rappels de thermo

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C Guilié IUT GTE Longwy Août 2007

Chapitre 1 : Rappels de thermodynamique

Sommaire

Nota : Pour faciliter les révisions, j’ai indiqué en gras ou encadré les notions à connaître par cœur et en italique les remarques qui peuvent être sautées lors d’une première lecture

I Généralités I-1 Définitions et notations Page 2 I-2 Principes en système fermé Page 4 a) Premier principe b) Second principe Page5 I-3 Application des principes aux systèmes ouverts Page 6 I-4 Fonctions d’état, diagrammes Page 8

a) Relations entre les fonctions d’état b) Diagrammes (généralités)

II Gaz parfaits II-1 Equation et fonctions d’état Page1 a) Définitions b) Mélanges de gaz parfaits c) Fonctions d’état du gaz parfait 1 II-2 Diagrammes du gaz parfait a) Clapeyron b) T,s Page 12 c) s,Ln(v) Page 13 II-3 Evolutions a) Principales évolutions réversibles au cours de phases fermées

Isochores, isobares, Isothermes, adiabatiques Page 14 Polytropiques Page 16

b) Sous éléments de machines à flux continus Page 15 Echangeurs et chambres de combustion Compresseurs et turbines Page 16 Isothermes Page 17 III Vapeurs III-1 Equations et fonctions d’état Page 18 a) Processus physique de changement de phase b) Projections des lignes caractéristiques de la surface d’état Page 19 c) Equations d’état d) Fonctions d’état Page 20 III-2 Tables et diagrammes Page 22 a) Tables b) Diagrammes Page 23

2


I-GENERALITES I-1 Définitions et notations

Un système noté E est constitué par le contenu matériel d'un volume de l'espace, intérieur à une surface fermée choisie arbitrairement. Isoler un système c'est choisir cette surface (notation: S). Le milieu extérieur est constitué par le reste de l'univers. On se limite en général au voisinage proche du système pouvant influer sur lui (notation Ë) Un système est dit « fermé » s'il n'échange pas de matière avec l'extérieur à travers S. Dans le cas contraire, il est dit ouvert.

Système fermé

Système ouvert Les échanges autres que massiques entre E et Ë à travers S sont les suivants: -Travail (noté We) : énergie fournie par des actions mécaniques entre E et Ë Ces actions peuvent être à distance (champ gravitationnel…) ou de contact (forces de pression ou contraintes). -Chaleur (notée Qe) : énergie fournie par des actions calorifiques entre E et Ë. Elles sont à distance (rayonnement) ou de contact (convection, conduction). Ce que E reçoit sera affecté du signe + et ce qu’il donne sera affecté du signe - Ces actions font évoluer le système E d'un état à un autre état.

Nous supposerons par la suite que le milieu extérieur Ë agit suffisamment lentement pour que le système E soit à chaque instant à un état d'équilibre. Une telle transformation est dite quasi-statique.

Une transformation est dite réversible si la transformation inverse est possible en changeant seulement le signe des échanges.

3


Les systèmes que nous utilisons sont essentiellement constitués par des corps purs. L'état de ces systèmes est caractérisé par trois variables dépendantes appelées « variables d’état » : p, T, V.

La relation de dépendance de ces trois variables est appelée « équation d’état ». On peut représenter cette relation de dépendance dans l’espace tridimensionnel par une surface appelée surface d'état. Sur le schéma ci-contre nous représentons la surface d’état d’un corps pur.

Toute évolution quasi-statique du système peut être représentée par une ligne tracée sur cette surface (chaque point de la surface d’état correspondant à un état d’équilibre possible du système) Les plus courantes de ces transformations sont les suivantes

-Isotherme T=cste - Isochore v =cste - Isobare p=cste

- Adiabatique qe = 0 -… etc

N.B. sur les évolutions: Les évolutions des systèmes réels ne sont jamais quasi-statiques au sens strict du terme. Il

s'en suit une hétérogénéité inhérente aux systèmes réels (gradients de composition, masse volumique, température, vitesse.,). Cette hétérogénéité est source d'irréversibilités mais surtout chaque quantité de matière "évoluant individuellement", le système ne peut être défini par un nombre fini de variables d'état.

Pour résoudre le problème simplement, nous isolerons un modèle quasi-statique du système réel en remplaçant le champ continu des variables d'état par leur moyenne, et en supposant que les échanges avec l'extérieur du système réel et du système quasi-statique sont identiques. Cela n'est pas rigoureusement vrai mais donne en général, dans le cadre de nos objectifs, des résultats acceptables. Cette démarche a deux objectifs:

-Connaissant expérimentalement les grandeurs moyennes du système, faire le bilan des pertes pour juger de la qualité du système réel et pour le modifier en conséquence.

-Faire un calcul d'avant-projet d'une machine thermique. On se donnera, certaines grandeurs par estimation à priori ou par déduction de mesures sur des systèmes voisins existants, On peut alors représenter l'état du système réel par son équivalent quasi-statique donc simplement par un point sur les diagrammes et non plus par une infinité.

Toute fonction de 2 des 3 variables d'état (système indépendant) est appelée fonction d'état. Par définition, on appellera grandeurs intensives du système celles qui ne varient pas lorsque

l'on multiplie la quantité de matière du système sans changer son état. Les grandeurs extensives varient alors proportionnellement à cette quantité (n : nombre de moles ou m : masse du système) :

T, p et toutes les grandeurs massiques ou molaires sont intensives. V le volume du système et toutes les grandeurs se rapportant à la masse totale du système

sont extensives.

