razón de cambio promedio razón de cambio instantánea (la derivada)
TRANSCRIPT
Razón de Cambio Promedio
Razón de Cambio instantánea
(la derivada)
Razón de Cambio Promedio
La razón de cambio promedio de “y” respecto a “x”, cuando x cambia de x1 a x2 corresponde a la razón de: el cambio en el valor de salida entre el cambio en el valor de entrada:
1212
12 ; xxxxyy
Ejemplo:
Para f(x) = x2, determine la razón de cambio promedio cuando:
a. x cambia de 1 a 3
b. x cambia de 1 a 2
c. x cambia de 2 a 3
Razones de cambio promedio
x x + h
f (x)
f (x+h)
h
Ls
Razones de cambio promedio
La razón promedio de f con respecto a x está dado por:
0,)()(
hdondeh
xfhxf
Ejercicio:
Para f(x) = x2 determine la razón de cambio promedio en cada caso:
a. x = 5 y h = 3
b. x = 5 y h = 0,1
Note que la razón de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta secante (L s) la gráfica de la función. Es decir :
hxfhxf
mLs)()(
Razones de cambio promedio
x x + h
f (x)
f (x+h)
h
Ls
La Derivada
Si tomamos el límite de la razón de cambio promedio cuando “h” tiende a cero, la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente, observemos:
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
h
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0h
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
Tangente!!!
En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0 , y podemos decir que :
h
xfhxfLímmh
LT
)()( 00
0
Este último límite es conocido en el Cálculo Diferencial é Integral como la derivada de la función respecto de la variable x, en x = x0 .
En consecuencia, la derivada de una función es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 .
El valor de la derivada de una función indica la rapidez con que la función está cambiando en un valor específico de x, en x = x0.
entonces,la derivada de una
función en x = x0 es:
hxfhxf
Límh
)()( 00
0
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0
La razón de cambio instantánea de la función en x = x0
Conceptualización de la derivada de una función
Notación de la derivada de una función :
La derivada de una función y = f(x) respecto de la variable x, se denota de las siguientes maneras :
dxdy )(xf y
Ejemplo:
Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones :
a) f(x)=x b) f(x)= x2
Ejemplo
Determine la ecuación de la tangente a la curva y = x2 en el punto donde x = 2.
Técnicas de derivación
Regla de la potencia
¿Cuáles eran las derivadas de las siguientes funciones?
1. f(x) = x
2. f(x) = x2
¿Se puede generalizar?
Regla de la potencia
Ejemplos
1 kk xkyxy
:kreal,númerocualquierPara
Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es ceroEs decir : 0 ycy
Ejemplos
Derivada de una constante por una función:
La derivada de una constante por una función, corresponde a la constante multiplicada por la derivada de la función.
Esto se puede escribir asi :
fcyfcy ..
Ejemplos
Derivada de una suma o diferencia de funciones
La derivada de una suma o diferencia de funciones, es igual a la suma o diferencia de las derivadas de dichas funciones
gfygfy
Ejemplos
Derivada del producto de funciones
gfgfygfy ...
Ejemplos
Derivada del cociente de funciones
Si : 0, ggf
y
Entonces:
2
..g
gfgfy
Ejemplos
Aplicación de la razón de cambio instantánea
Marginalidad
Razón de cambio instantánea
hxfhxf
límxfh
)()()(
0
ainstantánecambiodeRazón:ffuncióncualquierPara
Análisis Marginal
¿Cómo podríamos determinar en forma aproximada el costo de producción de la novena unidad sin tener que hacer una diferencia de costos?
Análisis Marginal
8 9
C(8)
C(9)Creal Caproximado
C(q)
La pendiente de la recta tangente en q = 8 es la derivada del costo total en q = 8
Análisis Marginal
Esta pendiente es numéricamente igual a cociente Caproximado / 1, es decir, al costo aproximado
De los párrafos anteriores se puede deducir que C´(8) = Caproximado unidad 9
Análisis Marginal
A este costo aproximado se le conoce como el costo marginal de producir la novena unidad
En general podemos decir que :
C marginal unidad “n” = C´(n-1)
Análisis Marginal
La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso
La función utilidad marginal es la derivada de la función utilidad
Análisis Marginal