razred 8 - petica+ i svezak

SysPrint

SysPrint

D. Glasnović Gracin • Z. Ćurković • L. Kralj • S. Banić • M. Stepić

Mate

mati

ka 8

petic

a+

1. s

veza

k

prvi svezak

Udžbenik i zbirka zadataka iz matematike za 8. razred

D. Glasnović Gracin, L. Kralj, Z. Ćurković, M. Stepić, S. Banić

Petica+ 8udžbenik i zbirka zadataka za 8. razred osnovne škole

PRVI SVEZAK

1. izdanje

Zagreb, 2010.

Autorice: Dubravka Glasnović Gracin, Lidija Kralj, Zlata Ćurković, Minja Stepić, Sonja Banić

Urednik: Vinkoslav Galešev

Recenzija: Ines Kniewald, Maja Ljubičić

Lektura: Jasmina Han

Ilustracija naslovnice: Ivan Marušić

Ostale ilustracije: Ivan Marušić, Antonija Jelić

Priprema za tisak: Ivana Biluš, Robert Braun, Antonija Jelić, Josip Marić, Tomislav Stanojević

Tisak: Gradska tiskara Osijek

Za nakladnika: Robert Šipek

Nakladnik: SysPrint d.o.o.

XIV. trokut 8a, p.p. 84, 10020 Zagreb, Hrvatska

tel: (01) 655 8740, fax: (01) 655 8741

e-mail: [email protected], web: www.sysprint.hr/udzbenici

© SysPrint d.o.o, Zagreb, 2010.

Nijedan dio ove knjige ili CD-a ne smije se umnožavati, fotokopirati niti na bilo koji način repro-

ducirati bez nakladnikova pismenog dopuštenja

0. Uvodno ponavljanje............................................................................... 6

1. Kvadriranje ..............................................................................................181.1. Kvadriranje racionalnih brojeva ........................................ 191.2. Zbrajanje i oduzimanje matematičkih izraza .................... 261.3. Množenje matematičkih izraza ......................................... 301.4. Kvadriranje matematičkih izraza ....................................... 361.5. Potencije .......................................................................... 451.6. Potencije s bazom 10 ....................................................... 511.7. Ponavljanje ....................................................................... 58

2. Korjenovanje i realni brojevi ...........................................................602.1. Korjenovanje .................................................................... 612.2. Približno računanje korijena ............................................. 672.3. Grafovi funkcija kvadriranja i korjenovanja ....................... 712.4. Realni brojevi ................................................................... 782.5. Računanje s korijenima .................................................... 842.6. Djelomično korjenovanje .................................................. 902.7. Kvadratna jednadžba ........................................................ 972.8. Ponavljanje ..................................................................... 101

3. Pitagorin poučak ................................................................................ 1043.1. Pravokutni trokut ........................................................... 1053.2. Pitagorin poučak ............................................................ 1083.3. Realni brojevi na brojevnom pravcu ................................ 1153.4. Primjena Pitagorina poučka na pravokutnik i kvadrat ..... 1213.5. Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut .............. 1273.6. Primjena Pitagorina poučka na romb i trapez ................. 1353.7. Ponavljanje ..................................................................... 139

Rješenja ................................................................................. 142Kazalo ................................................................................... 157

Sadržaj

Upoznajte likove s kojima ćete se družiti kroz gradivo udžbenika Petica!

Luka je odličan učenik. Iako se kod njega nikad ne zna hoće li imati 4 ili 5, matematika mu je jedan od najdražih predmeta. Kada mu nešto nije jasno, ne

srami se pitati učiteljicu da mu pojasni gradivo.

Matija voli playstation i svoj skateboard mnogo više od matematike. No, pravi je

stručnjak za računala svih vrsta, pa tako i za džepna. Otkad

je učiteljica dozvolila njihovo korištenje, pomaže cijelom

razredu u svladavanju gradiva.

Maja ima sve petice i najbolja je učenica u razredu. Voli

matematiku i redovito piše zadaće. Često se prepire s Lukom

i Matijom oko točnih rješenja zadataka. Naravno, smatra da je

baš ona uvijek u pravu!

Učiteljica na zanimljiv način približava učenicima i najteže gradivo iz matematike. Uvijek je tu ako treba nešto dodatno

objasniti i strpljivo odgovara na njihova brojna pitanja.

Beni je Lukin pas. Voli dobro jelo, voli spavati, ali voli i

prisluškivati kada Luka kod kuće priča o školi. Beni naročito voli matematiku i voli na šaljiv način komentirati matematičke

probleme.

Luka Matija MajaUèitelj ica

Beni

Dragi čitatelji,

pred vama je prvi svezak udžbenika sa zbirkom zadataka iz matematike za 8. razred osnovne škole, koji je u potpunosti usklađen sa stručnim i metodičkim zahtjevima Hrvatskog nacionalnog obrazovnog standarda (HNOS). Uz objedinjeni udžbenik sa zbirkom zadataka i rješenjima, u udžbenički komplet ubraja se još i CD za učenike koji će vam približiti gradivo matematike i učiniti ga zanimljivim, pa i zabavnim.

Gradivo osmog razreda započinje poglavljem o kvadriranju racionalnih brojeva. Kvadriranje brojeva često se koristi u matematičkoj i tehničkoj praksi, povezuje se s geometrijom i površinom kvadrata, te čini osnovu za kompletno gradivo matematike u osmom razredu. Uz neka svojstva funkcije kvadriranja, upoznat ćemo se pobliže i s potencijama s bazom 10. Zatim slijedi korjenovanje i upoznavanje s novim skupom brojeva – iracionalnim brojevima, te sa skupom realnih brojeva. Ova su nam znanja važna za jedan od najpoznatijih školskih matematičkih poučaka – Pitagorin poučak i njegove primjene u geometriji.

Svaki naslov u udžbeniku započinje problemom koji će vas kroz zanimljiv zadatak iz života uvesti u novo gradivo. Zatim slijede riješeni primjeri, putem kojih ćete stjecati nova znanja iz matematike. Znanje ćete utvrditi pomoću raznovrsnih zadataka koji se nalaze iza primjera. Zadaci su složeni po težini od lakših prema težima i obojani odgovarajućim bojama: plavo - lakši zadaci, crno - srednje teški zadaci i narančasto - složeniji zadaci. Ako neku vrstu zadataka poželite još više uvježbati, na CD-u ćete naći dodatne i dopunske zadatke te druge obrazovne materijale i igre vezane uz matematiku.

Kroz gradivo matematike voditi će vas simpatični likovi: Luka, Maja, Matija, učiteljica, Beni i ostali, koji će se, baš kao i vi, uhvatiti u koštac s gradivom matematike. Svojim razgovorima i savjetima olakšat će vam svladavanje početnih teškoća.

Kako bi vaš uspjeh iz matematike bio još bolji, na kraju svake nastavne teme nalaze se pitanja za ponavljanje i uvježbavanje gradiva. U udžbeniku su posebno označeni dijelovi gradiva koji nisu dio obaveznog programa, ali su namijenjeni učenicima koji žele znati više. Osim toga, i drugi dijelovi građe istaknuti su posebnim okvirima. U tablici su dani njihovi opisi i značenja:

Puno uspjeha u radu žele vam autorice udžbenika!

Oblik Značenje

Zadatak 4. Lakši zadatak (redni broj zadatka obojan svijetlo-plavom bojom)

Zadatak 5.Složeniji zadatak i zadaci za nadarene (redni broj zadatka obojan narančastom bojom)

Važan dio gradiva kojeg treba dobro naučiti

Dio teksta za lakše praćenje i pamćenje gradiva

Formula

Gradivo za radoznalce

Ako se u nekom zadatku traži crtanje ili upisivanje rješenja u udžbenik, riješite zadatak u svojoj bilježnici. Udžbenik trebaju koristiti i generacije iza vas.

Uvodno ponavljanje

Koordinatni sustav

Omjeri i proporcije

Omjer dvaju brojeva a bab

: = . Jednakost omjera a : b = c : d naziva se proporcija

ili razmjer i vrijedi a ⋅ d = b ⋅ c

Dvije veličine su međusobno proporcionalne

ako iz povećanja (smanjenja) jedne veličine

slijedi povećanje (smanjenje) druge veličine za

isti faktor.

Količnik dviju proporcionalnih veličina je

stalan. kyx

= ili k = y : x.

Dvije veličine su međusobno obrnuto proporcio

nalne ako iz povećanja (smanjenja) jedne veličine

slijedi smanjenje (povećanje) druge veličine za isti

faktor.

Umnožak dviju obrnuto proporcionalnih veličina je

stalan. k = x ⋅ y.

6

0. Uvodno ponavljanje

Koordinatni sustav na pravcu Pravokutni koordinatni sustav

Kvadranti

II. kvadrant(-,+)

III. kvadrant(-,-)

I. kvadrant(+,+)

IV. kvadrant(+,-)

x

y

O E

0 1

Točka na x osi

Točka na y - osi

y

x

T(x,0)

x

yV(0,y)

os yos ordinata

os xos apscisa

E1

E2

O

7

0 . U v o d n o p o n a v l j a n j e

Postotni i kamatni računPostotak označava omjer nekog broja

naprema 100.Jednostavni kamatni račun

Postotni iznos - y

Postotak - p %

Osnovna vrijednost - x.

y = p % ∙ x

kamate - k

glavnica - g

kamatna stopa - s

vrijeme (godine) - v

k = g•s•v

Osnove statistike i vjerojatnosti

Stupčasti dijagramgrafički prikaz koji se sastoji od niza pravokutnika jednakih širina, a visina mu odgovara različitim vrijednostima promatranog obilježja.

Frekvencijabroj koji nam kazuje koliko puta se ta vrijednost pojavila u nekom skupu.

Relativne frekvencijeračunamo tako da svaku frekvenciju podijelimo s ukupnim brojem pojavljivanja u nekom skupu. Zbroj svih relativnih frekvencija nekog skupa uvijek mora biti 1.

Aritmetička sredina n brojeva x = x x x x x

nn1 2 3 4+ + + ++ ...

.

Vjerojatnost nekog događaja A P(A) = broj povoljnih elementarnih događajaukupan broj elementarniih doga ajađ

.

Sličnost trokuta

aa

bb

cc

k' ' '

= = = , o

ok1 = ,

P

Pk k1 = ⋅

A B

C

ab

c

α β

γ

7

A B

C

A’

B’

C’

b

c

a’

b’

c’α

α’

β’

γ

γ’

8


Poučci o sličnosti trokuta

1. Poučak o sličnosti trokuta:

stranica – stranica – stranica

(SSS)

Ako su omjeri duljina svih triju

stranica jednaki, onda su ti

trokuti slični.


stranica – kut – stranica (SKS)

Ako je jedan unutarnji kut jednog

trokuta jednak po veličini kutu

drugog trokuta i ako su omjeri

duljina stranica uz taj kut jednaki,

onda su ti trokuti slični.


kut – kut (KK)

Ako su dva unutarnja kuta jednog

trokuta jednaka po veličini dvama

kutovima drugog trokuta, onda

su ti trokuti slični.

Talesov poučak o proporcionalnim dužinama:

A A’

B

B’

O

pq

b

a

OA OA OB OB AB A B i OA AA OB BB: : : : :' ' ' ' ' '= = =

Mnogokuti

Iz jednog vrha

mnogokuta s n

vrhova može se

nacrtati d = n – 3

dijagonala.

Mnogokut s n

vrhova ukupno

ima Dn n

n = ⋅ −( )32

dijagonala.

Zbroj veličina svih unutarnjih

kutova n-terokuta računamo po

formuli

K nn = − ⋅ °( )2 180

Zbroj veličina svih

vanjskih kutova

n-terokuta je 360°.

Pravilni mnogokuti

karakterističnitrokut

veličina unutrašnjeg kuta

veličina sred. kuta

površina opseg

αn

nnn

K

n=

−=

( )2 •180βn n

=360

P na= ⋅ ⋅ r

2

r je polumjer

upisane kružnice,

odnosno visina

karakterističnog

trokuta

O n a= ⋅

A

G

F

ED

C

Ba g

f

e

d

c

b

a’b’

c’

ab

c

γγ’ab a’

b’βα α’

p

a

S

αn—2αn—2

A1 A2

rr

βn

9


Površina i opseg trokuta i četverokuta

pravokutni trokut

O a b c= + +

Pa b= ⋅

2

Pc vc=

⋅2

trokut

O a b c= + +

Pa v b v c va b c=

⋅=

⋅=

⋅2 2 2

jednakostraničan trokut

O a= 3

Pa va=

⋅2

kvadrat

O a

P a a a

=

= ⋅ =

42

Pd d d= ⋅ =

2 2

2

pravokutnik

O a b a b

P a b

= + = += ⋅

2 2 2( )

paralelogram

O a b a b

P a v b va b

= + = += ⋅ = ⋅

2 2 2( )

romb

O a

P a ve f

=

= ⋅ = ⋅4

2

trapez

O a b c d= + + +

sa c= +

2 ,

P s va c

v= ⋅ = + ⋅( )2

deltoid

O a b a b

Pe f

= + = +

= ⋅2 2 2

2

( )

AC

B

a

c

b

α

β

A

B

C

D

a

a b

b

e2

e2

f

A

CB a

c b

α

β γ

vcvb va

A

C

B

a

αva

a

α

αa

A

C

B

a

a

D

d d

A

C

B

D

a

b

A

C

B

D

a

bα β

vbva

A

C

B

D

a

va a

A

C

B

D

ef

a

a

A

C

B

D

a

bα βvd

γδc

s

10


Krug i kružnicakrug kružni isječak duljina kružnog luka

P = r2π

O = 2r πP r= ⋅

°2

360α . l

r=

πα180º

Poučak o središnjem i obodnom kutu:

Ako se središnji i obodni kut nalaze nad istim

kružnim lukom, onda je središnji kut dvostruko

veći od obodnog kuta.

Talesov poučak:

Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je

pravi kut.

S

promjer

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Rješenje sustava (x, y)

Metoda supstitucije ili zamjene je način

rješavanja sustava u kojem jednu nepoznanicu

zamjenjujemo nekim izrazom.

Metoda suprotnih koeficijenata zasniva se na

činjenici da je zbroj suprotnih brojeva jednak 0.

Ar

S

αr r

l

αr

r

2α

S

α

Linearna funkcija f (x) = a•x + b

Graf Graf linearne funkcije u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini je pravac

TokLinearna funkcija kojoj je koeficijent smjera pozitivan, a > 0 je rastuća funkcija.

Linearna funkcija kojoj je koeficijent smjera negativan, a < 0 je padajuća funkcija.

Sjecište s

koordinatnim

osima

Nultočku linearne funkcije određujemo rješavanjem linearne jednadžbe ax b+ = 0 .

Sjecište s osi apscisa – nultočka Nba

−

,0 .

Sjecište s osi ordinata A(0, b).

Grafičko

rješavanje

sustava dviju

jednadžbi

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice može:

o imati jedno rješenje - sjecište pravaca određenih tim jednadžbama

o nemati rješenja - dva usporedna pravca određena tim jednadžbama

o imati beskonačno mnogo rješenja - isti pravac je određen tim jednadžbama

Jednadžba

pravca

Eksplicitna jednadžba pravca je y ax b= +

Pravci su usporedni ako imaju jednake koeficijente smjera.

Pravac x = broj usporedan je s y osi.

Pravac y = broj usporedan je s x osi.

Z a d a c i1. Organiziraj koordinatni sustav na pravcu, ucrtaj

točke, te odgonetni riječ:

a) R B A I( ), ( . ), ( ), ( )− −103

1 12 215

17

;

b) R A G D( . ), ( ), ( . ), ( )− −0 3116

3 42 234

;

c) A Ž R U( . ), ( . ), ( ), ( )2 4 0 15135

116

− − − .

2. Kojim su brojevima pridružene točke A, B, C i D

sa slika?

AO E DCB

0 1

3. a) Nađi sve uređene parove kojima je prvi član

prost broj veći od 3 i manji od 10, a drugi član

je višekratnik broja 3 manji od 10.

b) Kakve koordinate mogu imati točke koje su

jednako udaljene od obje koordinatne osi?

4. U koordinatnoj ravnini istakni točke A(–3, 0),

B(4, –2), C(0, 1), D(–2, –2). Napiši kojem kvad-

rantu ili koordinatnoj osi pripada koja točka.

5. U koordinatnoj ravnini istakni točke

A B C D( , ), ( , ), ( , ), ( , ).12

2 3323

034

212

145

− − −

6. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s vrhovima

A(–3, –2), B(0, –4), C(3, 4). Kojoj vrsti pripada

taj trokut obzirom na duljine stranica? Nađi

njegovu osnosimetričnu sliku obzirom na os y.

7. U koordinatnoj ravnini nacrtaj četverokut s

vrhovima A B C D( , . ), ( , ), ( , ), ( , )−11 5 012

132

0 212

.

Kako se zove taj četverokut? Nađi njegovu

osnosimetričnu sliku obzirom na os x.

8. Izračunaj x u omjeru

a) 16 : 2.5 = x;

b) 34 : x = 2;

c) x : 12

= 6.

11


12


9. Pojednostavni omjere:

a) 10.5 : 7; b) 49

: 76

; c) 3.5 : 72

.

10. Izračunaj nepoznati član proporcije:

a) –2 : x = 4 : (–3);

b) x : 6 = (x + 2) : 3.

11. Najkraća udaljenost od grada A do

grada B na karti je 12 cm. Kolika je ta

udaljenost u km, ako je karta izrađena u

mjerilu 1 : 1 000 000?

12. Dva radnika, Damir i Josip, radili su zajedno

jedan posao. Damir je radio 12 dana, a Josip 15

dana. Zajedno su zaradili 1350 kn. Kako će ih

pravedno podijeliti?

13. Izračunaj kutove trokuta koji se odnose kao

7 : 3 : 8.

14. Dok se zupčanik A okrene 3 puta, zupčanik B će

se okrenuti 7 puta.

Ako je zupčanik A napravio 12 okreta koliko ih

je napravio zupčanik B?

Ako je zupčanik B napravio 84 okreta koliko ih

je napravio zupčanik A?

15. Smreka visoka 16 m baca sjenu dugačku 12 dm.

Koliko je visoka breza koja baca u isto vrijeme

sjenu dugu 0.9 m.

16. Izračunaj x iz proporcije:

(7 + x) : 6 = (x + 13

) : 4

17. Za 23.40 kn može se kupiti 9 kg šećera. Koliko

se šećera može kupiti za 39 kn?

18. 35 učenika posadi cvijeće u školskom dvorištu

za 6 sati. Koliko bi učenika trebalo raditi da bi

cvijeće bilo posađeno za 5 sati (pretpostavimo

da svi učenici rade jednako brzo)?

19. Postaviti ogradu oko manjeg dvorišta može

Mate za 15 sati, a Goran za 25 sati ako rade

svaki za sebe. Za koliko bi sati zajedno postavili

ogradu oko tog dvorišta?

20. Električna grijalica za 2 sata i 20 min potroši

2.1 kW struje. Koliko će potrošiti za 5.5 sati?

21. Majka pegla rublje 4 sata. Koliko bi ranije bila

gotova da joj pomognu sin i dvije kćeri?

22. 18 radnika 20 dana grade tunel. Za koliko bi se

dana skratio taj posao ako nakon 5 dana dođu

još 2 radnika?

23. Za 62 l vina potrebno je 93 kg grožđa. Koliko

grožđa je potrebno za 472 l vina?

24. Luka je za 15.50 kn kupio 40 dag oraha.

a) Koliko oraha može kupiti za 24.80 kn?

b) Ako želi kupiti 120 dag oraha koliko će to

platiti?

25. Sat u toku 12 sati kasni 3 min i 20 sek. Koliko

će kasniti u 9 dana?

26. 6 radnika očisti dno jezera za 30 dana. Koliko

bi radnika trebalo raditi, pa da dno jezera bude

očišćeno za 18 dana?(pretpostavimo da svi

radnici imaju isti učinak)

27. a) Kilogram krušaka prodaje se za 4.5 kn.

Nacrtaj tablicu i izračunaj koliko treba platiti

0, 1, 2 i 3 kg tih krušaka. Nacrtaj grafički

prikaz.

b) Kilogram krumpira prodaje se za 1.2 kn.

Nacrtaj tablicu i izračunaj koliko treba platiti

0, 2, 4 i 6 kg tih krumpira. Nacrtaj grafički

prikaz.

28. Odredi koliko je 5 % od 12346.

29. Odredi broj od kojeg 12 % iznosi 187.2.

30. Breskve koštaju 86 kn. Koliko će koštati nakon

pojeftinjenja od 14 % ?

31. Jagode koštaju nakon poskupljenja od 9 % 109

kn. Koliko su koštale prije?

32. Koliko je posto 54 od 90?

13


33. Stranica kvadrata je 24 cm. Ako stranicu

umanjimo za 25 %, za koliko posto će se

umanjiti opseg i površina kvadrata?

34. Prepiši, pa dopuni tablicu:

glavnica 4000 eura 5000 kn 9000 kn

kamatna stopa

5.2 % 1.7 % 4.4 %

vrijeme 7 g 3 g 2 g

kamate 510 kn 1539 kn 704 eura

35. U banku je uloženo 7200 kn. Uz koliku

kamatnu stopu će se za 40 mjeseci dobiti

1440 kn kamata ako se radi o jednostavnom

ukamaćivanju?

36. Koliku svotu treba vratiti klijent banke

koji želi kredit od 800000 kn po kamatnoj

stopi 4.5 %, ako je vrijeme otplate kredita

250 mjeseci? Kolika je mjesečna rata tog

klijenta (jednostavni kamatni račun)?

37. Koliko vremena treba da bi oročena štednja od

7000 kn narasla na 7700 kn, ako je kamatna

stopa na tu štednju 2.5 % (jednostavni kamatni

račun)?

38. Maja je dobila 1620 kn kamata. Koliko je

uložila ako je štedjela 5 godina po

kamatnoj stopi 3.6 % (jednostavni kamatni

račun)?

39. Završne ocjene 7b razreda na kraju prvog

polugodišta iz matematike su 4, 5, 5, 4, 3, 3,

3, 2, 2, 4, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 3, 5, 5, 4,

3, 5:

a) Nacrtaj stupčasti dijagram frekvencija;

b) Izračunaj relativne frekvencije i nacrtaj

stupčasti dijagram za njih;

c) Zapiši relativne frekvencije u obliku

postotka;

d) Izračunaj srednju ocjenu tog razreda iz

matematike

40. 15 učenika se natječe u skoku u vis. Rezultati

su im sljedeći: 1.5m, 1.44 m, 1.35 m, 1.44 m,

1.35 m, 1.5 m, 1.48 m, 1.48 m, 1.44 m, 1.35 m,

1.44 m, 1.48 m, 1.44 m, 1.48 m, 1.35 m

a) Nacrtaj kružni dijagram frekvencija;

b) Izračunaj relativne frekvencije i nacrtaj stupčasti

dijagram za njih.

41. Prikaži podatke o temperaturama zraka u obliku

linijskog dijagrama:

Srednja temperatura zraka u Ogulinu(°C)

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

–12 –11 –9 –4 3 11 21 28 28 18 1 –8

a) Izračunaj srednju temperaturu za tu godinu.

b) Koji mjesec je temperatura najniža, koji

najviša, a koji najbliža srednjoj?

c) Kolika je razlika u temperaturi najtoplijeg i

najhladnijeg mjeseca te godine?

42. Napravi histogram frekvencija i relativnih frek-

vencija za rezultate ispita znanja (od ukupno

24 boda) u 7.a razredu s postignutim bodovima

0, 2, 7, 7, 8, 10, 11, 11, 15, 16, 16, 16, 18, 18,

20, 20, 20, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 24:

a) Izračunaj aritmetičku sredinu tih podataka.

b) Izračunaj postotak riješenosti ispita.

43. Sedmi razred je na sistematskom pregledu.

Svi se moraju izvagati. Svrstaj težinu učenika

u histogram frekvencija, i relativnih

frekvencija, i nađi aritmetičku sredinu tih

podataka. Izmjerene težine u kg su slijedeće:

55, 49, 60, 61, 45, 59, 69, 49, 56, 55, 57, 49,

55, 67, 64, 63, 66, 61, 66, 50, 56, 56, 49,

60, 68. Relativne frekvencije prikaži u obliku

postotka.

44. U posudi se nalazi 10 plavih kuglica, 10 zelenih,

4 zlatne i 1 bijela. Ana i Luka se igraju tako da

naizmjenice izvlače po jednu kuglicu i vraćaju

je natrag u kutiju. Promatramo koja je kuglica

izvučena u bilo kojem izvlačenju. Koliko ima

elementarnih događaja?

14


Odredi vjerojatnost da je izvučena:

a) plava kuglica;

b) bijela kuglica;

c) zelena kuglica;

d) zlatna kuglica.

45. U šeširu se nalazi šesnaest kuglica, označenih

brojevima od 1 do 16. Igrači izvlače po jednu

kuglicu i vrate ju natrag u šešir.

a) Kolika je vjerojatnost da je igrač izvukao

paran broj?

b) Kolika je vjerojatnost da je izvukao prosti

broj?

c) Kolika je vjerojatnost da je izvučeni broj

dvoznamenkast?

d) Kolika je vjerojatnost da je izvučeni broj

višekratnik broja 5?

e) Kolika je vjerojatnost da je izvučeni broj

djelitelj broja 36?

46. U posudi se nalazi 150 kuglica. Od toga je 40%

žutih, 12% bijelih, 2% crvenih, 24% plavih, a

ostale su zelene. Igrač izvlači jednu kuglicu.

a) Koliko ima kojih kuglica?

b) Kolika je vjerojatnost da je izvučena žuta

kuglica?

c) Kolika je vjerojatnost da je izvučena bijela ili

crvena kuglica?

d) Kolika je vjerojatnost da je izvučena

jednobojna kuglica?

e) Kolika je vjerojatnost da je izvučena crna

kuglica?

47. Ana baca kockicu iz igre “Čovječe ne ljuti se”.

a) Kolika je vjerojatnost da je pao broj manji

od 3?

b) Kolika je vjerojatnost da je pao broj veći ili

jednak 3?

48. Maja se igra bacajući istovremeno dvije kockice,

crvenu i crnu. Odredi vjerojatnosti da na

kockicama padnu brojevi:

a) 2 i 3 ili 3 i 2;

b) čiji je zbroj 11;

c) čiji zbroj je 8;

d) čiji zbroj je manji od 10;

e) čiji zbroj je veći ili jednak 10;

f) koji nisu jednaki.

49. Izračunaj nepoznatu duljinu dužine sa skice (sve

mjere su izražene istom mjernom jedinicom).

a)

b)

c)

d)

7

x

1136

b)

20

4

5

x

a)

21

6

x

14

c)

2 3

5

4

x

y

d)

15


50. Nacrtaj dužinu AB duljine 10 cm. Na toj dužini

konstruiraj točku C tako da vrijedi:

AC CB: := 3 4

51. Konstruiraj trokut opsega 15 cm tako da mu se

duljine stranica odnose kao 1 : 2 : 3.

52. Trokuti i su slični. Izračunaj

nepoznate duljine stranica ako je:

a) a = 1.2 cm, b’ = 4.6 cm, c = 4.2 cm i

a : a’ = 1 : 2;

b) a’ = 28 mm, b = 25 mm, c’ = 16 mm i

c = 2 cm;

c) bb' = 5

3 i b’ = 2.5 cm, a = 2.4 cm,

c’ = 3.5 cm.

53. Sjena bora duga je 5.1 m. U isto vrijeme sjena

štapa duga je 1.7 m. Koliko je visok bor ako je

duljina štapa je 2 m?

54. Koliko najviše dijagonala možeš nacrtati iz

jednog vrha osamnaesterokuta.

55. Koliko kutova ima n-terokut ako znaš da se iz

jednog njegovog vrha može nacrtati najviše

17 dijagonala?

56. Koliko ukupno dijagonala možeš nacrtati

mnogokutu koji ima 24 stranice?

57. Postoji li mnogokut koji ima 20 dijagonala?

58. Koliki je zbroj svih unutarnjih kutova u

dvadeseterokutu?

59. Koliko vrhova, stranica i kutova ima mnogokut

kojemu je zbroj svih unutarnjih kutova

a) 4140°;

b) 7560°.

60. Kojem mnogokutu je zbroj veličina vanjskih

kutova osamnaest puta veći od broja njegovih

vrhova?

61. Površina stola je u obliku mnogokuta. Koliko

stranica ima površina stola ako zbroj svih

njegovih unutarnjih kutova iznosi dvadeset dva

prava kuta?

62. Izračunaj veličinu unutrašnjeg kuta pravilnog

12-kuta.

63. Kolika je duljina stranice pravilnog mnogokuta

opsega 37.5 cm, i veličine unutrašnjeg kuta

156°?

64. Koliko vrhova ima pravilni mnogokut veličine

središnjeg kuta 20°?

65. Konstruiraj pravilni osmerokut upisan u

kružnicu polumjera r = 5 cm.

66. Konstruiraj pravilni dvanaesterokut, duljine

stranice a = 2 cm.

67. Konstruiraj kvadrat opsega 16 cm.

68. Vrt u nekoj školi je oblika pravilnog

osmerokuta. Oko njega treba zasaditi ruže.

Ako je stranica osmerokuta 3.6 m, a svaku ružu

treba zasaditi na razmaku od 30 cm, koliko

ruža treba kupiti?

69. Lukin djed želi oko drveta u vrtu složiti klupu u

obliku šesterokuta, kao na slici. Koliko je drveta

potrebno za tu klupu? Napomena: pogledaj od

kojih dijelova je sastavljena ta šesterokutna

klupa.

17.3 cm

50

cm

30

cm

16


70. Nacrtaj kružnice k(A, 2.3 cm) i k(B, 3.5 cm) tako

da se one:

a) sijeku;

b) dodiruju;

c) niti sijeku niti dodiruju.

Koliko im moraju biti udaljena središta tako da

se one neće sjeći ni dodirivati?

71. Nacrtaj trokut i konstruiraj mu opisanu

kružnicu. U kakvom su položaju pravci, na

kojima leže stranice trokuta, u odnosu na tu

kružnicu ?

72. Koliki je pripadni obodni kut ako je

središnji 252°?

73. Koliki je pripadni središnji kut ako je

obodni 42°?

74. Konstruiraj pomoću Talesovog poučka

pravokutan trokut kojem je:

a) Hipotenuza duga 3.4 cm, a jedna kateta

2.1 cm;

b) Hipotenuza duga 5.3 cm, a jedan kut

iznosi 40°.

75. Konstruiraj kružnicu promjera 67 mm i istakni

jednu točku na kružnici. Konstruiraj tangentu iz

te točke na kružnicu.

76. Promjer kotača bicikla je 64 cm. Koliki put

prijeđe bicikl kada se kotač okrene 255 puta?

77. Polumjer kružnice iznosi 2.4 cm. Izračunaj

duljinu kružnog luka kojem pripada središnji

kut veličine 60°.

78. Kolika je površina poprečnog presjeka cijevi ako

je njen promjer 8.5 cm?

79. Kolika će biti površina poprečnog presjeka

balvana ako je njegov opseg 28.26 dm?

80. Polumjer kružnice iznosi 2.3 cm. Kolika je

površina kružnog isječka kojem pripada

središnji kut veličine 40°.

81. Provjeri je li zadani uređeni par (3, –2) rješenje

sustava:

2x + 3y = 0

–3x + 4y = 2.

82. Riješi sustave metodom supstitucije:

a) 2x + y = 4

–x – y = – 3.5

b) 3x + 2y = 5

–7x + 3y = –4

83. Riješi sustave metodom suprotnih

koeficijenata:

a) 4x + 3y = 2

3x – 6y = 18

b) –2x – 7y = –21

3x + 2y = 6

84. Riješi sustave:

a) 12

0x y+ =

2.4x – 3y = 7.8

b) 23

12

3x y+ =

13

32

2x y− = −

c) 3(x +1) –2y = 6x + 2

2x – 2(y –2) = –4y + 2

d) x y+ − − =3

21

32

2 1

32

2156

x y− + + =

85. Na igralištu je sedmerostruko više dječaka nego

djevojčica. Koliko je dječaka, a koliko djevojčica

na tom igralištu, ako je ukupno 64 djece na

igralištu?

86. Opseg pravokutnika je 16.4 cm. Duljina

jedne stranice je za 0.8 cm veća od

duljine druge stranice. Kolike su

duljine stranica? Kolika je površina tog

pravokutnika?

17


87. Tijekom ljeta Ana je radila šest puta više dana

nego Luka. Ukupno su radili 49 dana. Koliko

dana je radio svatko od njih?

88. Zbroj znamenki dvoznamenkastog broja jednak

je 13. Ako znamenke zamijene mjesta dobiva se

broj veći za 9. Koji je to broj?

89. Omjer dva broja je 5 : 6. Ako prvi uvećamo za 5,

a drugi umanjimo za 8, dobit ćemo vrijednost

omjera 2. Koji su to brojevi?

90. 2.4 kg krušaka i 3.2 kg banana treba platiti

38.4 kn. 5.1 kg krušaka i 2.7 kg banana

treba platiti 69.3 kn. Kolika je cijena jednog

kilograma krušaka, a kolika jednog kilograma

banana?

91. Koliko treba uzeti 22-postotnog srebra, a koliko

34-postotnog srebra da bi se dobilo 150 grama

30-postotnog srebra?

92. Da bi se dobilo neku slitinu treba miješati dva

metala u omjeru 8 : 3. Koliko kojeg metala

treba za 165 dag te slitine?

93. Nacrtaj grafove linearnih funkcija:

a) f(x) = 2x + 1;

b) f(x) = 12

3x − .

94. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije

f x( ) = 34

1x − :

A(4, 2), B(–4, 4), C(12

, 58

), D( − 23

,–1.5).

95. Prepiši, pa ispuni tablicu:

jednadžba

pravcaa b

rast

ili pad

sjecište s osi

ordinata

nul

točka

y = 3x + 5

y = -7x – 11

y = –4.6x + 1.5

y x= +34

2 6.

96. Nacrtaj pravce x = –6 ; y = –4.

97. Sustave riješi grafički

a) y = 2x –3

y = –1x + 3;

b) 3x – y = –4

2x + 5y = 3.

98. Napiši jednadžbe i ucrtaj u pravokutnom

koordinatnom sustavu tri pravca koji su

usporedni sa zadanim pravcem y = − +12

1x .

99. Taksist Marko naplaćuje start 20 kn plus

6.5 kn po prijeđenom kilometru. A taksist Jura

start naplaćuje 40 kn plus 5 kn po prijeđenom

kilometru.

a) S kojim taksistom se povoljnije voziti 20 km,

a s kojim 5 km?

b) Koliko bi uštedjeli ako za put duljine 15 km

odaberemo povoljnijeg taksistu? A za put od

45 km?

1818

1 . Kvadriranje

Stari su Grci umnožak a • a shvaćali kao površinu kvadrata sa stranicom a.

Kvadrirati neki broj – to je za njih značilo izračunati površinu kvadrata koji ima

stranicu duljine a. To je razlog povezivanja imena kvadrata i kvadriranja broja.

I naziv kvadriranje potječe od latinske riječi quadratum, što znači kvadrat.

1 cm2 = 100 mm2

Na sličan su način stari Grci umnožak a • a • a shvaćali kao obujam (volumen)

kocke s bridom a. Kocka se na grčkom nazivala kubos pa otuda potječe naziv

kubiranje. Kubirati neki broj – to je za njih značilo izračunati volumen kocke koja

ima brid duljine a. To je razlog povezivanja imena kocke (kubosa) i kubiranja broja.

1 cm3 = 1000 mm3

1 mm1 mm1cm2

1 cm

1 cm

1cm3

1 cm1 cm

1 cm

Važni pojmovi

kvadriranje

kvadrat broja

kvadratne mjerne jedinice

kvadratna funkcija

parabola

kvadrat umnoška i količnika

kvadrat zbroja i razlike

razlika kvadrata

potencija

baza potencije

eksponent potencije

potencije broja 10

znanstveni zapis

možda j e rj e-šenj e u knj izi . . .

heureka!

19

K v a d r i r a n j e

U ovom ćeš poglavlju, primjerice, naučiti:

- Kako kvadrirati racionalne brojeve;

- Što zapravo znači ona mala dvojka u mjernim jedinicama cm2, dm2 itd.;

- Što je parabola i gdje je susrećemo;

- Što je potencija;

- Kako znanstvenici zapisuju vrlo velike i vrlo male brojeve.

Kratki zadaci za ponavljanje

1. Nabroji neke dekadske jedinice.

2. Što je zajedničko brojevima 1, 4, 9, 16, 25,

36, 49, ...?

3. Nastavi niz iz prethodnog zadatka!

4. Koja je razlika i koja je sličnost između

mjernih jedinica: cm, cm2 i cm3?

5. Nastavi niz: 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...

6. Nastavi niz: 3, 9, 27, 81, ...

7. Nastavi niz: 1, 8, 27, 64, 125, ...

1.1. Kvadriranje racionalnih brojeva

Uoči vezu!

Prepiši tablicu pa je popuni odgovarajućim brojevima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 4 9 16 25 169 225

Množenje broja sa samim sobom nazivamo kvadriranjem.

Tako množenje 7 • 7 = 49 kraće zapisujemo

72 = 49

i čitamo: “7 na kvadrat jednako je 49”. Isto tako je

42 = 4 • 4 = 16

202 = 20 • 20 = 400

(–6)2 = –6 • (–6) = 36

1.52 = 1.5 • 1.5 = 2.25

Kvadrirati neki broj znači pomnožiti ga sa samim sobom.

a2 = a • a (čitamo: “a na kvadrat”)

kvadriranje

Zapis a2 možemo čitati na još nekoliko načina: “a na kvadrat” ili “a na drugu” ili

“kvadrat broja a”. Tako je 49 kvadrat broja 7 jer je 72 = 49.

