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Qualche lezione fa ci eravamo chiesti come si valutano le opzioni:
Mettendo a punto un modello che rappresenti in modo soddisfacente le possibili evoluzioni del prezzo del sottostante, e derivando da questo il valore delle opzioni– E’ la strada che seguiremo da oggi in poi
Stabilendo, con ragionamenti di non arbitraggio, alcuni limiti minimi e massimi al valore delle opzioni che devono valere indipendentemente dal modello che descrive l’evoluzione del sottostante– E’ la strada che abbiamo già seguito, ragionando su
• Titoli che non pagano o che pagano un dividendo• Opzioni europee o americane
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Valutare le opzioni con un modelloMettendo a punto un modello che rappresenti in modo soddisfacente le possibili evoluzioni del prezzo del sottostante, e derivando da questo il valore delle opzioni
Opzioni
Formuladi Black e Scholes
Valutazione neutraleverso il rischio
Sottostante
Modello continuobasato su un
processo stocastico
Albero binomiale
Ogg
iPr
ossi
me
lezi
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Un modello per il sottostante:albero binomiale dei corsi azionari
Il prezzo dell’azione all’inizioinizio di un certo periodo può portare a 2 soli prezzi per l’azione alla finefine di quel periodo
Prezzo dell'azione = $22Prezzo dell'opzione = $1
Prezzo dell'azione = $20
Prezzo dell'azione = $18Prezzo dell'opzione = $0
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L’albero binomiale descrive anche il valore di eventuali opzioni
Es. una call con strike = $21 vale $1 nello stato “up”e vale $0 nello stato “down”
Prezzo dell'azione = $22Prezzo dell'opzione = $1
Prezzo dell'azione = $20
Prezzo dell'azione = $18Prezzo dell'opzione = $0
Figura 9.1 (p. 194)
Prezzo dell’opzione = ???
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Prezzare la call: costruzione di un portafoglio privo di rischio
Costruiamo un portafoglio lungo di ∆ azioni e corto di una call, scegliendo ∆ in modo che il valore futuro del portafoglio sia lo stesso nei 2 stati futuri, ossia:
$22∆ − $1 = $18∆ovvero: ∆ = 0,25
9.4
$22∆ − $1
S = $20
$18∆
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Valutazione del portafoglio(a un tasso privo di rischio pari al 12%)
Il valore del portafoglio tra 3 mesi sarà comunque pari a $22 × 0,25 − $1 = $18 × 0,25 = $4,5
Il valore del portafoglio oggi si ottiene scontando $4,5 al tasso risk-free: $4,5e−0,12 × 0,25 = $4,367
Ma se il portafoglio vale $4,367:S × 0,25 – c = $4,367
e ¼ di azione vale $5 ($20 × 0,25), allora oggi la sola opzione c vale:
c = $20 × 0,25 - $4,367 = $0,633
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Generalizzazione
Si condideri un derivato fcon vita residua TTra oggi e oggi+T il sottostante può passare da S a Su (u>1) oppure a Sd(d<1) Il valore del derivato, nei due stati futuri, sarà fu o fd.
Suf u
S f
Sdf d
Figura 9.2 (p. 196)
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Generalizzazione(continua)
Si consideri un portafoglio che è «lungo» di ∆ azionie «corto» di un derivatoIl portafoglio è privo di rischio quando
ovvero:
Su ∆ − f u
S ∆ − f
Sd ∆ − f d
Su f Sd fu d∆ ∆− = −
f fSu Sd
u d∆ =−−
Figura 9.2 (p. 196)
NB: il “delta” misura la variazionedel valore del derivato, a fronte di unacerta variazione nel valore del sottostante
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Generalizzazione(continua)
Il valore del portafoglio al tempo T è: Su∆ − fu (≡Sd∆ − fd)Il valore del portafoglio oggi è: (Su∆ − fu)e−rT
D’altra parte, il valore del portafoglio oggi è anche: S∆ − fPertanto: f = S∆ − (Su∆ − fu)e−rT
Sostituendo ∆ si ottiene
(9.2) p. 197
dove(9.3) p. 197
( )[ ]f pf p f eu drT= + − −1
p e du d
rT=
−−
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Valutazione neutrale verso il rischio
Non abbiamo usato la lettera p per caso:
– Un investitore neutrale al rischio prezzerebbe il derivato così se e solo se credesse che la probabilità di rialzo dell’azione è p, e quella ribasso è 1-p
– Infatti, solo un investitore neutrale al rischio non chiede alcun compenso per partecipare alla “lotteria” implicita in f, e si accontenta del valore atteso scontato a oggi al tasso risk-free:
Suf u
S f
Sdf d
p
1 − p
Figura 9.2 (p. 196)
[ ] rTdu
rTT efppfefEf −− −+== )1()(
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Valutazione neutrale al rischio:occhio all’equivoco!
Il nostro è un modello di non arbitraggio, per funzionare non richiede che gli investitori siano neutrali al rischio!Per esempio, il medesimo prezzo f ottenuto con la nostra formula, può star bene anche a un investitore avverso al rischio (che sconta al tasso r’ > r) che assume una p’ > p:
Stiamo solo dicendo che p, (che non è una probabilità, e viene calcolato a partire da u e d) può essere visto come la probabilità di rialzo che convincerebbe un investitore neutrale al rischio ad accettare come equo il prezzo f
[ ] Trdu
TrT efpfpefEf ′−′− ′−+′== )1()(
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Torniamo all’esempio iniziale
Ricaviamo p, con la formula:
Un investitore neutrale al rischio che valutasse l’azione assegnandole questa probabilità di rialzo sarebbe disposto a pagarla:
Quindi questa p è coerente con il prezzo attuale dell’azione!( )[ ] 20$6523,0118$6523,022$ 25,012,0 =−+⋅ ⋅−e
Su = $22f u = $1
S = $20f
Sd = $18f d = $0
p
1 − p
p e du d
erT=
−−
=−
−=
×0 12 0 25 0 911 0 9
0 6523, , ,
, ,,
Figu
ra 9
.11
(p. 1
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Torniamo all’esempio iniziale/2
Un investitore neutrale al rischio che valutasse l’opzioneassegnandole questa probabilità di rialzo sarebbe disposto a pagarla:
…che è esattamente il valore trovato prima: il ragionamento di non arbitraggio è equivalente a quello dell’investitore neutrale al rischio!
Su = $22f u = $1
S = $20f
Sd = $18f d = $0
p
1 − p Figu
ra 9
.11
(p. 1
94)
( )f e= × + × =− ×0 12 0 25 0 6523 0 3477 633, , , , ,$1 $0 $0
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Valutazione neutrale al rischio:ri-occhio all’equivoco!
