: 1 3 sin 2 2 tan x x+ = Giải

Điều ki ện: ( )cos 0 12

x x k π≠ ⇔ ≠ + π

2 21 11 3sin 2 2 tan 1 6 sin cos 2 tan 6 tan 2 tancos cos x x x x x x x

x x+ = ⇔ + = ⇔ + = ⋅

( ) ( )2 2 3 21 tan 6 tan 2 tan 1 tan 2 tan tan 4 tan 1 0 x x x x x x x⇔ + + = + ⇔ − − − =

( ) ( )21,2 1,2

tan 14tan 1 2 tan 3 tan 1 0 3 17tan tan

4

x x n x x x

x x n

= − π = − + π ⇔ + − − = ⇔ ⇔± = = α = α + π

Bài 4.Giải ph ươ ng trình: ( )32 sin 2sin4 x xπ+ = (1)Giải

( ) ( ) ( ) ( )3

331 2 2 sin 4sin 2 sin 4sin sin cos 4sin4 4

x x x x x x xπ π ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =


3 3

cos 0 sin 1 sin 1

sin 4sin sin 4sin 0

x x x

x x x x

= = ∨ = − ⇔ ⇒

= − = Vô lý

Chia 2 v ế của (1) cho 3cos 0 x ≠ ta có

( ) ( ) ( )3 2 2 2 31 tan 1 4 tan 1 tan tan 3tan 3tan 1 4 tan 4 tan x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + + + = +

( ) ( )3 2 23tan 3tan tan 1 0 tan 1 3 tan 1 0 tan 14

x x x x x x x k π⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = + π

Bài 5.Giải ph ươ ng trình: ( )38cos cos 33 x xπ+ = Giải

( ) 3

38cos cos3 8 cos .cos sin sin cos 33 3 3

x x x x xπ π π + = ⇔ − =

( ) ( ) ( )3 33 3cos 3 sin 4 cos 3cos 3 sin cos 3cos 4 cos 0 1 x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − − + =Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa (1) thì t ừ (1) suy ra

2 2cos 1 0 cos sin 1 0 1sin 0

x x x

x

=⇒ = + = ⇒ = ⇒

= Vô lý


11/44


229

Chia 2 v ế của (1) cho 3cos 0 x ≠ ta có ( ) ( ) ( )3 21 3. tan 1 3 1 tan 4 0 x x⇔ − − + + =

( ) ( )23 23 3 tan 3 3 tan 3 3 tan 1 3 1 tan 4 0 x x x x⇔ − + − − + + =

( )3 2 23 3 tan 12 tan 3 3 tan 0 tan 3 tan 4 tan 3 0 x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + =

{ ( )1tan 0 tan tan 3 ; ;6 33 x x x x k k k k π π⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ π + π + π ∈

Bài 6.Giải ph ươ ng trình: ( )3sin 2 sin4 x xπ− = (1)Giải

( ) ( ) ( ) 3

31 2 2 sin 4 sin 2 sin 4sin4 4

x x x xπ π ⇔ − = ⇔ − =

( ) ( ) ( )3 3 2sin cos 4sin tan 1 4 tan 1 tan x x x x x x⇔ − = ⇔ − = +

3 2 3 3 2tan 3 tan 3 tan 1 4 tan 4 tan 3 tan 3 tan tan 1 0 x x x x x x x x⇔ − + − = + ⇔ + + + =

( ) ( ) ( )2tan 1 3 tan 1 0 tan 1 0 tan 14

x x x x x k k π⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + π ∈

Bài 7.Giải ph ươ ng trình: 3 5sin 4 cos6 sin 2 cos2cos2

x x x x x

− = (1)

Giải

Điều ki ện: ( )cos 2 0 2 22 4 2

k x x k xπ π π≠ ⇔ ≠ + π⇔ ≠ +

Vớ i điều ki ện (2) ta có ( ) 31 6sin 2 cos 5sin 2 cos x x x x⇔ − =

( )3 3 26sin 2cos 5 2sin cos cos 3sin cos 5sin cos 0 x x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − − = (3)


2 2cos 0 0 sin cos 1 0 1sin 0

x x x

x

=⇒ = + = ⇒ = ⇒

= Vô lý

Chia 2 v ế của (3) cho 3cos 0 x ≠ ta có

( )23 tan 1 tan 1 5 tan 0 x x x+ − − = ⇔ ( ) ( )2tan 1 3. tan 3 tan 1 0 x x x− + + =

( ) ( )2

1 1tan 1 3 tan 0 tan 1

2 4 4

x x x x n π

⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = + π

Do4

x nπ= + π mâu thu ẫn v ớ i (2):4 2

k x π π≠ + nên ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm.


12/44


230

Bài 8. ( ) ( ) ( ) ( )3 24 6 sin 3 2 1 sin 2 2 sin cos 4 3 cos 0m x m x m x x m x− + − + − − − =

a. Gi ải ph ươ ng trình khi 2m =

b. Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất 0,4

x π ∈

Giải

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình thì t ừ ph ươ ng trình suy ra

( ) ( ) ( ) ( )3 3cos 0 sin 1 sin 1

4 6 sin 6 3 sin 0 4 6 sin 6 3 sin

x x x

x m x m x m x

= = ∨ = − ⇔ ⇒

− + − = − + − Vô lý

Chia 2 v ế của ph ươ ng trình cho 3cos 0 x ≠ ta có ph ươ ng trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 24 6 tan 3 2 1 tan 1 tan 2 2 tan 4 3 1 tan 0m x m x x m x m x⇔ − + − + + − − − + =( ) ( ) ( )3 2tan 2 1 tan 3 2 1 tan 4 3 0 x m x m x m⇔ − + + − − − =

( ) ( )[ ] ( )2tan 1 tan 2 tan 4 3 0 1

x x m x m⇔ − − + − = a. N ếu 2m = thì ( ) ( ) ( )21 tan 1 tan 4 tan 5 0 x x x⇔ − − + =

( ) ( ) ( )2tan 1 tan 2 1 tan 14

x x x x k k π ⇔ − − + ⇔ = ⇔ = − π ∈

b. Đặt [ ]tan 0,1 0,4

t x x π = ∈ ∀ ∈ , khi đó ph ươ ng trình

( ) ( )( ) [ ]22

1 0 1 0,11 1 2 4 3 0

2 4 3 0

t t t t mt m

t mt m

− = ⇔ = ∈⇔ − − + − = ⇔

− + − =

Xét ph ươ ng trình:2

2 4 3 0t mt m− + − = vớ i [ ]0,1t ∈ ( ) ( )

22 33 2 2 2

2t t m t g t mt

−⇔ − = − ⇔ = =

−. Ta có ( )

( ) ( )

( )[ ]2

1 3 0 0, 12

t t g t t t

− −′ = ≥ ∀ ∈−

( )g t ⇒ đồng bi ến trên [ ]0,1 ⇒ Tập giá tr ị ( )g t là ( ) ( )[ ] 30 , 1 ; 22

g g =

Để ph ươ ng trình (1) có nghi ệm duy nh ất ( )0, 4 x π∈ thì ph ươ ng trình ( ) 2g t m= hoặc vô nghi ệm [ ]0,1t ∈ ho ặc có đúng 1 nghi ệm 1t =

( ) 2g t m⇔ = vô nghi ệm [ )2 2 1

0,1 3 322 4

m mt

m m

≥ ≥ ∈ ⇔ ⇔< <


13/44


231


14/44

Bài 4. Ph ươ ng trình đố i xứ ng và n ử a đố i xứ ng

231

Bài 2. PHƯƠ NG TRÌNH ĐỐI XỨ NGI. PHƯƠ NG TRÌNH ĐỐI XỨ NG VÀ NỬ A ĐỐI XỨ NG VỚ I SINX, COSX

1. Phươ ng pháp chung ( )sin cos sin cos 0a x x b x x c+ + + = ( )sin cos sin cos 0a x x b x x c− + + =

Bướ c 1. Đặt( ) ( )( ) ( )

2

2

1sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 14 2

1sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 14 2

t x x x x x t

t x x x x x t

π = + = + ∈ − ⇒ = −

π = − = − ∈ − ⇒ = −

Biến đổi đưa v ề ph ươ ng trình b ậc 2 ẩn t .Bướ c 2. Giải ph ươ ng trình b ậc 2 ẩn t . T ừ đó suy ra nghi ệm x.2. Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )2 sin cos sin cos 1 1 x x x x+ − =

Gi ả i

Đặt ( ) 2 1sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2t t x x x x xπ − = + = − ∈ − ⇒ = . Ta có( ) 21 2 2 1 0 2 1 2; 2t t t ⇔ − + = ⇔ = − ∈ − ( ) 2 2cos cos4 2 x −π⇔ − = = α

( )2 24 4

x k x k k π π− = ±α + π⇔ = ± α + π ∈

Bài 2. Giải ph ươ ng trình: ( )101 1cos sin 1cos sin 3

x x x x

+ + + =

Gi ả i

Điều ki ện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22k x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

Vớ i điều ki ện (2) thì ( ) ( ) ( ) 101 sin cos sin cos sin cos sin cos3

x x x x x x x x⇔ + + + =

( ) ( )3 sin cos sin cos 1 10 sin cos x x x x x x⇔ + + =

Đặt ( ) 2 1sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2t t x x x x xπ − = + = − ∈ − ⇒ = . Khi đó( )

2 21 11 3 1 10.2 2

t t t − −

⇔ + = ( ) ( )2 2 3 23 1 10 1 3 10 3 10 0t t t t t t ⇔ + = − ⇔ − + + =

( ) ( )2 2 192 3 4 5 0 2; 23

t t t t − ⇔ − − − = ⇔ = ∈ −

( ) ( )2 19 2 192 cos cos cos4 3 4 3 2 x x− −π π⇔ − = ⇔ − = = α ( )2 2

4 4 x n x n nπ π⇔ − = ±α + π ⇔ = ± α + π ∈ (th ỏa mãn (2))