25 je kvadrat broja 5 jer je 52 = 25 itd.

20

1 . 1 . K v a d r i r a n j e r a c i o n a l n i h b r o j e v a

Primjer 1. Kvadriranje racionalnih brojevaIzračunaj, a zatim pročitaj cijeli izraz s

rješenjem:

a) 92; b) 2.12; c) (–2.1)2; d) 49

2

; e) −

3

15

2

.

Rješenje:a) Znamo da kvadrirati znači pomnožiti zadani

broj sa samim sobom pa je 92 = 9 • 9 = 81.

Zato je 92 = 81 i čitamo: “9 na kvadrat jednako

je 81”.

b) 2.12 = 2.1 • 2.1 = 4.41. Kvadriranje

decimalnog broja se svodi na množenje

decimalnih brojeva.

c) (–2.1)2 = (–2.1) • (–2.1) = 4.41. Kako je

umnožak dvaju negativnih brojeva pozitivan

broj, zaključujemo da je kvadrat negativnog

broja uvijek pozitivan broj.

Promotrimo još jednom zadatke b) i c). Brojevi

koje treba kvadrirati su 2.1 i –2.1. To su suprotni

brojevi. Oni imaju jednake kvadrate

jer je 2.12= 4.41 i (–2.1)2= 4.41.

To vrijedi za svaka dva suprotna broja a i –a jer je (–a)2 = –a •(–a) = a2.

Stoga kažemo da suprotni brojevi imaju jednake kvadrate.

d) 49

49

49

1681

2

= ⋅ = . Prisjetimo se, dva razlomka

množimo tako da im pomnožimo brojnik s

brojnikom te nazivnik s nazivnikom.

Primjećujemo da je 49

49

49

4

9

2 2

2

= ⋅ = . Stoga kod

kvadriranja razlomka kvadriramo njegov

brojnik i njegov nazivnik ab

a

b

=2 2

2 . O ovom

svojstvu kvadriranja još ćemo govoriti kasnije,

a sada će nam dobro doći za brzo kvadriranje

razlomaka.

e) Treba kvadrirati mješovit broj. Njega ćemo

prvo pretvoriti u razlomak, a onda kvadrirati

postupkom kao u zadatku d):

−

= −

= − ⋅ −

=3

15

165

165

165

25625

2 2

.

Kvadrat negativnog broja uvijek je

pozitivan broj.

Suprotni brojevi imaju jednake kvadrate.

(–a)2 = a2

Primjer 2. Pripazi na zagrade!U svakom zadatku prikazana su dva kvadriranja.

U čemu je njihova sličnost, a u čemu razlika?

a) 47

2

=

47

2=

b) (–4)2 = –42 =

Jesu li rezultati u pojedinom zadatku jednaki?

A zašto se a2 èi ta baš “a na kvadrat”? Kakve veze

kvadrat ima s tim?

Formula za površinu kvadrata

j e P = a2

Star i su Grci uv ij ek a2 shvaæali kao površinu

kvadrata sa stran icom a. To j e razlog povezivanj a

naziva kvadrat i kvadr iranj e broj a.

21


Rješenje:a) Jedan razlomak nalazi se u zagradi, a drugi

ne. To znači da kod 47

2

kvadriramo cijeli ra-

zlomak 47

47

47

2

= ⋅ = 16

49.

U zadatku 47

2

izostavljene su zagrade. To

znači da se ne kvadrira cijeli razlomak, nego

samo brojnik 4. Rezultati nisu jednaki jer je

47

4 47

2= ⋅ = 16

7.

b) Znamo da je (–4)2 = 16.

Pitamo se koliko iznosi –42.

Taj je izraz zapravo skraćen

zapis od −( )42 . To znači da se

kvadrira samo broj 4, a zatim

se traži suprotan broj od do-

bivenog kvadrata 16. Rezul-

tat je stoga –16.

–42 = –(42) = –16 = –16.

Z a d a c i1. Izračunaj: a) 92, 12, 102, 32, 82; b) (–1)2, (–9)2, (–3)2, (–6)2, (–2)2.

2. Izračunaj: a) 4.12, (–1.6)2, 0.92, 3.02, (–8.5)2;

b) (–1.11)2, 29.072, 0.352, (–0.709)2, (–2.006)2.

3. Izračunaj:

a) 29

2

,

17

2

,

410

2

,

87

2

,

65

2

;

b) −

27

2

, 45

2

−

, −

111

2

, −−

109

2

, − −−

43

2

.

4. Izračunaj:

a) 123

2

, 5

13

2

, 2

410

2

, 1

12

2

, 4

45

2

;

5. Koja je razlika između zadanih kvadriranja? Izračunaj ih.

a)

13

2

,

13

2; b)

25

2

,

25

2; c) (–4.2)2, –4.22;

d) –252, (–25)2.

6. Izračunaj:

a) 42, –62, (–5)2, –3.22, 75

2, 02;

b) (–0.3)2, −

112

2

, (–7.44)2, 652, 12

2

.

7. Izračunaj:

a) 113

2

−

; b)

112

12

+

; c)

32

112

2

+

;

8. Prepiši u bilježnicu pa popuni tablicu:

9. Izračunaj

a) 22; (-2)2; -22; b) -42; (-4)2; 42;

c) 2 2 2

2

3 3 3 3; ; ; ;

8 8 8 8

− d)

2 2 2

2

5 5 5 5; ; ; ;

6 6 66

−

10. Izračunaj:

a) 12 + 22-22 -(-1)2= b) (-5)2 + 32-22 -(-2)2=

c) -52-(-5)2= d) -52+(-5)2= e) (-5)2-(-52)=

f) c) 52 - 52= g) -( -5)2-(-5)2=

b)

−

4

67

2

, 23

10

2

, −

3

59

2

, 119

2

, −

9

78

2

.

a 0 1 –1 1.5 –1.5 2 –2

a2

d) 312

2

−

; e) 5

45

2

−

kvadriranjex2

Kvadriranje na džepnom računalu

I. način - pomoću tipke za množenje

Da biste izračunali koliko je 82, pritisnite:

1. Tipku s brojem

2. Tipku za množenje

3. Tipku s brojem

4. Za prikaz rezultata pritisnite tipku

5. Na zaslonu će se prikazati rezultat 64.

II. način - pomoću tipke za kvadriranje

Da biste izračunali koliko je 82 pritisnite:

1. Tipku s brojem

2. Tipku za kvadriranje

3. Za prikaz rezultata pritisnite tipku

4. Na zaslonu će se prikazati rezultat 64.

8

ENTER=x2

8

8

ENTER=

8

Ne zaboravi stavi t i zagrade kad kva-

dr iraš razlomak il i negativan broj!


11. Neka su kvadriranja točna, a neka nisu. Gdje

treba staviti zagradu kako bi sva kvadriranja

bila točna?

a) 35

925

2= ; b)

74

494

2= ; c)

96

8136

2= ;

d) 15

15

2= ; e)

71

491

2= .

12. a) Napiši jedan par suprotnih, cijelih brojeva i

njihove kvadrate. Što primjećuješ?

b) Napiši kvadrate brojeva: -1, 1 i 0.

c) Koji brojevi su jednaki svojim kvadratima?

Primjer 4. ProcjenaPrvo procijeni, a zatim

izračunaj:

a) 302; b) 332;

c) 392; d) 3412.

Rješenje:a) 302 = 900 jer je 30 •

30 = 900. Neki učenici

krivo napamet računaju

da je 302 jednako 90.

No, pripazimo ovdje jer ne množimo 30 • 3,

već 30 • 30 pa umnožak mora završavati s dvije

nule. Ovo svojstvo množenja smo učili u petom

razredu.

b) Procijenimo rezultat. Kako se broj 33 nalazi

između 30 i 40, znači da se 332 nalazi između

302 i 402, a njih možemo lako kvadrirati napamet

kao u primjeru a). Točan rezultat je 332 = 1089.

Kod kvadriranja nam se pogreška procjene može

činiti velika, no najvažnije je uvijek rezultat

smjestiti između dvije vrijednosti. Tako je 332

veći od 900, a manji od 1600.

c) Procjena: 392 se nalazi između 900

(jer je to 302) i 1600 (jer je to 402). Zapravo,

možemo sa sigurnošću reći da tražimo

broj “bliži” broju 1600. Točan rezultat je

392= 1521.

d) Kako se 341 nalazi između 300 i

400, tada se 3412 nalazi između 90 000

(jer je to 3002) i 160 000 (jer je to 4002). Točan

rezultat je

3412 = 116 281.

22

Z a d a c i13. Bez računanja nađi koliko znamenaka imaju

brojevi 102, 1002, 10002, 10 0002, 1 000 0002.

14. Napamet izračunaj:

a) 302, 102, 702, (–60)2, 802;

b) 4002, (–200)2, 5002, 8002, (–900)2;

c) 20002, 502, 7002, (–1000)2, 902.

15. Procijeni između koja se dva kvadrata nalaze

brojevi:

a) 532, (–72)2, 812, 122;

b) 442, (–65)2, 792, 182.

Ovo je tablica kvadrata brojeva do 20. Bilo bi dobro znati je napamet!

12 1 22 4 32 9 42 16 52 25 62 36 72 49 82 64 92 81102 100

112 121122 144132 169142 196152 225162 256172 289182 324192 361202 400

Koliko j e 402?Je l i 160? Il i 1600?

23


16. Procijeni pa izračunaj:

a) 422, 612, 182, (–73)2, 852;

b) (–144)2, 3522, (–998)2, 17442, 320112.

17. Izračunaj služeći se tablicom kvadrata brojeva do 20:

a) 122, 112, 102, (–13)2, 182;

b) 142, (–16)2, (–15)2, 192, 172, 202.

18. a) Izračunaj koliko je 122 i koliko je 212. Što

primjećuješ?

b) Izračunaj koliko je 132 i koliko je 142. Što

primjećuješ?


a) 1219

2

,

111

2

,

−

1415

2

, 187

2

, −

615

2

;

b) 216

2

−

,

113

2

, −

1117

2

, 1319

2

,

−−

183

2

.

Primjer 5. Broj decimala kod kvadriranjaPrvo napamet izreci koliko će decimala imati

rezultati, a zatim procijeni i izračunaj:

a) 2.12; b) (–5.27)2 ; c) 0.32 ; d) 0.032 ;

e) 0.0032 .

Rješenje:a) Decimalne brojeve kvadriramo na isti način

kao i prirodne. Stoga kod 2.12 množimo

2.1 • 2.1. Svaki od faktora ima po jedno

decimalno mjesto pa će rezultat kvadriranja

imati dva decimaln a mjesta. Procijenimo

rezultat gledajući samo cijeli dio broja, 2.1 ≈ 2.

Kvadriramo li ga, dobivamo da je 2.12 ≈ 4.

Točan rezultat je 2.12 = 2.1 • 2.1 = 4.41.

b) Umnožak će imati četiri decimalna mjesta.

Primijetimo da kod kvadriranja decimalnih

brojeva rezultat uvijek ima dvostruko decimalnih

mjesta u odnosu na broj koji kvadriramo.

Procjenu radimo gledajući samo cijeli dio broja,

( . ) ( )− ≈ −5 27 52 2 pa je rezultat

≈ 25. Točno: (–5.27)2 = 27.7729;

c) Obratimo pažnju na posljednja tri kvadriranja

0.32, 0.032 i 0.0032. Procjena svih rezultata je 0.

Znamo da je 32 = 9. Želimo li kvadrirati decimalni

broj 0.3, rezultat će imati dvije decimale jer

množimo 0.3 • 0.3. Rezultat je 0.32 = 0.09. Na

isti način napamet možemo izračunati slična

kvadriranja.

d) Četiri decimalna mjesta. 0.032 = 0.0009;

e) Šest decimalnih mjesta. 0.0032 = 0.000009.

Primjer 6. Kvadriranje u geometrijia) Izračunaj površinu kvadrata sa stranicom

duljine 4 cm;

b) Izračunaj površinu kruga kojem je polumjer

2.3 cm.

Rješenje:a) Površinu kvadrata računamo po formuli

P = a • a. Kako duljinu stranice množimo sa

samom sobom, ovdje se radi o kvadriranju.

Formula za površinu kvadrata glasi: P = a2

Površina kvadrata sa strani-

com duljine 4 cm je

P = 42 = 16 cm2.

b) Površinu kruga računamo po formuli

P = r • r • π. I tu primjećujemo množenje r sa

samim sobom. Zapišimo ga u obliku kvadriranja.

Formula za površinu kruga glasi:

P = r2π

Površina kruga sa stranicom duljine 2.3 cm je

P = 2.32π = 5.29π cm2. Uvrstimo li umjesto

broja π njegovu približnu vrijednost π ≈ 3 14. dobit ćemo i približnu površinu

P

P

≈ ⋅

≈

5 29 3 14

16 6106 2

. .

. cm

Dobivenu površinu zaokružimo

na dvije decimale i zadatak je

riješen:

P ≈ 16 61 2. cm .

površina kvadrata

P = a 2

površina kruga

P = r 2 π

24


Kvadratne mjerne jedinice

Kao što množenjem broja sa samim sobom

dobivamo kvadrat tog broja, tako i množenjem

mjerne jedinice za duljinu sa samom sobom

(duljina • širina) dobivamo kvadratnu mjernu

jedinicu.

1 cm2 = 100 mm2

Kvadratne mjerne jedinice koje smo spominjali

do sada su:

mm2 (kvadratni milimetar),

cm2 (kvadratni centimetar),

dm2 (kvadratni decimetar),

m2 (kvadratni metar) itd.

Postoje kvadratne jedinice s posebnim

nazivima kao što su ar (iznosi 100 m2) i hektar

(iznosi 10 000 m2). Kvadratne mjerne jedinice

se nazivaju i mjerne jedinice za površinu.

Z a d a c i20. Koliko će decimala imati rezultat kvadriranja:

0.92, 0.012, 0.052, 0.00032, 0.0082?


a) 0.22, 0.022, 0.0022, 0.12, 0.0012;

b) 0.42, 0.62, 0.052, 0.00082, 0.0072, 0.000092.


a) 122, 1.22, 0.122, 0.0122, 0.00122;

b) 1.42, 0.192, 0.000182, 1.72, 0.0152.

23. Napamet izračunaj površinu kvadrata sa strani-

com duljine: a) 1 cm; b) 6 cm; c) 0.2 dm; d)

38

mm; e) 0.05 m.

24. Procijeni pa izračunaj površinu kvadrata sa strani-

com duljine:

a) 0.5 cm; b) 1.2 cm; c) 2.53 cm; d) 1.5 dm;

e) 0.871 m.

25. Izračunaj površinu kruga (točno i približno)

kojem je polumjer jednak:

a) 2 cm; b) 3.3 mm; c) 0.12 cm; d) 225

m; e) 0.002 dm.

26. Izračunaj površinu presjeka cijevi kružnog oblika

s promjerom duljine:

a) 8.2 cm; b) 84.7 mm; c) 223.5 mm;

d) 73.37 cm; e) 8.513 dm.

27. Lukini roditelji su kupili pločice u obliku kvadrata

stranice 16.5 cm.

a) Kolika je površina jedne pločice?

b) Koliku površinu žele popločiti ako su izračunali

da im treba točno 120 pločica?

c) Kolika je duljina hodnika kojeg žele popločiti

ako je on pravokutnog oblika i širok je 90 cm?

28. Papir formata A3 ima dimenzije 21 x 30.

a) Maja treba iz njega izrezati najveći mogući

kvadrat. Kolika je površina tog kvadrata?

b) Nakon što je Maja izrezala kvadrat preostao joj

je pravokutnik. Iz njega opet reže najveći mogući

kvadrat. Kolika površina novog kvadrata i kolika

je površina otpadnog papira?

29. Provjeri uz pomoć džepnog računala:

a) (–2.5)2 = 6.25; b) 91.42 = 835.96;

c) 1.2052 = 1.452025; d) (–0.59)2 = –0.2581;

e) –60.22 = 3624.04.

30. Procijeni pa izračunaj:

a) (–3.5)2 ; b) 1.32 ; c) 247

2

; d) 4.882; e) 0.0532;

f) 02; g) 21112

2

; h) 5002; i) 97.42.

31. Zaokruži točne jednakosti. Netočna rješenja

ispravi:

a) −

=1

214

2

; b) –82 = –64; c) (–0.2)2 = –0.04;

d) (–0.03)2 = 0.00009; e) − = −38

964

2.

32. Zaokruži točne jednakosti. Netočna rješenja ispravi:

a) (–0.81)2 = 0.9; b) 1129

121841

2

= ;

c) –0.742 = 5476; d) 5744

32491936

2= .

33. Tablicu prepiši u bilježnicu pa kvadriraj upisane racionalne brojeve.

34. Tablicu prepiši u bilježnicu pa kvadriraj upisane

racionalne brojeve.

x 0 –3.2−49

0.22 –160 267

12−

x2

x –28 –13.5 −171119

0.082 4.833 767

−5116

x2

1 mm1 mm1cm2

1 cm

1 cm

25


1. Izračunaj:

a) 22

9

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø; b)

235

; c) 2

4

3; d)

287

− ; e)

265

− ;

f) –2

27−

; g)

245−

; h) 2( 3)

2−

; i) 23

( 2)−; j) ( )24- - .

2. Izračunaj:

a) 23

4− ; b) 26

7− ; c) (–5)2; d) 3.22; d)

21

33

;

e) –0.52; f) 2

14

2 −

; g) 2

4

( 5)−; h) 20.2 ; i)

212

− − .

3. Izračunaj:

a) 2

11

3 −

; b) 2

111

2 +

; c) 2

3 11

2 2 +

;

d) 2

13

2 −

; e) 2

45

5 −

.

4. Izračunaj:

a) 2

12

2 +

; b) 2

32.5

4 −

; c) 2

12

2 −

; d) 2

183

7 −

;

e) 2

62

15 −

; f) 2 21 2

22 5

− ; g)

2

2

1 43 6

+ ;

h) 2

2

1 35 4

− ; i) 2

2

13 19 3

− ; j) 1 –2

183

− −

.

5. Izračunaj:

a) 2 21 5

23 6

− + ; b)

2 22 3 45 10 3

− − + ⋅ ;

c) 2

3 10.31

2 5 − +

; d) 2 2

2 37 14

− − .

6. Izračunaj:

a) ( )22 32

5 5

− − + ; b)

2

2

3 35 5

− ;

c) 2

3 1 3 14 2 4 2

− ⋅ − ; d) 0.2 –

225

− .

7. Prepiši pa popuni tablicu:

a 0 1 –3 –23

45 1.4 –3

12

(–a)2


a 0 7 –227

35

− –2.2 –212

–a2


a –5.1 2 –4

23

34

−0.5

–213

–(–a)2

35. Duljina stranice žutog kvadrata je dvostruko

manja od duljine stranice crvenog kvadrata, a

duljina stranice plavog kvadrata je tri puta manja

od stranice žutog kvadrata.

Koliko je puta površina plavog kvadrata manja od

površine crvenog kvadrata?

36. Stranica crvenog kvadrata

sa slike dvostruko je dulja

od stranice žutog kvadrata

a stranica žutog dvostruko

je dulja od stranice plavog

kvadrata.

Ako je duljina stranice crvenog kvadrata a, kolika

je površina žute pruge?

37. Neka je promjer zadanog kruga 8 cm, a duljina

stranice svakog od kvadrata sa slike 2 cm.

Ako iz kruga izrežemo

kvadrate kao na slici,

kolika je površina

preostalog dijela kruga?

Rezultat zaokruži na

dvije decimale. Koliko

iznosi ta površina

izražena u dm2?

38. Ana je načinila plakat u obliku kvadrata duljine

stranice 4.2 m, no rečeno joj je da ga mora

smanjiti tako da novi plakat ima isti oblik ali da

zauzima 25% površine od prvotnog. Kolika mora

biti duljina stranice novog plakata? Rezultat

izrazi u centimetrima!

Vježbalica

26

1 . 2 . Z b r a j a n j e i o d u z i m a n j e m a t e m a t i č k i h i z r a z a

Rečenica: Matematički izraz:Nekom broju x dodaj 8 x + 8

Trostruka vrijednost od a 3 • a ili 3a

Broj 25 umanjen za x 25 – x

Broj 25 umanjen za dvostruku vrijednost od x

25 – 2x

Zbroj broja x i njegova kvadrata x + x2

Količnik od y i kvadrata broja 23 y :

23

2

Primjer 1. Uvrštavanje u matematički izrazU izraz 3x2 + 5 uvrsti sljedeće vrijednosti:

a) 2;

b) –2;

c) 0.

Rješenje:a) Kao i kod funkcija, umjesto nepoznanice x

uvrštavamo zadanu vrijednost x = 2.

3x2 + 5 = 3 • 22 + 5 = 3 • 4 + 5 = 12 + 5 = 17;

b) 3x2 +5 = 3•(–2)2 +5 = 3•4 + 5 = 12 + 5 = 17;

c) 3x2 + 5 = 3 • 0 + 5 = 5.

1.2. Zbrajanje i oduzimanje matematičkih izraza

Izračunaj !

a) 2x + 3x = 15

b) a + a – a + a + a – a = –8 + 4a

c) z – z – z – z – z – 1 = 3.6

Pri rješavanju jednadžbi u šestom i sedmom razredu već smo se susreli sa zadacima

kao u uvodnom primjeru. Svaka se jednadžba sastoji od znaka jednakosti i dva

matematička izraza, jednog na lijevoj strani jednakosti, a drugog na desnoj

strani jednakosti.

Da bismo riješili jednadžbu, često prije toga

izraze moramo pojednostaviti. Primjerice, u

jednadžbi

7x + 9x – 3 = x + 5

prvo treba zbrojiti sve članove istog imena kako

bismo jednadžbu pojednostavnili. Upravo zbog

toga sve nepoznanice prebacujemo na jednu stranu jednakosti, a poznanice na

drugu. Što složenije i teže jednadžbe dobivamo, to nam je važnije da što bolje i

elegantnije pojednostavimo izraze. U nekoliko narednih poglavlja pokazati ćemo

neke važne tehnike pojednostavljivanja matematičkih izraza.

matematički

izraz

7x + 9x – 3 = x + 5

znak jednakosti

lijeva strana

jednakosti

desna strana

jednakosti

27


Primjer 2. Zbrajanje i oduzimanje izrazaPojednostavi:

a) 9a + 7a – 3 – 20a;

b) –3a2 + 4b2 – 3a2 – 5b2.

Rješenje:a) Zbrajati i oduzimati možemo samo članove

istog imena. Tako su članovi istog imena 9a,

7a i –20a. Važno je ispred člana 20a primijetiti

predznak “minus” koji ovdje predstavlja računsku

operaciju oduzimanja. Naime, prisjetimo se da

je oduzimanje zapravo zbrajanje sa suprotnim

brojem pa je ova

jednadžba skraćeni oblik od

9a + 7a – 3 + (–20a).

Član –3 nema faktor a pa stoga nije istog imena

kao ostali članovi i ne može im se pribrajati.

Kada uočimo članove istoga imena, zbrojimo

ih:

9a + 7a – 3 – 20a = –4a – 3.

b) Ovo je izraz s dvije nepoznanice: a2 i b2.

Članovi istog imena su –3a2 i –3a2, te 4b2 i

–5b2.

–3a2 + 4b2 – 3a2 – 5b2 =

–6a2 – 1b2 =

–6a2 – b2.

1x = x

–1x = –x

1. Prepiši u bilježnicu pa ove rečenice zapiši u obliku matematičkih izraza:

2. Prepiši u bilježnicu pa matematičke izraze zapiši u obliku rečenica:

3. Kolika je vrijednost izraza x2 – 3 ako x iznosi: a) 1; b) –1; c) 0; d) –5; e) 6.

4. Kolika je vrijednost od –2x2 + 1 ako x iznosi:

a) 1; b) –1; c) 3; d) 1.5; e) 0.5.

5. Izračunaj vrijednost izraza x2 + x – 4 za sljedeće vrijednosti od x:

a) 6; b) –3; c) 0; d) 12

; e) − 4

3.

Z a d a c i

Rečenica: Matematički izraz:

Nekom broju x dodaj 1

Dvostruka vrijednost nekog broja

Neki broj umanji za 223

Od nepoznatog broja oduzmi njegovu dvostruku vrijednost

Od nepoznatog broja oduzmi 8 pa razliku kvadriraj

Kvadriraj zbroj nepoznatog broja i broja 3

Rečenica: Matematički izraz:

5 – x

x + 2

9x

7x – 2

(x + 9)2

(5x – 3)2

a

2a

a + 2a = 3a

Duljine dužina možemo zbrajati

ZBRAJAJU SE SAMO ISTOIMENI ČLANOVI

a2

a2

a2 + 2a2 = 3a2

Površine likova možemo zbrajati Ali duljine dužina ne možemo pribrojiti površini

a2a ??

2a2

2a2

28

1 . 2 . Z b r a j a n j e i o d u z i m a n j e m a t e m a t i č k i h i z r a z a

Z a d a c i6. Pojednostavi:

a) 3x + 6x; b) 10a – 13a; c) –a – a;

d) 5x2 – 6x2; e) –17y2 + 17y2.

7. Pojednostavi pa uvrsti a = 1, x = 0, b = –2, y = –4:

a) 6a + 2a – 4a; b) –x + 8x – 11;

c) –b2 + b2 + b2; d) –x2y2 + 5x2y2 – x2y2;

e) –15ax2 + 14ax2 – ax2.

8. Pojednostavi:

a) 2x + 3y – 7x; b) –5a + 3 + 2a – 1 + 3a;

c) 7p2 + 9g2 – 8p2 – 4g2 – 5g2;

d) 12ab – 4a2b + 8a2b;

e) –xy2 + 2x2y +5x2y – xy2 – x2y.

9. Pojednostavi:

a) 1.2c – 2.2c + d – 0.5d;

b) –4.5x2 + 11.5y – 5.5x2– 2.5y;

c) 1.1ab + 1.1ba – 1.1 – 1.1ba +1.1;

d) 0.2yxz – 8.3ab2 + 9.2xyz – 3.9ab2 – ab2;

e) 2.4x2y2 – 3.4xy2 – 1.9x2y2 + 0.5x2y2 – 3.2xy2.

10. Pojednostavi:

a) 7m – 11n – 12n + 6m – 14m – m – n;

b) –3x2 + 2y2 – y2 – y2 + x2 + x2;

c) 2 – 2a2 + 2 – 2a2 – 2a2 – 2 – 2;

d) 7a2b + 8ab2 – 11a2b + a2b – ab2 – 3a2b ;

e) –x2y2 – 2xy2 – 2xy2 + x2y2 – 3x2y2+ 5x2y2 + 7xy2.

11. Pojednostavi:

a) 5a + a – 2b + c – 3b;

b) 7y – 2x – y – z – z + 2x;

c) 11 – 3d + 2c – d – d + 6e;

d) 8z2 – 2 – 2 – y2 + 6z2 – 6y2 – 4;

e) 5ax2 + 5a2x – 3a2x + 3ax2 – a2x2 – 4a2x2.

12. Što ne valja u sljedećim zadacima? Objasni.

a) 7a2 – a2 = 6;

b) –23ab – 15ab = 8ab;

c) 7.5y – 7.2y2 = 0.3y.

13. Učiteljica je na ploču napisala zadatke. Matija ih

je sve riješio i na ploču napisao svoje rezultate.

Jesu li svi rezultati točni?

14. Koje izraze trebaš zbrojiti da bi njihov zbroj bio

7.5a?

Primjer 3. Izrazi i zagradePojednostavi:

a) 17a + (4b – 6b) + b;

b) –8x2 – (25x2 – 3y2 + 5x2);

c) − + − + − −( )

−{ }2 5 1 4 3 52 2a b a b .

Rješenje:a) Prisjetimo se pravila za rješavanje zagrada.

U ovom je zadatku ispred zagrade znak + pa

se zagrada može izostaviti. Taj je postupak u

redu. Međutim, prije nego što krenemo računati

na taj način, pogledajmo bolje izraz u zagradi.

Tu se nalaze elementi istog imena 4b – 6b, koje

možemo izračunati. To je elegantniji način za

rješavanje zagrada:

17a + (4b – 6b) + b = 17a – 2b + b = 17a – b.

b) Pogledajmo možemo li u ovom zadatku

pojednostaviti izraz u zagradi. Možemo, jer

su pribrojnici 25x2 i 5x2 istog imena. Stoga

računamo:

–8x2 – (25x2 – 3y2 + 5x2) = –8x2 – (30x2 – 3y2).

Sada više nikako ne možemo oduzeti članove u

zagradi pa se oslobađamo zagrade po pravilu

“ako je ispred zagrade minus, svim članovima

unutar zagrade mijenjamo predznak”.

–8x2 – (30x2 – 3y2) = –8x2 – 30x2 + 3y2 = –38x2+3y2.

a) 3.5x + 11.2x = 14.7x;b) 7b2 - 0.5b2 = 6.5b2;1

2c) x + 1

3x = 2

5x;

1

4d) x + 3

4x = x2;

e) 0.5a + a + a + a + a - 1.5a = 3.5a.

0.25a 0.5 1.5a 6.75a 7a

a7.3a3.2a5.5a6.25a


29

c) Ako je u zadatku više zagrada jedna unutar

druge, tada izraz računamo počinjući od one

unutarnje.

− + − + − −( )

−{ } =

− + − − −

−{ } =

− +

2 5 1 4 3 5

2 5 1 4 3 5

2

2 2

2 2

a b a b

a b a b

55 3

8 8 8

1 4 5

2 22 2 4

2 2

2 2 2

a b a b

a b a b a b

− + −

− −

+{ } =

− + { } = − + = − +

Kako se rješavamo zagrada:

- Ako možemo zbrojiti istoimene izraze u zagradi, prvo ih zbrojimo.

- Ako je ispred zagrade +, zagradu uklonimo.

- Ako je ispred zagrade –, svim članovima unutar zagrade mijenjamo predznak.

- Ako je u zadatku više zagrada

...( ) { }

jedna unutar druge, tada izraz računamo počevši od one unutarnje.

Z a d a c i15. Pojednostavi:

a) –2x + (–5x) – (–2x);

b) –(–3a) + (–2b) – 5b + (–a);

c) –9x2 – (–8x2) +(–1);

d) –6a2b2 + (–5a2b2) – (–6b2a2);

e) 11 – (–xyz) – (–xyz) + (–5xyz) + (–1).

16. Pojednostavi pa uvrsti

a = 10, b = –3, x = 2.2, y = –0.5:

a) 6a + (4b – 2b);

b) –4x – (5x – 3x);

c) –y2 – (5 – 10);

d) 16x2 + (11x2 – 12x2);

e) (–2a2b2 – 6b2a2) – ab2.

17. Pojednostavi:

a) 5x + (2x – y);

b) 5x – (2x – y);

c) (4a – 2b + c) – b;

d) –(2x2 – 2y2) + 2x2 – y2;

e) –6ab2 – (–3a2b – ab2) + 4ab2.

18. Pojednostavi:

a) –x + (2x – y – 5x);

b) 3x – (x – 3y + x + y);

c) –(a – 2b + a) – (9b – b + a – 2a);

d) 5 – (4x2 – 2y2 + x2) + 2x2 – y2 + (–3x2 – x2);

e) 1.2ab2 – (–a2b – 5.1ab2 – 2ab2+8.3ab2) +

4.9ab2.

19. Pojednostavi:

a) 6 4 3+ + +( ) a a ;

b) 5 2 2x y y x+ − +( ) ;

c) 17 2 4 3ab a ab a a ab− − +( ) + − + ( ) ;

d) 12 3 4 4 2 3 32 2 2 2 2 2 2x y x y x y x+ − + + −( )

−{ } ;

e)

− − − + + −( )

−{ } +1 6 5 2 1 1 2 9 1 6 0 99 0 72 2 2 2. . . . . .xy z xy z xy z xy z

20. Pojednostavi:

a) 11 2 2 6a a a b a b+ − +( ) − −( );

b) 2 1 3 5 2a a a+ −( ) + + −( ) ;

c) 2 3 9 1 2 2xy xy xy yx−( ) + +{ } − − +( ) ;

d)

− − − −( )

− − −( ) +

+{ }x y x y x y x2 2 2 2 2 2 21 2 3 2 1

e)

x y xy x y y x x y yx xy2 2 2 2 2 2 23 3 2 4 3− − −( )

{ } + − − − − −( )

{ }.

;

30

1 . 3 . M n o ž e n j e m a t e m a t i č k i h i z r a z a

1.3. Množenje matematičkih izraza

Zbrojiti ili pomnožiti

Objasni kako bi riješio ove zadatke:

a) 5x • 4x =

b) 5x + 4x =

Pri zbrajanju članova istog imena primijenili smo svojstvo distributivnosti i izlu-

čivali zajednički faktor.

Tako je 2x + 3x = x • (2 + x) = x • 5 = 5x. To kraće pišemo 2x + 3x = 5x.

No pitamo se koliki je umnožak članova 2x • 3x ? Prema svojstvu asocijativnosti

i komutativnosti racionalnih brojeva vrijedi:

2x • 3x = 2 • x • 3 • x = 6 • x • x = 6 • x2 = 6x2.

To kraće pišemo 2x • 3x = 6x2.

Na isti način možemo množiti i druge izraze istoga tipa. Zaključujemo da

jednostavne izraze množimo tako da međusobno pomnožimo brojčane faktore,

a zatim međusobno pomnožimo i sve nepoznanice.

Tako je, primjerice, umnožak izraza 5x i 4y jednak 5x • 4y = 20xy.

Prisjetimo se da zbroj istih izraza 5x + 4y nećemo moći dalje pojednostavljivati

jer to nisu istoimeni pribrojnici.

Primjer 1. Množenje jednostavnih izrazaa) 9a • 4; b) 8x • 8y;

c) 5a • 6b • a • 2b; d) 5x • (–2y2) • 3x.

Rješenje:a) Međusobno pomnožimo brojčane faktore, a

nepoznanicu a prepišemo.

9a • 4 = (9 • 4) • a = 36a

Ovakve zadatke rješavat ćemo računanjem

napamet i odmah zapisivati rezultat 9a • 4 = 36a.

b) Prvo pomnožimo brojčane članove 8 • 8 = 64, a zatim prepišemo nepoznanice.8x • 8y = 64 • x • y = 64xy;

c) 5a • 6b • a • 2b = 60a2b2;

d) Jedan od članova ima negativan predznak. No

poznata su nam pravila za množenje

brojeva s pozitivnim i negativnim

predznacima. Ona vrijede i za množenje

izraza jer množimo brojčane izraze

koji su racionalni brojevi pa mogu biti

i negativni.

5x • (–2y2) • 3x = –30x2y2.

+ • + = +

+ • – = –

– • + = –

– • – = +

Z a d a c i1. Izračunaj napamet:

a) 2a • b; b) 4x • 3; c) x • 5x; d) x • 6y; e) 7y • 8.

2. Izračunaj napamet:

a) –x • (–y); b) –3x • 9; c) 5d • (–6);

d) –2a • (–7); e) –7y • (–8).

3. Kolika je površina pravokutnika sa slike:

a) b)

x

x

x x x

3x

2xa

a a a a

31


4. Izračunaj:

a) 5a • 3a; b) 5a + 3a; c) 5a • 3b;

d) 5a + 3b; e) 5a – 3a.

5. Pojednostavi:

a) 4a • a; b) 4a + a; c) 4a : a;

d) 4a – a; e) 4a • b; f) 4a + b.

6. Pojednostavi:

a) 3x • 4y • z; b) a • 5x • x; c) –2x • 3y • 5;

d) 7y • (–2x) • y; e) 10x2 • (–y) • (–y).

7. Pojednostavi:

a) 7ab • 9ac;

b) 4a • 6ab;

c) 8uv • (-4w);

d) 6xy • (-6xy);

e) -3abc • (-3abc):

f) -5xy • 4 x;

g) 2x • 3x + 4x • 3y - 5 -2x • 3y;

h) 4y • 2y - 4y • 5 + 3 • 2y -5 • 3;

8. Pojednostavi:

a) a • 4ax • (–3) • x;

b) 0.5 • (–0.2x) • ax • (–10a);

c) –3d • (–3d) • (–3x);

d) –1.3x2y • 2.5ya • (–5am);

e) 15xy • (–0.2yz) • 5 • (–xz).

9. Koji članovi nedostaju?

10. Luka treba izmjeriti opseg i površinu kvadrata,

ali pri ruci ima samo komad užeta i škare.

Primijetio je da ako malo skrati uže, ono će stati

u jednu stranicu točno dva puta. Kada je došao

kući izmjerio je duljinu užeta. Koliki su opseg i

površina kvadrata ako je duljina užeta:

a) 4 m; b) 5 cm; c) 14

m; d) a?

11. Koliko iznosi d ako je površina lika na slici

44 dm2?

2a • ? = 14a2b

? • 7x = 28 xyz

6ab • ? = –42a2b2

0.3de • (–2.2df 2) = ?

Primjer 2. Množenje zagrade pozitivnim izrazoma) 6 • (–2x + a2 + y2);

b) (x + 4ay – 7) • 3x.

Rješenje:a) Zagrade se oslobađamo po pravilu

distributivnosti: svaki član u zagradi

množimo s faktorom ispred zagrade.

6 • (–2x + a2 + y2) = 6 • (–2x) + 6a2 + 6y2 =

–12x + 6a2 + 6y2;

b) U ovom zadatku faktor se nalazi s desne

strane zagrade. Po svojstvu distributivnosti

njega množimo sa svakim članom u zagradi.

