quasi monte-carlo methoden - uni-muenster.delemm/seminarss08/horstman… · einleitung / motivation...
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Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Quasi Monte-Carlo Methoden
Marcel Horstmann
26.06.2008
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Einleitung / MotivationBeispiel: Bestimmung von π
mit der Monte-Carlo Methodemit der Quasi Monte-Carlo Methode
Fehlerabschätzung für QMC-IntegrationMaß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Quasi-Zufallsgeneratorenintuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Bestimmung von π mit Monte-Carlo
Ermittlung von π über dasVerhältnis von Kreisfläche Ak zuQuadratfläche AQ
◮ AQ = r2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.20.40.60.8 1
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Bestimmung von π mit Monte-Carlo
Ermittlung von π über dasVerhältnis von Kreisfläche Ak zuQuadratfläche AQ
◮ AQ = r2
◮ Viertelkreis: Ak = 14πr2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.20.40.60.8 1
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Bestimmung von π mit Monte-Carlo
Ermittlung von π über dasVerhältnis von Kreisfläche Ak zuQuadratfläche AQ
◮ AQ = r2
◮ Viertelkreis: Ak = 14πr2
◮ π = 4 · AkAQ
= 4 · AnzahlTrefferAnzahlWuerfe
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.20.40.60.8 1
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Bestimmung von π mit Monte-Carlo
Ermittlung von π über dasVerhältnis von Kreisfläche Ak zuQuadratfläche AQ
◮ AQ = r2
◮ Viertelkreis: Ak = 14πr2
◮ π = 4 · AkAQ
= 4 · AnzahlTrefferAnzahlWuerfe
◮ nebenstehendes Beispiel:8 Würfe, 7 Treffer
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.20.40.60.8 1
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Bestimmung von π mit Monte-Carlo
Ermittlung von π über dasVerhältnis von Kreisfläche Ak zuQuadratfläche AQ
◮ AQ = r2
◮ Viertelkreis: Ak = 14πr2
◮ π = 4 · AkAQ
= 4 · AnzahlTrefferAnzahlWuerfe
◮ nebenstehendes Beispiel:8 Würfe, 7 Treffer
◮ π = 4 · 78 = 3, 5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.20.40.60.8 1
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 2 π = 0
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 4 π = 2
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 8 π = 2
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 16 π = 2.75
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 32 π = 3
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 64 π = 2.75
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 128 π = 3.062
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 256 π = 3.031
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 512 π = 3.055
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 1024 π = 3.086
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 2048 π = 3.158
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 4096 π = 3.126
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 8192 π = 3.121
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1000100001000001e+061e+071e+08
rela
tive
Gen
auig
keit
Anzahl Punkte N
MC1√n
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Monte-Carlo Methoden
∫
f d V ≈ 1N
N−1∑
i=0
f(xi) ± V
√
Var(f)N
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Monte-Carlo Methoden
∫
f d V ≈ 1N
N−1∑
i=0
f(xi) ± V
√
Var(f)N
◮1√N
- Konvergenz bedeutet:
eine Größenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Größenordnungen mehr Rechenaufwand!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Monte-Carlo Methoden
∫
f d V ≈ 1N
N−1∑
i=0
f(xi) ± V
√
Var(f)N
◮1√N
- Konvergenz bedeutet:
eine Größenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Größenordnungen mehr Rechenaufwand!
◮ Das dieser Wurzelterm so vertraut ist bedeutet aber nicht,das es nicht auch besser geht!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Monte-Carlo Methoden
∫
f d V ≈ 1N
N−1∑
i=0
f(xi) ± V
√
Var(f)N
◮1√N
- Konvergenz bedeutet:
eine Größenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Größenordnungen mehr Rechenaufwand!
◮ Das dieser Wurzelterm so vertraut ist bedeutet aber nicht,das es nicht auch besser geht!
◮ Eine bessere Konvergenz lässt sich durch gleichmäßigerePunktwahl erreichen
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
Monte-Carlo Methoden
∫
f d V ≈ 1N
N−1∑
i=0
f(xi) ± V
√
Var(f)N
◮1√N
- Konvergenz bedeutet:
eine Größenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Größenordnungen mehr Rechenaufwand!
◮ Das dieser Wurzelterm so vertraut ist bedeutet aber nicht,das es nicht auch besser geht!