15/44


232

Bài 3. Giải ph ươ ng trình: ( )3 3 31 sin cos sin 2 12

x x x+ + =

Gi ả i

( ) ( ) ( )3 31 1 sin cos 3sin cos sin cos sin 22

x x x x x x x⇔ + + − + =

Đặt ( ) 2

1sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2t t x x x x xπ − = + = − ∈ − ⇒ =

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )2

3 2 3 2 21 31 1 3 1 2 3 3 1 3 12 2

t t t t t t t t −

⇔ + − = − ⇔ + − − = −

( ) ( )3 2 23 3 5 0 1 2 5 0 1 2; 2t t t t t t t ⇔ + − − = ⇔ + + − = ⇔ = − ∈ −

( ) ( ) { } ( )12 cos 1 cos 2 ; 24 4 22 x x x k k k π π π−

⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ∈ π + π − + π ∈

Bài 4. Giải ph ươ ng trình: ( )2 3sin cos 1 sin cos 13

x x x x+ = +

Gi ả i

Đặt ( ) 2

1sin cos 2 sin 2, 2 sin cos4 2t

t x x x x xπ − = + = + ∈ − ⇒ =

Khi đó (1)( )

2

22 2

0; 2 0; 26. 1 3

26 1 9

t t t t

t t t

∈ ∈ ⇔ + = ⇔ ⇔

=+ =

( ) ( )2 sin 1 24 4t x x k k π π⇔ = ⇔ + = ⇔ = + π ∈ Bài 5. Giải ph ươ ng trình: ( )sin cos 7 sin 2 1 1 x x x− + =

Gi ả i

Đặt ( ) 2sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 14t x x x x t π = − = − + ∈ − ⇒ = − Khi đó ( ) ( )2 21 7 1 1 7 6 0t t t t ⇔ + − = ⇔ − − =

( )( )

( )

231cos cos1 4 42 26 23 27 cos cos4 7 2

4

x k xt x k k

t x

x k

= −π + π π π + = − == π ⇔ ⇔ ⇔ = + π ∈−= π + = = α π = − ± α + π

Bài 6. Giải ph ươ ng trình: ( )( ) ( )1 2 sin cos 2sin cos 1 2 1 x x x x+ − + = + Gi ả i

Đặt ( ) 2sin cos 2 cos 2, 2 2sin cos 14t x x x x x t π = − = − + ∈ − ⇒ = − . Khi đó( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 1 2 1 2 2 0 1 2t t t t t t ⇔ + + − = + ⇔ − − + = ⇔ = ∨ =

( ) ( ) { } ( )31cos cos 1 2 ; 2 ; 24 4 2 42 x x x k k k k π π π π−

⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ −π + π + π + π ∈


16/44


233

Bài 7. Giải ph ươ ng trình: ( )sin 2 2sin 14 x x x π+ − = Gi ả i

( ) ( ) ( )sin 2 2 sin 1 sin 2 sin cos 1 14 x x x x x xπ+ − = ⇔ + − = Đặt ( ) 2sin cos 2 sin 2, 2 sin 2 14t x x x x t π = − = − ∈ − ⇒ = − Khi đó ( ) ( )21 1 1 1 0 0; 1t t t t t t ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = =

( ) ( ) { } ( )tg 1sin cos 0

; 2 ; 21sin 4 22 sin 1 44 2

x x x x k k k k

x x

=− =π π

⇔ ⇔ ⇔ ∈ + π + π π + π ∈ππ − = − =

Bài 8. Giải ph ươ ng trình: ( )sin 3 cos 3 2 sin cos 1 x x x x− + + = Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )3 31 3sin 4sin 4 cos 3cos 2 sin cos 1 x x x x x x⇔ − − − + + = ( ) ( ) ( )4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1 x x x x x x⇔ − + − + + =

Đặt ( )sin cos 2 sin 2; 24t x x x π = + = + ∈ − , khi đó ta có ph ươ ng trình:( ) ( )

2214 1 5 1 1 2 2 1 0 1

2t t t t t t t

−− − + = ⇔ − + + = ⇔ = 24 x k π⇔ = + π

Bài 9. Giải ph ươ ng trình: ( )( )1 12 2 sin 2 tan cot 0sin cos x x x x x+ + + + + = Gi ả i

Đặt

( )sin cos 2 sin 2; 2 , 1

4t x x x t π = + = + ∈ − ≠ ± . Bi ến đổi ta nh ận đượ c

( ) ( )( )2 2 2 3 22

2 22 1 0 2 2 1 2 2 0 2 4 2 01

t t t t t t t t t

+ + + = ⇔ − + + + = ⇔ + + = −

( ) ( )22 1 0 0 1 sin cos 0 tan 14

t t t t x x x x k π⇔ + = ⇒ = ≠ ± ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + π

Bài 10.Tìm m để ph ươ ng trình: ( )sin cos sin 2 0m x x x+ + = có nghi ệm.Gi ả i

Đặt ( ) 2sin cos 2 cos 2; 2 sin 2 14t x x x x t π = + = − ∈ − ⇒ = − Khi đó ph ươ ng trình 2 1 0mt t ⇔ + − = ( ) 2 1 0 f t t mt ⇔ = + − = vớ i 2; 2t ∈ −

Để ý r ằng: 21 4 0m∆ = + > nên ( ) 0 f t = có 2 nghi ệm phân bi ệt 1 2,t t


17/44


234

Theo định lý Viét, ta có 1 2 1 2. 1 . 1t t t t = − ⇒ =( )( )

1 1

2 2

0 1 2 2, 2

0 1 2 2, 2

t t

t t

< ≤ < ∈ − ⇒ ⇒ < ≤ < ∈ −

Vậy ph ươ ng trình đã cho luôn có nghi ệm m∀ ∈

Bài 11. Tìm m để ph ươ ng trình: ( )sin 2 4 cos sin x x x m+ − = có nghi ệmGi ả i

Đặt cos sin 2; 2t x x = − ∈ − và 2sin 2 1 x t = − , khi đó ph ươ ng trình đã cho

( ) 2 4 1 f t t t m⇔ = − + + = vớ i 2; 2t ∈ − .

Ta có ( ) 4 2 0 2, 2 f t t t ′ = − > ∀ ∈ − ( ) f t ⇒ đồng bi ến trên 2, 2 −

⇒ Tập giá tr ị ( ) f t là ( ) ( )2 , 2 4 2 1, 4 2 1 f f − = − − +

Do đó ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm ( ) f t m⇔ = có nghi ệm 2, 2t ∈ −

4 2 1 4 2 1m⇔ − − ≤ ≤ +

Bài 12.Tìm m để: 3 3sin cos x x m− = có 3 nghi ệm phân bi ệt [ ]0, x∈ π

Gi ả i

Biến đổi: ( ) ( )33 3sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x m x x x x x x m− = ⇔ − + − =

Đặt ( ) [ ]sin cos 2 sin 1, 2 0,4t x x x xπ = − = − ∈ − ∀ ∈ π ;21sin cos

2t x x −= .

Khi đó ph ươ ng trình

( ) ( )2

3 3 2 313 2 3 1 2 3 22t t t m t t t m f t t t m −⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − + =

Ta có ( ) 23 3 0 1 f t t t ′ = − + = ⇔ = ± ⇒ Bảng bi ến thiên

Vớ i ( )2 1, 1t t = ∨ ∈ − cho ta

1 nghi ệm [ ]0, x∈ π và v ớ i m ỗi )1, 2t ∈ cho ta 2 nghi ệm [ ]0, x∈ π .

Nên để ph ươ ng trình 3 3sin cos x x m− = có 3 nghi ệm phân bi ệt [ ]0, x∈ π

thì ( ) 2 f t m= ph ải có 2 nghi ệm 1 2,t t sao cho

1 221 1 2 2 2 2 1

2t t m m− < < < < ⇔ < < ⇔ < < .

–1 1 2

2

00 + –

–2

2

t

f ′

(t)

f(t)


18/44


235

II. PHƯƠ NG TRÌNH ĐỐI XỨ NG VỚ I TAN, COTI. CÔNG TH ỨC S Ử DỤNG

( ) ( ) ( )sin sin costan tan ; tan tan ; tan cotcos cos cos cos cos sin

a b a b a ba b a b a ba b a b a b

+ − −+ = − = + =

( )cos 2cot tan ; tan cot ; cot tan 2cot 2sin cos sin 2a ba b a a a a aa b a+− = + = − =

II. CÁC BÀI T ẬP M ẪU MINH H ỌA

Bài 1. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )3 tan cot 4 1 x x+ =

Gi ả i

( )1 ⇔ 2 3 2 3 34 sin 2sin 2 4 2 6 3

x x n x n x

π π= ⇔ = = ⇔ = + π ∨ = + π

Bài 2. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )2 sin cos tan cot 1 x x x x+ = +

Gi ả i

Điều ki ện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22

k x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

Đặt ( ) 2sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 14t x x x x t π = + = − ∈ − ⇒ = − ( ) ( ) ( )2 321 2 sin cos 1 2 2 0

sin 2 x x t t t t

x⇔ + = ⇔ − = ⇔ − − = ( )1t ≠ ±

( )( ) ( )22 2 1 0 2 cos 14t t t t x π⇔ − + + = ⇔ = ⇔ − = 24 x nπ⇔ = + π Bài 3. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )3 tan cot 2 2 sin 2 x x x+ = + (1)

