račun izravnanja – osnovni kurs (b2g1ri)
TRANSCRIPT
![Page 1: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/1.jpg)
Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet
www.grf.bg.ac.rs
Studijski program: GEODEZIJA I GEOINFORMATIKA
Modul: GEODEZIJA
Godina/Semestar: II godina / 1 semestar
Naziv predmeta (šifra): Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)
Nastavnik: Branko Božić
Naslov predavanja: Metod najmanjih kvadrataDatum : 12.10.2020.
Beograd, 2020.
Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu na daljinu studenta Građevinskog
fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene saglasnosti autora materijala.
![Page 2: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/2.jpg)
Sadržaj
• Uvod
• Prosta aritmetička sredina
• Opšta aritmetička sredina
• Najbolja ocena parametara modela
• Varijanse i težine
• Jednostavniji MNK problemi – matrična interpretacija
• Primeri
![Page 3: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/3.jpg)
UVOD - Definicija i klasifikacija merenja
Crandall and Seabloom (1970): ‟Merenje predstavlja instrumentalnoupoređivanje nepoznate veličine sa poznatim standardom‟
Rezultat merenja je samo jedna aproksimacija vrednosti merene veličine
Tačnu vrednost nije moguće odrediti
Merenja po definiciji sadrže greške
Merenja mogu biti: a) direktna i b) indirektna
![Page 4: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/4.jpg)
UVOD-Klasifikacija grešaka merenja
Prema prirodi uticaja: a) grube (blunders, mistakes), b) sistematske i c) slučajne (accidental, random)
Slučajne greške – aksiomi: 1) greške male po intenzitetu se češće2) jednaka verovatnoće pojave pozitivnih i negativnih vrednosti grešaka 3) mala verovatnoća pojave grešaka velikih po intenzitetu
![Page 5: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/5.jpg)
UVOD-Greške i reziduali
Merena veličina: istinita ili najverovatnija vrednost ?
Najverovatnija vrednost = najbolja ocena
Ma koliki broj merenja realizovali nećemo dobiti istinitu vrednost
Aritmetička sredina spada u najbolju ocenu
Istinita vrednost - Rezultat merenja = Istinita greška
Najverovatnija vrednost – Rezultat merenja = Rezidual
![Page 6: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/6.jpg)
Gaussov princip najmanjih kvadrata (least squares principle)
"Zbir kvadrata odstupanja rezultata merenja od najverovatnije vrednosti je minimalan“ (Carl Friedrich Gauss,1795)
𝑖=1
𝑛
𝑝𝑖𝑣𝑖2 = 𝑚𝑖𝑛
pi – težine
vi - reziduali
![Page 7: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/7.jpg)
Prosta aritmetička sredina – princip MNK
Neka je slučajna veličina x merena n puta i neka su dobijene sledećevrednosti x1,x2,...,xn. Neka je µ istinita vrednost, a - aritmetička sredina. Tada je
x
n
x
n
xxxx
n
k
k
n
121 ...
kk xxv
Rezidual
𝐸 ҧ𝑥 = 𝜇
𝐷 ҧ𝑥 =𝜎2
𝑛
![Page 8: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/8.jpg)
Prosta aritmetička sredina – primena principa najmanjih kvadrata
ili
xvxxvxxvx nn ...,,, 2211
• Neka je realizovano n rezultata merenja x1,x2,...,xn neke
fizičke veličine. Po definiciji: Rezultat merenja + Rezidual =
Najbolja ocena
nn xxvxxvxxv ...,,, 2211
Princip najmanjih kvadrata: Najbolja ocena se dobija minimiziranjem sume
kvadrata reziduala
Nepoznatiparametar
![Page 9: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/9.jpg)
Prosta aritmetička sredina – primena principa najmanjih kvadrata
Neka je
n
k
kv1
2 ili
22
2
2
1
1
2 )(...)()( n
n
k
k xxxxxxv
Traži se 0
xd
d
0)(2...)(2)(2 21
nxxxxxxxd
d
n
x
n
xxxx
n
k
k
n
121 ...
Deobom obe strane sa 2 i
oslobađanjem od zagrade
dobija se
![Page 10: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/10.jpg)
Rešavanje sistema linearnih jednačina primenom MNK principa
povezuju dve nepoznate x i y sa opažanjima (7, 5 i 0.5)
Rešenje po prve dve daje x =0.5 i y =1.5, rešenje druge i treće daje x =0.65 i y =1.45…
Nekonzistentnost rešenja (jednačina). Zaključak: u merenjima prisutne greške
Problem rešavamo dodavanjem reziduala
3
2
1
5.03
53
742
vyx
vyx
vyx
Linearan sistem jednačina oblika:
Moguće je odabrati vrednosti v1, v2 i v3 na osnovu kojih će se dobiti jedinstveno rešenje za x i y, nezavisno odtoga koji će se par jednačina odabrati. Rešenje za x i y po metodi najmanjih kvadrata:
2222 )5.03()53()742(),( yxyxyxvyxf
2x+4y=71x+3y=53x-1y=0.5
![Page 11: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/11.jpg)
0)1)(5.03(2)3)(53(2)4)(742(2
0)3).(5.03(2)53(2)2)(742(2
2
2
yxyxyxy
v
yxyxyxx
v
Normalne jednačine
5.42268
5.20814
yx
yx
MNK rešenje glasi x =0.643 i y =1.437
Zamenom vrednosti x i y u jednacine opazanja omogućava računanje reziduala (v1=0.033, v2= - 0.047, v3 = - 0.007)
Vrednosti kvadrata reziduala slobodnog rešenja i rešenja dobijenog po principu najmanjih kvadrata.
x =0.5 i y =1.5 x =0.643 i y =1.437
0 0.001
0 0.002
0.25 0.000
Suma VV 0.25 0.003
D = det(14 88 26
=300
Dx = det(20.5 842.5 26
=193
Dy = det(14 20.58 42.5
=431
14*26-8*8=
Rešenja
![Page 12: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/12.jpg)
Težine i varijanse
Konstanta proporcionalnosti = referentna varijansa = faktor varijanse = a priori varijansa = varijansa jedinice težine
2
20
2
1
kk s
spili
sp
2
0
Za p =122
0 ks Varijansa opažanja jedinične težine (Pretpostavka: merenja su nekorelisana)
PRIMER:
Merenje 1: 10.11 (s = 0.01)
Merenje 2: 10.12 (s = 0.02)
Merenje 3: 10.13 (s = 0.03)22
02
2
03 )03.0(
)03.0(1
p
Najvece s
1,25,2)02.0(
)03.0(,9
)01.0(
)03.0(32
2
22
2
1 ppp
Težina p
![Page 13: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/13.jpg)
Opšta aritmetička sredina
• Neka su x1, x2, ..., xn merenja sa težinama p1,p2,...,pn i neka je najboljaocena merenja. Po definiciji: Merenje + Rezidual = Najbolja ocena
pnnpp xvxxvxxvx ...,,, 2211
ili
npnpp xxvxxvxxv ...,,, 2211
Rešenje tražimo primenomi principa minimuma sume kvadrata proizvoda reziduala i težina
n
k
kkvp1
2
px
![Page 14: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/14.jpg)
Opšta aritmetička sredina
22
22
2
11
1
2 )(...)()( npnpp
n
k
kk xxpxxpxxpvp
0
pxd
d
0)(2...)(2)(2 2211
npnpp
p
xxpxxpxxpxd
d
n
k
k
n
k
kk
n
nnp
p
xp
ppp
xpxpxpx
1
1
21
2211
...
...
Deobom sa 2 i oslobadjanjem od zagrade
![Page 15: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/15.jpg)
Jednostavniji modeli - Najbolja ocena parametara modela - Line of Best Fit
cmxy
Nagib prave
Presek prave
sa y osom
12
12tanxx
yym
m,c – parametri modela
x,y – merenja
![Page 16: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/16.jpg)
Ocena parametara modela – merenja iste preciznosti
tačka x y
1 -40.0 -24.0
2 -15.0 -24.0
3 10.0 -12.0
4 38.0 15.0
5 67.0 30.0
cmxvy kkk
cvxmvy Xkkkk )(
kkk ycmxv )(
n
k
kv1
2
2
55
2
22
2
11
1
2 )(...)()( ycmxycmxycmxvn
k
k
0,0
dc
di
dm
dNeophodan uslov minimuma
Najčešće se xk tretira kao nezavisna promenljiva
![Page 17: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/17.jpg)
0)1)((2...)1)((2)1)((2
0))((2...))((2))((2
552211
555222111
ycmxycmxycmxdc
d
xycmxxycmxxycmxdm
d
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
n
k
kk
ycnxm
yxxcxm
11
11 1
2
Normalne jednačine
k
kk
k
kk
y
yx
c
m
nx
xx2
Normalne jednačine u matričnom obliku
nNx nNx1
Ocena parametara modela – merenja iste preciznosti – MNK ocene
![Page 18: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/18.jpg)
2
1
1112
1222
21122211
1
)(
1
n
n
nn
nn
nnnnc
mnNx
1,2
1
1,,2212
1211,,
uuuun
n
c
m
nn
nn
nxN
00.15
00.3780
00.500.60
00.600.7858
c
m
66.9
55.0
00.785800.60
00.6000.5
)00.6000.6000.500.7858(
1
c
m
Ocena parametara modela – jednake težine – MNK ocene
![Page 19: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/19.jpg)
kkk ycmxv
5.2
6.3
9.7
0.6
8.7
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
Ocena parametara modela – merenja jednake preciznosti - reziduali
![Page 20: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/20.jpg)
Pretpostavka da obe koordinate (x i y) sadrže greške
0 b)vx(m)vy()y,x(Fxy
ybxmbb
Fm
m
Fv
y
Fv
x
Fyx
00
Četiri nepoznate i nije linearna
1
1
b
F
xm
F
y
F
mx
FSa parcijalnim izvodima
DDAYDXD
CCAYCXC
BBBYBXB
AAAYAXA
ybxmbmxvvm
ybxmbmxvvm
ybxmbmxvvm
ybxmbmxvvm
000
000
000
000
Jednačine za četiri date tačke
FAXBV Matrični oblik
1000000
0010000
0000100
0000001
0
0
0
0
m
m
m
m
B
1
1
1
1
D
C
B
A
YD
XD
YC
XC
YB
XB
YA
XA
x
x
x
x
A;
v
v
v
v
v
v
v
v
V
DD
CC
BB
AA
ybxm
ybxm
ybxm
ybxm
F;b
mX
00
00
00
00
Rešenje problema sa pretpostavkom o greškama u obe promenljive
mo i co iz bilo koje dve jednačine (približne vrednosti)
c
coc
co
co
co
co
c
c
c
c
c
co
co
co
co
c
![Page 21: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/21.jpg)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
1
YD
XD
YC
XC
YB
XB
YA
XA
Q
Kofaktorska matrica (vrednosti koje se
dobijaju iz izravnanja mreže)
FWA)AWA(Xe
T
e
T 1 Rešenje (ocena nepoznatih parametara)
1 )BQB(W T
e
FAXVe
Vektor ocena reziduala
VLL̂m Vektor ocena rezultata merenja
r
VWVs ee
T
e2
0
Referentna varijansa =
r
VWVs
T
2
0
Kovarijaciona matrica ulaznih veličina (merenja ili sl.) = Kl
a posteriori faktor varijanse = ocena od a priori varijanse
![Page 22: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/22.jpg)
Ocena parametara u modelu merenja različite preciznosti
Tačka x y pi
1 -40.0 -24.0 2
2 -15.0 -24.0 5
3 10.0 -12.0 7
4 38.0 15.0 3
5 67.0 30.0 3
n
k
kkvp1
2
2
555
2
222
2
111
1
2 )(...)()( ycmxpycmxpycmxpvpn
k
kk
0,0
dc
di
dm
d
0)1)((2...)1)((2)1)((2
0))((2...))((2))((2
555222111
555522221111
ycmxpycmxpycmxpdc
d
xycmxpxycmxpxycmxpdm
d
![Page 23: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/23.jpg)
Ocena parametara u modelu merenja različite preciznosti
n
k
kk
n
k
n
k
kkk
n
k
kkk
n
k
n
k
kkkk
yppcxpm
yxpxpcxpm
11 1
11 1
2
kk
kkk
kkk
kkkk
yp
yxp
c
m
pxp
xpxp 2
00.117
00.10620
00.2000.230
00.2300.22824
c
m
669131.12
592968.0
c
m9.2
1.5
3.5
4.2
4.12
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
Dve normalne jednačine sa
dva nepoznata parametra
(m,c)
kkk ycmxv
Prava je pomerena ka 2 i 3, zbog težina
![Page 24: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/24.jpg)
Jednostavniji MNK problemi – matrična interpretacija
n
k
kv1
2 Minimum sume kvadrata reziduala
vvT2
1
21
1
2
n
n
n
k
k
v
...
v
v
v...vvv
n
k
kkvp1
2
PvvT2
1
2
1
21
1
2
nn
n
n
k
kk
v
...
v
v
p
..
p
p
v...vvvp
Nekorelisana
merenja
![Page 25: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/25.jpg)
Jednostavniji MNK problemi – matrična interpretacija ocena parametara modela regresione prave
555
444
333
222
111
vycmx
vycmx
vycmx
vycmx
vycmx
cmxvy kkk
vlAx
5
2
1
5
2
1
5
2
1
..
1
..
1
1
v
v
v
y
y
y
c
m
x
x
x
Opšti model
Matrica
koeficijenata
Vektor
reziduala
![Page 26: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/26.jpg)
l))P(AxlA(x
l))P(Axl(Ax)
l)P(Axl)AxPvv
TTT
TT
TT
(
(
PAxAxPlAxPAxlPllTTTTTT
PAxAxPlAxPAxlPllTTTTTT
Skalari PA)x(AxPAx2lPllTTTT
T
dx
d0
T
dx
d0PA)(AxPA2l
TTT 2
PlAPA)x(ATT
Normalne jednačine
nNx
Jednostavniji MNK problemi – matrična interpretacija ocena parametara modela regresione prave
![Page 27: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/27.jpg)
nNx
nNx1
lAxv
vll ˆ
Izraz – izravnanje indirektnih opažanja, predložili su
Mikhail i Graice 1976 i 1981. godine ukazuje da svako
opažanje predstavlja jedno indirektno merenje
nepoznatih parametara. U geodetskom premeru
koriste se i drugi nazivi, kao: parametarsko izravnanje,
izravnanje jednačina opažanja metodom najmanjih
kvadrata ili izravnanje jednačina rezidula metodom
najmanjih kvadrata.
Osnovne karakteristike MNK:
- Matematički model (jednačina) povezuje opažanja, reziduale i nepoznate parametre
- Za n opažanja postoji minimalnih no neophodnih za rešavanje u nepoznatih parametara (u ovom slučaju no
= u) dok je r = n – no broj suvišnih merenja
- Za svako opažanje postavlja se jedna jednačina, tj. n je ukupan broj jednačina
Jednostavniji MNK problemi – matrična interpretacija ocena parametara modela regresione prave
![Page 28: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/28.jpg)
MNK ocena parametara modela parabole
cbxaxy 2
Matematički model parabole
cbxaxvy kkkk 2
kkkk ycbxaxv 2
Za n = 6 i u = 3
Nepoznati parametri: a, b, c
lAxv
RMIT University -
Deakin
![Page 29: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/29.jpg)
MNK ocena parametara modela parabole
6
2
1
)1,6()1,3(
6
2
6
2
2
2
1
2
1
)3,6(
6
2
1
)1,6(.
,,
1
...
1
1
,.
y
y
y
c
b
a
xx
xx
xx
v
v
v
lxAv
IP Za
nNx
nNx1
lAxv
vll ˆ
![Page 30: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/30.jpg)
Rešavanje nelinearnog sistema
𝐿 = f(x, y)
𝐿 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥0, 𝑦0 +(𝜕𝐿
𝜕𝑥)0
1!𝑑𝑥 +
(𝜕2𝐿
𝜕2𝑥)0
2!𝑑𝑥2 +...+
(𝜕𝑛𝐿
𝜕𝑛𝑥)0
𝑛!𝑑𝑥𝑛
𝑥0, 𝑦0
𝑥 = 𝑥0 + 𝑑𝑥𝑦 = 𝑦0 + 𝑑𝑦
𝐿 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥0, 𝑦0 + (𝜕𝐿
𝜕𝑥)0𝑑𝑥 + (
𝜕𝐿
𝜕𝑦)0𝑑𝑦
Procedura:1. Odrediti približne vrednosti koordinata xo,yo
2. Uvrstiti približne vrednosti u jednačinu i sračunati priraštaje dx,dy3. Sračunati popravljene vrednosti x,y4. Sa novim vrednostima ponoviti 2. i 3. korak5. Primeniti iterativni postupak sve dok dx,dy ne budu ispod granica
tolerancije
Funkcija
Razvoj u Tejlorov red
Približne vrednosti nepoznatih parametara
Ocene (najverovatnije) vrednosti
Razvoj funkcije do prvog stepena
![Page 31: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/31.jpg)
PRIMER𝑥2 + 𝑦2 = 6
3𝑥2 − 2𝑦 = 8
𝜕𝐹1
𝜕𝑥= 2𝑥,
𝜕𝐹1
𝜕𝑦= 2𝑦; 𝜕𝐹2
𝜕𝑥= 6𝑥,
𝜕𝐹2
𝜕𝑦= −2
xo=1 i yo=1
2(𝑥0)𝑑𝑥 + 2(𝑦0) 𝑑𝑦 = 6 − 𝑥02 − 𝑦0
2
6 𝑥0 𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑦 = 8 − 3 𝑥02 + 2 (𝑦0)
Prva iteracija
𝑑𝑥 = 1.375
𝑑𝑦 = 0.625
𝑥 = 1 + 1.375 = 2.375y= 1 + 0.625 = 1.625
Četvrta iteracija𝑥𝑜 = 2.375𝑦𝑜 = 1.625
𝑥 = 2.375 − 0.412 = 1.963
y= 1.625 − 0.099 = 1.525
Druga iteracija ...
𝑥 = 1.919y=1.523
Sistem nelinearnih jednačina
Izvodi po x,y
Približne (početne) vrednosti x,y
𝐴 =2𝑥𝑜 2𝑦𝑜6𝑥𝑜 −2
F=6 − 𝑥0
2 − 𝑦02
8 − 3 𝑥02 + 2 (𝑦0)
Priraštaji u 2. iter.
![Page 32: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/32.jpg)
PRIMER – Matrična interpretacija
𝐴 =
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑦𝜕𝐺
𝜕𝑥
𝜕𝐺
𝜕𝑦
𝐴𝑥 = 𝐹 + 𝑣
𝐴 =2𝑥𝑜 2𝑦𝑜6𝑥𝑜 −2
F=6 − 𝑥0
2 − 𝑦02
8 − 3 𝑥02 + 2 (𝑦0)
𝑥 = 𝐀𝐓𝐀−𝟏𝐀𝐓𝐅 =
𝑑𝑥𝑑𝑦
Iterativni postupak- Broj iteracija zavisi od kvaliteta približnih vrednosti
n𝐍−1
𝐍−1 = 𝐐𝑥 =𝑞𝑥𝑥 𝑞𝑥𝑦𝑞𝑦𝑥 𝑞𝑦𝑦
Kofaktorska matrica ocena nepoznatih parametara
Matrica izvoda funkcije po nepoznatimparametrima u blizini približnih vrednosti
Vektor slobodnih članova = mereno - probližno
Ocena priraštaja ili popravaka približnih vrednosti parametara
![Page 33: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/33.jpg)
Kružnica(𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2−𝑟2 = 0
𝜕𝐹
𝜕ℎ= −2 𝑥 − ℎ ,
𝜕𝐹
𝜕𝑘= −2 𝑦 − 𝑘 ,
𝜕𝐹
𝜕𝑟= −2𝑟
𝐴𝑥 = 𝐹 + 𝑣
A=
𝜕𝐹1
𝜕ℎ
𝜕𝐹1
𝜕𝑘
𝜕𝐹1
𝜕𝑟
⋮ ⋱ ⋮𝜕𝐹𝑛
𝜕ℎ
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑘
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑟
𝐹 =0 − (𝑥1 − ℎ0)
2+(𝑦1 − 𝑘0)2−𝑟0
2
…0 − (𝑥𝑛 − ℎ0)
2+(𝑦𝑛 − 𝑘0)2−𝑟0
2
𝑥 =𝑑ℎ𝑑𝑘𝑑𝑟
Tacke x y
1 9.1 5.6
2 6.5 7.2
3 4.2 4.8
h0= 3.0000
ko= 3.0000
r0= 4.0000
h = 6.7363
k = 4.6715
r = 2.5395
Nakon 4 iteracije 5,6
7,2
4,8 4,6715
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
h,k – koordinate centra kružnice, r – poluprečnik kružnice
PRIMER
Približne vrednosti nepoznatih parametara
Ocene parametara
![Page 34: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/34.jpg)
Kružnica – drugi način
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑑𝑥 + 2𝑒𝑦 + 𝑓 = 0
2𝑑𝑥 + 2𝑒𝑦 + 𝑓 = −(𝑥2 + 𝑦2)
A=
𝜕𝐹1
𝜕𝑑
𝜕𝐹1
𝜕𝑒
𝜕𝐹1
𝜕𝑓
⋮ ⋱ ⋮𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑑
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑒
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑓
𝐹 =− 𝑥1
2 + 𝑦12
…− 𝑥𝑛
2 + 𝑦𝑛2 𝑥 =
𝑑𝑒𝑓
A=2𝑥1 2𝑦1 1⋮ ⋱ ⋮
2𝑥𝑛 2𝑦𝑛 1𝑥 = 𝐴𝑇𝐴 −1𝐴𝑇𝐹 =
-6.73629
-4.67147
60.75097
𝑥𝑐 = −𝑑𝑦𝑐 = −𝑒
𝑟 = 𝑑2 + 𝑓2 − 𝑓x y
centar= 6.73629 4.671472
r= 2.539545
Koordinate centra kružnice
Radijus (poluprečnik) kružnice
![Page 35: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/35.jpg)
REŠENJE SISTEMA JEDNAČINA GAUSOVOM ELIMINACIJOM
26826
8253
728
321
321
32
xxx
xxx
xx
728
8253
26826
Kako treća jednačina ima najveći koeficijenat uz x1, jednačine 1 i 3 zemeniće mesta
728
8253
26826
3
321
321
2
xx
xxx
xxx
1. Korak – eliminacija x1Realizacija: Prvu jednačinu ponožiti sa 3/6 i dobijeni proizvod oduzeti od druge jednačine
728
524
26826
3
32
321
2
xx
xx
xxx
728
524
26826
2. Korak – eliminacija x2
Realizacija: Kako je uz x2 najveći koeficijent 8, yamenićemo drugu i treću vrstu a onda pomnožiti drugu sa 4/8 i oduzeti je od treće
524
728
26826
32
3
321
2
xx
xx
xxx
2
33
728
26826
3
3
321
2
x
xx
xxx
3. Korak – Računanje x3, x2 i x1
Rešenje: obrnutim redom, računa se x3, x2 i na kraju x1
2
33
528
26826
482266
1
1278
1
2
1
321
32
3
)xx(x
)x(x
x
Dati sistem jednačuna:
![Page 36: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/36.jpg)
Linearni sistemi: LU faktorizacija, matrična inverzija
bAx
33
2322
131211
3231
21
333231
232221
131211
00
0
1
01
001
826
280
253
u
uu
uuu
mm
m
aaa
aaa
aaa
aA jk
612
21228523
826
280
280
121513
3231
333231
3323321331332232123132113131
232221
2313212322122122112121
131313121212111111
umm
umm
uumumaumumauma
uum
uumauumauma
uuauuauua
211
2
2
1
1
1
1
1
11
1
1
1
k;n,...,kjumau
m
j;n,...,jkumau
n,...,ju
am
n,...,kau
k
s
skjsjk
kk
jk
j
s
skjsjkjk
j
j
jkk
LUA
A kvadratna matrica
Tri modifikacije metode Gausove eliminacije: 1) Doolittle, 2) Crout i 3) Cholesky
L – donja trouglasta matrica, a U – gornja trouglasta matrica
1) Doolittle-ov metod (Crout-ov metod je sličan, U i L menjaju mesta)
1. Računanje elemenata matrica L i U
2. Faktorizacija A=LU
600
280
253
112
010
001
826
280
253
2. Rešenje Ly=b
bLUxAx
Osnovna ideja yUx,bLy
3
7
8
26
7
8
112
010
001
3
2
1
y
y
y
y
3. Rešenje Ux=y
50
1
4
3
7
8
600
280
253
3
2
1
.
x
x
x
x
Opšti izrazi
Napomena: Često je
neophodno zameniti redove matrice A, a time i vektora b što ne utiče na rešenje
jk
jk
uU
mL
![Page 37: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/37.jpg)
Linearni sistemi: LU faktorizacija, matrična inverzija
53783
31754
11
411772
14
12
24
211
2
2
22232
2313333
213132
22
32
2212222
11
3131
11
21211111
1
1
1
1
2
11
1
1
1111
)(llal
)()lla(l
l
lal;l
al
l
al;al
j;n,...,jpllal
l
n,...,jlal
n,...,jl
al
al
j
s
psjspj
jj
pj
j
s
jsjjjj
j
j
1
6
3
5
27
7
500
340
712
5
27
7
155
101
14
537
041
002
00
00
00
83514
5172
1424
15583514
1015172
141424
3
2
1
3
2
1
33
3222
312111
333231
2221
11
321
321
321
x
x
x
x
yxLUxsenjeRe
y
y
y
y
bLysenjeRe
l
ll
lll
lll
ll
l
:RESENJE
xxx
xxx
xxx
T
3) Cholesky-ev metod
Primenjuje se kada je A simetrična pozitivno-definitna matrica (A=AT i xTAx>0 za svako x≠0), tada je U=LT i ujk = mkj . Primenjuje se pri rešavanju sistema Ax=b koji se zasniva na faktorizaciji A=LLT, i naziva se Cholesky-ev metod. Ako je L=[ljk] formule za faktorizaciju glase:
![Page 38: Račun izravnanja – osnovni kurs (B2G1RI)](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012414/616e060c398bc165da6f4b0e/html5/thumbnails/38.jpg)
Pitanja za ponavljanje
1. MNK linearni i nelinearni modeli – ocena nepoznatih parametara
2. MNK rešenje za prostu i opštu aritmetičku sredinu
3. Ocena nepoznatih parametara u modelu prave
4. Ocena nepoznatih parametara u modelu parabole
5. Ocena nepoznatih parametara u modelu kružnice