◮ Eine bessere Konvergenz lässt sich durch gleichmäßigerePunktwahl erreichen
◮ Quasi Monte-Carlo Methoden!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 2 π = 4
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
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Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 4 π = 4
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
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Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 8 π = 3.5
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 16 π = 3.25
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 32 π = 3.125
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 64 π = 3.125
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 128 π = 3.188
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 256 π = 3.188
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 512 π = 3.164
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 1024 π = 3.16
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 2048 π = 3.146
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 4096 π = 3.146
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 8192 π = 3.144
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 8192 π = 3.121
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1000 100001000001e+061e+07
rela
tive
Gen
auig
keit
Anzahl Punkte N
MC1√N
QMCN−0.73
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Wie groß ist der Fehler bei QMC-Integration?
∫
[0,1)df(x)dx ≈ 1
n
n∑
i=1
f(xi) (1)
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Wie groß ist der Fehler bei QMC-Integration?
∫
[0,1)df(x)dx ≈ 1
n
n∑
i=1
f(xi) (1)
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Wie groß ist der Fehler bei QMC-Integration?
∫
[0,1)df(x)dx ≈ 1
n
n∑
i=1
f(xi) (1)
◮ Fehler hängt offensichtlich von Anzahl der Punkte undderen „Gleichmäßigkeit“ ab
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Wie groß ist der Fehler bei QMC-Integration?
∫
[0,1)df(x)dx ≈ 1
n
n∑
i=1
f(xi) (1)
◮ Fehler hängt offensichtlich von Anzahl der Punkte undderen „Gleichmäßigkeit“ ab
◮ Um konkretere Aussagen machen zu können benötigenwir zunächst ein Maß für diese „Gleichmäßigkeit“
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Wie groß ist der Fehler bei QMC-Integration?
∫
[0,1)df(x)dx ≈ 1
n
n∑
i=1
f(xi) (1)
◮ Fehler hängt offensichtlich von Anzahl der Punkte undderen „Gleichmäßigkeit“ ab
◮ Um konkretere Aussagen machen zu können benötigenwir zunächst ein Maß für diese „Gleichmäßigkeit“
◮ Die Diskrepanz!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Definition der Diskrepanz
Diskrepanz D: Abweichung der Punkte x1 · · · xn von idealerGleichförmigkeit auf dem Intervall B: [0, 1)d
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Definition der Diskrepanz
Diskrepanz D: Abweichung der Punkte x1 · · · xn von idealerGleichförmigkeit auf dem Intervall B: [0, 1)d
D(x1, · · · , xn; B) = supA∈B
∣
∣
∣
∣
∣
#{xi ∈ A }n
− V(A)
∣
∣
∣
∣
∣
(2)
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Definition der Diskrepanz
Diskrepanz D: Abweichung der Punkte x1 · · · xn von idealerGleichförmigkeit auf dem Intervall B: [0, 1)d
D(x1, · · · , xn; B) = supA∈B
∣
∣
∣
∣
∣
#{xi ∈ A }n
− V(A)
∣
∣
∣
∣
∣
(2)
Dabei stellt A eine Teilmenge von B der Form:
Πdj=1[uj , vj), 0 ≤ uj < vj ≤ 1
dar.
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Beispiel: LCG und Sobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 2048 π = 3.141
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 2048 π = 3.146
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz eindimensionaler Folgen
◮ Für alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D fürn→∞ verschwinden!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz eindimensionaler Folgen
◮ Für alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D fürn→∞ verschwinden!
◮ Für endliche n:
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz eindimensionaler Folgen
◮ Für alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D fürn→∞ verschwinden!
◮ Für endliche n:◮ in einer Dimension: D(x1, · · · , xn) ≥ 1
n
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz eindimensionaler Folgen
◮ Für alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D fürn→∞ verschwinden!
◮ Für endliche n:◮ in einer Dimension: D(x1, · · · , xn) ≥ 1
n◮ Minimum wird durch: xi = 2i−1
n , i = 1, ...., n realisiert.Problem hier: alle xi werden durch Wahl von n festgelegtund unterscheiden sich sämtlich von der Folge zu n + 1 -die Genauigkeit der Integration lässt sich also nicht beliebigsteigern!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz eindimensionaler Folgen
In der Praxis relevanter:
◮ Durch einen Generator wird eine unendliche Folgex1, x2, · · · festgelegt
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz eindimensionaler Folgen
In der Praxis relevanter:
◮ Durch einen Generator wird eine unendliche Folgex1, x2, · · · festgelegt
◮ Uns interessiert nun die Diskrepanz der n ersten Elementedieser Folge!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz eindimensionaler Folgen
In der Praxis relevanter:
◮ Durch einen Generator wird eine unendliche Folgex1, x2, · · · festgelegt
◮ Uns interessiert nun die Diskrepanz der n ersten Elementedieser Folge!
