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EinführungUnivariates Gaußsches Modell
ROCAusblick
PWP 1Signalentdeckungstheorie
Signal Detection Theory
Roland Marcus Rutschmann
WiSe 2006
Roland Marcus Rutschmann SDT
EinführungUnivariates Gaußsches Modell
ROCAusblick
MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
SDT in der Psychologie
I Mensch als Detektor/EntscheidungsträgerI Empfindlichkeit/Entdeckbarkeit des ReizesI Antworttendenz
I Psychophysisches ModellI Beschreibung nicht beobachtbarer ProzesseI Verhaltensvorhersage
Roland Marcus Rutschmann SDT
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Anwendungsbeispiele
I Psychophysik: 1000 Hz-Ton aus weißem RauschenI Diagnostik: bestimmter Befund vorhanden?I Seismologie: Steht Erdbeben bevor?I Zeugenaussagen: Person vor Ort?
Roland Marcus Rutschmann SDT
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Bsp. Detektion von Tönen im Rauschen
I 2 VPn sollen reagieren, wenn Töne anwesend sindI Je 100 Durchgänge Rauschen, 100 Durchgänge SignaleI VP1 detektiert 90, VP2 60 SignaleI Hört VP1 besser?I VP1 sagt in 40 Fällen, in denen kein Ton da war
(Rauschdurchgänge, Catch-Trials) „Ja“ es war ein Ton daVP2 irrt sich nur bei 10 Rauschdurchgängen
I Wer ist jetzt besser?
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Terminologie
I „Rauschdurchgänge“ (noise trials): Nur ZufallsrauschenI Versuchsdurchgänge (trials) ohne Signal
I Signaldurchgänge (signal trials)I Versuchsdurchgänge mit Signal und Rauschen
I Antwort „ ja“ auf Signaldurchgang = Treffer (hit)
AntwortNein Ja
Rauschen korrekte Ablehnung falscher Alarmtrial typeSignal Auslassung (miss) Treffer (hit)
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Zusammenfassung der VPn im Bsp. von Goldstein
I Je 100 Trials nur Rauschen 100 Trials mit SignalI VP 1 tendiert zum „Ja“-Sagen
VP 1 VP 2Nein Ja
N 60 40S 10 90
Nein JaN 90 10S 40 60
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Änderung der Antworttendenz
I Gleicher Versuch mit VP2 aber Geld für richtige Antworten(und Abzug für falsche) ⇒ liberalere Antworten
I Belohnung von korrekter Zurückweisung ⇒ konservativeAntworten (wenig „Ja“)
I Neutrale Antworten, wenn alles gleich belohnt.Payoff-Matrix VP2-Antwort Gewinn
Nein Ja Nein JaN +20e -20e 10 90S -200e +200e 02 98 17600eN +200e -20e 99 1S -20e +20e 90 10 18180eN +20e -20e 80 20S -20e +20e 25 75 2200e
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Falscher Alarm vs. Treffer
●
●
●
PF0 1
0
1
PH
VP1 lib
VP1 kons
VP1 neut
●
●
●
VP2 kons
VP2 neut
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
2. Beispiel: 1000 Hz-Ton
I Je 100 Trials nur Rauschen 100 Trials mit SignalI 1. Durchgang: Treffer wichtig (Belohnung für hit)I 2. Durchgang: kein falscher Alarm (Belohnung für correct
rejection)
1. Durchgang 2. DurchgangNein Ja
N 54 46S 18 82
Nein JaN 81 19S 45 55
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Relative Häufigkeiten
I Überführung in rel. HäufigkeitenI Trefferrate (hit rate): h = Anz. Treffer
Anz. Signaldurchgänge
I falscher Alarm Rate (false-alarm rate): f = Anz. false alarmAnz. Rauschdurchgänge
Nein JaN 54 46S 18 82
undNein Ja
N 81 19S 45 55
⇒h f
1. Durchg. 0.82 0.462. Durchg. 0.55 0.19
Redundante Werte:I Auslassungsrate, Fehlerrate (miss rate)= 1− hI Rate der korr. Zurückweisungen (corr. rej. rate)= 1− f
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Modell der Entscheidung
Noise Signal
x
I Verteilung der Zufallsvariablen XI bei Rauschdurchgängen (Xn)I und Signaldurchgängen (Xs)
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Setzen des Kriteriums
Noise Signal
Nein Jaλ
I Zufallsvar. x > λ ⇒ Entscheidung „Ja“I false-alarm rate:
PF = P(Ja|noise) = P(X > λ|noise) = P(Xn > λ) =R∞λ fn(x)dx = 1 − Fn(λ)
I hit rate:PF = P(Ja|signal) = P(X > λ|signal) = P(Xs > λ) =
R∞λ fs (x)dx = 1 − Fs (λ)