Le probabilità p=0,6523 e (1-p)=0,3477 sono quelle implicite nell’attuale prezzo S ($20) nel caso in cui gli investitori siano neutrali al rischioQuesto non significa che gli investitori debbano essere neutrali al rischio! Per esempio, il prezzo di $20 è compatibile anche con l’ipotesi che gli investitori scontino una probabilità di rialzo p’= 0,659 e richiedano premio al rischio del 4% (r’=16%). Infatti:
Le possibili combinazioni di p’ e r’ compatibili con S sono infinite e tutte valide. Proprio per questo, noi per comodità usiamo la più facile, quella in ipotesi di neutralità al rischio
( )f e= × + × =− ×0 12 0 25 0 6523 0 3477 633, , , , ,$1 $0 $0
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Un’esempio a due stadi
Figura 9.3 (p. 200)
22
18
20
24,2
19,8
16,2
Stavolta l’albero abbracciadue intervalli, ognuno di T= 3 mesi.In ogni intervallo, la possibilevariazione di S è a Su con u=1,1oppure a Sd con d=0,9.Le probabilità risk-neutral,quindi, su ogni intervallo, sonole stesse dell’esempio precedente:
p e du d
erT=
−−
=−
−=
×0 12 0 25 0 911 0 9
0 6523, , ,
, ,,
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Albero a 2 stadi: una call con X=21
Valore al nodo B =e−0,12 × 0,25(0,6523 × $3,2 + 0,3477 × $0) = $2,0257
Valore al nodo C: $0.
Valore al nodo A =e−0,12 × 0,25(0,6523 × $2,0257 + 0,3477 × $0) = $1,2823
22
18
201,2823
24,23,2
19,80,0
16,20,0
0,0
2,0257A
B
C
D
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Albero a 2 stadi, call con X=21
Posso procedere in modo più compatto:f = e−r× 2T(p2 × fD + 2p(1-p) × fE + (1-p)2 × fF) == e−0,12 × 0, 5(0,425×$3,2 + 0,454×$0 + 0,121×$0) = $1,2823
S = 24,2fD = 3,2
S = 19,8fE = 0,0
S=16,2fF = 0,0
D
E
F
p
1-p
p
1-p
p
1-p
p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p)
(1-p)2
p2
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Esercizio: albero a 2 stadiput con X=52
T= 1 anno, r=5%, u=1,2, d=0,8:
Valore della put (uso direttamente la formula compatta): =e−2 × 0,05 × 1 (0,62822 × $0 + 2 × 0,6282 ×0,3718 × $4 +
0,37182 × $20) = $4,1923
60
40
50
720
484
3220
A
B
C
D
E
F
Figu
ra 9
.7 (p
. 203
)
p e du d
erT=
−−
=−
−=
×0 05 1 0 812 0 8
0 6282, ,, ,
,
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E se la put è americana?
Valore al nodo B: =e−0,05 (0,6282×$0+0,3718×$4)=$1,4147– l’esercizio anticipato vale zero
Valore al nodo C: =e−0,05(0,6282×$4+0,3718×$20)=$9,46– l’esercizio anticipato (X-S=$12) è ottimale
Valore al nodo A =e−0,05 × 1 (0,6282 × $1,4147 + 0,3718 × $12) = $5,0894
60
40
505,0894
720
484
3220
12,0
1,4147A
B
C
D
E
F
Figu
ra 9
.8 (p
. 204
)Non posso usare la formula “compatta”: devo
calcolare il valore “europeo” nei singoli nodi intermedi, sostituendolo con quello da esercizio
anticipato (X-S) se maggiore.
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Significato “pratico” del delta
Il delta (∆) è il rapporto tra la variazione del prezzo dell’opzione e la variazione del prezzo dell’azione sottostantePuò essere utilizzato per finalità di hedging, per costruire portafogli privi di rischio (per esempio, chi scrive una calldetiene ∆ azioni per proteggersi dal rischio di perdite)
Tuttavia il valore di ∆ varia nel tempo (basta guardare i singoli nodi dei nostri alberi a due stadi), quindi l’hedge andrà ricalibrato nel tempo perché rimanga efficace
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Esercizi consigliati
9.1, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8, 9.9, 9.10, 9.11, 9.12, 9.13, 9.14
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Valutare le opzioni con un modelloMettendo a punto un modello che rappresenti in modo soddisfacente le possibili evoluzioni del prezzo del sottostante, e derivando da questo il valore delle opzioni
Opzioni
Formuladi Black e Scholes
Valutazione neutraleverso il rischio
Sottostante
Modello continuobasato su un
processo stocastico
Albero binomiale
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ià
vist
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Processo stocasticoUn processo stocastico è il meccanismo che governa l’evoluzione nel tempo di una variabile aleatoria (incerta)– Ad es. le temperature del mese di marzo a Milano seguono una certa
“legge” stagionale, che contiene anche una forte componente di casualità
Distinguiamo processi a tempo – discreto (osservabili solo a certi istanti nel tempo):
• es. primo estratto del Superenalotto (mercoledì e sabato)– o continuo (osservabili sempre): temperatura
…e i processi a variabile – discreta (sono possibili solo alcuni valori, es. numeri interi)– continua (è possibile qualsiasi valore)
L’albero binomiale era un esempio di processo a tempo discreto e a variabile discreta, ora vedremo diversi esempi di processi a tempo continuo e a variabile continua
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Processi stocastici MarkovianiUn processo stocastico si dice Markoviano se i valori futuri movimenti della variabile aleatoria dipendono solo dal suo valore corrente, e non anche dalla «storia» che ci ha condotto al valore corrente.– Le estrazioni del Lotto sono markoviane: la probabilità di
ottenere il 34 sulla ruota di Bari è sempre 1/90, e non dipende in alcun modo dalle estrazioni delle scorse settimane
Noi assumeremo che i prezzi delle azioni seguano un processo Markoviano:– Il prezzo corrente “sconta” già tutte le possibili informazioni
sul trend ribassista o rialzista in atto– Se così non fosse, qualcuno ne approfitterebbe per far soldi, e
il prezzo si aggiusterebbe istantaneamente– In altre parole: è impossibile fare soldi con l’analisi tecnica!