◮ Für diese existiert eine untere Schranke:
D(xi , ...., xn) ≥c logn
n, c = const
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen
Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen
Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!◮ wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen
Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!◮ wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden◮ weit verbreitete Annahme: Die ersten n Elemente einer
Folge xi , ..., xn in Dimensionen d ≥ 2 besitzen eineDiskrepanz von
D(x1, ..., xn) ≥ cd(logn)d
n.
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen
Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!◮ wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden◮ weit verbreitete Annahme: Die ersten n Elemente einer
Folge xi , ..., xn in Dimensionen d ≥ 2 besitzen eineDiskrepanz von
D(x1, ..., xn) ≥ cd(logn)d
n.
◮ Folgen die dies erreichen werden häufig als„low-discrepancy sequences“ bezeichnet
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Dimensionsabhängigkeit
Obwohl 1n schneller fällt wie jede Potenz von log n:
◮ für große Dimensionen wird (log n)d schnell sehr groß
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Dimensionsabhängigkeit
Obwohl 1n schneller fällt wie jede Potenz von log n:
◮ für große Dimensionen wird (log n)d schnell sehr groß◮ QMC-Methoden sind daher für sehr hochdimensionale
Probleme tendenziell weniger geeignet
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Dimensionsabhängigkeit
Obwohl 1n schneller fällt wie jede Potenz von log n:
◮ für große Dimensionen wird (log n)d schnell sehr groß◮ QMC-Methoden sind daher für sehr hochdimensionale
Probleme tendenziell weniger geeignet◮ allerdings zeigen viele Untersuchungen, das auch
hochdimensionale finanzmathematische Probleme mitQMC effizienter wie mit MC zu lösen sind
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Übersicht
Einleitung / MotivationBeispiel: Bestimmung von π
mit der Monte-Carlo Methodemit der Quasi Monte-Carlo Methode
Fehlerabschätzung für QMC-IntegrationMaß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Quasi-Zufallsgeneratorenintuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1000 100001000001e+061e+07
rela
tive
Gen
auig
keit
Anzahl Punkte N
MC1√N
QMCN−0.73
3.14
3.142
3.144
3.146
3.148
3.15
3.152
3.154
3.156
3.158
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
n
Bestimmung von π mit QMC - wo abbrechen?
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
[0,1)df(x)dx − 1
n
n∑
i=1
f(xi)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
Koksma-Hlawka Ungleichung∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
[0,1)df(x)dx − 1
n
n∑
i=1
f(xi)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ V(f) D(x1, ..., xn)
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
Koksma-Hlawka Ungleichung∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
[0,1)df(x)dx − 1
n
n∑
i=1
f(xi)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ V(f) D(x1, ..., xn)
◮ V(f) hängt nur von f ab
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
Koksma-Hlawka Ungleichung∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
[0,1)df(x)dx − 1
n
n∑
i=1
f(xi)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ V(f) D(x1, ..., xn)
◮ V(f) hängt nur von f ab◮ Diskrepanz D hängt nur vom verwendeten Generator ab
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschätzungleider relativ wertlos◮ V(f) ist kaum bestimmbar
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschätzungleider relativ wertlos◮ V(f) ist kaum bestimmbar◮ vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das
eigentliche Integral!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschätzungleider relativ wertlos◮ V(f) ist kaum bestimmbar◮ vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das
eigentliche Integral!◮ auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschätzungleider relativ wertlos◮ V(f) ist kaum bestimmbar◮ vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das
eigentliche Integral!◮ auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt◮ Erheblicher Nachteil der Quasi-Monte-Carlo Methode
gegenüber MC!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Fehlerschranke
Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschätzungleider relativ wertlos◮ V(f) ist kaum bestimmbar◮ vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das
eigentliche Integral!◮ auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt◮ Erheblicher Nachteil der Quasi-Monte-Carlo Methode
gegenüber MC!◮ Ansatz hier: Randomized QMC (nur als Ausblick...)