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Variation von λ
Noise Signal
λ
λkλl
I Veränderung von λ wirkt auf h und f gemeinsamI λk : (konservativ) Vermeidung von false alarm, aber wenig TrefferI λl : Viele Treffer, aber auch viele false alarm
I Geringere Überlappung der Dichtefunktionen fn und fs⇒ höhere Trennschärfe
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MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell
Modell der statistischen Entscheidung
I Modell zur Bestimmung interpretierbarer VariablenI 3 Voraussetzungen
I Gesamte Information in einer Zahl repräsentiertI Diese Zahl ist ZufallsvariableI Überschreiten einer festen Schwelle ⇒ Entscheidung ja
I Analogie zur NHST (Nullhypothesensignifikanztest)
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Das Gaußsche Modell
I Xn ∼ N (µn, σn) und Xs ∼ N (µs , σs)
I Skalierung: µn = 0, σn = 1I Xn ∼ N (0, 1) und Xs ∼ N (µs , σs)I Rechtfertigung für Normalverteilungsannahme
I Gut untersuchte EigenschaftenI Zentraler GrenzwertsatzI Empirische Befunde
I Bei speziellen Fragestellungen andere Verteilung
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Die Normalverteilung
I Dichte an der Stelle x :φ(x) = 1σ√
2πe
12 ·(
x−µσ )
2
I Akkumulierte Dichte: Φ(x) =∫ x−∞ φ(t) dt
I mit µ Erwartungswert und σ Standardabweichung derVerteilung
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Das univariate Gaußsche Modell
I ProblemI Ein Experiment → 2 Meßwerte (f , h)I aber 3 unbekannte Variablen (λ, µs , σs)
I Setze σs = σn = 1, µs wird zu d ′I Xn ∼ N (0, 1) und Xs ∼ N (d ′, 1)I Vorsicht: Echte Einschränkung, sollte überprüft werden.
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Beispiel zur Berechnung von d ′ und λ
2. Beispiel oben, 1. Durchg.Nein Ja
N 54 46S 18 82
f = 0.46h = 0.82
1. PF = 0.46 = 1−Fn(λ) = 1−Φ(λ) ⇒ Φ(λ) = 1−0.46 = 0.54⇒ λ = Z (1− 0.46) = Z (0.54) = 0.10
2. Xs ∼ N (d ′, 1)⇒ λ− d ′ = Z (1− 0.82) = Z (0.18) = −0.92
3. Kombination: d ′ = λ− (λ− d ′) = 0.10 + 0.92 = 1.02
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Schätzer für d ′ und λ
1. Z (1− f ) = λ̂symm.⇒ λ̂ = −Z (f )
2. Z (1− h) = λ̂− d̂ ′ ⇒ Z (h) = d̂ ′ − λ̂
3. d̂ ′ = Z (h)− Z (f )
! Vorsicht! Vorzeichen überprüfen!
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Fortsetzung 2. Beispiel
I Beispiel oben, rel. H.h f
1. Durchg. 0.82 0.462. Durchg. 0.55 0.19
I 1. Durchgang: d̂ ′ = 1.02; λ̂ = 0.10I 2. Durchgang: d̂ ′ = 1.00; λ̂ = 0.88
I λ̂ = −Z (f ) = −Z (0.19) = 0.88I d̂ ′ = Z (h)−Z (f ) = Z (0.55)−Z (0.19) = 0.12−(−0.88) = 1.00
⇒d̂ ′ λ̂
1. Durchg. 1.02 0.102. Durchg. 1.00 0.88
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Erhöhung der Entdeckbarkeit
I Weniger Überlappung der Verteilungen durchI Erhöhung von d ′
I Verringerung der Varianz σ2
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Messung des „Bias“ (Tendenz/Neigung)
I „Ja-Sage-Tendenz“ von Kriterium λ und d ′ abhängig.I zentriertes Kriterium: λcenter = λ− 1
2d ′ = −12 [Z (f ) + Z (h)]
I Wahrscheinlichkeitsverhältnis (likelihood ratio):β = fs(λ)
fn(λ) = φ(λ−d ′)φ(λ)
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Verlauf β
I Asymmetrisch von 0 . . .∞I 1 am Schnittpunkt von fs und fnI log(β) = log
[fs(λ)fn(λ)
]= log(fs(λ))− log(fn(λ))
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Der ideale Beobachter
I Maximierung der Wahrscheinlichkeit richtiger AntwortI s Wahrscheinlichkeit für Signaltrial⇒ 1− s = Wahrscheinlichk. für Noisetrial
I PC = P(signal) · P(Ja|signal) + P(noise) · P(Nein|noise)= s[1− Fs(λ)] + (1− s)Fn(λ)
Kriterium λ
Pc
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
−3 −1 1 3 5
λ*
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Optimales Kriterium
I Optimales Krit. λ∗ für β∗ = fs(λ∗)fn(λ∗) = 1−s
s : Wettchance (odds)
I s = 12 ⇒ fs(λ∗) = fn(λ∗) Schnittpunkt der Kurven.
