Institutionen för Mekanik Nicholas Apazidis tel: 790 7148 epost: nap@mech.kth.se hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/

SG1140-200109

Tentamen i SG1140 Mekanik II, 200109

Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare, osv (skrivdon) Lycka till!

Problem (TEN B)

1)

R

r

O A

ee

e

xz

y

Betrakta två kugghjul med radierna R respektive r . Hjulen roterar med vinkelhastigheterna 1 re-

spektive 2 med de i figuren angivna riktningarna

relativt det fixa rummet. Stora hjulets centrum O är fix. Hjulen hålls i kontakt med hjälp av armen OA . Bestäm accelerationen Aa av lilla kugghjulets

centrum A.

2)

xe

e

e

y

z

l

l

A

B

En stel kvadratisk ram består av fyra lika stänger med massan m och längden l vardera. Ramen som befinner sig i vertikalplanet hålls från början i jämvikt med hjälp av en vertikal vajer fäst i B och ett litet hjul i A som vilar på en glatt horisontell yta. Jämvikten rubbas då vajern brister i ett visst ögonblick. I detta ögonblick bestäm normalkraften från stödytan på lilla hjulet i A. Antag att hjulet kan röra fritt längs ytan och bortse från dess massa.

3)

l

B

e

e

e x

y

z

A

G

Betrakta en homogen stång AB med längden l och massan m. Stången befinner sig i vertikalplanet och är fäst i änden A genom en glatt led i en lätt hylsa som kan glida längs en glatt horisontell skena. Stången släpps från vila då den är vertikal med

0 och börjar röra sig under inverkan tyngden. Bestäm hastigheten Bv hos änden B på stången då

den passerar horisontella skenan då / 2 . 4)

O

A

MO

A

M

R

r

Betrakta en planetbärare med tre planethjul vardera med massan m och radien r . Planetbäraren med planethjulen och den yttre fixa ringen med inre radien R befinner sig i ett vertikalplan och hela anordningen är från början i vila. Man startar en elektrisk motor som alstrar ett konstant vridmo-ment M som verkar på planetbäraren. Bestäm pla-netbärarens vinkelhastighet efter ett varv. För-summa planetbärarens massa i jämförelse med pla-nethjulens massor och bortse från eventuella frikt-ionsförluster.

Institutionen för Mekanik Nicholas Apazidis tel: 790 7148 epost: nap@mech.kth.se hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/

Tentamen i SG1140 Mekanik II, 200109

Inga hjälpmedel förutom: Papper, penna, linjal, passare (skrivdon). Lycka till! Teori (TEN A)

Läs noga igenom texten och välj det rätta svarsalternativet genom att sätta in kryss i rätt ruta. Uppgift 1

Betrakta enhetsvektorn 'xe vid dess rotation kring

axeln 'O C . Ange det korrekta alternativet för

'xe

A) ' cos / 2x e

B) ' sinx e

C) ' sinx e

D) ' sin / 2x e

E) ' sinx e F) ' cosx e (1p)

Uppgift 2

Armen OA med längden l roterar med en konstant vinkelhastighet 0 kring en vertikal axel genom

O, samtidigt som cirkelskivan med radien b rote-rar med en konstant vinkelhastighet 1 relativt

stången kring en vertikal axel genom skivans centrum A. Det rörliga koordinatsystemets 'x axel ligger längs armen OA och roterar med den. Betrakta en liten puck B som ligger på skivans rand och ange det rätta uttrycket för tröghetskraf-terna på den i ögonblicket som visas i figuren. (AB vinkelrät mot OA)

A) 2

0 ' 0 1 '; 2sp y cor ymb mb F e F e B) 20 ' 0 1 '; 2sp y cor ymb mb F e F e

C) 20 ' 0 1 '; 2sp y cor ymb mb F e F e D) 2

0 ' ' 0 1 '; 2sp x y cor ym l b mb F e e F e

E) 20 ' ' 0 1 '; 2sp x y cor ym b l mb F e e F e F) 2

0 ' ' 0 1 '; 2sp x y cor ym b l mb F e e F e

(1p)

Uppgift 3

Betrakta en godtycklig stel kropp som utför plan rörelse och välj det rätta alternativet för hastighets och accelerationssambanden mellan två godtyck-liga punkter i kroppen. A) B A x BA v v e r och

2B A x BA BA a a e r r ;

B) B A z BA v v e r och

2B A z BA BA a a e r r ;

C) B A z AB v v e r och 2B A z AB AB a a e r r ;

D) B A z AB v v e r och 2

B A z AB AB a a e r r ;

E) A B z AB v v e r och 2

A B z AB AB a a e r r ;

F) B A z AB v v e r och 2

B A z AB AB a a e r r ; (1p)

