CIRCUITOS ELECTRONICOS II, apunte 3

Prof. Cesar Marcelo FERRARI

SERIES DE FOURIER

CAPITULO IV

Sea v(t) una tensión en función del tiempo de periodo T y sea R una resistencia donde se aplica

dicha tensión, entonces, la potencia instantánea P será;

( ) ( ) ( )

( )( ) comodidad.mayor para ultima esta usaremos . o

sexpresione conocidas lasquedan nos ohm deley lapor o oremplazand P

2

2

t

RiR

v

iviv

t

t

tt

⋅

⋅=

En el caso particular que R=1 ohm, la expresión anterior se convierte en

P(t)│instantánea normalizada a 1ohm = [i(t)]2 (por supuesto que las unidades son W !!! )

En el apunte 2 vimos que valor medio de una función cualquiera es: )( T

)(0 tf

dttf

T

=

Si ahora reemplazo f(t) por [i(t)]2 obtendremos

ohm1anormalizad media0

2

)(

P T

=T

t dti

(1)

Identidad de Parseval Que se escribe como;

2

1

n0

2

)(

2

T

∞+

= Cdti

T

t

(2) donde los Cn son los coeficientes de la serie de Fourier, es decir

la amplitud de sus armónicos. 1/√2 es simplemente una constante.

Ejercicio 1 Teniendo en cuenta lo leído;

-con sus palabras enuncie la identidad de parseval

Desde el punto de vista matemático, ambos miembros obviamente son iguales pero…

-¿Qué tipo de información nos puede dar uno u otro?

Ejercicio 2 Dada la señal (a partir de ahora ya no hablaremos mas de función, hablaremos de señal)

del apunte 3 anexo al cap. 1 y las amplitudes de los 6 primeros armónicos impares

cuyos valores allí se encuentran, hallar:

a) vuelva a escribir los 6 primeros armónicos impares, a1= a3= a5= a7=

a9= a11=

b) como podrá observa lo que sigue es el segundo miembro de la identidad de

parseval.

2

1

n

2

∞+ C

el primer símbolo significa sumatoria. Los Cn son los coeficientes de la serie de Fourier,

o sea LAS AMPLITUDES de los armónicos que Ud. ya tiene calculados. (tenga siempre

presente que este desarrollo es impar, o sea los Cn para n par son nulos, solo valen los

Cn para n impar). Siendo así, complete la siguiente tabla que está en la próxima

pagina.(lo que se muestra es un esquema, Ud. tiene que hacerlo en hoja carpeta)

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CAPITULO IV

n Cn

2

2

nC

+11

1

2

n

2

C=

c) Con los valores de la tercera columna confeccione un diagrama espectral de potencia.

A estos diagramas también se los conoce como “contenido de potencia”

d) Ahora deberían hallar el valor del primer miembro de la identidad de parseval, o sea

resolver la siguiente integral, T

0

2

)(T

t dti

donde T =1ms

introduciendo [i(t)]

-1, para t = [-T/2<t<0]

[i(t)]={ la amplitud es -1A ; +1A

+1, para t = [0<t<T/2] y elevando la función al cuadrado. No es tan complicado pero…les voy a obviar el

trabajo matemático por algo un poco más agradable. Van a simular un circuito apropiado y

cuando finalice la misma simplemente le pedirán a Simetrix que halle “la potencia media sobre

1 ohm”.

d) Sabiendo por c) como es la forma de onda de corriente tanto la amplitud como la

parte temporal, que circuito simularía para obtener la “potencia media normalizada

a1Ω” Dibuje el circuito a continuación

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CAPITULO IV Simule y responda (Les voy a dar una manito con los parámetros de simulación)

Acto seguido, clik en Advanced Options y clik en Gear, luego close, OK y luego RUN

¡atención! Como no coloco ninguna punta de prueba obviamente no aparece ¡nada! Pero

no se preocupe, haga clik en PROBE, y luego POWER DEVICE PIN, y…aparece la grafica

de la potencia instantánea. Luego clik en MEASURE y clik en MEAN.

Si quieren pueden usar otra opción e insertar una punta medidora de potencia en la

carga. Clik place, probe, power probe . luego clik en MEASURE y MEAN y obtenemos el

mismo resultado

Listo,leer el valor y colocarlo abajo.

= P ohm1anormalizad media ¿?

¿Por qué el valor de arriba no coincide con el valor hallado en la sumatoria?

*antes de realizar el próximo ejercicio tener en cuenta lo siguiente:

Si el espectro es unilateral, como el del ejercicio 2, el valor de la potencia disipada esta dado por

+11

1

2

n

2

C.

si es bilateral, como el TP anterior, el valor de la potencia disipada esta dado por

2

+∞

∞−nC

Ejercicio 3 Sea el siguiente diagrama espectral bilateral de potencia, (algunas señales tienen un contenido

espectral de potencia representado por unos pocos armónicos) se pide:

- ¿Cuánto vale la componente de continua?

- ¿Cuánto vale la frecuencia fundamental? (ayuda, hallar el MCD entre las tres frecuencias)

- Conociendo cuánto vale la fundamental y observando el diagrama diga si este desarrollo es

par o impar (sugerencia, relacionar cuantas veces es cada frecuencia respecto de la fundamental)

- En base al punto anterior, redibujar el diagrama en función del número de armónico, no de la

frecuencia - Con los datos del diagrama espectral hallar la potencia de la señal

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Serie de puntos 1

-30 -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

frec(Hz)

Potencia (W)