(x + 4ay – 7) • 3x =

x • 3x + 4ay • 3x

– 7 • 3x =

3x2 + 4axy – 21x.

distributivnost

(a + b) • c = a • c + b • c

(a – b) • c = a • c – b • c

Primjer 3. Množenje zagrade s negativnim izrazoma) –1 • (–2x + a2 + y2);

b) –2x (x + 4ay – 7).

Rješenje:Pri množenju zagrade s negativnim brojem treba

paziti na predznake faktora i samog umnoška.

a) –1 • (–2x + a2 + y2) =

–1 • (–2x) + (–1) • a2 + (–1) • y2 =

2x –a2 – y2.

3.5d

1.5d

5d

4d

d

d

32


Primjer 4. Složeniji zadatakIzračunaj:

2 • 4x – 3x(–7 – 2x) + (6x2 – x) • (–5).

Rješenje:U ovom zadatku treba dobro obratiti pažnju na

predznak pojedinog umnoška. Faktori s kojima

množimo zagrade su –3x i –5.

2 • 4x – 3x(–7 – 2x) + (6x2 – x) • (–5) =

8x – 3x • (–7) – 3x • (–2x) + 6x2 • (–5) – x • (–5) =

8x + 21x + 6x2 – 30x2 + 5x =

34x – 24x2.

Primijetimo da početni izraz u zagradi i krajnji

rezultat imaju iste članove, ali s promijenjenim

predznacima. To je zato što smo zagradu

množili s –1.

b) Zagradu množimo s –2x. Ako zagradu

množimo izrazom, možemo izostaviti oznaku

za operaciju množenja.

–2x (x + 4ay – 7) =

–2x • x + (–2x) • 4ay + (–2x) • (–7) =

–2x2 + 8axy + 14x.Ako zagradu množimo s –1, članovi će

samo promijeniti predznak.

–1 • (a + b – c) = –a – b + c

Z a d a c i12. Oslobodi se zagrada:

a) 3 • (x – 6);

b) –2 • (1 + y2);

c) (17 – a) • a;

d) –x • (–2x – 1);

e) (x2y – 5) • y.

13. a) 5 • (–1 + 2a + y2);

b) 10a • (a – 8 – 2y2);

c) (–x + y2 + z2) • 3x;

d) 2x • (–2x – 8 – y2);

e) (–1 – 2x – a2 + y2) • 6x.

14. a) ab • (a + 2ab);

b) –3xz • (– 1 – 5y2);

c) (2x + y2 + 6z2) • (–5xa);

d) 15

32

1x y− +

• 10xyz;

e) – (6 – 2x + a2 + 3y) • (–5xyb2).

15. a) 5ax • (–2 + a + 3y2);

b) –a • (x – 5 – 4y2) • 2;

c) – (x + y2 + z2) • (–x);

d) –2x • (–2x + 8 – y2) • 4;

e) – 7 • (6 – 2x + a2 + y2) • (–x).

16. Koje jednakosti su točne? Netočne ispravi:

a) 6a(2x + 3y – 4z) = 12ax + 18ay – 24z;

b) –x (y2 – x + 2) = –xy2 – x2 – 2x;

c) 3x2(4 – y + 2y2) = 12x2 – 3x2y + 6xy2.

17. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratić upiši član

izraza tako da jednakost bude točna:

a) x (2 + ) = 2x + xy;

b) 2x(–1 + ) = –2x + 10x;

c) –x(3x – ) = –3x2 + x;

d) (2 – ) • (–3x) = –6x + 6x2;

e) 5x • ( – xy) = –20x2 – 5x2y.

18. a) 3x(2 + x) + 4(6x – 1);

b) 3 • (–3x) + x(–1 –x) – 2(1 – x);

c) (–3 – 2x) • (–3x) + 4 • (–4x) + (–2x2 – y) • (–1);

d) 4a(3 + a – 2a) + (6 – a) • (–7a) – 3a2;

e) y • (–3y) – y(–5y – 2 + y) – (–y2 – y) • (–4).

U zadatku –a • (x – 5 – 4y2) • 2 zagradu

množimo s dva faktora: jedan je ispred,

a drugi iza zagrade. Tada je najbolje

prvo pomnožiti faktore –a i 2, a tek onda

primijeniti distributivnost!

–a • (x – 5 – 4y2) • 2 = –2a • (x – 5 – 4y2)

33


Primjer 6. Složeniji zadatak sa zagradamaOslobodi se zagrada pa pojednostavi:

(2x – 1)(–3 + x) – (8 – 6x)(x + 1).

Rješenje:Ako množimo dvije zagrade, možemo izostaviti

znak za operaciju množenja između njih.

Primijetimo da ispred množenja dviju zagrada

– (8 – 6x)(x + 1) stoji minus. To znači da svaki

umnožak koji dobijemo treba imati suprotan

predznak. Kako se ne bismo zabunili pri

računanju, korisno je prvo samo pomnožiti

dvije zagrade (8 – 6x)(x + 1) kao da nema

minusa ispred njih, a rezultate staviti u zagradu.

Tek u sljedećem koraku možemo rješavati

predznake.

(2x – 1)(–3 + x) – (8 – 6x)(x + 1) =

2x • (–3) + 2x • x – 1 • (–3) – 1 • x – (8 • x + 8

• 1 – 6x • x – 6x • 1) =

–6x + 2x2 + 3 – x – (8x + 8 – 6x2 – 6x) =

–6x + 2x2 + 3 – x – 8x – 8 + 6x2 + 6x =

8x2 – 9x – 5.

Z a d a c i19. Pomnoži: a) (x + 1) • (y + 5); b) (2 + a) • (b – 7); c) (4 – x) • (2 – d); d) (–x – y)(4 + a); e) (y + 2)(x – y); f) (f + 7)(g – 8).

20. Pomnoži pa pojednostavi: a) (x + 3) • (x + 1); b) (–5 + a) • (a – 3); c) (1 – y) • (2 – y); d) (–x – 5)(4 + x); e) (y + 6)(6 – y).

21. Pomnoži pa pojednostavi: a) (2 + 3x) • (x + 1); b) (–y + 5) • (5y – 3); c) (1 – 2y) • (1 – 4y); d) (–5x – 3)( –4 + 3x); e) (–6a + 4)(2 – 7a).22. Pomnoži i pojednostavi: a) x • (x + 2) + (x – 2) • (x + 2); b) –3a(a – b) + (a – 2) • (3a + 1); c) x(x + 4y) – 6(6x –y); d) (x – y) • (x – 6) – 5x • (6 – y);

e) 2ab – [b(a – 1) + (b – a) • b].

23. Pomnoži i pojednostavi: a) (x – 2) • (x + 2) – (x2 – 2) • 2; b) –3(a – b) – (a – 3) • (3 – b); c) (z – t) • (z – 6) – (z – t) • (6 – t);

d) ab – [b2 – (b – a) • b].

24. Prepiši u bilježnicu i upiši članove koji nedostaju:

a) ( + b) • (p + r) = ap + ar +bp + br;

b) (2a + b) • (d + ) = 2ad + 2ag + bd + bg;

c) ( + ) • (g + h) = 7g + 7h + bg + bh;

d) ( + c) • ( + ) = 4x + xz + 4c + cz.

25. Pomnoži pa pojednostavi: a) (x – 1)(3 + y) + (1 – x)(y + 1); b) (2x – 1)(–3 + x) + (8 – 6x)(x + 1); c) (6 – 2a)(a + 5) – (1 – 6a)(–2a + 1); d) (1.4y – 20x)(–0.9x – 30y) – (–y – x)(–0.2x + 8y);

e) 12

• (–3x) – (x + 1)( 38

+ x) – (1 – 9x)(x + 35

).

Primjer 5. Množenje zagradaOslobodi se zagrada pa pojednostavi:

a) (2 + a) • (b + 4);

b) (7x – 2y) • (–3x – 4).

Rješenje:a) Opet ćemo primijeniti distributivnost tako

da cijeli izraz (b + 4) shvatimo kao faktor izvan

zagrade.

(2 + a) • (b + 4) =

2 • (b + 4) + a • (b + 4) =

2 • b + 2 • 4 + a • b + a • 4

Zaključujemo da se dvije zagrade množe tako da

se svaki pribrojnik iz prve zagrade pomnoži sa

svakim pribrojnikom iz druge zagrade. Nakon toga

pojednostavljujemo izraz, ako je moguće.

b)

(2 + a) • (b + 4) =

2 • b + 2 • 4 + a • b + a • 4 = 2b + 8 + ab + 4a;

(7x – 2y) • (–3x – 4) =

7x • (–3x) + 7x • (–4) –2y • (–3x) –2y • (–4) =

–21x2 – 28x + 6xy + 8y.

34


1. Izračunaj vrijednost izraza x2 – 2x + 3 ako je :

a) x = 3 ; b) x = –2 ; c) x = 34

; d) x = 13

− .

2. Izračunaj vrijednost izraza –x2 – x + 2 ako je :

a) x = 2 ; b) x = –1 ; c) x = – 3 ;

d) x = 23

; e) x = –12

.

3. Izračunaj vrijednost izraza –2x2 + 2 ako je :

a) x = –2 ; b) x = 1 ; c) x = – 1.2 ;

d) x = 25

− ; e) x = –13

.

4. Izračunaj vrijednost izraza –3x2 – x ako je :

a) x = 4 ; b) x = –2 ; c) x = 0 ;

d) x = 54

; e) x = –58

.

5. Ako je a = –3, b = 2 izračunaj (a + b)2, a2 + b2,

(a – b)2, a2 – b2.

6. Ako je a = 4, b = –2 izračunaj (a + b)2, a2 + b2,

(a – b)2, a2 – b2.

7. Ako je a = –1, b = –2 izračunaj (a + b)2, a2 + b2,

(a – b)2, a2 – b2.

8. Ako je a = –6, b = 1 izračunaj (a + b)2, a2 + b2,

(a – b)2, a2 – b2.

9. Ako je a = –4, b = –2 izračunaj (a + b)2, a2 + b2,

(a – b)2, a2 – b2.

10. Ako je a = –0.5, b = 1.2 izračunaj (a + b)2,

a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2.

11. Ako je a = –12

, b = 2 izračunaj (a + b)2,

a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2.

12. Ako je a = 13

, b = 23

− izračunaj (a + b)2, a2 + b2,

(a – b)2, a2 – b2.

13. Ako je a = –25

, b = 0.3 izračunaj (a + b)2,

a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2.

14. Ako je a =34

− , b = 12

izračunaj (a + b)2,

a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2.

15. Pojednostavi:

a) 4x + y – 7x; b) –3a + 4 + 2a – 7 + 3a;

c) 4p2 + 2g2 – p2 – 3g2 – 4g2;

d) 2ab – 12a2b + 3a2b;

e) –xy2 + 3x2y +6x2y – 2xy2 – x2y

16. Pojednostavi pa uvrsti a= –2, x = –1, b = 3,

y = 0:

a) 2x + 9y – 17x; b) –52a + 13 + 12a – 41 + 3a;

c) a2 + 92b2 – 18a2 – 24b2 – b2;

d) 2ab – 4a2b + 7a2b;

e) –2xy2 + 2x2y +3x2y – 3xy2 – x2y

17. Pojednostavi pa uvrsti a = 2, x = –1, b = –3,

y = 4:

a) 3a + 2 – 4a; b) –2x + x – 11;

c) –b2 +7 b2 + 3b2; d) –2x2y2 + x2y2 – x2y2;

e) –15x2 + 4ax2 – ax2.

18. Pojednostavi pa uvrsti a = 11, x = 10, b = –12,

y = –14:

a) 6a + a – 4a; b) –5x + x – 11;

c) –6b2 + 2b2 + 10b2;

d) –4x2y2 + 5x2y2 –3 x2y2;

e) –5ax2 + 4ax2 – ax2.

19. Pojednostavi:

a) ( )6 4 3a a − − − + ;

b) ( )2 2 2 2x y y x − − + ;

c) ( ) ( )ab a ab a a ab − − + + − + ;

d)

2 2 2 2 2 4 42 2 2 2 2 2 2x y x y x y x+ − + + −( )

−{ };

e)

− − − + + −( )

−{ } +1 2 2 2 1 3 12 2 2 2y z xy z xy z xy z .


a) –2x • (–y); b) –6x • 5c; c) 7d • (–8x);

d) –6a • (–7); e) –9y • (–8).

Vježbalica

35



a) –x • (–y) • –3x • 9;

b) 5d • (–6d) • –2a • (–7a);

c) –7y • (–8) •2y •x.


a) –x • (–2y) • –4y • 9;

b) 3b • (–6b) • –2x • (–25x);

c) –8a • (–8) •125a •x.

23. Izračunaj:

a) 5a • 7a; b) 5a + 7a;

c) 5a • 7b; d) 5a + 7b; e) 5a – 7a.

24. Pojednostavi:

a) 5x • x; b) 5x + x; c) 6x : x;

d) 3x – x; e) 6a • b; f) 6a + b.

25. Oslobodi se zagrada:

a) –4 • (x – 6); b) –7 • (2 + 3y2);

c) (1 – a) • 5a; d) –2x • (–2x – 11);

e) (x2y – 8) • y.


a) 4a • (–1 + 3a + y2); b) –2a • (a – 25

– 2y2);

c) (–x +34

y2 + 12

z2) • 6x;

d) –3x • (–23

x – 46

– y2);

e) (–1 – 2x – 3a2 + y2) • 43

x.

27. Pomnoži:

a) (x – 1) • (y + 5); b) (3 + a) • (a – 7);

c) (7 – x) • (2 – x); d) (–x – y)(3 + a);

e) (2y + 1.2)(1 – y); f) (f + 25

)(f – 83

).

28. Pomnoži:

a) (x + 1) • (x – 5); b) (2 + b) • (b – 7);

c) (3 – d) • (2 – d); d) (–x – 3)(4 + x);

e) (y +56

)(35

– y); f) (g+ 27

)(g – 87 ).

29. Pomnoži i pojednostavi:

a) x • (x+ 3) + (x – 2) • (x + 2);

b) –3a(a – 1) – (a – 2) • (3a + 1);

c) (x – 4) • (x – 6) – 5x • (6 – x);

d) (x – y) • (x – 2) – 5x • (7 – y);

e) 6ab – [b(a – 3) + (b – a) • 2b].


a) (x – 3) • (x + 3) – (x2 – 3) •(– 4);

b) –2(a – b) – (a – 2) • (4 – b);

c) (z – 4) • (z – 6) – (z – 5) • (6 – z);

d) (x – 4) • (x + 2) – (x2 – 5) •(– 2);

e) (x 2– 4) • (–2) – (x2 – 2) •(– 2).


a) x • (x – 3) + (x + 3) • (x + 2);

b) –3a(a – 3) – (a – 2) • (–5);

c) (2x – y) • (x – 6) – 5x • (6 – y);

d) (x – 3) • (x – 6) – x • (6 – x);

e) 2x – [x(x – 1) + (x – 5) • x].


a) (x – 1) • (x + 2) • (–3) – (x2 – 2) • 2;

b) –(a – b) – (a – 1) • (1 – b);

c) (x – 5) • (x – 5) – (x – 5) • (5 – x);

d) 4 – [b2 – (b – 6) • b].

33. Izluči zajednički faktor:

a) 2x – 2y; b) 3x + 4xy; c) 6x –6xy;

d) 12x + 18y; e) 24a –24; f) 14a + 7b;

g) 12bc + 9cd.


a) 6x – 9y; b) 3x2 + 4x; c) 8xy2 –6x2 y;

d) 2x2 + 8y2; e) 42a –28; f) 32a + 36b;

g) 11xy + 22x2.


a) 3x – 2xy; b) 32x2y + 4xy2; c) 16x –20xy;

d) 48x + 80y; e) a2–2a; f) –4a + 6b;

g) –2bc + 8cd.


a) 22x – 12y; b) 32x2+ 44xy; c) 6x2y –6xy2;

d) –12x – 8y; e) –24a –24; f) –14a – 7b;

g) –12b – 9b2.


a) 13x2 –x; b) –2y – 3xy; c) 24a2b – 32ab2;

d) –12x –x2; e) –15ac + 25ab; f) –x2 – x.

36

1 . 4 . K v a d r i r a n j e m a t e m a t i č k i h i z r a z a

kvadrat umnoška

kvadrat količnika

1.4. Kvadriranje matematičkih izraza

Koje su jednakosti točne?

(6 • 2)2 = 62 • 22

(6 : 2)2 = 62 : 22

(6 + 2)2 = 62 + 22

(6 – 2)2 = 62 – 22

Pogledajmo kako ćemo najbrže

kvadrirati umnožak i količnik dvaju

brojeva. Primjerice, želimo izraču-

nati (2 • 5)2. Oba faktora u zagradi

poznate su brojčane vrijednosti pa

ih možemo pomnožiti:

(2 • 5)2 = 102 = 100.

Jednak ćemo rezultat dobiti ako ra-

čunamo i na drugi način:

(2 • 5)2 = (2 • 5) • (2 • 5) =

2 • 5 • 2 • 5 = 2 • 2 • 5 • 5 =

22 • 52 = 4 • 25 = 100

Sada želimo kvadrirati umnožak

a • b. tj. izračunati (ab)2.

Faktore

a • b pritom ne možemo pomno žiti

kao što je to bilo u prethodnom slu-

čaju (2 • 5)2 = 102 = 100. Ali znamo: kvadrirati bilo koji broj ili izraz znači po-

množiti ga sa samim sobom. Nakon toga iskoristit ćemo svojstva asocijativnosti

i komutativnosti.

(a • b)2 = (a • b) • (a • b) = a • b • a • b = a • a • b • b = a2 • b2

Izračunajmo sada 25

2

. Ovaj slučaj već smo spominjali pri kvadriranju razlomka.

25

2

5

25

25

425

2 2

2

== ⋅ =

To vrijedi i za količnik bilo

koja druga dva broja.

ab

ab

ab

a

b

= ⋅ =2 2

2

Kvadrat umnoška jednak je umnošku kvadrata.

(a • b)2 = a2 • b2

Kvadrat količnika jednak je količniku kvadrata.

(a : b)2 = a2 : b2

ab

a

b

=2 2

2

Ne zaboravi zagradu!

Kvadr iranj e izraza. Što znaèi ovaj naslov?!

Imaš izraz . . .

eh?

I onda ga kvadr iraš!

pa da.

ups.

37


Primjer 3. PrimjenaIzračunaj:

a) 12002; b) 25

1175

22

⋅ −

.

Rješenje:a) Na ovom ćemo primjeru pokazati kako nam

svojstvo kvadriranja umnoška pomaže da

zadatak riješimo na što brži način.

12002 = (12 • 100)2 = 144 • 10 000 = 1 440 000

Rastavili smo 1200 na 12 • 100, a taj je umnožak

lako kvadrirati i napamet.

b) Na prvi pogled zadatak nam izgleda zahtjevno

zbog silnih računanja kvadrata dvoznamenka-

stih brojeva. No kako oba faktora 252 i −

1175

2

treba kvadrirati, gledamo obrnuti smjer formule

(a • b)2 = a2 • b2 i faktore stavljamo pod

zajednički kvadrat.

251175

11 11 113

2575

13

22 2 2 2

⋅ −

= ⋅ −

= ⋅ −

= −

== 121

9

Brojeve 25 i 75 moguće je skratiti s 25, a onda

je lako napamet kvadrirati −

113

2

po svojstvu

kvadriranja količnika.

Primjer 2. Kvadrat količnikaIzračunaj:

a) −

122

ax; b) 632 : 92.

Rješenje:a) Kvadrat količnika jednak je količniku kvadrata

pa računajmo:

−

=

−( )=12 12 144

2 2

2 2 2ax ax a x( ).

b) Primijetimo da je u ovom zadatku zadan

obrnut smjer formule (a : b)2 = a2 : b2. Dakle,

gledamo formulu a2 : b2 = (a : b)2 i računamo:

632 : 92 = (63 : 9)2 = 72 = 49.

Pomoću svojstva kvadriranja količnika vrlo smo

elegantno i napamet riješili problem. Zadatak

bismo mogli riješiti i na drugi način:

632 : 92 = 3969 : 81 = 49,

ali tako bismo morali kvadrirati velik broj 63, a

zatim rezultat dijeliti s 81.

Primjer 1. Kvadrat umnoškaIzračunaj:

a) (4 • 9)2; b) (7x)2; c) (–10abc)2.

Rješenje:a) Primijetimo da treba kvadrirati umnožak

poznatih vrijednosti (nema nepoznanica). Ovaj

zadatak doduše možemo riješiti po formuli

(a • b)2 = a2 • b2, ali brže ćemo doći do

rezultata

ako pomnožimo brojeve u zagradi.

(4 • 9)2 = 362 = 1296.

b) U ovom zadatku treba kvadrirati izraz u kojem

se nalazi i nepoznanica x pa zadatak moramo

riješiti tako da kvadriramo svaki član zagrade.

(7x)2 = (7 • x)2 = 72 • x2 = 49x2

c) Na jednak način možemo kvadrirati i umnoške

s više faktora.

(–10abc)2 = (–10)2 • a2 • b2 • c2 = 100a2b2c2

Z a d a c i1. Napamet izračunaj:

a) (2 • 4)2; b) (–4 • 3)2; c) (3 • 2)2;

d) (6 • (–2))2; e) (–5 • (–2))2.

2. Oslobodi se zagrade:

a) (3a)2; b) (9 • x)2; c) (–2b)2; d) (bx)2; e) (–xy)2.

3. Oslobodi se zagrade: a) (4ab)2; b) (10xy)2; c) (–5yb)2; d) (–9xm)2; e) (13cdef)2.

4. Zapiši u obliku kvadrata: a) 16; b) 16a2; c) x2a2; d) 25x2; e) 100a2b2; f) 121x2y2z2.

38


5. Kvadriraj:

a) y5

2

; b)

12

x

; c)

−

22

n; d)

a13

2

; e)

x25

2

.

6. Kvadriraj:

a) 23

2x

; b)

−

16

2

x; c)

53

2xy

;

d) 47

2acb−

; e)

118

2x

aby

.

7. Zapiši u obliku kvadrata:

a) x

y

2

2 ; b) x2

4; c)

94

2x; d)

81

16

2

2a

b; e)

144

169

2 2

2 2a b

x y.

8. Izračunaj:

a) 752 : 252; b) 422 : 72; c) 242 : 122;

d) 362 : 92; e) 812 : 272.

9. Izračunaj:

a) 24

36

2

2 ; b) 30

60

2

2 ; c) 4

36

2

2 ; d) 15

50

2

2 ; e) 72

81

2

2 .

10. Kvadriraj:

a) 11002; b) 2102; c) 45 0002;

d) 13002; e) 350 0002.

11. Izračunaj:

a) 162116

22

⋅

; b)

1427

1835

2 2

⋅ −

;

c) ( . )− ⋅ −

0 5

45

22

; d) 235

2526

2 2

⋅

−

;

e) −

⋅

1

45

712

2 2

.

12. Izračunaj:

a) 811

56121

2 2

: ; b)

1232

82

2

: ;

c) −

386

1912

2 2

: ; d) 413

259

2 2

: ;

e) 825

21

10

2 2

−

: .

Primjer 4. Površina kvadrata sa stranicom a + bAna i Luka trebaju

izračunati površinu

stana koji se sastoji

od četiri prostorije, a

njegov tlocrt je prikazan

na slici.

Dvije prostorije su u

tlocrtu kvadrati stranice

a, odnosno b, a dvije pravokutnici sa stranicama

duljina a i b. Luka je računao ovako:

P = a • a + a • b + b • a + b • b = a2 + 2ab + b2.

No, Ana je zaključila da je tlocrt cijelog stana

kvadrat sa stranicom duljine a + b. Zato je

zaključila da je površina stana:

P = (a + b)2.

Što misliš tko je u pravu – Ana ili Luka?

Rješenje:Budući da se slika tlocrta zaista sastoji od

zadanih kvadrata i pravokutnika, zaključujemo

da je Luka u pravu. No, i Ana je u pravu jer je

duljina stranice tlocrta stana jednaka a + b.

Dakle, oboje su u pravu, pa je

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Primjer 5. Kvadrat zbrojaIzračunaj:

a) (a + b)2; b) (6x + 10y)2 .

Rješenje:Kvadrirati izraz znači pomnožiti ga sa samim

sobom. To znači da ćemo množiti dva jednaka

izraza. Podsjetimo se prethodnog poglavlja,

višečlane izraze zapisane u zagradama množimo

tako da svaki član iz prve zagrade

pomnožimo sa svakim članom iz druge zagrade.

a) (a + b)2 = (a + b) • (a + b) =

a • a + a • b + b • a + b • b = a2 + 2ab + b2

Dobivamo formulu (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

U zagradi (a + b)2 zbroj je dvaju brojeva, koji

treba kvadrirati. Dakle treba izračunati kvadrat

od zbroja dvaju brojeva. Zato tu

formulu nazivamo kvadratom

zbroja.kvadrat zbroja

a

a2

a•b

a•b

b2

b

39


Z a d a c i

b) Primijenimo odmah formulu iz zadatka a)

koju možemo izreći i ovako:

(prvi + drugi)2 = prvi2 + 2 • prvi • drugi + drugi2

Prvi član zagrade je 6x, a drugi član je 10y.

Uvrstimo ih u gornju formulu:

(6x + 10y)2 = (6x)2 + 2 • 6x • 10y + (10y)2 =

36x2 + 120xy + 100y2

Nakon uvrštavanja potrebno je srediti dobiven

izraz. Tako je (6x)2 = 36x2 po pravilu kvadriranja

umnoška.

VažnoKvadrat zbroja:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Tu formulu možemo izreći i ovako:

(prvi + drugi)2 = prvi2 + 2 • prvi • drugi + drugi2

Primjer 6. Kvadrat razlikea) (a – b)2; b) (2x – 5y)2.

Rješenje:a) Postupimo kao i u primjeru 4.

(a – b)2 = (a – b) • (a – b) =

a • a – a • b – b • a – b • (–b) = a2 – 2ab + b2

Dobivamo formulu (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

U zagradi je razlika dvaju brojeva koju treba

kvadrirati. Dakle, treba izračunati kvadrat od

razlike dvaju brojeva. Zato tu formulu nazivamo

kvadratom razlike.

b) Primijenimo odmah formulu iz zadatka a) koju možemo izreći i ovako: (prvi – drugi)2 = prvi2 – 2 • prvi • drugi + drugi2

Prvi član zagrade je 2x, a drugi član je 5y. Uvrstimo ih u gornju formulu:(2x – 5y)2 = (2x)2 – 2 • 2x • 5y + (5y)2 = 4x2 – 20xy + 25y2

Nakon uvrštavanja potrebno je srediti dobiven izraz. Tako je (2x)2 = 4x2 po pravilu kvadriranja

umnoška.kvadrat razlike

VažnoKvadrat razlike:(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Tu formulu možemo izreći i ovako:(prvi – drugi)2 = prvi2 – 2 • prvi • drugi + drugi2

13. Izračunaj:

a) (x + y)2; b) (a + 5)2; c) (7 + b)2;

d) (10 + x)2; e) (y + b)2.

14. Izračunaj:

a) (5 – y)2; b) (x – 1)2; c) (3 – b)2;

d) (d – x)2; e) (y – 12)2.

15. Izračunaj:

a) (1 + z)2; b) (5 – c)2; c) (6 – x)2;

d) (a + x)2; e) (b – 7)2.

16. Prepiši u bilježnicu pa dopiši što nedostaje:

a) (x + 4) 2 = x2 ð 8x ð 16

b) (3a -b)2 = 9ð - 6ab + ð

c) (a - 2b)2 = a2 ð 4ab ð 4b2

d) (3 + 4x)2 = ð + ðx ð 16x2

e) (9 ð p)2 = 81 - 18p ð p2

f) (5a + ðb)2 = ða2 + ð ab + 49 b2

g) 2

1 12 4

x y xy − = − +

h) 2

21 15 25 2

5 25a b b b

+ = + .

Aha! Znaèi, (7 + 3)2 n ij e j ednako 72 + 32 Tako j e!

Provj er i to.

Nedostaj e ti dvostruk i prvi puta drugi . ali (7 + 3)2 =

72 + 2 · 7 · 3 + 32

40


17. Izračunaj:

a) (2x +y)2; b) (3a + 4)2; c) (2 + 3b)2;

d) (y + 5x)2; e) (1 + 4b)2.

18. Izračunaj:

a) (3a – b)2; b) (a – 4b)2; c) (1 – 3b)2;

d) (x – 8y)2; e) (6x – 4)2; f) (22 – 1)2.

19. Izračunaj:

a) (a + 11y)2; b) (3x – 1)2; c) (6 – 8m)2;

d) (x + 12y)2; e) (5x – 5)2; f) (3a – a)2.

20. Izračunaj:

a) (34

a + b)2; b) (0.5x – 3)2; c) (15

– 5a)2;

d) (3.5x + 10)2; e) (712

x – 6)2.

21. Izračunaj:

a) (3a + 4b)2; b) (7x – 6y)2; c) (6n – 3m)2;

d) (12x + 12y)2; e) (4xy – 5ab)2; f) 313

2

a −

.

22. Izračunaj:

a) (23

x + 13

y)2; b) (0.5x – 2y)2; c) (49

ab – 3a)2;

d) (6x + 23

xy)2; e) (3

10x –

203

y)2.

23. Izračunaj:

a) a b

ab+

2

2

; b) a ba b

+−

2

; c) a

a b+

2

;

d) 22 3

2a bc

++

; e)

a bb d

−−

23 5

2

.

24. Izračunaj:

a) (ab – 1)2 – (ab)2;

b) (2ab)2 – (2ab – 3)2;

c) (a – 10b)2 + (7ab)2;

d) (a – 3b)2 + (a + 3b)2;

e) (2ab – 1)2 – (2ab + 1)2;

f) 25 – 10 (x + 5) + (x + 5)2.

25. Pomoću formula za kvadrat zbroja i razlike možemo brzo računati kvadrate zadanih brojeva. Ovdje ćemo računati pomoću međurezultata, a u sljedećem zadatku pokušaj računati napamet.

Prepiši u bilježnicu pa dopuni:

a) 212 = (20 + 1)2 = 400 + 40 + _______ = _______;

b) 532 = (50 + 3)2 = 2500 + ______ + ______ = _____;

c) 692 = (70 – 1)2 = 4900 – 140 + _______ = _______;

d) 982 = (100 – 2)2 = 10 000 – _______ + _______ = _______.

26. Izračunaj:

a) 332; b) 912; c) 292; d) 472; e) 822.

Primjer 7. Promjena predznakaPokaži da je:

a) b a a b−( ) = −( )2 2

; b) − −( ) = +( )a b a b2 2

.

Rješenje: Primijenimo formulu za kvadrat razlike:

a) b a b ab a a ab b a b−( ) = − + = − + = −( )2 2 2 2 2 22 2

b)

Do ovih se rezultata moglo doći i množenjem

dviju jednakih zagrada.

− −( ) = −( ) − ⋅ −( ) ⋅ + = + + = +( )a b a a b b a ab b a b2 2 2 2 2 2

2 2

Važno

b a a b b a a b

a b a b

−( ) = −( ) = − +( ) = − +( )− −( ) = +( )

2 2 2 2

2 2

Z a d a c i27. Izračunaj:

a) (–a + b)2; b) (–x – y)2; c) (–n + 2m)2;

d) (–2x + 10y)2; e) (–4y – 5x)2.


a) a2 + 2ab + b2; b) x2 – 2xy + y2;

c) b2 + 4b + 4; d) 25x2 + 30xy + 9y2;

e) 100m2 – 180mn + 81n2.


a) 100 – 20b + b2; b) 925

x2 – 65

xy + y2;

c) 0.01b2 + 0.04b + 0.04;

d) 0.25x2 + 0.3xy + 0.09y2;

e) 49

m2 – 12mn + 81n2.

30. Pojednostavi:

a) (a + b)2 + (2a – b)2; b) (x – y)2 + (x + y)2;

c) (3a + b)2 – (a – 3b)2; d) (a – 5b)2 + (2a – 3b)2;

e) (4x + 3y)2 – (2y – 8x)2.

31. Pojednostavi:

a) (a + b)2 + a(a – b); b) (x – y)2 – 2x(x + y);

c) –6(3a – 4) + (2a – 3)2; d) 2(a – 3)2 – (4a – 1)2;

e) –2(2x + 8y)2 – 5(3y – 3x)2.

41


Primjer 8. Razlika kvadrataIzračunaj:

(a + b) • (a – b).

Rješenje:Pomnožimo zadane zagrade:

(a + b) • (a – b) =

a • a – a • b + b • a – b • b =

a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Zbroj pribrojnika –ab + ab jednak je 0 jer su to

suprotni pribrojnici.

Tako dolazimo do formule

(a + b) • (a – b) = a2 – b2

koju obično zapisujemo u obrnutom redoslijedu:

a2 – b2 = (a + b) • (a – b)

To je formula u kojoj su zadani kvadrati a2 i b2

i traži se njihova razlika. Zato tu formulu nazi-

vamo razlikom kvadrata.

Važno

Razlika kvadrata:

a2 – b2 = (a + b) • (a – b)

Tu formulu možemo izreći i ovako:

prvi2 – drugi2 = (prvi + drugi ) • (prvi – drugi )

razlika

kvadrata

Primjer 9. Izračunaj razliku kvadrata

a) 16x2 – 25y2; b) 103 • 97.

Rješenje:a) Zadani izraz zapišimo u obliku razlike kva-

drata:

16x2 – 25y2 = (4x)2 – (5y)2 = (4x – 5y)(4x + 5y)prvičlan

drugičlan

Izraze 16x2 i 25y2 napisali smo u obliku kvadrata

umnoška 16x2 = (4x)2 i 25y2 = (5y)2, a zatim ra-

stavili na umnožak dviju zagrada.

b) Razlika kvadrata će nam pomoći da zadatke

poput 103 • 97 izračunamo napamet. Primijeti-

mo da su oba faktora „udaljena“ do 100 za 3 , a sa

100 je lako množiti. Zatim primijenimo formulu

za razliku kvadrata da bismo olakšali računanje.

103 • 97 = (100 + 3) • (100 – 3) = 1002 – 32 =

10 000 – 9 = 9991.

Kakve veze (a+b) • (a–b) ima s razlikom kvadrata? Pa

tu nema n ikakvih kvadrata!

tvoj a glava j e nekako kvadratna. možda zbog

fr izure?

aha! sad vidim razliku

kvadrata!

dobro, n ij e kvadratna. mogu

sad sk inuti kutij u?

Z a d a c i32. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada:

a) c2 – d2; b) x2 – y2; c) m2 – n2

d) x2 – b2; e) z2 – t2.

33. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada:

a) 64 – a2; b) x2 – 25; c) 36 – y2;

d) x2 – 1; e) 4 – b2.

34. Izračunaj površinu crveno obojanih geometrijskih

likova sa slike. Što misliš, koji od njih ima veću

površinu? Provjeri za a = 3 i b = 5.

35. Zapiši u obliku umnoška:

a) 25x2 – y2;

b) a2 – 49b2;

c) 100 – 49n2;

d) 81 – 9y2;

e) 144c2 – d2.


a) 16x2 – 49y2;

b) 25b2 – 64a2;

c) 121m2 – 169n2;

d) x2 – 9y2;

e) 144c2 – d2.


a) 0.16x2 – 0.01y2;

b) 425

b2 – 64;

c) 1

16a2 –

164

b2;

d) 2.25x2 – 144169

y2;

e) 0.09y2 – 9.

38. Zapiši u obliku razlike kvadrata:

a) (c + d)(c – d);

b) (x + 6)(x – 6);

c) (1 + y)(1 – y);

d) (100 – a)(100 + a);

e) (m + 1681

)(m – 1681

).

39. Izračunaj primjenjujući razliku kvadrata:

a) 49 • 51; b) 8 • 12; c) 103 • 97;

d) 204 • 196; e) 29 • 31.


a) (3a + b)(3a – b);

b) (2x + 3)(2x – 3);

c) (1 + 6y)(1 – 6y);

d) (53

– 5a)( 53

+ 5a);

e) (53

m + 211

)(53

m – 211

).


a) (2x + 8y)(2x – 8y); b) (7a + 9b)(7a – 9b);

c) (1419

x + 1112

y)( 1419

x– 1112

y);

d) (0.1b – 0.3a)( 0.1b + 0.3a);

e) (6mn + 27

k)(6mn – 27

k).

42. Prepiši u bilježnicu pa dopuni:

a) (5a + 2b) • ( __ ___ __ ___ ) = 25a2 – 4b2;

b) (a – 0.3b) • ( __ ___ __ ___ ) = a2 – 0.09b2.

43. Izračunaj:

a) (♠ + ♥) • (♠ – ♥);

b) (♦ + ♣)2

c) (♪ – ♫)2;

d) (uh)2 – (oh)2;

e) (☺ + ☼)2.

44. Pojednostavi:

a) (x + y)(x – y) + (2x – y)2;

b) (a + 2)(a – 2) + (2 – 7a)2;

c) (5d – c)2 – c(5 – c);

d) (a + b)2 + (a – b)2 – (a + 2b)(a – 2b);

e) (2x – a)2 – (a – x)2 – (4x + 3y)(4x – 3y).

45. Riješi jednadžbe:

a) (x – 1)2 – (x – 1)(x + 1) = 6;

b) (x + 7)2 – (x – 2)(x + 2) = x;

c) (2x – 3)2 – (x – 1)2 = 3x2 – 1;

d) – (5y – 8)2 + (5y – 3)(5y + 3) = 2(y + 7) – 9;

e) 4(a – 7)2 – (2a – 1)2 = –3(–1 – 4a).

b

a

a+ba-b

42


43



a) (–2a)2; b) (3 • x)2; c) (–4b)2;

d) (ax)2; e) (–5xy)2.


a) (3ab)2; b) (–11xy)2; c) (–yb)2;

d) (7xm)2; e) (19cdef)2.


a) 64; b) 25a2; c) x2a2;

d) 16x2; e) 81a2b2; f) 169y2z2.