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Un esempio di processo markoviano
Consideriamo una variabile z il cui valore cambia continuamente: il cambiamento di valore in un piccolo intervallo di ampiezza ∆t è ∆z
La variabile segue un processo stocastico di questo tipo: 1. dove ε è un’estrazione casuale da una
distribuzione normale φ(0, 1) 2. I valori di ∆z relativi a due periodi di tempo distinti
sono indipendenti (è un processo markoviano)
∆ ∆z t= ε
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Un esempio di processo markoviano
∆ ∆z t= ε
z(0) z(1) z(4) t
∆t=1∆t=4
∆ ∆z t= ε∆z ≈ φ (0, 2)∆z ≈ φ (0, 1)
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Ulteriori proprietà del processo
Consideriamo un intervallo tra il tempo 0 e il tempo T, e immaginiamo di scomporlo in n ∆t– Tra 0 e T il processo avanza di n passettini,
ognuno descritto da un ∆z come quelli visti in precedenza
Allora:– La media di [z(T) - z(0)] è n E(∆z) = n 0 = 0– La varianza di [z(T) - z(0)] è n var(∆z) = n
∆ t ≡ T– La deviazione standard di [z(T) - z(0)] è √T– Si dice che la varianza è additiva, mentre la
deviazione standard non lo è
∆t ∆t ∆t∆t …z(0) z(T)
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Per incrementi temporalisempre più piccoli (∆t→0)
La proprietà diventaIl processo stocastico (cui fin qui non avevamo dato nome) prende il nome di processo di Wiener o moto Browniano, un particolare caso di processo di MarkovPossiamo comunque continuare a ragionare per piccoli incrementi finiti (∆z e ∆t)
∆ ∆z t= ε dz dt= ε
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Processi di Wiener generalizzati
L’espressione con ε ≈ φ (0, 1), implica che– la variazione è mediamente nulla (drift rate pari a 0)– la varianza è necessariamente pari a dt (variance rate pari a
1)Prendo dz e la trapianto dentro un’ espressione più generale (processo di Wiener generalizzato):dx = adt + bdz
con a (drift rate) e b (variance rate) uguali a delle costanti arbitrariePer capire cosa cambi, ci conviene guardare la versione “discreta” di questo nuovo processo più generale
dz dt= ε
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Processi di Wiener generalizzati(versione nel discreto)
Il processo che abbiamo definito nel continuo può essere applicato anche a variazioni discrete:
Che cosa è cambiato?– La media delle variazioni di x tra 0 e T non è più uguale a 0,
ma è pari a aT (ad es. un processo così può descrivere temperature in marzo, che sono mediamente crescenti)
– La varianza delle variazioni di x nel periodo T non è più uguale a T, ma è pari a b2T
– La deviazione standard delle variazioni di x nel periodo T è pari a b√T
∆ ∆ ∆x a t b t= + ε
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Modellare il prezzo di un’azionecon un p. di Wiener generalizzato
Immaginiamo che– Il prezzo corrente di un’azione sia di $40 – Il guadagno atteso nel prossimo intervallo di tempo (es. un
anno) sia di otto dollari– Attorno a questo valore atteso vi sia comunque una certa
incertezza, così che la distribuzione di probabilità del prezzo tra un anno è φ(48, 10)
Allora potremmo dire che
∆S = 8∆t + 10∆z
Nel continuo: dS = 8dt + 10dz
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I processi di Wiener generalizzati non sono appropriati per le azioni
Chi investe in un’azione, infatti, non lo fa aspettandosi un guadagno assoluto (8 dollari) quanto piuttosto un certo rendimento percentuale, ad esempio il 20%– $8 se il prezzo di partenza è $40, $4 se il prezzo è $20, ecc.
La stessa volatilità di un’azione tende a essere ragionevolmente costante in termini percentuali, cioè proporzionali al prezzo corrente:– Se il prezzo passa da 20 a 40, anche la volatilità attesa tende a
raddoppiareI processi di Wiener generalizzati, con i loro a e b costanti e indipendenti da S non ci bastano, ci vuole qualcos’altro…
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I processi di Ito
In un processo di Ito il drift rate e il variance rate sono funzioni del tempo e del valore corrente della variabile x
dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz (10.4) p. 215
L’espressione equivalente in tempo discreto
è solo un’approssimazione, valida al limite per ∆t che tende a zero
( ) ( )∆ ∆ ∆x a x t t b x t t= +, , ε
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Un processo di Itoper i prezzi delle azioni
Costruiamo un processo di Ito per la variabile S: dS = a(S, t)dt + b(S, t)dz dS = µS dt + σS dz
Cioè:
(10.6) p. 216
detta anche “moto Browniano geometrico”, dove µ è il tasso di rendimento atteso e σ è la volatilitàL’espressione equivalente in tempo discreto è
dSS
dt dz= +µ σ
∆∆
SS
t t= +µ∆ σε
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Processo di Ito e prezzi delle azioni: un esempio
Il prezzo S di una certa azione varia secondo la leggedS = µS dt + σS dz
Con rendimento atteso su base annua (µ) pari al 20% composto continuamente, e volatilità (σ), su base annua, del 30%Per piccoli intervalli, vale l’approssimazione
Se oggi l’azione vale $30, quanto vale tra una settimana?
ttSS
∆+∆=∆ ε%30%20
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Processo di Ito e prezzi delle azioni: un esempio
Per una settimana, ∆t = 1/52 = 0,01923.
Il prezzo tra una settimana è descritto da una distribuzione normale con media $30,115 e deviazione standard $1,25
εε 1316,00038,0019,03,0019,02,030$
+=+⋅=∆S
ε25,1$115,30$)0()( +=∆+= SSTS
εε 25,1$115,0$)1316,00038,0(30$ +=+⋅=∆S
v. anche oltre
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Processo stocastico e traiettoria: simulazioni Montecarlo
Il processo stocastico è il modello “scritto nell’alto dei cieli” che genera la variabile aleatoriaCiò che noi osserviamo “sulla terra” è solo una possibile realizzazione, sentiero o traiettoria del processoSe costruiamo il processo usando un computer, possiamo divertirci a generare una, dieci, diecimila traiettorieDa queste traiettorie simulate (simulazioni Montecarlo) ricaveremo, ex post, la distribuzione di probabilità delle traiettorie possibiliVediamo un esempio:– Generiamo, con una simulazione Montecarlo, i possibili
valori dell’azione tra un mese (quattro settimane)
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Simulazioni Montecarlo
Sappiamo che, per ogni settimana:
E’ quindi sufficiente:1. Estrarre a sorte un x da una normale con media e varianza
opportune2. Moltiplicare S(t) per (1 + x) per ottenere S(t+1) di una
settimana dopo3. Ripetere i punti 1 e 2 per altre tre volte, così da ottenere
S(t+4) di quattro settimane (un mese dopo)
)1)(()()()()1( xtSxtStSStStS +=⋅+=∆+=+
)1316,0;0038,0( :cioè 1316,00038,0)(
φε ≈+==∆ xx
tSS
39
An
dr
ea
Re
st
iA
nd
re
a R
es
ti
An
dr
ea
Re
st
i
Simulazioni Montecarlo:un sentiero
S x ∆S (=Sx)t 30 0.098 2.93t+1 32.93 -0.031 -1.02t+2 31.91 -0.121 -3.87t+3 28.04 0.000 0.00t+4 28.04
Questo esempio è una versione semplificata della tavola 10.1 (p. 218)
40
An
dr
ea
Re
st
iA
nd
re
a R
es
ti
An
dr
ea
Re
st
i
Simulazioni Montecarlo:un altro sentiero
Questo esempio è una versione semplificata della tavola 10.1 (p. 218)
S x ∆S (=Sx)t 30 0.118 3.53t+1 33.53 -0.038 -1.26t+2 32.28 0.107 3.46t+3 35.73 0.134 4.79t+4 40.52
41
An
dr
ea
Re
st
iA
nd
re
a R
es
ti
An
dr
ea
Re
st
i
Simulazioni Montecarlo:200 possibili sentieri
0
10
20
30
40
50
60
70
S(t) S(t+1) S(t+2) S(t+3) S(t+4)
Usando i giorniavrei una migliorerappresentazione
del moto browniano