4


On notera par la suite en minuscules les grandeurs massiques (v,u,h,s… ), en majuscules doublées les grandeurs molaires V,U,H,S…Les grandeurs se rapportant à la quantité totale de matière seront notées en majuscules (V, U, H, S .. ), (V = m.v=n.V, U=m.u…), I-2 Principes en système fermé En plus des principes de la mécanique (conservation de masse, principe fondamental de la dynamique ou son corollaire le théorème de l'énergie cinétique), la thermodynamique introduit deux nouveaux principes. Ils relient les échanges d'énergie mécanique et thermique entre E et Ë à la variation de l'état thermodynamique du système E. Par soucis de simplicité, nous n'étudierons dans un premier temps que les systèmes n'échangeant avec l'extérieur que de l'énergie (systèmes fermés). a) Premier principe en système fermé

Si on repère le mouvement du système par rapport à un référentiel galiléen, on peut écrire alors pour un système fermé:

dEcdUQeWe +=+ δδ (1)

où: - δWe est le travail élémentaire des forces extérieures

- δQe est la quantité de chaleur élémentaire fournie au système - dU est la variation d'une fonction de l'état du système appelée énergie interne

- dEc est la variation d’énergie cinétique ( 2

2

1mc ou m est la masse du système, c sa

vitesse)

N.B: dU et dEc désignent la variation de fonctions. Elles sont donc des différentielles totales exactes (notation « d ») contrairement à δWe et δQe (notation δ) qui ne désignent pas des variations mais des quantités élémentaires d'énergie échangée.

En sommant (1) sur une évolution finie entre l'état 1 et l'état 2, on obtient:

1212 EcEcUUEcUQeWe −+−=∆+∆=+ (2)

En divisant (2) par m la masse du système: ecuqewe ∆+∆=+

En divisant (l) par la durée de l'évolution élémentaire dt: dt

dEc

dt

dUPe +=Φ+

Pe désigne la puissance des efforts extérieurs,Φ le flux de chaleur reçu par le système.

Ces trois formes du premier principe en système fermé sont à savoir par cœur.

b) Second principe

Ce principe énonce des conditions d'évolution thermodynamique des systèmes. Il introduit une notion de qualité de l'énergie et régit la dégradation des énergies "nobles" (mécaniques, électriques .. .) en chaleur, due aux frottements généralisés (mécaniques, résistance électrique, réactions chimiques…), autrement nommés irréversibilités. Il s'énonce ainsi en système fermé:

5


QedST δ≥.

Ou ce qui revient au même :

int. QQedST δδ += avec 0int ≥Qδ

où T est une échelle de température telle que la limite inférieure de T=O. Elle est appelée température absolue.

S est une fonction d'état du système appelée entropie. δQint (noté aussi δWf et appelé travail non compensé) représente la somme des énergies

dégradées lors de l'évolution (travail mécanique, énergie électrique, chimique, thermique dégradés en chaleur par frottement, effet Joule, mélange, homogénéisation de températures).

CMR dSTdSTQWfQ ..int +++= δδδ

δWf : frottement électrique ou mécanique, δQR : chaleur de réaction, dSM : mélange, dSC : conduction

En sommant: ∫≥∆2

1 T

QeS

δ

c) Précisions sur l'application des principes

Pour notre usage de thermiciens le 1er principe est l'outil le plus couramment utilisé, avec le principe de conservation de la masse. Le principe fondamental de la dynamique ajoutera une relation supplémentaire parfois superflue pour la connaissance du système (sauf dans le cas ou les variations d'énergie cinétique ne sont pas négligeables, turboréacteurs …). Nous pourrons ainsi quantifier les transferts lorsque l'on connaîtra la manière d'opérer pour obtenir un effet désiré. Mais il nous faudra tous les enseignements du second principe pour juger de la qualité et de la faisabilité du mode opératoire choisi. Nous pourrons en juger de façon qualitative en comparant notre machine réelle à une machine théorique totalement réversible (intérieurement et extérieurement), ou quantitativement en faisant un bilan exergétique ...

1 - 3 Application des principes aux systèmes ouverts

On rappelle qu’un système ouvert est un système qui échange de la matière avec l’extérieur. Ce sont des systèmes très utilisés dans nos disciplines car le fonctionnement de toutes nos machines peut être modélisé par ce genre de systèmes.

On envisage dans un premier temps

un système simple à une entrée et une sortie puis on généralisera.

Pi s’appelle la puissance indiquée : c’est la puissance échangée entre le fluide et les parties mobiles de la machine

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Hypothèse: en toute rigueur l'écoulement doit être permanent ou périodique de période τ et l'on fera la démonstration avec cette hypothèse, mais les résultats pourront être appliqués au écoulements permanents en moyenne.

On se ramène à l'évolution d'un

système fermé en isolant le système D défini ci-contre qui évolue entre l’instant initial t et l’instant final t+τ.

On peut alors appliquer les principes en système fermé que l’on a vu au paragraphe précédent de l’instant initial t à l’instant final t+τ:

Principe de conservation de la masse : La masse du système D se conserve entre l’instant initial et l’instant final :

1)(2)()()( mmmmmm tdtdtDtD +=+== ++ ττ (1)

Or à cause de l’hypothèse de périodicité (ou de permanence) )()( τ+= tdtd donc :

)()( tdtd mm =+τ d’où par (1) : 12 mm = et en divisant par τ:

12 qmqm =

Premier principe en système ouvert:

Appliquons le premier principe en système fermé au système D :

)()()()( tDtDtDtD EcEcUUQeWe −+−=+ ++ ττ

Le travail des efforts extérieurs est la somme de tous les travaux appliqués au système donc du travail indiqué Wi fournit durant τ (Wi=Pi.τ) et du travail des forces de pression (p.S) et de volume (m.g):

22112211 gzmgzmVpVpWiWe −+−+=

En effet, les forces de pressions sur le fluide à l’entrée sont égales à p1S1 et se déplacent de x1. Le travail fournit par l’extérieur sur le système D est donc de p1S1 . x1= p1V1 car S1 . x1 est le volume du fluide entré en 1, V1 . Il en est de même pour la bride de sortie sauf que le travail est fourni par le système D donc de signe négatif.