4. Kvadriraj:

a) 2

15y

; b)

24x

; c) 21

n−

;

d) 2

14a

; e)

2

16x

.

5. Kvadriraj:

a) 27

3x

; b)

218x−

; c) 2

35xy

;

d) 26

9acb

−

; e) 2

127

xaby

.


a) 2

2

25x

y; b)

2

16x

; c) 281

4x

; d) 2

2

121

64

a

b; e)

2 2

2 2

196

169

a b

x y.

7. Izračunaj:

a) 2

2 2132

8 ⋅

; b) 2 228 54

27 35 ⋅ − ;

c) 2

2 40( 0.5)

45− − ⋅ ; d)

2 23 252

5 39 ⋅ −

;

e) 2 2 24 1 14

1 77 11 13

− ⋅ ⋅ .

8. Izračunaj:

a) 2 28 56

:17 289

; b) 2

212: 88

32 ;

c) 2 2 238 12 36

:6 19 361

− ⋅ ;

d) 2 2 21 5 2

4 : 2 : 15 7 19

;

e) 2 2 22 1 23

3 : 1 :7 9 35

− .

9. Pojednostavni:

a) (2x + y)2; b) (3a + 5)2; c) (6 + b)2;

d) (y + x)2; e) (7 + b)2.

10. Pojednostavni:

a) (5 –2y)2; b) (x – 1)2; c) (3 – 4b)2;

d) (5 – x)2; e) (y – 2)2.

11. Pojednostavni:

a) (1 – x)2; b) (5a – c)2; c) (6 – 2x)2;

d) (3a + x)2; e) (2b – 7)2.

12. Pojednostavni:

a) (ab – 2)2 – (ab) 2;

b) (2a) 2 – (2a – 3)2;

c) (x – 10y)2 + (7xy) 2;

d) (a – 2b)2 + (a + 2b) 2;

e) (2x – 1)2 – (2x + 1) 2;

f) 25 – 10 (x + 3) + (x + 3) 2.


a) c2 + 2cd + d2; b) x2 – 2xy + y2;

c) x2 + 4x + 4; d) 16x2 + 24xy + 9y2;

e) 25m2 – 90mn + 81 n2.


a) 25c2 + 10cd + d2; b) 64x2 – 80xy +25y2;

c) 9x2 + 12x + 4; d) 100x2 +20 xy + y2;

e) 49m2 – 14mn + n2.


a) 81c2 + 18cd + d2; b) x2 – 22xy + 121y2;

c) x2 – 4x + 4; d) 16x2 – 24xy + 9y2;

e) m2 –2mn + n2.


a) 121 – 22b + b2; b) 4

49 x2 – 47

xy + y2;

c) 0.04b2 + 0.04b + 0.01;

d) 0.25x2 – 0.3xy + 0.09y2;

e) 94

m2 – 9mn + 9n2.

Vježbalica

44



a) 64 – 4a2; b) x2 –1; c) 144 – y2;

d) x2 – 196; e) 16 – b2.


a) x2 – a2; b) c2 – 4d2; c) 16m2 – n2;

d) 25x2 – 81b2; e) 121z2 – 169t2.


a) (a + d)(a – d); b) (x + 7)(x – 7);

c) (1 + b)(1 – b); d) (11 – a)(11 + a);

e) (m + 18

)(m – 18

).


a) (5c + d)(5c – d); b) (3x + 6)(3x – 6);

c) (23

+ y)(23

– y); d) (1 – a)(1 + a);

e) (m +2x)(m –2x).

21. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:

a) 4x2 –16; b) (2x –3)2; c) 25x2 + 10x +1;

d) (3x + 2)(3x – 2); e) 81x2 – 72x + 16.


a) 100x2 – 20x + 1; b) x2 –25; c) x2 + 8x +16; d) (7x –2)2; e) (x + 1)(x – 1).


a) (3x –1)2; b) 49x2 –25; c) 16x2 + 8x +1;

d) (x + 16)(x – 16); e) 81y2 – 198y + 121


a) 121x2 – 88x + 16; b) (x –12)2; c) x2 –225; d) x2 + 14x + 49; e) (3x + 17)(3x – 17).


a) (4x + 1)(4x – 1); b) x2 –361;

c) 4x2 + 20x +25; d) (2x –5)2; e) x2 – 2x + 1.


a) 25x2 – 40x + 16; b) 36x2 + 12x +1;

c) 16x2 –1; d) (x –2y)2; e) (8x + 1)(8x – 1).


a) x2 – 10x + 25; b) x2 + 2x + 1; c) x2 –9;

d) (3x – y)2; e) (x +7 )(x –7 ).


a) 169x2 – 26x + 1; b) 25x2 + 30x + 9;

c) 25x2 –1; d) (2x –5y)2; e) (3x + 1)(3x – 1).


a) x2 –196; b) (x – 4)2; c) 4x2 +12 x +9;

d) (7x +3 )(7x –3 ); e) x2 –18 x + 81.


a) x2 – 20x + 100; b) x2 –225; c) 49x2 + 28x + 4;

d) (x –5)2; e) (x + 6)(x – 6).


a) (x –15)2; b) 9x2 – 289; c) 121x2 + 22x + 1;

d) (x + 21)(x – 21); e) 144y2 – 72y + 9.


a) x2 – 6x + 9 ; b) (4x – 7)2; c) x2 – 49;

d) 25x2 + 60x + 36; e) (x + 3)(x – 3).

33. Pojednostavi:

a) (2a + b)2 + (2a – b)2; b) (x – y)2 – (x + y)2;

c) (4a + b)2 – (a – b)2; d) (5a – b)2 + (a – 3b)2;

e) (x + 3y)2 – (2y – x)2.

34. Pojednostavi:

a) (3a + b)2 + a(3a – b); b) (2x – y)2 – x(x + y);

c) – (a – 4) + (a – 3)2; d) –2(4a – 3)2 – (a – 1)2;

e) – (x + 2y)2 – 5(y – 3x)2.

35. Pojednostavni:

a) (3x + y)(x – y) + (2x – y)2;

b) (a + 2)(a – 2) + (2 – a)2; c) (5 – c)2 – c(5 – c); d) (a + 2b)2 + (a – 2b)2 – (a + b)(a – b);

e) (2x – y)2 – (y – x)2 – (x + 3y)(2x – y).

36. Pojednostavni:

a) (x + y)(x – y) + (x – y)2;

b) (3a + 2)(a – 1) + (1 – a)2;

c) (2 – c)2 – c(3 – c);

d) (3 + b)2 + (4– b)2 – (3+ 2b)(1 – 2b);

e) (2x –3)2 – (1– x)2 – (4x + 3)(4x – 3).

45


1.5. Potencije

Pomnožimo

Pogledaj brojeve u tablici, prepiši tablicu u bilježnicu pa i dopiši one koji nedosta-

ju. Kakva vez postoji između dva susjedna broja u tablici, a kakva između prvog

i zadnjeg?

1 3 9 27 81

Matijino pitanje iz desne ilustracije možemo još proširiti i pitati se: postoje li

a4, a5, a6 itd.? Evo i odgovora.

Znamo da je 52 skraćeni zapis za umnožak

5 • 5. Tada će na isti način 53 biti skraćeni

zapis za 5 • 5 • 5 jer se u rastavu nalaze tri

ista faktora 5.

Dalje, 54 je skraćeni zapis od 5 • 5 • 5 • 5 itd.

Zapišimo to:

52 = 5 • 5 čitamo: “5 na drugu” ili

“5 na kvadrat”

53 = 5 • 5 • 5 čitamo: “5 na treću”

54 = 5 • 5 • 5 • 5 čitamo: “5 na četvrtu”

55 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 čitamo: “5 na petu”

itd.

Dodajmo na početak tog niza dogovor da je 51 = 5. Kažemo da smo te umnoške

zapisali pomoću potencija broja 5. potencija

baza

potencije

eksponent

A zašto se kvadr iranj e

oznaèava baš s malim

broj em 2, a ne s nek im drugim

broj em?

Postoj i l i na pr imj er

i a3?

Važno

Neka je a racionalan broj i n prirodan broj. Potencija an broj je zapisan u

obliku umnoška n jednakih faktora a.

a1 = aa2 = a • aa3 = a • a • a

a4 = a • a • a • a

...

a a a an

n

= ⋅ ⋅ ⋅... faktora� ��

Broj a se pritom naziva bazom potencije an , a n je njezin eksponent.

an

bazaeksponent

an

potencija

46

1 . 5 . P o t e n c i j e

Primjer 1. PotenciranjeIzračunaj:

a) 37; b) 54

7 ; c) 0.54.

Rješenje:a) Baza potencije je 3, a eksponent je 7. To zna-či da se broj 3 pojavljuje kao faktor 7 puta. Izra-čunajmo umnožak: 37 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 2187.

b) Baza potencije je 47

, a eksponent je 5. To zna-

či da se broj 47

pojavljuje kao faktor 5 puta. Izra-

čunajmo umnožak: 54 4 4 4 4 4 1024

7 7 7 7 7 7 16807 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

c) Baza potencije je 0.5, a eksponent je 4. To znači da se broj 0.5 pojavljuje kao faktor 4 puta. Izračunajmo umnožak: 0.54 = 0.5 • 0.5 • 0.5 • 0.5 = 0.0625.

Kubne mjerne jedinice

Umnožak a • a • a zapisujemo u obliku poten-

cije kao a3. Broj a3 nazivamo trećom potenci-

jom od a ili kubom broja a.

Na isti način i množenjem mjerne jedinice za

duljinu sa samom sobom (duljina • širina •

visina) dobivamo kubnu mjernu jedinicu.

1 cm3 = 1000 mm3

Mjerne jedinice za obujam su:

mm3 (kubni ili kubični milimetar),

cm3 (kubni ili kubični centimetar),

dm3 (kubni ili kubični decimetar) ili jedna litra,

m3 (kubni ili kubični metar) itd.

Kubne mjerne jedinice nazivaju se i mjernim

jedinicama za obujam (volumen).

Z a d a c i1. Izračunaj: a) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27; b) 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37; c) 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47.

2. Izračunaj: a) 0.21, 0.22, 0.23, 0.24, 0.25;

b) 1.31, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35, 1.36, 1.37;

c) 18

1

,

18

2

,

18

3

,

18

4

,

18

5

.

3. Izračunaj: a) 53; b) 38; c) 24; d) 51; e) 62; f) 84; g) 34; h) 93; i) 210; j) 77.

4. Izračunaj: a) 0.53; b) 2.672; c) 1.444; d) 10.53; e) 7.34.

5. Izračunaj:

a) 34

3

; b)

29

2

; c)

1687

1

; d)

49

5

; e)

711

4

.

6. Izračunaj: a) 25 i 52; b) 62 i 26; c) 53 i 35; d) 37 i 73; e) 310 i 103.

7. Zapiši u obliku potencije i izračunaj:

a) 3 • 3 • 3 • 3; b) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2;

c) 2.8 • 2.8 • 2.8 • 2.8; d) 511

;

e) 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1.

8. Zapiši u obliku potencije:

a) 125; b) 27; c) 81; d) 625; e) 729;

f) 64; g) 1; h) 0.04; i) 2.25; j) 1

27.

9. Zapiši u obliku potencije: a) a • a • a • a • a • a; b) x • x • x • x • x • x • x • x • x • x • x; c) m • m • m • m; d) y • y; e) b • b • b • b • b • b • b • b.

1cm3

1 cm1 cm

1 cm

Potenciranje na džepnom računalu

Da biste izračunali koliko je 86, pritisnite:

1. Tipku s brojem 82. Tipku za potenciranje ^

3. Tipku s brojem 63. Za prikaz rezultata pritisnite tipku ENTER=4. Na zaslonu će se prikazati rezultat 262 144.

potenciranje^

47



a) (a + b) • (a + b) • (a + b);

b) (x – y) • (x – y);

c) (2c – 3d) (2c – 3d) (2c – 3d) (2c – 3d) (2c – 3d);

d) 2a;

e) (a + 6)(a + 6)(a + 6)(a + 6)(a + 6).

11. Na drvetu su dvije grane, na svakoj su grani

dvije grančice, na svakoj grančici po 2 lista.

Koliko je ukupno listova na drvetu? Nacrtaj sliku

i izračunaj.

12. U sobi je 7 vaza, u svakoj je vazi 7 cvjetova, na

svakom cvijetu 7 latica. Koliko je ukupno latica?

13. U učionici je 9 đaka, svaki đak ima 9 knjiga,

u svakoj je knjizi 9 listova, na svakom listu 9

rečenica. Koliko je rečenica ukupno?

14. Izmisli zadatak sličan zadacima 12 i 13 i riješi ga.

15. Papir podijelimo na tri dijela te svaki novi komad

papira opet na tri dijela. Koliko ćemo komada

papira dobiti nakon tri takve podjele?

16. Bakterija ima svojstvo da se svakog sata podijeli

tako da od jedne nastavu dvije bakterije, nakon još

jednog sata od one dvije nastanu četiri i tako redom.

Koliko će ukupno bakterija biti nakon 8 sati?

17. Prateći obiteljsko stablo porodice Četvrtković došli

smo do zanimljivih zapažanja: svaki potomak je

uvijek dobio točno četiri nova potomka. Koliko

je začetnik obiteljskog stabla, gospodin Ivan

Četvrtković, imao potomaka u petom naraštaju

(Ivana računamo kao prvi naraštaj).

18. Izračunaj:

a) 36 + 63; b) 24 + 3 • 44; c) 32 + 8 • 76;

d) 82 – 25 • 2; e) 4 • 52 + 103 • 3.

Potencije su moćne! (Priča o šahu)

Prema jednoj legendi, čovjek koji je izumio šah bio je pozvan kod perzijskog cara. Car mu je rekao:

- Nagradio bih te, što želiš? Sam odaberi nagra-du.

Odgovor je bio:

- Uzmi šahovsku ploču i na prvo polje stavi jed-no zrno pšenice, na drugo dvostruko više, na treće još dvostruko više i tako udvostručuj zrna pšenice za svako sljedeće polje dok ne dođeš

do zadnjeg polja. Ta zrna pšenice bit će moja nagrada.

Car se jako iznenadio jer mu se činilo da je na-grada skromna, ali kada su izračunali koliko je zrna pšenice potrebno, vidjeli su da u cijelom velikom carstvu nemaju toliko pšenice za isplatu!

Primjer 2. Množenje potencija jednakih bazaIzračunaj:

a) 102 • 103; b) 35 • 38.

Rješenje:a) Zapišimo zadane potencije u obliku umnoška.

102 • 103 = 10 10 10 10 10

10 102 3

⋅ ⋅ ⋅ ⋅�� =105

Ukupno množimo 5 desetica, rezultat je 105.

Zaključujemo da je: 102•103 = 105. U ekspo-

nentima primjećujemo da je 2 + 3 = 5.

b) 35 • 38 =

Ukupno množimo 13 trojki, rezultat je 313. Za-

ključujemo da je: 35 • 38 = 313. U eksponentima

primjećujemo da je 5 + 8 = 13.

….. ovo dalje je isto kako je bilo

Općenito, ako su zadane potencije am i an ,

gdje su m i n prirodni brojevi, tada vrijedi:

a a a a a am n

m n

m

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

... ... faktora faktora

ukupno

��

nn

m na

faktora� ��

= +

a a am n m n⋅ = +

3 3 3 3 3

3

3 3 3 3 3 3 3 3

35 8

13⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =( ) ( )� ��

33

48

1 . 5 . P o t e n c i j e

Primjer 3. Dijeljenje potencija jednakih bazaIzračunaj:

a) 10

10

8

7; b) 49 : 46.

Rješenje:a) Zapišimo zadane potenci-

je u obliku umnoška jednakih fakto-

ra pa pokratimo odgovarajuće faktore:

10

10

10 10 10 10 10 10 10 1010 10 10 10 10 10 10

10 108

71= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

Zaključujemo da je 108 : 107 = 101. U ekspo-

nentima primjećujemo jednakost 8 – 7 = 1.

b) 4 44

4

4 4 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4

4 4 4 49 69

63: = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ =

Zaključujemo da je 49 : 46 = 43. U eksponenti-

ma primjećujemo da je 9 – 6 = 3.

Općenito, ako su zadane potencije am i an ,

gdje su m i n prirodni brojevi i m > n, tada vri-

jedi:

a aa a

a am n

m

n

:............

...= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

faktora

faktora

� ��

�� = −am n

U razlomku je u brojniku m faktora a, a u naziv-

niku je n faktora a. Nakon skra-

ćivanja ostaje m – n faktora a.

Z a d a c i19. Pomnoži potencije:

a) 103 • 106; b) 105 • 1016; c) 1031 • 1065;

d) 104 • 109; e) 10100 • 10610; f) 104 • 105.

g) 1013 • 106; h) 1055 • 1010; i) 103 • 1015;

j) 1044 • 1090; k) 10102 • 1010; fl 102 • 103.

20. Podijeli potencije:

a) 106 : 102; b) 1050 : 1016; c) 109 : 106;

d) 1014 : 109; e) 10100 : 1010; f) 107 : 105.

a) 1016 : 104; b) 105 : 10; c) 1012 : 106;

d) 10140 : 1040; e) 1010 : 1010; f) 107 : 107.


a) 62 • 68; b) 105 • 105; c) 12

12

9 13

⋅

;

d) 1.336 • 1.333; e) 348 • 3426.


a) 1012 : 103; b) 7

7

7

3 ; c) 59 : 58;

d) 1.610 : 1.67; e) 3

103

10

56 33

:

.


a) 87 • 81; b) 1112 : 113; c) 32 • 314;

d) 10

10

7

5 ; e) 5536 : 5530.

24. Koje jednakosti su točne? Netočna rješenja

ispravi.

a) 52 • 53 = 56; b) 89 : 85 = 83;

c) 105 : 104 = 109; d) 71 • 71 = 72;

e) 186 • 182 = 1812.


a) a9 • a9; b) b2 : b1; c) x5 • x6;

d) y8 : y4; e) b16 : b5.

26. Izračunaj, pazeći na razlike između zbrajanja i

množenja:

a) 3a • a; b) 3a2 – a2; c) 3 • 29 – 29;

d) a4 + a4 + a4; e) a4 • a4 • a4.


a) (a – 5)3 • (a – 5)2; b) (x + b)15 : (x + b)8;

c) (3x)7(3x)6; d) (2y + b)11 : (2y + b)10;

e) (b – 3a)9 : (b – 3a)7.

28. Zašto ove jednakosti nisu točne?

a) 82 • 88 = 816; b) a3 • b5 = (ab)8;

c) (a + 1)5 • (b + 1)3 = (a + 1)8.

29. Koje su jednakosti točne? Netočna rješenja ispravi.

a) 5 • 53 = 54; b) 39 : 38 = 3;

c) 45 : 43 = 16; d) 71 : 71 = 49;

e) 26 : 22 = 16.


a) x x x2 4 8⋅ ⋅ ;

b) x x x x2 4 8⋅ ⋅ ⋅ ;

c) 2 2 2 2 21 2 3 4 5⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ;

a a am n m n: = −

49


d) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 45 7 2a a a a⋅ ⋅ ⋅ ;

e) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +2 2 2 2.

31. U kvadratić upiši broj koji nedostaje:

a) 2 2 26 8⋅ = ; b) a a a9 8: = ;

c) 10 10 108 6: = ; d) 5 5 59 3⋅ = ;

e) x x x x6 3 13⋅ ⋅ = .

32. Izračunaj:

a) 2 2

2

2 6

3⋅

; b) 3 3

3

2 3⋅; c)

10 10 10

10 10

2 6 5

3 4⋅ ⋅

⋅;

d) 7 7 7

49⋅ ⋅

; e) 9 9 9 81

99

6 8

3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .


a) x xn m⋅ ; b) x xa a5 7⋅ ; c) z z k6 14⋅ ;

d) x xm n m n14 11+ −⋅ ; e)3 32 9a b a b+ −⋅ .


a) x

x

n

3 ;

b) x x

x

a a⋅ 4

9 ;

c) 5

5

6

6

a

b ;

d) 2 2 2

2

8 4 1

6 3⋅ ⋅ −

+

n n

n ;

e) a a a

aa

m n m

m nm n

3 9 2

2 36⋅ ⋅ ⋅

−

+−

.

Primjer 5. Množenje zagrada i potencijePojednostavi:

a) 2x2(3x3 + x );

b) (3a + a2b3)(7a5 – 9ab2).

Rješenje:a) Izraz 2x2 pomnožit ćemo sa svakim pribroj-

nikom u zagradi.

2x2(3x3 + x ) = 2x2 •3x3 + 2x2 • x

Sada ćemo združiti poznanice s poznanicama

i nepoznanice s nepoznanicama istog imena u

svakom pribrojniku.

2x2 •3x3 = 2 • 3 • x2 • x3 = 6x5

2x2 • x = 2 • x2 • x1 = 2x3

Evo cijeloga postupka:

2x2(3x3 + x ) = 2x2 •3x3 + 2x2 • x = 6x5 + 2x

b) Pomnožimo svaki pribrojnik prve zagrade

sa svakim iz druge. Nakon množenja združimo

odgovarajuće faktore.

(3a + a2b3)(7a5 – 9ab2) =

3a • 7a5 – 3a • 9ab2 + a2b3 • 7a5 – a2b3 • 9ab2 =

21a6 – 27a2b3 + 7a7b3 – 9a3b5.

Primjer 4. Potenciranje potencijeIzračunaj:

a) (103)5; b)

6435

.

Rješenje:a) Napišemo danu potenciju u obliku umnoška:

(103)5 = 103 • 103 • 103 • 103 •103 =

= 10 3+3+3 +3+3= 105 • 3 = 1015.

Zaključujemo da je (103)5 = 1015. U eksponenti-

ma primjećujemo jednakost 3 • 5 = 15.

b) 64 4 4 4 4 4 4 6 4 243 3 3 3 3 3 3 3 3

5 5 5 5 5 5 5 5 5

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

Zaključujemo da je

64 243 35 5

= . U ekspo-

nentima primjećujemo jednakost 4 • 6 = 24.

( ) nm m na a ⋅=

50


Z a d a c i35. Potenciraj:

a)( 103)6; b) (105)10; c) (1031)5; d) (104)9;

e) (10100 )10; f) (104)5; g)( 103)7; h) (105)11; i) (102)5; j) (104)8; k) (1010 )7; l) (108)5.

36. Potenciraj:

a)( 123)6; b) (a5)10; c) (x31)5; d) (64)9;

e) (7100 )10; f) (254)5. g)( 43)7; h) (b5)11;

i) (y2)5; j) (24)8; k) (310 )7; l) (x8)5.


a) a2(a + a2); b) 7a(a2 + 3a4 + a); c) (5x2 – 4x) • x5; d) xy2(y5 + x2); e) xy(3x2y5 – xy3 – 3).

38. Oslobodi se zagrada: a) 4x2 (–5x + 9x2); b) –2a(a2 + a4 – 6a); c) (–3ax2 – 4ax) • a2x5; d) 6a4y2(–7ay5 + y2); e) 9xy(–x2y5 + xy3 – 3x).

39. Oslobodi se zagrada: a) (a2 – 9a)(a + a2); b) (7a – 1)(a2 + 3a4 + a); c) (–2x2 – 6x) • (3x5 +4); d) (7xy + xy2)(y5 + x2); e) (9x – 5xy)(3x2y5 – xy3 – 3).

1. Izračunaj: a) 33; b) 45; c) (–6)2; d) 71; e) (–6)8; f) 24; g) –35; h) 23; i) –110; j) 47.

2. Izračunaj: a) 0.23; b) –7.62; c) (–1.6)4; d) 11.53; e) –5.34.

3. Izračunaj:

a)3

35

− ;b)–

227

− ; c)

01687

; d)

643

− ;e) 4

710

.

4. Izračunaj: a) 26 + 62; b) 34 + 3 • (–4)1; c) 22 + 8 • 36; d) (–1)2 – (–2)5 • 2; e) –4 • (–5)2 + 103 • 3.

5. Izračunaj: a) (–2)6 + 32; b) (–1)2 – 25 • (–2); c) 22 + (–7) • 36; d) –4 • (–4)2 + 13 • 3; e) 24 + (–2) • (–1)1.

6. Izračunaj: a) 120 + (–6)2; b) (–3)4 + 3 • (–3)2; c) 4•12 + (–1)3 • 27; d) (–2)2 – (–5)2 • 3; e) –6 • (–7)2 + 113 • (–2).

7. a) 1023 • 107; b) 105 • 106;

c) 1031 • 105; d) 1014 • 109;

e) 1010 • 1061.

8. a) 1062 : 1021; b) 105 : 102;

c) 1019 : 1016; d) 104 : 102;

e) 10101 : 1011; f) 1075 : 105.

9. Zapiši u obliku potencije: a) 89 • 81; b) 1129 : 113; c) 312 • 3114;

d) 17

5

10

10; e) 536 : 530.

10. Zapiši u obliku potencije: a) a8 • a8; b) b4 : b1; c) x15 • x6; d) y7 : y4; e) b15 : b5.

11. Izračunaj, pazeći na razlike između zbrajanja i množenja:

a) 9a •a; b) 4a2 – a2; c) 9 • 211 – 211; d) a6 + a6 + a6; e) a6 • a6 • a6.

12. Izračunaj:

a) 12 0

3

12 12

12

⋅; b)

5 144 44⋅

; c) 8 6 5

3

7 7 7

7 49

⋅ ⋅⋅

;

d) 15 15 15

225⋅ ⋅

; e) 6

3

8 2 4 162

2

⋅ ⋅ ⋅⋅ .

13. Izračunaj:

a) 2 6

3

1 1

1

⋅; b)

5 43 33⋅

; c) 8 6 5

3 4

11 11 11

11 11

⋅ ⋅⋅

;

d) 12 12 12

144⋅ ⋅

; e) 6 8

3

8 8 8 648

8

⋅ ⋅ ⋅⋅ .

14. Izračunaj:

a) 2 6

3

12 12

12

⋅; b)

53 273⋅ ; c)

8 6 5

3 16

a a a

a a

⋅ ⋅⋅

;

d) 3

4 8 16

2

⋅ ⋅; e)

6 8

3

5 5 5 255

5

⋅ ⋅ ⋅⋅ .


a) 4ax x⋅ ; b) 7 5a ax x⋅ ; c) 6 3kz z⋅ ;

d) 7 4m n m nx x+ −⋅ ; e) 3 73 3a b a b+ −⋅ .


a) 7

3

n

nx

x; b)

8

7

a ax x

x

⋅; c)

6

6

8

8

a

b ; d) 4 3 1

6 4

2 2 2

2

n n

n

−

+⋅ ⋅

;

e) 3 9 2

62 3

7 7 77

7

m n mm n

m n

−−

+⋅ ⋅

⋅ .

17. Oslobodi se zagrada: a) x2(x + x2); b) 3a(a4 + 3a3 + a); c) (3x2 – x) •2x5; d) xy6(y2 + x3); e) 2xy(3x2y5 – 3xy3 – 2).

18. Oslobodi se zagrada: a) –4x2 (–x + 2x2); b) –2a(–a2 + 3a4 – a); c) (–3ax2 – 4ax) • (–a2x5); d) a4y2(–ay5 + 10y2); e) 8xy(–4x2y5 + 5xy3 – 2x).

19. Oslobodi se zagrada: a) (a3 – a)(a + a2); b) (3a – 1)(a2 + 3a +1); c) (–x2 – 6x) • (x5 +4); d) (7xy + y2)(2y5 + x2); e) (10x – y)(x2y5 – xy3 – 1).

Vježbalica

1.6. Potencije s bazom 10

Zanimljivi podaci

Pročitaj ove rečenice:

Zemlja je udaljena od Sunca 149 000 000 000 m.

Masa elektrona je 0.00000000000000000000000000091 g.

Svjetlosna godina je jedinica za duljinu i iznosi 9 460 000 000 000 000 m.

Priznat ćemo da je vrlo nezgodno čitati tako velike brojeve, kao što bi bilo vrlo

nepraktično pisati ih i računati s njima u tom obliku. Zato se za zapisivanje vrlo

velikih i malih brojeva upotrebljava zapis s potencijama broja 10.

Brojeve možemo zapisati u obliku a • 10n , gdje je a bilo koji broj između 1 i 10,

a n je cijeli broj. Budući da se taj zapis najviše upotrebljava u prirodnim znano-

stima, nazivamo ga znanstvenim oblikom broja. Tako brojeve lakše možemo

pisati, čitati, uspoređivati i računati s njima. Primjerice, broj zapisan u znanstve-

nom zapisu je 2.35 • 103. To je broj 2350.

Obratno, broj 230 se može zapisati u obliku 2.3 • 102. Broj 56 890 može se za-

pisati kao 5.689 • 104. Evo još nekoliko primjera:

5438 = 5.438 • 103

688 000 000 = 6.88 • 108

Primijetimo da se velike vrijednosti prikazuju u znanstvenom zapisu s prirod-

nim eksponentima (tj. eksponenti su prirodni brojevi). Za male vrijednosti se

uvode negativni cjelobrojni eksponenti. Pogledamo kako:

Decimalni broj 0.1 pretvorimo u dekadski razlomak.

110

1

101=

Važno

Neka je n prirodni broj. Potencija broja 10 je broj zapisan u obliku umnoška

10 10 10 10n

n

= ⋅ ⋅ ⋅... faktora

� �� .

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10 000

105 = 100 000

...

10 10 10 10 100 00n

n n

= ⋅ ⋅ ⋅ =... ... faktora nula

� ��

Primjećujemo da je za prirodni n potencija 10n zapravo dekadska jedinica.

51


Primjer 1. Potencije s prirodnim eksponentom Izračunaj:

a) 2 • 102, 4 • 101, 8 • 103, 5 • 105;

b) 2.3 • 103; 3.5 • 102, 8.8 • 109, 1.9 • 104.

Rješenje:a) Prvo izračunamo potenciju, a zatim

pomnožimo s faktorom ispred potencije. Ovaj

zadatak možemo izračunati napamet.

2 • 102 = 200, 4 • 101 = 40, 8 • 103 = 8000,

5 • 105 = 500 000.

b) 2.3 • 103 = 2300; 3.5 • 102 = 350,

8.86 • 109 = 8 860 000 000,

1.9 • 104 = 19 000.

Primjer 2. Veliki brojeviBroj 345 000 000 zapiši u znanstvenom obliku.

Rješenje:Zadani broj treba zapisati u obliku a • 10n ,

gdje je a broj između 1 i 10. Da dobijemo takav

broj a stavit ćemo decimalnu točku iza prve

znamenke. Zaključujemo da a mora biti 3.45.

Zatim se prisjetimo množenja broja s dekadskim

jedinicama i izbrojimo za koliko mjesta treba

pomaknuti decimalnu točku da bismo od 3.45

došli do 345 000 000. Treba pomaknuti za 8

mjesta pa je n = 8.

345 000 000 = 3.45 • 108.

Sada se potencija 101 nalazi u nazivniku. Taj se broj 1

101

101= označava s 10-1,

dakle, kao potencija s negativnim eksponentom.

Potencije s negativnim eksponentom možemo na isti način definirati i za bilo

koju drugu bazu a ≠ 0 :

aa a a

nn

− = =⋅ ⋅

1 1...

.

Isto tako je a0 = 1 za svaki broj a ≠ 0 . Stoga, kada u znanstvenom obliku zapiše-

mo 8 • 10-3, to je broj 8•10-3 = 8•1

10

810003

= =0.008. Isto je tako, primjerice:

6.75 • 10-6 = 6.75 • 1

10

6 751000 0006

= .

= 0.00000675.

Znanstveni zapis broja uvježbat ćemo kroz primjere i zadatke koji slijede.

Važno

101

10

110

0 111

− = = = .

101

10

1100

0 0122

− = = = .

101

10

11000

0 00133

− = = = .

101

10

110 000

0 000144

− = = =

.

...

101

10

110 0

0 0 01− = = =nn

nn...

. ...

nula

decimala�

��

Dodajmo ovom nizu da je 100 = 1.

100 = 1

Pogledajmo ova dijeljenja s bazom a:

a5 : a2 = a5 – 2 = a3

a5 : a3 = a5 – 3 = a2

a5 : a4 = a5 – 4 = a1 = a.

Na isti način računamo

a5 : a5 = a5 – 5 = a0. A vrijedi i a5 : a5 = a•a•a•a•aa•a•a•a•a = 1.

Stoga zaključujemo da je a0 = 1. Na isti način bismo

mogli nastaviti i dalje:

a5 – 6 = a5 : a6 = = a-1.

a5 – 7 = a5 : a7 = = 1

a2 = a-2. Itd.

a•a•a•a•a a•a•a•a•a•a a•a•a•a•a

a•a•a•a•a•a•a

52

1 . 6 . P o t e n c i j e s b a z o m 1 0

Veliki brojevi

106 milijun

109 milijarda

1012 bilijun

1015 bilijarda

1018 trilijun

1021 trilijarda

1024 kvadrilijun... itd.

Ovaj postupak imenovanja velikih brojeva nastavlja se još dalje. Kako se čitaju

još veći brojevi pronađi na CD-u Petice 8. Primjerice, broj 10600 se naziva

centilijun. No iza centilijuna dolazi njegov sljedbenik “centilijun i jedan” i tako

dalje.

Osim ovih velikih brojeva koji su svoja imena dobili po latinskim nazivima

brojeva, postoji i broj googol (čitaj: gugl). To je broj 10100. Taj naziv izmislio

je devetogodišnji dječak Milton Sirrota kada ga je njegov stric, američki

matematičar Edward Kasner, zamolio da nadjene ime broju sa sto nula.

Znanstveni oblik broja na džepnom računalu

Da biste uključili znanstveni prikaz brojeva na džepnom računalu:

1. Pritisnite tipku

2. Pritisnite tipku

3. Na zaslonu će se pojaviti riječi FLO SCI ENG.

Pomaknite pokazivač strelicama tako da bude

podcrtana riječ SCI

4. Pritisnite tipku .

Primjer 3. Računanje sa standardnim zapisomMasa staklene kugle je 5.3 • 103 g, a masa

zlatne kugle je 2.7 • 102 g.

a) Koja kugla ima veću masu?

b) Koliko puta je masa staklene veća od mase

zlatne kugle?

c) Za koliko je masa staklene kugle veća od

mase zlatne kugle?

Rješenje:a) Staklena kugla ima veću masu.

b) Podijelimo 5 3 10

2 7 10

3

2.

.

⋅⋅

. Faktori 103 i 102 se oba

mogu skratiti sa 100.

5 3 10

2 7 10

5 3 102 7

532 7

3

2.

.

.. .

⋅⋅

= ⋅ = = 19.63.

Masa staklene kugle je 19.63 puta veća od mase

zlatne kugle.

c) Treba oduzeti 5.3 • 103 – 2.7 • 102. No, to

nisu istoimeni pribrojnici pa se ne mogu oduzeti

(kao što se ne oduzimaju 5.3a3 i 2.7a2 jer nisu

istoimeni). Kako imamo zadane konkretne

brojeve, svedimo ih na istoimene pribrojnike.

Broj 103 možemo rastaviti na 102 • 10.

5.3 • 103 – 2.7 • 102 =

5.3 • 10 • 102 – 2.7 • 102 =

53 • 102 – 2.7 • 102

Izlučivanjem zajedničkog faktora 102 dobit

ćemo u nastavku:

53 • 102 – 2.7 • 102 = 102 • (53 – 2.7) =

102 • 50.3 = 50.3 • 100 = 5030.

Masa staklene kugle je za 5030 g veća od

zlatne.

Z a d a c i1. Zapiši u obliku potencije broja 10:

a) 100; b) 100 000; c) 10;

d) 1 000 000 000; e) 10 000.

2. Koji broj predstavlja potencija:

a) 104; b) 107; c) 105; d) 108; e) 101.

3. Koji od ovih zapisa nije znanstveni? Zašto?

a) 12 • 106; b) 8.99 • 107; c) 0.3 • 104;

d) 1.23333333 • 105; e) 5 • 1010.

4. Izračunaj:

a) 5 • 107; b) 3 • 103; c) 2 • 104;

d) 5 • 105; e) 9 • 101.

2nd

DRG

SCI/ENG =ENTER

53


54


5. Ove rečenice prepiši tako da brojku izračunaš iz

znanstvenog oblika:

a) Zraka svjetlosti za 1 minutu prijeđe 1.8 • 107 km;

b) Najbolje plaćen sportaš u 2000. godini bio

Michael Schumacher sa zarađenih 5.9 • 107 dolara;

c) Promjer Saturna je 1.2 • 105 km;

d) U atmosferi se u obliku pare nalazi oko

1.4 • 1017 litara vode;

e) U 70 godina života ljudsko srce zakuca

2.575 • 109 puta i potisne 1.8 • 108 litara krvi.

6. Zapiši u znanstvenom obliku:

a) 20 000; b) 500; c) 90; d) 70 000 000;

e) 3000 000 000 000 000.

7. Ove rečenice prepiši tako da brojku zapišeš u

znanstvenom obliku:

a) Polumjer Zemlje na ekvatoru iznosi 6 377 397 m;

b) Volumen Zemlje je

1 082 841 322 036 000 000 000 000 litara;

c) Zraka svjetlosti za 1 godinu prijeđe

9 460 800 000 000 km;

d) Sva voda na Zemlji (slana i slatka) procjenjuje se

na 1 400 000 000 000 000 000 000 litara.


a) 3600; b) 864 000; c) 459 000 000;

d) 10 100 000; e) 7 860 000 000.


a) 3675; b) 34 762 000; c) 433 876 112;

d) 11 001 552; e) 1 123 231 451 267.

