python과 함께 배우는 신호 해석 - 제 4 강. 복소수 기본 개념과...

Python과 함께배우는 신호해석

박섭형

복소수가필요한 이유

복수소의표현 방법

두 좌표형표현 사이의변환

오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식

Python과 함께 배우는 신호 해석

제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현

(제 2 장. 복소수 기초)

박섭형

한림대학교 전자공학과

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현 1


박섭형





배울 내용

복소수의 기본 개념

복소수의 표현

오일러 (Euler) 공식

복소수의 대수 연산

1의 N 승근

Python에서 복소수 다루기



박섭형





복소수가 필요한 이유

2차 방정식 ax2 + bx + c = 0(a ̸= 0)의 해는 다음과 같이 구한다.

x =−b ±

√b2 − 4ac2a . (2.1)

여기에서 판별식의 부호에 따라서 다음과 같은 세 경우로 나누어 생각할 수있다.

i) b2 − 4ac > 0일 때, 이 방정식은 서로 다른 두 개의 두 실근을 갖는다.ii) b2 − 4ac = 0일 때, 이 방정식은 하나의 실근을 갖는다.

iii) b2 − 4ac < 0일 때, 이 방정식의 실근은 존재하지 않는다. 만약에√−1이라는

숫자가 존재한다고 가정하면 x는 다음과 같이 표현할 수 있다.

x = −b2a

±√−1

√−(b2 − 4ac)

2a. (2.2)



박섭형





허수의 기본 단위

정의 2.1 (허수의 기본 단위)

허수의 기본 단위인√−1을 j라고 정의한다.

일반적으로√−1을 i 또는 j라는 기호로 표현하는데, 공학에서는 j를 많이

사용한다. 허수 단위 j를 도입하면, 식 (2.2)의 2차 방정식의 근은 다음과 같이표현할 수 있다.

x = − b2a ± j

√−(b2 − 4ac)

2a . (2.3)

예제 2.1√−9를 j를 이용하여 표현하라.

√−9 =

√−1 · 9 =

√−1

√9 = j3 (2.4)



박섭형





2차 방정식의 허근

예제 2.2z2 + 3z + 7 = 0의 근을 구하라.

근의 공식을 이용하면 근을 다음과 같이 구할 수 있다.

z =−3±

√32 − 4 · 72

=−3±

√−19

2= −3

2±

√−1

√19

2= −2± j

√19

2



박섭형





복소수의 정의

정의 2.2 (복소수)a와 b를 실수라고 할 때, a + jb 형태의 수를 복소수라고 부른다.

복소수를 나타낼 때 사용하는 기호로 z가 주로 사용된다. z = a + jb라고 하면 a를 복소수 z의 실수부, b를 복소수 z의 허수부라고 부르며, a와 b를 각각 다음과같이 표현한다.

a = ℜe(z), (2.5)

b = ℑm(z). (2.6)

예제 2.3z = −2 + j3일 때, ℜe(z)와 ℑm(z)를 구하라.

ℜe(−2 + j3) = −2, (2.7)

ℑm(−2 + j3) = 3. (2.8)한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현 6


박섭형





복소수의 정의

정의 2.3 (켤레 복소수)복소수 z = a + jb의 켤레 복소수를 z∗라고 표시하며, z∗ = a − jb이다.

정의 2.4 (복소수의 절대값)

복소수 z = a + jb의 절대값은 |z| =√

zz∗ =√

a2 + b2으로 정의한다.

주: zz∗ = (a + jb)(a − jb) = a2 − jab + jab − (jb)2 = a2 + b2.

예제 2.4z = −2 + j3일 때, |z|를 구하라.

|z| = | − 2 + j3| =√

(−2)2 + (3)2 =√4 + 9 =

√13. (2.9)



박섭형





복수소의 직각 좌표형 표현

복수소 z를 직각 좌표형으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

z = (x, y)

= x + jy (2.10)

= ℜe(z) + jℑm(z)

이 표현 방법을 사용하면 복소수를 2차원 평면의 한 점으로 표현할 수 있다.

0ℜe{z}

ℑm{z}

x

y

r

z = x+ jy

θ

그림 2.1: 직각 좌표형의 점 x + jy와 극 좌표형의 r∠θ와의 관계를 설명하는 그림.