La varianzaaumenta con
il tempo
Valori centralisono i più probabili
42
An
dr
ea
Re
st
iA
nd
re
a R
es
ti
An
dr
ea
Re
st
i
Lemma di Ito: cos’è
Espressioni come dS = µS dt + σS dz ci richiamano il calcolo differenziale, le derivate, gli integrali studiati per le funzioni non stocastiche (y=f(x) senza margine d’errore…)Esiste un calcolo anche per i processi stocastici e le “derivate” si ottengono grazie al lemma di ItoIn particolare, se conosciamo il processo stocastico seguito da x (dx = …), il lemma di Ito ci dice qual è il processo stocastico seguito da una certa funzione G(x, t), cioè ci consente di derivare l’espressione di dG = …Dato che il valore dei derivati è una certa funzione del prezzo del sottostante e del tempo, il lemma di Ito svolge un ruolo importante nell’analisi dei derivati
43
An
dr
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Re
st
iA
nd
re
a R
es
ti
An
dr
ea
Re
st
i
Il lemma di Ito: quasi una derivazione
Nel calcolo differenziale avevamo imparato ad espandere una funzione in serie di Taylor; nel caso di G(x, t) :
Per piccoli incrementi ∆G, ci si fermava all’espansione di primo grado:
perché i termini di secondo grado sono trascurabili
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
G Gx
x Gt
t Gx
x
Gx t
x t Gt
t
= + +
+
+
+ +
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ∂
∂∂
½
½
2
22
2 2
22 K
(10A.6) p. 226
∆ ∆ ∆G Gx
x Gt
t= +∂∂
∂∂
44
An
dr
ea
Re
st
iA
nd
re
a R
es
ti
An
dr
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Re
st
i
Lemma di Ito: derivazione/2
Tuttavia, se x è un processo stocastico di Ito si ha
perché ∆x ha una componente che è di ordineInfatti, se dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, allora, per piccoli ∆:
che al quadrato diventa:
∆ ∆ ∆ ∆G Gx
x Gt
t Gx
x= + +∂∂
∂∂
∂∂
½2
22
∆t
( ) ( )∆ ∆ ∆x a x t t b x t t= +, , ε
tbttabtax ∆+∆∆+∆=∆ 22222 2 εε
Termine dasostituirenella ∆G
Termini trascurabiliperché di grado superiore
al primo
45
An
dr
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Re
st
iA
nd
re
a R
es
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An
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Re
st
i
Lemma di Ito: derivazione/3Si ha quindi che
Occupiamoci da vicino di ε: dato che ε ~ φ(0, 1) si ha:– E(ε) = 0– E(ε2) − [E(ε)]2 = 1– E(ε2) = 1, e quindi E(ε2∆t) = ∆t
La varianza di ε2∆t è proporzionale a ∆t2, cioè a un termine di grado superiore al primo; ne segue che, nell’espressione di ∆G, tutta la varianza di ε2∆t può essere ignorata, e ε2∆t può essere sostituito con la sua media, ∆t. Pertanto:
( )∆ ∆ ∆ ∆G Gx
x Gt
t Gx
b x t t= + +∂∂
∂∂
∂∂
ε½2
22 2,
( )∆ ∆ ∆ ∆G Gx
x Gt
t Gx
b x t t= + +∂∂
∂∂
∂∂
½2
22 ,
46
An
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Re
st
iA
nd
re
a R
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An
dr
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Re
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i
Lemma di Ito: derivazione/4
L’espressione che abbiamo trovato vale in realtà solo per incrementi infinitesimali di G, cioè:
Ora non ci resta altro da fare che sostituire dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz
e otteniamo il lemma di Ito:
( )dG Gx
dx Gt
dt Gx
b x t dt= + +∂∂
∂∂
∂∂
½2
22 ,
( ) ( ) ( )dG Gx
a x t Gt
Gx
b x t dt Gx
b x t dz= + +
+∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
, , ,½2
22
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Re
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Re
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i
Il lemma di Ito: significatoDa
Segue che il processo stocastico che governa G è ancora un processo di Ito, con un drift e una volatilità che possiamo calcolare, se conosciamo le derivate di G.Applicazione finanziaria: se il prezzo di un’azione è un moto geometrico browniano:
dS = µSdt + σSdz
Allora il processo per una funzione G(S, t) che dipende (deriva…) dall’azione è:
dG GS
S Gt
GS
S dt GS
Sdz= + +
+∂∂
µ∂∂
∂∂
σ∂∂
σ½2
22
( ) ( ) ( )dG Gx
a x t Gt
Gx
b x t dt Gx
b x t dz= + +
+∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
, , ,½2
22
2
48
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Re
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Re
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i
Il lemma di Ito: applicazioni
Il prezzo forward dell’azione per un contratto con scadenza al tempo T è G = Ser(T − t)
– Ne segue che il processo per G è dG = [er(T − t) µS + G (− r) + 0 × σ2S2]dt + er(T − t) σSdz = = (µ − r)Gdt + σGdz (è lo stesso processo che avevamo derivato, intuitivamente, per i
futures sull’indice, il cui prezzo cresce ad un tasso atteso pari all’extrarendimento di mercato)
rGrSedtdG
dSGde
dSdG tTrtTr −=−=== −− )(
2
2)( ;0 ;
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Re
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Re
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i
Il lemma di Ito: applicazioni/2
Si consideri la funzione G = ln(S)
– Ne segue che il processo per G è dG = [1/S( µS) + 0 + ½(− 1/S2) × σ2S2]dt + 1/S( σS)dz = = (µ − ½σ2)dt + σdz Cioè: dlogS segue un processo di Wiener generalizzato
(drift e volatilità non dipendono da logS, né da t). Nel discreto:
0 ;1 ;122
2
=−==dtdG
SdSGd
SdSdG
ttS ∆+∆−=∆ σεσµ )21(log 2
50
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Re
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Re
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i
Il processo che guida logS
Dato che ln(S) segue un processo di Wiener generalizzato con drift rate pari a µ − ½σ2 e variance rate pari a σ2
ne segue che
– (11.1) p. 229
ossia
– (11.2) p. 229
Dato che la distribuzione di ln(ST) è normale, la distribuzione di ST è log-normale
( ) ( ) ( )( )[ ]ln ln ~ ½ 2S S T t T tT − − − −φ µ σ σ,
( ) ( ) ( )( )[ ]ln ~ ln ½ 2S S T t T tT φ µ σ σ+ − − −,
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Re
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La Distribuzione Log-Normale
Media e varianza di una log-normale si trovano sui libri di statistica; nel nostro caso, è interessante osservare che il valore atteso di ST è E(ST) = Seµ(T − t) (11.3) p. 229
Per questo motivo chiameremo µ tasso di rendimento atteso (composto continuamente, su base annua).
0
Figura 11.1 p. 230
ST
Den
sità
di
prob
abili
tà
52
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Differenza tra rendimento attesoe rendimento dell’investimento Investo $100 per 5 anni in un’attività con rendimento atteso 14%Nei 5 anni successivi rende il 15%, 20%, 30%, -20%, 25%– Il rendimento medio è proprio il 14%– Il montante finale è di $179,4, che corrisponde ad un rendimento
composto annuo del 12,4%Perché questo scollamento?– Il rendimento composto annuo è un media geometrica dei fattori di
montante associati ai cinque tassi indicati sopra– Questa media geometrica è minore di quella aritmetica (14%)
perché i cinque tassi non sono tutti uguali, ma c’è volatilitàPerciò, se il rendimento effettivo non è costante (sempre uguale a µ) ma c’è volatilità attorno al valore atteso, il rendimento dell’investimento sarà minore di µ
53
An
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Re
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Re
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i
Il tasso di rendimentodi un investimento in azioni (η)
Sia η il tasso di rendimento annuo composto continuamente del mio investimento in azioni ST = Seη(T − t).