10. Izračunaj:

a) 2.6 • 106 + 1.1 • 103;

b) 7.88 • 103 + 4.13 • 106;

c) 3.685 • 105 + 4.122 • 104;

d) 5.76 • 104 + 53.1256 • 108;

e) 1.11116 • 105 + 1.15678 • 103.

11. Ukupna masa Zemlje je 5.97 • 1024 kg. Masa

Sunca je 1.99 • 1030 kg, masa Jupitera je

1.89 • 1027 kg, masa Marsa je 6.4 • 1023 kg, a

masa Urana 8.72 • 1025 kg.

Izračunaj:

a) Za koliko je masa Sunca veća od mase Zemlje;

b) Za koliko je masa Marsa manja od mase Zemlje;

c) Za koliko je masa Jupitera veća od mase Zemlje;

d) Za koliko je masa Urana veća od mase Zemlje.

Primjer 4. Potencije s cjelobrojnim negativnim eksponentomIzračunaj i prikaži u decimalnom obliku:

a) Jedan mikron ima 10-6 m;

b) Zlatni privjesak je težak 3.2 • 10-4 kg;

c) Masa atoma vodika je 1.67 • 10-24 g.

Rješenje:a) Mikron je kraći naziv za jedinicu mikrometar,

oznaka μm.

10-6 = 1

10

11000 0006

=

= 0.000001

Zaključujemo da je 10-6 = 0.000001. Jedan

mikron ima 0.000001 m.

Primijetit ćemo vezu između zadanog

eksponenta i decimalnog broja: u eksponentu

je broj –6, a zadani decimalni broj ima 6

decimalnih mjesta.

b) Zlatni privjesak je težak 3.2 • 10-4 kg. U

eksponentu je broj –4, što znači da ćemo

decimalnu točku od 3.2 trebati pomaknuti za 4

mjesta ulijevo.

3.2 • 10-4 kg = 0.00032 kg.

Evo i detaljnijeg objašnjenja:

3.2 • 10-4 = 3 21

103 2

110 000

3 210 0004

. ..⋅ = ⋅ =

=

3.2 : 10 000 = 0.00032

c) Masa atoma vodika je 1.67 • 10-24 g.

Pomaknimo decimalnu točku iz broja 1.67 za

24 mjesta ulijevo:

1.67 • 10-24 g =

0.00000000000000000000000167 g.

Primjer 3. Potencije s negativnim eksponentomZapiši u znanstvenom zapisu:

a) 0.001; b) 0.0845; c) 0.00000051674.

Rješenje:a) 0.001 =

11000

1

103=

b) Znamo da se znanstveni oblik sastoji od

faktora koji je između 1 i 10 i potencije broja 10.

Od broja 0.0845 treba dobiti faktor između 1 i

10. Opet ispred prve znamenke (koja je različita

od 0) stavljamo decimalnu točku. Traženi

broj je 8.45. Do njega smo došli pomicanjem

decimalne točke za 2 mjesta. Kako je 0.0845

manji od dobivenog 8.45, zaključujemo da se

mora raditi o negativnoj potenciji –2:

0.0845 = 8.45 • 10-2.

Evo i detaljnijeg objašnjenja:

0.0845 = 8.45 : 100 =8 45100.

=8 451

100. ⋅ =

c) Od broja 0.00000051674 treba dobiti faktor

između 1 i 10. Opet ispred prve znamenke (koja

je različita od 0) stavljamo decimalnu točku.

Traženi broj je 5.1674.

Do njega smo došli pomicanjem decimalne

točke za 7 mjesta.

0.00000051674 = 5.1674 • 10-7.

8 451

108 45 10

22. .⋅ = ⋅ −

Kako znam idem li za 24 mj esta ul ij evo il i

udesno?

Razmisli! Ako trebaš dobi ti manj i broj, ideš ul ij evo. Ako trebaš dobi ti veæi broj,

ideš udesno!

55


56


Z a d a c i

12. Ove brojeve zapiši u obliku potencija s bazom 10:

a) 1

100; b)

11000

;

c) 1

1000 000 ; d)

110

; e) 1.


a) 0.0000001;

b) 0.001;

c) 0.00000000001;

d) 1;

e) 0.1.

14. Zapiši u obliku decimalnog broja i razlomka:

a) 10-6; b) 100; c) 10-4; d) 10-28; e) 10-16.


a) 2 • 10-45; b) 899 • 107;

c) 0.3 • 100; d) 1.6 • 1002; e) 53.


decimalnom obliku:

a) Masa protona je 1.673 • 10-24 g;

b) Džepnim računalom teče struja od

5.23 • 10-3 A (ampera);

c) Jedna litra sadrži 2.642 • 10-1 galona.

17. Izračunaj:

a) 5.2366 • 10-7;

b) 3.404 • 10-9;

c) 2.15555 • 10-4;

d) 5.3511 • 10-10;

e) 9.99 • 10-1.


a) 0.0002;

b) 0.5;

c) 4;

d) 0.00000000008;

e) 0.0000000000005.


znanstvenom obliku:

a) Mrav je prešao put od 0.045 m;

b) Debljina lista papira je 0.00021 m;

c) Procesor u računalu izvrši jednu instrukciju za

0.00000000067 s;

d) Svjetlost u vakuumu prijeđe jedan metar za

0.0000000033 s;

e) Zvuk u zraku prijeđe jedan metar za 0.00303 s.


a) 0.00678;

b) 0.346;

c) 0.0105;

d) 0.0000000000899;

e) 0.443.


a) 0.7774;

b) 0.04000000001;

c) 0.000000000000562316;

d) 0.1000000078;

e) 0.00000562006.

22. Izračunaj:

a) 10 10

10

3 8

12⋅

;

b) 10 10

10

5 3

2⋅ −

;

c) 10 10 10

10

2

7⋅ ⋅

;

d) 10 10

10 10

9 3

4⋅⋅

;

e) 10 10 10

10 10

8 6

2 9⋅ ⋅

⋅

−

− .

23. Izračunaj i zapiši u znanstvenom obliku:

a) 5 10 7 10

10

2 3⋅ ⋅ ⋅;

b) 10 10 5 2

10

5

6⋅ ⋅ ⋅

;

c) 6 10 8 10

2 10

12 3

4⋅ ⋅ ⋅

⋅;

d) 25 10 7 10 4

3 10

6 6

6⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅;

e) 4 10 3 10

10

3 1010

8 3

4

2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅.

57


1. Zapiši u obliku potencije broja 10:

a) 1 000; b) 10 000; c) 100 000 000;

d) 100 000; e) 10 000 000 000.

2. Koji broj predstavlja potencija:

a) 108; b) 103; c) 107; d) 100; e) 1011.

3. Izračunaj:

a) 4 • 106; b) 2 • 108; c) 1 • 101;

d) 3 • 105; e) 8 • 103.


a) 700 000; b) 800; c) 30 000;

d) 6 000 000; e) 8000 000 000 000 000.


a) 4300; b) 564 000; c) 123 000 000;

d) 10 770 000; e) 7 550 000 000.


a) 2564; b) 11 650 000; c) 5 454 102;

d) 15 770 000; e) 347 445 211.

7. Izračunaj:

a) 1.5 • 105 + 2 • 103;

b) 4.8 • 104 + 5.1 • 105;

c) 2.11 • 104 + 4.3 • 103;

d) 8.7 • 105 + 59.44 • 103;

e) 4.65 • 107 + 1.2 • 103.

8. Izračunaj:

a) 1.8 • 107 + 0.5 • 102;

b) 2.67 • 107 + 0.4 • 105;

c) 2.8 • 103 + 5.2 • 107;

d) 6.2 • 105 + 55.3 • 107;

e) 11.7 • 107 + 1.17 • 105.

9. Izračunaj:

a) 22.7 • 105 + 1.13 • 105;

b) 23.11 • 104 + 24.1 • 105;

c) 6.2 • 103 + 4.2 • 107;

d) 4.66 • 107 + 5.3 • 103;

e) 1 • 108 + 2 • 103.


a) 1

1000 ; b) 1

10 ; c) 1

1 000 000 000 ;

d) 1

10 000 ; e) 100.


a) 0.00001; b) 0.00000000001; c) 100 000 ;

d) 0.0000001; e) 0.1.

12. Zapiši u obliku decimalnog broja i razlomka:

a) 10-5; b) 10–3; c) 10–6; d) 10–8; e) 10-10.


a) 12 • 10-4; b) 8.99 • 10–3;

c) 7.3 • 100; d) 11.6 • 1002; e) 4.

14. Izračunaj:

a) 4.22 • 10-6; b) 2.99 • 10-4; c) 4.34 • 10-8;

d) 0.006 • 10-3; e) 2 • 10-4.


a) 0.0000023; b) 0.7; c) 60;

d) 0.0000000000118; e) 0.00000000004005.


a) 0.00345; b) 0.265; c) 2.085;

d) 0.0000000050055; e) 0.1203.


a) 0.09; b) 4010000000; c) 0.00000000000056;

d) 1550000000; e) 5.2060.

18. Izračunaj:

a) 3 7

16

10 10

10

− ⋅; b)

5 9

25

10 10

10

− −⋅; c)

6 9

17

10 10 10

10

− ⋅ ⋅;

d) 9 0

4

10 10

10 10−⋅

⋅; e

12 8 9

2 4

10 10 10

10 10

−

−⋅ ⋅

⋅.

19. Izračunaj i zapiši u znanstvenom obliku:

a) 2 3

6

7 10 6 10

10−⋅ ⋅ ⋅

; b) 5 5

8

10 10 25 4

10

− ⋅ ⋅ ⋅;

c) 19 3

4

125 10 8 10

4 10−⋅ ⋅ ⋅

⋅; d)

7 6

4

2 10 6 10 4

3 10

−

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅;

e) 8 3 5

7

7 10 3 10 3 1014 1010

−

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

; f) 1 3

8

12 10 7 10

4 10−⋅ ⋅ ⋅

⋅;

g) 8 5 7

7 0

8 10 9 10 6 10

10 10

− −

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ .

Vježbalica

58

1 . 8 . P o n a v l j a n j e

1.8. Ponavljanje

1. Što znači kvadrirati neki broj?

2. Kakvi su kvadrati suprotnih brojeva? Navedi

primjer.

3. Koja je razlika između 38

2

i

38

2? Napamet

izračunaj oba kvadriranja.

4. Koja je razlika između (–6)2 i –62? Napamet

izračunaj oba kvadriranja.

5. Navedi neke kvadratne mjerne jedinice.

6. Je li kvadrat nekog broja uvijek pozitivan

broj? Objasni svoj odgovor.

7. Nacrtaj graf funkcije f (x) = x2.

8. Kako se zove graf kvadratne funkcije? Kako

se zove graf linearne funkcije?

9. Kako glasi formula za kvadrat zbroja?

10. Kako glasi formula za kvadrat razlike?

11. Kako glasi formula za razliku kvadrata?

12. Što je potencija broja a? Na primjeru pokaži

nazive dijelova potencije.

13. Navedi neke kubne mjerne jedinice.

Pitanja za ponavljanje:

Z a d a c i z a p o n a v l j a n j e :1. Izračunaj:

a) 92; b) 25

2

; c) (–3.8)2; d) 0.0132; e) −

3

113

2

.

2. Procijeni između koja se dva kvadrata nalaze brojevi:

a) 722; b) (–36)2; c) 8.642.


a) 0.032; b) 0.62; c) 0.0092.

4. Procijeni pa izračunaj površinu kvadrata sa

stranicom duljine 7.86 cm.

5. Izračunaj površinu kruga (točno i približno) kojem

je polumjer jednak 2.6 dm.

6. Nacrtaj graf funkcije:

a) f (x ) = 2x – 6;

b) f (x ) = x2.

Kako se zovu te funkcije? Kako se zovu njihovi grafovi?

7. U izraz 3x2 – 2x – 1 uvrsti sljedeće vrijednosti:

a) 2; b) –1; c) 0.3.

8. Pojednostavi:

a) –3a + 5 + 9a – 10 + 3a;

b) 6ab –a2b + 3a2b.

9. Pojednostavi:

a) –4x + (x – 3y – 7x);

b) 9x – (2x – y + 6x + 4y).

10. Pojednostavi:

a) − + + − +( ) 1 2 6a a ;

b) 7 5 3 11 6xy y xy y y yx− − +( ) + − + ( ) ;

c) x y y x x x2 2 2 2 2 22 4 6 3 1− − + − + −( )

+{ } − .

11. Pojednostavi:

a) y • 2x • x;

b) p • (–6f ) • 3p;

c) 0.3 • (–1.2x) • yx • (–5a).


a) y • (–1 + 4a + 3y);

b) –2a • (–6a + 5 – 3x2).

13. Pomnoži pa pojednostavi:

a) (y + 5) • (2 + y);

b) (–6x + 4y)( 3y – 2x).


a) (7x – 2)(1 + y) + (2 – x)(2y + 1);

b (3y –x)(–5x –y) – (4y – 2x)(–2x + 3y).

15. Kvadriraj:

a) (3x2); b) −

12

ax; c)

23

2x

ay

.

59


P r i m j e r a k o g l e d n o g t e s t a :


a) a

b

2

2 ; b) 916

2x.

17. Izračunaj:

a) 23

158

2

⋅ ; b)

127

154

2 2

: .

18. Izračunaj:

a) (x + y)2; b) (2x – y)2; c) (8m – 3y)2.


a) 16x2 – 25y2; b) 100b2 – 64.

20.Zapiši u obliku razlike kvadrata:

a) (e + d)(e – d); b) (0.5x + 0.6y)(0.5x – 0.6y).

21. Izračunaj potencije:

a) 45; b) 1

29

1

; c) 0.343.


a) 9 • 9 • 9 • 9 • 9 • 9;

b) y • y • y • y • y;

c) (2a + 1)(2a + 1)(2a + 1).

23. Prabaka ima troje djece, svako njezino dijete ima

po troje djece, i svako od te djece ima po troje

djece. Koliko ukupno prabaka ima potomaka?

24. Izračunaj:

a) 25 + 53; b) 7 • 42 – 23 • 2.


a) 1034 : 107; b) 1055 • 1061;

c) 103 • 109;


a) 1041 : 1021; b) 1010 • 1021;

c) 105 : 102 • 1010; d) 104 • 102 : 105 ;

e) 10101 : 1011:107; f) 1025 • 105 • 108.


a) x2 (–2x + 5x2 + 1);

b) – 5a7y3(2ay2 – 7y2).


a) 564;

b) 32 962 000;

c) 7 805 663 451 267.


a) 0.0704;

b) 0.00000000011;

c) 0.000000000000698.

30. Izračunaj:

a) 1.2786 • 103; b) 4.54 • 10-6; c) 2.15 • 108.

1. Izračunaj:

a) 42; b) 67

2

; c) (–5.2)2;

d) 0.712; e) −

4

512

2

.

2. Izračunaj:

a) 3225

8100

2 2

: ;

b) 65

5

2

2 2

2

⋅ .

3. Kvadriraj:

a) (10a )2; b) −

59

2xy

abc.

4. Pojednostavi:

a) –2a + (3a – 2b + a);

b) 6 3 2 7 5x x x y+ + − + −( ) .


a) 7 • (2 + y2 – 3x6);

b) 6x(y – 2x + 10) – 2(4xy – 3y2);

c) (8a + 3b) • (2b – 5a).

6. Izračunaj:

a) (x + 8)2;

b) (3x – y)2;

c) (25

m – 35

n)(25

m + 35

n).


49a2 – 16b2.


a) 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4;

b) t • t • t • t;

c) (a + 3)(a + 3).


a) 0.001; b) 1

100 000; c) 10 000 000.


a) 3688;

b) 0.00452;

c) 3 540 000 000 000.

60

2. Korjenovanje i realni brojeviVažni pojmovi

kvadratni korijen

korjenovanje

funkcija korjenovanja

konačan decimalni broj

beskonačan periodički

decimalni broj

beskonačan neperiodički

decimalni broj

iracionalni broj

realan broj

skup realnih brojeva R

djelomično korjenovanje

racionalizacija nazivnika

kvadratna jednadžba

U prošlom smo poglavlju naučili da kvadrirati znači pomnožiti neki broj

sa samim sobom. U poglavlju koje je pred nama bavit ćemo se obrnutim

postupkom: tražit ćemo broj koji kvadriran daje zadani broj. Primjerice,

tražit ćemo duljinu stranice kvadrata ako je zadana površina toga kvadrata.

Kažemo da ćemo tražiti korijen nekog broja.

Stari Indijci korijen su nazivali mula, što znači osnova, strana (jer se iz

površine kvadrata dobivala stranica), ali i korijen drveta. Arapi su tu indijsku

riječ preveli riječju džizir, što znači korijen drveta. Europski matematičari to

su izravno preveli latinskim radix. Izraz “vađenje drugoga korijena nekog

broja” interpretirao se dobivanjem stranice kvadrata iz površine kvadrata.

Hrvatski naziv korijen u matematiku ulazi kao prijevod latinske riječi radix.


- Što je to korijen broja;

- Kako korjenujemo brojeve;

- Je li graf funkcije korjenovanja baš parabola;

- Kakvi su to iracionalni brojevi;

- Od kojih se brojeva sastoji skup realnih brojeva;

- Što to znači djelomično korjenovati neki broj;

- Što znači racionalizirati nazivnik nekog razlomka;

- Koliko rješenja može imati kvadratna funkcija.

Mula!Džizir!

Radix! Kor ij en!

61

K o r j e n o v a n j e i r e a l n i b r o j e v i

Kratki zadaci za ponavljanje:

1. Ako je površina kvadrata 25 cm2, kolika je

duljina njegove stranice?





4. Ako je površina kvadrata 0.16 m2, kolika je


5. Kakvi su kvadrati suprotnih brojeva? Navedi

primjer.

6. Kako se zove graf kvadratne funkcije? Kako

se zove graf linearne funkcije?

7. Kako glasi formula za kvadrat zbroja?

8. Kako glasi formula za kvadrat razlike?

9. Kako glasi formula za razliku kvadrata?

2.1. Korjenovanje

Dva kvadrata

a) Površina kvadrata iznosi 16 cm2. Nacrtaj taj kvadrat.

b) Površina kvadrata iznosi 0.01 cm2. Nacrtaj taj kvadrat.

kvadratni korijen

ili drugi korijen

Ako je zadana površina kvadrata 900 cm2, pitamo se kolika je duljina stranice

a toga kvadrata. Prema formuli za površinu kvadrata P = a • a traži se broj koji

pomnožen sam sa sobom daje 900. Dakle kvadrat nepoznatog broja je 900. U

tom slučaju kažemo da tražimo kvadratni korijen od 900.

a2 = 900

a = 30 cm

Postupak traženja bro ja

kojemu je zadan njegov

kvadrat naziva se

korjenovanjem.

Tako je 25 = 5

jer je 52 = 25.

korjenovanjeTraži se broj a

takav da j e a2 = 900.

Matematièk i se to lj epše kaže: traži se kor ij en broj a

900.

62

2 . 1 . K o r j e n o v a n j e

Primjer 2. Kvadratni korijenIzračunaj:

a) 81; b) 0 04. ; c) 1 44. ;

d) 1

49; e) 2

79

.

Rješenje:a) Tražimo broj koji na kvadrat daje 81. To je broj 9 i

pišemo 81 = 9.

b) 0 04. = 0.2; c) 1 44. = 1.2;

d) 1

49= 1

7;

e) Mješoviti broj prvo pretvorimo u razlomak, a

zatim ga korjenujemo. 279

= 259

=53

.

Kvadratni korijen pozitivnog broja b je pozitivni broj a čiji je kvadrat jednak b.

Zapisujemo: b i čitamo: “kvadratni korijen iz b” ili “drugi korijen iz b” ili jednostavno

“korijen iz b”.

a2 = b

a = b Stoga je ( )b b=2

.

b

Primjer 1. Veza kvadriranja i korjenovanjaIz ovih kvadriranja izvedi korjenovanja:

a) 62 = 36;

b) 102 = 100;

c) 0.82 = 0.64;

d) 02 = 0.

Rješenje:a) 36 = 6 jer je 62 = 36;

b) 100 = 10 jer je 102 = 100;

c) 0 64. = 0.8 jer je 0.82 = 0.64;

d) 0 = 0 jer je 02 = 0. Rekli

smo da je kvadratni korijen

uvijek pozitivan broj. No

možemo uvesti i korjenovanje

nule:0 = 0

Odakle tako èudna oznaka ?

Oznaka za kor ij en razvila se iz slova r, koj e j e poèetno

slovo r ij eèi radix, što j e latinsk i naziv za kor ij en.

Kažeš, 81 = 9. Al i zašto n ij e 81 = –9? Pa i (–9)2 = 81!

èi taj što ti gore piše! Kvadratn i kor ij en broj a defin ira

se kao pozi tivan broj .

63


Primjer 3. Broj decimala kod korjenovanjaPrvo napamet izreci koliko će decimala imati

rezultati, a zatim izračunaj:

a) 0 09. ;

b) 0 000049. .

Rješenje:Prisjetimo se da je kvadrat decimalnog broja

imao dvostruko više decimala od zadanog broja

koji smo kvadrirali.

a) Kako 0.09 ima dvije decimale, onda će 0 09.

imati dvostruko manje decimala, tj. jednu.

Zaista, 0 09. = 0.3.

b) Broj 0.000049 ima šest decimala pa će

0 000049. imati dvostruko manje decimala,

tj. tri. Zaista, 0 000049. = 0.007

Primjer 4. Pripazi na pisanje korijena!U svakom zadatku prikazana su po dva

korjenovanja. U čemu je njihova sličnost, a u

čemu razlika?

a) 2564

i 2564

;

b) 0000360. i 0 000036. .

Rješenje:a) Pri pisanju korijena razlomka važno je povući

korijen skroz “dolje” do nazivnika. To znači

da želimo korjenovati cijeli razlomak:

2564

58

= jer je 58

2564

2

= .

Ali ako napišemo korijen samo u brojniku, to

znači da želimo korjenovati samo brojnik:

2564

564

= .

Zato pripazimo na pravilno pisanje korijena

u zadacima.

b) Također, ako želimo korjenovati broj s

mnogo znamenaka ili decimala, korijen

treba provući preko cijelog broja. To znači

da zapis 0 000036. nije dobar, pravilno je:

000036 006. .0 0= .

heej! u ovom pr imj eru mudro ste zadali

samo broj eve s parn im broj em decimala. A što ako broj ima

neparan broj decimala?To æeš nauèi t i u

slj edeæem poglavlj u. Sad uživaj dok

možeš. . .

64

2 . 1 . K o r j e n o v a n j e

Z a d a c i1. Prepiši u bilježnicu pa dopuni:

a) 100 = 10 jer je 102 = 100;

b) 225= 15 jer je ____________;

c) 0 01. = 0.1 jer je ____________;

d) 0 0169. = 0.13 jer je ____________.

2. Prepiši u bilježnicu pa dopuni:

a) 49 = 7 jer je 72 = 49;

b) 400 = 20 jer je ____________;

c) = 1 jer je ____________;

d) ____________ jer je 0.042 = _____;

e) ____________ jer je 1.32 = _____;

f) ____________ jer je _____2 = 25.

3. Izračunaj:

a) 64 ; b) 100 ; c) 1; d) 4 ; e) 16 .

4. Izračunaj:

a) 400 ;

b) 10 000 ;

c) 900 ;

d) 360 000 ;

e) 4900 .

5. Izračunaj:

a) 144 ; b) 169 ; c) 361; d) 225 ;

e) 121.

6. Procijeni koliko će znamenaka imati rezultat korje-

novanja pa izračunaj:

a) 0 16. ;

b) 0 0009. ;

c) 4 41. ;

d) 0 0000000064. ;

e) 0 000144. .

7. Izračunaj:

a) 254

; b) 116

; c) 4981

;

d) 214

; e) 179

.

8. Kolika je duljina stranice kvadrata ako je njegova

površina:

a) 0.49 m2;

b) 3600 cm2;

c) 169 mm2;

d) 0.000144 dm2;

e) 90 000 m2.

9. Korjenuj zadane brojeve. Pripazi na pravilno pisa-

nje znaka korijena:

a) 0.0001; b) 1009

; c) 25 000 000;

d) 24649

; e) 0.0000000196.

10. Prepiši u bilježnicu pa umetni znamenku koja

nedostaje:

a) 1 9= ; b) 1 1 11= ; c) 4 7= ;

d) 500 50= ; e) 1 9 1 3. .= .

11. Izračunaj:

a) 25+ 64 ;

b) 64+ 116

;

c) 425

– 1100

;

d) 2536

+ 8164

– 116

;

e) – 149

+ 949

– 810025

.

12. a) 8149

19

16900

+• ;

b) 25

1003625

62564

− • ;

c) 0 257

949

490 01

.:

.+ ;

d) 5

1 44

9100

1 21400.

:.

+ ;

e) 1 9636

0 019

1 690 25

1

19

16

. .:

.

.−

+

.

65


Primjer 5. Kvadrat i korijenKoja je razlika između ova dva zadatka?

Izračunaj ih:

a) 52( ) ; b) 52 ; c) −( )5

2.

Rješenje:a) Naučili smo da je kvadratni korijen

pozitivnog broja b pozitivni broj a čiji

je kvadrat jednak b. Dakle a2 = b, pa je

a = b . To možemo pisati kao b b( ) =2

.

Ako je b pozitivan broj, tada je b b( ) =2

Tako i bez računanja možemo izračunati

da je 5 52( ) = .

b) U ovom slučaju kvadrat se nalazi ispod

korijena. Nije teško izračunati da je

5 25 52 = = . Stoga je 5 52 = . Ovo će

svojstvo vrijediti za bilo koji pozitivni

broj. Stoga zapisujemo pravilo b b2 = za

pozitivan broj b.

Ako je b pozitivan broj, tada je b b2 =

c) −( )52

5=

25 5= = . Primijetimo da je rezultat

pozitivan broj iako je pod korijenom bio

zadan -5.

Primjer 6. Negativni brojevi i korjenovanjePrepiši u bilježnicu i u kvadratić stavi broj koji

nedostaje:

a) − =9 ; b) − =100 .

Rješenje:a) Tražimo broj koji kvadriran

daje –9. No sjetimo se da

kvadrat bilo kojeg broja

može biti samo pozitivan

broj, 32 = 9 i (–3)2 = 9.

Zaključujemo da ne postoji

racionalan broj čiji kvadrat

daje –9.

b) Iz istog razloga kao u a)

zadatak − =100 nema

rješenje u skupu racionalnih

brojeva.

Ne postoji kvadratni korijen negativnog

broja u skupu racionalnih brojeva.

Pa to j e super! Uopæe se ne moram zamarati negativn im broj evima! Ispod

kor ij ena može doæi samo pozi tivan broj!

èekaj dadoðeš u srednj u

školu. . .

pfuu

Z a d a c i13. Bez korjenovanja i kvadriranja izračunaj:

a) 92( ) ; b) 49

2( ) ; c) 192( ) ;

d) 89332( ) ; e) 59 611

2 ( ) .

14. Bez korjenovanja i kvadriranja izračunaj:

a) 32 ; b) 112 ; c) 2 332. ;

d) 60 562. ; e) 89112 .


a) 0 252

.( ) ; b) 4 92

.( ) ; c) 5112 ;

d) 0 900012. ; e) 87 5512

.( ) .

16. Izračunaj:

a) 32 i −( )32

; b) −( )72

i 72 ;

c) 2 562. i −( )2 562

. ; d) 0 012. i −( )0 012

.


a) −( )52

; b) −( )12; c) 82 ;

d) −( )5 52

. ; e) −713

2

.

18. Koji rezultati korjenovanja nisu racionalni

brojevi:

a) 36 ; b) -25 ; c) 4 ;

d) 5 ; e) -64 .

19. Objasni koja je razlika između:

-25 i – 25 .


brojevi:

a) 100 ; b) - 1 44. ; c) -0 0144. ;

d) -1; e) - -16 .

1. Prepiši pa dopuni:

a) 121= jer je _________;

b) 289 = jer je _________;

c) 0.04 = jer je _________;

d) 0.0144 = jer je _________.

2. Prepiši pa dopuni:

a) 17.64 = jer je _________;

b) 6.76 = jer je _________;

c) = 2.3 jer je _________;

d) _________ jer je 0.82 = ____;

e) _________ jer je 1.62 = ____;

f) _________ jer je ___2 = 11.56.

3. Izračunaj:

a) 81; b) 2116; c) 1.44;

d) 0.09; e) 1369 .

4. Izračunaj:

a) 1600; b) 9.61; c) 441 ;

d) 810 000 ; e) 0.64 .

5. Izračunaj:

a) 3.24 ; b) 96.04 ; c) 20.25 ;

d) 676 ; e) 5625 .

6. Izračunaj:

a) 2516

; b) 1

25; c)

169121

;

d) 19

625

; e) 6

325

.

7. Izračunaj:

a) 36 + 1.44 ; b) 0.81+ 69

1100 ;

c) 11

3825 – 39.69 ; d)

142

25 + 4 – 0.81;

e) – 4

2125

+ 925 –

529100 .

8. a) 64 1 4949 16 64

⋅ +

;

b) 19 1 25

625 25 144

- ⋅

;

c) 1.69 49

: 68.894 16

+

;

d) 9 9

: 11.56254.41

+

;

e) 2.25 81 2916 136 49 3364 841

- ⋅ +

.

66

2 . 1 . K o r j e n o v a n j e

Vježbalica

Kako 26 cm2? Pa to j e

nemoguæe!

a Površina ovog kvadrata j e 26 cm2.

Kolika mu j e stran ica? HMM . . .

Moguæe j e, moguæe. . .

67


2.2. Približno računanje korijenaOdgovori na Lukina pitanja:

U prošlom su poglavlju svi zadaci bili postavljeni tako da je broj koji treba

korjenovati zapravo kvadrat nekog racionalnog broja. Primjerice, trebalo

je izračunati 36 , 0 09. , 2581

itd. To je lako i napamet izračunati jer je

36 = 62, 0.09 = 0.32 i 2581

59

2

= . No, što ako je, kao u uvodnom primjeru, zadana

površina kvadrata 26 cm2? Kolika je tada duljina njegove stranice? Tražimo broj koji kvadriranjem daje 26. Jasno je da to nije prirodan broj. Poslužimo se džepnim računalom pri traženju korijena broja 26. Na nekim računalima je dovoljno utipkati 26 i pritisnuti tipku za korijen. Slijedi postupak za složenija džepna računala.

približno

računanje

korijena

Pokazan je primjer računanja

korijena na jednom modelu

džepnog računala. Na drugačijem

modelu postupak može različit od

navedenog.

Površina ovog kvadrata j e 25 cm2. Kolika mu j e stran ica?

To j e bar lako. . . To smo uèil i

u prošlom poglavlj u.

Korjenovanje na džepnom računalu:

1. Pritisnite tipku 2nd pa zatim

2. Pritisnite tipku x2 . Na zaslonu će se pokazati simbol za drugi

korijen i otvorena zagrada

3. Unesite broj

4. Pritisnite tipku za zatvorenu zagradu )

5. Pritisnite tipku ENTER= .

68

2 . 2 . P r i b l i ž n o r a č u n a n j e k o r i j e n a

Primjer 1. Približno računanje korijena Pomoću džepnog računala izračunaj i zapiši:

a) 39 na 3 decimale;

b) 0 004. na 8 decimala.

Rješenje:a) Rezultat korjenovanja na džepnom računalu

valja zaokružiti na 3 decimale. Ne zaboravimo

na pravilo povećavanja posljednje znamenke

za 1 ako je sljedeća znamenka 5, 6, 7, 8 ili 9.

To je upravo slučaj u ovom zadatku. Budući

da približna vrijednost iznosi 6.2449, treću

decimalu 4 povećavamo za 1. Stoga je

39 ≈ 6.245.

b) Na prvi pogled može nam se učiniti da je

rješenje zadatka 0.2, no sjetimo se da

0.22 = 0.04. Rezultat korjenovanja 0 004.

nije ni 0.02 jer 0.022 = 0.0004. Prisjetimo se,

broj decimala kvadriranjem se udvostručuje.

Zbog toga su svi kvadrati decimalnih brojeva

imali paran broj decimala. U ovom je zadatku

zadan korijen broja s neparnim brojem

decimala. Rezultat je beskonačan decimalni

broj koji zaokružen na 8 decimala iznosi

0 004. ≈ 0.06324555 .

Zaokruživanje na džepnom računalu:

1. Izračunajte ili upišite neki broj

2. Pritisnite tipku 2nd

3. Pritisnite tipku •FIX

4. Pomaknite pokazivač strelicom udesno

da biste zadali broj decimala


Zadani broj decimala ostaje uključen

sve dok ga ne isključite. Da je zadan

broj decimala, prepoznaje se po tome

što na

dnu zaslona piše FIX.

Da biste ga isključili:

1. Pritisnite 2nd

3. Pritisnite tipku •FIX

4. Pomaknite pokazivač strelicom ulijevo

na slovo F


Ovisno o veličini zaslona džepnog računala rezultat će biti ispisan na više ili

manje decimala:

26 = 5.0990195135927848300282241090228...

Kada bismo imali računalo s još većim zaslonom, vidjeli bismo da dobiveni

broj ima još decimala te da je ovo samo približna vrijednost izražena 31

decimalom. Korijen 26 ne možemo točno zapisati u decimalnom obliku jer

on ima beskonačno mnogo decimala. Stoga se služimo njegovim približnim

vrijednostima ili aproksimacijama. Evo primjera:

26 ≈ 5.09901951 je broj zaokružen na 8 decimala;

26 ≈ 5.0990195136 je broj zaokružen na 10 decimala;

26 5 1≈ . je broj zaokružen na jednu decimalu.

Kada bismo ove približne vrijednosti kvadrirali, dobili bismo broj koji je “blizu”

26, ali ne i točno 26. Primjerice, 5.09901951 25.999999962 = .

69


Z a d a c i1. Pomoću džepnog računala uvjeri se da vrijedi:

a) 3 ≈1.73205081; b) 5 ≈ 2.23606798;

c) 32 ≈ 5.657; d) 101≈10.0498756;

e) 472 ≈ 21.73.

2. Pomoću džepnog računala uvjeri se da vrijedi:

a) 8 65. ≈ 2.9; b) 0 008. ≈ 0.0894427;

c) 1 1. ≈1.04881; d) 6 4. ≈ 2.52982;

e) 3 14. ≈1.77200451.

3. U svakom je zadatku jedna znamenka netočna. Uz

pomoć džepnog računala pronađi je i ispravi!

a) 90 ≈ 9.5868; b) 58 ≈ 7.696;

c) 7200 ≈ 85.85281374;

d) 0 61. ≈ 7.81024963;

e) 300 ≈17.920508.

4. Pomoću džepnog računala izračunaj i zapiši:

a) 999 na 3 decimale; b) 7 na 5 decimala;

c) 150 na cijelo; d) 3 6. na jednu decimalu;

e) 7 1. na 7 decimala.


a) 501 na dvije decimale; b) 2 5. na 5 decimala;

c) 0 000049. na 8 decimala;

d) 97 79. na jednu decimalu;

e) 106 449. na 7 decimala.

6. Bez korjenovanja odredi koji se rezultati mogu

odrediti točno u decimalnom obliku:

a) 9 ; b) 10 ; c) 15 ; d) 16 ; e) 101.

7. Bez korjenovanja odredi koja korjenovanja možeš

odrediti točno u decimalnom obliku:

a) 0 09. ; b) 0 9. ; c) 0 009. ;

d) 0 0009. ; e) 0 00009. .

8. Bez korjenovanja odredi koji rezultati se mogu

odrediti samo približno u decimalnom obliku:

a) 2 5. ; b) 0 0081. ; c) 600 ;

d) 704.9025 ; e) 1000 .

Primjer 2. Procjena Bez računanja odredi između koja se dva cijela

broja nalazi broj:

a) 10 ; b) 39 88. ; c) – 0 0059. .

Rješenje:a) Tražimo kvadrate prirodnih brojeva koji su

najbliži broju 10. To su kvadrati 9 i 16. To

znači da se broj 10 nalazi između brojeva

9 i 16 . Drugim riječima, 10 se nalazi

između brojeva 3 i 4. Provjerom na džepnom

računalu dobivamo da je 10 ≈ 3.16227766 .

Zaista, broj 3.16 se nalazi između 3 i 4.

b) Kod procjene decimalnih brojeva dovoljno je

gledati samo cijeli dio broja. Tražimo kvadrate

prirodnih brojeva koji su najbliži broju 39. To

su 36 i 49 pa se broj 39 88. nalazi između

6 i 7. Zaista, 39 88. ≈ 6.31506136 .

c) Opet gledamo cijeli dio broja

ispod korijena, a to je 0.

Broj 0 0059. se nalazi između 0 i 1. Zaista,

0 0059. ≈ 0.07681146 . To znači da se broj

– 0 0059. nalazi između –1 i 0.

Evo što se dogaða kada j e broj decimala

neparan!


70

2 . 2 . P r i b l i ž n o r a č u n a n j e k o r i j e n a

Z a d a c i9. Procijeni između koja se dva broja nalazi:

a) 70 ; b) 49 88. ; c) 0 8. ;

d) 44 ; e) 5 723. .

10. Procijeni između koja se dva broja nalazi:

a) 35 99. ; b) - 36 00001. ;

c) - 0 97. ; d) 10000 ; e) - 57 .


površina:

a) 70 m2; b) 3601 cm2; c) 55 mm2;

d) 0.256 dm2; e) 45 m2.

12. Koliki je polumjer kruga ako je njegova površina:

a) 8π m2; b) 600π cm2; c) 169π mm2;

d) 80.6π dm2; e) 1.73π m2.


a) 10 m2; b) 2.5 cm2; c) 7966 mm2;

d) 99.45 dm2; e) 205.25 m2.