Le travail des forces de volume sur D est l’opposé de la variation d’énergie potentielle de D

entre 1 et 2 donc 2211 gzmgzm − Le deuxième membre peut se simplifier comme précédemment pour la masse :

7


121)(2)()()( )( UUUUUUUU tdtdtDtD −=+−+=− ++ ττ car )()( tdtd UU =+τ

Et de même pour Ec. Donc finalement en laissant les énergies dans le premier membre et en

regroupant les fonctions d’état dans le deuxième membre :

121122112212 EcEcgzmgzmVpVpUUQeWi −+−+−+−=+

12 EcEc − est la variation d’énergie cinétique du système D. Donc comme l’énergie

cinétique de d ne change pas : 211

22212 2

1

2

1CmCmEcEc −=−

C1 et C2 sont les vitesses du fluide à l’entrée et à la sortie du fluide. On pose par définition l’enthalpie : H=U+pV donc :

211

222112212 2

1

2

1CmCmgzmgzmHHQeWi −+−+−=+

Que l’on peut écrire sous forme massique en divisant par la masse m qui traverse le système mmm == 12 :

21

221212 2

1

2

1CCgzgzhhqewi −+−+−=+

Ou sous forme de puissance et en généralisant pour n entrées et m sorties, en divisant par le

temps τ:

)2

1()

2

1( 22

EEEESSSS gzChqmgzChqmPi ++−++=Φ+ ∑∑

Ces trois formes du premier principe en système ouvert sont à savoir par cœur.

Second principe :

∫ ∫+

=+τt

t tDdSTQQe

)(.int avec 0int ≥Q

Le second principe ne peut pas se mettre sous une forme plus simple sauf si l’évolution du

fluide dans la machine est une fonction connue d’une seule variable entre 1 et 2:

∫=+2

1int TdSQQe avec 0int ≥Q

I-4 Fonctions d’état, diagrammes : a) relations entre fonctions d’état

Les fonctions d’état « énergie interne » et « entropie »

étant définies par les principes sont donc liées par eux. Envisageons une évolution élémentaire quasi-statique et réversible du système fermé constitué par le fluide enfermé dans la chambre:

Le travail est le produit de la force par le déplacement :

pdVpSdxFdxWe −===δ

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Le signe moins vient du fait que lorsque dx est positif c'est-à-dire dans le même sens que F le travail est positif mais la variation de volume est négative (diminution du volume).

En écrivant le premier principe en système fermé (la variation d’Ec est nulle):

dUQeWe =+ δδ avec pdVWe −=δ donc pdVdUQe +=δ

Et le second principe pour une évolution réversible de ce système : QedST δ=. et en divisant par la masse du système on obtient :

pdvdudsT +=.

Par définition de l’enthalpie : pvuh += donc )( pvddudh += on obtient :

vdpdhTds −= car vdppdvpvd +=)(

b) diagrammes -diagramme de Clapeyron

Le diagramme de Clapeyron est un diagramme représentant l’évolution de la pression en fonction de celle du volume du système choisi.

Or nous avons vu au paragraphe précédent que pour une évolution quasi statique et réversible

pdVWe −=δ : le travail au cours de cette évolution est donc représentée par l’aire comprise sous cette évolution affectée d’un

signe négatif : ∫−=2

1pdVWe

-diagramme de Watt

C’est aussi un diagramme pression-volume mais le volume est celui de la chambre contenant le fluide V*. Il ne faut pas le confondre avec Clapeyron car en particulier lors des phases de transfert du fluide (admission, échappement) le volume du système constitué par le fluide cyclé ne correspond pas à celui de la chambre. L’intérêt du diagramme de Watt réside dans le fait qu’il peut être tracé directement sur les machines réelles grâce à un indicateur de Watt (voir TP) Sur les phases fermées diagramme de Watt et diagramme de Clapeyron sont identiques. L’exemple ci-contre représente le diagramme théorique d’une compression dans un compresseur à piston (voir TD). L’aire à l’intérieur du

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diagramme ne représente plus le travail des forces extérieures We mais celui des parties de la machine sur le fluide traversant celle-ci donc par définition le travail indiqué Wi :

∫∗−=

cyclepdVWi

-diagramme T,s

Ce diagramme est utilisé pour discuter de l’efficacité des évolutions et des cycles, nous l’utiliserons fréquemment lors du cours de machines thermiques. Les aires représentent les chaleurs échangées

car :∫ += intqqeTds . Si l’évolution est

réversible qint=0 Par les relation entre les fonctions

d’état : pdvdudsT +=. , vdpdhTds −=

On déduit facilement que l’aire sous l’isochore représente la variation

d’énergie interne 12

2

1uuTds −=∫ car

dv=0. De même, l’aire sous l’isobare représente la variation d’enthalpie 12

2

1hhTds −=∫ car dp=0

En pratique, il existe de nombreux autres diagrammes qui permettent de représenter des cycles particuliers pour des fluides particuliers et d’obtenir les énergies échangées directement par mesure des longueurs et non plus par « planimétrie » des aires. Nous verrons leurs particularités dans les chapitres suivants.