Gi ả i Điều ki ện: ( )sin cos 0 sin 2 0 2

2k x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

( ) 31 2 sin 2sin 2

x x

⇔ = + 2sin 2 2 sin 2 3 0 sin 2 1 x x x⇔ + − = ⇔ =4

x nπ⇔ = + π

Bài 4. Giải ph ươ ng trình: ( )2tan 2 cot 8cos 1 x x x+ =

Gi ả i

ĐK: ( )sin .cos 2 0 , 2 x x ≠ , ta có (1) ( ) 2 2cos 2 8cos cos 8cos .cos2 .sincos2 .sin

x x x x x x x x x

−⇔ = ⇔ =

( ) ( )cos 1 8cos cos 2 sin 0 cos 1 2sin 4 0 x x x x x x⇔ − = ⇔ − =

{ 51cos 0 sin 4 ; ;2 2 2 24 2 24 2k k k x x x π π π π π π⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + + +


19/44


236

Bài 5. Giải ph ươ ng trình: ( )3tan cot 2 cot 2 1 x x x= +

Gi ả i

Điều ki ện: ( )sin cos sin 2 0 sin 2 0 22

k x x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

( ) 31 tan cot 2cot 2 x x x⇔ − = ⇔ 32cos2 2cot 22sin cos

x x x x

−⇔ =

( )2cot 2 1 cot 0 cot 2 0 x x x⇔ + = ⇔ = 22 4 2

n x n xπ π π⇔ = + π⇔ = +

Bài 6. Giải ph ươ ng trình: ( )tan cot 2 sin 2 cos 2 x x x x+ = + (1)Gi ả i


k x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

( ) ( )21 2 sin 2 cos 2sin2

x x x

⇔ = + ( )sin 2 sin 2 cos 2 1 x x x⇔ + =

( )2sin 2 cos 2 1 sin 2 0 x x x⇔ − − = ( )cos 2 sin 2 cos 2 0 x x x⇔ − =

cos 2 0 tan 2 14 2 8 2

n n x x x xπ π π π⇔ = ∨ = ⇔ = + ∨ = +

Bài 7. Giải ph ươ ng trình: ( )6 tan 5cot 3 tan 2 1 x x x+ =

Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )5cos 3 sin 21 5 tan cot 3 tan 2 tancos . sin3 cos2 .cos

x x x x x x x x x x x x

− −⇔ + = − ⇔ =

2 2 25 cos 2 sin 3 .sin 10 cos 2 2 sin 3 sin 10 cos 2 cos 2 cos 4 x x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = −

( )2 2 210 cos 2 cos 2 2 cos 2 1 12 cos 2 cos 2 1 0 x x x x x⇔ = − − ⇔ − − = 1cos 2 cos 2 2 23

2 21cos 2 cos4 2

x k x x k

x k x x k

α = ± + π= = α = ±α + π ⇔ ⇔ ⇔

β= ±β + π= − = β = ± + π

(th ỏa mãn (2)) ( )n∈

Bài 8. Giải ph ươ ng trình: [ ] ( )2 cot2 cot 3 tg2 cot 3 1 x g x x g x− = + Gi ả i

Điều ki ện: ( )sin 2 sin 3 cos 2 0 sin 4 sin 3 0 2 x x x x x≠ ⇔ ≠

( ) ( ) ( )2sin 3 2 cos 3 2

1 sin 2 . sin3 sin3 . cos2 x x x x

x x x x− −

⇔ = ( )2 2 2

2.sin cos sin cos 0 x x x x

⇔ − − = 3sin 0 sin 0 sin 2 2 sin cos 0 sin 4 0 sin 4 .sin 3 0 x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = (3)

Do (2) và (3) mâu thu ẫn nhau nên ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm.


20/44


237

Bài 9. Giải ph ươ ng trình: ( )22 tan cot 3 1sin

x x x

+ = +

Gi ả i


k x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

( ) ( ) 2 2 21 tan tan cot 3 tan 3sin sin sin

x x x x x x x

⇔ + + = + ⇔ + = +

tan 33

x x nπ⇔ = ⇔ = + π (th ỏa mãn (2)) ( )n∈

Bài 10.Giải ph ươ ng trình: ( )23 tan 3 cot 2 2 tan 1sin 4

x x x x

+ = +

Gi ả i

Điều ki ện: ( )sin 2 sin 4 cos cos cos 3 0 sin 4 . cos 3 0 2 x x x x x x x≠ ⇔ ≠

( ) ( ) ( ) 21 2 tan 3 tan tan 3 cot 2 sin 4 x x x x x⇔ − + + =

2 sin 2 cos 2 4 sin sin 4 2 cos cos 2 2 cos 3cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4

x x x x x x x x x x x x x

⇔ + = ⇔ + =

4sin sin 4 cos cos 3 2 cos 3 4sin sin 4 cos cos 3 0 x x x x x x x x x⇔ + + = ⇔ + − =

( ) ( )sin sin 2 12sin sin 2 4 cos 2 1 cos 2 cos

44 cos 2 1 0

x x loai x x x x x

x −

⇔ + ⇔ ⇔ = =+ =

2 22

x k x k α⇔ = ±α + π ⇔ = ± + π (th ỏa mãn (2)) ( )n∈

Bài 11. Giải ph ươ ng trình: ( )12 tan cot 2 2sin 2 1sin 2 x x x x+ = +

Gi ả i

Điều ki ện: sin 2 02

k x x π≠ ⇔ ≠ (2)

Sử dụng: sin 2 sin cos 2 cos cos 1tan cot 2cos .sin 2 cos sin sin 2

x x c x x x x x x x x x

++ = = =

( ) ( ) ( )1 tan tan cot 2sin 2 tan cot x x x x x x⇔ + + = + +

( )2 2tan 4sin cos sin 4sin cos sin 1 4 cos 0 x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ − =

( )( ) ( )22

sin 021cos 2 2 21 2 3 3cos

4

x x x n x n n

x

=π π

⇔ → = − ⇔ = ± + π⇔ = ± + π ∈=


21/44


238

Bài 12.Giải ph ươ ng trình: 23 tan 6 2 tan 2 cot 4sin8

x x x x

− = − (1)

Gi ả i

ĐK: cos6 . sin8 0 x x ≠ , ( ) ( ) cos411 tan 6 2 tan 6 tan 2sin 4 cos 4 sin 4

x x x x x x x

⇔ + − = −

( )tan 6 2 tan 6 tan 2 tan 4 x x x x⇔ + − = ( ) ( )tan 6 tan 4 2 tan 6 tan 2 0 x x x x⇔ − + − =

( )sin 2 2sin 4 10 sin 2 4 0cos 6 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4 x x x x x x x x⇔ + = ⇔ + = . Do sin 8 0 x ≠ nênPhươ ng trình ch ỉ có nghi ệm ( )1cos 4 cos

4 4 2k x x k α π= − = α ⇔ = ± + ∈

Bài 13.Giải ph ươ ng trình: ( )23 tan 2 4 tan 3 tan 3 . tan 2 1 x x x x− =

Gi ả i

Điều ki ện:

{ } ( )cos 2 .cos3 0 ; | 2

4 2 6 3k k x x x k π π π π≠ ⇔ ∉ + + ∈

( ) ( ) ( )1 3 tan 2 3 tan 3 tan 3 1 tan 3 tan 2 3 x x x x x⇔ − = +

Nếu 1 tan 3 tan 2 0 x x+ = thì t ừ ( ) tan 2 tan 3 0

31 tan 3 tan 2 0

x x

x x

− =⇒

+ =

2

tan 2 tan 3

1 tan 3 0

x x

x

=⇔ ⇒

+ = Vô lý 1 tan 3 . tan 2 0 x x⇒ + ≠

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )3 tan 2 tan 31 3 tan 3 3 tan tan 3

1 tan 2 tan3 x x x x x

x x−

⇔ ⇔ = ⇔ − =+

( )3

3 22

3 tan tan 3 tan 3 tan tan 3 tan 1 3 tan1 3 tan

x x x x x x x x

−⇔ = − ⇔ − = − −

−

( )22 2

tan 0 tan 02 tan 5 tan 3 0 3tan tan

5

x x n x x

x x n

= = = π⇔ − = ⇔ ⇔

= = α = ±α + π (th ỏa mãn (2))

Bài 14.Giải ph ươ ng trình: ( )2 3 2 3tan tan tan cot cot cot 6 1 x x x x x x+ + + + + =

Gi ả i


k x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 21 tan cot tan cot tan cot 6 x x x x x x⇔ + + + + + =

( ) ( ) ( )3 2tan cot 3 tan cot tan cot tan cot x x x x x x x x⇔ + − + + + ( )tan cot 8 x x+ + =


22/44


239

( ) ( ) ( )3 2tan cot tan cot 2 tan cot 8 0 x x x x x x⇔ + + + − + − =

Đặt tan cot tan cot 2 tan cot 2 x x t t x x x x+ = ⇒ = + ≥ =

Khi đó ( ) ( )3 2 22 8 0 2 3 4 0t t t t t t + − − = ⇔ − + + =

( ) ( )2

3 7 22 0 2 tan cot 22 4 sin 2

t t t x x x

⇔ − + + = ⇔ = ⇔ + = =

sin 2 14

x x nπ⇔ = ⇔ = + π (th ỏa mãn (2)) ( )n∈

Bài 15.Giải ph ươ ng trình: ( )tan 2 tan 3 tan 5 tan 2 . tan 3 . tan 5 1 x x x x x x− − =

Gi ả i

Điều ki ện: ( )cos2 . cos3 . cos5 0 2 x x x ≠

( ) ( ) ( )1 tan 2 5 tan tan 3 1 tan 2 . tan 5 3 x x x x x⇔ − = + . N ếu 1 tan 2 . tan 5 0 x x+ = thì

từ ( ) tan 2 tan 5 031 tan 2 tan 5 0

x x x x

− =⇒ + = 2

tan 2 tan 51 tan 2 0

x x x

=⇔ ⇒+ =

Vô lý 1 tan 2 tan 5 0 x x⇒ + ≠

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )tan 2 tan 51 3 tan 3 tan 2 5 tan 3 tan 31 tan 2 t an5

x x x x x x x x x−

⇔ ⇔ = = − = − = −+

tan 3 03

k x x π⇔ = ⇔ = (th ỏa mãn (2)) ( )n∈

Bài 16.Giải ph ươ ng trình: ( )2 2 2 2tan 2 . tan 3 . tan 5 tan 2 tan 3 tan 5 1 x x x x x x= − +

Gi ả i

ĐK: ( )cos2 . cos3 . cos5 0 2 x x x ≠ ; ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 tan 3 tan 2 tan5 1 tan 3 tan 2 , 3 x x x x x⇔ − = −

Nếu 2 21 tan 3 . tan 2 0 x x− = thì t ừ ( )2 2

2 2

tan 3 tan 2 03

1 tan 3 . tan 2 0

x x

x x

− =⇒

− =

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

tan 3 tan 2 tan 2 1 cos 2 sin 2

tan 3 . tan 2 1 tan 3 1 cos 3 sin 3

x x x x x

x x x x x

= = = ⇔ ⇔ ⇔

= = =

cos 4 0

cos 6 0

x

x

=⇔

=

( )

2

2

2cos 2 1 0

cos 2 4cos 2 3 0

x

x x

− =⇔

− =

2

2

1cos 223cos 24

x

x

=⇔ ⇒

= Vô lý 2 21 tan 3 tan 2 0 x x⇒ − ≠

Khi đó ( ) ( ) tan 3 tan 2 tan 3 tan 2

1 3 tan 5 tan . tan 51 tan 3 . tan 2 1 tan 3 tan 2 x x x x

x x x x x x x− +

⇔ ⇔ = ⋅ =+ − ( )( ) ( )2tan 5 0 tan 5 0 tan 5 0

5tan 1 cos 2 0

x x k x x k x x

= = π⇔ ⇔ → = ⇒ = ∈

= ⇒ =


23/44


240

Bài 17.Giải ph ươ ng trình:2 2 21 1 1tan . tan 2 tan 2 . tan 4 tan 4 tan 8 tan 8 2

2 4 4 x x x x x x x+ + = −

Gi ả i

Điều ki ện: cos cos2 cos4 cos8 0 x x x x ≠ .Ta có

cot 2 cot 2 tana a a− = ⇒ 21 2 tan tan 2 2 tan tan tan 2tan tan 2

a a a a aa a

− = ⇔ − =

Khi đó: ( ) ( ) ( )1 1 1tan 2 2 tan tan 4 2 tan 2 tan 8 2 tan 4 tan 8 22 4 4

x x x x x x x− + − + − = −

( )tan 14

x x k k π⇔ = ⇔ = + π ∈ thỏa mãn điều ki ện.

Bài 18.Giải ph ươ ng trình: 2 2 2 2tan 4 tan 2 16 tan 4 64 cot 8 41 x x x x+ + = + (1)Gi ả i

Điều kiện: sin 8 0 x ≠ .Xét đẳng th ức cot 2 cot 2 tana a a− = . Đạo hàm 2 v ế của đẳng th ức này ta có

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

1 4 1 1 cot 4 1 cot 2 1 tansin sin 2 cos

a a aa a a

− + = ⇔ − − + + = +

2 2 24 cot 2 cot tan 2a a a⇔ − = − . Sử dụng đẳng th ức này ta có

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 tan 2 4 tan 2 2 16 tan 4 2 64 cot 8 1 x x x x⇔ − + − + − = −

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24cot 2 cot 4 4cot 4 cot 2 16 4cot 8 cot 4 64cot 8 1 x x x x x x x⇔ − + − + − = −

( )2cot 1 cot 1 4 2k x x x k π π⇔ = ⇔ = ± ⇔ = + ∈

Bài 19.Giải ph ươ ng trình:2 2 2

2 2 2sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18 0

cos 3 cos 9 cos 27 x x x x x x

x x x+ + =

Gi ả i

Điều ki ện: cos 27 0 x ≠ .

Ta có công th ức2

2 22

8sin cos2tan 3 tancos 3

a aa aa

− = . Bi ến đổi ph ươ ng trình ta có

2 2 2

2 2 2sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18 0

cos 3 cos 9 cos 27

x x x x x x

x x x+ + =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2tan 3 tan tan 9 tan 3 tan 27 tan 9 0 x x x x x x⇔ − + − + − = 2 2tan 27 tan x x⇔ = ( )27

26 28k k x x k x x k π π⇒ = ± + π⇔ = ∨ = ∈


24/44


241


25/44

Bài 7. S ử d ụ ng công th ứ c h ạ bậ c, góc nhân đ ôi, góc nhân ba

245

BÀI 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨ C HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔII. S Ử DỤNG CÔNG TH ỨC H Ạ BẬC

2 1 cos2sin ;2

x x −= 2 1 cos 2cos2

x x += ; 1sin cos sin 22

x x x= ; 2 1 cos2tan ;1 cos2

x x x

−=+

3 sin3 3sinsin 4 x x x − += ; 3 cos3 3coscos 4 x x x += ;

3 sin 3 3 sintan ;cos3 3cos x x x x x− += +

CÁC BÀI T ẬP M ẪU MINH H ỌA

Bài 1. Giải ph ươ ng trình: 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x− = − (1)Gi ả i

( ) 1 cos 6 1 cos 8 1 cos10 1 cos1212 2 2 2

x x x x− + − +⇔ − = −

cos 6 cos 8 cos10 cos12 2 cos 7 cos 2 cos11 cos x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ =

( ) cos 0

cos cos11 cos 7 0cos11 cos7

x x x x

x x

=⇔ − = ⇔

=( )

2 9

k k x x k π π⇔ = ∨ = ∈

Bài 2. a. Gi ải ph ươ ng trình: 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x x x x+ + + = (1)

b. Gi ải ph ươ ng trình: 2 2 2 2 3cos cos 2 cos 3 cos 42

x x x x+ + + = (2)

Gi ả i

a. ( ) 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos81 22 2 2 2

x x x x+ + + +⇔ + + + =

( ) ( )cos 2 cos8 cos 4 cos 6 0 2cos 5 cos 3 2 cos5 cos 0 x x x x x x x x⇔ + + + = ⇔ + =

( )2 cos 5 cos 3 cos 0 4 cos 5 cos 2 cos 0 x x x x x x⇔ + = ⇔ =

{ ( )cos 0 cos 2 0 cos 5 0 ;4 2 10 5k k x x x x k π π π π⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ + + ∈

b. ( ) 21 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 32 cos 42 2 2 2

x x x x+ + +⇔ + + + =

( ) 2 2cos 2 cos 6 cos 4 cos 4 0 2cos 4 cos 2 cos 4 2cos 4 02

x x x x x x x x+ +⇔ + = ⇔ + + =

( ) ( )2cos 4 2 cos 4 2 cos 2 1 0 cos 4 4 cos 2 2cos 2 1 0 x x x x x x⇔ + + = ⇔ + − =

( )

cos 4 coscos 4 0 8 421 5 2cos 2 cos 2 cos

4 5 54 21 5 cos 2 coscos2 5 54

k x x x

x x x k k

x x k x

π ππ = +==

− + π π⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + π ∈

π π− − = = ± + π =


26/44


246

Bài 3. a. Gi ải ph ươ ng trình: 2 4cos cos3 x x = (1)

b. Gi ải ph ươ ng trình: 2 3 41 2 cos 3cos5 5 x x+ = (2)

Gi ả i

a. ( ) 1 cos 2 4 41 cos 1 cos 2 2 cos2 3 3

x x x x+⇔ = ⇔ + = . Đặt 23 xt =

Khi đó: ( )3 21 cos 3 2cos 2 1 4cos 3cos 2 2 cos 1t t t t t + = ⇔ + − = −

( ) ( )3 2 24 cos 4cos 3cos 3 0 cos 1 4 cos 3 0t t t t t ⇔ − − + = ⇔ − − =

2

cos 1 cos 1

3 1cos2cos24

t t

t t

= = ⇔ ⇔

== ( )

2 2 33

342 2 4 23 3

xt k x k

k k x xt k

= = π = π⇔ ⇔ ∈π π= ± +π = = ± + π

b. ( )

( )6 42 1 1 cos 3cos5 5

x x⇔ + + = . Đặt 2

5

xt =

Khi đó: ( )3 22 cos 3 3cos 2 2 cos 3cos 3 2cos 1t t t t t + = ⇔ + − = −

( ) ( )3 2 24 cos 6cos 3cos 5 0 cos 1 4cos 2 cos 5 0t t t t t t ⇔ − − + = ⇔ − − − =

( )

2cos 1 cos 0 2 55

51 21 52cos cos 2 24 5

xt t k x k

k x k xt t k

= = = = π = π ⇔ ⇔ ⇔ ∈α− = ± + π= = α = = ±α + π

Bài 4. Giải ph ươ ng trình:

( ) ( )( )

4 44sin 2 cos 2 cos 4 1

tan tan4 4

x x x

x x

+ =π π

− +

Gi ả i

Điều ki ện:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2sin cos sin 2 cos 2 0

4 4 2 24 2

2sin cos sin 2 cos 2 04 4 2

x x x xk x

x x x x

π π π− − = − = ≠ π π

⇔ ≠ +π π π + + = + = ≠

Để ý r ằng: ( ) ( ) ( ) ( )tan tan tan cot 14 4 4 4 x x x xπ π π π− + = − − = Do đó v ớ i điều ki ện (2) thì ( ) 4 4 41 sin 2 sin 2 cos 4 x x x⇔ + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 24 41 cos 4 1 cos 4 cos 4 1 cos 4 1 cos 4 4 cos 42 2

x x x x x x− +⇔ + = ⇔ − + + =

4 2 22 cos 4 cos 4 1 0 cos 4 1 sin 4 02

k x x x x x π⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =


27/44


247

Bài 5. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( )4 4 7sin cos cot cot 18 3 6 x x xπ π+ = + − Gi ả i

Điều ki ện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22sin sin 2sin cos sin 2 03 6 3 3 3 x x x x xπ π π π π+ − = + + = + ≠ Để ý r ằng: ( ) ( ) ( ) ( )cot cot cot tan 13 6 3 3 x x x xπ π π π+ − = + ⋅ + = nên( ) ( ) ( )

24 4 7 1 cos 2 1 cos 2 71 sin cos

8 2 2 8 x x x x − +⇔ + = ⇔ + =

( ) ( ) ( )2 2 27 71 cos 2 1 cos 2 2 1 cos 22 2

x x x⇔ − + + = ⇔ + =

( )1 cos 4 7 11 cos 42 4 2 12 2

x n x x n+ π π⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± + ∈

Bài 6. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )4 4 4 9

sin sin sin4 4 8 x x xπ π

+ + + − =

Gi ả i

( ) ( )( ) ( )( )2 22

1 cos 2 91 11 cos 2 1 cos 22 2 2 2 2 8

x x x − π π

⇔ + − + + − − =

( ) ( ) ( )2 2 2 91 cos 2 1 sin 2 1 sin 22

x x x⇔ − + + + − =

2 294 cos 2 sin 2 2 cos 2 4 cos 2 1 02

x x x x⇔ − + = ⇔ + − =

( )2 6cos 2 cos 2 22 2 x x k x k k − + α⇔ = = α ⇔ = ±α + π⇔ = ± + π ∈

Bài 7. Giải ph ươ ng trình: 8 8 217sin cos cos 216

x x x+ = (1)

Gi ả i

( ) ( ) ( )4 4

21 cos 2 1 cos 2 171 cos 22 2 16

x x x− +⇔ + =

( ) ( )4 4 2cos 2 1 cos 2 1 17 cos 2 x x x⇔ + + − =

Đặt cos2t x= . Khi đó ph ươ ng trình ( ) ( )4 4 21 1 17t t t ⇔ + + − =

( ) ( )4 3 2 4 3 2 2 4 24 6 4 1 4 6 4 1 17 2 5 2 0t t t t t t t t t t t + + + + + − + − + = ⇔ − + =

( )2 2 1 cos41 1cos 2 cos 4 0 42 2 2 2 8 4

x k t x x x k x k + π π π⇔ = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π⇔ = + ∈


28/44


248

Bài 8. a. Gi ải ph ươ ng trình: ( )3 3 2cos cos 3 sin sin 3 14

x x x x+ =

b. Gi ải ph ươ ng trình: 3 3 3cos cos 3 sin sin 3 cos 4 x x x x x+ = (2)Gi ả i

3 cos3 3cos sin 3 3sincos cos3 sin sin 3 cos 3 sin 34 4

x x x x x x x x x x+ − ++ = ⋅ + ⋅

( ) ( )2 2 31 cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin4 4

x x x x x x= − + +

( ) ( )3 33 31 1cos 6 cos 3 4 cos 2 3cos 2 cos 2 cos 24 4 4 4

x x x x x x x= + − = − + =

a. ( ) ( )3

3 2 2 2 2 21 cos 2 cos 24 8 2 2 8

x x x k k π

⇔ = = = ⇔ = ⇔ = ± + π ∈

b. ( ) ( )3 3 4 2 2

2 cos 2 cos 4 cos 4 cos 234 2 2

x x k k x x x x x k x x k

= − + π π⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ∈

= + π

Bài 9. Giải ph ươ ng trình: 3 3 3 1cos . cos 3 sin . sin 3 cos 44

x x x x x− = +

Gi ả i

3 3 cos 3 3cos sin 3 3sincos .cos 3 sin sin 3 cos 3 sin 34 4

x x x x x x x x x x+ − +− = ⋅ − ⋅

( ) ( )2 2 3 31 1cos 3 sin 3 cos 3 cos sin 3 sin cos 44 4 4 4

x x x x x x x= + + − = +

3 331 1cos 4 cos 4 4 cos 4 3cos 4 0 cos12 04 4 4 24 12

k x x x x x x π π+ = + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = +

Bài 10. Giải ph ươ ng trình: ( )3 34 sin .sin 3 4 sin .cos 3 3 3 cos 4 3 1 x x x x x+ + =

Gi ả i

VT (1) ( ) ( )cos 3 3cos sin 3 sin 3 3sin cos 3 3 3 cos 4 x x x x x x x= + + − + +

( )3 sin 3 cos sin cos 3 3 3 cos 4 3sin 4 3 3 cos 4 x x x x x x x= + + = +

Khi đó ( ) 31 11 sin 4 3 cos 4 1 sin 4 cos 42 2 2

x x x x⇔ + = ⇔ + =

( )1cos sin 4 sin cos 4 sin 4 sin3 3 2 3 6 x x xπ π π π⇔ + = ⇔ + =

( )4 23 6 24 254 2

8 23 6

k x k x

k k x x k

π π π π + = + π = − +

⇔ ⇔ ∈ π ππ π = ++ = + π


29/44


249

II. SỬ DỤNG CÔNG THỨ C GÓC NHÂN ĐÔI

1. CÔNG TH ỨC S Ử DỤNG

( )

( )

2 2

2 2

2 2

sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin

sin 2 sin cos 1 cos 2 2cos 1

cos 2 1 2 sinsin 2 1 sin cos

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

= = −

= + − = −= −= − −

22

22

2 2

22tan tan , sintan 22 11 tan

2 1cot 1 tan , coscot22cot 1 1

x t x t x xt x

t t x x x x x t t

= == +−

−− = == − +

2. CÁC BÀI T ẬP M ẪU MINH H ỌA

Bài 1. Giải ph ươ ng trình: 4 6cos sin cos 2 x x x+ = (1)

Gi ả i ( ) ( ) ( )4 6 2 2 4 6 2 2 2 21 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x⇔ + = − ⇔ + = − +

4 6 4 4 6 4cos sin cos sin sin sin 0 x x x x x x⇔ + = − ⇔ + =

( ) ( )4 2sin sin 1 0 sin 0 x x x x k k ⇔ + = ⇔ = ⇔ = π ∈

Bài 2. Giải ph ươ ng trình: cos 2 5sin 2 0 x x+ + = (1)Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2sin 5sin 2 0 2sin 5sin 3 0 2sin 1 sin 3 0 x x x x x x⇔ − + + = ⇔ − − = ⇔ + − =

{ } ( )512sin 1 0 sin 2 ; 2

2 6 6 x x x k k k −π − π−⇔ + = ⇔ = ⇔ ∈ + π + π ∈

Bài 3. Giải ph ươ ng trình: 32sin cos 2 cos 0 x x x− + = (1)Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )3 2 21 2sin 1 2sin cos 0 2 sin 1 sin 1 cos 0 x x x x x x⇔ − − + = ⇔ + − − =

( ) ( )[ ]1 cos 1 2sin cos 2 sin cos 0 x x x x x⇔ − + + + =

( ) ( ) ( )21 cos sin cos 2 sin cos 0 x x x x x ⇔ − + + + = ( ) ( ) ( )1 cos sin cos sin cos 2 0 x x x x x⇔ − + + + =

( )( )

1 cos 0 cos 12sin cos 0 tg 1

24sin cos 2 sin 2

4

x x x k

x x x k x k

x x x

− = = = π ⇔ + = ⇔ = − ⇔ ∈−π = + π + = − π + = −


30/44


250

Bài 4. Giải ph ươ ng trình: 4 6cos cos 2 2sin 0 x x x− + = (1)Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 6 2 2 2 41 cos 1 2sin 2sin 0 cos 1 cos 1 2sin 1 sin 0 x x x x x x x⇔ − − + = ⇔ − + + + =( ) ( ) ( )2 4 2 2 4 2sin 2 1 sin cos 1 0 sin 2 sin sin 0 x x x x x x ⇔ + − + = ⇔ + =

( ) ( )4 2 4sin 2 sin 1 0 sin 0 sin 0 x x x x x k k ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = π ∈

Bài 5. Giải ph ươ ng trình: 4 cos 2 cos 2 cos 4 1 x x x− − = (1)Gi ả i

( ) ( )1 4 cos 2 cos 2 cos 4 1 0 x x x⇔ − − + = ( )2 cos 2 2 cos 2 .cos 0 x x x⇔ − =

( )[ ]cos 0

2 cos 2 cos 3 cos 0 cos 1

cos 3 1

x

x x x x

x

=

⇔ − + = ⇔ = =

cos 02

cos 1 2

x k x

x x

π= + π=⇔ ⇔

= = π

Bài 6. Giải ph ươ ng trình:3 3

sin cos cos 2 x x x+ = (1)Gi ả i

(1) ( )( ) ( ) ( )2 2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x⇔ + + − = + −

( ) ( )[ ]cos sin 1 cos sin cos sin 0 x x x x x x⇔ + − − − =

a) Xét ( )cos sin 0 tg 14

x x x x k k −π+ = ⇔ = − ⇔ = + π ∈

b) Xét sin cos cos sin 1 0 x x x x− − + = (2)

Đặt ( ) 21sin cos 2 sin 2, 2 sin cos4 2t t x x x x xπ − = − = − ∈ − ⇒ = . Khi đó

(2) ( )22 1 2 0t t ⇔ − − + = ( ) { }311 sin 2 ; 24 22t x x k k π π−⇔ = − ⇔ − = ⇔ ∈ π + π Bài 7. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )2 21 sin sin cos sin 2 cos 12 2 4 2

x x x x x π+ − = −

Gi ả i

( ) ( )21 1 sin sin cos sin 1 cos 1 sin2 2 2 x x x x x xπ⇔ + − = + − = +

( ) ( )sin sin cos sin 1 0 sin sin cos 2sin cos 1 02 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x ⇔ − − = ⇔ − − =

( ) ( )( )2 2

sin sin 2sin 1 sin 1 0 sin sin 1 2sin 2sin 1 02 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x

⇔ − − − = ⇔ − + + =

( ) ( )2

2sin sin 1 sin sin 1 02 2 2 x x x x

⇔ − + + = ( ) x k k ⇔ = π ∈


31/44


251

Bài 8. Giải ph ươ ng trình: ( )sin 4 cos 4 1 4 sin cos x x x x− = + − (1)Gi ả i

( ) ( ) ( )21 sin 4 1 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos 2 2cos 2 4 cos sin x x x x x x x x x⇔ = + + − ⇔ = − −( )( ) ( )2 22 cos sin cos 2 sin 2 4 cos sin 0 x x x x x x⇔ − − − − =

( ) ( ) ( )[ ]2 cos sin cos sin cos 2 sin 2 2 0 x x x x x x⇔ − + − − =

Xét cos sin 0 tg 14

x x x x k π− = ⇔ = ⇔ = + π

Xét ( ) ( ) ( ) ( )cos sin cos 2 sin 2 2 0 2cos cos 2 2 04 4 x x x x x xπ π+ − − = ⇔ − + − =

( ) ( )cos3 cos 2 cos3 sin 22 x x x xπ⇔ + + = ⇔ + − =

( )2

sin 1 cos 0sin 1

cos 3 1 cos 4cos 3 1

x x x

x x x

= − ⇒ =− =⇔ ⇔ ⇒

= − = Vô lý

Kết luận: Ph ươ ng trình ch ỉ có nghi ệm4

x k π= + π ( )k ∈

Bài 9. Giải ph ươ ng trình: 2 cos 2 tan2 x x+ = (1)

Gi ả i

Sử dụng công th ức2

21cos1

t xt

−=+

vớ i tan2 xt = , khi đó ta có

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 22

1 tan21 2 2 tan 2 1 tan 1 tan 2 tan 1 tan2 2 2 2 21 tan2

x x x x x x

x

−⇔ + = ⇔ + + − = +

+

( )( )3 2 22 tan tan 2 tan 3 0 tan 1 2 tan tan 3 02 2 2 2 2 2 x x x x x x

⇔ − + − = ⇔ − + + =

( ) ( )2

21 11tan 1 tan tan 0 tan 1 0 tan 1 22 2 2 2 4 2 2 2 x x x x x x k

π⇔ − + + + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + π

Bài 10. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )1 tan 1 sin 2 1 tan x x x− + = + (1)Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 222tan1 1 tan 1 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan1 tan x x x x x x x

x ⇔ − + = + ⇔ − + = + +

+

( )22 tan 1 tan 0 x x⇔ + = { }tan 0 tan 1 ; 4 x x x k k −π⇔ = ∨ = − ⇔ ∈ π + π


32/44


252

Bài 11. Giải ph ươ ng trình: ( )1 3 tan 2sin 2 1 x x+ =

Gi ả i

( ) ( )( )22

2 tan1 1 3 tan 2 1 3 tan 1 tan 4 tan1 tan

x x x x x x

⇔ + = ⋅ ⇔ + + =+

( ) ( )2tan 1 3 tan 2 tan 1 0 x x x⇔ + − + = tan 1 0 tan 14

x x x k −π⇔ + = ⇔ = − ⇔ = + π

Bài 12. Giải ph ươ ng trình: cot tan 2 tan 2 x x x= + (1)Gi ả i

( ) ( )2 22 2

2 22 tan 1 tan 4 tan11 tan 2 1 tan 4 tan

tan tan1 tan 1 tan x x x x x x

x x x x−

⇔ = + ⋅ ⇔ = ⇔ − =− −

21,2

21,2

tan 1 2 tantan 2 tan 1 0

tan 2 tan 1 0 tan 1 2 tan

x x x

x x x

= − ± = α + − =⇔ ⇔

− − = = ± = β ( )1,2

1,2

x k k

x k

= α + π⇔ ∈

= β + π

Bài 13. Giải ph ươ ng trình: ( )( ) ( )2 2 21 tan 1 tan 2 1 tan 4 8 x x x− − − = (1)Gi ả i

ĐK: cos cos 2 cos 4 0 x x x ≠ ; ( )2 2 2

2 tan tan1 1141 tan 1 tan 1 tan 4

x x

x x x

⇔ =

− − −

2 2tan1 1tan 2 tan8 tan 8

4 71 tan 2 1 tan 4

x x x x x x k x k x x

π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π⇔ =

− −

Bài 14. Giải ph ươ ng trình: ( )( ) ( )2 2 2cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8 x x x x− − − = Gi ả i

ĐK: sin 8 0 x ≠ khi đó bi ến đổi ( ) ( )( )2 2 2cot 1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8 x x x x− − − =

2 2 2tan82 2 2cot cottan1 tan 1 tan 2 1 tan 4

x x x x x x x

⇔ = ⇔ =

− − −

( )tan 8 1 84 32 8

x x k x k k π π π⇔ = ⇔ = + π⇔ = + ∈

Bài 15. Giải ph ươ ng trình: ( )( ) ( )2 2 21 tan 1 tan 2 1 tan 4 8cot 8 x x x x− − − = (1)Gi ả i

ĐK: sin 8 0 x ≠ . ( ) 2 2 22tan 2 21 cot 8 tan1 tan 1 tan 2 1 tan 4 x

x x x x x ⇔ = − − −

( )cot 8 tan 8 tan tan 14

x x x x x k k π⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈


33/44


253

III. SỬ DỤNG CÔNG THỨ C GÓC NHÂN BA1. CÔNG TH ỨC S Ử DỤNG

2 3sin 3 3sin 4 sin ; cos3 4 cos 3cos x x x x x x= − = − 2. CÁC BÀI T ẬP M ẪU MINH H ỌA

Bài 1. Giải ph ươ ng trình: sin 3 sin 2 5 sin x x x+ = (1)Gi ả i

( ) ( )3 21 3sin 4sin 2 sin cos 5sin sin 3 4 sin 2 cos 5 0 x x x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + − =

( ) ( )2sin 2 cos cos 3 0 sin 0 cos 1 x x x x x x k k ⇔ + − = ⇔ = ∨ = ⇔ = π ∈

Bài 2. Giải ph ươ ng trình: sin 3 sin 2 2sin 0 x x x+ + = (1)Gi ả i

( ) ( )3 21 3sin 4sin 2 sin cos 2sin 0 sin 4 sin 2 cos 5 0 x x x x x x x x⇔ − + + = ⇔ − + + =

( )2sin 4 cos 2 cos 1 0 sin 0 x x x x x k ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = π

Bài 3. Giải ph ươ ng trình: 2cos3 cos 2 sin 2 x x x+ + = (1)Gi ả i

( ) ( ) ( )3 2 21 4 cos 3cos 2 cos 1 1 cos 2 x x x x⇔ − + − + − =

( ) ( )2cos 1 4 cos 5cos 2 0 cos 1 2 x x x x x k ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = π

Bài 4. Giải ph ươ ng trình: 2sin 3 sin 2 cos 0 x x x+ − = (1)Gi ả i

( ) ( ) ( )3 21 3sin 4sin sin 2 1 sin 0 x x x x⇔ − + − − =

( ) ( )3 2 22sin sin 2 sin 1 0 sin 1 2sin sin 1 0 x x x x x x⇔ − − + = ⇔ − + − =

{ } ( )51sin 1 sin ; 2 ; 22 2 6 6 x x x k k k k π π π⇔ = ± ∨ = ⇔ ∈ + π + π + π ∈ Bài 5. Giải ph ươ ng trình: 2 3cos10 2 cos 4 6 cos 3 cos cos 8 cos cos 3 x x x x x x x+ + = +

Gi ả i

( )3cos10 cos 8 1 cos 8 cos cos 3 6 cos 3 cos x x x x x x x⇔ + + = + −

( )3cos10 cos8 1 cos 2 cos 4 cos 3cos 3 x x x x x x⇔ + + = + − ( )2cos 9 cos 1 cos 2 cos .cos 9 cos 1 2 x x x x x x x k k ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = π ∈


34/44


254

Bài 6. Giải ph ươ ng trình: 632 cos cos 6 1 x x− = (1)Gi ả i

( ) ( ) ( )3 31 4 1 cos 2 4 cos 2 3cos 2 1 x x x⇔ + − − =

( ) ( )24 cos 2 5cos 2 1 0 cos 2 1 4 cos 2 1 0 x x x x⇔ + + = ⇔ + + =

( )1cos 2 1 cos 2 cos4 2 2

x x x k x k k π α⇔ = − ∨ = − = α ⇔ = + π ∨ = ± + π ∈

Bài 7. Giải ph ươ ng trình: ( )22sin 3 1 4sin 1 x x− = (1)Gi ả i


( )

2

3

cos 0 sin 1 sin 1

6 16 3sin 4sin 1

x x x

x x

= ⇔ = = ±⇔ ⇒

± =− − = Vô lý

Nhân 2 v ế của (1) v ớ i cos 0 x ≠ ta có:( ) ( ) ( )2 31 2sin 3 1 4 1 cos cos cos 2 sin 3 4cos 3cos cos x x x x x x x x ⇔ − − = ⇔ − =