Cioè: (11.5) p. 230
Dato che
ne segue che (11.7) p. 231
Ne segue che il tasso di rendimento coincide con quello atteso solo se non c’è volatilità. Se no, è minore di µ
η =−
1T t
SSTln
( )( )[ ]ln ~ ½ 2SS
T t T tT
− − −φ µ σ σ,
η φ µ σσ~ ½ 2−
−
,T t
54
An
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Re
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Tasso di rendimento attesoe rendimento dell’investimento
Due possibili definizioni:− µ è il valore atteso del tasso di rendimento
relativo a un piccolissimo intervallo di tempo (è pari alla media aritmetica dei tassi di rendimento realizzati in diversi piccolissimi intervalli di tempo)
− µ − ½σ2 è il valore atteso del tasso di rendimento (composto continuamente) relativo a un intervallo di tempo di ampiezza finita (è pari alla media geometrica dei tassi di rendimento realizzati in diversi piccolissimi intervalli di tempo)
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An
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Re
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i
Esercizi consigliati
Sui concetti:– 10.1, 10.2, 10.9
Sui processi di Wiener– 10.3, 10.4
Sui processi di Ito– 10.7
Difficilotti– 10.5, 10.6, 10.8, 10.10, 10.11,
10.12, 10.13
56
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Valutare le opzioni con un modelloMettendo a punto un modello che rappresenti in modo soddisfacente le possibili evoluzioni del prezzo del sottostante, e derivando da questo il valore delle opzioni
Opzioni
Formuladi Black e Scholes
Valutazione neutraleverso il rischio
Sottostante
Modello continuobasato su un
processo stocastico
Albero binomiale
Ogg
i
Già
vi
sto
Già
vi
sto
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An
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Re
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iA
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I concetti sottostantiil modello di Black e Scholes
Il prezzo dell’opzione e il prezzo dell’azione dipendono dalla stessa fonte d’incertezza (dz)Come con l’albero binomiale, si può costruire un portafoglio di azioni e opzioni (es. lungo di azioni e corto di call) che elimina questa fonte di incertezzaIl portafoglio è istantaneamente privo di rischio e deve istantaneamente rendere il tasso privo di rischio
c
S
tgα=0,7
∆c≅0,7∆SPortafoglio: 0,7 S - c
58
An
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Re
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Re
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i
L’equazione differenziale di Black e Scholes
Il processo per il prezzo dell’azione [(11.10) p. 237] è ∆S = µS∆t + σS∆z
Il processo per il derivato [(11.11) p. 237] è (lemma di Ito):
Costruiamo allora un portafoglio corto su un derivato e lungo su azioni, che per costruzione vale:
(11.12) p. 237
∆ ∆ ∆f fS
S ft
fS
S t fS
S z= + +
+∂∂
µ∂∂
∂∂
σ∂∂
σ½2
22 2
Sf ∂∂ /
Π = − +f fS
S∂∂
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An
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Re
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a R
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An
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Re
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i
L’equazione differenziale di Black e Scholes/2
La variazione di valore del portafoglio nell’intervallo ∆t è
(11.13) p. 237
Sostituendo ∆f e ∆S si ottiene
(11.14) p. 238
Nota: i termini in dz sono spariti, cioè abbiamo eliminato il rischio. Ma allora il rendimento di questo portafoglio (in un piccolo istante ∆t) dev’essere uguale al tasso privo di rischio r, cioè:
∆Π = rΠ∆t
∆Π ∆ ∆= − +f fS
S∂∂
∆Π ∆= − −
∂∂
∂∂
σft
fS
S t½2
22 2
60
An
dr
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Re
st
iA
nd
re
a R
es
ti
An
dr
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Re
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i
L’equazione differenziale di Black e Scholes/3
Sostituendo ∆Π e Π, si ha
da cui si ottiene l’equazione differenziale di Black e Scholes:
(11.15) p. 238
− −
= − +
∂∂
∂∂
σ∂∂
ft
fS
S t r f fS
S t½2
22 2 ∆ ∆
∂∂
∂∂
σ∂∂
ft
rS fS
S fS
rf+ + =½2
2 22
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An
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Re
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Re
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i
L’equazione differenziale di Black e Scholes/4
Si tratta di un’equazione differenziale alle derivate parziali, che può essere risolta, specificando le “condizioni al contorno”, che sono diverse per ogni possibile derivato.Per esempio, in un contratto forward la condizione al contorno è f = S − K quando t = T, per una call europea la principale condizione al contorno è f = max(S –X , 0) quando t = TNoi non impareremo a risolvere un’equazione come quella di Black & Scholes, però sappiamo, ad esempio, che il valore di un forward è f = S − Ke−r(T − t)
– Verifichiamo che sia la soluzione dell’equazione differenziale di Black & Scholes
62
An
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Re
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L’equazione differenziale di Black e Scholes/5
f = S − Ke−r(T − t) è soluzione di
Infatti:
∂∂
∂∂
σ∂∂
ft
rS fS
S fS
rf+ + =½2
2 22
0/ ;1/ ;/ 22)( =∂∂=∂∂−=∂∂ −− SfSfrKetf tTr
)(
)( 0tTr
tTr
KeSfrfrSrKe
−−
−−
−=
=++−
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An
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Valutazione neutrale verso il rischio
La variabile µ nonnon appare nell’equazione di Black e Scholes, quindi l’equazione (come già l’albero binomiale) è indipendente dalla propensione al rischioPertanto, la soluzione dell’equazione differenziale in un mondo privo di rischio è uguale a quella che si ha nel mondo reale, ma è più semplice da ricavareQueste considerazioni portano al principio della valutazione neutrale verso il rischio:– Sarà questa la strada che seguiremo per dimostrare la
formula di Black & Scholes per un call europea
64
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Come si valuta un derivato in un mondo neutrale al rischio?
1. Si assume che il tasso di rendimento atteso dell’azione sia uguale al tasso d’interesse privo di rischio, e se ne calcola ilvalore futuro (a scadenza).