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Übersicht
Einleitung / MotivationBeispiel: Bestimmung von π
mit der Monte-Carlo Methodemit der Quasi Monte-Carlo Methode
Fehlerabschätzung für QMC-IntegrationMaß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka
Quasi-Zufallsgeneratorenintuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k = 1 N = 1
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k = 2 N = 9
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k = 3 N = 49
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k = 4 N = 225
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
k = 5 -> N = 312 = 25·2 − 25 = 961
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Gitter
N = 2kd − 2k
◮ Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Gitter
N = 2kd − 2k
◮ Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!
◮ typische Probleme in der Finanzmathematik: d ≈ 50
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Gitter
N = 2kd − 2k
◮ Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!
◮ typische Probleme in der Finanzmathematik: d ≈ 50◮ im ersten Durchlauf N ≈ 250
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Gitter
N = 2kd − 2k
◮ Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!
◮ typische Probleme in der Finanzmathematik: d ≈ 50◮ im ersten Durchlauf N ≈ 250
◮ viel, aber noch machbar!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Gitter
N = 2kd − 2k
◮ Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!
◮ typische Probleme in der Finanzmathematik: d ≈ 50◮ im ersten Durchlauf N ≈ 250
◮ viel, aber noch machbar!◮ für k = 2: N ≈ 2100
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Gitter
N = 2kd − 2k
◮ Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!
◮ typische Probleme in der Finanzmathematik: d ≈ 50◮ im ersten Durchlauf N ≈ 250
◮ viel, aber noch machbar!◮ für k = 2: N ≈ 2100
◮ läuft auf heute verfügbaren Computern länger als dasUniversum alt ist!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 9 π = 2.667
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 25 π = 2.72
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 81 π = 2.864
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 289 π = 2.99
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 1089 π = 3.067
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 4225 π = 3.103
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 16641 π = 3.122
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
weitere Nachteile
◮ zwischen den Punkten bleiben relativ große quadratischeLöcher
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
weitere Nachteile
◮ zwischen den Punkten bleiben relativ große quadratischeLöcher
◮ wie gerade am π-Beispiel gesehen resultiert darausschlechte Konvergenz!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 0
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/2
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0. 1
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/4
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/4
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/8
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/8
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/8
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8
Das sieht doch ganz erfolgsversprechend aus!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Van der Corput Sequenz
0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8
Das sieht doch ganz erfolgsversprechend aus!
◮ versuchen wir doch mal damit π zu bestimmen...
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 5000 π = 4
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 5000 π = 3.507
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Erweiterung auf mehrere Dimensionen
Ups! So gehts also nicht
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Erweiterung auf mehrere Dimensionen
Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern◮ Halton Sequenz!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Erweiterung auf mehrere Dimensionen
Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern◮ Halton Sequenz!◮ für jede Dimension eine andere VdC Sequenz mit
aufeinanderfolgenden Primzahlen b = 2, 3, 5, 7, 11, · · · alsBasen
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Erweiterung auf mehrere Dimensionen
Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern◮ Halton Sequenz!◮ für jede Dimension eine andere VdC Sequenz mit
aufeinanderfolgenden Primzahlen b = 2, 3, 5, 7, 11, · · · alsBasen
◮ π bestimmen!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 10 π = 3.6
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 50 π = 3.12
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 250 π = 3.216
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 1250 π = 3.139
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 6250 π = 3.142
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
höhere Dimensionen
Die Bestimmung von π mit Halton funktioniert also.
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
höhere Dimensionen
Die Bestimmung von π mit Halton funktioniert also.
◮ Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
höhere Dimensionen
Die Bestimmung von π mit Halton funktioniert also.
◮ Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional!◮ Um höherdimensionale Probleme zu lösen werden
entsprechend größere Primzahlen benötigt
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
höhere Dimensionen
Die Bestimmung von π mit Halton funktioniert also.
◮ Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional!◮ Um höherdimensionale Probleme zu lösen werden
entsprechend größere Primzahlen benötigt◮ Allerdings wird dadurch die Diskrepanz der Folgen immer
größer, und damit die Konvergenz immer schlechter ...
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
höhere Dimensionen
Die Bestimmung von π mit Halton funktioniert also.
◮ Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional!◮ Um höherdimensionale Probleme zu lösen werden
entsprechend größere Primzahlen benötigt◮ Allerdings wird dadurch die Diskrepanz der Folgen immer
größer, und damit die Konvergenz immer schlechter ...◮ Beispiel: 50 Dimensionen
b49 = 227 und b50 = 229 sind dann die größten Basen
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
höhere Dimensionen
Die Bestimmung von π mit Halton funktioniert also.