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II GAZ PARFAITS II-1 Equations et fonctions d’état a) Définitions

Un gaz parfait est un gaz qui vérifie l’équation d’état :

RTp =V

V est le volume occupé par 1 mole de N=6,023.1023 molécules Corollaire: R est une constante universelle, c'est-à-dire qu’elle ne dépend pas de la nature du

gaz. En effet, d’après la loi d’Avogadro toutes les molécules gazeuses occupent le même volume sous les mêmes conditions de pression et de température. Ce volume est de 22,4l dans les conditions dites normales p=1atm=1,013bar et T=273°K. On en déduit la constante :

R=8,32J/mole°K

Pour n molécules l’équation des gaz parfaits s’écrit : nRTpV = or mvV = donc :

m

nRTpv = et la masse molaire est :

n

mM = donc :

M

RTpv = .

En énergétique, nous avons coutume d’utiliser les grandeurs massiques le terme M

Rr = est

appelé constante massique des gaz parfaits. Elle dépend du gaz considéré par l’intermédiaire de la masse molaire M.

rTpv =

Par exemple pour l’air M=29g/mole donc KJ/kg28710.29

32,83

°== −r

b) Mélanges de gaz parfaits

En toute rigueur l’air est un mélange. La loi de Dalton-Gibbs précise que tout mélange de gaz parfait est un gaz parfait qui se comporte comme si chacun des constituants du mélange occupait seul la totalité du volume du mélange. (Cela est évident lorsque l’on considère qu’un gaz parfait est un gaz dans lequel les molécules n’ont aucune interaction entre elle).Autrement dit, en appelant pi la pression partielle du constituant i (pression qu’il aurait s’il occupait seul la totalité du

volume du mélange) on peut écrire que :n

pnp i

i = donc que ppi =∑ et que toute grandeur

extensive G du mélange est telle que : ∑= ),(),( TpGTpG ii

Toute grandeur massique (ou molaire) du mélange sera donc la moyenne barycentrique affectée du titre massique (ou molaire) de la même grandeur des constituants du mélange dans les conditions pi et T.

Exemples : l’énergie interne : ∑= ),(.),( TpuxTpu iii , la constante des gaz

parfaits : ∑= ii rxr . …

c) Fonctions d’état du gaz parfait

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On démontre en thermodynamique classique en utilisant le fait que les fonctions d’état sont des différentielles totales exactes (équation de Cauchy-Schwartz) et l’équation du gaz parfait que l’énergie interne et l’enthalpie d’un gaz parfait ne dépendent que de la température, ce que l’on peut écrire :

dTTCvdu )(= et dTTCpdh )(=

Nous verrons plus loin pourquoi nous utilisons Cv et Cp pour désigner ces fonctions appelées chaleur spécifiques. En utilisant les relations entre les fonctions d’état trouvées au chapitre précédent : vdpdhpdvdudsT −=+=. on obtient l’entropie du gaz parfait :

vdpdTTCppdvdTTCvdsT −=+= )()(. Comme par définition de l’enthalpie :

⇒=+=+=+= dTTCprdTdTTCvrTddupvddudh )()()()( )()( TCprTCv =+ Cette dernière relation est connue sous le nom de relation de Mayer. Si l’on pose de plus

Cv

Cp=γ on obtient :

1

.

−=

γγ r

Cp et 1−

=γ

rCv

En général γ n’est pas constant, il dépend de la température. Par exemple pour l’air:

Cependant pour simplifier les calculs, on considérera souvent γ constant : le gaz est alors appelé « gaz idéal ». Dans ce cas, la théorie cinétique des gaz nous donne la valeur de γ:

γ =5/3=1,667 pour un gaz monoatomique (He,Ne,Ar…) γ =7/5=1,4 pour le gaz diatomique (O2,N2,air…)

Et l’on prendra de l’ordre de 1,3 pour les gaz poly atomiques (H2O, CO2…). Si γ est constant alors Cv et Cp aussi et par intégration les fonctions d’état sont les

suivantes: )( 00 TTCvuu −=−

)( 00 TTCphh −=−

)()()()(0000

0 p

prLn

T

TCpLn

v

vrLn

T

TCvLnss −=+=− (1)

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II-2 Diagrammes du gaz idéal a) Clapeyron

Nous représentons l’allure générale des évolutions simples. Les isothermes sont des

hyperboles équilatères (y=a/x) car :v

rTpTcsteT 0

0 =⇒==

Cherchons l’équation de l’évolution isentropique d’un gaz idéal, par définition :

0)1(0)(00 =++⇒=+⇒+==⇒== vdppdvCv

rpdvpvd

r

CvpdvCvdTdsscstes

or γ==+Cv

Cp

Cv

r1 donc ⇒=+ 0vdppdvγ cstepv =γ γv

cstep =⇒

Les isentropiques ont aussi l’allure d’hyperboles. On montre que le rapport des pentes de l’isentropique sur l’isotherme est γ. Donc les isentropiques sont plus pentues au point d’intersection que les isothermes car γ est toujours supérieur à 1. On obtient le schéma suivant :

b) diagramme T,s

Les isobares vérifient : )(0

0 T

TCpLnss =− en faisant 0pp = dans l’équation (1) du

paragraphe précédent donc :

)exp( 00 Cp

ssTT

−=

Les isobares sont donc des exponentielles dans le diagramme T,s.

Pour une autre isobare p1 la constante s0 deviendra : )('0

100 p

prLnss −= . La nouvelle isobare

aura pour équation )'

exp( 00 Cp

ssTT

−= : elle se déduit donc de la précédente par une translation

d’axe s et de longueur )(0

1

p

prLn− . Donc si la pression de l’isobare augmente, l’isobare se déplace

par translation d’axe s dans le sens des entropies décroissantes (voir figure ci-dessous). Cherchons la pente de la tangente en dérivant l’équation d’évolution :

Cp

T

Cp

ssT

Cpds

Cp

ssTd

ds

dT =−

=

−

= )exp(1

)exp(0

0

00

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Par définition la sous-tangente est la distance x de l’intersection de la tangente à une courbe

avec l’axe des abscisses et la projection du point de tangence sur cet axe (voir figure) donc

CpxCp

T

ds

dT

x

T =⇒== donc la sous-tangente de l’isobare est égale à Cp.

On pourrait refaire de même pour l’isochore et montrer que lorsque v croit la

translation d’axe horizontal est dans le sens des entropies croissantes et que la sous-tangente est

égale à Cv. On s’aperçoit donc que comme Cv

Cp=γ >1 => Cp>Cv donc les isochores sont toujours

plus pentues que les isobares (voir figure ci-dessous). Le rapport des pentes est aussi de γ.

Comme pour un gaz idéal ∆h=Cp∆T le diagramme h,s appelé diagramme de Mollier du gaz idéal est identique au diagramme T,s à une affinité d’axe vertical près. c) diagramme s,Ln(v)

Ce diagramme est utilisé pour les moteurs alternatifs. Comme par l’équation (1) du paragraphe précédent:

)()()()(00000

0 v

vrLn

vp

pvCvLn

v

vrLn

T

TCvLnss +=+=−

Les isothermes et les isobares sont des fonctions s( Ln(v)) linéaires, donc représentées par des droites dans le diagramme s,Ln(v)

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II-3 Evolutions d’un gaz idéal. a) Principales évolutions réversibles au cours de phases fermées 1°) Isobares

Lors d’une évolution isobare réversible, nous avons vu au paragraphe I-4 :

pvvppdvwe ∆−=∆−=−= ∫ car p est constant donc par le premier principe en système

fermé ⇒∆=+ uqewe hpvuqe ∆=∆+∆= or pour un gaz parfait TCph ∆=∆ donc finalement :

TCpqe ∆=

On peut donc dire qu’au cours d’une évolution isobare la chaleur échangée est égale à Cp∆T C’est pour cela que Cp s’appelle « chaleur spécifique à pression constante ». 2°) Isochores

Cette fois comme v est constante dv=0 et donc we est lui aussi nul. Donc par le premier principe en système fermé :

qe=Cv∆T

C’est pour cela que Cv s’appelle « chaleur spécifique à volume constant »

3°) Isothermes Le premier principe en système fermé s’écrit : TCvuqewe ∆=∆=+ car le gaz est idéal. ∆T est nul puisse que T est constante donc :

0=+ qewe

Pour obtenir une deuxième équation soit on utilise ∫−= pdvwe soit le deuxième principe

avec qint=0 car l’évolution est réversible (on obtient le même résultat):

∫ = qeTds

Or T est constante ∫ ∆= sTTds et le gaz est idéal donc :

)()()()(0000

0 p

prLn

T

TCpLn

v

vrLn

T

TCvLnss −=+=−

Avec 0)(0

=T

TLn car T est constante donc finalement :

wep

pLnrT

v

vLnrTqe −=−== )()(

00

00

4°) Adiabatiques

Une évolution adiabatique qe=0 réversible qint=0 est isentropique car par le deuxième

principe ∫ =⇒=+= 00int dsqqeTds (T est par définition 0≥ )

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Nous avons démontré au §II-2 a) que pour évolution isentropique d’un gaz idéal : cstepv =γ

En utilisant l’équation de gaz parfait rTpv = on obtient les relations entre les variables d’état suivantes :

γγ

γ −−

=

=

1

0

1

1

0

1

0

1

v

v

p

p

T

T

Il suffit d’écrire :

γγ0011 vpvp = , 111 rTvp = , 000 rTvp = .

En faisant le rapport des deux dernières équations, on obtient : 0

1

00

11

T

T

vp

vp =

Et en reportant dans cette équation la première modifiée ainsi : γ

γ

1

0

0

1

v

v

p

p=

On obtient : 0

1

1

0

1

1

0

0

1

T

T

v

v

v

v

v

v=

=

−γ

γ

γ

. Puis on fait de même pour la pression.

Nous utiliserons les relations encadrées de très nombreuses fois cette année : elles sont à

connaître par cœur.

Nous procédons toujours de la même façon pour chercher le travail : on écrit le premier principe ici avec qe=0:

)1()1()(1

0

10

0

1001 −

=−=−=∆=

−γ

v

vCvT

T

TCvTTTCvuwe .

Or ρ=1

0

v

v est le taux de compression volumique donc :

)1( 10 −= −γρCvTwe

5°) Polytropiques

Ces évolutions sont peu utilisées non les citons ici pour mémoire. Par définition ce sont des évolutions telles que cstepvk = : en faisant varier k de ∞− à ∞+ on obtient toutes les évolutions possibles :

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Les résultats sont identiques à ceux de l’isentropique en remplaçant γ par k pour 1≠k , à savoir :

kk

k

v

v

p

p

T

T−

−

=

=

1

0

1

1

0

1

0

1 et )1( 10 −= −kCvTwe ρ

Pour k=1 on retrouve le cas de l’isotherme. b) Machines à flux continu

Dans ces machines chaque phase est ouverte. Il existe trois types d’évolutions : 1°) Les échangeurs et chambres de combustion.

Ces systèmes ne contiennent pas de parties mobiles donc par conséquent : 0=Pi et en écrivant le premier principe en système ouvert : )( 12 hhqm −=Φ si l’on néglige les variations

d’énergie cinétique. Il peut exister une petite perte de charge 012 ≤− pp que l’on négligera souvent : dans ce cas l’évolution sera isobare. 2°) Les compresseurs et turbines

Les fluides passent à une telle vitesse dans ces machines que l’on peut supposer que les échanges de chaleur sont négligeables par rapport aux échanges d’énergie mécanique. Donc ce sont des systèmes ouverts adiabatiques. Par le premier principe en système ouvert:

0=Φ et )()( 1212 TTqmCphhqmPi −=−=

On définit par ailleurs le taux de compression manométrique par :1

2

p

pc =π

Et le taux de détente par l’inverse pour que le rapport soit toujours supérieur à 1 : 2

1

p

pd =π

Ces machines ne sont pas réversibles dans la réalité mais pour étudier les machines réelles on les comparera à des machines théoriques réversibles. On a vu au paragraphe précédent que les évolutions adiabatiques et réversibles sont isentropiques et que l’on peut écrire :

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γγ 1

1

2

1

2

−

=

p

p

T

T s

L’indice s se désigne l’évolution isentropique. Donc le travail indiqué échangé au cours

d’une compression isentropique 1,2s est :

)1()1()1(1

1

1

1

21

1

21 −=−

=−=

−−

γγγ

γ

π cs

isc CpTp

pCpT

T

TCpTw

Au cours d’une détente adiabatique 1,2s :

)11

()1()1(

1

1

1

1

21

1

21 −

=−

=−=

−−γ

γγ

γ

π d

sisd CpT

p

pCpT

T

TCpTw

Lorsque la détente n’est pas réversible à cause des frottements du fluide sur les aubes 0int >q donc comme qe=0, ds>0 : l’entropie de 1 à 2 augmente :

Pour calculer la puissance de ces machines réelles, on la compare à la puissance de la machine isentropique par l’intermédiaire du rendement isentropique.

Ces rendements sont bien entendus inférieurs à 1 : Le compresseur parfait consomme moins que le compresseur réel alors que la turbine parfaite fourni plus de puissance que la turbine réelle. La définition des rendements isentropiques tient compte de ces remarques :

Pic

Piscisc =η et

Pisd

Pidisd =η

Vous devez savoir retrouver les définitions précédentes.

3°) Evolutions isothermes :

Ces évolutions ne sont pas réalisables en pratique car comme le montre le premier principe il faudrait échanger une quantité de chaleur identique au travail. Cela n’est pas possible vu les grandes vitesses de passage des fluides dans les compresseurs ou les turbines et les faibles surfaces de contact. Néanmoins ces évolutions permettent de connaître simplement les limites possibles de gain des compresseurs multi étagés refroidis par rapport aux compresseurs mono étagés.

Le premier principe en système ouvert donne :

18


TCphhqewi ∆=−=+ 12 avec ∆T=0 => qewi −=

Si l’évolution est sans frottement donc réversible, en faisant de la même façon qu’au

paragraphe II-3a 3°) en utilisant le deuxième principe, on obtient :

wip

pLnrTqe −=−= )(

00 (1)

Si l’évolution n’est pas réversible, on définit les rendements de compression isotherme

comme les rendements de compression isentropique :

réelle

frottementsansc wi

wi .=η

Le travail sans frottement se calcule par (1) et l’on déduit le travail réel de la connaissance

du rendement. La détente isotherme est moins fréquente mais on pourrait faire de même.

19


III- VAPEURS III-1 Equations d'état - fonctions d'état

Pour notre usage de thermicien, nous nous limiterons à l'étude des changements de phase quasi statiques liquide-vapeur. a) Processus physique de changement de phase

Il n'existe pas de phase intermédiaire entre le liquide et la vapeur. Lorsque le liquide atteint la température de vaporisation, toute quantité de chaleur supplémentaire va être dissipée dans la rupture d’un certain nombre de liaisons entre les molécules de liquide. Elles formeront alors de la vapeur à

une température identique à celle du liquide. Et vice versa dans le cas de la condensation. Comme il n'y a pas d'évolution dans la composition de la vapeur, ni dans celle du liquide, si le corps est pur, lorsque la pression reste constante lors du changement de phase, la température aussi. Donc à pression constante, un corps pur se vaporise ou se condense à température constante.

NB : Lors de variations trop rapides comme dans une vanne de détente, il peut arriver que

le liquide parvienne à une température supérieure à la température de vaporisation pour la pression locale sans se vaporiser immédiatement ou comme dans une tuyère, il peut arriver que la vapeur parvienne à une température inférieure à la température de condensation (sursaturation). Cet état métastable (identique au phénomène plus connu de surfusion) obtenu au cours d’évolutions non quasi-statiques sort du cadre de ce cours. Il est peu fréquent dans nos machines, nous ne l’étudierons pas ici.

Sur la surface d’état, on représente 1'équilibre liquide-vapeur par un point M de coordonnées (p, T, vM) où vM est le volume massique moyen.

Le point M ne représente, sur ce diagramme, que le barycentre affecté des titres massiques des grandeurs (ici le volume massique) des phases liquide et vapeur. Il ne représente aucun état physique particulier de la matière.

VLM xvvxv +−= )1(

Où 1-x est le titre

massique du liquide et x celui de la vapeur.

20


L’ensemble des points, lorsque p et T varient, est appelé « surface d’équilibre liquide-

vapeur ». Elle est perpendiculaire au plan p,T donc son équation est de la forme f(p,T)=0 (voir plus

loin : §c). La courbe de saturation représente physiquement un état limite avant apparition de la première goutte ou de la première bulle. Elle s’appelle courbe de « bulle » côté liquide et courbe de « rosée » côté vapeur.

b) Projections des lignes caractéristiques de la surface d’état

NB : Près du point critique le gaz est si comprimé que ses caractéristiques physiques (masse volumique, indice de réfraction…) sont très proches de celle du liquide à tel point qu’on ne peut plus les différencier (voir TP 1ière année). Le changement de phase n’entraîne plus de séparation importante des molécules, il n’y a donc plus de chaleur à fournir pour passer du liquide à la vapeur. Nous verrons plus loin que ce point « singulier » pose des problèmes pour mettre sous forme simple les équations et les fonctions d’état à son voisinage. c) Equations d’état La surface d’état n’est bien sûr pas possible à paramétrer par une seule équation mathématique. On sépare en trois domaines : la vapeur, le liquide et le mélange liquide vapeur. Equation d’état du liquide. Loin du point critique, la masse volumique du liquide varie très peu quelque soit la pression et la température. L’hypothèse la plus simple consiste à considérer le liquide comme « incompressible ». L’équation d’état du liquide est alors :

0vv =

Pour l’eau /kgm10kg/m1000 330

3 −≈⇒≈ vρ

Equations d’état de la vapeur

21


Loin du point critique la vapeur se comporte comme un gaz à la différence près qu’elle peut se condenser donc au-delà des conditions de condensation (voir équation de la surface d’équilibre), on peut utiliser l’équation du gaz parfait comme équation d’état de la vapeur:

TM

Rpv =

Près du point critique, on modifie l’équation du gaz parfait. Deux approches sont possibles :

- La première, en écrivant rTTpZpv *)*,(= où Z le facteur de compressibilité est une

fonction de la pression réduite cp

pp =* et de la température réduite

cT

TT =* , Tc et pc

étant les caractéristiques du point critique. Cette fonction Z est universelle (en première approximation) et est donnée par un diagramme (voir cours de 1ère année et polycopié des tables thermodynamiques)

- La deuxième, en utilisant l’équation semi empirique de Van der Waal :

rTbvv

ap =−+ ))((

2

Pour connaître les coefficients a et b, il suffit d’écrire que le point critique vérifie l’équation.

On obtient :c

cccc

c

T

pv

M

Rrpva

vb

8;3;

32 ====

Pour l’eau : kgmvbarspCt ccc /00318,0;3,221;1,374 3==°=

Equation de la surface d’équilibre : Les conditions propices au changement de phases sont données par cette équation. Plusieurs

types d’équations existent. La plus utilisée est l’équation semi empirique d’Antoine :

CT

BA)Ln(ps −

−=

Pour l’eau : 13,46;3816;68,11 === CBA si p est en bars T en °K Pour mémoire, on trouve dans la littérature d’autres équations totalement empiriques telles

que l’équation de Duperray : pour l’eau 4)100

(t

ps = avec p en bars et t en °C

d) Fonctions d’état Liquide : Loin du point critique, si l’on considère le liquide comme incompressible dv=0 donc δwe=0 donc le premier principe s’écrit : δqe=du=C(T)dT

Or, expérimentalement, on s’aperçoit (voir TP de calorimétrie de 1ère année) que la capacité calorifique C est constante. Donc :

22


)( 00 TTCuu LL −=− (1)

Par le 2ème principe qui définit l’entropie :

⇒==− ∫ ∫T

T

T

TLL T

CdT

T

qess

0 00

δ)(

00 T

TCLnss LL =− (2)

Par définition de l’enthalpie :

⇒−+−=− 0000 vppvuuhh LLLL )()( 0000 ppvTTChh LL −+−=− (3)

Exemples d’applications : Vous utilisez depuis longtemps les résultats des équations ci-dessus. Nous pouvons

maintenant les démontrer rigoureusement. - Echangeur Dans un échangeur de chaleur, le système constitué par un liquide circulant dans un des

circuits est un système ouvert, donc : ).( hehsqm −=Φ et (3) nous donne :

)()( 0 ESESES ppvTTChh −+−=−

Le terme )(0 ES ppv − est toujours très faible même si les pertes de charges sont importantes,

exemple pour de l’eau v=10-3m3/kg avec ∆T=10°C et ∆p=1bar :C∆T=4,18.104J/kg et v∆p=100J/kg donc on écrit pour un échangeur :

)(. ES TTCqm −=Φ

- Pompe parfaite : Une pompe parfaite élève la pression d’un liquide sans frottement ni sans lui fournir de

chaleur, ie : δqe=δqint=0 => ds=0 donc (2) donne T=cte La température du liquide reste constante dans une pompe parfaite.

Pour déterminer la puissance indiquée de la pompe, on utilise le premier principe. Le système constitué par le liquide traversant la pompe est un système ouvert donc:

)2

1()

2

1( 22

EEEESSSS gzChqmgzChqmPi ++−++=Φ+ ∑∑

Il n’y a qu’une entrée et une sortie qms=qme=qm, Φ=0 comme on l’a supposé

précédemment et les variations d’énergie potentielle et cinétique sont en général faibles donc :

).( hehsqmPi −=

Comme T=cte, (3) donne : )( 000 ppvhh LL −=− donc : )(. 0 pepsvqmPi −= or qmv0=qv

23


Donc finalement, on retrouve le résultat bien connu de la puissance indiquée de la pompe parfaite:

).( pepsqvPi −=

- Pompe réelle, vanne de détente :

Cette fois δqe=0 mais pas δqint, il y a du frottement entre le fluide et les aubages. On procède alors comme pour un compresseur en introduisant un rendement isentropique de

pompe :Pi

Pisis =η et ).( pepsqvPis −= . Le premier principe nous donne :

⇒−=−+−= ).(1

).()(. pepsqvpepsqvTTCqmPiis

ES η0).(.1

1)( >−

−=− pepsvTTC

isES η

De même pour une détente statique adiabatique du type Joules-Thomson : Pi=Φ=0, donc

grâce au premier principe, on peut écrire : 0)()( 0 =−+−=− ESESES ppvTTChh

Alors : )()( 0 ESES ppvTTC −−=− est positif car )( ES pp − est négatif.

Comme on pouvait s’y attendre, l’élévation de température n’est pas nulle, ni dans une

pompe réelle, ni dans une vanne de détente, à cause du frottement. Elle reste néanmoins très faible pour les raisons évoquées au paragraphe « échangeurs ».

Vapeur Pour les vapeurs, loin du point critique comme nous l’avons dit au paragraphe « équations

d’état », nous pouvons utiliser les fonctions d’état du gaz parfait (voir chapitre « gaz parfait »). Par contre, nous sommes rapidement limités par la difficulté des équations lorsque l’on veut affiner les résultats. Nous verrons alors en TD qu’à notre niveau nous utilisons les tables et les diagrammes.

Changement de phase Lors du changement isobare d’une masse dm de matière, le premier principe s’écrit :

)( LV uudmdUQeWe −==+ δδ or dmvvpWe LV )( −−=δ donc :

)( )()( LVLVLV hhdmdmvvpuudmQe −=−+−=δ

Cette variation d’enthalpie est appelée « chaleur latente de vaporisation » et est notée :

)( LV hhLv −=

Par le deuxième principe, la température restant constante au cours du changement de phase,

la variation d’entropie s’écrit :

T

Lvss LV =− )(

Comme pour le volume massique, lorsqu’un mélange liquide vapeur en équilibre contient

une fraction x de vapeur, ses fonctions d’état sont le barycentre des fonctions d’état du liquide et de la vapeur affecté des titres respectifs :

24


LV uxxuu )1( −+= ; LV hxxhh )1( −+= ; LV sxxss )1( −+=

III-2 Tables et diagrammes. Comme nous l’avons dit dans les paragraphes précédents, il est souvent préférable vu la complexité des calculs et l’imprécision des expressions analytiques avoir recours aux tables ou aux diagrammes. Tables et diagrammes sont complémentaires. Les diagrammes sont beaucoup plus visuels mais manquent de précision alors que les tables bien qu’étant plus précises peuvent conduire à des erreurs de lecture, de calcul d’interpolation… a) Tables Sur l’extrait de la table de la vapeur saturée ci-dessous l’entrée est en température. Il y a aussi des tables avec entrée en pression. Du fait de la discontinuité des valeurs, inhérente aux tables, il est souvent nécessaire d’interpoler entre deux valeurs.

Pour la vapeur surchauffée ou le liquide comprimé, nous n’avons plus une seule entrée mais deux entrées. L’interpolation devra être à quatre points.

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b) Diagramme de Clapeyron et diagramme entropique

Pour le diagramme de Clapeyron, on se reportera aux généralités et à la projection de la surface d’état sur le plan p,v.

Sur le diagramme entropique, la courbe de saturation présente une forme de cloche plus

prononcée que celle du diagramme p,v. Nous nous servirons beaucoup de ce diagramme en cours de machines thermiques pour discuter de l’amélioration du rendement des cycles. Mais l’étude quantitative des échanges d’énergie est difficile car, comme nous l’avons vu au chapitre « généralités », les énergies sont représentées ici par des aires. C’est pour cela que pour les calculs industriels nous préférons utiliser les diagrammes dits « de Mollier » c) Diagrammes de Mollier Pour les turbines à vapeur nous utilisons le diagramme h(s)

Sur les diagrammes industriels, nous ne disposons pas de la totalité de la zone d’équilibre Liquide-Vapeur comme indiqué sur la figure. Les valeurs pour le liquide seront déterminées soit à

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partir des tables (attention à la compatibilité tables diagramme: enthalpie et entropie de référence identiques), soit par l’hypothèse de fluide incompressible à capacité calorifique constante (4,18kJ/kg°K pour l’eau), soit en utilisant le fait que M est le barycentre entre A et B.

On peut remarquer d’autre part, que, loin du point critique, la vapeur se comporte comme un

gaz parfait : les isothermes sont des droites horizontales, les isobares et les isochores ont allure d’exponentielles

Les frigoristes, quant à eux, préfèrent utiliser le diagramme h,ln(p). La même règle du

barycentre existe entre M et A,B.

Sur les diagrammes industriels les isothermes dans la partie liquide ne sont pas tracées : il

faut les extrapoler. Or nous savons qu’un liquide est quasi incompressible et que le volume massique du liquide est très faible donc, de ce fait, l’enthalpie est quasi indépendante de la pression (voir paragraphe « fonctions d’état » d’un liquide): les isothermes dans le liquide sont donc des droites verticales.

On peut faire la même remarque que précédemment concernant la zone loin du point critique où l’on peut observer que le gaz se comporte comme un gaz parfait : les isothermes sont des droites verticales donc des isenthalpes :

rappels de thermo

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