2. Da questo, si ricava il valore atteso futuro dell’opzione3. Si attualizza questo valore atteso usando il tasso d’interesse
privo di rischio
t T
rfT
ft
r STSt
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Re
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Re
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Valutazione risk-neutral di una call
Valore futuro dell’azione: abbiamo visto che
dove µ è il tasso di rendimento atteso dall’azione, che normalmente è maggiore di r perché gli investitori sono avversi al rischio.In un modo neutrale al rischio, invece µ = r e il valore futuro dell’azione è distribuito come:
t T
rfT
ft
r STSt
( ) ( ) ( )( )[ ]ln ~ ln ½ 2S S T t T tT φ µ σ σ+ − − −,
( ) [ ]ln ~ST φ
( ) ( ) ( )( )[ ]ln ~ ln ½ 2S S T t T tT φ r σ σ+ − − −,
µ* σ*
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An
dr
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Re
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Valutazione risk-neutral di una call
Valore futuro dell’opzione: sappiamo che0 se ST < X
fT = ST – X se ST > X
Indicando con Ê(fT) il valore atteso in un modo neutrale al rischio, si ha quindi che
t T
rfT
ft
r STSt
∫+∞
−+=x
TTTT dSSgXSfE )()(0)(ˆ
Funzione di densità di probabilitàdi ST, che non è normale (quellaè la distribuzione di logST…)
X
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Re
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Re
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Valutazione risk-neutral di una call
Per avere una funzione di densità normale, cambiamo variabile, e passiamo a w=logS
t T
rfT
ft
r STSt
∫∫
∫∞+∞+
+∞
−=
=−+=
XX
w
X
wT
dwwXdwwe
dwwXefE
loglog
log
)()(
)*;*;()(0)(ˆ
φφ
σµφ
21Risolviamole separatamente
cominciando da [2]
68
An
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i
Soluzione della [2]Sostituiamo a w la sua versione standardizzata (così potremo usare le tavole della normale standardizzata, φs(w)). Ovviamente l’estremo dell’integrale va riscritto dividendo sottraendo µ* e dividendo per σ*
∫∫∫
−−
∞−
∞+
−
∞+
==*
*
*log
*loglog
**)(**)()(σ
µ
σµ
φφφ
X
s
X
s
X
dwwdwwdww
=
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Re
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Soluzione della [2]
Indichiamo con N(.) la funzione di probabilità cumulata normale standard, calcolabile con le tavole, con molti software per personal computer o con l’approssimazione proposta a p. 243 di Hull:
)()(
2log
)(2
loglog*log
2
2
2
*
dNtT
tTrXS
N
tT
tTrSXNXN
≡
−
−
−+
=
=
−
−
−++−
=
+−
=
σ
σ
σ
σ
σµ
2
70
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Re
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Re
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i
Soluzione della [1]
Dalla formula della distribuzione normale riportata nei libri di statistica:
Segue che:
E’ poi possibile lavorare con un po’ d’algebra (e tanta pazienza…) su questo esponente, che chiameremo [3]
∫∫+∞ −
−+∞
==X
ww
X
w dwedwwelog
2*)(
log
2*
2
*21)( σ
µ
σπφ
2*
2
2*)(
*21)( σ
µ
σπφ
−−
=w
ew
1
3
71
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Re
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iA
nd
re
a R
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An
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Re
st
i
Soluzione della [1]
3
)(2
)(2
loglog)(
...)(2
)(2
log)(2
2
22
2
2
22
tT
tTrSwStTr
tT
tTrSwtTw
−
−
+−−
−+−=
==−
−
−−−−−
=
σ
σ
σ
σσ
2*σ
*ˆ µµ ≠≡
1
∫∫
∫∞+
−∞+ −
−−
+∞ −−
−
⋅=⋅=
=⋅=
X
tTr
X
wtTr
X
wStTr
dwwSedweSe
dweee
log
)(
log
2)ˆ(
)(
log
2)ˆ(
log)(
)*;,ˆ(*2
1
*21
2*
2
2*
2
σµφσπ
σπ
σµ
σµ
Sostituendonella [1]: Assomiglia
alla [2] e lasistemiamo
in un attimo:
72
An
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Re
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iA
nd
re
a R
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An
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Re
st
i
Soluzione della [1]
Con
1
( )1)(
2*
)(
ˆlog
)(
ˆlog
)(
ˆlog
**)(**)(*
*
dNSeXNSe
dwwSedwwSe
tTrtTr
X
stTr
X
stTr
⋅⋅≡
+−⋅⋅=
=⋅=⋅=
−−
−−
∞−
−∞+
−
− ∫∫
σµ
φφσ
µ
σµ
tTdtT
tTrXS
tT
XtTrSXd
−+=−
−
++
=
=−
−−
++
=−
=
σσ
σσ
σ
σµ
2
2
2
*1
)(2
log
log)(2
loglogˆ
73
An
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Re
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Re
st
i
cdNXedNSfEe tTrT
tTr =⋅⋅−⋅= −−−− )()()(ˆ2
)(1
)(
Valutazione risk-neutral di una call
t T
rfT
ft
r STSt
Valore attuale dell’opzione, scontato al tasso risk-free:
Valore futuro dell’opzione:
)()()(ˆ21
)( dXNdNSefE tTrT −⋅⋅= −
Abbiamo così ottenuto la formula di Black & Scholes
per una call europea
(11.22) p. 241
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Formula di Black e Scholesper una put europea
E’ facile. Basta ricordare che:p + S ≡ c + Xe-r(T-t)
1 – N(x) = N(-x)E si ottienep = c – S + Xe-r(T-t) = S·N(d1) - e-r(T-t)X ·N(d2) – S + Xe-r(T-t) == Xe-r(T-t) [1- N(d2)] - S [1-N(d1)] = Xe-r(T-t) N(-d2) - S [N(-d1)]
Formula di Black & Scholes per una put
europea
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Le formule di Black & Scholessono sensate? Sì, infatti…
Quando S è molto elevato, la call viene sicuramente esercitata e la formula coincide con quella di un forward:
XeSdNXedNSc tTrtTr ⋅−=⋅⋅−⋅= −−−− )(2
)(1 )()(
+∞→−+=
+∞→−
−
−+
=
tTddtT
tTrXS
d
σσ
σ
21
2
2
)(2
log
1 1Prezzo diesercizio
del forward
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Le formule di Black & Scholessono sensate? Sì, infatti…
Quando S è molto elevato, la put viene sicuramente stracciata e dunque non vale nulla:
0)()( 12)( =−⋅−−⋅⋅= −− dNSdNXep tTr
+∞→−+=
+∞→−
−
−+
=
tTddtT
tTrXS
d
σσ
σ
21
2
2
)(2
log
0 0
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Le formule di Black & Scholessono sensate? Sì, infatti…
Quando la volatilità è nulla, S si rivaluta certamente al tasso privo di rischio r, e la call a scadenza vale sicuramente:
Dunque, in valore attuale, oggi vale
E’ facile vedere che la formula di B&S rispetta questa condizione. Infatti…
]0,max[]0,max[ )()()( tTrtTrtTr XeSXSeec −−−−− −=−=
]0,max[]0,max[ )( XSeXSc tTrTT −=−= −
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Le formule di Black & Scholessono sensate? Sì, infatti…
…quando la volatilità è nulla, infatti, se S > X e-r(T-t), allora log(S/X) + r(T-t) > 0 e quindi:
Se invece è S < X e-r(T-t), d1 e d2 tendono a –∞ e la call non vale nulla, proprio come si è visto nel lucido precedente
XeSdNXedNSc tTrtTr ⋅−=⋅⋅−⋅= −−−− )(2
)(1 )()(
+∞→−+=
+∞→−
−
−+
=
tTddtT
tTrXS
d
σσ
σ
21
2
2
)(2
log
1 1
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Esercizio: prezzare una putcon la formula di B&S
Calcolate il prezzo di una put europea a due mesi con strike (X) $24 su un titolo che non pagherà dividendi e che oggi quota (S) $24, sapendo che la volatilità del titolo (σ) è del 20% annuo e che il tasso privo di rischio è il 7% annuo composto continuamente.
