25. 전기용량 (Capacitance)

• 축전기 (Capacitor)와 전기용량 (Capacitance)

25장 읽고 있자q = CV C = q/V

25장 읽고 있자 ……• 전기용량 계산하기 : 평행판 축전기, 원통형 축전기

축전기의 직렬연결과 병렬연결• 축전기의 직렬연결과 병렬연결

• 축전기의 전기 퍼텐셜에너지와 에너지 밀도

d

A

+ + + +a- - - - -b L

a

C1 C2b

C 3C

a b≡

지난 시간에 …지난 시간에 …Electric potential energy (U)

m]N[J ⋅=•−=•−=−= ∫∫ ∞∞

rr

q sdEqsdFWU rrrr

Electric potential (V) :단위전하당 UElectric potential (V) : 단위전하당 U

J/C] [V(volt) =•−=−=≡ ∫∞

rsdE

qW

qUV rr

∫∞qq

∑∑ ==NN

n rqVV

41πε

점 전하== n nn r1o1 4πε

∫=r

dqVπε41

연속 전하 ∫ roπε4

⎥⎤

⎢⎡ ∂

+∂

+∂

=∇≡= zVyVxVVdVE ˆˆˆrr

V E ⎥⎦

⎢⎣ ∂

+∂

+∂

−=∇−≡−= zz

yy

xx

Vsd

E rV E

축전기 (capacitor)

• A capacitor is a device whose purpose is to store electrical energy which can then be released in a controlled mannerenergy which can then be released in a controlled manner during a short period of time.

A i i f 2 i ll d d• A capacitor consists of 2 spatially separated conductorswhich can be charged to +q and -q respectively.

축전기의 전기용량 (capacitance)

CVqVqC =⇔≡ V

C : 전기용량 (축전기의 모양과 재료에 따라 정해짐)C : 전기용량 (축전기의 모양과 재료에 따라 정해짐)

전기용량의 단위 : 1 f d (F) 1 l b/ lt (C/V)전기용량의 단위 : 1 farad (F) = 1 coulomb/volt (C/V)

•실제로 쓰이는 단위:실제로 쓰이는 단위▸micro-farad (μF) = 10-6 F▸nano-farad (nF) = 10-9 F▸pico-farad (pF) = 10-12 Fp (p )

축전기 대전시키기+q(t) -q(t)

확인문제 1. 전기용량은 증가? 감소? 그대로?

(a) q 가 2배 될 때

(b) V 가 3배 될 때

25-3. 전기용량 계산하기

(1) 극판에 전하 q 가 있다고 가정

(2) Gauss 법칙 E 계산

(3) E -> V 계산(3) E -> V 계산

(4) C = q/V

평행판 축전기

EddsEEdssdEVdf

i===•−= ∫∫∫

+

− 0

rr

AdA

VqC oε

== 극판 사이의 유전상수와극판의 모양 (면적과 간격)에만 의존

Practical Application: Microphone (“condenser”)( condenser )

d

Current sensorCurrent sensor

Battery

Moveable plate Fixed plate

Sound waves incidentpressure oscillationsoscillating plate separation doscillating capacitance ( )oscillating charge on plate

1~Cdoscillating charge on plate

oscillating current in wire ( )oscillating electrical signal

dQIdt

=oscillating electrical signal

QuestionI h b l h f Q i l d lid• In each case below, a charge of +Q is placed on a solid spherical conductor and a charge of -Q is placed on a concentric conducting spherical shell. g p– Let V1 be the potential difference between the spheres with (a1, b). – Let V2 be the potential difference between the spheres with (a2, b). – What is the relationship between V1 and V2? (Hint – think about

parallel plate capacitors.)a2+Q

-Q-Q2+Qa1+Q

(a) V1 < V2 (b) V1 = V2 (c) V1 > V2

bb

• What we have here are two spherical capacitors.• Intuition: for parallel plate capacitors: V = (Q/C) = (Qd)/(Aε0).

( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2

Therefore you might expect that V1 > V2 since (b-a1) > (b-a2).• In fact this is the case as we can show directly from the definition of V!

원통형 축전기원통형 축전기

⎟⎞

⎜⎛∫∫

+ bqq b 1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== ∫∫

+

− ab

Lqdr

rLqEdsV

o

b

ao

ln2

12 πεπε

)/ln(2

abL

VqC oπε== 극판 사이의 유전상수

극판의 모양에만 의존)(

구형 축전기

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=== ∫∫

+

bqdrqEdsV

b 114

14 2

⎞⎛ abq 판 사이의 전상수

⎠⎝∫∫− bar oa

o 44 2 πεπε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−==

abab

VqC oπε4 극판 사이의 유전상수

극판의 모양에만 의존

고립된 도체 구의 전기용량

b ⎞⎛ )( 4 4 RaRCab

abVqC o

bo ==⎯⎯ →⎯⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−== ∞→ πεπε

25-4. 축전기의 연결

동일전압 : jVV =

병렬연결총 전하량 : ∑

=

=n

jjqq

1

VCCVVCqq eq

n

jjj

n

jj

n

jj =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== ∑∑∑

=== 111∑

=

=n

jjeq CC

1

동일 전하량 : jqq =

직렬연결총 전압 : ∑

=

=n

jjVV

1

동일 전하량 : jqq

직렬연결

nnj

n qq ⎟⎞

⎜⎛∑∑∑ 1 ∑

n 11eqj jj j

j

jj C

qC

qCq

VV =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== ∑∑∑

=== 111

1 ∑=

=j jeq CC 1

C질문

CC

CC C

C

Configuration AConfiguration B Configuration C

Three configurations are constructed using identical capacitors

Configuration B Configuration C

Which of these configurations has the lowest overall capacitance?

