COMPENDIO DE MATEMTICA SECUNDARIA Coordinador: Ernesto Enrique Huaman Ayala Oscar Renzo Leyva Unzueta Roberto Carlos Snchez Monzn Este Compendio ha sido elaborado teniendo en cuentael Modelo Socio-Cognitivo-humanista ElequipodeautoresyelColegioLaInmaculadaConcepcinagradecende maneraexpresalacolaboracinprestadapor:DeliaOsorio,CeciliaAndjar, Luis Carlos, Jorge Vega, Mariv Isla, Percy Acosta, Maribel Lpez. NDICE reas5 Inductivo deductivo17 Anlisis combinatorio23 Teora de conjuntos29 Productos notables55 Factorizacin61 Razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo67 Razones trigonomtricas en tringulos rectngulos notables73 Resolucin de tringulos rectngulos77 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

5 5to ao I Bimestre REA DE REGIONES POLIGONALES 01.Regin Poligonal Se llama as a la reunin de un polgono con su interior Ejemplitos: 02.rea Es la medida de la extensin de una regin poligonal. Se expresa en unidades cuadradas de longitud: m2 ; cm2 ; pies2 ; etc. Observacin: Se llama unidad cuadrada a la regin determinada por un cuadrado cuyo lado mide la unidad (1m, 1cm, 1mm, etc.) El rea de una regin poligonal expresa cuantas veces est contenida una unidad de rea en la regin poligonal. B.- Dos regiones cualesquiera, son equivalentes si tienen igual rea. Por ejemplo el ABC es equivalente al MNLP COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

6 5to ao I Bimestrereas de las principales regiones poligonales 01.rea de un cuadrado. Elreadeuncuadrado,seexpresaporel cuadrado de la longitud de su lado. 02.rea de un Rectngulo. El rea de un rectngulo es igual al producto de sus dos dimensiones (largo y ancho) a = longitud del largo b = longitud del ancho 03.rea del Romboide El rea de un romboide es igual al producto dela longitud de uno de sus lados, por su altura relativa. b = longitud de la base h = altura relativa a la base 04.rea del Tringulo El rea de un tringulo es igual a la mitad del producto de la longitud de un lado por su altura relativa. -rea de un tringulo rectngulo -rea de un tringulo equiltero

-Teorema de HernEsteteoremanospermitecalcularelreade untringuloconociendonicamentelas longitudes de sus lados.Si a,by c son las longitudes de los lados de un ABC y p es el semipermetro,elreadeltringuloABCse calcula con la siguiente frmula: SABC =) c p ( ) b p ( ) a p ( p COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

7 5to ao I Bimestre05.rea del Rombo Elreadeunromboesigualalsemiproducto de las longitudes de sus diagonales. a: diagonal mayor b: diagonal menor 06.rea del Trapecio Elreadeuntrapecioeslasemisumadelas longitudesdesusbases,multiplicadoporsu altura. a = base menor b = base menor h = altura

ACTIVIDAD 1 Procesar la informacinde la teora de rea de regiones poligonales, mediante el desarrollo de ejercicios en el cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica lo que tienes que responder. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Los catetos de un tringulo rectngulo son entrescomo3esa4,elreadesu regines54u2.Cuntomidesu hipotenusa? 02.Lasdiagonalesdeunrombosonentres como2esa3,elreadesuregines 108u2.Calcularlasumadesus diagonales. 03.Calcularelreadeunromboide(en metros cuadrados) cuyos lados miden 8 m y18 m respectivamenteyuna altura es la media proporcional entre dichos lados 04.Delpermetrodeunrectngulocuyas dimensiones estn en la relacinde 2 a3 es igual a 20. Calcular el rea de la regin limitada por dicho rectngulo 05.Calcularelreadelareginlimitadapor un paralelogramo ABCD, si AB = 10, BC = 15 y mZABC=127 06.Losladosdeunparalelogramomiden6y 8ysualturamide7.Calcularelrea limitada por el paralelogramo 07.SetieneuntrapecioABCD(BC//AD), cuya base mayor AD mide 6 m. Calcular la suma de las bases, si el rea de la regin triangular ABC y el rea del trapecio ABCD estn en relacin de 1 a 3. 08.En un tringuloABC:AB= 10;mZA= 53ymZC=45.Calcularelreadela regin triangular ABC 09.Dosladosdeuntringulomiden12y8, adems formanunnguloquemide120. Calcularelreadelaregintriangular correspondiente. 10.Untringuloequilterotienerea36 3u2.Calcularelreadelaregin comprendidaentrelacircunferencia inscritaylacircunferenciacircunscrita. 2b . aS = rea = COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

8 5to ao I BimestreA DCB 965ACTIVIDAD 2 Procesar la informacinde la teora de rea de regiones poligonales, mediante el desarrollo de ejercicios en el cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica lo que tienes que responder. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Calcularelreadelareginsombreada,si: AB = 4 cm y AD = 5 cm. 02.Hallar la regin sombreada. 03.Calcular el rea de la regin sombreada. 04.Calcular el rea sombreada. 05.Calcular el rea sombreada : 06.En la figura ABCD es un rectngulo si: AM = 10 cm.,MN = 12 cm., CN = 2cm yND = 8 cm. Hallar el rea de la regin sombreada. 07.Silasregionespoligonalesson equivalentes. Calcular x. 08.Enlafiguracalcularelreadelaregin sombreada 09.Enlafiguracalcularh,sielreadela regin sombreada es 9. 28 8 6 17 1015 24 x 12 12 15hCOLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

9 5to ao I Bimestre6 3C AB12810.Calcularelreadelaregintriangular ABC 11.Calcular : S2 - S1 en funcin de a y b bBS1S2A C a RELACIONES ENTRE REAS A) Tringulos: Tringulos con altura comn Propiedad de la mediana Propiedad de las bases medias Propiedad del baricentro (G) COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

10 5to ao I BimestreB) Unin de los puntos medios de un paralelogramo S = ABCDS2 Tambin: S = ABCDS12S = ABCDS20 C) En un Trapecio S = 1 2S .S Tambin: S = ABCDS2 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

11 5to ao I BimestreD) En un Cuadrado S = ABCDS12 S = ABCDS20 S = ABCDS5 S = ABCDS30 ACTIVIDAD 3 Procesarlainformacindelateoraderelacionesentrereas,medianteeldesarrollode ejercicios en el cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica lo que tienes que responder. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Calcular el rea de la regin sombreada, si el rea de la regin sin sombrear es de 12 m2. 02.Sielrea sombreada mide 16u2, calcular el rea de la regin sin sombrear. 03.Calcular el rea de la regin sombreada, si el rea del ABC es 56u2. 04.Calcularlarelacinqueexisteentreel rea sombreada y el rea sin sombrear. COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

12 5to ao I BimestreMACBS1S2SxNPMA CBC ABR3bPbQ3a4a2ccC ABQPNMBMCA DNSxPD AB COB M CA N DA D FMC BC ABDxE82m414m05.Si ABCD es un cuadrado de lado 12; AM = MD, hallar el rea de la regin sombreada. 06.EnlafiguraM,NyPsonpuntos medios,ademselreadelaregin triangularABCes48.Calcularelreade la regin sombreada. 07.Enla figurasiguienteAMesmediana,S1 = 19 y S2 = 11. Calcular Sx 08.Si el rea de la regin sombreada es igual a 2, calcular el rea de la regin triangular ABC 09.Calcular: SMPQ , si SABC = 60 10.Del grfico: si SABCD = 48, calcular Sx 11.Calcularx,silasreasdelasregiones sombreadas son 4 y 14 12.En la figura: ABCD: romboide rea BOC = 9 m2 y rea POD = 4 m2 Calcular el rea de la regin ABCD 13.SiABCDesuncuadradoMyNson puntosmedios,calcularelreadela regin sombreada (AB = 6) 14.Hallarelreadelareginsombreadasi FyMsonpuntosmediosyelreadel paralelogramo ABCD es 80 m2 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

13 5to ao I Bimestre4ACTIVIDAD 4 Procesar la informacinde la teora de rea de regiones poligonales, mediante el desarrollo de ejercicios en el cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica lo que tienes que calcular. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Calcularlamedidadelladodeltringulo equilterocuyopermetrotieneelmismo valorqueelreadelaregintriangular correspondiente 02.ElladoACdeuntringuloABCse prolonga hasta E tal que AC = CE. Si AB = 13, BC = 15yAC= 14,calcularelrea de la regin triangular BCE 03.Los lados de un tringulo ABC miden AB = 9,AC=12yBC=15;AByACse ubicanlospuntosPyQrespectivamente talesqueAP=6yQC=7.Calcularel rea de la regin BPQC. 04.Losladosdeunparalelogramomiden6y 8ysualturamide7.Calcularelrea limitada por el paralelogramo. 05.ElreadeunaregintriangularABCes 64. Sobre AB y BC se toman los puntos My N respectivamente, tales que AB = 4BMyBN=NC.Calcularelreadela regin triangular MBN. 06.Siellargodeunrectnguloaumentaen 30%, en qu porcentaje debe disminuir el ancho para que el rea disminuya en 9%? 07.En el cubo mostrado, calcular el rea de la regin sombreada. REAS DE REGIONES CIRCULARES Crculo El crculo es una superficie plana que resulta de la reunin de una circunferencia con su regin interior. DEFINICIN DEL NMERO t El nmero t ( se lee pi ) se obtiene al dividir la longitud L de una circunferencia, entre su dimetro. De esto, se puede deducir que: Expresin que nos permite calcular la longitud de una circunferencia o permetro del crculo t = ;Pero:D = 2.r t = L = 2.t.r COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

14 5to ao I BimestreRO A BA DB C88OB CA DP66rea del Crculo El rea de un crculo es igual a t por el cuadrado de su radio. rea del sector Circular El sector circular es una parte del crculo limitada por dos radios y una arco de circunferencia. Y esta dada por la siguiente frmula: Tambin: ACTIVIDAD 5 Procesarlainformacindelateoradereaderegionescurvas,medianteeldesarrollode ejercicios en el cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica lo que tienes que responder. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Hallarelpermetrodelaregin sombreada, sabiendo que AB = 16 m 02.Calcular el rea de la regin sombreada si ABCD es un cuadrado 03.Delgrfico:AyD:centros.Calcularel rea del sector circular CDP. 04.Calcular el rea de la regin sombreada, si "P"espuntodetangenciay"R"mide2 cm. rea = t . r2 A = A = COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

15 5to ao I Bimestre05.Calcularelreadeuntrapecioinscritoen unacircunferenciaderadio5m;sus basesmiden6my8m.Elcentrodela circunferencia es interior al trapecio 06.Hallarelreadeunoctgonoregular inscritoenunacircunferenciaderadio igual a 2 2 m. 07.Hallarelreadeundodecgonoregular inscrito en una circunferencia de radio R. 08.Hallarelreadeunoctgonoregular inscritoenunacircunferenciadelongitud 4t. 09.Auncrculoledisminuyen36%desu rea.Enquporcentajehabr disminuido su radio? 10.Unjardineroquieretransformarunjardn que tiene forma circularde radio 2 cm, en forma de sector circular con ngulo central 40yde igual rea al anterior.El radio de este ltimo debe medir. 11.Elreadeunacoronacircularde2ude espesoresiguala32u2.Calcularel radio de la circunferencia mayor. 12.Calcularelreadelcrculoinscritoenun tringulorectngulocuyoscatetosmiden 5m y 12m. 13.Hallarelreadelcrculoinscritoenel tringulo equiltero ABC cuyo permetro es 12 3 cm. 14.Hallarelreadelareginsombreada,si ABCesuntringuloequilterode permetro 24 3 cm. COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

16 5to ao I Bimestre SOPA DE LETRAS COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

17 5to ao I Bimestre El principalobjetivo de todas las asignaturas educativas radica enla bsqueda del desarrollo del pensamientoyanteponiendoelusodelingenioylahabilidad,siendoungransoporteparaesta actividad el razonamiento inductivo y deductivo. En el desarrollo del uso de facultades de un nio prevaleceelanlisisintuitivoeinductivoparacomprenderlainterrelacinconlosobjetosylas personasofenmenosnaturalesmanifestados,posteriormentevansiendosustituidosporlava deductivaproductodelacomprensin.Debemosrecalcarlarelacinestrechaeineludibleentre ambos tipos de anlisis, aplicando el principio de que todo anlisis inductivo correcto se plantea el propsito de llegar a una deduccin con validez general. Al observar y analizar situaciones particulares se elabora una hiptesis (Razonamiento inductivo), ydespussepasaalacomprobacindedichahiptesisatravsdeunaverificacinlgica, inclusive recurriendo a un contra ejemplo (Razonamiento deductivo) Alafrontarlasolucindeunproblemaocualquiersituacinrelacionadoconlasmatemticas hacemos uso de dos mtodos: Mtodo de la lgica inductiva (Razonamiento inductivo) Mtodo de la lgica deductiva (Razonamiento deductivo) LGICA INDUCTIVA Eslaformaderazonamientofrecuentementeutilizadoennuestrasactividadescotidianas,enla quepartiendodelanlisisdesituacionesparticulares(casossencillosconlasmismas caractersticasdelproblemaoriginal)sebuscallegararesultadosque,trasserrelacionadosnos permiten llegar a una conclusin de validez general a la cual se le da una amplia probabilidad de certeza.

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18 5to ao I BimestreEjemplito 1 Calcular la suma de cifras del resultado de operar: E = 220 cifras(333.....34) Solucin: Analizando algunos casos particulares sencillos (sin perder la forma original), tenemos: ResultadoSuma de cifras (34)2 = 1156 13 = 2(6)+ 1 (334)2 = 111556 19 = 3(6)+ 1 (3334)2 = 11115556 25 = 4(6)+ 1 . . . Luego: 220 cifras 20 cifras20 cifras(333.....34) 111.....1555.....6 = = 20(6) + 1 Suma de cifras: 121 Ejemplito 2 Deduzca el valor de "a", sabiendo que a = 1, adems: a 1 323a 1+ = Resolucin: Veamos los valores posibles para que la suma dos nmeros sea igual e 2. a 1 323a 1+ = 2 + 0 = 2 (no cumple) 0 + 2 = 2 (no cumple) 1 + 1 = 2 (si cumple, puesto que uno de ellos es el inverso del otro) Luego: a 113= a 1 3 = a 1 = 9 a = 10 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

19 5to ao I BimestreACTIVIDAD 1 Procesarlainformacindeproblemasdeinduccinydeduccin,medianteeldesarrollode ejercicios en el mdulo. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica la regla de formacin. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Calcular: f(100) Si: f1 = 1 + 1/2 f2 = 1 + 1/3 f3 = 1 + 1/4 02.Si: f(1)=1+2 f(2)=2+3 f(3)=3+4 . . . F(100)=? 03.Si: (a+4)(a+5)(a+6) =720 Luego "a" vale: 04.Calcularlasumadeloselementosdela fila (20) 05.Calcular f(100) si: 06.Definimos:F(i):nmerodetringulosde la figura i Determinar: F(1) + F(2) 07.Determinar:F(3) 08.Determinar: F(10) 09.Determinar:F(n);( n e Z+) a) 2(n 1)2+b) 2n 3n12++c) n(n 3)22+ d) n(n 3)22++e) NA 10.Calcular la suma de los elementos de f20 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

20 5to ao I BimestreACTIVIDAD 2 Procesarlainformacindeproblemasdeinduccinydeduccin,medianteeldesarrollode ejercicios en el cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica la regla de formacin. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Si: Cuntos ceros trae el resultado de: 02.Calcular la suma de cifras de f10 si: f1 = 32 f2= (33)2 f3= (333)2 f4= (3333)2 03.Calcular la suma de cifras de: (11111111)2 = ? 04.Hallar la suma de cifras del resultado de: M = 29 Cifras(111...111) 05.Hallar la suma de cifras, luego de efectuar: E = 251Cifras(999...999) 06.Cuntos cuadrados hay en la figura 15?

07.Calcular la suma de cifras del resultado de: 2 221Cifras 21Cifras(333...333) (999...999) + 08.Calcular La suma de cifras del resultado de: E = 30Cifras 30Cifras(999...999) x(777...777) 09.Hallarlacantidaddecerosquetieneel desarrollo de: E = 228Cifras(123...000) 10.Calcule: S = 46 cifras 23 cifras111.....111 222.....222 Decmorespuestalasumadecifrasdel resultado. ACTIVIDAD 3 Procesarlainformacindeproblemasdeinduccinydeduccin,medianteeldesarrollode ejercicios en el mdulo. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica la regla de formacin. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

21 5to ao I Bimestre01.Cuntospalitosdefsforosenecesitan para formar la figura # 12?

02.Calcularelnmerototaldepalitosenel arreglo siguiente: 03.Enlafigurasehancontadoentotal975 puntos de contacto; hallar el nmero total de esferas colocadas en la base. 04.Enlasiguientegrfica,cuntospuntosde contacto se cuentan en total? 05.Calcularelnmerototaldepalitosenla siguiente figura: 06.Sedisponende425palitos,sisedesea construirelsiguientecastillo.Sobrarno faltarn palitos y cuantos? 07.Hallarelnmerototaldepalitosenla siguiente torre: 08.Cuantospalitosconformanlasiguiente torre? COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

22 5to ao I Bimestre09.Hallar el nmero total de palitos en: 10.Cuntos tringulos hay en F(20) ? 11.Con el fin de figurar en el libro de Guinnes, losjvenesdelColegioLaInmaculada Concepcinhanformadounatorrede cajas,comoladelailustracin.Enel momentodelainscripcin,el representantedeleventonorecuerda cuntascajashabanutilizado;slo recuerdaquehaba200filas.Porfavor aydale,sino,nopodrninscribirloenel libro de Guinnes. COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

23 5to ao I Bimestre Principios fundamentales de Conteo Principio de adicin SiuneventoAocurredemmanerasdiferentesyotroeventoBocurredenmaneras distintas, entonces A o B (en sentidoexcluyente)ocurre de m+ nmaneras distintas.En el principiodeadicin,obienocurreunobienelotrocaso,peronuncapuedenocurrir simultneamente. Ejemplitos: a)TulatienedinerosuficienteparacomprarunCD.Dentrodelosquelegustansetienesiete CDs de Rock y cinco de Punk. De cuntas maneras diferentes podr elegir el CD?. b)Tania desea viajarde Lima a Cusco y tiene a su disposicin tres lneas areas y siete lneas terrestres. De cuntas maneras diferentes podr realizar el viaje?. Principio de multiplicacin Si un evento A ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n maneras distintas, entonces A y B ocurren de m x n maneras distintas. Ejemplitos: a)PierredeseaalistarseparairalcumpleaosdeVernica,paraellocuentaconcinco pantalonesdiferentesytrescamisasdiferentes.Decuntasmanerasdiferentespodrir vestido?. Rpta: .................... b)Cristina desde comprar una cadena y un anillo para Walter, si al ir a la joyera le dan a escoger entrecincocadenasytresanillos,decuntasmanerasdiferentespodrrealizarla seleccin?Rpta: .................... Anlisis Combinatorio Es la parte de la matemtica que estudia las diferentes maneras de seleccionar a los elementos de un conjunto. Definiciones Permutaciones Sonlosdiferentesarreglosuordenamientosquesepuedenformarcontodosloselementos disponiblesdeunconjunto.Entodapermutacin,lacaractersticaprincipaleselordendesus elementos. Pn = n ! COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

24 5to ao I BimestreEjemplitos: Juan,DianayCeciliadeseantomarseunafotoenunabanca.Decuntasmanerasdiferentes podrn hacerlo? Solucin: Juan Juan Diana Diana Cecilia Cecilia Diana Cecilia Juan Cecilia Juan Diana Cecilia Diana Cecilia Juan Diana Juan Hay seis posibles soluciones: Cmo resolvera el problema, usando la frmula de permutacin? P3 = 3 !=1 x 2 x 3= 6 maneras Variaciones El nmero de maneras de ordenar a n elementos de un conjunto, tomados de r en r es: El orden es importante, pues cada nueva posicin de un elemento se contar como una nueva ordenacin. Ejemplito: De cuantas maneras se pueden ordenar a dos elementos del conjunto: {a;b;c;d}? Solucin: Combinaciones El nmero de maneras que se pueden agrupar los n elementos de un conjunto tomados de r e r. El Orden no se considera. ! ) r n (! n nrV=12! ) 2 4 (! 4 42V==! r . ! ) r n (! n nrC=COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

25 5to ao I BimestreEjemplito: De cuantas maneras se pueden tomar a tres elementos del conjunto:{ a ; b ; c ; d } ? Solucin: ACTIVIDAD 4 Procesarlainformacindeanlisiscombinatorio,medianteeldesarrollodeejerciciosenel cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica el principio de conteo. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Decuntasmanerasdiferentespodrn ubicarseenunafila,Igor,Dushinkay Sheyla? 02.Un vendedor tiene que visitar las ciudades A,ByC.Decuntasmaneraspodr programar su itinerario de viaje? 03.Decuntasformasdistintassepueden ordenar las letras de la palabra ARMO? 04.Una cmoda tiene 5 cajones; de cuntas manerassepuedenguardarenestos cajones,5prendasdevestirdiferentes, una en cada cajn? 05.Cuntosnmerosde4cifrasdiferentes sepuedendeterminarconlascifras:8;5; 1; 3? 06.En un campeonato cuadrangular de ftbol, decuntasmaneraspodrquedarla posicin de los 4 equipos? 07.Conlascifras:2;4;5;7;9cuntos nmerosde3cifrasdiferentessepueden formar? 08.En una carrera de caballos, participan 6 de estosejemplares.Decuntasmaneras podrn ocupar los primeros 3 puestos? 09.Unalumnotienequepintarunabandera de3coloresdiferentes.Sidisponepara ellode7colores,decuntasmaneras podr pintar la bandera? 10.Unclubtiene20socios.Decuntas maneras se podr formar una comisin de 3 miembros? ACTIVIDAD 5 Procesarlainformacindeanlisiscombinatorio,medianteeldesarrollodeejerciciosenel cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica el principio de conteo. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. 01.Unpadretienequintillizosycompr5 regalosdiferentes.Decuntas maneraspodrentregardichos obsequios? 02.Rubnacostumbrallevarasunovia, primeroalcineyluegoacenaroa bailar,yluegoapasearporalgnlugar romntico.Siobservaqueenlaciudad hay 4 cines, 3 muy buenos restaurantes, 5discotecasy6lugaresdepaseo, cuntasposibilidadesdeeleccin tiene? ! 3 . ! ) 3 4 (! 4 43C=COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

26 5to ao I Bimestre03.Setienen5vinosdiferentes.De cuntasmanerassepodrhaceruna mezcla con 2 vinos diferentes? 04.Enunmercadohay6puertas.El administradordebecolocarunguardin encadapuerta.Comoslologr contratara2,decuntasmaneras podrescoger2puertasparacolocara dichos guardias? 05.Conlasletrasdelapalabra"EDITOR", cuntaspalabrasde6letrasque terminen en "E" se pueden formar? 06.Un padre va al cine con sus 4 hijos. De cuntasmaneraspodrnsentarseen una fila, si el padre siempre se sienta al centro? 07.Cottytieneporsucasa6amigos,uno deloscualessellamaCharly.De cuntasmaneraspodrinvitara3de ellosasucasa,siCharlysiempredebe estar entre los invitados? 08.De cuntas maneras se pueden sentar 5personasalrededordeunamesa circular? 09.Manueltiene12amigosy15amigas. Decuntasmaneraspodrelegira6 amigosy8amigasparainvitarlosasu casa? 10.Unmuchachovisitaasuenamorada3 vecesalasemana.Decuntas maneraspodrelegirdichosdasde visita,siunodeesosdasdebeser sbado? 11.Unbarcolleva5banderasdecolor diferente.Cuntassealesdiferentes sepodrnhacer,izandoenunmstil, por lo menos 3 banderas? 12.Alberto tiene la costumbre de regalarle a sunoviaunabotelladegaseosayuna latadeconservasounabarrade chocolateyunhelado.Ciertodase topconladisyuntivadeelegirentre3 tipos de gaseosas, 4 de conservas, 5 de chocolates y 6 de helados. De cuntas formaspodarealizarelregaloasu futura esposa? 13.Seconfeccionalabanderadeun equipo: un rectngulo dividido en cuatro regiones,segnlafigura.Loscoloresa elegir estn entre las opciones: - Para I: rojo, blanco, azul.- Para II: negro, verde.- Para III: plomo, guinda. - Para IV: amarillo, naranja, violeta, rosado. Cuntas combinaciones posibles hay? 14.Unpolicadetrnsitoquiererecordarla placa del automvil de un chofer que se dioalafuga.Dichaplacaest compuestapordosletrasdistintas, seguidasdecuatrocifrasdiferentes. Debedecidirentrelasletras:W,H,M. As como entre las cifras: 5; 6; 7; 8; 9. El departamentodecmputodela comisara,leenvaunpapelcontodas lasposibilidades,segnlosrequeri-mientosdelhombredelaley.lest preocupadoporquesonmuchaslas posibilidades. Cuntas posiblesplacas muestra el papel? 15.Una"loteracasera"consisteenlanzar tresdadosdediferentecolor:verde, blanco y negro. Supongamos que salen: verde,5;elblanco,1yelnegro,2.El boletorespectivosera:V5B1N2. Cuntosboletospodranponerseen juego, como mximo?

16.Lupeconsultaen3tiendas(Saga, Ripleyymetro)paracomprarun televisorLCDde42.Sienellasle ofrecieron2,4y3lneasdecrdito. Decuntasmaneraspuedeadquirirel televisorsisolopuedeescogerunade las lneas de crdito? COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

27 5to ao I BimestreACTIVIDAD 6 Procesarlainformacindeanlisiscombinatorio,medianteeldesarrollodeejerciciosenel cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica el principio de conteo. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. Sheyla,Antonia,LupeyMaricarmendeseanvenderuncalendario2012,paralocualcada unaaporta4fotos.Siadicionalmentesesabequeparacadamesseutilizarunadelas fotos: 01.Decuntasmanerassepuedeelegirlas 12 fotos para el calendario? 02.SiSheylaexigequesuscuatrofotos formenpartedelcalendario.Decuntas maneras se puede elegir las 12 fotos para el calendario? 03.Si se eligen slo dos fotos de Maricarmen, decuntasmanerassepuedeelegirlas otras 10 fotos? 04.Cuntoscalendariosdiferentesse pueden formar? 05.SiLupedecidenoaportarfotosparael calendario,cuntoscalendarios diferentes se pueden formar? ACTIVIDAD 7 Procesarlainformacindeanlisiscombinatorio,medianteeldesarrollodeejerciciosenel cuaderno. 1.Percibe la informacin. 2.Identifica el principio de conteo. 3.Relaciona utilizando conceptos previos.4.Aplica algoritmos y responde la pregunta. Sandro,Graco,Mijael,Kate,EvelynyJulyvanalcineydecidensentarseenseisasientos consecutivos: 01.Decuntasformasdiferentespueden sentarse en los seis asientos disponibles? 02.Decuntasformasdiferentespueden sentarse, si Graco se sienta junto a July? 03.Decuntasformasdiferentespueden sentarse,siKatesesientaadyacentea Sandro y Mijael? 04.Decuntasformasdiferentespueden sentarse,siEvelynnosequieresentar junto a Sandro? 05.Decuntasformasdiferentespueden sentarse,silastreschicasquieren sentarse juntas? 06.Cuntasensaladasquecontienen exactamente tres frutas podemos preparar si disponemos de 6 frutas? 07.Setiene6candidatosparaocuparlos cargosdepresidente,Secretarioy Tesorero. De cuntas maneras diferentes se podr realizar la seleccin? 08.Cuntascombinacionespuedenhacerse conlasletras:a,b,c,dye,tomadasde tres en tres, entrando "b" en todas ellas? 09.Ladiferenciaentreelnmerode variaciones de "x" objetos, tomados de dos endos,yeldecombinacionesdeesos objetos,tomadostambindedosendos es 190. Calcular el valor de "x". COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

28 5to ao I Bimestre Te desafo. BOOH! COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

29 5to ao I Bimestre IDEA DE CONJUNTO Laideadeconjuntoestanelementalquetodos tenemosuna.Porlogeneralparacomprenderla utilizamossinnimosdeestapalabra:coleccin, familia, clase, equipo, etc. Ejemplito: Elconjuntodelosalumnosdequintode secundariadelColegioLaInmaculada concepcin. NOTACIN Y ELEMENTOS Losconjuntossedenotanporletrasmaysculas: A,B,C,...,X,Y,Z;yloselementossedenotan por letras minsculas: a, b, c, d, ... , x, y, z.Seacostumbraaescribirloselementosdelos conjuntosentrellavesyseparadosporpuntosy comas. Ejemplito: A = { a; b; c; d; e } Esteconjuntoselee:ConjuntoAcuyos elementos son: a, b, c, d, e CONJUNTOS NUMRICOS - Nmeros naturales:{ } 0;1;2;3; N= - Nmeros enteros:{ } 1;0;1;2;3; 2; 3; ; Z = - Nmeros racionales: )`= . e e = 0 b Z b Z, /abaQ- Nmeros irracionales: ( I ) Son los que no pueden expresarse de la forma0 b Z b Z, /aba= . e e . - Nmeros Reales: ( R ) Es el conjunto que resulta de la unin de los nmeros racionales con los irracionales. Ademsdelosconjuntosmencionadoshayunconjuntoqueeslaampliacindelosnmeros reales,conocidocomoconjuntodelosnmeroscomplejos,queabarcaalosrealesyaotro conjunto llamado conjunto de los nmeros imaginarios. En nuestro estudio slo trabajaremos en el campo de los nmeros reales. Representacin de los conjuntos numricos: N : nmeros naturales Z : nmeros enteros Q : nmeros racionales I : nmeros irracionales R : nmeros reales COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

30 5to ao I BimestreNOTACIN DE CONJUNTOS NUMRICOS N+ = Naturales positivos ={ } ; 3 ; 2 ; 1Z+ = Enteros positivos ={ } ; 3 ; 2 ; 1Z- = Enteros negativos ={ } 1 ; 2 ; 3 ; Z+0 = Enteros no negativos ={ } ; 3 ; 2 ; 1 ; 0Z0 = Enteros no positivos ={ } 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; R+ = Reales positivosR- = Reales negativos RELACIN DE PERTENENCIA La relacin de elemento a conjunto es de pertenencia. La Notacin x eA se lee x pertenece a A Indicando as, que x forma parte del conjunto A. La Notacin x eA se lee x no pertenece a A Esta notacin indica que x no forma parte de A. Ejemplito: A = { a; b; c; d; e } a .Ay .A e .A m.A z .Ab .A DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN LA RECTA REAL Dados los puntos P y Q de la recta numrica, de coordenadas x1 y x2 respectivamente, la distancia de P a Q es: EJEMPLITOS 01.Coloca (V) o (F) segn corresponda, justificando tu respuesta. a)3 e N( V )3 es un nmero natural. b)8 e N( V )8 no es natural. c)17 e Q( F )17 es un nmero racional porque puede expresarse como fraccin: 17/1. d)4 e Z+ ( F )4 es un nmero entero positivo. e)1,4 e Z( F )1,4 no es entero, es racional y se expresa como fraccin: 7/5. f)5 e Z( F )5 es un nmero entero negativo. g)2,5 e Q( F )2,5 es un nmero raciona. h)6 e Q( F )6 es un nmero racional y se expresa como 6/1. i)7 e R( V )7 es un nmero natural y tambin es real. Valores de races 1,4142135623730950488 1,7320508075688772935 2,2360679774997896964 2,4494897427831780981 2,64575131106459059052,8284271247461900976 3,1622776601683793319 3,3166247903553998491 3,6055512754639892931 5,0990195135927848300 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

31 5to ao I Bimestre02.Calcula la distancia entre los puntos de coordenadas 7 y 8. Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:x1 =7 y x2 = 8 Incgnita: distancia (d) Sabemos cmo se calcula d. Entonces reemplazamos en la relacin: 7 8 = dEfectuamos las operaciones: 15 15 7 8 = + = + = dPor lo tanto, la distancia entre los puntos de coordenadas 7 y 8 es 15. 03.Hallalascoordenadasdelospuntosqueestna8unidadesdedistanciadelpuntode coordenada 2. Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:x1 = 2 y d = 8 Incgnita: coordenadas de los puntos (x2). Sabemos cmo se calcula d. Tambin que la coordenada podr estar a la derecha o a la izquierda del punto de coordenada 2. Entonces reemplazamos en la relacin: 2 8 = xAplicamos la propiedad de las ecuaciones con valor absoluto: 2 8 = x v 2 8 = xEfectuamos las operaciones: x = 10 v x = 6Por lo tanto, obtenemos dos coordenadas como respuesta: 6 y 10. 04.Cuntosnmerosenterosestnamenosde6unidadesdedistanciadelpuntode coordenada 3? Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:x1 = 3 y d = menos de 6 Incgnita: coordenadas enteras de los puntos (x2). Sabemos cmo se calcula d. Tambin que las coordenadas podrn estar a la derecha o a la izquierda del punto de coordenada 3. Entonces reemplazamos en la relacin, pero teniendo en cuenta que los valores son menores a seis, escribiremos lo siguiente: 6 < 3 x Aplicamos la propiedad de las desigualdades con valor absoluto: 6 < 3 x < 6 Efectuamos las operaciones: 3 6 < 3 3 x < 3 6 + + + 9 < x < 3 Los valores que buscamos estn comprendidos entre 3 y +9. Por lo tanto, obtenemos los siguientes valores enteros como respuesta: 3; 2; 1; 0; +1; +2; +3; +4; +5; +6; +7; +8; +9. En total 13 nmeros. El cero no es positivo ni negativo. COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

32 5to ao I BimestreACTIVIDAD 1 Capacidad: ComprensinDestreza: Relacionar Relacionarlosdiferentesconjuntosnumricosconsusrespectivoselementosylarelacinde pertenencia, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Percibe la proposicin o enunciado simblico y numrico. 2.Compara los nmeros con los elementos de los diferentes conjuntos numricos. 3.Identifica el elemento con el conjunto apropiado.4.Relaciona el nmero con su respectivo conjunto. 01.Coloca e o e segn corresponda, justificando tu respuesta. a)4,8.I b)5 .Q c)5 .Q d)3/8 Z e)7-1 .R f)4/9 ...R g)11,0 ...Z h)5,74..Q i) 38 ...N j)(1/9)-1...Q 02.Coloca (V) o (F) segn corresponda, justificando tu respuesta. a)4,5 e Q b)1e Q c)5 e Z d)3/4 e Z e)7 e R f)4/9 e R g)14,88 e Z- h)5,74 e Q i) 38 e Z j)1/9 e Q COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

33 5to ao I BimestreACTIVIDAD 2 Capacidad: ComprensinDestreza: Aplicar Aplicarlarelacindedistanciaentredospuntosdelarectanumricaendiferentessituaciones, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Lee atentamente el enunciado. 2.Identifica los datos y la incgnita en el enunciado. 3.Relaciona la informacin obtenida.4.Aplicalafrmuladeladistanciaentredospuntosenlarectanumricasegnlorequierael enunciado. Resuelveentucuadernolossiguientesproblemas,identificandolosdatosylaincgnita, relacionando adecuadamente la informacin y aplicando la frmula segn sea necesaria. 01.Calculaladistanciaentrelospuntosde coordenadas 4 y 13. 02.Calcula las coordenadas de los puntos que estna6unidadesdedistanciadelpunto de coordenada 3. 03.Cuntos nmeros enteros estn a menos de7unidadesdedistanciadelpuntode coordenada 4? 04.Calculaladistanciaentrelospuntosde coordenadas 11 y 12. 05.Calcula las coordenadas de los puntos que estna8unidadesdedistanciadelpunto de coordenada -3. 06.Cuntos nmeros enteros estn a menos de5unidadesdedistanciadelpuntode coordenada -5? 07.Calculaladistanciaentrelospuntosde coordenadas 15 y 3. 08.Calcula las coordenadas de los puntos que estn a 10 unidades de distancia del punto de coordenada -5. 09.Cuntos nmeros enteros estn a menos de8unidadesdedistanciadelpuntode coordenada -11? 10.Hallalasumadetodoslosnmerosque estn a menos de 8 unidades de distancia del punto de coordenada -3. DETERMINACIN DE CONJUNTOS Un conjunto puede determinarse de dos formas: por extensin y por comprensin. Por extensin Consiste en la enumeracin efectiva de cada uno de sus elementos, es decir se nombra uno a uno sus elementos. Ejemplito: El conjunto de las vocales E = { a; e; i; o; u } Por comprensin Para expresar un conjunto de esta manera se seala una propiedad comn a todos los elementos. A esta manera de nombrar un conjunto se denomina tambin forma abreviada o sinttica de determinar un conjunto. Ejemplito: Los nmeros naturales menores que 100. Q = { x / xe N; x < 100 } COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

34 5to ao I BimestreCONJUNTOS ESPECIALES ConjuntoDefinicinEjemplitos Vaco o Nulo Es aquel que no tiene elementos, se denota por la letra griega | que se lee: fi. Tambin se denota por: { } A = { x / x es un entero entre 12 y 13 } Unitario Es aquel que tiene uno y slo un elemento. E = { x / x e N / 5 < x < 7 } Finito Es aquel que tiene una cantidad determinada de elementos. E = { x / x es una letra del abecedario } Infinito Es aquel que tiene una cantidad determinada de elementos. R = { 1; 3; 5; 7;... } E = { x/x es una estrella del firmamento } Conjuntos Iguales Un conjunto A es igual a un conjunto B, si es que ambos conjuntos tienen los mismos elementos. A = { x e N / 2 < x < 6 } B = { x e N / 3 s x s 6 } Conjuntos Disjuntos Son aquellosconjuntos que no tienen ningn elemento comn. A = { x / x es hombre americano } B = { x / x es un hombre europeo } Universal Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual estn todos los dems conjuntos; se simboliza por la letra U y grficamente se le representa mediante un rectngulo en cuyo vrtice (uno cualquiera) se coloca la letra U). Sea el conjunto: A = { gallina, perro, lagarto, mariposa } Su universo o conjunto Universal ser: U = { todos los seres animales } EJEMPLITOS 01.Determina por extensin el siguiente conjunto:{ } 10 x 1/x x R2< . e = . Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Se trata del conjunto de nombre R. Suselementostienenlaforma:x21.(Nomencionanaquconjuntonumrico pertenecen, as que asumimos el conjunto de los nmeros reales). Los valores de x deben ser naturales (N) y menores que 10. Incgnita: Conjunto R, determinado por extensin. Conocemos los valores de x de la condicin: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9. Elaboramos una tabla para nuestra tabulacin: Los elementos que hemos encontrado son: 1; 0; 3; 8; 15; 24; 35; 48; 63 y 80. Aparentementeel1,nodeberamosconsiderarlo,sinembargoenelconjunto expresado por extensin no hay ninguna restriccin para los elementos, tan solo para la condicin. Por tanto, el conjunto expresado por extensin ser:{ } 80 63; 48; 35; 24; 15; 8; 3; 0; -1; R=x2 - 1 x012(0)2 1= 1 (1)2 1= 0 (2)2 1= 3345(3)2 1= 8 (4)2 1= 15 (5)2 1= 24678(6)2 1= 35 (7)2 1= 48 (8)2 1= 639 (9)2 1= 80COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

35 5to ao I Bimestre02.Determina por extensin el siguiente conjunto:( ) { } 8x impar es N/x2x x M2 3s . e = Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Se trata del conjunto de nombre M. Suselementostienenlaforma:x32x2,ydebenser,necesariamente, nmeros naturales como est indicado. Losvaloresdexdebensernaturales(losnmerosimparessonnmeros naturales) y menores o igual que 8. Incgnita: Conjunto M, determinado por extensin. Conocemos los valores de x de la condicin: 1; 3; 5 y 7. Elaboramos una tabla para nuestra tabulacin: Los elementos que hemos encontrado son: 1; 9; 75 y245. El1,nodebemosconsiderarloporqueloselementosdelconjuntodebensertodos nmeros naturales. Por tanto, el conjunto expresado por extensin ser:{ } 80 63; 48; 35; 24; 15; 8; 3; 0; -1; R= 03.Determina por comprensin el siguiente conjunto:{ } 12 1;2;3;4;6; T = . Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Se trata del conjunto de nombre T. Tiene 6 elementos. Todos son nmeros naturales. Todos son positivos. Hay pares eimpares.Haydeunacifraydedoscifras.Sonmenoresquedoce.Noson consecutivos. Incgnita: Conjunto T, determinado por comprensin. Aunquehemosidentificadovariascaractersticascomunes,todavanopodemosdaruna solucin que considere a todos los elementos.En este caso tenemos que buscar una solucin de una forma no convencional. Sabiendo que todos los elementos son menores o iguales que 12, recordemos qu nmeros tienenesacaracterstica:sermenoresquedoce.Nopodremosusarmltiplos,porque suelensermayoresqueelnmero(12)queestamosestudiando.Podramosusardivisores del nmero (12), que son, a lo ms, iguales a l. As: 1 es divisor de 12; 2 es divisor de 12; 3 esdivisorde12;etc.Unavezquehemoscomprobadoquetodosloselementosdividen exactamente a 12, podremos dar nuestra caracterstica de cada elemento de T: es divisor de 12 Y es suficiente, porque para ser divisor, un nmero debe ser natural y positivo y menor o incluso igual que el nmero en cuestin. As tendremos: { } 12 de divisor un es x / xT = x3 - 2x2x13(1)3 2(1)2= 1 2.1= 157(3)3 2(3)2= 27 2.9= 9(5)3 2(5)2= 125 2.25= 75(7)3 2(7)2= 343 2.49= 245m7 se lee: mltiplo de 7; o divisible por 7 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

36 5to ao I Bimestre04.Determina por comprensin el siguiente conjunto:{ } 5;42;49;56 14;21;28;3 Q= . Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Se trata del conjunto de nombre Q. Tiene7elementos.Todossonnmerosnaturales.Todostienendoscifras.El menor es 14 y el mayor 56. Todos son mltiplos de 7, (o divisibles por 7). Incgnita: Conjunto Q, determinado por comprensin. Comohemosidentificadovariascaractersticascomunes,podremosdarunasolucinque considere a todos los elementos y a nadie ms, expresaremos as a cada elemento:es mltiplo de 7, mayor que 13 y menor que 57 O tambin: es mltiplo de 7, mayor o igual que 14 y menor o igual que 56 Entonces nuestras respuestas pueden ser: { } 57 x 13 m7 es x / xQ < < . =O tambin: { } 56 x 14 m7 es x / xQ s s . = Cualquieradeestasdosrespuestasescorrecta.Bastarconqueescojasunacomotu respuesta. 05.Dados los siguientes conjuntos iguales: A={3a+b ; 81} ; B={3b+2; 27} ; calcular : ba. Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Se trata de dos conjuntosigualesA y B. Tienen2 elementos cada uno, y deben ser iguales.Incgnita: ba. Como solo tenemos dos elementos en cada conjunto y sabiendo que deben ser los mismos elementos, podremos igualar por pares los elementos de A y B. Si los igualamos en el orden en cual nos dan los elementos (el primero de A y el segundo de B), tendramos: 3a+b= 3b+2; y, 81 = 27 Lo cual es absurdo. Entonces, lo que tenemos que hacer es igualar los elementos pero en un orden diferente (pero siempre el primero de A y el segundo de B): 3a+b= 27; y, 3b+2 = 81 As, tendremos un sistema de ecuaciones en el que: a+b = 3, (para que se cumpla la primera igualdad); y, b+2 = 4, (para que se cumpla la segunda igualdad) De aqu deducimos los valores de a y b que cumplen el sistema: b = 2, y a = 1 Por lo tanto, la respuesta a la pregunta sera: 2 1 = 1. 06.Dado el siguiente conjunto unitario:A = {5a4b; 36; a+b}; calcula: 2ba Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Se trata de un conjunto A. El conjunto A es unitario. A tiene 3 elementos.Incgnita: 2ba. Alrecordarladefinicindeconjuntounitario,nosdamoscuentaqueAnocumpleconla condicin de unitario, porque nosotros hemos observado tres elementos y no uno como exige la definicin. COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

37 5to ao I BimestrePeroesteaparenteabsurdoessoloaparente.EnrealidadAtieneunsoloelemento,loque sucedeesquelohanescrito3veces(conoperacionesmatemticasdiferentesquedanel mismoresultado).Entonceslostreselementosquevemossonelmismo.Poresono dudaremos en igualarlos para encontrar los valores ocultos de a y de b. As: 5a4b = 36; y, a+b = 36 Los nicos valores que cumplen estas igualdades sona = 16 y b = 20. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta sera: 2.20 16 = 14. ACTIVIDAD 3 Capacidad: Comunicacin matemticaDestreza: Codificar/decodificar Codificar/decodificar los diferentes conjuntos de comprensin a extensin y viceversa, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Observa la proposicin o enunciado simblico o numrico. 2.Identifica los elementos de los conjuntos y su caracterstica comn o las condiciones para cada elemento con sus valores de referencia. 3.Interpreta la condicin de los elementos o sus caractersticas. 4.Transforma el conjunto por extensin a otro equivalente por comprensin y viceversa. 01.En tu cuaderno, determina por extensin cada uno de los siguientes conjuntos, utilizando una tabla de tabulacin: { } 10x 2 de mltiplo es 3/xx A < . + ={ } 15 de mltiplo es x26 x 3/9 x B . < < ={ } 20 de divisor es x 5/x x C . e + ={ } par es x20, x 10 3x/x D < < . e ={ } 5 x 3 impar es /xx E2s s . ={ } 14 x 6 1/x 2x F < s . e ={ } 3 x -3 x/x G < s . e = Z{ } 4 x 1/x x H2s < . e = 3{ } 6 x 2 1/x 3x I < s . e =J = x 1/ x N; 1 x 5x 1+ e < s ` ) 02.Entucuaderno,encuentralacaractersticacomndeloselementosdecadaconjuntoy determina por comprensin cada uno ellos: { } 9 13;15;17;1 K ={ } 5;40 20;25;30;3 I ={ } 1;2;3;6 P ={ } 2 19;20;21;2 S={ } 7;28 24;25;26;2 H={ } 4;27;... 15;18;21;2 L ={ } 9 4;5;6;7;8; A ={ } 5;36 1;4;9;16;2 B={ } 2;84;96 36;48;60;7 C={ } 216 27;64;125; D= COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

38 5to ao I BimestreACTIVIDAD 4 Capacidad: Resolucin de problemasDestreza: Procesar la informacin Procesar la informacin en diferentes problemas sobre conjuntos, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Observa el enunciado y la simbologa matemtica que representa el conjunto. 2.Identifica los datos y los conjuntos especiales que te da el enunciado. 3.Relaciona los datos y las propiedades adecuadas de los conjuntos especiales. 4.Aplica la propiedad del conjunto especial a los datos y halla la lo que se te pide. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas: 01.Si el siguiente conjunto es unitario:A= {a+b; b+c; a+c; 6}, halla (a2 + b3 + c4) 02.CalcularabsilosconjuntosAyBson iguales:A = {3a 8; 44}; B = {10; ba - 20}. 03.Sabiendo que el conjunto:A = {a + b; a + 2b 2; 10}es un conjunto unitario, Dar el valor dea2 + b2. 04.Sean los conjuntos iguales: A = {a2 + 1; 12}, B = {a b; 17}, Cul puede ser el valor de a + b? 05.Si:A=B;donde:A={2a+3;81};B={64; 32b-6}, hallar: ( a + b) 06.Silossiguientesconjuntos:A={3a+b9; 4a}; B={46; 5a+2b} son unitarios, calcular : a2b 07.Si:A={x/x213x+40=0},darcomo respuesta la suma de los elementos de A 08.Dadoelconjuntounitario:A={a+b;a+2b3; 12 }; calcular : a2+b2 09.Si los conjuntos G={2a; 6} y E={4; 4b} son unitarios, cuntos elementos tiene: A = { 3a1; 7b; 2a+1; ab; a+b } ? 10.Si: {3a+2; 83} = { 3b+2+ 2; 27}; hallar: a . b REPRESENTACIN GRFICA DE UN CONJUNTO Diagrama de Ven Euler Consiste en representar el Conjunto Universal mediante un rectngulo y los otros conjuntos mediante crculos, tringulos o cualquier figura plana. COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

39 5to ao I BimestreRELACIN DE INCLUSIN Sean los conjuntos: D = { 3; 5; 7 } E = { 2; 3; 4; 5; 6; 7 } Se observa que D es subconjunto de E porque todos los elementos de D pertenecen tambin a E. Simblicamente lo expresamos as: D c E, y se lee: D est incluido en E o D es un subconjunto de E Grficamente: La relacin de inclusin se utiliza entre conjuntos y no entre elemento y conjunto Propiedades de la Inclusin -Todo conjunto es subconjunto de s mismo. A cA -El conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto. |c A -Si un conjunto estincluido en otro,yste enun tercero, entonceselprimerconjuntoestincluidoeneltercer conjunto. Si: A c B y B c C A c C ACTIVIDAD 5 Capacidad: Comunicacin matemticaDestreza: Representar Representar con diagramas de Venn dos o ms conjuntos, a travs del desarrollo de ejercicios. 1.Observa atentamente el enunciado y la simbologa matemtica que representa el conjunto. 2.Identifica los datos y los conjuntos especiales que te da el enunciado. 3.Escoge la figura geomtrica para tus conjuntos. 4.Representa los conjuntos en un diagrama de Venn. 01.Grafica los siguientes conjuntos:{ } 10 5;6;7;8;9; 0;1;2;3,4, U= ;{ } 2;5;6;7;9 A = ; { } 8 0;2;3;4;7; B =y{ } 0;1;4;9 C= . COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

40 5to ao I Bimestre02.Graficalossiguientesconjuntos:{ } 9 x 4 / 1 x U s < e + = ;{ } 2;4;6;8 A = ;{ } 7;8 1;0;2;3;4; 2; B =y{ } 8 /x x C < e = . 03.Completaelgrficoyhallaelvalordeverdaddelassiguientesproposicionespara: { } 2;7;9;5;14 A = ;{ } 2;7;5 B = ;{ } 8;9;11;15 1;2;3;5;7; C= A e B( ) 3 e A( ) B c C( ) 14 e C( ) A . B( ) 11 e A( ) 5 . C( ) { } e C( ) 2 e B( ) 9 e A( ) CONJUNTO POTENCIA Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Si el conjunto dado es A, el conjunto potencia de A se denota por P(A) y se lee Potencia de A P de A. EJEMPLITOS Si:{ } 5 A = ; el conjunto potencia ser:( ) { } { } 5 A P ; u = ; ( )12 A nP = A tiene 2 subconjuntos. Si:{ } b a; B = ; el conjunto potencia ser:( ) { }{ }{ } { } b a; ; b ; a ; B P u = . ( )22 B nP = B tiene 4 subconjuntos. Si:{ } 5;2;7 C= ; el conjunto potencia ser: ( ) { }{ }{ }{ }{ }{ }{ } { } 5;2;7 ; 2;7 ; 5;7 ; 5;2 ; 7 ; 2 ; 5 ; C P u = . ( )32 C nP = C tiene 8 subconjuntos. Recuerda que el conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

41 5to ao I BimestreSubconjuntos En general: Si card(A) = n; A tiene() | |n2 A P card =subconjuntos. Subconjuntos propios Si lo que tenemos que calcular es el nmero de subconjuntos propios, entonces al nmero anterior le quitamos la unidad (Porque el mismo conjunto no es subconjunto propio). Si card(A) = n; A tiene1 2nsubconjuntos propios. CARDINAL DE UN CONJUNTO Se conoce como cardinal de un conjunto al nmero de elementos diferentes que tiene un conjunto, y se denota por: card(A). As: Si:{ } 5 A = ; el cardinal de A ser: card (A) = 1 ACTIVIDAD 6 Capacidad: ComprensinDestreza: Aplicar Capacidad: Comunicacin matemticaDestreza: Codificar/decodificar Aplicar la definicin de conjunto potencia de un conjunto, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Lee atentamente el enunciado. 2.Identifica los datos y la incgnita en el enunciado. 3.Relaciona la informacin obtenida con la definicin de conjunto potencia.4.Aplica la definicin de conjunto potencia para determinarlo. Codificar/decodificar los conjuntos dados en su conjunto potencia, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Observa la proposicin o enunciado simblico o numrico. 2.Identifica los elementos de los conjuntos y su caracterstica comn o las condiciones para cada elemento con sus valores de referencia. 3.Interpreta la condicin de los elementos o sus caractersticas. 4.Transforma el conjunto por extensin a otro equivalente por comprensin y viceversa. Encadaunodelossiguientesconjuntosdeterminaporextensinsuconjuntopotenciaentu cuaderno y halla la cantidad de subconjuntos propios. 01.{ } 2;7;5 B =02.{ } 8x 2 de mltiplo es 3/xx A < . + =03.{ } 15 de mltiplo es x26 x 3/9 x B . < < =04.( ) { } 20 de divisor es x par/x es 5 x C . e + =05.{ } par es x17, x 10 3x/x D < < . e =06.{ } 7 x 3 impar es /xx E2s s . = COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

42 5to ao I BimestreOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS INTERSECCIN DE CONJUNTOS DadosdosconjuntosAyBsellamainterseccin deAyBalconjuntoformadoporloselementos que pertenecen a A y a B. Notacin: A interseccin B A B Interseccindedosomsconjuntossignifica obtenerunnuevoconjuntoformadoportodoslos elementos comunes a los conjuntos considerados. Ejemplito:Sean los conjuntos: A = { 7;9;11 }B = { 8;9;10 } A B = { 9 } UNIN DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B se llama unin de A y Balconjuntoformadoporloselementosque pertenecen a A o B. Notacin: A unin B AB Unirdosconjuntosomsconjuntossignifica obtenerunnuevoconjuntoformadoportodoslos elementos de los conjuntos considerados. Ejemplito:Sean los conjuntos: A = { 7; 9;11 }B = { 8; 9;10 } AB = { 7; 8; 9; 10; 11 } DIFERENCIA DE CONJUNTOS Restaressinnimodequitar.Elresultadodela sustraccinsellamadiferencia.Siestos conceptoslollevamosanuestroestudiodelos conjuntos tenemos que: SellamadiferenciaentreunconjuntoAyotroB, al conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B. Notacin: Diferencia entre A y B A B Ejemplito: Sean los conjuntos: A = { 7; 9;11 }B = { 8; 9;10 } A B={ 7; 11 } DIFERENCIA SIMTRICA Se llama diferencia simtrica entre un conjunto A y otroB,alconjuntoformadoportodoslos elementos que pertenecen a A o a B, pero que no pertenecen a su interseccin. Ejemplito: Sean los conjuntos: A = { 7; 9;11 }B = { 8; 9;10 } A B. 9. 7. 8. 11. 10 A B. 9. 7. 8. 11. 10 A B. 9. 7. 8. 11. 10COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

43 5to ao I BimestreNotacin: Diferencia simtrica entre A y BA A B A A B={ 7; 8; 10; 11 } COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO SellamacomplementodeunconjuntoA,al conjuntoformadoportodosloselementosque pertenecenaluniversoU,peroqueno pertenecen al conjunto A. Notacin: Complemento de A C(A) = U A. Ejemplito: Sean los conjuntos: A = { 7; 9;11 }B = { 8; 9;10 } C(A)={ 8; 10 } EJEMPLITOS 01.Dados los conjuntos: A = { 2; 3; 4; 6 }; B = { 3; 5 }, halla card (AB). Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Tenemos dos conjuntos A y B no disjuntos. A tiene 4 elementos y B tiene 2. Tienen un elemento en comn: 3. Incgnita: card (AB). Para ayudarnos a visualizar el problema, procedemos a graficarlo, empezando por su condicin de ser no disjuntos: Luego por la interseccin de ambos. A B = { 3 } Ahora completamos el grfico con los elementos que faltan de A (2; 4 y 6) y de B (5). A B. 9. 7. 8. 11. 10 A. 9. 7. 11U. 8. 10A BA B.3COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

44 5to ao I Bimestre Como card simboliza a la cantidad de elementos de un conjunto y en este caso la unin es el total de elementos, entonces tendremos: card (AB) = 5 02.Se conoce que: -(ABC)={1; 8; 12} -(AC) = {2; 3; 4; 5; 6; 10; 11} -(AB) = {2; 3; 4; 5; 7; 9} -(A C) = {5} -(B C) = C -B = {1; 2; 5; 6; 8; 10; 11; 12} Calcular la suma de los elementos de: (BC) A Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Tenemos tres conjuntos: A, B y C. De la quinta afirmacin: B y C no tienen elementos comunes: son disjuntos. De la cuarta afirmacin: A y C tienen un elemento comn: 5. De la primera afirmacin: 1; 8 y 12 no pertenecen a ninguno de estos tres conjuntos. Estos son todos los elementos del problema: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 y 12. Incgnita: card (BC) A. Paraayudarnosavisualizarelproblemahacemosungrficoteniendoen cuenta los conjuntos que disjuntos y los que no. Y podremos ir agregando los elementos que no pertenecen a los tres conjuntos y la interseccin de A y C. Lo que tenemos que hallar es el cardinal de: (BC) A. Como ayuda, sombrearemos a continuacin este conjunto. Comosabemosque:(AC)={2;3;4;5;6;10;11},entoncesaBsololequedanlos siguienteselementos:7;9.Anlogamente,como(AB)={2;3;4;5;7;9},aCsolole quedan los siguientes elementos: 6; 10 y 11. Y el grfico quedara as. A B. 3. 2. 4. 6. 5AC B. 3. 1. 8. 12AC B. 3. 1. 8. 12COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

45 5to ao I Bimestre Los nicos elementos que faltan colocar en el grfico, son: 2; 4 y 5. Sin embargo, como hay todava dos secciones por llenar, no sabremos donde colocar estos elementos, a menos que nos den alguna informacin adicional. Pero el conjunto incgnita si lo conocemos: (BC) A = {6; 7; 9; 10; 11} Por lo tanto Card (BC) A = 5. 03.Si el conjunto P tiene 64 subconjuntos, halla el cardinal de P. Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Tenemos dos conjuntos: P y P(P). Slomencionanlacantidaddeelementosmasnolacaractersticadecada uno de ellos. (Sabemos cuntos son pero no sabemos quienes son). P tiene 64 subconjuntos: card (P(P)) = 64. Incgnita: nmero de elementos de A: card(A). Recordemos la relacin que nos ayuda a saber la cantidad de subconjuntos de M:nP(M) = 2n,donde n es card(M). Ahora podremos ayudarnos de los datos para hallar relaciones: card (P(P)) = 64 card (P(P)) = 26 card (P) = 6. Por lo tanto, el cardinal de P es 6. 04.Halla el cardinal de M, si tiene 127 subconjuntos propios. Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Tenemos dos conjuntos: M y P(M). Slomencionanlacantidaddeelementosmasnolacaractersticadecada uno de ellos. (Sabemos cuntos son pero no sabemos quienes son). M tiene 127 subconjuntos propios: card (P(M)) = 127 +1 = 128. Incgnita: nmero de elementos de M: card (M). Recordemos la relacin que nos ayuda a saber la cantidad de subconjuntos de M:nP(M) = 2n,donde n es card (M). Y para subconjuntos propios es:2n 1. Ahora podremos ayudarnos de los datos para hallar relaciones: card (P(M)) = 128 card (P(M)) = 27 card (M) = 7. Por lo tanto, el cardinal de M es 7. 05.Se tiene dos conjuntos A y B tales que: -n(A) n(B) = 3 -n[P(AB)] = 2 048 -n[P(A B)] = 16 -n(B) = 9 Cuntos subconjuntos tiene A? AC B. 3. 1. 8. 12. 7. 9. 6. 10. 11COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

46 5to ao I BimestreSolucin: Identificamos los datos y la incgnita:Tenemos cuatro conjuntos: A, B, P(AB) y P(A B). Entodaslasafirmacionesslomencionanlacantidaddeelementosmasno lacaractersticadecadaunodeellos.(Sabemoscuntossonperono sabemos quienes son).De la primera afirmacin: A tiene 3 elementos ms que B. De la cuarta afirmacin: fuera de B hay 9 elementos. Incgnita: cantidad de subconjuntos de A: nP(A). Recordemos la relacin que nos ayuda a saber la cantidad de subconjuntos de M:nP(M) = 2n,donde n es card(M). Entonces, si:n[P(AB)] = 2 048 n[P(AB)] = 211 card (AB) = 11; En forma anloga, si:n[P(A B)] = 16 n[P(A B)] = 24 card (A B) = 4; Ahora con ayuda de un grfico, completaremos el resto de la informacin, teniendo en cuenta que A tiene 3 elementos ms que B; card (AB) = 11, y que card (A B) = 4: Por ltimo, como fuera de B hay en total 9 elementos, y del grfico observamos que en A ya van 5, entonces concluimos que fuera de A y de B hay 4 elementos. Entonces card (A) = 4 + 2 = 6, y el nmero de subconjuntos ser: 26. Por lo tanto A tiene 64 subconjuntos. 06.Si el cardinal de R es 9 y adems tiene 480 subconjuntos ms que S, cul es el cardinal de S? Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Tenemos dos conjuntos: R y S. Slomencionanlacantidaddeelementosmasnolacaractersticadecada uno de ellos. (Sabemos cuntos son pero no sabemos quienes son). R tiene 9 elementos: card (M) = 9. R tiene 480 subconjuntos ms que S. Incgnita: nmero de elementos de S: card (S). Recordemos la relacin que nos ayuda a saber la cantidad de subconjuntos de M:nP(M) = 2n,donde n es card(M). Ahora podremos ayudarnos de los datos para hallar relaciones: card (P(R)) = 29 = 512 Como R tiene 480 subconjuntos ms que S, entonces S tendr: 512 480 = 32 subconjuntos. A B4 52A B4 524COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

47 5to ao I BimestreEntonces tendremos: card (P(S)) = 32 card (P(S)) = 25 card (S) = 5. Por lo tanto, el cardinal de S es 5. ACTIVIDAD 7 Capacidad: Comunicacin matemticaDestreza: Representar Representar con diagramas de Venn dos o ms conjuntos, a travs del desarrollo de ejercicios. 1.Observa atentamente el enunciado y la simbologa matemtica que representa el conjunto. 2.Identifica los datos y los conjuntos especiales que te da el enunciado. 3.Escoge la figura geomtrica para tus conjuntos. 4.Representa los conjuntos en un diagrama de Venn. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios, ayudndote con un grfico para los conjuntos dados: 01.Sean A = {1; 5; 7; 8; 9} B = {1; 5; 8; 9} C = {1; 8} D = {1; 9; 7} Hallar: (A A C) (B A D) 02.Si: U = {x/x e N . 0 s x s 9} (AB) = {0; 6; 9} A B = {1; 2; 7} A B = {3; 5} Cul es la suma de los elementos de (B A)? 03.Si:A B = C y adems n [P(AB)] = 256 n(A) n(B) = 1 n[A B] = 3 Hallar:n(B) 04.Determinar:E = (A B) (B C) Si:A = {x/x e N / x es divisor de 12} B = {x/x es un nmero natural / x es divisor de 18} C = {x/x e N / x es divisor de 16} Dar como respuesta n(E) 05.Para dos conjuntos A y B se tiene que: AB = {x/x e Z / 2 s x s 8} A B = {5} A B = {4; 6; 7} Hallar la suma de los elementos de B. 06.Sean:A = {1; 3; 5; 7; 9} B = {2; 4; 6; 8; 10} C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Hallar: E = [A(B C)] A (A B) Siendo: U = {x/x e N x < 12} 07.Sean los conjuntos: A = {x/x e Z, x2< 400} B = {x/x e Z, -2< x + 1 < 400} Determinar el cardinal del conjunto: L = (A B)B 08.Si: C B = {7; 5; 6} C A = {7; 9; 10} A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {2; 3; 4; 8; 9; 10} C = {4; 5; 6; 7; 9; 10} Cuntos elementos hay en la parte sombreada? 09.SiA,ByCtienen1,2,3elementos respectivamente: A = {a + b; 7; b + c2} B = {a; c2; b + 1; (b + 2)} C = {3; a 1; c2 + 3} Donde: a, b y c e Z Hallar:n[P [(A C)(B C)]] 10.Si:U = {1, 2, 3, 4, 5} AB = {1, 2, 3, 4} A B = {1, 3} A B = {2} Luego el conjunto B es: 11.HallarlasumadeelementosdeAAB siendo: A = {x + 1/ x e N, 5 s x < 10} B = {31 x +e N / x e N, 6 < x s 20} 12.Siendo:A = {1, b, c, d, e} B = {a, b, d} C = {c, e, b} Hallar el cardinal del conjunto M = [(A B) C]( A B) AB C COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

48 5to ao I Bimestre13.SiendoAyBdossubconjuntosdel conjunto universal U se sabe que: n(A) = 10 n(B) = 5 n(U) = 17 n[(A B)] = 13 Hallar:n(A B) + n(AB) 14.Si: U = {x/x e N, 0 < x < 15} A = {x2 + x + 2/ x e N; 2 s x < 6} B = {2x + x / x e N; 1 s x < 5} Hallar el cardinal de (AB) 15.Si: M = {1; 2; 3; 5} N = {2; 3; 4; 5; 6} P = {0; 1; 2; 3} Encuentra las operaciones entre conjuntos que representan un mismo resultado: A)M(N P)B)(MN) P C)P(M N)D)(MN) (MP) E)(M N)(M P)F)M (N P) G)M (NP)H)(M N)(M P) 16.Si: U = {x/x e N . 0 s x s 9} (AB) = {0; 6; 9} (A B) = {1; 2; 7} (A B) = {5; 3} Cul es la suma de los elementos B A? 17.Dados los conjuntos: A = {4; 5; 8; 9; 10} B = {5; 6; 7; 8; 9} C = {2; 3; 4; 5; 6} Hallar el cardinal de: (A C)(B A) 18.Elsiguientegraficoindicacantidadesde elementosporzona.Cuntoselementos tendr la expresin? (E F) (G E) 19.Quoperacinrepresentalazona sombreada? A)(BC) (A B) B)(C B)(B A) C)(C A)(B C) D)(B C) (A C) E)(B A)(C A) ACTIVIDAD 8 Capacidad: ComprensinDestreza: Identificar Identificar las zonas de un diagrama de Venn en diferentes situaciones con conjuntos, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Observa atentamente el diagrama de Venn y el enunciado. 2.Recuerda los conjuntos y las zonas que ocupan en el diagrama de Venn. 3.Identifica la zona que le corresponde a cada enunciado. E 6 4 5 7 9 6 3 F G 8 AB C U COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

49 5to ao I BimestreSombrea cada diagrama de Venn de acuerdo a su enunciado: UA B Slo A UA B Slo B UA B A o B UA B ni A ni B UA BC Slo C UA BC B y C UA BC Slo, A y B UA BC A o B, pero no C UA BC A, pero no B o C UA BC ni A ni C COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

50 5to ao I BimestreACTIVIDAD 9 Capacidad: ComprensinDestreza: Identificar Identificar las zonas de un diagrama de Venn en diferentes situaciones con conjuntos, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Lee atentamente el enunciado. 2.Identifica los datos y la incgnita en el enunciado. 3.Relaciona la informacin obtenida.4.Aplicalafrmuladeladistanciaentredospuntosenlarectanumricasegnlorequierael enunciado. 1.Encuesta sobre las preferencias de los curso A, B y C en un aula del colegio. Observa los resultados de la encuesta y responde: A BU9621 14C178711 A)Prefieren el curso A. ............ B)Prefieren el curso B. ............ C)Prefieren A y B............ D)Prefieren los tres cursos............ E)Prefieren solamente A............ F)Prefieren solamente B............ G)Prefieren solamente C............ H)No prefieren ninguno de los cursos ........ I)No prefieren A............ J)No prefieren B............ K)No prefieren C............ L)Ni A ni B............ M)Ni A ni C............ N)Prefieren A o C............ O)Prefieren B o C............ P)Prefieren A y B, pero no C............ Q)Prefieren A y C, pero no B............ R)Prefieren B y C, pero no A............ S)Prefieren A o C, pero no B............ T)Prefieren B o C, pero no A............ EJEMPLITOS 01.Deungrupode120personas;45noestudiannitrabajan;30estudian;y,18estudiany trabajan. Cuntas personas trabajan solamente? Solucin: Identificamos los datos y la incgnita:Hay tres conjuntos: Los que estudian (E); los que trabajan (T)y el conjunto universal (U). n (U) = 120; n (ET) = 45; n (E) = 36; n (E T) = 18. Incgnita: Trabajan solamente: n (T E). Representamos la informacin en un diagrama de Venn, teniendo en cuenta todos los datos y la zona incgnita. COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

51 5to ao I Bimestre Ahora podremos ayudarnos de los datos para hallar relaciones en las zonas restantes: Como E tiene 30 elementos en total, entonces la zona E T, tendr: 36 18 = 18 elementos Como en total debe haber 120 elementos en el grfico y hasta ahora hemos escrito: 45 + 18 + 18 = 81 elementos. Entonces, la zona T E tendr: 120 81 = 39 elementos. Grficamente, tendremos: Por lo tanto, 39 personas trabajan solamente. 02.Deunamuestrarecogidaa92turistas,sedeterminlosiguiente:30eranafricanos;40 europeosy50eranmsicos.Deestosltimos24eranafricanosy16eraneuropeos. Cuntos de los que no son europeos, no eran africanos, ni msicos? 03.En una ciudad a la cuarta parte de la poblacin no le gusta la carne ni el pescado; a la 1/2 le gusta la carne y a los 5/12 le gusta de pescado. Qu fraccin de la poblacin gusta carne y pescado? 04.Deunamuestrarecogidaa200transentessedeterminque:60eranmudos;70eran cantantes callejerosy 90 eran ciegos. De stos ltimos 20 eran mudos y 30 eran cantantes. Cuntos de los que no son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos? ACTIVIDAD 10 Capacidad: Resolucin de problemasDestreza: Procesar la informacin Procesar la informacin en diferentes problemas sobre conjuntos del tipo encuesta, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Lee atentamente el enunciado del problema. 2.Identifica los datos y los conjuntos que te da el enunciado. 3.Relaciona los datos y las propiedades adecuadas de los conjuntos. 4.Aplica la propiedad del conjunto a los datos y halla la lo que se te pide. En cada uno de los siguientes problemas, representarlos en un diagrama de Venn, y responde a las preguntas. E T1845 120E T1845 12018 39COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

52 5to ao I Bimestre01.En el mes de marzo, Maribel toma caf y/o leche en su desayuno de cada maana. Si tomacaf18maanasyleche20 maanas,cuntasmaanasMaribel toma caf con leche? 02.De 100 alumnos se conoce que : 60 estudian fsica 40 estudian qumica 10 no estudian estos cursosCuntos estudian ambos cursos? 03.Deungrupode60personassesabeque 25deellasnoestudiannitrabajan;20 personas estudian y 9 personas estudian y trabajan.Cuntasdeellasrealizanslo una de las dos actividades? 04.En una cuadrilla de 400 soldados se tiene lo siguiente: 250 no disparan conmetralleta 190 no disparan con fusil 100 no disparan estas armas Cuntas personas disparan al menos una de estas armas? 05.De60estudiantesenuninstitutode idiomas20estudiansloingls;10 estudianinglsyfrancs;25estudian francssolamente.Cuntosestudian otros idiomas, pero no los mencionados? 06.Deuntotaldepersonas,20%cocinan,el 40%lavanyel45%delosquecocinan tambinlavan.Quporcentajenolavan ni cocinan? 07.Enunavinviajan120personasdelas cuales: -La tercera parte de ellas beben. -La quinta parte de ellas fuman. -18 personas fuman y beben. Cuntas personas no fuman ni beben? 08.Unaacademiadeportivatiene80 miembros de las cuales 30 no practican ni atletismonibulbito,20practicanatletismo y 6 practican bulbito y atletismo. Cuntos practican solo uno de estos deportes? 09.Noventaalumnosde5toaoasistenala clasedecomputacin,70a entrenamientos de diferentes deportesy 5 noseinteresanniencomputacinnien deportes.Si30asistentantoadeportes comoacomputacin.Cuntosalumnos hay en quinto ao? 10.De300integrantesdeunclubdeportivo, 160seinscribieronennataciny135se inscribieronengimnasia.Si30nose inscribieronenningunadelasdos especialidades.Cuntosseinscribieron en ambas disciplinas? MS EJEMPLITOS 01.Deungrupode55personas;25hablan ingls;32hablanfrancs;33hablan alemny5lostresidiomas.Cuntas personasdelgrupohablanslodos idiomas,sitodoshablanalmenosunode los idiomas mencionados? 02.SetomaunexamendeA,XyGaun grupodealumnosdelaacademiayse observ que: 13 aprobaron A y X pero no G 12 aprobaron slo A 9 slo aprobaron X 50aprobaronXoGdeloscuales7 aprobaron A pero no X y 4 aprobaron X y G pero no A 40 aprobaron A Si fueron seleccionados aquellos alumnos que aprobaron por lo menos dos cursos, cuntos fueron eliminados? 03.De 180 alumnos que les gustan los cursos deAritmtica;lgebrayFsica.Sesupo que34gustanAritmticaperonode lgebra;18 gustan de lgebra perono de Fsica;56gustandeFsicaperonode Aritmtica.Acuntoslesgustalostres cursos mencionados? 04.Sepreguntaa300europeossobrela preferenciadepasarsusvacacionesyse obtuvoque95prefierenelPer;115 Argentinay130Brasil.Adems20 prefierenlostrespases;50ningunode lospasesmencionados,10prefierenlos dosprimerosperonoelterceroy70, solamenteBrasil.Cuntosprefierenun solo pas? COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

53 5to ao I Bimestre05.Enelprimerdadevisitaalamueca giganteCamilaasistieron200nios peruanos;150adultosextranjeros;250 nios extranjeros; 100 ancianos peruanos; losadultosperuanossoneldobledelos niosperuanosylosancianosextranjeros son el triple de los ancianos peruanos.Si sontodoslosasistentes.Cuntos fueron? 06.En una encuesta realizada a cierto nmero depersonas,seencuentraqueelnmero dehombresquenolesgustalimpiarla casaeseltripledelnmerodemujeres quesilesgustaestatarea.Sielnmero de los hombres que no les gusta limpiar es igualalnmerodemujeresquenoles gusta limpiar. Halla a cuntas personas se leshizolaencuesta,sia20personasles gustalimpiarlacasaya10hombres tambin les gusta esta tarea. ACTIVIDAD 11 Capacidad: Resolucin de problemasDestreza: Procesar la informacin Procesar la informacin en diferentes problemas sobre conjuntos del tipo encuesta, mediante el desarrollo de ejercicios. 1.Lee atentamente el enunciado del problema. 2.Identifica los datos y los conjuntos que te da el enunciado. 3.Relaciona los datos y las propiedades adecuadas de los conjuntos. 4.Aplica la propiedad del conjunto a los datos y halla la lo que se te pide. En cada uno de los siguientes problemas, representarlos en un diagrama de Venn, y responde a las preguntas. 01.De160personasquegustandelosjugos defresa;manzanaypiasesabeque60 gustandeunjugosolamente;70gustan exactamentede2destosjugosy20de otrosperonolosmencionados.Cuntos gustan de los tres a la vez? 02.EnunodelossalonesdelGrupoTalento, se sabe que: a 20 varones no les gusta la salsa; a 25 mujeres si les gusta dicho ritmo musical;alosvaronesquelesagrada dichogneroson30ysonasuvezel dobledelasmujeresalasquenoles gusta. Cuntos son en el saln? 03.Enelprimerdadevisitaalamueca giganteCamilaasistieron200nios peruanos;150adultosextranjeros;250 nios extranjeros; 100 ancianos peruanos; losadultosperuanossoneldobledelos niosperuanosylosancianosextranjeros son el triple de los ancianos peruanos.Si sontodoslosasistentes.Cuntos fueron? 04.Ungrupode63niosdieron3exmenes para ser admitidos en el colegio y se sabe que 25 aprobaron el primer examen, 23 el segundoy31eltercero;10aprobaronel primeroyelsegundo,5elprimeroyel tercero,8elsegundoyelterceroy4no aprobaronexamenalguno.Cuntos niosfueronadmitidosalcolegio,sislo necesitaban aprobar 2 exmenes? 05.Enunareunindondeasistieron44 personas,sesabeque21personas hablanalemn;25hablanfrancsy26 hablancastellano;11hablanalemny francs; 6 hablan alemn y castellano pero nofrancs;8hablanlos3idiomas;13 hablan castellanoy francs. Cuntosno hablan ninguno de estos tres idiomas? 06.De 180 alumnos que les gustan los cursos deAritmtica;lgebrayFsica,sesupo que34gustanAritmticaperonode lgebra;18 gustan de lgebra perono de Fsica;56gustandeFsicaperonode Aritmtica.Acuntoslesgustalostres cursos mencionados? 07.Eldirectordeuninstitutoareportadolos siguientes datos acerca de un grupo de 30 estudiantes:19llevanmatemticas,17 llevanmsica,11llevanhistoria,12 matemticaymsica,7historiay matemticas,5msicaehistoria;2 matemtica,historiaymsica.Cuntas no llevan msica o historia? 08.Enunbailesocialsesupoqueel45% solicitansalsa,el35%solicitantoadayel 30% huayco, adems el 15% pedan salsa y toada, el 16% toada y huayco; 20% salsa yhuaycoyel8%lostresritmos mencionados.Quporcentajedelos asistentesnopedaningunodelostres ritmos mencionados? COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

54 5to ao I Bimestre09.Enunaencuestarealizadasobrela preferenciadelpblico,acercadela planificacinfamiliarseobtuvolo siguiente: 60 prefieren usar preservativos (P); 59 prefieren usar el mtodo del ritmo (R); 50 prefieren las pastillas anticonceptivas (A); 38 prefieren P, R; 25 prefieren R y A; 22 prefieren P y A; 10 prefieren P, R y A. Determinar: cuntas personas prefieren P y R pero no A? 10.Deuntotalde85universitarios,42 estudian ingls, 56 estudian computacin y 15noestudianningunodeestosdos cursos.Cuntosestudianinglsy computacin? 11.Serealizounaencuestaa400personas sobreeldiariodesupreferenciayse observque280prefierenElComercio, 180prefierenExpresoy70otrosdiarios. CuntaspersonasprefierenExpresoy Comercio? 12.Enunhotelestnhospedados90turistas que hablan ingls, francs o alemn. Si se sabeque52hablaningls;41hablan francs,30hablanalemn;14inglsy francs;16inglsyalemn;13francsy alemn. Cuntos turistas hablan solo uno de los idiomas mencionados? 13.Deungrupode60turistasqueviajal interiordelpasseobtuvolasiguiente informacin: -20 personas visitaron solo Cuzco. -16 personas visitaron solo Iquitos. -8personasvisitaronsoloHuarazyel mismonmerovisitaronCuzcoy Huaraz. -7 personas visitaron Huaraz e Iquitos. -4 personas visitaron Iquitos y Cuzco. -3personasvisitaronlastres ciudades. Cuntas personas visitaron Cuzco o Huaraz? 14.De un grupo de 90 personas se sabe que: -12 personas tienen 20 aos. -28 hombres no tienen 21 aos. -34 hombres no tienen 20 aos. -Tantasmujereshacen20aoscomo hombres tienen 21 aos. Cuntas mujeres no tienen 20 aos? 15.De un grupo de turistas: -9conocenCuzcooPiuraperono Arequipa,deloscuales8conocen Cuzco y 4 conocen Piura. -25hanvisitadoArequipaoPiurade los cuales 9 conocen Cuzco. -4 conocen las tres ciudades. Cuntos turistas conocen Arequipa pero no Cuzco? 16.Deungrupode39personas,5hablan francsperonoingls;10hablaningls peronofrancsyademssesabequeel nmerodepersonasquehablanslo espaoleseldobledelosquehablan inglsyfrancs.Cuntaspersonas hablan ingls si todos hablan por lo menos uno de estos idiomas? 17.Deungrupode60personas,26hablan francs y 12 solamente francs; 30 hablan inglsy8solamenteingls;28hablan alemny10solamentealemn.Tambin sesabeque1hablalos3idiomas mencionados.Cuntoshablaninglsy alemn pero no francs? 18.Enunafiestadondehaban70personas 10eranhombresquenolesgustaba msicaHEAVY,20eranmujeresque gustaban de esta msica. Si el nmero de hombresquegustadelamsicaHEAVY eslatercerapartedelasmujeresqueno gustandeestamsica.Acuntosles gusta la msica HEAVY? 19.En una estacin de transporte, haban 100 personasdelascuales40hombreseran provincianos, 30 mujeres eran limeas y el nmerodemujeresprovincianasexcede en10alnmerodehombreslimeos. Cuntos hombres hay en el aula? 20.Unaulade35alumnosrindilos exmenesdeAritmticayGeometra.Se sabe que 7 hombres aprobaron Aritmtica, 6hombresaprobaronGeometra,5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningn curso, hay 16 hombres en total, 5 alumnos aprobaronamboscursosy11alumnos aprobaronsoloAritmtica.Cuntas mujeres aprobaron solo Geometra? COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

55 5to ao I Bimestre Sonproductos que se hallarn de manera directa sin la necesidad de efectuar operaciones. Los productos notables ms importantes son: Binomio al cuadrado: Elcuadradodelasumadedosmonomiosesigualalcuadradodelprimero,mseldobledel primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo monomio. ( )2 2 22 b ab a b a + + = + Ejemplitos: ( )2 2 22 n mn m n m + + = +( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 24 4 2 2 2 2 p mp m p p m m p m + + = + + = +( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 29 12 4 3 3 2 2 2 3 2 b pb p b b p p b p + + = + + = + Elcuadradodeladiferenciadedosmonomiosesigualalcuadradodelprimero,menoseldoble del primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo monomio. ( )2 22 b ab a b a + = Ejemplitos: ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 24 4 2 2 2 2 y xy x y y x x y x + = + = ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 24 12 9 2 2 3 2 3 2 3 x xa x a a x x a x + = + = Producto de una suma por su diferencia: El producto de la suma por la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. ( )( )2 2b a b a b a = + Ejemplitos: 2 2 2 29 ) 3 ( ) 3 )( 3 ( b a b a b a b a = = + 2 2 2 29 4 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 2 )( 3 2 ( y x y x y x y x = = + COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

56 5to ao I BimestreBinomio al Cubo: 3 2 2 3 33 3 ) ( b ab b a a b a + + + = + 3 3 3) ( 3 ) ( b b a ab a b a + + + = + 3 2 2 3 33 3 ) ( b ab b a a b a + = 3 3 3) ( 3 ) ( b b a ab a b a = Ejemplitos: 3 2 2 3 33 3 ) ( a ma a m m a m + + + = +( )3 2 2 3 3) 3 ( ) 3 )( 2 ( 3 ) 3 ( ) 2 ( 3 2 ) 3 2 ( a a m a m m a m + = 3 2 2 327 ) 9 )( 2 ( 3 ) 3 )( 4 ( 3 8 a a m a m m + = 3 2 2 327 54 36 8 a ma a m m + = Producto de un binomio por un trinomio: 3 3 2 2) )( ( b a b ab a b a + + + 3 3 2 2) )( ( b a b ab a b a + + Ejemplitos: 1)) )( (2 2 3 3n mn m n m n m + + = + 2)) 16 4 )( 4 ( 4 642 3 3 3+ + = + = + a a a a a Identidades Auxiliares: Identidades de Legendre: ab b a b a 4 ) ( ) (2 2= + 2 2 2 22 2 ) ( ) ( b a b a b a + = + + Trinomio al cubo: ac bc ab c b a c b a 2 2 2 ) (2 2 2 2+ + + + + = + + Producto de binomios con un trmino comn: ab x b a x b x a x + + + = + + ) ( ) )( (2 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

57 5to ao I BimestreIdentidades Condicionales: Si: a + b + c = 0 se demuestra que: ) ( 22 2 2bc ac ab c b a + + = + + abc c b a 33 3 3= + + ) ( 22 2 2 2 2 2 4 4 4c b c a b a c b a + + = + + Ejemplitos: 6 5 3 2 ) 3 2 ( ) 3 )( 2 (2 2+ + = + + + = + + x x x x x x 15 2 ) 5 ( ) 3 ( ) 5 3 ( ) 5 )( 3 (2 2 + = + + + = + x x x x x x 4 5 ) 4 ( ) 1 ( ) 4 1 ( ) 4 )( 1 (2 2+ = + + = x x x x x x ACTIVIDAD 1: Capacidad: ComprensinDestreza: Aplicar 1.Observa todos los ejercicios propuestos del captulo Productos notables. 2.Compara la expresin matemtica con los productos notables estudiados en clase. 3.Identifica el producto notable adecuado para el ejercicio. 4.Aplica el producto notable que has elegido. Aplicar productos notables para desarrollar cada uno de los ejercicios planteados: 01. 2(7x 2y) +02. 3 2 2(x 4y ) +03. 2(3 3b) +04. 21(3x )4+05. 23(3x )206. 6 2(2x 2) 07. 23a 2b( )2 3+08. 2 2 3 2(ab 3a b ) +09.(2x 5)(2x 5) + 10. 2 2(3x 7)(3x 7) + 11.(5x 3)(5x 3) +12.(15x 4)(15x 4) +13. 1 1(2x )(2x )3 3+ 14.(5x 4y)(5x 4y) +15. 1 1(5x )(5x )2 2+ 16.(2 x 3 y)(2 x 3 y) + 17. 3 2 3 25 5( x 2y)( x 2y)2 2 +18. 3 3(2x 0,1)(2x 0,1) +19. 2x 2x( 4)( 4)3 3 +20. 2(5y 7b) +COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

58 5to ao I Bimestre21. 2(a 3c) 22. 23a 5b( )2 4+23. 23a( b)224. 2(2 5a 3 2b) +25. 2(0, 3x 1, 2) 26. 3 2( 2x 1) 27. 2) 2 13 ( y + 28. 2 2 2(3ab 2b a) 29. 1 1( a b)( a b)2 2+ 30. 1 1 1 1( m n)( m n)3 2 3 2+ 31. 2 2 2 2(5a b 13ab )(5a b 13ab ) +32. 2 2(2pq 3)(2pq 3) +33. 2 2(0, 2x 1)(0, 2x 1) + 34. 2 2(0, 4a 2)(0, 4a 2) +35. 2 23 2 3 2( x y a)( x y a)2 3 2 3 +36. 2 3 2 3 2 3 2 32 1 2 1( a b m n )( a b m n )3 2 3 2 37. 3) 3 2 ( x a 38. 3 2) 3 2 ( b b a 39. 3) 4 3 ( p m40. 3) 2 3 ( b a +41. 3 2 2) 3 2 ( y x 42. 3) 7 2 ( y x 43. 3) 531( + a44. 3 2 2) 3 2 ( ab b a 45. 3)5332(y x+46. 3) 3 , 0 5 , 0 ( b a 47. 3 3 3) 5 3 3 2 ( 48.) 36 6 )( 6 (2+ + x x x ACTIVIDAD 2: Capacidad: ComprensinDestreza: Aplicar 1.Identifica los productos notables presentes en varias expresiones algebraicas.2.Elige el producto notable ms apropiado para simplificar la expresin algebraica. 3.Aplica el producto notable que has elegido. Aplicar productos notables para desarrollar cada uno de los ejercicios planteados: 01.Reducir: A = (2x + 3)2 (2x - 3)2 + (3x - 4)2 8x2 - 16 02.Efectuar: (x 1)(x 1) ( x 1)(1 x)(x 1) + + + + 03.Reducir: 2 2A (2 3 3 2) (2 3 3 2) = + + 04.Simplificar: 4 42 2 4 44( x y) ( x y)Lxy+ = 05.Efectuar: E = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256 06.Multiplicar: M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 x + 1) + 1 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

59 5to ao I Bimestre 07.Efectuar: 3 3 3 3 3L ( 10 2)( 100 20 4) = + + 08.Reducir: A = (xn + 8)(xn + 2) (xn + 3)(xn + 7) 09.Simplificar: E (x 1)(x 1)(x 2)x 1 = + + + 10.Simplificar: 4 44 2( x 1)( x 1)(x 1)( x 1)(x x 1) + + + + + ACTIVIDAD 3: Capacidad: ComprensinDestreza: Aplicar 1.Identifica los productos notables presentes en varias expresiones algebraicas.2.Elige el producto notable ms apropiado para simplificar la expresin algebraica. 3.Aplica el producto notable que has elegido. Aplicar productos notables para desarrollar cada uno de los ejercicios planteados: 01.Reducir: M = (2x + 3y - z)3 + (3x 3y + z)3 124x3 + 15x(2x + 3y - z) (3x 3y + z) 02.Hallar E en: 3 3E 25 500 25 500 = + + 03.Evaluar: 32 2 4 8E 1 80(9 1)(9 1)(9 1) = + + + + 04.Simplificar: (m 2a 3b)(m 2a c) 3bcmm 2a 3b c+ + + + + + + 05.Reducir: A (1 8 3 24) (1 2 2 3 2 6) = + + + + 06.Reducir: M = (x + 2)2 (2 - x)2 + (x - 4)2 x2 - 16 07.Efectuar: ( x 2)( x 2)(x 4) (x 4)(4 x) + + + + 08.Reducir: 2 2M ( 7 3) ( 7 3) = + + 09.Simplificar: 6 6 6 62 26( 5 6) ( 5 6)A2 30+ = 10.Efectuar: E = (a + 5)(a - 5)(a2 + 52)(a4 - 54) a8 ACTIVIDAD 4: Capacidad: ComprensinDestreza: Aplicar 1.Identifica los productos notables presentes en varias expresiones algebraicas.2.Elige el producto notable ms apropiado para simplificar la expresin algebraicaa. 3.Aplica el producto notable que has elegido. Aplicar productos notables para desarrollar cada uno de los ejercicios planteados: COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

60 5to ao I Bimestre01.Multiplicar: M=(a+b)(a2+ab+b2)(a-b)(a2ab+ b2) 02.Efectuar: ) 1 3 9 ( ) 1 3 ( L3 3 3+ + = 03.Reducir: M = (x5 + 4) (x5 + 7) (x5 + 2) (x5 + 9) 04.Simplificar: 1 ) 4 x )( 3 x )( 2 x )( 1 x ( L + + + + + = 05.Simplificar: ) b b a a )( b a )( b a )( b a )( b a (4 2 2 44 4 4 4+ + + + + 06.Reducir: M = (x + 2y 7z)3 + (x 2y + 7z)3 8x3 + 6x(x + 2y 7z) (x 2y + 7z) 07.Hallar M en: 3 3392 20 392 20 M + + = 08.Evaluar: 88 4 21 ) 1 2 )( 1 2 )( 1 2 ( 3 + + + + 09.Simplificar: ac b a xbc ) c a x )( b a x (+ + + + + + + 10.Reducir: ) 6 3 2 1 ( ) 6 3 2 1 ( P + + + + = 11.Simplificar: 161 257 . 17 . 5 . 3 + 12. Reducir: 2 2(x 5x 5) (x 1).(x 2).(x 3).(x 4) + + + + + + 13.Si:a+b+c=0,hallarelvalordebc ac abc b aE+ ++ +=2 2 2 14.Calcularelvalornumricode: 71: si12233= + + =aaaa A 15.Si:a+4b+9c=0.Culeselvalorde aca cbcc babb a2 2 2) 3 ( ) 3 2 ( ) 2 ( ++ 16.Siendo:1 10 1003 3+ = ab;310 1= +b aCul es el valor de 3ab (a + b)? 17.Si: 11 13333= + = +zyyx Culeselvalor de 1 ) (102 xyz 18.Si: 3 36 7 6 7 + + = xCuleselvalornumricode: ? 9 6 ) (2 4 6x x x x E + = 19.Si se cumple que: 09229 922= + +cbcaba Cul es el valor de: ?9292((

((

=acbbacE 20.Si: ) ).( ( 4 ) ( ) (2 2w z y x w z y x w z y x + + = + + + + + Cul es el valor de: 22 2x z x ww y z y (| | | | +( || ( \ . \ . 21.Sabiendoquea>byadems 33 3= +abba.Cul es el valor de: ?abbaE = 22.Si:a+b+c=0.Culeselvalorde: ) ).( (22c b ab bc ac aabc+ + + + 23.Si:06 6 6= + + c b a

Cul es el valor de:ac bc abc b a abcM+ ++ + =) ( . 93 24.Si: 02 2 2= + +n n nc b a Cul es el valor de:n n nabcacbbcaE + + = COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

61 5to ao I Bimestre Desde tiempos muy remotos, en los albores de todo pensamiento matemtico, surge la teora de los nmeros la cual esta apoyada en la parte algebraica. Encuestionesdesimplificacindeexpresiones,estaayudanosbrindalateoradela factorizacin, que en la vida cotidiana nos simplifica clculos engorrosos y permite la resolucin de ecuaciones e inecuaciones, el estudio de las funciones, etc. para ello, desarrollaremos el tema con algunosconceptosprimarios:factoralgebraico,polinomiosirreductibles,factorprimario,etc.;as comolosdiversoscriteriosparapoderfactorizarpolinomios,sobredeterminadosconjuntos numricos. Por Ejemplito: -P(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2++an=(xx1)(xx2)(xx3).(x-xn)este polinomio de grado n ha sido expresado en una multiplicacin de factores lineales. -Para resolver una ecuacin cuadrtica aplicaremos diferencia de cuadrados o aspa simple. -El aspa doble podemos aplicar en la geometra para graficar ciertas regiones. -Aspa doble especial, para resolver principalmente algunas ecuaciones cunticas. -Elcriteriodelosdiversosbinmicos,pararesolverciertasecuaciones,depreferencia,de grado impar. -Al resolver una inecuacin polinomial debemos factorizar. -En la simplificacin de fracciones, a veces, debemos factorizar numerador y denominador para luego simplificar y operar. -Conayudadelafactorizacinencontrarnuevasformasdeoperar,paraaplicarlasenotros captulos del curso. stas son algunas de las aplicaciones del presente captulo. Antes de dar una definicin formal de factorizacin, veamos algunas nociones previas. Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemtico estuvo presente siempre la teora de losnmeros,loscualesseapoyanenlapartealgebraica.Comounanecesidadparafacilitarla resolucindelasecuacionespolinmicassurgendiversosprocedimientosdetransformacinde polinomios a los cuales se les denomina factorizacin, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicacin indicada de otros polinomios de menor grado. En la multiplicacin algebraica se tiene: (x + 2) (x2 2x + 4) x3 + 8 Multiplicacin Factorizacinn COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

62 5to ao I BimestreFactor Algebraico Sean F y P dos polinomios de grados positivos. Decimos que F es factor algebraico de P si y slo si P es divisible por F, es decir P F es exacta. Factor Primo Sean F y P dos polinomios de grados positivos. Decimos que F es un factor primo de P si y slo si F es polinomio irreductible y factor algebraico de P. FACTORIZACIN Eslatransformacindeunpolinomioenlamultiplicacinindicadadesusfactoresprimos(o potencias de sus factores primos). Ejemplito: P(x, y) = 2x2y3 (x - 5)4 (x2 x + 1)5 (y - 2)6 tiene 5 factores primos: 4 lineales:x ; y ; (x - 5) ; (y - 2) 1 cuadrtico :(x2 x + 1) Criterios para factorizar Existen diversos criterios para factorizar polinomios, entre ellos tenemos: FACTOR COMN AGRUPACIN DE TRMINOS Se buscan factores comunes que pueden ser monomios o polinomios. En caso de no haber algn factor comn, se agrupar convenientemente tratando de que aparezca algn factor comn. Ejemplito: Factorizar: 4x4 + 5x2 notamos que x2 es un factor comn. x2(4x2 + 5); donde sus factores primos son: x y 4x2 + 5 Factorizar: a2x ax2 2a2y + 2axy + x3 2xy Veamosquenoexistefactorcomnalgunoasimplevista,entoncestendremosqueagrupar apropiadamente: a2x 2a2y ax2 + 2axy + x3 2x2y a2(x 2y) ax(x - 2y) + x2(x 2y) (x 2y) (a2 ax + x2) Criterio del aspa simple Se utiliza para factorizar a polinomios de la siguiente forma general: Ax2n + Bxnym + Cy2m om, n e N Ax2n + Bxn + C Ejemplito: x2+5x+6 x33x(+) x22x 5x (x + 3) (x + 2) COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

63 5to ao I BimestrePROCEDIMIENTO Enlosextremosdelaspasecolocanlosfactoresquemultiplicadosensentidoverticaldeben reproducirlostrminosencerradosenloscrculospunteados.Ademslasumadelosproductos enaspadebereproducireltrminocentral;siesaslosfactoresserntomadosenforma horizontal. Ejemplito: x2-8x+15 x-5 x-3 x2 8x + 15 = (x - 5)(x - 3) Criterio de las identidades Enestecasoutilizaremoslasequivalenciasalgebraicasensentidoinversoaldelosproductos notables. Ejemplito: Factorizar: x3 + x2 x 1 x2(x + 1) (x + 1) = (x + 1)(x2 - 1) (x + 1)(x + 1)(x - 1) x3 + x2 x 1 (x + 1)2 (x - 1) Factorizar: x4 + 2x2 + 9 Hacemos por conveniencia que: 2x2 = 6x2 4x2 entonces:x4 + 6x2 + 9 4x2 (x2 + 3)2 4x2 (x2 + 3)2 (2x)2 diferencia de cuadrados. (x2 + 2x + 3) (x2 2x + 3) ACTIVIDAD 5 Capacidad: ComprensinDestreza: Aplicar 1.Identifica los coeficientes y variables comunes en cada expresin algebraica. 2.Halla el trmino comn. 3.Aplica el mtodo de factorizacin apropiado. Aplicar los criterios estudiados para factorizar los siguientes ejercicios: 01.x2 x2y 02.7x + 7y 03.12x 6y 04.12x + 4 05.a2x a2y 06.y3 + ny3 07.6 18y 08.2 + 8z 09.6x + 6y + 6 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

64 5to ao I Bimestre10.ax + bx + x 11.3b 3d 12.8x2 + 4x 13.24x3 16x2 + 8x 14.5x3a 10xa+2 + 20x2a 15.12x 18 16.4t 24 17.ay by + cy 18.9y2 81y 19.xy3 x2y2 + x2y 20.x/5+ 1/5 21.2(a+b) + x(a+b) 22.x2(a1) y2(a1) 23.3b(2x+3) + 2x + 3 24.(a+b)x (a+b)y a b 25.x2 + y2 5y(x2 + y2) 26.4a(xb) x + b 27.3a(2b1) + 5x(2b1) 28.1 x 2y(1x) 29.a b + 2(a+b) 30.(ab)(2a+b) (2a+b)(5b3) 31.(2x+y)(5x2) + 10ab(5x2) 32.ax(12y) (12y)(a+b) 33.2ab(a+bc) 3x(ab+c) 34.48xy + 16xy + 33xy 35.5x(2x - 5) + 3(2x - 5) 36.7x(4x - 3) (4x - 3) 37.3x(7x+1) 2(7x+1) 38.4x(2x+1) + 2x + 1 39.3x(4x - 5) + 4x 5 40.3x(2x+5) 6(2x+5) ACTIVIDAD 6 Capacidad: ComprensinDestreza: Aplicar 1.Identifica los coeficientes y variables comunes en cada expresin algebraica. 2.Halla el trmino comn. 3.Aplica el mtodo de factorizacin apropiado. Aplicar los criterios estudiados para factorizar los siguientes ejercicios: 01.xy + yz + x + y 02.ab + ac + b2 + bc 03.ab + bx ay xy 04.x2b3 x2 + 2b3 2 05.6b2x2 3x2 + 4b2 2 06.z2x2 2x2 3z2 + 6 07.a2x2 + b2x2 + a2y2 + b2y2 08.xy + 2ay 2bx 4ab 09.6ab 3bx 2ay + xy 10.12 8x2 3y2 + 2x2y2 11.6ax + b + 3bx + 2 12.2p2 + 3ap + 4p + 6a 13.xn+2 + xn+1 + xn + x + x2 + 1 14.x3 x2 + x 1 15.2x3 + 6 3x2 4x 16.18m3 + 12m2 15m 10 COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

65 5to ao I Bimestre17.14y2 8y3 16y + 28 18.4x3 + 12 + 6x2 + 8x 19.9y3 + 6y2 3y 2 20.7x2 4x3 8x + 14 21.24x3 16x2 + 8x 22.16z3 + 20z2 4z4 + 12z5 23.5x3a 10xa+2 + 20x2a 24.xy3 x2y2 + x2y 25.18x3 + 6x2y + 4xy2 10y 26.xn+1 xn+2 + xn xn1 27.4x2(2abc) 2xy(c+b2a) 28.(axbx+cx) + (ayby+cy) a + b c 29.(3x+1)(2a+3) + (2a+3)(4x+2) 30.3 xy x +3 y 1 Actividad 7: Capacidad: Resolucin de problemasDestreza: Procesar la informacin 1.Leer el enunciado. 2.Reconocer el caso de factorizacin. 3.Relacionar la informacin segn sus definiciones. 4.Aplicar los algoritmos pertinentes. En cadauno de los siguientes ejercicios seguir los pasos mentales detallados lneas arriba en tu cuaderno y dar respuesta a la pregunta planteada. 01.Factorizar: A(m, n) = mn4 5m2n3 + 4m3n2 20m4n;darelnmerodefactores primos: 02.Factorizar:F(x,y)=x5y52x6y4+x7y3; indicar un factor primo: a) x + yb) x y c) x 2yd) x + 2ye) x5 03.Factorizar: L(a, b, c, x) = a(x - 1) b(1 - x) + cx c; dar un factor primo: a) x + 1b) a + b c c) a + b + cd) x 2e) a b + 2c 04.Factorizar: R(a, b, c) = a3b2 + b3c2 a3b2 b5; dar un factor primo: a) b + cb) a + bc) a2 ab + b2 d) 2b + ce) a b + c 05.Factorizar: K(x,y)=(9x24y2)x2+25y2(4y29x2); indicando el nmero de factores primos: 06.Factorizar: M(x) = x2 b2 + 2ax + a2 Dar un factor primo: a) x + ad) x + bb) x + a b e) x + a 2bc) x a + b 07.Factorizar: M(a, b) = a2 + 2a + ab + b + 1; dar un factor primo: a) a + 2b) a + 1c) a 1 d) a + b 1e) 2a + 1 08.Factorizar:P(x)=x14x26x9; indicando la suma de factores primos: 09.Factorizar:P(x,y)=6x231xy30y2; indique la suma de coeficientes de uno de los factores primos: a) 7b) 2c) 3 d) 4e) 5 10.Factorizar: M(x) = (x - 1)4 + (x - 1)2 6; dar la suma de coeficientes de un factor primo: a) 1b) -2c) 5 d) 6e) -4 11.Factorizar: P(a, b, c) = (a + b + c) (a b + c) (a + b)(a - b); dar un factor primo. a) ab) cc) 2a - c d) 2a + be) a + c 12.Factorizar:P(a, b, c) =a(a2+bc) + c(a2+ b2) b3; e indique un factor: a) a + b + cb) a2 + b2 c) b2 + c2 d) a b + ce) a2 + bc COLEGIO LA INMACULADA CONCEPCIN

66 5to ao I Bimestre13.Factorizar: P(x) = (x + 1)4 5(x + 1)2 + 4; indicando un factor primo: a) x + 3b) x + 5c) x + 7 d) x + 10e) x + 8 14.Factorizar:P(a)=35a461a2+25; indicando el nmero de factores primos: 15.Factorizar y dar como respuesta el nmero de factores de: P(x) = x32 - 1 16.Factorizar: M(a, b) = 64a7b7 ab13; dar un factor primo: a) ab) b2c) 2a - 3b d) 4a2 + 2ab b2 e) a + b3 17.Factorizar:P(x,y)=x5y+2x4y2+x3y3; indicar un factor primo: a) x + yb) x yc) x 2y d) x + 2ye) x 3y 18.Factorizar: M(x,y) = 12(x -y)2+ 7(x -y) 12; dar el nmero de factores primos. a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5 19.Factorizar:M(x,y)=ab(x2y2)+xy(a2 b2); dar un trmino de un factor primo. a) ayb) axc) -by d) be) a2 + b2 20.F(a, b) = a6 64b6 indicando el nmero de factores primos. a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5 21.Factorizar:M(x,y)=(3x+y)2(3y-x)2; dar el nmero de factores primos: a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5 22.Factorizar: M(x,y) = x3 2x2y + xy2 2y3; dar un factor primo: a) x + yb) x2 + y2 c) x + 2y d) 2x + ye) x2 2y 23.Factorizar: P(