I Mehr Signaltrials: s > 12 ⇒
1−ss < 1 ⇒ fs(λ∗) < fn(λ∗)
Das Kriterium verschiebt sich nach links (wird liberaler)
Roland Marcus Rutschmann SDT
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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter
Pay-off Matrix
I Kosten und Nutzen der Verschiedenen Möglichkeiten ungleich⇒ Optimierung des Erwartungswertes des „Gesamtwerts“
E (V ) = P(Signal + Ja)V (hit) + P(Signal + Nein)V (miss)+P(Noise + Ja)V (false alarm)+P(Noise + Nein)V (cor. rej.)
V (miss) und V (f. a.) meist negativ
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Graphische DarstellungIsosensitivitätskurvenUnivar. Gaußsches Modell
Graph zu 2. Bespiel
I 2. Bsp.:h f d̂ ′ λ̂
1. Durchg. 0.82 0.46 1.02 0.102. Durchg. 0.55 0.19 1.00 0.88
−4 −2 0 2 4
d'
λ1 λ2
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Graphische DarstellungIsosensitivitätskurvenUnivar. Gaußsches Modell
Umsetzung in ROC-Graph
I Trefferrate gegen Falschen Alarm auftragenI Punkte auf einer Linie, weil d ′ gleich groß
●
●
PF0 1
0
1
PH
S1
S2
Roland Marcus Rutschmann SDT
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Graphische DarstellungIsosensitivitätskurvenUnivar. Gaußsches Modell
Eine Isosensitivitätskurve� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ! " # $ % & ' ( )
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Roland Marcus Rutschmann SDT
EinführungUnivariates Gaußsches Modell
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Graphische DarstellungIsosensitivitätskurvenUnivar. Gaußsches Modell
Isosensitivitätslinien bei versch. d ′� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
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Roland Marcus Rutschmann SDT
EinführungUnivariates Gaußsches Modell
ROCAusblick
Graphische DarstellungIsosensitivitätskurvenUnivar. Gaußsches Modell
Isokriteriumslinien (λ fest)
PF0 1
0
1
PH
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Roland Marcus Rutschmann SDT
EinführungUnivariates Gaußsches Modell
ROCAusblick
Graphische DarstellungIsosensitivitätskurvenUnivar. Gaußsches Modell
ROC im univ. Gaußschen Modell
I Es gilt PF =∫∞λ fn(x)dx und PH =
∫∞λ fs(x)dx
I im univariaten Fall alsoPF = 1− Φ(λ) = Φ(−λ) undPH = 1− Φ(λ− d ′) = Φ(d ′ − λ)
I Durch einsetzen gewinnt man die Kurve:PH = Φ(d ′ + Φ−1(PF ))
I Nur durch Tabellen oder Computerprogramme errechenbar
Roland Marcus Rutschmann SDT
EinführungUnivariates Gaußsches Modell
ROCAusblick
Weiterführende ThemenLiteratur
Weitere Themen
I ROC-Gerade mit Gaußschen KoordinatenI Ungleiche Varianzen σ2
n und σ2s
I Verschiedene Alternativen zu d ′
I Anwendung SDT aufI VertrauensskalenI forced-choice ParadigmaI Diskrimination, bzw. Identifikation
I Likelihoods und Bayesscher Beobachter
Roland Marcus Rutschmann SDT
EinführungUnivariates Gaußsches Modell
ROCAusblick
Weiterführende ThemenLiteratur
Literatur
I Goldstein, E. B. (1997) Wahrnehmungspsychologie. SpektrumAkademischer Verlag, Heidelberg, erste Auflage.
I Macmillan, N. A. (2002) Signal detection theory. In: Pashler,H. (Hrsg.), Stevens’ Handbook of Experimental Psychology,Band 1, Kapitel 2, Seiten 43–91. Wiley, New York, dritteAuflage.
I Wickens, T. D. (2002) Elementary Signal Detection Theory.Oxford University Press, New York, New York.
Roland Marcus Rutschmann SDT