그림 2.1에서 가로 축은 실수 축이고, 세로 축은 허수 축이다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현 8


박섭형





복수소의 극 좌표형 표현

복수소 z를 극 좌표형으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

z = r∠θ. (2.11)

r원점에서 복소수까지의 거리r ≥ 0

θ

실수축의 양의 방향축과 이루는 각각의 크기를 나타내는 단위에는 도(degree, ◦)와 라디안(radian)의 두 가지가있다.θ는 −180◦ < θ ≤ 180◦ (라디안으로는 −π < θ ≤ π)의 범위에서 표현할 수있다. 이 범위의 각을 기본값(principal value)라고 부른다.예를 들어서, 2∠200◦에서 각도를 기본값으로 바꾸면2∠(200◦ − 360◦) = 2∠− 160◦이며, 3∠ 9π

4에서 각도를 기본값으로 바꾸면

3∠π4이다.



박섭형





극 좌표형 표현에서 직각 좌표형 표현으로 변환

그림 2.1에서 cos θ =xr , sin θ =

yr 이므로 다음과 같은 관계가 성립한다.

x = r cos θ, (2.12)

y = r sin θ. (2.13)

따라서,z = x + jy = r cos θ + jr sin θ. (2.14)

예제 2.5극 좌표형으로 표현된 다음 복소수를 직각 좌표형 표현으로 바꾸어라.

4∠30◦.

z = 4 cos(30◦) + j sin(30◦) = 4 ·√

32

+ j4 · 12= 2

√3 + j2.



박섭형





직각 좌표형 표현에서 극 좌표형 표현으로 변환

그림 2.1에서r =

√x2 + y2, (2.15)

이고, tan θ =yx이므로

θ = arctan(y

x

)= tan−1

(yx

)(2.16)

이다.이 때, tan 함수는 주기가 2π가 아닌 π인 주기 함수이고, arctan 함수의 치역은(−π

2, π2)이므로, arctan 함수를 이용하면 1 사분면과 4 사분면에 존재하는 θ의

값만 구할 수 있다. 따라서 복소수가 2 사분면 또는 3 사분면에 존재하는경우에는 다음과 같은 식을 사용해야 한다.

θ =

arctan

(yx

)if x ≥ 0

arctan(y

x

)± 180◦ if x < 0

(2.17)



박섭형






0ℜe{z}

ℑm{z}

−√3

1

r

r

z = −√3 + j

√3− j

θ = arctan

(

− 1√3

)

+ 180◦

arctan

(

− 1√3

)

√3

−1

0ℜe{z}

ℑm{z}

−√3

−1

r

r

z = −√3− j

√3 + j

θ = arctan

(

1√3

)

− 180◦

arctan

(

1√3

)

√3

1

(a) 복소수가 2사분면에 있는 경우. (b) 복소수가 3사분면에 있는 경우.

그림 2.2: 복소수가 2사분면과 3사분면에 있는 경우에 θ를 구하는 방법을 설명하는 그림.



박섭형






예제 2.6직각 좌표형으로 표현된 다음 복소수를 극 좌표형 표현으로 바꾸어라.

(1) 1 + j

(2) −1 + j

(3) −1− j

(4) 1− j

(1) r =√12 + 12 =

√2, θ = tan−1 1

1= π

4

(2) r =√

(−1)2 + 12 =√2, 이 복소수는 2 사분면에 있으므로,

θ = tan−1 1−1

+ π = −π4+ π = 3π

4.

(3) r =√

(−1)2 + (−1)2 =√2, 이 복소수는 3 사분면에 있으므로,

θ = tan−1 −1−1

+ π = π4+ π = 5π

4.

(4) r =√

12 + (−1)2 =√2, 이 복소수는 4 사분면에 있으므로,

θ = tan−1 1−1

= −π4.



박섭형





오일러 공식

앞에서 사용했던 r∠θ라는 표현 대신에 rejθ라는 표현을 도입하면, 다음과같이 표현되는 오일러의 공식을 사용하여 두 좌표계 표현 방법을 서로 다른표현 방법으로 변환할 수 있다.

오일러 공식

ejθ = cos θ + j sin θ. (2.18)

이 식을 오일러 공식이라고 하는데, 이 공식으로부터 2 차원 복소 공간의 한점 ejθ은 반지름이 1이고, 양의 방향의 실수축과 이루는 각도가 θ인 복소수(또는 벡터)라는 것을 알 수 있다.

테일러 급수(Taylor Series)를 이용하여 오일러 공식을 유도할 수 있다.



박섭형





테일러 급수

f(x)가 다음과 같이 거듭제곱 급수 (power series)로 표현될 수 있다고 가정하자.

f(x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + c3(x − a)3 + · · · , |x − a| < R.