◮ Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional!◮ Um höherdimensionale Probleme zu lösen werden
entsprechend größere Primzahlen benötigt◮ Allerdings wird dadurch die Diskrepanz der Folgen immer
größer, und damit die Konvergenz immer schlechter ...◮ Beispiel: 50 Dimensionen
b49 = 227 und b50 = 229 sind dann die größten Basen◮ π bestimmen!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 10 π = 4
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 50 π = 4
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 250 π = 2.96
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 1250 π = 2.909
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 6250 π = 3.112
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1000 100001000001e+061e+07
rela
tive
Gen
auig
keit
Anzahl Punkte N
MC1√N
QMCN−0.73
d = 50
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Nachteile des Halton-Generators
◮ nicht für hochdimensionale Probleme geeignet
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Nachteile des Halton-Generators
◮ nicht für hochdimensionale Probleme geeignet◮ ausserdem nur relativ ineffizient auf Computern zu
implementieren, da Berechnungen in Basen b , 2
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Die Lösung - Sobol!
◮ geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Die Lösung - Sobol!
◮ geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen◮ Berechnungen nur in einer Basis b = 2 nötig
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Die Lösung - Sobol!
◮ geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen◮ Berechnungen nur in einer Basis b = 2 nötig
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Die Lösung - Sobol!
◮ geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen◮ Berechnungen nur in einer Basis b = 2 nötig
◮ daher schnelle Berechnung mit dem Computer
◮ allerdings: mathematische Basis nichttrivial
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 1024 π = 3.16
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N = 2048 π = 3.146
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Vergleich MC / QMC bei stetigem Anschluss am Rand
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fun
ktio
nsw
ertf
(r)
Radius r
Funktion auf der Kreisscheibe
f(r) = (1 − r) · e−r
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
1 10 100 1000 10000 100000 1e+06
rela
tive
Gen
auig
keit
Anzahl Punkte N
MC vs QMC soft boundary
MC1√N
QMC1N
QMC hard
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Zusammenfassung Quasi-MC
Vorteile
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Zusammenfassung Quasi-MC
Vorteile◮ wesentlich schnellere Konvergenz für Probleme
mittlerer Dimensionalität
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Zusammenfassung Quasi-MC
Vorteile◮ wesentlich schnellere Konvergenz für Probleme
mittlerer Dimensionalität◮ besonders bei stetigem Anschluss am Rand!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Zusammenfassung Quasi-MC
Vorteile◮ wesentlich schnellere Konvergenz für Probleme
mittlerer Dimensionalität◮ besonders bei stetigem Anschluss am Rand!
Nachteile
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Zusammenfassung Quasi-MC
Vorteile◮ wesentlich schnellere Konvergenz für Probleme
mittlerer Dimensionalität◮ besonders bei stetigem Anschluss am Rand!
Nachteile◮ Dimensionsabhängigkeit
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
Zusammenfassung Quasi-MC
Vorteile◮ wesentlich schnellere Konvergenz für Probleme
mittlerer Dimensionalität◮ besonders bei stetigem Anschluss am Rand!
Nachteile◮ Dimensionsabhängigkeit◮ schwierige Fehlerabschätzung
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
nur so ganz am Rande...
◮ Monte-Carlo Integration lässt sich sehr gut parallelisieren
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
nur so ganz am Rande...
◮ Monte-Carlo Integration lässt sich sehr gut parallelisieren◮ gut geeignet für SIMD-Architekturen
(Single Instruction, Multiple Data)
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
nur so ganz am Rande...
◮ Monte-Carlo Integration lässt sich sehr gut parallelisieren◮ gut geeignet für SIMD-Architekturen
(Single Instruction, Multiple Data)◮ wie z.B. Grafikkarten!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09
Sta
ndar
dabw
eich
ung
Anzahl Punkte N
C2D E6750 vs 8800GT
CPU
GPU
Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration
Quasi-Zufallsgeneratoren
intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol
nur so ganz am Rande...
◮ Monte-Carlo Integration lässt sich sehr gut parallelisieren◮ gut geeignet für SIMD-Architekturen
(Single Instruction, Multiple Data)◮ wie z.B. Grafikkarten!
◮ 50x schneller!
Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden