r b o r g anap/f_fk/tentamina/lsn_181026.pdf3) o a m o a m r r 0 c e er 1) använd lke utt01 1 0 ,...
TRANSCRIPT
Institutionen för Mekanik Nicholas Apazidis tel: 790 7148 epost: [email protected] hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/
SG1113-181026
Lösningar
1)
z
1
2
A
B
r
Oy
x
R
R
G
1) Betrakta punkterna A i B på nedre och övre skivorna. Vi har
1A yRv e och 2B yR v e (1)
2) Betrakta nu hjulet och inför dess vinkelhastighet enligt
3 4x z ω e e (2) samt uttryck hastigheterna för A och B som
punkterna på hjulet enligt 3 40A O OA x z x zR r v v ω r e e e e
4 3 yR r e och på samma sätt
3 40B O OB x z x zR r v v ω r e e e e
4 3 yR r e . Insättning av dessa uttryck i (1) ger
4 3 1R r R (3) och 4 3 2R r R (4). (3) (4) 1 24 2
Samt (3) (4) 1 23 2
R
r
vilket slutligen ger 1 2 1 2
2 2x z
R
r
ω e e
3) Hjulets vinkelacceleration kan nu bestämmas enligt 3 3x x α ω e ω e
2 21 2
3 3 4 3 4 4x z x y y
R
r
e e e e e
2)
e
e
e x
y
z
AB
G
mg
SASB
1) Kinematiken ger
A yra e och 0B a eftersom denna vals för-
blir orörlig samt inga krafter i x led
21 1
0B A z AB AB y z xr l a a e r r e e e
1 10y
rr l
l e
1
1 1
2 2 2G A z x y y
rl r r
a a e e e e
2) Kraft- och momentekvationerna ger
G : 21 1
1 1 1
12 2 6 6A B A B
lml S S S S ml mr (1)
1:
2y Gy A B A Bma S S mg S S mg mr e (2)
3) Bestäm spännkrafterna
2 1 1(1) (2) 2
3 2 3A AS mg mr S mg mr
1 1 1(2) (1) 2
3 2 6B BS mg mr S mg mr
3)
O
A
MO
A
M
R
r
0
C
eer
1) Använd LKE
0 1 1 0U T T , (1)
2) Kinematiken
0 0A
R rR r r
r v e e
3) Planethjulens kinetiska energi För ett hjul gäller
22 2 2 2 20 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2A A AT mv I m R r mr
2 2 22 2 21 1 3
2 4 4m R r m R r m R r
3) Arbetet: 0 1 0 1 2MU U M
4) Insättning i (1) ger 2 29 2 2 /2
4 3
M mm R r M
R r
4)
A
Bl
k
x
y
G
1) Inför generaliserade koord x och och bestäm Bv .
/ 2cos / 2 sin
/ 2sin0 / 2 cosGA G
GA G
x x lx x x x l
y ly y l
,
2 2 2 2 2 2 / 4 sinG G Gv x y x l lx
2) Bestäm VTL
2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 / 4 sin
2 2 2 2 2 12A G GT mv mv I m x l lx ml ,
212 / 2 cos
2V kx mg x l ,
2 2 2 21 12 / 3 sin 2 / 2cos
2 2L T V m x l lx kx mg x l
3) Lagranges ekvationer 21 1
: 2 sin cos 2 02 2
x mx ml ml kx mg
21 1 1: sin sin 0
3 2 2ml mlx mgl
4) Lineariserade ekvationer:
2
1 22
: 032 2 0 ,
3 3 2 2: 0 0
2 2
k kx x x g
k gm mg g m l
l l