여기에서 R은 거듭제곱 급수의 수렴구간이다.그러면, cn은 다음과 같이 구할 수 있다.

f(a) = c0f′(a) = c1f′′(a) = 2!c2

...

f(n)(a) = n!cn

여기에서 f(n)(x)는 f(x)를 n번 미분한 것을 나타낸다. (주: 0! = 1).

f(x) = f(a)0!

+f′(a)1!

(x−a)+ f′′(a)2!

(x−a)2 + f′′(a)3!

(x−a)3 + · · · , |x−a| < R.



박섭형





테일러 급수

테일러 급수는 함수를 한 값에서의 미분값들로부터 계산한 값들의 합으로근사화하는 것을 말한다. 특히, 개구간 (a − r, a + r)에서 정의되는 무한번 미분가능한 함수 f(x)는 다음과 같이 표현된다.

f(x) =∞∑

n=0

f(n)(a)n! (x − a)n, (2.19)



박섭형





ex의 테일러 급수

f(x) = ex인 경우에는 f(1)(x) = ex, · · · , f(n)(x) = ex, · · · 이므로

ex =

∞∑n=0

ea

n! (x − a)n. (2.20)

이 식에 a = 0을 대입하면 다음 식을 얻는다.

ex =

∞∑n=0

xn

n! . (2.21)



박섭형





cos(x)와 sin(x)의 테일러 급수

f(x) = cos(x)인 경우에는f(1)(x) = − sin(x), f(2) = − cos(x), f(3) = sin(x), f(4) = cos(x), · · · 이므로cos(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

cos(x) = cos(a)0!

(x − a)0 + − sin(a)1!

(x − a)1 + − cos(a)2!

(x − a)2

+sin(a)3!

(x − a)3 + · · ·.

(2.22)

cos(0) = 1, sin(0) = 0이므로, 위 식에 a = 0을 대입하면 다음 식을 얻을 수있다.

cos(x) = 1− x22!

+x44!

− · · ·. (2.23)

f(x) = sin(x)인 경우에는 유사한 방법을 통해서 다음 식을 얻을 수 있다.

sin(x) = x − x33!

+x55!

+ · · ·. (2.24)



박섭형





오일러 공식

오일러 공식을 테일러 급수를 이용하여 증명하면 다음과 같다.

ejx =

∞∑n=0

(jx)n

n!

= 1 + jx +(jx)22!

+(jx)33!

+ · · ·

= 1 + jx − x22!

− j x33!

+x44!

+ · · ·

=

(1− x2

2!+

x44!

+ · · ·)+

(jx − j x3

3!+ j x5

5!+ · · ·

)(2.25)

=

(1− x2

2!+

x44!

+ · · ·)+ j

(x − x3

3!+

x55!

+ · · ·)

= cos(x) + j sin(x).



박섭형





오일러 공식

예제 2.7오일러 공식을 이용하여 다음 식을 직각좌표계 형식으로 변환하라.

(1) 2ej π4

(2) 3e−j π3

(1) 2ej π4 = 2

(cos

(π4

)+ j sin

(π4

))= 2

(√2

2+ j

√2

2

)√2 + j

√2

(2) 3e−j π3 = 3

(cos

(−π

3

)+ j sin

(−π

3

))= 3

(12− j

√3

2

)= 3

2− j 3

√3

2



박섭형





역 오일러 공식

식 (2.18)에서 θ 대신에 −θ를 대입하고 cos(−θ) = cos θ, sin(−θ) = − sin θ

관계식을 이용하면 다음 식을 얻는다.

e−jθ = cos(−θ) + j sin(−θ) = cos θ − j sin θ. (2.26)

식 (2.18)과 식 (2.26)으로 부터 다음 식을 얻을 수 있다.

ejθ + e−jθ = 2 cos θ, (2.27)

ejθ − e−jθ = 2j sin θ. (2.28)


cos θ =ejθ + e−jθ

2, (2.29)

sin θ =ejθ − e−jθ

2j . (2.30)



박섭형






ℜe{z}

ℑm{z}

0

z1 = ejθ

z2 = e−jθ

z1 + z2cosθθ

−θ ℜe{z}

ℑm{z}

0

z1 = ejθ

z2 = e−jθz2 = e−jθ

z1 − z2

−z2 = −e−jθ j sin θ

θ

−θ

(a) cos θ =ejθ + e−jθ

2(b) sin θ =

ejθ − e−jθ

2j

그림 2.3: 역 오일러 공식을 설명하는 설명.


python과 함께 배우는 신호 해석 - 제 4 강. 복소수 기본 개념과...

Documents