( )2 sin 3 .cos 3 cos sin 6 sin 2 x x x x xπ⇔ = ⇔ = − { 2 2;14 7 10 5k k x π π π π⇔ ∈ + +

Bài 8. Giải ph ươ ng trình: 1 12sin 3 2cos 3sin cos

x x x x

− = + (1)

Gi ả i

Điều ki ện: ( )sin .cos 0 sin 2 0 22

k x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

( ) ( ) 1 11 2 sin 3 cos 3sin cos

x x x x

⇔ − = +

( ) ( )2 3 sin cos2 3sin 4sin 4cos 3cossin cos

x x x x x x x x+ ⇔ − − − =

( ) ( ) ( )2 2 sin cos2 3 sin cos 4 sin cos sin cos sin cossin cos

x x x x x x x x x x x x+ ⇔ + − + + − =

a) Xét sin cos 0 tg 14

x x x x k π+ = ⇔ = − ⇔ = − + π (th ỏa mãn (2))

b) Xét ( )[ ]2sin cos 3 4 1 sin cos 1 x x x x− − = ( )sin 2 2sin 2 1 1 x x⇔ − =

22sin 2 sin 2 1 0 x x⇔ − − = { 7; ;4 12 12 x k k k π π π⇔ ∈ + π − + π + π Kết luận: { }; ; |4 2 12 12

k x k k k π π π π∈ + − + π + π ∈


35/44


255

Bài 9. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )3 31sin sin10 2 2 10 2 x xπ π− = +

Gi ả i

Đặt 3 3310 2 10 2

xt t π π π= − ⇒ π − = + . Khi đó ph ươ ng trình

( ) 32sin sin 3 sin 3 2sin 3sin 4sint t t t t t ⇔ = π − = ⇔ = − ( )2sin 1 4 sin 0t t ⇔ − =

( )sin 2 cos 2 1 0t t ⇔ − = { }3 14 42 ; 2 ; 25 5 5 x k k k π π π⇔ ∈ − π + π + π Bài 10. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )sin 3 sin 2 .sin4 4 x x xπ π− = +

Gi ả i

Đặt4

t x π= + thì ph ươ ng trình ( ) ( )sin 3 sin 2 sin2t t t π⇔ − π = − ( ) ( )sin 3 sin 2 sin sin 3 cos 2 sint2t t t t t π⇔ − π − = − − ⇔ =

( )3 23sin 4sin cos 2 .sin sin 3 4sin cos 2 0t t t t t t t ⇔ − = ⇔ − − = ( ) ( )2sin 1 2 1 2 sin cos 2 0 sin 1 cos 2 0t t t t t ⇔ + − − = ⇔ + =

sin 0 4 4cos 2 1 2 2 2

2 4

t x k x k t

t t x k x k

π −π = + = π = + π= ⇔ ⇔ ⇔ = − π π = + = π + π = + π

Bài 11. Giải ph ươ ng trình: ( )38cos cos33 x xπ+ = Gi ả i

Đặt 3 3 cos 3 cos 33 3

t x x t x t x t π π= + ⇒ = − ⇒ = − π⇒ = −

Khi đó ph ươ ng trình 3 38cos cos 3 3cos 4 cost t t t ⇔ = − = − ( )3 212 cos 3cos 0 3cos 4cos 1 0t t t t ⇔ − = ⇔ − =

{ }2cos 0 cos 0

2; ;1 1 6 3cos cos 24 2

t t

x k k k t

= = π − π ⇔ ⇔ ⇔ ∈ + π + π π

= = −

Bài 12. Tìm a để: 2 2cos 4 cos 3 sin x x a x= + (1) có nghi ệm ( )0, 12 x π∈ Gi ả i

Biến đổi ( ) ( )1 cos 21 cos61 cos 4

2 2a x x x −+⇔ = +


36/44


256

( ) ( )2 32 2 cos 2 1 1 4 cos 2 3cos 2 1 cos 2 x x x a x⇔ − = + − + −

( ) ( )3 24 cos 2 4cos 2 3 cos 2 3 0 x x a x a⇔ − − + + + =

( ) ( )( )2cos 2 1 4 cos 2 3 0 x x a⇔ − − + = . V ớ i ( )0, 12 x π∈ thì ( )3 cos2 1, 2 0,2 6 x x π< < ∀ ∈

Do đó yêu c ầu bài toán2

23 3cos 2 1 3 3 4 0 12 4

a x a a +

⇔ < = < ⇔ < + < ⇔ < <

Bài 13. Giải ph ươ ng trình: 4cos 6 cos 4 cos 2 3 4 sin x x x x+ + = + (1)Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )23 21 4cos 2 3cos 2 2cos 2 1 cos 2 3 1 cos 2 x x x x x⇔ − + − + = + −

( ) ( )3 2 24 cos 2 cos 2 5 0 cos 2 1 4 cos 2 5cos 2 5 0 x x x x x⇔ + − = ⇔ − + + = 2cos 2 1 4 cos 2 5cos 2 5 0 x x x⇔ = ∨ + + = (vô nghi ệm) ( ) x k k ⇔ = π ∈

Bài 14. Giải ph ươ ng trình: 4 2cos 6 1 8sin sin 2 x x x= + + (1)Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )23 21 4 cos 2 3cos 2 1 2 1 cos 2 1 cos 2 x x x x⇔ − = + − + −

( ) ( )3 2 24 cos 2 cos 2 cos 2 4 0 cos 2 1 4 cos 2 3cos 2 4 0 x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + + = 2cos 2 1 4 cos 2 3cos 2 4 0 x x x⇔ = ∨ + + = (vô nghi ệm) ( ) x k k ⇔ = π ∈ .

Bài 15. Giải ph ươ ng trình: ( )sin 3 cos 3 2 sin cos 1 x x x x− + + = (1)Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )3 31 3sin 4sin 4 cos 3cos 2 sin cos 1 x x x x x x⇔ − − − + + =

( ) ( ) ( )4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1 x x x x x x⇔ − + − + + = . Đặt sin cos , 2t x x t = + ≤

( ) ( )( ) {2 22 1 1 1 2 2 1 0 1 2 ; 22t t t t t t t x k k π⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ ∈ π + π Bài 16. Giải ph ươ ng trình: 2 cos3 sin 2 cos 0 x x x+ + = (1)

Gi ả i

( ) ( )3 31 2 4cos 3cos 2sin cos cos 0 8cos 2sin cos 5cos 0 x x x x x x x x x⇔ − + + = ⇔ + − =( ) ( )2 2cos 8cos 2sin 5 0 cos 8sin 2 sin 3 0 x x x x x x⇔ + − = ⇔ − − = ( ) ( ) 31cos 4sin 3 2sin 1 0 cos 0 sin sin sin

2 4 x x x x x x⇔ − + = ⇔ = ∨ = − ∨ = = α

{ ( )5; 2 ; 2 ; 2 ; 22 6 6 x k k k k k k π π π⇔ ∈ + π − + π − + π α + π π − α + π ∈


37/44


257


38/44

Bài 10. Bi ế n đổ i tổ ng, hi ệu thành tích, tich thành t ổ ng

257

BÀI 4. BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCHI. Sử dụng công thứ c biến đổi tổng, hiệu thành tích

sin sin 2 sin cos ; sin sin 2 cos sin2 2 2 2

a b a b a b a ba b a b+ − + −+ = − =

cos cos 2cos cos ; cos cos 2sin sin2 2 2 2

a b a b a b a ba b a b+ − + −+ = − = −

Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1. Giải ph ươ ng trình: ( )sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2 1 x x x x x+ + = + +

Gi ả i

( ) ( ) ( )1 sin 2 sin sin 2 1 cos 2 cos x x x x x⇔ + + = + +

( ) ( )22sin 2 cos sin 2 2 cos cos sin 2 2cos 1 cos 2 cos 1 x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = +

( ) ( )

{ 2 5cos 2 cos 1 2sin 1 0 ; 2 ; 2 ; 2

2 3 6 6 x x x x k k k k π π π π⇔ + − = ⇔ ∈ + π ± + π + π + π

Bài 2. Giải ph ươ ng trình: ( )1 cos cos 2 cos 3 0 1 x x x+ + + =

Gi ả i

( ) ( ) ( ) 23 31 cos 2 cos 1 cos 3 0 2cos cos 2cos 02 2 2 x x x x x x⇔ + + + = ⇔ + =

( )3 3 32cos cos cos 0 4 cos cos .cos 02 2 2 2 2 x x x x x x⇔ + = ⇔ = { }2;2 3 3

k x k π π π⇔ ∈ + π +

Bài 3. Giải ph ươ ng trình: ( )cos10 cos8 cos 6 1 0 1 x x x− − + =

Gi ả i ( ) ( ) ( )1 cos10 cos 6 1 cos8 0 x x x⇔ − + − =

22 sin 8 sin 2 2 sin 4 4 sin 4 cos 4 sin 2 4 sin 4 sin 2 cos 2 0 x x x x x x x x x⇔ − + = − + =

( )4 sin 4 sin 2 cos 4 cos 2 0 8 sin 4 sin 2 sin 3 sin 0 x x x x x x x x⇔ − − = ⇔ =

{ }sin 3 0 sin 4 0 ;3 4k k x x x π π⇔ = ∨ = ⇔ ∈

Bài 4. Giải ph ươ ng trình: ( )9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8 1 x x x x+ − + =

Gi ả i

( ) 21 9sin 6 cos 6sin cos 1 2 sin 8 x x x x x⇔ + − + − = ( ) ( ) ( ) ( )29sin 6cos 1 sin 2sin 7 0 6cos 1 sin 1 sin 2sin 7 0 x x x x x x x x⇔ + − − − = ⇔ − + − − =

( ) ( )1 sin 6cos 2 sin 7 0 x x x⇔ − + − =


39/44


258

a) Xét 1 sin 0 sin 1 22

x x x k π− = ⇔ = ⇔ = + π

b) Xét: ( )6cos 2sin 7 0 2 2sin 6 cos 7 x x x x+ − = ⇔ + =

Do ( )2 2 2 2 2 22 6 40 49 7 2a b c+ = + = < = = ⇒ vô nghi ệm

Vậy nghi ệm c ủa (1) là( )

22 x k k π

= + π ∈

Bài 5. Giải ph ươ ng trình: ( )1 sin cos 3 cos sin 2 cos 2 1 x x x x x+ + = + +

Gi ả i

( ) ( ) ( )1 1 cos 2 cos 3 cos sin sin 2 0 x x x x x⇔ − + − + − =

( )22sin 2sin 2 sin sin 2sin cos 0 sin 2sin 2sin 2 1 2cos 0 x x x x x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + − =( ) ( )[ ] ( ) ( )sin 2sin 1 2 cos 1 2cos 0 sin 1 2 cos 2sin 1 0 x x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + =

{ }71 1sin 0 cos sin ; 2 ; 2 ; 22 2 3 6 6 x x x x k k k k π π π⇔ = ∨ = ∨ = − ⇔ ∈ π ± + π − + π + π Bài 6. Giải ph ươ ng trình: ( ) 1sin 4 sin 3 sin =6 2 x x xπ − + + (1)

Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )1 sin 3 sin sin 4 sin 0 2sin 2 cos 2cos 2 sin 2 06 6 6 x x x x x x xπ π π⇔ + + − − = ⇔ − − = ( ) { 22sin 2 cos cos 2 0 ; 26 18 3 6

k x x x x k π π π π ⇔ − − = ⇔ ∈ + + π

Bài 7. Giải ph ươ ng trình: ( ) 1cos 2 2cos3 2 x xπ − + = − (1)Gi ả i

( ) ( )1 cos 2 cos cos cos 03 3 x x xπ π⇔ − + + + = ( ) ( ) ( ) { }3 22 cos cos cos 0 2 ;6 2 6 2 6 2 3 2

x x x x k k π π π π π ⇔ − − + + = ⇔ ∈ − + π + π

Bài 8. Giải ph ươ ng trình: 2 sin cos 3 sin 2 1 sin 4 x x x x+ + = + (1)Gi ả i

( )1 2sin cos 3 1 sin 4 sin 2 2sin cos 3 1 2cos 3 sin x x x x x x x x⇔ + = + − ⇔ + = + ( ) ( ) { }5 212sin 1 cos3 1 0 sin cos3 1 2 ; 2 ;2 6 6 3

k x x x x x k k π π π⇔ − − = ⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + π + π

Bài 9. Giải ph ươ ng trình: 1 sin cos 2 tancos

x x x x

+ + = + (1)

Gi ả i

( ) ( )( )11 sin cos 1 1 0 2cos x x x k x⇔ + − − = ⇔ = π


40/44


259

II. SỬ DỤNG CÔNG TH Ứ C BI ẾN ĐỔI TÍCH THÀNH T ỔNG1. Công thứ c sử dụng

( ) ( )sin sin cos cosa b a b a b= − − + ; ( ) ( )cos .cos cos cosa b a b a b= − + +

( ) ( )sin cos sin sina b a b a b= + + − ; ( ) ( )cos sin sin sina b a b a b= + − −


Bài 1. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )sin 3 cos sin 3 2 1 x x x+ = Gi ả i

( ) ( ) ( )311 sin sin 3 3 cos sin 3 2 cos 2 cos 4 sin 4 sin 2 22 2

x x x x x x x x⇔ + = ⇔ − + + =

3 31 1cos 2 sin 2 cos 4 sin 4 22 2 2 2

x x x x

⇔ + − − =

( ) ( ) ( ) ( )cos 2 cos 4 3 cos 2 cos 4 1

3 3 3 3

x x x xπ π π π⇔ − − + = ⇔ − = − + =6

x k π⇔ = + π

Bài 2. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( )4 cos .sin sin cos 2 16 6 x x x xπ π+ − = Gi ả i

( ) ( ) ( ) ( )1 2 cos 2sin sin cos 2 2 cos cos 2 cos cos 26 6 3 x x x x x x xπ π π

⇔ + − = ⇔ − =

12cos .cos 2 2 cos cos 2 cos 3 cos cos cos 22

x x x x x x x x⇔ − ⋅ = ⇔ + − =

( )2cos 3 cos 25

k x x x k π⇔ = ⇔ = ∈

Bài 3. Giải ph ươ ng trình: 3 18sincos sin

x x x

= + (1)

Gi ả i


k x x x x π≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

Vớ i điều ki ện (2) thì (1) ( )8sin sin cos 3 sin cos x x x x x= +

( )sin sin 2 3 sin cos 2 cos cos3 3 sin cos x x x x x x x x⇔ = + ⇔ − = +

31cos 3 sin 2 cos 3 cos sin cos 32 2 x x x x x x⇔ − = ⇔ − =

( )cos cos sin sin cos 3 cos cos 33 3 3 x x x x xπ π π⇔ − = ⇔ + = { };12 2 6n x nπ π π⇔ ∈ − + + π


41/44


260

Bài 4. Giải ph ươ ng trình: ( )cos 3 . tg 5 sin 7 1 x x x=

Gi ả i

Điều ki ện: ( )cos5 0 5 22 10 5

k x x k xπ π π≠ ⇔ ≠ + π⇔ ≠ +

Vớ i điều ki ện (2) thì ( ) sin51 cos3 sin 7cos5

x x x x

⇔ ⋅ =

2 sin 5 cos 3 2 sin 7 cos 5 sin 8 sin 2 sin12 sin 2 x x x x x x x x⇔ = ⇔ + = +

{ }12 8 2sin 8 sin12 ;2 20 1012 8 2 x x k n n x x x

x k

= + π π π π⇔ = ⇔ ⇔ ∈ +

= π − + π

Thử các nghi ệm v ừa tìm vào điều ki ện (2):10 5

k x π π≠ +

Vớ i2

n x π= , xét ph ươ ng trình 5 1 22 10 5

n k n k π π π= + ⇔ = +

( ) ( )5 2 1 5 2 5 1 2 2 5 1 2 2n k n k n k − = ⇔ − = × − × ⇔ − = − ( )2 15 2

n mm

k m= +

⇔ ∈= +

Từ đó suy ra để thỏa mãn (2) thì ( ) x m m= π ∈

Vớ i20 10

n x π π= + , xét ph ươ ng trình10 5 10 20

k nπ π π π+ = +

( )4 2 1 2 2 2 1k n n k ⇔ + = + ⇔ − = vô nghi ệm ,n k ∈

Suy ra nghi ệm20 10

n x π π= + thỏa mãn điều ki ện (2)

Bài 5. GPT: ( ) ( ) ( ) ( )2 4sin sin sin 4 3cos cos cos 23 3 3 3 x x x x x xπ π π π+ − + + + = (1)Gi ả i

( ) ( )21 2sin cos 2 cos 2 3 cos cos 2 cos 23 3

x x x xπ π ⇔ − − + π + =

( )12sin cos 2 sin 2 3 cos cos 2 22 x x x x⇔ + − − + = ( ) ( )sin 3 sin sin 3 sin 3 cos 3 cos 2 x x x x x x⇔ − + + + − =

31sin 3 3 cos 3 2 sin 3 cos 3 12 2

x x x x⇔ + = ⇔ + =

( )cos cos 3 sin sin 3 1 cos 3 16 6 6 x x xπ π π⇔ + = ⇔ − = 23 2 3 2

6 6 18 3k x k x k xπ π π π⇔ − = π⇔ = + π ⇔ = +


42/44


261

Bài 6. Giải ph ươ ng trình: ( ) ( )22sin 3 1 4sin 1 1 x x− =

Gi ả i

Nếu cos 0 x = là nghi ệm c ủa (1) thì sin 1 x = ± khi đó

( ) ( ) ( )3 21 2 3sin 4 sin 1 4 sin 6VT x x x= − − = ± ⇒ Vô lý

Nhân 2 v ế của (1) v ớ i cos 0 x ≠ ta có

( ) ( ) ( )2 21 2sin 3 1 4 sin cos cos 2 sin 3 1 4 1 cos cos cos x x x x x x x x ⇔ − = ⇔ − − =

( ) ( )32sin 3 4cos 3cos cos 2sin 3 .cos 3 cos sin 6 cos sin 2 x x x x x x x x x xπ⇔ − = ⇔ = ⇔ = = −

( )

26 214 72

6 22 10 5

k x x x k

k k x x k x

π ππ = += − + π⇔ ⇔ ∈

π π π= + + π = +

Bài 7. Giải ph ươ ng trình: cos 2 cos 4 cos 6 cos .cos 2 . cos 3 2 x x x x x x+ + = + (1)Gi ả i

( ) ( )11 cos 2 cos 4 cos 6 cos3 cos cos3 22

x x x x x x⇔ + + = + +

21 1cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos3 22 2

x x x x x x⇔ + + = + +

( ) ( )1 1cos3 cos 4 cos 6 1 cos 6 cos 4 cos 2 24 4

x x x x x x⇔ + + = + + + +

( )3 9cos 2 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4 cos 6 34 4

x x x x x x⇔ + + = ⇔ + + =

cos 2 cos 4 cos 6 1 cos 2 1 x x x x x k ⇔ = = = ⇔ = ⇔ = π

Bài 8. Giải ph ươ ng trình:

pt luonggiac

Documents