1021,012/2%20
)12/2(2%20%7
2424log
2
2 ≅
−+
=d
1837,012/2%2021 ≅+= dd
646,043,02446,024
)()(122%7
12)(
≅⋅−⋅=
=−⋅−−⋅⋅=⋅−
−−
e
dNSdNXep tTr
L’opzione valecirca 65 cents
46,0)( 2 ≅−dN
43,0)( 1 ≅−dN
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Esercizio: ri-prezzare la putcon la formula di B&S
E se l’azione crollasse a $20 (e la put andasse deep in the money)?
13,212/2%20
)12/2(2%20%7
2420log
2
2 −≅
−+
=d
05,212/2%2021 −≅+= dd
733,398,02098,024
)()(122%7
12)(
≅⋅−⋅=
=−⋅−−⋅⋅=⋅−
−−
e
dNSdNXep tTr
L’opzione balzaoltre i 3 dollari
98,0)( 1 ≅−dN
98,0)( 2 ≅−dN
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Esercizio: prezzare un’altra putcon la formula di B&S
E se la volatilità fosse solo del 10% annuo?Come per ogni contratto assicurativo, il valore dell’opzione si riduce se il rischio diminuisce:
2654,012/2%10
)12/2(2%10%7
2424log
2
2 ≅
−+
=d
3062,012/2%1021 ≅+= dd
265,038,02440,024
)()(122%7
12)(
≅⋅−⋅=
=−⋅−−⋅⋅=⋅−
−−
e
dNSdNXep tTr
L’opzione valesolo 26 cents
38,0)( 1 ≅−dN
40,0)( 2 ≅−dN
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Esercizio: prezzare una callcon la formula di B&S
E se fosse stata una call?
1021,012/2%20
)12/2(2%20%7
2424log
2
2 ≅
−+
=d
1837,012/2%2021 ≅+= dd
L’opzione valecirca 92 cents924,054,02457,024
)()(122%7
2)(
1
≅⋅⋅−⋅=
=⋅⋅−⋅=⋅−
−−
e
dNXedNSc tTr
E’ giusto che valga più della put a.t.m.? Sì, per la put/call parity…
57,0)( 1 ≅dN
54,0)( 2 ≅dN
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Come si stima la volatilità σ?[1] Partendo dai dati storici
Siano S0, S1, ..., Sn i prezzi osservati ad intervalli di τ anniSia ui il tasso di rendimento composto continuamente*:
Poiché
Allora s (deviazione standard delle ui) = E la volatilità di ST può essere stimata con
u SSi
i
i=
−
ln1
iuii eSS 1−=cioè:
],)[()ln( 22
11 τστσµφ −≈−ii SS
τσ
τσ s=ˆ* non annualizzato
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[1] Partire dai dati storici:esempio
Data S(i) S(i)/S(i-1) u(i) = ln(S(i)/S(i-1))1/4/00 10.3138/4/00 10.800 1.047 0.046
15/4/00 10.604 0.982 -0.01822/4/00 11.744 1.108 0.10229/4/00 11.544 0.983 -0.0176/5/00 11.245 0.974 -0.026
13/5/00 12.112 1.077 0.074
s di u(i) 0.055tau (1/52) 0.019sigma stimato 0.396
21
3
4τσ s=ˆ
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Come si stima la volatilità σ?[2] Volatilità implicita
I prezzi delle opzioni, in B&S, dipendono anche da σ:
Per un dato prezzo, esiste quindi un valore di volatilità implicito in quel prezzo, ricavabile per via iterativa.Partendo dal prezzo di una o più opzioni su un sottostante, possiamo ricavare questa volatilità e usarla per prezzare altre opzioni sul medesimo sottostante.
)()( 2)(
1 dNXedNSc tTr ⋅⋅−⋅= −−
)()( 12)( dNSdNXep tTr −⋅−−⋅⋅= −− σ
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[2] Volatilità implicita:esempio
Una put europea a due mesi con strike (X) $24 su un titolo che non pagherà dividendi e che oggi quota (S) $24, viene scambiata, oggi, a 50 cents.Sapendo che il tasso privo di rischio è il 7% annuo composto continuamente, ricavare la volatilità implicita del titolo (σ).
σ d1 d2 N(-d1) N(-d2) p10.0% 0.31 0.27 0.38 0.40 0.2715.0% 0.22 0.16 0.41 0.44 0.4516.0% 0.21 0.15 0.42 0.44 0.4916.2% 0.21 0.14 0.42 0.44 0.5017.0% 0.20 0.13 0.42 0.45 0.5320.0% 0.18 0.10 0.43 0.46 0.65
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Esercizi consigliati(tra parentesi alcune soluzioni)
Concetti di base: – 11.1, 11.3, 11.6, 11.11,
Processo per il prezzo di un’azione:– 11.2, 11.7, 11.8
Formula di B&S: applicazione– 11.4, 11.5, 11.13, 11.14, file Excel disponibile su Internet
Altro– 11.6, 11.10, 11.18
Difficilotti, ma simpatici– 11.9, 11.11, 11.15, 11.19, 11.22
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Opzioni europee su azioni che pagano dividendi nel continuo
Se un azione (o paniere) “perde per strada” dividendi a un tasso q, il suo valore cresce di menoE’ cresciuta da S a ST? Allora, se non avesse distribuito il dividendo, sarebbe cresciuta da S a STeq(T − t), oppure (è lo stesso) da Se-q(T − t) a ST
Dunque la distribuzione di probabilità del prezzo di un’azione al tempo T è la stessa se:– il prezzo iniziale dell’azione è S e il titolo offre un dividend yield
continuo pari a q– il prezzo iniziale dell’azione è Se−q(T − t) e il titolo non offre alcun
redditoPossiamo valutare le opzioni europee riducendo il prezzo corrente dell’azione a Se−q(T − t) per poi comportarci come se nonnon ci fossero dividendi
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In pratica
S
STeq(T-t)
S
SST
Sq
Un titolo che paga dividendo al tasso q remunera l’investitore in due modi, lasciandolo con una ricchezza finale di STeq(T-t)
(reinvestimento istantaneo del dividendo)
In pratica, rende quanto un titolo che non paga dividendo ma chiude a un valore STeq(T-t)
(oppure, che è lo stesso, quanto un titolo che oggi vale Se-q(T-t) e chiude a ST)
Se-q(T-t)
ST
2
1
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Opzioni europee su azioniche pagano dividendi nel continuo
(12.4) p. 263
(12.5) p. 263
dove
( ) ( ) ( ) ( )c Se N d Xe N dq T t r T t= −− − − −1 2
( ) ( ) ( ) ( )p Xe N d Se N dr T t q T t= − − −− − − −2 1
( ) ( )( )d S X r q T tT t1
2=
+ − + −−
ln ½/ σσ
( ) ( )( )dS X r q T t
T td T t2
2
1=+ − − −
−= − −
ln ½/ σσ
σ
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Valutare index options europee
Le index options sono opzioni sul valore dell’indice di borsa, un paniere di titoli valutati al netto di eventuali dividendi– i contratti vengono liquidati per contanti
