TD Torsion des poutres droites

Exercice n°1 : Arbre simple On transmet une puissance de 45 kW à 1000 tr/min ave un arbre qui est en fait un tube d’acier. Son diamètre extérieur est D = 36 mm et son diamètre intérieur est d = 28 mm.

1. Calculer la contrainte maximale. 2. Calculer l’angle unitaire de torsion.

Exercice n°2 : Essai de torsion Un essai statique de torsion effectué sur un cylindre d’acier de diamètre d = 10 mm a donné les résultats suivants :

Sous l’action d’un couple de torsion C = 37 N.m, l’angle de déformation relatif à deux sections droites distantes de 200 mm est θ = 5°10’ La limite élastique est atteinte sous un couple de 39,5 N.m

1. Déterminer le module d’élasticité transversal du matériau. 2. Déterminer la résistance limite élastique. 3. Déterminer l’angle de torsion unitaire correspond à la limite élastique.

Exercice n°3 : Comparaison entre un arbre plein et un arbre creux Deux arbres en acier, l’un plein de diamètre d, l’autre creux de diamètres D et 0,8 D, ayant la même longueur doivent transmettre le même couple. Calculer le rapport de leur masse dans les cas suivants :

a) La contrainte maximale est la même pour les deux arbres b) L’angle de torsion unitaire est le même pour les deux arbres.

Exercice n°5 : Ressort de hélicoïdal Le croquis ci-contre représente un ressort hélicoïdal. On a isolé un tronçon de spire d’angle dϕ. D = diamètre de la spire d = diamètre du fil Lorsque l’on charge le ressort (F), la section Σ tourne d’un angle dθ. Ceci correspond à un écrasement df du ressort.

1. Calculer la flèche du ressort si celui-ci comporte n spires entières.

2. Calculer la rigidité k du ressort. 3. Calculer la contrainte maximale.

dϕ

D/2

dθ df

F

Σ

Exercice n°6 : Torsion d’un arbre étagé On considère un arbre en acier (G = 80 000 N.mm−2) de longueur L = 1, 2 m étagé en trois morceaux de diamètres respectifs 40, 30 et 20 mm. Cet arbre est sollicité en torsion pure par un couple Mt. On négligera ici les concentrations de contraintes relatives aux changements de diamètre.

1. Décrire et donner l’expression dans une section droite S de cet arbre. 2. Quelle doit être l’intensité du couple de torsion Mt pour que les sections extrêmes SA

et SD tournent de 1° l’une par rapport à l’autre ? 3. Tracer le diagramme des angles de torsion le long de l’arbre. 4. Calculer la contrainte maximale subie par l’arbre.

Exercice n°7 : Étude d’une transmission de motrice ferroviaire Du fait de l’évolution des ensembles moteurs/boîtes de vitesses sur les motrices ferroviaires on retrouve sur nombre d’entre elles une configuration où la sortie de la puissance n’est plus centrée dans la largeur de la motrice. L’implantation de la boîte de vitesse en position transversale conduit à ce que les deux arbres qui transmettent la puissance depuis la sortie de la boîte de vitesse jusqu’aux roues de la motrice ne soient pas de même longueur. On notera Ld et Lg les longueurs respectives des arbres de droite et de gauche. On suppose que Lg > Ld. On suppose que chaque arbre est soumis uniquement au même moment torsion, et on notera Mt ce moment.

1. Déterminer pour chaque arbre la relation liant la différence d’angle de rotation entre la sortie de la boite de vitesse et l’extrémité de l’arbre. On supposera que les rayons et les matériaux constitutifs des deux arbres sont les mêmes. Que pensez vous de ce résultat ?

2. A partir de la question précédente, proposez un critère permettant d’assurer le bon fonctionnement. En déduire la conséquence sur le rapport des rayons des deux arbres si l’on suppose que le matériau est le même.

3. Déterminer le rapport entre les coefficients de sécurité associés au dimensionnement à la contrainte tangentielle maximale de ces deux arbres. Ce résultat est-il "optimal" ?

Pour avoir un dimensionnement mieux pensé on propose la démarche suivante. L’arbre de droite est plein de rayon Rid et l’arbre de gauche est creux de rayon extérieur Rig et de rayon intérieur Rint.

4. Déterminer le rayon de l’arbre de droite pour vérifier le critère de contrainte tangentielle maximale avec un coefficient de sécurité s. Exprimer alors la relation entre Rid, Rig et Rint.

5. En écrivant l’égalité des angles de torsion pour ces deux arbres, en déduire une relation liant Rid, Rig, Ld et Lg.

6. Déterminer Rid, Rig et Rint. Toutes les applications numériques seront faites avec :

• Lg = 110 cm, Ld = 55 cm, • Couple maxi à la roue : 1200 Nm, • Rpg = 220 MPa, coefficient de sécurité s = 2.