Uppgift 4 Betrakta tre koordinatsystem 0S , 1S och 2S Vid härledning av additionsformeln för vinkelacce-

lerationer utgår man från additionsformeln för vinkelhastigheter 2,0 2,1 1,0 ω ω ω och tidsderi-

verar den med avseende på ett av koordinatsystemen och sedan omvandlar en av termerna i summan med hjälp av sambandet mellan tidsderivatorna med avseende på olika system. Ange det rätta alternativet nedan

A) Man deriverar med avseende på 2S och omvandlar 1,0 1,01,2 1,0

2 1

d d

dt dt

ω ωω ω

B) Man deriverar med avseende på 2S och omvandlar 2,1 2,11,2 2,1

2 1

d d

dt dt

ω ωω ω

C) Man deriverar med avseende på 1S och omvandlar 2,1 2,12,1 2,1

1 2

d d

dt dt

ω ωω ω

D) Man deriverar med avseende på 0S och omvandlar 2,1 2,11,0 2,1

0 1

d d

dt dt

ω ωω ω

E) Man deriverar med avseende på 0S och omvandlar 1,0 1,01,0 2,1

0 1

d d

dt dt

ω ωω ω

F) Man deriverar med avseende på 1S och omvandlar 2,1 2,11,0 2,1

1 0

d d

dt dt

ω ωω ω (1p)

Uppgift 5

Ett cirkulärt kugghjul med radien r rullar på ett fixt kugghjul med radien R så att kontaktpunktenB mellan hjulen förflyttas med en konstant fart v . Välj det rätta alternativet för lilla kugghjulets vinkelhastighet ω nedan.

A) z

R rv

rR

ω e B) z

R rv

rR

ω e C) z

R rv

rR

ω e

D) z

R rv

R

ω e E) z

R rv

r

ω e F) z

R rv

r

ω e

(1p) Uppgift 6

Sambandet (1) visar att:

Betrakta ett partikelsystem samt ett fixt koordi-natsystem och ett masscentrumsystem enligt fi-guren. Betrakta vidare uttrycket för GH enligt

' ' 'G k k k k k G kk k

m m H r v r v v

' ' 'k k G k k kk k

m m r v r v (1)

Ange det korrekta alternativen nedan

A) 'G GH H ; B) 'G GH H eftersom 'k k Gk

m r r 0 ; C) 'G G OG Gm H H r v ;

D) 'G GH H eftersom G v 0 ; E) 'G GH H eftersom 'k k

k

m r och Gv är parallella

F) 'G GH H eftersom ' 'k k G

k

m r r 0 (1p)

A

B

v

O

er

e �

R

r

x´

y´

z´

x

y

z

O

G

r

x

r´

r

k

k

OG

mk

Uppgift 7

Betrakta ett partikelsystem som rör sig i rummet. Ett fixt koordinatsystem Oxyz ett masscentrumsystem

' ' 'Gx y z samt en rörlig punkt A. Vid härledning av momentekvationen med avseende på en rörlig punkt utgår man från momentekvationen med avseende på den fixa punkten O

O OH M

och omvandlar sedan tidsderivatan OH i tidsderiva-

tan AH . Välj det rätta alternativet för detta samband

A) O A OA Gm H H r a ; B) O A OA Gm H H r v ;

C) O A A G OA Gm m H H v a r v ; D) O A A G OA Gm m H H v v r a ;

E) O A A G OA Gm m H H a v r a ; F) O A A G G Gm m H H v v v a ;

(1p)

Uppgift 8

Betrakta en cylinder med massan m och radien r som rullar utan glidning på ytan av en fix cy-linder med radien R . Man uppmäter hastig-heten för cylinders masscentrum till v . Ange det korrekta alternativet för cylinderns rörelse-mängdsmoment OH med avseende på O.

A) O zm R r v H e ; B) O zm R r v H e

C) 1

2O zmrvH e ; D) O zmRvH e

E) 1

2O zm R r v

H e ; F) 3

2O zm R r v

H e

(1p)

x´

y´

z´

G

x´

y´

z´

x

y

z

O

x

G

A

A

Uppgift 9

Betrakta en stång med massan m och längden l . Stången är upphängd i ett litet lätt hjul i A. Hjulet kan rulla fritt längs en horisontell räls. Stången är från början i vila då den påverkas av en horison-tell kraft P enligt figuren. Ange det rätta alterna-tivet för accelerationen Aa av punkten A i be-

gynnelseögonblicket.

A) A x

P

ma e ; B)

2A x

P

ma e ; C)

2A x

P

ma e ;

D) 3

A x

P

ma e ; E)

4A x

P

ma e ; F)

12A x

P

ma e ;

(1p) Uppgift 10

Betrakta en stel kropp med masscentrum i G re-spektive och ange det korrekta alternativet för pa-rallellförflyttningssatserna:

A) 2

' 'zz z zI I m a b , 2' 'xx x xI I ma

B) 2 2' 'zz z zI I m a b , ' 'xy x yI I mab

C) 2

' 'zz z zI I mb , ' 'xy x yI I mab

D) ' 'zz z zI I mab , 2

' 'xy x yI I ma

E) 2 2' 'zz z zI I m a b , ' 'xy x yI I mab

F) 2 2' 'zz z zI I m a b , ' 'xy x yI I mab

(1p)

P A

B

l

e

e

z x

y

e

e

Uppgift 11

Betrakta en tunn kropp som rör sig i xy pla-net. Vid härledning av uttrycket för elementärt arbete dU betraktar man först effekten P T som är tidsderivatan av kroppens kinetiska energi. Välj det korrekta alternativet för ut-trycket för P

A) G GP F M v ω ; B) G GP F v M ω ; C) G GP F v H ω ;

D) G GP F a M α ; E) G GP F v M ω ; F) G GP a v α ω ;

(1p)

Uppgift 12 Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix z axel. Betrakta olika uttryck för sambandet mellan arbete och ändringen av kinetiska energin (lagen om kinetiska energin) och välj det rätta alternativet

A) 1

0

1 0

1

2 z zI M d

; B) 1

0

2 21 0

1

2 z G G zI v v M d

; C) 1

0

2 21 0z zI M d

D) 1

0

2 21 0

1

2 zI d r

r

F r ; E ) 1

0

2 21 0

1

2 z xI M d

F) 1

0

2 21 0

1

2 z zI M d

;

(1p)

e

ee

x

zy

G

w

vG

aG

a

Uppgift 13

Vid härledning av parallellförflyttningssatsen för trög-hetsprodukten xyI får man följande samband

' ' ' 'xy G G G GI x y dm x y dm y x dm x y dm

De två mittentermerna utgår sedan från slutliga formeln. Ange den rätta orsaken för det

A) 0G Gx y ; B) G Gx y ; C) ' 'G Gx y dm y x dm ;

D) ' ' 0G Gx y ; E) ' 0x och ' 0y ; F) ' ' 0x y dm (1p)

Uppgift 14

Betrakta figuren som visar en stel kropp som roterar kring en fix punkt. Man härleder uttrycket för denna kropps rörelsemängdsmoment genom att betrakta masspartiklar i kroppen. Betrakta olika uttryck för

,x y och z komponenterna av OH och ange det

korrekta alternativet:

A) 2 2Ox k k k x k k k y k k k z

k k k

H m x z m x y m x z ;

B) 2 2Oz k k k x k k k y k k k z

k k k

H m x y m z y m y z ;

C) 2 2Oz k k k x k k k y k k k z

k k k

H m z x m z y m x z ;

D) 2 2Ox k k k x k k k y k k k z

k k k

H m x y m x y m y z ;

E) 2 2Oy k k k x k k k y k k k z

k k k

H m y x m x z m y z ;

F) 2 2Oy k k k x k k k y k k k z

k k k

H m y x m x z m y z . (1p)

y

xO

G

( )x',y'

y´

x´

rk

O

z

k

m kr

Q

eQ

y

x

�

ω

�

�

�

Uppgift 15 Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix punkt och välj det korrekta alternativet för Eu-lers dynamiska ekvationer i det kroppsfixa huvudaxelsystemet

A)

:

:

:

x xx x zz yy y z x

y yy y xx zz z x y

z zz z yy xx x y z

I I I M

I I I M

I I I M

e

e

e

B)

:

:

:

x xx x zz yy x x

y yy y xx zz y y

z zz z yy xx z z

I I I M

I I I M

I I I M

e

e

e

C)

:

:

:

x xx x x

x yy y y

y zz z z

I M

I M

I M

e

e

e

D)

:

:

:

x xx x x

x yy y y

y zz z z

I M

I M

I M

e

e

e

E)

:

:

:

x xx x yy x zz z x

y xx x yy x zz z y

z xx x yy x zz z z

I I I M

I I I M

I I I M

e

e

e

F)

:

:

:

x xx x xx x x

y yy y yy y y

z zz z zz z z

I I M

I I M

I I M

e

e

e

(1p) Uppgift 16

Betrakta en axisymmetrisk kropp som ro-terar kring en fix punkt O. Inför ett rums-fixt koordinatsystem OXYZ och ett halv-bundet resalsystem Oxyz med z axeln längs kroppens symmetriaxel. Kroppens snabba rotation med vinkelhastigheten 0ω

kring z axeln är frikopplad från resalsy-stemet som i sin tur har vinkelhastigheten

Sω relativt de rumsfixa axlarna. Välj det

rätta alternativet nedan.

A) 0O O O

H ω H M och 0O OH I ω

B) O S O O

H ω H M och 0O O S H I ω ω

C) O S O O

H ω H M och 0O OH I ω

D) 0O S O O

H ω ω H M och 0O O S H I ω ω

E) 0O O O

H ω H M och 0O O S H I ω ω

F) O S O O

H ω H M och O O SH I ω (1p)