Radical DuploAgapito Ribeiro Júnior

agapitoribeiro@yahoo.com.br

O radical na forma A±B que pode ser resolvido segundo as seguintes fórmulas:

AB= A A2−B2

A−A2−B2

(1)

A−B= AA2−B2

− A−A2−B2

(2)

Vamos demonstrar (1) e fica para você a demonstração de (2). Elevando o segundo membro de (1) ao quadrado, teremos:

A A2−B2

2⋅A2−A2B2

A−A2−B2

= A2 A

2A2−B

2−A2−B

2B=AB

A resposta corresponde ao primeiro membro de (1) elevado ao quadrado.

É importante, ainda, que A² – B seja não negativo e A também não negativo. Se A² – B for um número quadrado perfeito, pode-se transformar um radical duplo numa soma de radicais simples. Observe o exemplo abaixo:

Para este radical duplo temos A = 7 e B = 45, logo:

Aplicando a fórmula (2), teremos:

Uma aplicação interessante do radical duplo está na equação de 2º grau abaixo:

x2−1280 x25=0

Caso você tente usar a fórmula resolutiva (Báskara), terá muita dificuldade para chegar nas raízes, entretanto seria interessante que você tentasse isso. Podemos resolver esta equação usando os princípios de soma e produto de raízes.

Sabemos que o oposto da soma das raízes corresponde ao coeficiente que multiplica x e que o produto destas raízes corresponde ao termo independente da equação. Desta forma, podemos reescrever o radical duplo da equação como uma soma de radicais simples e verificar se o produto corresponde ao termo independente. Assim fazendo, os radicais simples serão a solução desta equação.

1

Fez-se a racionalização.

Vamos lá!Primeiro temos que

, então:

As raízes simples serão solução da equação se seu produto for igual ao termo independente da equação.

Concluímos que as raízes simples acima são os zeros da equação de segundo grau.

O radical duplo acima poderia aparecer num sistema de equações e você usaria o mesmo modo de raciocínio para resolvê-lo. Tente resolver o sistema abaixo:

Você poderia usar o método da substituição, após isolar uma das incógnitas na primeira equação, mas o modo de resolver não seria simples.

Observe o que acontece quando isolamos a incógnita y para substituí-la na segunda equação:

A última equação de segundo grau, quando multiplicada por (-1), é a mesma equação de segundo grau que resolvemos acima. Em outras palavras, o sistema dado é a soma e o produto das raízes da equação de segundo grau a que nos referimos, e o melhor modo de resolvê-la seria aplicando o radical duplo.

Seja, agora o seguinte problema:

Transforme 62⋅5 na soma de dois radicais simples do tipo x y , e calcule x + y.

Resolução

1 – Devemos introduzir o fator da raiz de cinco para aplicarmos o radical duplo.

2

2 – Aplicamos a fórmula (1).

3 – Adicionamos os radicandos dos radicais simples.

Agora é com você!

1 – Transforme os radicais duplos numa soma ou diferença de radicais simples:a)

b)

c)

2 –

3 -

4 – Resolva o problema abaixo:

BibliografiaMORGADO, WAGNER & JORGE. Álgebra I. Livraria Francisco Alves Editora, 1974.

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