Sono un buon esempio di sottostante che paga un dividendyield continuo, e ci consentono di usare la formula appena vistaSi pone– S uguale al livello corrente dell’indice– q uguale al valore atteso del dividend yield medio dell’indice
durante la vita dell’opzione
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EsempioCall europea c su S&P500, vita residua 2 mesi, X=$300.Oggi S&P500 vale $310, ha volatilità σ=20% e dividend yield0,2% nel primo mese, 0,3% nel secondo.Il tasso risk-free è 8% annuo, composto continuamente
%3212%)3,0%2,0( =⋅+=q
4628,012/2%20
)12/2(2%20%3%8
300310log
2
2 ≅
−−+
=d
5444,012/2%2021 ≅+= dd 71,0)( 1 ≅dN
68,0)( 2 ≅dN
28,1768,030071,0310
)()(122%8122%3
2)(
1)(
≅⋅⋅−⋅=
=⋅⋅−⋅=⋅−⋅−
−−−−
ee
dNXedNSec tTrtTq
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Utilizzare le index options per assicurare un portafoglio gestito
Si supponga che il livello dell’indice sia S, che il prezzo d’esercizio sia X, che ogni opzione riguardi 100 volte l’indice– Se il portafoglio ha un β di 1,
il gestore compra 1 put per ogni 100S dollari gestiti– Se il portafoglio ha un β diverso da 1,
il gestore compra β puts per ogni 100S dollari gestiti
In entrambi i casi X viene scelto in modo da garantire la protezione assicurativa desiderata, con un costo accettabile (minore è X e meno costosa è la put)
Se β è diverso da 1, X è il livello raggiunto dall’indice quando il portafoglio raggiunge la massima perdita per noi accettabile
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Currency options
Sono opzioni su divise estere (o su futures su divise estere), utilizzate per coprire esposizioni in valutaLa divisa estera è uno strumento che offre un reddito continuo pari al tasso d’interesse estero privo di rischio (rf)Si può usare la formula valida per un’opzione scritta su un’azione che paga un «dividend yield continuo»Si pone
– S uguale al tasso di cambio corrente– q uguale a rf
Infatti il reddito di un deposito in divisa estera, espresso nella valuta nazionale, è rf S, per cui rf è analogo a q
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Valutare le currency options
)()( 2)(
1)( dNXedNSec tTrtTrf ⋅−⋅= −−−−
)]()( 1)(
2)( dNSedNXep tTrtTr f −⋅−−⋅= −−−−
tTddtT
tTX
Se
tT
tTrrXS
d
tTrr
ff
−+=
−
−−=
−
−
−−+
=
−−
σσ
σ
σ
σ
21
2))((2
2
)(2
log)(2
log
con: F con uguale scadenza
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Valutare le currency options/formula alternativa
[ ])()(
)()(
21)(
2)(
1))(()(
dNXdNFe
dNXedNSeectTr
tTrtTrrtTr f
⋅−⋅⋅=
=⋅−⋅=−−
−−−−−−
[ ])()(
)()(
12)(
1))(()(
2)(
dNFdNXe
dNSeedNXeptTr
tTrrtTrtTr f
−⋅−−⋅=
=−⋅−−⋅=−−
−−−−−−
tTddtT
tTXF
d −+=−
−−= σ
σ
σ
21
2
2 ;)(
2log
Se esiste un future che scade in T:
con:
))(( tTrr fSeF −−=
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EsempioCall europea c su sterlina, vita residua 4 mesi, X=$1,6.Cambio spot: $1,6, volatilità σ=10%, tasso su sterline: rf= 11%Il tasso risk-free sui dollari è 8% annuo
20,012/4%10
)12/4(2%10%11%8
6,16,1log
2
2 −≅
−−+
=d
14,012/4%1021 −≅+= dd
44,0)( 1 ≅dN
42,0)( 2 ≅dN
0285,042,06,144,06,1)()(
124%8124%112
)(1
)(
≅⋅⋅−⋅=
=⋅⋅−⋅=⋅−⋅−
−−−−
eedNXedNSec tTrtTrf
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Opzioni su futures
Quando si esercita una call, si riceve una posizione lunga nel futures più un importo in denaro pari alla differenza tra il prezzo futures e il prezzo d’esercizio (v. figura)
Quando si esercita una put, si riceve una posizione corta nel futures più un importo in denaro pari alla differenza tra
il prezzo d’esercizio e il prezzo futures
Acquirente di unacall su futures
Venditore di unacall su futures
Paga X (strike)
Riceve f (=0)più il prezzo future corrente F
Esce dal future e sitiene F-K, oppure tiene il future e i soldi per esercitarlo
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Formula di B&S per le opzioni su futures
In un mondo neutrale al rischio l’investimento in un’azione deve avere un rendimento atteso µ=r, perché comporta un esborso di denaro (S) che va remunerato, senza premi al rischio.Entrare in un future non comporta esborsi di denaro. L’acquirente non versa niente, e può continuare a tenere i suoi fondi depositati in banca, guadagnando r. Di conseguenza, il rendimento atteso dal future deve essere 0.La valutazione neutrale al rischio di un opzione su futuresè simile a quella vista per le azioni, ma:– Il sottostante è F, non S – µ vale zero, non r– σ è la volatilità del future, non del sottostante
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Formula di Blackper le opzioni su futures
)]()([ 21)( dNXdNFec tTr ⋅⋅−⋅= −−
)]()([ 12)( dNFdNXep tTr −⋅−−⋅= −−
tTddtT
tTXF
d −+=−
−−= σ
σ
σ
21
2
2 ;)(
2logcon:
)( tTrFe"S" −−=
Nota: coincide con la formula vista per le currency optionsquando esisteva un future con scadenza pari all’opzione(che a scadenza infatti convergeva al valore del sottostante)
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EsempioPut europea p su futures sul petrolio, vita residua 4 mesi, X=$20.Prezzo future: $20, volatilità di F è σ=25%Il tasso risk-free sui dollari è 9% annuo
07,012/4%25
)12/4(2%25
2020log
2
2 −≅−
=d
07,012/4%2521 +≅+= dd
47,0)( 1 ≅−dN
53,0)( 2 ≅−dN
[ ][ ] 12,147,02053,020
)()(124%9
12)(
≅⋅−⋅=
=−⋅−−⋅⋅=⋅−
−−
e
dNFdNXep tTr
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Come cambiano le put/call parity?
Per gli indici azionari i due portafogli equivalenti ora sono: c + Xe−r(T − t) = p + Se−q(T − t)
Per le valute estere, i due portafogli equivalenti ora sono: c + Xe−r(T − t) = p + Se−rf (T − t)
Per i futures i due portafogli equivalenti ora sono: c + Xe−r(T − t) = p + Fe−r(T − t)