g g p

a) Configuration A b) Configuration B c) Configuration C

질문

Two identical parallel plate capacitors are shown in an end-view in A) of the figure. Each has a capacitance of C.

If the two are joined together as shown in B), forming a single capacitor, what will be the final capacitance?

a) C/2 b) C c) 2C

Examples:C bi ti f C itCombinations of Capacitors

C3

a

a b≡C1 C2 C

b

C3 is in series with the parallel combination on C1 and C2. i.e.,

213

111CCCC +

+= ⇒321

213 )(CCC

CCCC++

+=

213

질문A circuit consists of three unequal capacitors C1, C2, and C3 which areconnected to a battery of emf Ε. The capacitors obtain charges Q1 Q2, Q and have voltages across their plates V V and VQ3, and have voltages across their plates V1, V2, and V3. Ceq is the equivalent capacitance of the circuit.

Check all of the following that apply:

a) Q1= Q2 b) Q2= Q3 c) V2= V3 d) E = V1

e) V1 < V2 f) Ceq > C1

Wh t i th i l t it C f th질문

• What is the equivalent capacitance, Ceq, of the combination shown?

o

C CCCeq

(a) Ceq = (3/2)C (b) Ceq = (2/3)C (c) Ceq = 3C

o

(a) Ceq (3/2)C (b) Ceq ( /3)C (c) Ceq 3C

CCC ≡ C C1

111+= CC = CCCC 3

=+=CCC1

+=21C = CCCeq 22

=+=

25-5. 전기장에 저장된 퍼텐셜에너지

축전기에 전하 q‘ 가 채워져 있어 두 전극의 전위차가 V‘ 일 때

축전기의 퍼텐셜에너지

축전기에 전하 q 가 채워져 있어 두 전극의 전위차가 V 일 때,전하 dq‘ 를 더 채우는데 드는 에너지

'''' dqqdqVdW == dqC

dqVdW

따라서, 빈 축전기에 전하를 q 까지 채우는데 드는 에너지 저장된 퍼텐셜에너지

2

0

2

21

2'' CV

Cqdq

CqW

q=== ∫ 2

2

21

2CV

CqU ==

에너지 밀도 : 단위 부피당 퍼텐셜 에너지

22

211

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

dV

AdCV

AdUu oε 2

021 Eu ε=

⎠⎝⎠⎝

dAC 0ε=

2VdE =

25-6. 유전체를 넣은 축전기1837년 Michel Faraday 실험 : 평판 축전기의 전극 사이에 끼워 넣는 물질에 따라 전기용량이 달라짐.

qC

CVq =CqV =

증가 감소κC증가

κ : 유전상수 (dielectric constant)

00 κεε → 유전율 변화

00

κεσ

εσ

=→= EE 전기장 감소κ0 EE =→

25-7. 유전체 : 원자의 관점

영구전기 쌍극자

극성 유전체

전기 쌍극자모멘트

유도

비극성 유전체

전기 쌍극자모멘트 E’

'0 EEErrv

+= 즉, 진공 중 보다Electric field

감소

25-8. 유전체와 Gauss 법칙

0ε 0κε

AEAdEq εε =⋅= ∫rr

EAAdEqq ' εε ∫rr

AEAdEq 000 εε =⋅= ∫

AqE0 =

EAAdEqq 00' εε =⋅=− ∫

AqqE '

ε−

=A0

0 ε A0ε

qEE 0 == κqqq =− '

전기장 감소A

E0κεκ κ전기장 감소

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

κ11' qq q 감소

∫유전체에서의 Gauss 법칙 qAdE =⋅∫rr

κε 0

일반화된 Gauss 법칙일반화된 Gauss 법칙

∫rr

qAdE =⋅∫rr

κε 0

: 전기변위 (electric displacement)EDrr

0κε=

∫rr

qAdD =⋅∫

전하는 도체표면의 자유전하만 고려하면 된다.

κ 가 상수가 아닌 (즉, 위치에 따라 다른) 일반적인 경우도 성립한다.

25. Summary5 Su a y

전기용량 (capacitance)VqC ≡V

A Q aQ-Q

d

A+ + + + a

b

r

+Q

-Q a+Q

d - - - - -

Parallel Plates

b L

Cylindrical

b

SphericalParallel Plates

dAC ∝

Cylindrical

)/ln( abLC ∝

Spherical

ababC−

∝

qAdE =⋅∫rr

κεGauss 법칙 qAdE =⋅∫κε 0Gauss 법칙