Pa samo sam pokušao izraèunati -26 ...

Ti n isi bio na prošlom satu? U prošlom poglavlj u smo nauèil i da se

iz negativnog broj a ne može izvadi ti kor ij en!

K ids, don’ t try this at

home...

Primjer 3. Korjenovanje u geometriji Koliki je polumjer kruga ako je njegova

površina:

a) 17π m2; b) 45.77 cm2.

Rješenje:a) Formula za površinu kruga je P = r2π. Kako je

u ovom zadatku zadana površina, računamo:

r2π = 17π.

Dijeljenjem cijele jednadžbe sa π dobivamo

da je r2π = 17π /: π

r2 = 17

Tražimo broj koji kvadriran daje 17. Traženi

polumjer je r = 17 m, što je približno 4.12

m. Pišemo r ≈ 4.12 m.

b) Zadano je r2π = 45.77. U ovom slučaju

nemamo posebno istaknut broj π kao faktor

u površini.

r2 • π = 45.77

r2 = 45.77 : π

r =45.77

∏. Ovo je točna vrijednost

polumjera kruga. Za praktičnu uporabu

računamo s približnom vrijednošću

π ≈ 3.14 pa dobivamo:

r ≈ 14 58. ≈ 3.82 cm.

71


2.3. Grafovi funkcija kvadriranja i korjenovanja

Linearna funkcija

Nacrtaj u bilježnicu koordinatni

sustav pa u njemu nacrtaj graf

funkcije f(x) = 2x - 1

Što je graf linearne funkcije?

x

2x – 1

51

4

2

-2

0-5

U uvodnom zadatku, kao i u poglavlju ponavljanja gradiva 7. razreda, ponovili

smo linearnu funkciju i kako crtati njezin graf. Vrijednosti linearne funkcije dobi-

vamo po formuli f(x) = ax + b. U uvodnom zadatku, primjerice, ta funkcija glasi

f(x) = 2x – 1. To znači da smo brojevima x iz tablice pridruživali brojeve 2x – 1.

Krenimo sada korak dalje i proučimo funkcije u kojima se pojavljuje kvadriranje.

Svakom racionalnom broju x možemo pridružiti njegov jedinstveni kvadrat x2

(koji se dobije množenjem broja x sa samim sobom). Pridruživanje (preslikavanje,

funkcija) koje broju x pridružuje njegov kvadrat nazivamo kvadratnom funkcijom

i označavamo je sa f (x) = x2 . Tako kvadratna funkcija broju 3 pridružuje 9 jer je

to njegov kvadrat, broju –10 pridružuje broj 100, broju 1.5 pridružuje 2.25 itd.

To matematički zapisujemo u obliku:

f (3) = 9, f (–10) = 100, f (1.5) = 2.25.

Kroz sljedeće primjere naučimo neka zanimljiva svojstva kvadratne funkcije.

kvadratna

funkcija


72

2 . 3 . G r a f o v i f u n k c i j a k v a d r i r a n j a i k o r j e n o v a n j a

Primjer 1. Može li a 2 biti negativan?Možeš li pronaći neki racionalni broj koji

nakon kvadriranja daje negativan broj?

Rješenje:Treba pronaći broj koji pomnožen sam sa

sobom daje negativan broj. Kvadriramo

li bilo koji pozitivni racionalni broj, dobit

ćemo pozitivan broj. Primjerice, 42 = 16. Iz

prethodnog primjera vidimo da i kvadrat

negativnog broja daje pozitivan broj.

Primjerice, (–4)2 = 16. Zaključujemo da ne

postoji racionalni broj koji nakon kvadriranja

daje negativan broj.

Ako kvadriramo bilo koji racionalni broj (različit

od nule), njegov će kvadrat biti pozitivan. Ako

kvadriramo nulu, dobit ćemo 0, tj. 02 = 0.

Kvadrat racionalnog broja uvijek je

pozitivan broj ili nula.

a2 0≥

9

4

1

0

A B–3–2–10123

O ne! Opet funkcij a! Ma što to znaèi

„funkcij a“?

Funkcij a j e zapravo vrsta pr idruživanj a.

Nekom broj u pr idružuj eš drugi broj .

A kvadratna funkcij a j e kada nekom broj u

pridružiš nj egov kvadrat!

Aha! Znaèi, kvadratna funkcij a broj u 8 pr idružuj e 64!


73

Primjer 2. Kvadratna funkcijaPogledaj ove četiri tablice. U svakom se stupcu

gornjem broju pridružuje donji broj po nekom

pravilu. U kojoj se od ovih tablica nalazi primjer

kvadratne funkcije?

a)

b)

c)

d)

Rješenje:a) Preslikavanje koje broju 0 pridružuje 0, broju

1 pridružuje 1, broju 2 pridružuje 4, broju 3 broj

9 itd. kvadratna je funkcija, f(x) = x2.

b) Primijetimo da u ovoj tablici funkcija svakom

broju x pridružuje broj za 1 manji. To nije

kvadratna funkcija jer broju x ne pridružuje x2,

nego pridružuje broj x – 1. Zato zapisujemo

f(x) = x – 1. To je linearna funkcija.

c) Ovo je također linearna funkcija koja broju x

pridružuje njegovu dvostruku vrijednost, f(x) = 2x.

d) U tablici je prikazana kvadratna funkcija,

f(x) = x2.

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 0 1 4 9 16 25 36

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) –1 0 1 2 3 4 5

x 0 1 –1 1.5 –1.5 2 –2

f(x) 0 2 –2 3 –3 4 –4

x 0 0.5 –0.5 1.5 –1.5 2 –2

f(x) 0 0.25 0.25 2.25 2.25 4 4

Primjer 3. ParabolaNacrtaj graf kvadratne funkcije f(x) = x2.

Rješenje:U uvodnom primjeru prisjetili smo se kako

crtamo graf linearne funkcije. Koristit ćemo isti

postupak za crtanje grafa kvadratne funkcije.

Načini se tablica u koju se upisuju vrijednosti x.

Što više vrijednosti upišemo, to će naš graf biti

bogatiji točkama. Zatim u drugi redak za svaki

x izračunamo x2.

Podatke iz svakoga stupca zapisujemo u obliku

uređenoga para (x, x2). To su (0, 0), (0.5, 0.25),

(–0.5, 0.25), (1, 1), (–1, 1), (1.5, 2.25) itd.

Zatim se te točke ucrtavaju u koordinatni sustav

u ravnini.

graf

funkcije

x 0 0.5 –0.5 1 –1 1.5 –1.5 2 –2 3 –3

x2 0 0.25 0.25 1 1 2.25 2.25 4 4 9 9

8

6

4

2

0 1


Linearna funkcija ima oblik f(x) = ax + b.

Njezin graf je pravac.

Najjednostavnija kvadratna funkcija ima

oblik f(x) = x2. Njezin graf je parabola.

Iz 7. razreda znamo da je graf linearne funkcije

pravac. No na ovom crtežu već nakon tri

ucrtane točke zaključujemo da se ne radi o

pravcu, nego o nekakvoj krivulji. Što više točaka

ucrtamo, to će dobivena slika grafa biti jasnija.

Graf kvadratne funkcije je krivulja koja

se zove parabola.

Ovaj izgled i položaj parabole u

koordinatnom sustavu mnogo govore

o svojstvima kvadratne funkcije f(x) = x2.

Parabola je osnosimetrična s obzirom na os y.

To je zato što suprotni brojevi imaju jednake

kvadrate. Tako je 22 = 4, baš kao i (–2)2 = 4.

Parabola, graf funkcije f(x) = x2, nalazi se samo

u gornjoj poluravnini iznad osi x. To je zato što

je kvadrat svakog broja pozitivan broj, jedino je

kvadrat od 0 jednak 0. O tome smo govorili u

primjeru 1.

U nuli se postiže najmanja vrijednost grafa

f(x) = x2, uz to nula leži na osi simetrije parabole.

Zato bi nulu svakako trebalo uvrstiti u tablicu

pri crtanju parabole. Točku (0,0) zovemo tjeme

parabole.

parabola

Z a d a c i1. a) Kvadrirali smo nepoznat broj i dobili 0. Koji smo

broj kvadrirali? Objasni svoj odgovor;

b) Kvadrirali smo nepoznat broj i dobili pozitivan

broj. Koji smo broj kvadrirali?

Objasni svoj odgovor;

c) Kvadrirali smo nepoznat broj i dobili negativan

broj. Koji smo broj kvadrirali? Objasni svoj

odgovor.

8

6

4

2

0 1

2

-2

0 1

y = ax + b 4

2

0 1

y = x2

74


Z a d a c i2. Zadane su četiri tablice. U kojima se od njih nalazi

primjer kvadratne funkcije f (x) = x 2?

a)

b)

c)

d)

3. Koja od ovih preslikavanja predstavljaju kvadratnu,

a koja linearnu funkciju? Po čemu ih prepoznaješ?

Nacrtaj sve grafove.

a) f (x) = 2x; b) f (x) = x 2;

c) f (x) = x + 2; d) f (x) = 5x – 2.

4. Bez crtanja odredi koja od ovih preslikavanja za

graf imaju pravac, a koja parabolu. Po čemu to

zaključuješ?

a) f (x) = 2x2 ; b) f (x) = –x2 ;

c) f (x) = 5x – 1; d) f (x) = –x.

5. Koje od ovih točaka pripadaju grafu kvadratne

funkcije f (x) = x 2 ?

(1, 1), (15, 3), (–10, 100), (100, 10), (10, –100),

(2, 2), (2, 4), (0, 0).

6. Koje od ovih točaka pripadaju grafu kvadratne

funkcije f (x) = x 2?

− −

19

181

, , (0.3, 0.09), 1

1001

10,

, (1, –1),

(–0.12, 0.0144), 234

8116

,

, (100, 100 000).

7. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratiće upiši koordi-

nate tako da točke pripadaju grafu kvadratne

funkcije f (x) = x 2. Zatim u koordinatnom sustavu

ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.

A 2,( ) , B −( )2, ,

C 0,( ) ,

D

14

,

,

E −( )1, , F 112

,

, G −( )1 5. , .

8. Prepiši u bilježnicu pa dopuni tablicu. Zatim

ucrtaj te točke u koordinatnu ravninu i skiciraj

parabolu.

9. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f (x) = x 2.

10. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f (x) = –x 2.

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

x –2 –1 0 1 2 3 6

f(x) 4 1 0 1 4 9 36

x 7 4 –1 18 –15 12 –12

f(x) –3.5 –2 0.5 –9 7.5 –6 6

x 30 15 –5 21 –45 29 –72

f(x) 990 225 25 441 2025 841 5184

x 0 –0.5 0.5 1 2.5 –2.5 –1

x2 0

Parabola svuda oko nas

75

K o r j e n o v a n j e i r e a l n i b r o j e v iK o r j e n o v a n j e i r e a l n i b r o j e v i


76

Primjer 4. Funkcija korjenovanjaNacrtaj graf funkcije f(x) = x .

Rješenje:Svakom racionalnom broju x ≥ 0 možemo

pridružiti njegov jedinstveni korijen x .

Pridruživanje koje broju x pridružuje njegov

korijen x nazivamo funkcijom korjenovanja

i označavamo je sa f(x) = x . Tako funkcija

korjenovanja broju 9 pridružuje 3, broju 10

pridružuje broj 10 3 16≈ . , broju 0.25 pridružuje

0.5 itd. To matematički zapisujemo u obliku:

f(9) = 3, f(10) = 10 3 16≈ . ,

f(0.25) = 0.5.

Kao i prije kod crtanja grafova, nacrtajmo i

ispunimo tablicu. Što više vrijednosti upišemo,

to će naš graf biti bogatiji točkama i slika grafa

bit će nam jasnija. Točke možemo izabrati tako

da im je korijen racionalan broj, ali i ne moramo

jer sada uz pomoć džepnog računala možemo

izračunati približnu vrijednost korijena svakog

broja. U tablici je dovoljna aproksimacija na

dvije decimale.

x 0 9 10 0.25 1 2.25 4

x 0 3 10 3 16≈ . 0.5 1 1.5 2

Podatke iz svakoga stupca zapisujemo u obliku

uređenog para (x, x ). To su (0, 0), (9, 3),

(10, 10 ), (0.25, 0.5), (1, 1), (2.25, 1.5) itd.

Zatim se te točke ucrtavaju u koordinatni sustav

u ravnini.

Što više točaka ucrtamo, to će dobivena slika

grafa biti jasnija. Graf funkcije korjenovanja je

jedna grana parabole. Primijetimo da je graf

smješten u I. kvadrantu koordinatnoga sustava

jer su i x i x pozitivni brojevi.

2

–2

0 1 5 10

Z a d a c i

14. Zadane su četiri tablice. U kojima se od njih nalazi primjer funkcije korjenovanja f(x) = x ?a)

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 0 1 1.41 1.73 2 2.24 2.45

b)

x –2 –1 0 1 2 3 6

f(x) 4 1 0 1 4 9 36

c)

x 7 4 1 18 15 0 100

f(x) 7 2 1 18 15 0 10

d)

x 4 15 5 20 –40 0 –70

f(x) 2 7.5 2.5 10 –20 0 –35

15. Koja od ovih preslikavanja predstavljaju kvadratnu,

koja linearnu, a koja funkciju korjenovanja? Po

čemu ih prepoznaješ? Nacrtaj sve grafove.

a) f x x( ) = −3 ; b) f x x( ) = 2;

c) f x x( ) = ; d) f x x( ) = − 2 .

16. Bez crtanja odredi koja od ovih preslikavanja

predstavljaju pravac, a koja parabolu ili dio

parabole. Po čemu to zaključuješ?

a) f x x( ) = 4 2; b) f x x( ) = ;

c) f x x( ) = − −1; d) f x x( ) = − 2.

17. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije

korjenovanja f(x) = x ?

(1, 1), (15, 0), (100, –10), (100, 10), (25, 5), (–4, 2),

(2, 4), (0, 0).


77

18. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funk cije

korjenovanja f(x) = x ?

136

16

, , (–0.16, 0.4), 1

1001

10,− , (1, 1),

0 0144 0 12. , .( ) , 8116

214

, , (100 000, 100).

19. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratiće upiši koordinate tako da točke pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) = x . Zatim u koordinatnom sustavu ucrtaj te

točke i skiciraj parabolu.

A 4,( ) , B 2,( ) , C 0,( ) , D14

, , E 1,( ) ,

F 5,( ) , G 1 5. ,( ) .

20. Prepiši u bilježnicu pa dopuni tablicu. Zatim ucrtaj te točke u koordinatnu ravninu i skiciraj parabolu.

x 0 0.5 0.75 1 1.5 1.75 2

x

21. Nacrtaj graf funkcije korjenovanja f(x) = x .

22. Nacrtaj graf funkcije korjenovanja f(x) = - x .

1. Koja od ovih preslikavanja predstavljaju kvadratnu, a koja linearnu funkciju? Po čemu ih prepoznaješ? Nacrtaj sve grafove.

a)f(x) = –2x; b) f(x) = 2x2;

c) f(x) = x – 2; d) f(x) = 3x – 2.

2. Bez crtanja odredi koja od ovih preslikavanja za graf imaju pravac, a koja parabolu. Kako to zaključuješ?

a) f(x) = –3x2 ; b) f(x) = –1

( ) 12

f x x= - -x2;

c) f(x) = 5x – 3; d) f(x) = –x + 1.

3. Koje od ovih točaka pripadaju grafu kvadratne funkcije f(x) = x2?

(1, –1), (–15, 225), (–10, 10), (121, 11),

(10, –100), (3, 6), (2, 4), (0, 0).

4. Koje od ovih točaka pripadaju grafu kvadratne funkcije f(x) = x2?

1 1,

7 49- - , (0.3, 0.9),

1 1,

10 100 - , (1, 2),

(–0.13, 0.0169),1 81

2 ,4 16

, (100, 1000).

5. U kvadratiće upiši koordinate tako da točke pripadaju grafu kvadratne funkcije f(x) = x2. Zatim u koordinatnom sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.

( )2,A - , ( )3,B - , ( )0,C , 3,

4D

,

( )1,E , 11 ,3

F

, ( )1.6,G - .

6. Prepiši i popuni tablicu, a zatim ucrtaj te točke u koordinatnu ravninu i skiciraj parabolu.

x 0 –0.3 0.3 2 –2 –2.5 2.5x2

7. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f(x) = x2.

8. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f(x) = –x2.

9. Bez crtanja odredi koja od ovih preslikavanja predstavljaju pravac, a koja parabolu ili dio parabole. Kako to zaključuješ?

a) 2( ) 9f x x= ; b) ( ) 7f x x= ;

c) 1( ) 1

2f x x= - - ; d) 23

( )4

f x x= - .

10. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) = x ?

(121, 11), (1.6, 1.4), (81, –9), (81, 9), (64, 0.8), (–16, 4), (196, 14), (0, 0).

11. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) = x ?

1 1,

25 5 -

, (–0.81, 0.9), 36,0.6

100

, (1,2),

(0.0289, 0,17), 3

7.5625,24

, (10, 100).

12. U kvadratiće upiši koordinate tako da točke pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) = x .

Zatim u koordinatnom sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.

( )0.64,A , ( )12,B , ( )0,C ,

9

,4

D

, ( )1,E , ( )6,F , ( )1.69,G .

13. Prepiši i popuni tablicu, a zatim ucrtaj te točke u koordinatnu ravninu i skiciraj parabolu.

x 0 0.09 0.25 1 1.69 2.25 4.84

x

14. Nacrtaj graf funkcije korjenovanja f(x) = 2 x .

15. Nacrtaj graf funkcije korjenovanja f(x) = x- + 2.

Vježbalica

78

2 . 4 . R e a l n i b r o j e v i

2.4. Realni brojevi

Od prirodnih do racionalnih brojeva

Pročitaj ove tvrdnje i napiši koja je točna, a koja nije. Za netočne tvrdnje smisli

primjerkojim pokazuješ da je netočna.

a) Zbroj dvaju prirodnih brojeva je uvijek prirodan broj.

b) Razlika dvaju prirodnih brojeva je uvijek prirodan broj.

c) Umnožak dvaju cijelih brojeva je uvijek cijeli broj.

d) Količnik dvaju cijelih brojeva je uvijek cijeli broj.

e) Brojevi 0, -6, 1.5 su racionalni brojevi.

f) Brojevi 0, -6, 1.5 su prirodni brojevi.

Prošle smo se godine upoznali s racionalnim brojevima te s računskim

operacijama na njima. Ove smo ih godine učili kvadrirati i korjenovati. No vidjet

ćemo, korjenovanjem ćemo dobiti i neke brojeve koji nisu racionalni. Krenimo

redom i ponovimo:

Skup prirodnih brojeva označavamo s N.

N = { }12 3 4 5, , , , ,...

Zbrajanjem prirodnih brojeva dobivamo opet prirodan broj. No, razlika dvaju

prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Tako skup prirodnih brojeva valja

proširiti do skupa cijelih brojeva Z:

Z = − − − −{ }..., , , , , , , , , ,...4 3 2 1 0 1 2 3 4

Skup prirodnih brojeva sadržan je u skupu cijelih brojeva. To zapisujemo N Z⊆

(čitamo: skup N je podskup skupa Z).

Zbrajanjem cijelih brojeva dobivamo cijeli broj. Oduzimanjem dvaju cijelih brojeva

dobivamo opet cijeli broj. I množenjem cijelih brojeva dobivamo cijeli broj. No,

količnik dvaju cijelih brojeva nije uvijek cijeli broj. Tako skup cijelih brojeva valja

proširiti do skupa racionalnih brojeva Q:

: ,Qab

a Z b N= { }Skup Q se sastoji od razlomaka

ab

, takvih da je a cijeli broj, a b prirodan broj. Skup

cijelih brojeva sadržan je u skupu racionalnih brojeva. To zapisujemo N Z Q⊆ ⊆

(čitamo: skup N je podskup skupa Z i skup Z je podskup skupa Q). Može nam se

učiniti da su to svi skupovi brojeva i da nema potrebe za novim skupovima. No

ipak će se pojaviti potreba za proširivanjem skupa racionalnih brojeva.

Racionalni brojevi mogu se zapisivati i u decimalnom obliku. Decimalni zapis

broja vrlo se često upotrebljava u svakodnevnom životu i u tehnici. Decimalni

zapis broja upotrebljavaju i džepna računala. To je vrlo pregledan zapis i pogodan

za računanje i aproksimacije. Takav će nam zapis, između ostalog, ukazati na

činjenicu je li broj racionalan ili nije.

Skup prirodnih

brojeva N

Skup cijelih

brojeva Z

Skup racionalnih

brojeva Q

79


80

2 . 4 . R e a l n i b r o j e v i

Primjer 1. Decimalni zapis racionalnog brojaZapiši u obliku decimalnog broja:

a) 74

; b) 13

; c) 297

.

Rješenje:Racionalne brojeve zapisujemo u obliku

razlomka: oni se definiraju kao razlomci oblika ab , pri čemu je a cijeli, a b prirodan broj. Te

razlomke možemo zapisati na još jedan način: u

decimalnom obliku. Znamo da razlomačka crta

označava operaciju dijeljenja, pa dijeljenjem

brojnika s nazivnikom dobivamo decimalni

zapis racionalnog broja.

a) 74

7 4 1 75= =: .

Broj 74

zapisan u decimalnom obliku

iznosi 1.75. To je konačan decimalni broj

jer ima konačno mnogo decimala (tj. ima

točno dvije decimale). Razlomke koji imaju

konačan decimalni zapis lako je prepoznati:

njima se u nazivniku nalazi broj koji je

djelitelj neke od dekadskih jedinica. To su,

primjerice, nazivnici 2, 5, 10, 25, 4, 20,

100, 8, 125 itd. Tako razlomci 172

, 25 ,

110 ,

725 ,

58 ,

4125 itd. prikazuju konačne

decimalne brojeve. Oni se

proširivanjem lako mogu svesti

na dekadske razlomke i zato u

decimalnom obliku imaju konačno

mnogo decimalnih mjesta.

b) 13

1 3 0 33333333= =: . ...

Kod zapisivanja razlomka 13

u deci-

malnom obliku kvocijent dijeljenja

1 : 3 bit će broj 0.333333... gdje se znamenka

3 ponavlja unedogled. To znači da taj broj

ima beskonačno mnogo decimala i zato je

to beskonačan decimalni broj. Kod njega

znamo svaku sljedeću decimalu jer su sve

decimale 3. Budući da se znamenka 3 u

tom broju periodički ponavlja, kažemo da

je to beskonačan periodički

decimalni broj. Znamenka

3 je period zadanog broja.

Period označavamo točkicom:13

1 3 0 33333333 0 3= = =: . ... .

c) 297

29 7= =: 4.14285714285714285714...

U decimalnom zapisu razlomka 297

primje-

ćujemo niz znamenaka koji se periodički

ponavlja unedogled:

4. ...14285714285714285714

To znači da taj broj ima beskonačno mnogo

decimala i zato je to beskonačan decimalni

broj. Kod njega znamo svaku sljedeću

decimalu. Budući da se niz znamenaka

142857 u tom broju periodički ponavlja,

kažemo da je to također beskonačan

periodički decimalni broj.

Niz znamenaka 142857 je period zadanog

broja. Ako se period sastoji od više

znamenaka kao u ovom slučaju, točkice

stavljamo na prvu i posljednju znamenku

perioda. To znači da se taj niz znamenaka

ponavlja.297

29 7= =: 4.142857

Razlomke koji imaju beskonačan periodički

decimalni zapis je lako prepoznati: oni se

proširivanjem ne mogu svesti na dekadske

razlomke.

konačan

decimalni

broj

beskonačan

periodički

decimalni

broj

Svaki racionalni broj može se zapisati u

decimalnom obliku: kao konačan decimalni

broj ili kao beskonačan periodički

decimalni broj. Ako je nazivnik razlomka

djelitelj neke od dekadskih jedinica, tada je

to konačan decimalni broj. Ako nazivnik

razlomka nije djelitelj neke od dekadskih

jedinica, tada je to beskonačan periodički

decimalni broj.

Primjer 2. Iracionalni brojevia) Izračunaj 2 približno na 7 decimala;

b) Izračunaj točnu vrijednost od 2 .

Rješenje:a) Upotrebom džepnog računala dobivamo da je

2 ≈1.41421356 . To je približna vrijednost

broja 2 na 8 decimala. Potrebno je i korisno

upamtiti približnu vrijednost od 2 na dvije

decimale: 2 1 41≈ . .

b) Pozovimo u pomoć džepno računalo.

Na zaslonu piše da 2 iznosi

1.4142135623730950488016887242097.

No kvadriranjem ovog broja ne bismo

dobili točno 2, što znači da je ovo približna

vrijednost od 2 , ali ne i točna. Kada bismo

imali džepno računalo s mogućnošću prikaza

još više decimala, uvjerili bismo se da 2

ima beskonačan decimalni zapis kojem je

nemoguće odrediti period.

I u prošlom su primjeru brojevi 13 i

297

imali beskonačno mnogo decimala koje se

periodički ponavljaju, a kod 2 decimale se

pojavljuju bez nekog smislenog redoslijeda,

tj. bez perioda. Zato kažemo da je to

beskonačan neperiodički

decimalni broj.

Kako smo u Primjeru 1 naučili

da svi racionalni brojevi imaju ili konačan ili

beskonačan ali periodičan decimalni zapis,

zaključujemo da se 2 ne može zapisati u

obliku racionalnog broja. To nije

racionalan, nego iracionalan

broj. Njega ne možemo točno

zapisati u decimalnom obliku,

već ga točno zapisujemo jednostavno 2.

U decimalnom

obliku zapisujemo

njegove približne

vrijednosti.

beskonačan

neperiodički

decimalni

broj

iracionalan

broj

Skup iracionalnih

brojeva označavamo sa I.

81

Iracionalni brojevi čije približne

vrijednosti trebaš upamtiti! 2 1 41

3 1 73

3 14

≈

≈≈

.

.

.∏


Što to znaèi “per iodièk i”?

To znaèi da se ponavlj a unedogled u nekom smislenom

redoslij edu.

Per iod j e n iz znamenaka u

decimalnom broj u koj i se ponavlj a u

beskonaènost.

I broj π j e iracionalan broj!

Nj egova pr ibližna vr ij ednost iznosi 3.14, ali zapravo

on ima beskonaèno mnogo decimala koj e se ne ponavlj aj u u

smislenom redoslij edu.

Z a d a c i1. Zapiši u obliku decimalnog broja:

a) 12

; b) 54

; c) 3

10; d)

555100

; e) 27125

; f) 325

.

2. Zapiši u obliku decimalnog broja:

a) 76

; b) 23

; c) 19

; d) 1718

; e) 536

.


a) 1

27; b)

1311

; c) 726

; d) 2

13; e)

1439

.


a) 920

; b) 4

15; c)

3617

; d) 225

; e) 599

.

5. Bez računanja odgovori koji su od ovih razlomaka ko-

načni, a koji beskonačni periodički decimalni brojevi:

a) 1

200; b)

433

; c) 325

; d) 145

; e) 59

.

6. Zapiši ove brojeve pomoću perioda (koristeći

točkice za početak i kraj perioda):

a) 0.23232323...; b) 13.6666666...;

c) 9.7825378253...; d) 0.53333...;

e) -13.44818181... .

7. Bez korjenovanja odredi koji su rezultati racionalni,

a koji iracionalni brojevi:

a) 16 ; b) 17 ; c) 65 ; d) 64 ; e) 100 .

8. Bez korjenovanja odredi koja su rješenja iracionalna:

a) 0 49. ; b) 4 9. ; c) 0 049. ; d) 490; e) 0 00001. .

9. Bez korjenovanja odredi koji su rezultati mogu

odrediti samo približno u decimalnom obliku:

a) 0 36. ; b) 0 0091. ; c) 200; d) 3.14; e) 4000.

10. Je li 3 = 1.73? Objasni odgovor.

Primjer 3. Skup realnih brojevaNa slici se nalaze skupovi brojeva, kao i njihov

međusobni odnos. Na pravo mjesto na slici

upiši ove brojeve:

5, 0, -3, 17 , 34

, -2.8, 1, 27

, π, ∏4

, -11, - 6 13. .

Rješenje:U skup prirodnih brojeva N treba upisati brojeve

5 i 1. U skup cijelih brojeva Z (ali izvan skupa

N) treba upisati brojeve 0, -3 i -11. U skup

racionalnih brojeva Q (ali izvan skupa Z) treba

upisati brojeve 34

, -2.8 i 27

. U skup iracionalnih

brojeva I treba upisati brojeve 17 , π, ∏4

i

- 6 13. .

Skup racionalnih brojeva zajedno sa skupom

iracionalnih brojeva čini skup realnih brojeva

koji označavamo sa R.

Skup racionalnih brojeva zajedno sa

skupom iracionalnih brojeva čini skup

realnih brojeva koji označavamo sa R.

Primjer 4. Uspoređivanje realnih brojevaPoredaj po veličini realne brojeve 2 , 1.4, 1.41, 14161000

i 32

počinjući od najmanjeg broja.

Rješenje:Pretvorimo sve zadane brojeve u decimalni

oblik, tako ćemo ih moći uspoređivati.

21 414213.

, 1 41 4000

.. ...

, 1 411 41000

.. ...

, 141610001 416.��

, 32

1 5.

.

Sada vidimo da je najmanji broj 1.4, a najveći 32

. Zadani brojevi poredani od najmanjeg do

najvećeg glase:

1.4, 1.41, 2 , 14161000

i 32 .

000... 000...

82

2 . 4 . R e a l n i b r o j e v i

11. Koji je broj veći:

a) 2 ili 1.45; b) 3 ili 1.733; c) 3.14 ili π;

d) 3.9 ili 15 ; e) -3 2 ili -4.2411.

12. Poredaj po veličini brojeve:

3 , 1.73, 0.5, ∏2

i 2 .

13. Poredaj po veličini brojeve počinjući od najmanjeg:

11, 3, -1.1, 97

i - 6 .

14. Poredaj po veličini brojeve počinjući od najvećeg:

-2 3, -3.46, 3.5, - 72

i -3 2 .

83


1. U svakom zadatku jedna znamenka je netočna. Uz pomoć džepnog računala je pronađi i ispravi!

a) 95 9.7477≈ ; b) 56 7.4834≈ ;

c) 7254 85.1705174≈ ;

d) 0.71 0.8426129≈ ;

e) 301 17.74935157≈ .

2. Pomoću džepnog računala izračunaj i rješenje zaokruži:

a) 976 na 3 decimale; b) 65 na 5 decimala;

c) 1340 na cijelo; d) 0.6 na jednu decimalu;

e) 4.6 na 2 decimale.

3. Pomoću džepnog računala izračunaj i rješenje zaokruži:

a) 51na dvije decimale;

b) 27.6 na 1 decimalu;

c) 0.00049 na 4 decimala; d) 1000 na jednu decimalu; e) 16.9 na 3 decimale.

4. Procijeni između koja dva broja se nalazi:

a) 78 ; b) 67; c) 0.7 ;

d) 448 ; e) 5.99.

5. Procijeni između koja dva broja se nalazi:

a) 39 ; b) 900- ; c) 97- ;

d) 10 ; e) 687- .

6. Kolika je približna duljina stranice kvadrata ako je površina kvadrata:

a) 90 m2; b) 601 cm2; c) 5.5 mm2;

d) 56 dm2; e) 4523 m2.

7. Koliki je približno polumjer kruga ako je površina kruga:

a) 2π m2; b) 612π cm2; c) 169 mm2;

d) 8.6π dm2; e) 16 m2.


a) 18

; b) 5

10; c)

34

; d) 55520

; e) 27

500; f)

1825

.


a) 736

; b) 236

; c) 9119

; d) 7

18; e)

56

.

10. Zapiši ove brojeve pomoću perioda (koristeći točkice za početak i kraj perioda):

a) 0.242424242...; b) 11.77777777...;

c) 56.76327632763...; d) 0.422222...;

e) –14.443232... .

11. Bez korjenovanja odredi koji rezultati su racionalni, a koji iracionalni brojevi:

a) 16 ; b) 17 ; c) 65 ; d) 64 ; e) 100 .

12. Koji broj je veći: a) 8 ili 2.95; b) 7 ili 2.733;

c) 3.14 ili π; d) 3.8 ili 15 ; e) 3 3- ili -5.2411.

13. Poredaj po veličini brojeve: 5 , 1.99, 2, 3π

i 6 .

14. Poredaj po veličini brojeve počevši od najmanjeg:

55 , 8.5, – 1.3, 507

i 2- .

15. Poredaj po veličini brojeve počevši od najvećeg:

2 13- , -13.46, 13.5, 172

- i 3 12- .

Vježbalica


84

2 . 5 . R a č u n a n j e s k o r i j e n i m a

2.5. Računanje s korijenima

Izračunaj�

a) 25 4• i 25 4• ; b) 254

i 25

4;

c) 25 4+ i 25 4+ ; d) 25 4- i 25 4- .

Što primjećuješ?

Iz uvodnoga primjera možemo zaključiti da se kod korjenovanja umnoška korijen

može “rastaviti” na umnožak korijena istih brojeva. Isto vrijedi i za dijeljenje. No, važ no

je primijetiti da ćemo kod zbrajanja ikod oduzimanja dobiti različite rezultate.

Ta važna i lijepa svojstva množenja i dijeljenja pomoći će nam da brže i elegantnije

riješimo zadatke. U sljedećim primjerima pokazat ćemo da svojstva korjenovanja

umnoška i korjenovanja količnika vrijede za sve brojeve.

Primjer 1. Korijen umnoškaIzračunaj:

a) 25 4• i 25 4• .

Što zaključuješ?

Rješenje:U prvom zadatku zadan je korijen umnoška

brojeva 25 i 4, a u drugom je zadan umnožak

korijena od 25 i 4. Izračunajmo:25 4 100 10= =•

25 4 5 2 10= =• •

Primjećujemo da su rezultati jednaki. Isto

svojstvo vrijedi za bilo koja dva pozitivna broja

a i b. Evo i dokaza:

Znamo da je a b a b( ) =2

• • .

Zatim izračunajmo

a b a b a b( ) = ( ) ( ) =2 2 2

• • • .

Kako su oba izraza jednaka a • b,

zaključujemo da su i početni izrazi jednaki, tj.

a b a b( ) = ( )2 2• • . Tada su i izrazi koji se

kvadriraju jednaki, tj. a b a b=• • .

Korijen umnoška pozitivnih brojeva

jednak je umnošku korijena tih brojeva.

123 1

a b

a b a bkorijen

umnožaka•

•

umnožakod a i b

= 24 34

•

Primjer 2. Korijen količnikaIzračunaj: 25 4: i 25 : 4 .

Što zaključuješ?

Rješenje:U prvom zadatku zadan je korijen količnika

brojeva 25 i 4, a u drugom je zadan količnik

korijena od 25 i 4. Izračunajmo:

25 4 6 25 2 5: . .= =25 4 5 2 2 5: : .= =

Primjećujemo da su rezultati jednaki. Zadatak

se mogao zadati i u obliku dijeljenja 254

52

=

i 25

4

52

= .

Primjećujemo da su rezultati jednaki. Isto

svojstvo vrijedi za bilo koja dva pozitivna broja

a i b. Evo i dokaza:

Znamo da je ab

ab

=2

. Zatim izračunajmo

a

b

a

b

ab

=( )( )

=2 2

2.

Kako su oba izraza jednaka ab , zaključujemo da su i

početni izrazi jednaki, tj. ab

a

b=

2 2

. Tada su i

izrazi koji se kvadriraju jednaki, tj. ab

a

b= .

Korijen količnika pozitivnih brojeva

jednak je količniku korijena tih brojeva.

a b a bkorijen

količnikaa • b

količnikod a i b

: :=��

ili ab

a

b=

Primjer 3. PrimjenaIzračunaj: a) 27 12• ; b) 18 12 24• • ;

c) 54 24• ; d) 180

245.

Rješenje:a) Jedan je način rješavanja pomnožiti brojeve

27 i 12 te pronaći korijen umnoška. No

mnogo elegantnije i bez množenja velikih

brojeva ovaj problem možemo riješiti uz

pomoć svojstva kvadriranja umnoška.

Rastavimo brojeve 27 i 12 na faktore od

kojih je jedan kvadrat prirodnog broja.

27 9 312 4 3=• • • •

Vidimo da se rastav sastoji od brojeva 9 i 4,

kojima je lako izračunati korijen, te od dva

faktora 3, čiji je umnožak 9.

27 9 3 9 3 9 312 4 3 4 3 4 3 3 2 3 18= = = = =• • • • • • • • • • • •

27 9 3 9 3 9 312 4 3 4 3 4 3 3 2 3 18= = = = =• • • • • • • • • • • • .

b) Na isti način rješavamo i korijene umnoška

koji imaju više od dva faktora.

18 12 24 2 3 6 2 3 6 3 2 2 6 729 4 4 9 4 4

36

= = = =1 24 34• • • • • • • • • • • • • • •

18 12 24 2 3 6 2 3 6 3 2 2 6 729 4 4 9 4 4

36

= = = =1 24 34• • • • • • • • • • • • • • • .

c) Na prvi pogled izgleda da s ovim zadatkom

ne možemo drugo nego korjenovati pomoću

džepnog računala jer ni 54 ni 24 nisu kvadrati

prirodnih brojeva. No primjenjujući svojstvo

kvadriranja umnoška korijena, zadatak

možemo riješiti mnogo brže:

54 24 54 24=• •

Jedan je način da pomnožimo ove brojeve, no

mnogo je elegantnije rastaviti ih do kvadrata

i onda postupiti kao u primjeru a).

54 24 54 24 9 6 6 4 9 6 6 4 3 6 4 72= = = = =• • • • • • • • • •

54 24 54 24 9 6 6 4 9 6 6 4 3 6 4 72= = = = =• • • • • • • • • •

d) Znamo da je količnik korijena jednak korijenu

količnika. Zatim skratimo dobiveni razlomak

i korjenujemo ga.

180

245

180245

3649

67

= = = .

85


Z a d a c i1. Primjenom svojstava za korijen umnoška izračunaj:

a) 25 100• ; b) 9 16• ; c) 25 81• ;

d) 4 144• ; e) 64 36• .

2. Primjenom svojstva za korijen umnoška izračunaj:

a) 0 01 1 44. .• ; b) 0 25 0 04. .• ;

c) 0 0049 0 25. .• ; d) 0 81 1 44. .• ;

e) 0 000025 0 0025. .• .

3. Izračunaj:

a) 75 3• ; b) 2 128• ; c) 2 32• ;

d) 242 2• ; e) 28 7• .

86


4. Izračunaj:

a) 8 50• ; b) 50 32• ; c) 18 200• ;

d) 20 45• ; e) 128 72• .

5. Izračunaj:

a) 4 100 16•• ; b) 25 100 9• • ; c) 49 121 16• • ;

d) 12 27 16• • ; e) 50 8 64• • .

6. Izračunaj:

a) 16 2 2a b ; b) 25 2x ; c) 100 2b ;

d) 144 2 2y b ; e) 36 2( )fg .

7. Primjenom svojstva za umnožak korijena izračunaj:

a) 12 3• ; b) 2 8• ; c) 3 3• ;

d) 50 8• ; e) 72 32• .

8. Izračunaj:

a) 8 6 3• • ; b) 2 2 36• • ; c) 18 6 3• • ;

d) 24 2 12• • ; e) 6 8 3• • .

9. Izračunaj:

a) x xy y• • ; b) 16 2x y y• • ;

c) a y a4 2• • ; d) 5 2 102x y x• • ;

e) 3 2 6a b ab• • .


a) 3 27 3+( ); b) 2 2 50+( ); c) 5 125 20+( ); d) 10 40 10+( ); e) 8 32 2+( ).

11. Primjenom svojstva za korijen kvocijenta

izračunaj:

a) 2549 ; b)

14 ; c)

6416 ; d)

144169 ; e)

400121 .

12. Primjenom svojstva za korijen količnika

izračunaj:

a) 154 ; b) 1

916 ; c) 2

416 ; d) 1

2425 ; e) 1

1981 .

13. Primjenom svojstva za količnik korijena izračunaj:

a) 36

25 ; b) 16

25 ; c) 81

64 ; d) 100

121 ; e) 144

169 .

14. Izračunaj:

a) 3

75; b)

2

200; c)

20

5; d)

128

98; e)

800

72.

15. Izračunaj:

a) 45 12

15

•; b)

50 10

20

•;

c) 24 75

72

•; d)

8 54

27

•; e)

72 27

6

•.

16. Izračunaj:

a) 3 3

16

x x•; b)

a a

y36 2

•; c)

7 28

81

x

x

•;

d) 6 24

2

ax xa

b

•; e)

18 2

25

xy xz

yz

•.

Primjer 4. Kvadriranje izraza s korijenom Koliko je: a) 3 7

2( ) ; b) −( )3 52

a ; c) 1 2 52

+( ) .

Rješenje:a) Kvadrat umnoška jednak je umnošku

kvadrata, tj. (a • b)2 = a2 • b2. Tako je

3 7 3 7 9 7 632 2 2( ) = ( ) = =• • .

Kod ovog zadatka važno je naglasiti da se

kod 3 72( ) ne smiju odmah skratiti

korijen 7 i kvadrat jer u zagradi postoji

i faktor 3. 72( ) možemo kratiti tek kad

zadani kvadrat rastavimo na 3 72 2( )• .

b) Ovaj zadatak računamo jednako kao onaj u

primjeru a).

−( ) = − ( ) = =3 5 3 5 9 5 452 2 2 2 2 2a a a a( ) • • • • .

c) Prisjetimo se formule za kvadrat zbroja

a a ab b b+( ) = + +2 2 22 i riješimo:

1 1 12 5 2 5 2 52

1 4 5 4 5 1 4 5 20

21 4 5

2 2 2+( ) = = + + ( ) =

= + + = + + =

= +

•


a) 3 72( ) ; b) 2 2

2( ) ; c) 5 32( ) ; d) 9 10

2( ) ; e) 5 52( ) .

18. Izračunaj:

a) a 72( ) ; b) a 2

2( ) ; c) b 32( ) ; d) ab 5

2( ) ; e) xy 112( ) .

19. Izračunaj:

a) 3 72

ab( ) ; b) xyz 22( ) ; c) 2 6

2a( ) ;

d) 3 72

x x( ) ; e) 5 52

abc abc( ) .

87

20. Izračunaj:

a) 1 52

+( ) ; b) 3 22

+( ) ; c) 1 2 52

−( ) ;

d) 2 2 22

+( ) ; e) 5 2 2 52

+( ) .

21. Izračunaj i pojednostavi:

a) 3 5 2 52 2

+( ) + +( ) ; b 1 5 3 22 2

+( ) + −( ) ;

c) 1 2 5 2 3 22 2

+( ) − +( ) ; d) 1 2 5 1 2 52 2

+( ) − −( ) ;

e) 4 6 2 5 5 2 2 52 2

+( ) − −( ) .


Primjer 5. Zbrajanje i oduzimanje korijenaIzračunaj: 2 5 3 5 7 5 5+ − + .

Rješenje:Zajednički faktor svakog od pribrojnika je 5 .

Možemo ga izlučiti.

2 3 7 2 3 7 1 1 15 5 5 5 5 5 5 51+ + = ( ) = ( ) = =− + − + − − −• •

2 3 7 2 3 7 1 1 15 5 5 5 5 5 5 51+ + = ( ) = ( ) = =− + − + − − −• • .

Ovaj postupak možemo i skratiti tako da

preskočimo zapisivanje izlučivanja zajedničkog

faktora, pa zapisujemo:

2 3 7 15 5 5 5 5 51+ + = =− − −• .

Primjer 6. Zadaci sa zagradamaPojednostavi:

a) 3 2 2 5 2+ −( ) ; b) 3 3 1 6 9 3+( ) − −( ) .

Rješenje:a) U zagradi se nalaze pribrojnici istog imena

pa ih možemo izračunati. Broj 2 skraćeni

je zapis od 1 2 .

2 5 2 4 2− = − .

Sada računamo zadatak:

3 2 2 5 2 3 2 4 2 2+ −( ) = + −( ) = − .

b) U ovom zadatku ni u jednoj se zagradi ne

nalaze elementi istog imena pa ih nije

moguće izračunati. Zato se oslobađamo

zagrada po poznatim pravilima. Prva je

zagrada je na početku pa se ispušta, a

ispred druge je znak oduzimanja pa svi

pribrojnici iz nje mijenjaju predznak pri

oslobađanju od zagrada.

3 3 1 6 9 3 3 3 1 6 9 3 5 12 3+( ) − −( ) = + − + = − +

3 3 1 6 9 3 3 3 1 6 9 3 5 12 3+( ) − −( ) = + − + = − + .

Z a d a c i22. Izračunaj napamet:

a) 8 2 5 2- ; b) 3 2 6 2+ ; c) 2 5 2 5- ;

d) 3 3+ ; e) 10 10 6 10- .

23. Izračunaj:

a) 9 2 2 6 2− + ; b) 3 3 11 3 2 3− + ;

c) - - -2 2 2 ; d) 17 2 18 2 5 2− + ;

e) 5 5 55 5 555 5− + .

24. Izračunaj:

a) 9 2 5 2 6 2 2 2− + − ; b) 4 3 2 3 8 3 3+ − − ;

c) 5 5 5 3 5 5− + + ; d) 2 2 2 2 2− + + ;

e) − − + −7 12 5 12 12 9 12 .

25. Združi pribrojnike istog imena i izračunaj:

a) 2 2 5 2 5 6 5+ + + ; b) 9 2 5 6 5− + ;

c) 4 3 1 3 6− + + ; d) − − + −7 8 2 5 6 5 8 ;

e) − − + + +4 7 3 6 6 5 7 7 .

26. Pojednostavi:

a) 9 3 4 2 6 2 8 3+ −( ) + ; b) 3 5 2 5 2 3+ −( ) + ;

c) 4 2 6 2 3 8 3 2 3− +( ) + − ;

d) 9 2 2 4 5 6 2 2+ − − −( ); e) 9 9 2 2 2 25 8 16− − − − −( ) + .

27. Pojednostavi:

a) 4 3 3 2 3 7 3+ +( ) + ; b) − + −( ) +2 3 5 2 6 3 3 ;

c) − +( ) + +8 2 3 5 3 2 2;

d) 4 7 5 3 2 7 7 2 2− −( ) + − ;

e) 9 5 7 11 2 3 11 5 5 11 11 7 5− − − −( ) + + −( ) 9 5 7 11 2 3 11 5 5 11 11 7 5− − − −( ) + + −( ) .

28. Pojednostavi:

a) 3 7 3 9 3 1 3−( ) + − + ; b) ;

c) ; d) ;

e) .

88


1.Izračunaj:

a) 16 4⋅ ; b) 2 98⋅ ; c) 81 36⋅ ;

d) 50 18⋅ ; e) 112 7⋅ .

2.Izračunaj:

a) 81 25 16⋅ ⋅ ; b) 50 80 40⋅ ⋅ ;

c) 169 121 49⋅ ⋅ ; d) 432 28 2 42⋅ ⋅ ⋅ ;

e) 4 80 20⋅ ⋅ .

3.Izračunaj:

a) 2 236x y ; b) 2225a ; c) 2121x ;

d) 2 2169x y ; e) 2289( )ab .

4.Izračunaj:

a) 63 2 7⋅ ; b) 20 3 5⋅ ; c) 5 6 6⋅ ;

d) 7 150 2 6⋅ ; e) 104 26⋅ .

5.Izračunaj:

a) 3 5 2 5⋅ ⋅ ; b) 3 5 4 2⋅ ;

c) 2 4 11 44⋅ ⋅ ; d) 15 2 3 5⋅ ⋅ .

6.Izračunaj:

a) 18 12 6⋅ ⋅ ; b) 42 3 21 4 2⋅ ⋅ ⋅ ;

c) 35 6 21 2 15⋅ ⋅ ⋅ ; d) 10 55 22⋅ ⋅ ;

e) 3 8 ( 3 28) 2 14− ⋅ − ⋅ ⋅ .

7.Pomnožiipojednostavi:

a) ( )5 125 3 5+ ; b) ( )3 2 27 75+ ;

c) ( )2 98 3 200+ ; d) ( )11 99 44+ ;

e) ( )6 4 150 2 42+ .

8.Izračunaj:

a) 22549 ; b)

164 ; c)

15

16 ;

d) 1

2289

; e) 1

64 .

9.Izračunaj:

a) 19

625

; b) 25

169 ; c) 37

481

;

d) 529729 ; e)

115

49.

10.Primjenomsvojstvazakoličnikkorijenaizračunaj:

a) 25

36; b)

8 676

4 25; c)

8118

;

d) 55

121; e)

14416

.

11.Izračunaj:

a) 5

125; b)

5 3

300; c)

6

96;

d)

72

4 18; e)

300

147.

12.Izračunaj:

a) 40 15

24

⋅; b)

8 6 28

3 14

⋅; c)

48 24

18

⋅;

d) 7 20

15 14 12⋅ ⋅; e)

21 6 35

8 40 24

⋅⋅

.

13. Izračunaj:

a) 5

20

y y⋅; b)

2

2 3 2

49

x x

y

⋅;

c) 6 24

9

x

x

⋅; d)

2

8 32ax b x

ab

⋅;

e) 5

10 2 2

z xy

yz xz⋅.

14.Izračunaj:

a) ( )22 5 ; b) ( )23 2 ; c) ( )25 4 ;

d) ( )29 11 ; e) ( )26 5 .

Vježbalica

89

15.Izračunaj:

a) ( )25x ; b) ( )23a ; c) ( )25 x ;

d) ( )25a b ; e) ( )27x y .

16.Izračunaj:

a) ( )23 7a a ; b) ( )25 2z ; c) ( )26a b− ;

d) ( )23 5x− − ; e) ( )25abc c .

17.Združipribrojnikeistogimenaiizračunaj:

a) 2 3 5 3 7 6 7+ + + ;

b) 9 2 2 6− + ; c) 7 3 2 3 6− + + ;

d)3 5 3 2 5 4− + − .

18.Pojednostavi:

a) ( )4 7 6 3 7 3 7 7+ − + ;

b) ( )8 5 7 8 2 5− − + ;

c) ( )4 11 6 3 11 8 11 2 3− + + − ;

d) ( )9 2 4 6 2 3+ − − − ;

e) ( )9 9 8 2 8 4 8 16− − − − − + .

19.Pojednostavi:

a) ( )8 3 3 2 3 6 3− + + ;

b) ( )2 9 5 2 6 4 2− + − + ;

c) ( )8 16 3 5 3 2− + + + ;

d) ( )5 7 2 3 25 7 6 7 2 2− − + − ;

e)

( ) ( )9 25 7 16 2 3 11 5 4 81 11 7− − − − + + − .

20.Pojednostavi:

a) ( )5 7 5 9 5 1 5− + − + ;

b) ( )2 2 2 2 2 2 2− + + − ;

c) ( )16 5 2 2 6 36 8+ − + ;

d) ( )2 7 5 2 2 6 7 7− + − + ;

e) ( ) ( )3 3 2 3 2 3 4 4 8 3+ − − + + − .

21. Izračunaj:

a) ( )5 1 3 5+ ; b) ( )3 2 5− ;

c) ( )2 6 24 2 6+ ; d) ( )3 2 2 4 7+ ;

e) ( )6 150 6+ .

22.Izračunaj:

a) ( )22 5+ ; b) ( )23 2 12+ ;

c) ( )23 2 3− ; d) ( )21 2 3+ ;

e) ( )22 2 5+ ; f) ( )( )3 1 3 1− + .

23.Izračunaj:

a) ( )21 6+ ; b) ( )( )3 5 3 5+ − ;

c) ( )21 2 3− ; d) ( )( )1 3 2 2+ − ;

e) ( )22 2+ ; f) ( )( )2 2 2 3+ − .

24.Izračunaj:

a) ( )22 5+ ; b) ( )23 2 5+ ;

c) ( )( )3 2 3 3 2 3− + ;

d) ( )( )2 3 3 2 3+ − ;

e) ( )22 2 5+ ; f) ( )21 2 3+ .

25.Izračunaj:

a) ( )22 3 1+ ; b) ( )( )3 2 5 3 2 5− + ;

c) ( )( )3 2 3 3 12− + ;

d) ( )( )2 3 2 8+ − ;

e) ( )22 2 8− ; f) ( )21 3− .

26.Izračunajipojednostavi:

a) ( ) ( )2 23 12 20 5+ − + ;

b) ( ) ( )2 21 5 5 2+ − − ;

c) ( ) ( )( )21 2 3 2 3 2 2 3 2+ − + − ;

d) ( ) ( )2 21 5 1 5+ − − ;

e) ( ) ( )( )24 2 2 5 5 2 2 5 2 5+ − − − .

K o r j e n o v a n j e i r e a l n i b r o j e v iK o r j e n o v a n j e i r e a l n i b r o j e v i

90

2 . 6 . D j e l o m i č n o k o r j e n o v a n j e

U uvodnom zadatku podsjetili smo se svojstva da je korijen umnoška jednak

umnošku korijena zadanih faktora, tj. a b a b=• • .

To nam je svojstvo bilo od koristi pri bržem računanju, kao u zadatku a) uvodnog

primjera. No ono će nam pomoći i pri pojednostavljivanju još jednog zapisa.

Primijenimo ga i u slučaju b) iz uvodnoga primjera.

Korijen umnoška 16 3• rastavimo na umnožak korijena 16 3• .

Primijetimo da možemo izvaditi prirodni korijen samo iz 16. To je 4, pa je

rezultat 4 3• . Broj 3 nije racionalan broj pa ga ostavljamo zapisanog u obliku

s korijenom. Na kraju, broj 4 3• kraće zapisujemo 4 3 .

16 163 3 3 34 4= = =• • •

Ovaj postupak naziva se djelomičnim korjenovanjem.

Djelomično korjenovanje nekog broja je postupak kojim zadani broj rastavljamo

na faktore tako da je bar jedan od faktora kvadrat prirodnog broja. Zatim

primjenjujemo svojstvo korijena umnoška.

djelomično

korjenovanje

a b a b a b2 = =• •

2.6. Djelomično korjenovanje

Korijen umnoška jednak je umnošku korijena

Prepiši u bilježnicu pa dopuni:

a) 16 4 = = =__ __ __• • • ;

b) 16 3 = = __• • • .

A baš i n ij e neka fora, matematièar ima se ne da pisati

tu j ednu toèk icu u 4 3• pa sad kraæe pišu 4 3 . P ih!

Matematièar i štede olovku. . .

91


Z a d a c i1. Djelomično korjenuj:

a) 32 ; b) 8 ; c) 75 ; d) 98 ; e) 12 .

2. Djelomično korjenuj: a) 180 ; b) 48 ;

c) 125; d) 27 ; e) 63 .

3. Djelomično korjenuj: a) 300 ; b) 80 ;

c) 18 ; d) 20 ; e) 45 .

4. Prepiši u bilježnicu pa spoji parove:

200 24

27 2 5

2 6 128

8 2 72

20 10 2

6 2 3 3

5. Djelomično korjenuj:

a) 20 000 ; b) 50 000 ;

c) 4 000 000 ; d) 27 000 000 ;

e) 50 000 000 000 ; f) 200 ;

g) 392 h) 48 i) 125

j) 72 .

6. Pojednostavi:

a) 5 2x ; b) ax2 ; c) 49a ;

d) 300 2 2x y ; e) 6 2xy . f) 27a

g) 249a x h) 312a i) 2 227x a

j) 216xy

Primjer 2. Djelomično korjenovanje i zbrajanjeIzračunaj:

a) 2 12 3 27+ ;

b) − + −50 3 2 6 8 .

Rješenje:a) Primijetimo da pribrojnici 2 12 i 5 27 nisu

istoga imena, pa ih ne možemo zbrojiti. No,

možemo ih djelomično korjenovati. Tada

dobivamo da je 2 12 2 4 3 2 2 3 4 3= = =• •

i 5 27 5 9 3 5 3 3 15 3= = =• • . Stoga je

2 12 5 27 4 3 15 3 19 3+ = + =.

b) I ovdje postupamo kao u primjeru a):

2 3− + − =− + − =

= − + − =

= − + − =

= −

50 3 2 6 8 25 2 6 4 2

5 2 3 2 6 2 2

5 2 3 2 12 2

14 2.

• •

•

Primjer 1. Djelomično korjenovanjeDjelomično korjenuj zadane brojeve:

a) 50 25 2 25 2 5 2 5 2= = = =• • • ;

b) 80 16 16= = =__ __ __________________• • .

Rješenje:Djelomično korjenovanje primjenjujemo

kada broj pod korijenom možemo rastaviti

na umnožak dvaju brojeva, od kojih je

jedan potpuni kvadrat. Primjerice, možemo

djelomično korjenovati 50 jer je 50 = 25 • 2,

a 25 je kvadrat broja 5.

b) 80 16 5 16 5 4 5 4 5= = = =• • • .


a) 18 50+ ; b) 2 8 3 32+ ;

c) 10 700 28+ ; d) 125 8 20+ ;

e) 12 12 27 27+ .

8. Izračunaj:

a) 12 3 27- ; b) - -8 98;

c) 2 7 13 63- ; d) 5 9 45- ;

e) - -6 288 11 7200.

9. Izračunaj:

a) 12 5 27 3+ − ;

b) - - -18 2 8 ;

c) 4 75 2 27 5 48+ − ;

d) − − +20 5 45 5 ;

e) − − +10 200 4 2 3 50 .

10. Pojednostavi:

a) 3 12 11 3 27 2 44+ − − ;

b) 2 10 72 2 40 2 8+ + − ;

c) 3 16 25 27 75+ − − ;

d) 7 8 2 45 2 5 6 18+ − − ;

e) 3 8 7 9 6 12 2 24+ − − .

11. Pojednostavi:

a) 2 72 3 82 2x x x+ − ;

b) a a a2 4+ − ;

c) - - -3 27 122 2 2y y y ;

d) 6 5 8 20 7 452 2 2x x x x− + + ;

e) − − +x x x40 6 10 3 82 2 .

Primjer 3. Zadaci sa zagradamaPojednostavi:

a) 2 18 3 8+( ) ;

b) 2 1 8 3 2−( ) +( ) ;

c) 3 2 4 27 5 2−( ) −( ) ;

d) 2 3 3 22

+( ) .

Rješenje:a) Ovaj zadatak možemo riješiti na dva

načina: tako da prvo primijenimo svojstvo

distributivnosti ili da prvo djelomično

korjenujemo izraze u zagradi. Ovdje

ćemo navesti rješenje s djelomičnim

korjenovanjem:

2 18 3 8 2 2 9 3 2 4 2 3 2 6 2 2 9 2 9 4 18+( ) = +( ) = +( ) = = = .• • •

2 18 3 8 2 2 9 3 2 4 2 3 2 6 2 2 9 2 9 4 18+( ) = +( ) = +( ) = = = .• • •

b) Izraze u drugoj zagradi možemo djelomično korjenovati.

2 1 8 3 2 2 1 2 2 3 2 2 1 5 2−( ) +( ) = −( ) +( ) = −( )•2 1 8 3 2 2 1 2 2 3 2 2 1 5 2−( ) +( ) = −( ) +( ) = −( )•

Sada primijenimo distributivnost, tj. svaki član zagrade pomnožimo sa 5 2 .

2 1 5 2 5 4 5 2 5 2 5 2 10 5 2−( ) = − = − = −• • .

c) Djelomično korjenujmo 27 9 3 3 3= =• .

Sada množimo svaki pribrojnik prve zagrade

sa svakim pribrojnikom druge zagrade:

3 2 4 27 5 2−( ) −( ) =

− +3 2 4 3 3 5 2 3 2 3 3 3 2 5 2 4 3 3 4 5 2

9 6 15 4 12 3 20 2 9 6 30 1

−( ) −( ) = − =

− − + = − − 22 3 20 2+

• • • •

− +3 2 4 3 3 5 2 3 2 3 3 3 2 5 2 4 3 3 4 5 2

9 6 15 4 12 3 20 2 9 6 30 1

−( ) −( ) = − =

− − + = − − 22 3 20 2+

• • • • − +3 2 4 3 3 5 2 3 2 3 3 3 2 5 2 4 3 3 4 5 2

9 6 15 4 12 3 20 2 9 6 30 1

−( ) −( ) = − =

− − + = − − 22 3 20 2+

• • • •

Primijetimo da se u rezultatu nalaze

pribrojnici različitog imena koje nije moguće zbrojiti, niti ih je moguće djelomičnim korjenovanjem svesti na pribrojnike istog imena. To znači da je zadatak riješen.

d) Primijenimo formulu za kvadrat zbroja:

2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2

4 3 12 6 9 2 12 12 6 18

30 12

2 2 2+( ) = ( ) + + ( ) =

= + + = + + =

= + 66

• •

• •

92


93


Z a d a c i

12. Pojednostavi:

a) 3 5 18 3 8−( ) ;

b) ( )5 50 3 48+ ;

c) 3 27 4 75( )+ ;

d) 2 3 8 18 4 2+ −( ) ;

e) 8 2 2 7 8 128− −( ) .

13. Pojednostavi:

a) 5 7 3 5+( ) ;

b) 3 2 18 3 3−( ) ;

c) 5 2 45 12−( ) ;

d) − + −( )2 2 12 3 8 4 5 ;

e) − − −( )27 3 3 8 5 32 .

14. Pojednostavi:

a) ( )( )2 2 8 5 2- - ;

b) 3 3 3 5+( ) +( ) ;

c) − +( ) − +( )2 2 8 8 6 ;

d) 75 4 27 13 3−( ) − +( ) ;

e) 20 45 7 3−( ) − +( ) .

15. Pojednostavi:

a) 2 1 8 3+( ) −( ) ;

b) 2 2 5 27 5−( ) −( ) ;

c) ( )( )2 2 3 18 4 2- + ;

d) 5 3 25 108 2 27−( ) −( ) ;

e) − −( ) −( )6 1 27 3 2 .

16. Izračunaj:

a) 1 72

+( ) ; b) 3 22

−( ) ;

c) 2 5 22

+( ) ; d) ( )23 3 5 2+ ;

e) 2 32 4 272

−( ) ; f) ( )25 2-

g) ( )25 3+ ; h) ( )22 5 5 3+;

i) ( )218 2 3- ;

j) ( )25 3 12+ .

17. Izračunaj:

a) 2 5 2 5+( ) −( ) ;

b) 9 3 272

−( ) ;

c) 5 3 6 452

−( ) ;

d) − −( )2 3 7 22;

e) 3 3 5 12 2 3 1−( ) − +( ) .

Primjer 4. Racionalizacija nazivnikaIzračunaj s točnošću od tri decimale broj

1

2.

Rješenje:Treba izračunati količnik 1 2: s točnošću od

tri decimale. Primijetimo da u nazivniku imamo

iracionalni broj 2 koji ćemo zaokružiti na

1.414. Pisanim dijeljenjem izračunamo da

je 1 : 1.414 ≈ 0.707. Bez upotrebe džepnog

računala ovo dijeljenje može biti vrlo zamorno.

Zato se u matematici umjesto toga primjenjuje

jednostavniji postupak.

Zadani razlomak 1

2 proširimo tako da u

nazivniku dobijemo racionalni broj (umjesto

iracionalnog). Stoga ćemo razlomak proširiti

sa 2 . Prisjetimo se, proširiti razlomak znači i

brojnik i nazivnik pomnožiti istim brojem.

1

2

1

2

2

2

22

= =•

Dobili smo da je 1

2

22

= . To znači da umjesto

dijeljenja 1 2: možemo računati 2 2: , što je

mnogo lakše podijeliti.

1.414 : 2 = 0.707

To se može i napamet podijeliti, za razliku

od 1 2: . Taj postupak proširivanja razlomka

(s iracionalnim nazivnikom) do razlomka

s racionalnim nazivnikom naziva se

racionalizacijom nazivnika.

racionalizacija nazivnika


Z a d a c i18. Izračunaj bez džepnog računala s točnošću od

tri decimale:

a) 1

3; b)

2

3; c)

2

6; d)

5

5; e)

4

2.

(Napomena: racionaliziraj nazivnik).

19. Racionaliziraj:

a) 1

2 3; b)

2

3 6; c)

4

3 5; d)

7

2 7; e)

5

2 10.

20. Racionaliziraj:

a) 1

18; b)

2

12; c)

-3

12; d)

50

50; e)

9

45.

21. Koji je od ovih razlomaka točno racionaliziran?

a) 1

3

32

= ; b) 2

18

23

= ; c) 2

22= ;

d) 4

12

2 33

= ; e) 2

3 8

32

= .

22. Racionaliziraj:

a) 1 2

5

+; b)

1 2

2

-; c)

2 3

5

+; d)

2 7 5

3

+;

e) − +4 3 8 2

6.

23. Racionaliziraj:

a) 1 2

3

+; b)

− +5 2

2; c)

1 2

2 2

+;

d) − +4 3 8 2

8; e)

- -3 6 5

3 27.

Primjer 5. Racionalizacija složenijeg nazivnikaRacionaliziraj nazivnik:

a) 2

3 2; b)

2

18.

Rješenje:a) Razlomak

2

3 2 proširimo sa 2 jer ćemo

tako ukloniti korijen iz nazivnika.

2

3 2

2

3 2

2

2

2 2

3 2

23

= = =• .

b) Ovaj zadatak možemo riješiti na više načina.

Evo jednoga:

Nazivnik 18 trebamo pomnožiti s nekim

brojem tako da dobijemo potpun kvadrat.

Ako pomnožimo 18 s 2 dobit ćemo

36 = 6 i tako u nazivniku više neće biti

iracionalnog broja:

= =2

18

2

18

2

2

2 26

23

2 2

36= =• .

Do istog rješenja moglo se doći djelomičnim

korjenovanjem nazivnika i njegovom

racionalizacijom. Rezultat je isti kao u

zadatku a).

94

Ovaj razlomak ima 2 u nazivn iku. To j e iracionalan broj .

Sada više nemamo iracionalan broj u nazivn iku, nego racionalan.

Kažemo da smo racionalizirali nazivn ik.

Ti si tako racionalna!


95

24. Racionaliziraj:

a) 1

1 2+; b)

4

6 2+; c)

1

1 2 3-;

d) −

+5

2 5 5; e)

14

2 7 7 2-.

25. Racionaliziraj:

a) 4 2

3 6 2 2-; b)

2 3

3 2

+−

; c) 4 2 1

3 6 2 2

+−

;

d) 3 5 2 3

3 5 2 3

−+

; e) 5 6 10 5

6 5 5 6

+− +

.

26. Racionaliziraj:

a) 1

1a -; b)

1

3a +; c)

2

a b-;

d) a b

a a b

--

; e) a a b b

a a b b

+−

.


a) 50 ; b) 98 ; c) 44 ; d) 18 ; e) 24 .


a) 432 ; b) 675 ; c) 1620 ; d) 28 ; e) 200 .

3. Izračunaj:

a) 3 12 5 75 3+ - ; b) 3 18 7 2 8- - - ;

c) 75 6 27 5 18- - ; d) 2 20 45 3 5- - + ;

e) 200 2 50- + + .

4. Pojednostavni:

a) 6 12 3 11 27 44+ - - ;

b) 10 3 72 40 8+ + - ;

c) 16 2 25 4 27 2 75+ - - ;

d) 8 45 5 18+ - - ;

e) 2 8 9 2 12 24+ - - .

5. Pojednostavni:

a) ( )5 15 3 5+ ; b) ( )3 2 6 3 3- ;

c) ( )5 2 15 10- ; d) ( )2 2 3 8- + ;

e) ( )27 3 3 9 5- - - .

Primjer 5. Racionalizacija nazivnika i razlika kvadrataRacionaliziraj:

a) 1

1 2+; b)

2

5 3-; c)

4 2 1

3 6 2 2

+−

.

Rješenje:a) Pomnožimo li nazivnik sa 2 , umnožak

će biti 2 + 4, što znači da nije dobar broj

kojim se proširuje razlomak. No prisjetimo

se razlike kvadrata i da je (a + b)(a – b) =

a2 – b2. Stoga je mudro pomnožiti nazivnik

a + b s faktorom a – b i obratno. Pogledajmo

zašto:1

1 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 21 2

1 21

1 2

2 2+=

+

−

−=

−

− ( )=

−−

=

=−−

= − + .

•

b) 2

5 3

2

5 3

5 3

5 3

2 5 3

5 3

2 5 3

25 3

2 2−=

−

+

+=

+( )( ) − ( )

=+( )

= +•• •

2

5 3

2

5 3

5 3

5 3

2 5 3

5 3

2 5 3

25 3

2 2−=

−

+

+=

+( )( ) − ( )

=+( )

= +•• •

c)

Z a d a c i

Vježbalica

4 2 1

3 6 2 2

4 2 1

3 6 2 2

3 6 2 2

3 6 2 2

4 2 1 3 6 2 2

3 6 2 22 2

+

−=

+

−

+

+=

+( ) +( )( ) − ( )

=

=112 12 8 4 3 6 2 2

9 6 4 212 4 3 16 3 6 2 2

54 8

24 3 16 3 6 2 246

+ + +−

=+ + +

−=

=+ + +

.

••

••

4 2 1

3 6 2 2

4 2 1

3 6 2 2

3 6 2 2

3 6 2 2

4 2 1 3 6 2 2

3 6 2 22 2

+

−=

+

−

+

+=

+( ) +( )( ) − ( )

=

=112 12 8 4 3 6 2 2

9 6 4 212 4 3 16 3 6 2 2

54 8

24 3 16 3 6 2 246

+ + +−

=+ + +

−=

=+ + +

.

••

••

4 2 1

3 6 2 2

4 2 1

3 6 2 2

3 6 2 2

3 6 2 2

4 2 1 3 6 2 2

3 6 2 22 2

+

−=

+

−

+

+=

+( ) +( )( ) − ( )

=

=112 12 8 4 3 6 2 2

9 6 4 212 4 3 16 3 6 2 2

54 8

24 3 16 3 6 2 246

+ + +−

=+ + +

−=

=+ + +

.

••

••

4 2 1

3 6 2 2

4 2 1

3 6 2 2

3 6 2 2

3 6 2 2

4 2 1 3 6 2 2

3 6 2 22 2

+

−=

+

−

+

+=

+( ) +( )( ) − ( )

=

=112 12 8 4 3 6 2 2

9 6 4 212 4 3 16 3 6 2 2

54 8

24 3 16 3 6 2 246

+ + +−

=+ + +

−=

=+ + +

.

••

••4 2 1

3 6 2 2

4 2 1

3 6 2 2

3 6 2 2

3 6 2 2

4 2 1 3 6 2 2

3 6 2 22 2

+

−=

+

−

+

+=

+( ) +( )( ) − ( )

=

=112 12 8 4 3 6 2 2

9 6 4 212 4 3 16 3 6 2 2

54 8

24 3 16 3 6 2 246

+ + +−

=+ + +

−=

=+ + +

.

••

••

96


6. Pojednostavni:

a) ( )( )2 1 8 2- + ; b) ( )( )3 9 3 5+ + ;

c) ( )( )2 2 8 2 6- + - + ;

d) ( )( )5 4 10 13 5- - + ;

e) ( )( )8 2 2 3- - + .

7. Izračunaj:

a) ( )21 12+ ; b) ( )26 2- ; c) ( )22 5 15+ ;

d) ( )22 8 3 2+ ; e) ( )( )32 4 4 2 4- - .

8. Izračunaj:

a) ( )( )2 1 2 2 8+ - ; b) ( )23 27- ;

c) ( )25 5 6 45- ; d) ( )( )12 7 2 2 3 98- + ;

e) ( )( )3 3 5 12 4 3- - .

9. Izračunaj:

a) ( )22 20+ ; b) ( )22 2 18+ ;

c) ( )( )3 2 3 3 12- + ; d) ( )26 2 3+ ;

e) ( )22 2 32+ ; f) ( )( )3 8 3 1- + .

10. Izračunaj:

a) ( )22 8 6+ ; b) ( )( )3 1 1 12+ - ;

c) ( )22 32- ; d) ( )( )1 3 3 2 15+ - ;

e) ( )22 2 50+ ; f) ( )( )2 2 2 8+ - .

11. Izračunaj:

a) ( )22 6+ ; b) ( )23 2 25+ ;

c) ( )( )3 5 2 3 3 5 2 3- + ;

d) ( )( )108 3 2 3+ - ;

e) ( )22 2 8+ ; f) ( )21 2 45+ .

12. Izračunaj:

a) ( )244 11+ ; b) ( )( )3 20 3 2 5- + ;

c) ( )( )1 2 3 3 12- + ; d) ( )( )32 3 2 8+ - ;

e) ( )210 2 8- ; f) ( )21 6- .

13. Izračunaj i pojednostavi:

a) ( ) ( )2 26 12 20 5+ - + ;

b) ( ) ( )2 21 12 3 2+ - - ;

c) ( ) ( )( )21 27 3 2 2 3 1+ - + - ;

d) ( ) ( )2 21 45 1 80+ - - ;

e) ( ) ( )( )24 8 2 3 5 16 2 27 18 3+ - - - .

14. Racionaliziraj:

a) 1

2 5; b)

2

3 5; c)

8

3 5; d)

7

2 7; e)

15

2 10.

15. Racionaliziraj:

a) 3

12; b)

2

18; c)

3

45

-; d)

20

20; e)

9

27- .

16. Racionaliziraj:

a) 1 2

8

+; b)

1 32

2

-; c)

2 5

2 5

+;

d) 2 3

3

+; e)

4 5 8 2

40

- +.

17. Racionaliziraj:

a) 1 3

3

+; b)

8 2

2

- +; c)

1 6

2 3

+;

d) 32 2

8

- +; e)

3 5

3 15

- -.

18. Racionaliziraj:

a) 1

1 3+; b)

5

7 2+; c)

1

1 3 2-;

d) 17

2 2 5

-+

; e) 1

2 3 3 2-.

19. Racionaliziraj:

a) 1

1 2-; b)

4

6 8-; c)

19

1 2 5-;

d) 5

5 5

-+

; e) 10

2 2 3 2-.

20. Racionaliziraj:

a) 23 2

3 6 2 2-; b) ; c)

3 1

3 3 2 2

+-

;

d) 5 3

5 3

-+

; e) 5 5

5 6

+-

.

21. Racionaliziraj:

a) 4 2 1

3 2 2 5

--

; b) 2 3

3 2

+-

; c) 2 1

2 1

+-

;

d) 3 5 2 3

3 5 2 3

-+

; e) 7 5

5 7

+-

.

22. Racionaliziraj:

a) 4 3 1

3 2 5

--

; b) 2 3

2 2

+-

; c) 2 3 1

3 2 1

+-

;

d) 3 3 2 2

3 3 2 2

-+

; e) 2 7 5

2 5 7

+-

.

97


2.7. Kvadratna jednadžba

Zapiši matematičkim jezikom i riješi�

a) Dodamo li nepoznatom broju 8, dobit ćemo trostruki nepoznati broj. Koji je

to broj?

b) Kvadriramo li nepoznati broj, dobit ćemo 64. Koji je to broj?

Zadan je kvadrat sa stranicom a. Kolika je duljina stranice a ako je površina

kvadrata 36 cm2? Zadatak toga tipa već nam je poznat i nije teško točno

odgovoriti da je stranica a duga 6 cm. No ubacimo sada u taj zadatak malo više

matematike.

Možemo ga pretočiti u jednadžbu s nepoznanicom a. Traži se broj a, takav da

je a2 = 36.

Prije smo takav zadatak rješavali pogađanjem, no sada, kada znamo računati s

korijenima, zaključujemo da se traži korijen iz 36.

a2 = 36

a = 36

a = 6 cm.

Jednadžba oblika a2 = 36 zove se kvadratna jednadžba jer je nepoznanica

zapisana u obliku kvadrata.

kvadratna

jednadžba

Ovo j e l inearna

j ednadžba.

Ovo j e kvadratna

j ednadžba.


2 . 7 . K v a d r a t n a j e d n a d ž b a

98

Primjer 1. Kvadratna jednadžba x2 = bRiješi kvadratnu jednadžbu:

a) x2 49= ; b) x2 0 0009= . ; c) x2 5= ;

d) x2 50= ; e) x2 0= ; f) x2 1681

= − .

Rješenje:a) Tražimo broj koji kvadriran daje 49. Naravno,

to je broj 7. No i broj –7

kvadriran daje 49. Zaključujemo da kvadratna

jednadžba x2 49= ima dva rješenja i pišemo

x1 = 7, x2 = –7.

b) Ovu jednadžbu rješavamo na isti način.

x2 0 0009= .

x1 = 0.03, x2 = –0.03.

c) Pri rješavanju jednadžbe x2 5= pitamo se

koji broj treba doći na mjesto nepoznanice x

tako da njegov kvadrat bude jednak 5. To je

broj 5 jer je 5 52( ) = .

No, rješenje jednadžbe je i - 5 jer je

−( ) =5 52

. Stoga rješenja jednadžbe x2 5=

su x1 = 5 , x2 = – 5 . Primijetimo da ova

rješenja nisu racionalni brojevi, nego

iracionalni.

d) Rješenja ove jednadžbe bit će iracionalni

brojevi. Računamo:x2 50=

x1 = 50 , x2 = – 50

No, primijetimo da ova rješenja možemo

još djelomično korjenovati jer je

50 25 2 5 2= =• . Zato su rješenja ove

jednadžbe x1 = 5 2 , x2 = –5 2 .

e) Rješenje jednadžbe x2 0= je 0 jer je

0 0= . To je jedina kvadratna jednadžba

koja ima jedno rješenje.

f) Tražimo broj koji kvadriran daje - 1681

. No

znamo da je kvadrat bilo kojeg broja uvijek

pozitivan broj ili 0. Stoga x2 ne može biti

negativan broj. Ta jednadžba nema rješenja

u skupu realnih brojeva.

Primjer 2. Kvadratna jednadžba oblika ax2 = bRiješi jednadžbu:

a) x2 4 0− = ; b) 9 1212x = ; c) 3 752x = .

Rješenje:a) Kao i kod rješavanja linearnih jednadžbi,

prebacimo poznanicu na desnu stranu. Tada

treba riješiti jednadžbu x2 4= . Rješenja su

x1 = 2, x2 = –2.

b) U jednadžbi 9 1212x = prvo želimo dobiti

koliko je x2 kako bismo iz toga izračunali

x. No umjesto x2 zadano nam je 9x2. Stoga

ćemo x2 dobiti dijeljenjem jednadžbe s 9.

9 1212x = / : 9

x2 1219

=

x1 = 113

, x2 = –113

.

c) Dijeljenjem jednadžbe 3 752x = s 3

dobivamo:

3 752x = / : 3

x2 25=x1 = 5, x2 = –5.

Kvadratna jednadžba

Ako je b > 0, tada kvadratna jednadžba

oblika x b2 = ima dva rješenja, x1 = b ,

x2 = – b .

Ako je b = 0, tada kvadratna jednadžba

oblika x b2 = ima jedno rješenje, x = 0.

Ako je b < 0, tada kvadratna jednadžba

oblika x b2 = nema rješenja u skupu realnih

brojeva.

99


Primjer 3. Kvadratna jednadžba sa zagradomRiješi jednadžbe:

a) (2x–3)2 = 49 ; b) 3(2x+1)2 –27 =0.

Rješenje:a) Promatramo cijelu zagradu kao nepoznanicu

u toj kvadratnoj jednadžbi i dobivamo dva

rješenja:

2x1–3 = 7 i 2x2 – 3 = –7.

Riješimo te linearne jednadžbe svaku zasebno.

2x1–3 = 7

2x1 = 7 + 3

2x1= 10

x1 = 5

Uočite da kvadratna jednadžba ima dva

rješenja, ali ona sad nisu par suprotnih

brojeva.

b) 3(2x+1)2 –27 =0. Najprije sredimo

jednadžbu tako da nam na lijevoj strani ostane

samo zagrada s kvadratom.

3(2x+1)2 = 27

(2x+1)2 = 9. Zatim nastavimo kao u

prethodnom primjeru – dobivamo dvije

linearne jednadžbe.

2 x1+1 = 3 i 2 x2 + 1 = –3. Rješavanjem tih

linearnih jednadžbi dobivamo rješenja : x1 = 1

i x2 = –2.

Z a d a c i1. Riješi jednadžbe:

a) x2 49= ; b) x2 16= ; c) x2 100= ;

d) x2 1= ; e) x2 400= .

2. Za koje brojeve a vrijedi jednakost:

a) a2 0 64= . ; b) a2 0 000009= . ; c) a2 9121

= ;

d) a2 3600169

= ; e) a2 22

49= .


a) x2 5= ; b) x2 13= ; c) x2 0= ;

d) x2 15= ; e) x2 52= .


a) x2 50= ; b) x2 320= ; c) x2 600= ;

d) x2 3200= ; e) x2 180= .

5. Koja je linearna, a koja kvadratna jednadžba?

Riješi ih!

a) x2 49= ; b) 7 49x = ; c) x = 49;

d) 7 492x = ; e) x − =2 42.

6. Koliko rješenja imaju zadane jednadžbe?

Riješi ih!

a) x2 4= − ; b) x2 0= ; c) x2 4 23− = ;

d) x − =4 23; e) x = +5 22 .


a) 3 752x = ; b) 4 1002x = ; c) 9 642x = ;

d) 25 12x = ; e) 121 2892x = ; f) 4x2 = 64;

g) -5x2 = 125; h) 27 = 3x2; i) -2x2 = -200;

j) 25x2 = 16.


a) 7 0 282x = . ; b) 0 01 6 252. .x = ; c) 14

362x = ;

d) 19

12x = ; e) 31627

2x = .


a) ( )( )x x x+ − = +3 2 10 ;

b) ( )( )x x+ − =1 1 1 ;

c) ( )( )x x x− − + + =6 3 2 9 0;

d) ( )( )2 5 2 5 4x x+ − = ;

e) ( )( )2 1 2 2 3 6x x x+ − = − + .


a) ( )x + =3 12 ; b) ( )x − =3 162 ;

c) ( )x − − =1 81 02 ; d) ( )4 3 42 72x − − = ;

e) ( )− + =5 5 52x ; f) (x-2)2 = 64;

g) (x+5)2 = 25; h) 27 = 3(x-4)2;

i) -2(3x+1)2 + 200 = 0; j) (2x-3)2 - 81= 0.

2x2 – 3 = –7

2x2 = –7+3

2x2 = –4

x2 = 2.

100

2 . 7 . K v a d r a t n a j e d n a d ž b a


a) 2 36x = ; b) 2 121x = ; c) 2 196x = ;

d) 2 2516

x = ; e) 2 40049

x = .


a) 2 121

25x = ; b) 2 0.04x = ; c) 2 1.69x = ;

d) 2 25

36x = ; e)

2 8149

x = .


a) x2 – 36 = 0; b) 2 121

025

x - = ;

b) 2 2.89 0x - = ; c) 2 1.69 0x - = ;

d) 2 20 5

36 36x - = ; e)

2 321 049

x - = .


a) 23 48x = ; b) 24 196x = ; c) 29 64 0x - = ; d) 225 100x = ; e) 216 289 0x - = .


a) 27 112 0x - = ; b) 26 216x = ;

c) 2125

4x = ; d) 21

328

x = ;

e) 22 483 50

x = ; f) 23 44 3

x = .


a) (x + 2)2 = 0; b) (2x + 1)2 = 0;

c) (x + 4)2 = 0; d) (3x –1)2 = 0;

e) (x – 12)2 = 0; f) (2x + 3)2 = 0;

g) (x – 10)2 = 0.


a) (x –3)(x + 4) = 0; b) (2x –3)(3x + 2) = 0;

c) (x + 5)(2x –2) = 0; d) (x + 7)(3x + 6) = 0;

e) (2x + 6)(3x – 9) = 0; f) (4x + 4)(3x – 6) = 0;

g) (x + 6)(3x + 5) = 0.


a) 4x2 + 4x +1 = 0; b) x2 –6x + 9 = 0;

c) 36x2 + 12x + 1 = 0; d) x2 + 8x + 16 = 0;

e) 4x2 + 12x + 9 = 0; f) 9x2 –24x + 16 = 0;

g) 16x2 + 8x + 1 = 0.


a) (x – 3)2 = 49; b) (2x + 1)2 = 36;

c) (x – 3)2 = 25; d) (x + 8)2 = 49;

e) (2x + 3)2 = 9; f) (x –7)2 = 64;

g) (x + 3)2 = 36.


a) (2x + 1)2 – 36 = 0; b) (x – 11)2 – 121 = 0;

c) (3x + 2)2 – 4 = 0; d) (x + 4)2 – 64 = 0;

e) (x + 1)2 – 1 = 0; f) (x + 5)2 – 4 = 0;

g) (3x – 6)2 – 144 = 0.


a) 2(x + 2)2 – 8 = 0; b) –3(x – 1)2 + 12 = 0;

c) 4(x + 2)2 – 4 = 0; d) –5(x + 4)2 + 20 = 0;

e) 6(x + 1)2 – 6 = 0; f) –(x + 5)2 + 4 = 0;

g) 7(3x – 6)2 – 28 = 0.


a) 36x2 +12x +1 = 121;

b) 4x2 – 4x + 1 = 16;

c) x2 + 6x + 9 = 64;

d) x2 – 8x + 16 = 36;

e) x2 – 14x + 49 = 121;

f) x2 – 12x + 36 = 100;

g) 25x2 + 30x + 9 = 1.


a) 2x2 = 25; b) 3x2 – 49 = 0;

c) –5x2 + 36 = 0; d) 7x2 = 16;

e) 3x2 = 121; f) 8x2 – 81 = 0;

g) –2x2 + 169 = 0.


a) 6x2 = 25; b) 2x2 – 100 = 0;

c) –5x2 + 60 = 0; d) 7x2 = 25;

e) 3x2 = 135; f) 8x2 – 64 = 0;

g) –2x2 + 17 = 0.

Vježbalica


101

2.8. Ponavljanje

1. Što je kvadratni korijen nekoga pozitivnog broja?

2. Što znači korjenovati?

3. Kojim znakom zapisujemo kvadratni korijen?

4. Koliko je 0 ?

5. Koliko će decimala imati 0 0000000016. ?

6. Navedi neke brojeve iz kojih nikako ne možemo

izvaditi realan korijen.

7. Navedi neke brojeve čiji korijen nije prirodan

broj, ali je racionalan.

8. Navedi neke brojeve čiji korijen nije racionalan

broj.

9. Navedi nekoliko primjera konačnih decimalnih

brojeva.

10. Navedi nekoliko primjera beskonačnih

periodičkih decimalnih brojeva.

11. Navedi nekoliko primjera beskonačnih

neperiodičkih decimalnih brojeva.

12. Kakvi su to iracionalni brojevi?

13. Kojim slovom označavamo skup realnih brojeva?

14. Od kojih se skupova sastoji skup realnih brojeva?

15. Koji su od ovih brojeva iracionalni: 2 , 3 ,

π, 4 , 13

.

16. Koji se od ovih brojeva mogu djelomično

korjenovati: 12 , 10 , 20 , 18 , 30 ?

17. Što znači racionalizirati nazivnik nekog razlomka?

18. Koje od ovih nazivnika treba racionalizirati:13

, 1

3,

33

, 1

24,

124

.

19. Koje su od ovih jednadžbi kvadratne, a koje

linearne:

a) x2 25= ; b) 7 563x = − ; c) 2 1642x = ;

d) 2 164x = ; e) x − =2 42 2 .

20. Koliko rješenja može imati kvadratna

jednadžba i o čemu to ovisi?


Z a d a c i z a p o n a v l j a n j e1. Izračunaj:

a) 25 ; b) 1

16; c) 0 81. ;

d) 214

; e) 0 000049. .


površina:

a) 100 m2; b) 0.36 cm2; c) 1.69 mm2.


a) 62( ) ; b)

4142

2

; c) 500 82. .


brojevi:

a) 200 ; b) - 36 ; c) -36 .


a) 3 na šest decimala; b) 0 7257. na 5

decimala.

6. Zapiši s točnošću od 5 decimala kolika je duljina

stranice kvadrata ako je njegova površina:

a) 23 m2; b) 6.87 cm2.


a) 25π m2; b) 6.2π cm2; c) 16.9 mm2.

8. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f(x) = x .

9. Primjenom svojstva za korijen umnoška

izračunaj:

a) 25 49• ; b) 25 8100x x• .

10. Izračunaj: a) 9 2a ; b) 36 2 2x y .

11. Izračunaj:

a) a ab b• • ; b) 4 3 12a b ab• • .

12. Primjenom svojstva za količnik korijena

izračunaj:

a) 100

36; e)

14400

25.


102

13. Izračunaj:

a) 3 22( ) ; b) −( )10 2

2; c) 2 2

2a( ) ;

d) 3 52

c x( ) .

14. Izračunaj:

a) 5 22

+( ) ; b) 3 22

−( ) ; c) 2 7 3 52

−( ) .

15. a) 2 2 2 3 2 2 2− + − ;

b) 4 3 2 3 6 2− + + ;

c) − − +( ) −7 5 2 5 6 2 2 .

16. Pojednostavi:

a) 6 2 6 9 3 1 6−( ) + − +( ) ;

b) − −( ) − −3 2 2 1 2 2 5 ;

c) 6 5 2 2 4 3 1− −( ) + .


a) 27 ; b) 800 ; c) 3 18 .

18. Izračunaj:

a) 12 27 3+ + ; b) 4 18 2 2 8- - ;

c) − + −3 75 3 27 3 18 .

19. Pojednostavi:

a) − + − −2 12 2 3 27 2 8;

b) 2 3 72 2 400 6 8− + − .

20. a) 2 2 3 5+( ) ; b) 3 2 12 3 3− +( ) .

21. Pojednostavi:

a) 2 3 8 3 2−( ) −( ) ;

b) 12 4 2 27 4 3−( ) +( ) .

22. Racionaliziraj: a) 1

3; b)

2

10; c)

-15

2 10.

23. Riješi jednadžbe :

a) x2 100= ; b) x2 0 36 0− =. ;

c) x2 6= ; d) 2 180 02x − =

24. Koliko rješenja imaju zadane jednadžbe?

Riješi ih!

a) x2 1= − ; b) x2 0= ; c) x2 1 0− = ;

d) x − =23 4; e) x = +1 22 .

1. Kojem skupu brojeva pripada rješenje zadatka:

a) 14 – 14 : 2 + (19 – 5) : 7 + 3 • 2;

b) 22 – 13 : 13 + 12 : (4 + 2) – 20;

c) 5 • (9 + 2) – 25 : 5 + 0 – 7 : 2.


a) (2.5 + 2.5) : 5 – (12.5 + 0.5) • 1.5 + 0.5;

b) 2.5 + 2.5 : 5 – 12.5 + 0.5 • 1.5 + 0.5;

c) (9 – 12.5) • 4 – 0.25 • 6 – 10.5.


a) 9 • (12 – 3) + 6 : (–8 + 2) + 8 • (–10);

b) –9 – 9 : 9 – 100 : (–3 • 5 – 4 – 1) + 6;

c) 6.25 + (1.3 – 2.15) • 0.44 – 3.2 : (–0.1 + 0.6);

d) ( ). .− − + − +225

4 3 513

95

4 3 2 1 6. .

4. Napiši nekoliko vrijednosti koje može imati broj

n u razlici 3 – n tako da rezultat:

a) pripada skupu N; b) pripada skupu Z;

c) pripada skupu Q, a ne pripada skupu Z;

d) pripada skupu R, a ne pripada skupu Q.

5. Trgovac ima 139.5 kg banana i 9 sanduka. Može li

on u jedan sanduk smjestiti cijeli broj kg banana,

pod uvjetom da u svakom sanduku bude jednako

kg banana? Objasni svoj odgovor.

6. Jadransko more sadrži 3.8% soli. Koliko će se

točno soli dobiti od 7300 kg morske vode?

Rješenje izrazi: a) decimalnim brojem;

b) prirodnim brojem (pretvaranjem mjernih

jedinica, a ne zaokruživanjem!).


a) 7

100; b)

23

; c) 219

; d) 1710

; e) 5311

; f) 37

.

8. Bez računanja odgovori koji su od ovih razlomaka

konačni, a koji beskonačni periodički decimalni

brojevi:

a) 6

20; b)

430

; c) 1310

; d) 215

; e) - 59

.

9. Pronađi period u decimalnom zapisu ovih

razlomaka:

a) 13

; b) 23

; c) 67

; d) 79

; e) 1012

; f) 223

;

g) 1124

; h) 3311

.

10. Kojem skupu brojeva pripadaju brojevi:

a) 0.33333…; b) 5 ; c) 0.272727…; d) 0;

e) 3 2 7+ ; f) –1.1; g) π; h) 600 000 000;

i) 3π; j) 0.4568045680...; k) –2π + 6.

11. Koji je broj veći: a) 3 ili 1.73; b) 2 ili 1.4;

c) 3.14 ili π; d) 4 ili 16 ; e) − +2 1 ili –0.414.

Z a d a c i z a p o n a v l j a n j e – s k u p o v i b r o j e v a :

2 . 8 . P o n a v l j a n j e

103


12. Poredaj po veličini brojeve: 6 , 2.5, 2.449, π2

i 2.44948.

13. Pojednostavi, a zatim izračunaj vrijednost izraza

ako je a = 2, b = 3, c = – 3. Kojem skupu brojeva

pripada rezultat pojedinog zadatka?

a) 4a + 2b – 7a; b) 3a(2 + 3b – 4a);

c) (–5 + c) • (2c – 3); d) (–a – 2b + 6c) – 4b;

e) a2b + 3ab2 – 10a2b + a2b – ab2 – 3a2b.

14. Pojednostavi, a zatim izračunaj vrijednost izraza

ako je a = 25

, b = 0.5, c = –4. Kojem skupu

brojeva pripada rezultat pojedinog zadatka?

a) 2 3a a− + − +( )1 3[ ] ; b) –2ab – 4a2b + 6a2b; c) (6 + 5a) • (3b – 1);

d) 2 2( )ab a ab a a ab− − −( ) + + 3[ ] ; e) ( 2 – 2c)(c + 2 2 ) – 3a(–a + 1).

15. Je li rješenje zadane jednadžbe cijeli ili prirodan broj?

a) 2x + 3 – 4x = 9;

b) 3x – (2x – 1) = 5 + (2x + 3);

c) 3(3 – 2x) – 5(5x – 1) + 42 = 2 (1 – 3x) – 7 (2x – 3);

d) (2x – 1)(x + 4) = (x + 9)(2x + 7) + 5;

e) x – x2

= 3; f) 13

4+ x

= 5 – 11 2

5- x

.

16. Jesu li rješenja zadane jednadžbe racionalni ili

iracionalni brojevi?

a) x2 – 100 = 0; b) x2 = 0; c) x2 – 1 = 0;

d) x + π = 0; e) 3x2 + 6 = 2 + 6 .

17. Može li duljina neke dužine biti negativan broj?

A iracionalan? Obrazloži odgovore.

18. Kvadrat ima površinu P = 2. Kolika je duljina

stranice toga kvadrata?

19. Sastavi zadatak tako da površina kvadrata bude

racionalan, a duljina njegove stranice iracionalan broj.

20. Ako je površina kruga 16π, je li polumjer toga

kruga racionalan ili iracionalan broj? Kolika je

točna vrijednost polumjera toga kruga?

21. Ako je površina kruga 16 m2, je li polumjer toga

kruga racionalan ili iracionalan broj? Kolika je

točna vrijednost polumjera toga kruga?

22. Kojem skupu brojeva pripadaju dobivene

vrijednosti nepoznanice x, a kojem

nepoznanice y?

a) 2x + 5y = –1, –4x + y = 2;

b) 0.2x – 0.5y = –1.3, 0.2x + 0.4y = 4;

c) 3 (1 – 2x) = y + 5, –2(x + y) = 5x – 3y;

d) 13

0 775

67

215

x y x y+ = − + = −. , ;

e) 2

323

52

35

27

10x y

yx y y x− + = − − − = −, .

1. Izračunaj: a) 1; b) 0 36. ; d) 14

.

2. Zapiši s točnošću od 4 decimale kolika je duljina

stranice kvadrata ako je njegova površina:

a) 114 m2; b) 3.255 cm2.

3. Koliki je polumjer kruga ako je njegova površina

169π m2?

4. Izračunaj:

a) 81 36• ; b) 9 2 2a b ; c) 72

242;

d) 2 2 12a b ab• • .

5. Pojednostavi:

a) 4 3 3 3 3 9 3− + − ;

b) 7 5 2 2 5 6 2+( ) − +( ) .

6. Pojednostavi:

a) 6 2 3 6 1 5 6− − +( ) ;

b) 3 2 2 2 4 3 1− −( ) + .

7. Izračunaj: a) 5 52( ) ; b) −( )2 7

2a ; c) 4 5

2−( ) ;

d) 2 3 3 22

+( ) .

8. Djelomično korjenuj: a) 60 ; b) 1000 .

9. Izračunaj:

a) 12 27 3+ + ; b) 2 18 2 2 8− −( ) ;

c) 3 2 12 3 3− +( ) .

10. Racionaliziraj: a) 3

12; b)

25

3 5.

11. Riješi jednadžbe :

a) x2 499

= ; b) x2 72 0− = .

12. Poredaj po veličini brojeve počinjući od najmanjeg: 3 , π, 3.14, 2 i 1.4.


104

3. Pitagorin poučakMatematika je od davnih vremena bila potrebna za

izračunavanje problema iz svakidašnjice. Tako je

često potrebno izračunati dijagonalu pravokutnika

čije su duljine stranica poznate.

Sa svojim trenutnim matematičkim znanjem taj

problem možemo riješiti samo mjerenjem. No nije

uvijek zgodno konstruirati pravokutnik da bi se

izmjerila njegova dijagonala. Za njegovo rješavanje

potreban nam je Pitagorin poučak. To je jedna

od najpoznatijih matematičkih istina, a toliko je poznata i važna upravo

zbog svoje primjenjivosti na razne probleme iz srodnih znanosti i iz

svakodnevnog života. Pitagorin poučak bio je zbog svoje važnosti poznat

još u davna vremena, a naziv mu potječe od starogrčkog matematičara po

imenu Pitagora, koji je taj poučak dokazao.

Evo nekih primjera koje dosad nismo znali izračunati, a znat ćemo ih točno

izračunati kada naučimo Pitagorin poučak:

Važni pojmovi

Egipatski trokut:

Indijski trokut

Pitagorin poučak

Pitagora

Obrat Pitagorina poučka

Spirala drugog korijena

Skup R na pravcu

Dijagonala kvadrata

Visina jednakostraničnoga trokuta

Površina jednakostraničnoga trokuta


• Kako su stari Egipćani pomoću konopca uvijek

točno sastavljali pravi kut;

• Kako izračunati duljinu treće stranice pravo kut

noga trokuta ako su zadane preostale dvije;

• Kako glasi formula za duljinu dijagonale kvadrata

čija je stranica poznata;

• Zašto volovi ne vole matematiku;

• Tko je bio Pitagora i tko su bili pitagorejci;

• Je li baš Pitagora otkrio Pitagorin poučak;

• Ako svim racionalnim brojevima pridružimo točke

pravca, jesmo li iskoristili sve točke na pravcu;

• Kako konstruirati dužinu duljine točno 2 cm;

• Kako glasi formula za površinu jednakostraničnoga

trokuta...

I još mnogo toga!

d

a

b

– Kolika j e v isina

dvokrak ih lj estava?

– Može li se k išobran dug 1 m spremi ti na dno kofera dimenzij a 40 cm x 30 cm?

– Može li Matij a ovaj svoj skate dulj ine 47 cm ugurati u školsk i ormar iæ dimenzij a

37 cm x 20 cm?

Pitagora VI st. pr. Kr.

P i t a g o r i n p o u č a k

105


1. Što je pravokutni trokut?

2. Kako se nazivaju stranice pravokutnoga

trokuta?

3. Kako se naziva najdulja stranica u

pravokutnom trokutu?

4. Što su katete?

5. Što je hipotenuza?

6. Kako glasi formula za opseg pravokutnog

trokuta?

7. Kako glasi formula za površinu pravokutnog

trokuta?

8. Što je kvadrat?

9. Kako glasi formula za površinu kvadrata?

10. Što je to poučak?

Kratki zadaci za ponavljanje:

3.1. Pravokutni trokut

Pronađi pravokutne trokute

Gledajući slike objasni gdje se sve u raznim geometrijskim likovima skrivaju

pravokutni trokuti.

U nastavnoj cjelini Pitagorin poučak upoznat ćemo se s jednom važnom

matematičkom formulom koja ima primjenu u mnogim srodnim znanostima i u

svakodnevnom životu. Kako se Pitagorin poučak odnosi na stranice pravokutnoga

trokuta, važno je ponoviti gradivo vezano uz pravokutni trokut. U uvodnom

zadatku možemo prepoznati pravokutni trokut kao dio

mnogih geometrijskih likova i tijela.

Pravokutni trokut je trokut koji ima pravi kut.

Stranice trokuta koje zatvaraju pravi kut nazivaju se

katetama.

Stranica nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuzom.

Hipotenuza je najdulja stranica pravokutnog trokuta.

Na slici vidimo da dijeljenjem pravokutnika po dijagonali

dobivamo dva sukladna pravokutna trokuta. Stoga je

površina pravokutnoga trokuta Pab=2

.

pravokutni

trokut

katete

hipotenuza

C

B

A

c

b

a

b

a

106

3 . 1 . P r a v o k u t n i t r o k u t

c

a

v

60°

bc

a60°

30°

Primjer 2. Konstrukcija pravokutnoga trokutaKonstruiraj pravokutni trokut ABC s katetama

a = BC i b = AC ako je:

a) a = 2.5 cm, b = 4.6 cm;

b) a = 39 mm, α = 45º.

Kolika je površina dobivenoga trokuta?

Rješenje:a) Konstruirajmo stranicu a = BC = 2.5 cm i iz

vrha C povucimo okomit polupravac. Na njemu

pronađimo dužinu b = AC = 4.6 cm. Spajanjem

točaka A i B dobivamo pravokutan trokut ABC.

Njegova površina je Pab= = ⋅2

2 5 4 62

. .= 5.75cm2.

b) Kut uz hipotenuzu je 45º. To je jednakokračan

pravokutni trokut koji ćemo konstruirati

kao u primjeru pod a). Njegova je površina

Pa a= ⋅ = ⋅ =

239 39

2 760.5 mm2.

Egipatski trokut

Pravokutni trokut bio je poznat i u davna vremena. Tako se u starom Egiptu pravokutni trokut upotrebljavao u zemljomjerstvu. Svake je godine rijeka Nil poplavljivala imanja i nakon poplava je trebalo ponovo odrediti granice između polja. Pri tim mjerenjima starim je Egipćanima trebao pravi kut. Pravi kut su dobivali preko trokuta sa stranicama dugim 3, 4 i 5 jediničnih dužina. Znali su da je takav trokut pravokutni trokut pa je kut što ga čine dvije kraće stranice pravi kut.Uz egipatski trokut veže se još jedna zanimljivost. Egipćani nisu za mjerenje zemljišta uoptrebljavali trokute načinjene od drveta i sl., nego od užadi. Na teren bi sa sobom nosili uže na kojem se pomoću jednakomjerno

Primjer 1. Prepoznavanje kateta i hipotenuzaPogledaj sliku i svakom trokutu nađi katete i

hipotenuzu:

Rješenje:Znamo da su katete stranice pravokutnoga trokuta

koje čine pravi kut pa nije teško redom odrediti:

Katete: f, d; hipotenuza: e.

Katete: b, c; hipotenuza: a.

Katete: q, s; hpiotenuza: p.

Katete: k, l; hipotenuza: j.

Katete: s, r; hipotenuza: t.

Katete: c, b; hipotenuza: d.df

e

b

ac db

c

q

p sl

j

k

s

r

t

45°a

a45° d

a

a

Među brojnim pravokutnim trokutima istaknimo dva koja

susrećemo u našem geometrijskom priboru:

1. Jednakokračni pravokutni trokut, koji se dobiva

dijeljenjem kvadrata po dijagonali. Kutovi uz hipotenuzu

iznose 45º.

2. Pravokutan trokut s kutovima 30º, 60º i 90º. To je

trokut koji se dobije dijeljenjem jednakostraničnog trokuta

po jednoj njegovoj visini. Stoga je njegova hipotenuza

dvostruko dulja od kraće katete.

raspoređenih čvorova nalazilo 12 dužina. To bi uže zatim savili u trokut sa stranicama od po 3, 4 i 5 dužina, a kako je to pravokutni trokut, kut između kraćih dužina tada je pravi kut.

Budući da znamo da su stari Egipćani poznavali pravokutni trokut sa stranicama duljine 3, 4 i 5, takav trokut nazivamo egipatskim trokutom.Osim egipatskog postoji i tzv. indijski trokut sa stranicama duljina 36, 15 i 39 jediničnih dužina. Njega su poznavali stari Indijci.Napravi egipatski i indijski trokut od konca, vune ili konopca i uvjeri se da su pravokutni.

1. Koji su od ovih trokuta pravokutni, koji tupokutni, a

koji šiljastokutni?

2. Koji su od ovih trokuta:

a) pravokutni, tupokutni te šiljastokutni?

b) jednakokračni, jednakostranični te raznostranični?

3. Pogledaj sliku i svakom trokutu nađi katete i

hipotenuzu:

4. Skiciraj:

a) pravokutni jednakokoračni trokut;

b) pravokutni raznostranični trokut;

c) tupokutni jednakokoračni trokut;

d) tupokutni raznostranični trokut;

e) šiljastokutni jednakokoračni trokut;

f) šiljastokutni raznostranični trokut.

5. Skiciraj trokut koji:

a) ima dva prava kuta;

b) ima tri prava kuta;

c) ima jedan pravi i jedan tupi kut;

d) ima jedan pravi i dva šiljasta kuta.

6. Nacrtaj pravokutni trokut s katetama duljina:

a) 2 cm i 5 cm;

b) 4 cm i 4 cm;

c) 1 cm i 5 cm.

Izmjeri duljine njihovih stranica i izračunaj im

opsege.

Koji su od ovih trukuta jednakokračni?

7. Konstruiraj pravokutni trokut ABC s katetama


a) a = 2.5 cm, b = 4.6 cm;

b) a = 4 cm, b = 30 mm;

c) a = 54 mm, α = 30º;

d) a = 3.1 cm, α = 75º.

Kolika je površina dobivenoga trokuta?

8. Konstruiraj jednakokračni pravokutni trokut s

katetom duljine 33 mm.


hipotenuzom duljine 4.5 cm.

10. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je promjer

opisane kružnice jednak 7 cm, a duljina jedne

katete je 2.2 cm.

11. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je duljina

hipotenuze 57 mm, a visina na hipotenuzu duga

je 2.8 cm.

12. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je visina na

hipotenuzu 48 mm, a jedan šiljasti kut iznosi 30º.

165

4

3

2

7

1

65

4

3

2

7

D

FE

S

BPM

G

N

B

A

C K

BI

T

JV

L

C

R

Z a d a c i

107


108

3 . 2 . P i t a g o r i n p o u č a k

kvadrata nad katetama, primijetit ćemo da je

zbroj jednak površini kvadrata nad

hipotenuzom.

9 + 16 = 25, tj. a2 + b2 = c2.

Pitamo se vrijedi li ta jednakost samo za egipatski trokut ili

možda vrijedi za svaki pravokutni trokut. Evo, pokušajmo s

indijskim trokutom:

362 + 152 = 392.

I tu je zbroj dvaju manjih kvadrata jednak površini najvećega

kvadrata. Dapače, tvrdnja da je zbroj kvadrata nad katetama

jednak kvadratu hipotenuze poznata je još od davnina.

Smatra se da je starogrčki mate

matičar Pitagora prvi do kazao da

ova tvrdnja vrijedi za svaki pra vo

kutni trokut, pa se njemu u čast ta

tvrdnja naziva Pitagorinim po uč kom

ili Pitagorinim teoremom.

3.2. Pitagorin poučak

Priča o zlatnim pločicama

Jednom davno kralj reče svome slugi:

- Uvijek si mi vjerno služio, sada ću te nagraditi. Imam ovdje tri

jednako debele zlatne pločice. Izaberi: možeš uzeti ovu veliku,

ili obje male. Razmisli koji ti odabir više odgovara.

Prisjetimo se egipatskog trokuta iz prethodnoga poglavlja i

povežimo ga s pričom iz uvodnog zadatka.

Nacrtajmo pravokutni trokut s katetama duljina 3 cm i 4 cm.

Znamo da je to egipatski trokut s hipotenuzom dugom 5 cm.

Nacrtajmo sada kvadrate nad

svakom stranicom ovog

trokuta:

Zbrojimo li površine

Pitagorin poučak

ili

Pitagorin teorem

bC

B

ca

A

Što misliš, bi li sluga trebao

uzeti veliku pločicu ili obje

male? U kojem bi slučaju

dobio više zlata?

Nešto mi govor i da ne mogu

pogr ij eši ti!

kvadrat nad hipotenuzom, to zna svako dij ete,

j ednak j e zbroj u kvadrata nad obj e katete.

aha. . . površina dvaj u manj ih

kvadrata zaj edno daj e

površinu veæeg kvadrata.

b

a

C

B

A

c

b

a

C

B

A

c

109


Sada nam je jasan i odgovor na uvodni zadatak: slugi je svejedno hoće li uzeti

oba mala ili samo veliki zlatni kvadrat jer je zadani trokut oko kojega su poslagani

kvadrati – pravokutni trokut, pa je P1 + P2 = P3.

Pitagorin poučak

U svakom pravokutnom trokutu površina kvadrata nad hipotenuzom

jednaka je zbroju površina kvadrata nad katetama.

U svakom pravokutnom trokutu zbroj kvadrata duljina kateta jednak je

kvadratu duljine hipotenuze.b

a

C

B

A

c

b2

a2

c2

Pitagora

Pitagora iz Samosa veliki je

starogrčki matematičar, ro đen

oko 570. g. na oto ku Samosu.

Osnovao je filo zof sku školu na

jugu Italije, a njegovi učenici su

se zvali pitagorejci.

Važna matematička tvrd nja da je zbroj kvadrata

nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom

bila je poznata još prije Pitagore, no smatra se da

ju je on prvi dokazao. Zato se njemu u čast ta tvrd

nja naziva Pitagorinim poučkom.

Postoji i legenda o tome

kako ju je dokazao. Če ka

jući u predvorju jedne pa

lače, Pitagora se za gle dao

u kamene pločice na po du.

Tako mu je si nula ideja:

zbroj kvadrata dviju kateta

jednak je kvadratu nad

hipotenuzom.

Pitagora je dokazao još jednu važnu geometrijsku

tvrdnju: da je zbroj unutrašnjih kutova u trokutu

jednak 180º.

Primjer 1. Pitagorin poučaka) Izračunaj duljinu stranice c sa slike: b) Izračunaj duljinu stranice d sa slike:

5C

12

b4.4

1.2

Rješenje:a) Stranice duljina 5 i 12 su katete, a c je

hipotenuza ovoga trokuta, a prema Pitagorinom

poučku vrijedi formula a2 + b2 = c2. Uvrstimo

poznate veličine:

c2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.

Kako je c2 = 169, zaključujemo da je

c = 169 , tj. c = 13 cm.

b) Kako je b kateta ovoga pravokutnoga trokuta,

vrijedi formula b2 + 1.22 = 4.42. Stoga je

b2 = 4.42 – 1.22.

b2 = 4.42 – 1.22 = 19.36 – 1.44 = 17.92

Kako je b2 = 17.92, zaključujemo da je

b = 17 92. . Ovaj je korijen iracionalan broj,

pa ćemo uz pomoć džepnog računala pronaći

njegovu približnu vrijednost:

b = 17 92 4 23. .≈ cm.

Ako su nam zadane duljine samo dviju stra nica pravokutnog trokuta, pomoću Pita gorinog

poučka možemo odrediti duljinu treće stranice.

110


Primjer 2. Primjena Pitagorinog poučka

Ljestve su naslonjene uza zid kao na slici. Koliko

trebaju biti dugačke ljestve ako im podnožje mora

biti udaljeno od zida 0.9 m kako bi dosegnule 3

m visine zida?

Rješenje:Ljestve naslonjene na zid zajedno s dijelom zida i

poda čine pravokutni trokut s katetama dugim 3

m i 0.9 m. Traži se duljina ljestava, tj. hipotenuza

toga pravokutnoga trokuta.

c2 = 0.92 + 32 = 0.81 + 9 = 9.81

Kako je c2 = 9.81, onda je c = 9 81. cm. Približna

vrijednost s točnošću na dvije decimale je c ≈

3.13 m.

Primjer 3.Izračunaj x na slici ako je zadano:

Rješenje:Zadani je trokut visinom y podijeljen na dva

pravokutna trokuta. Prvo ćemo izračunati katetu

y iz pravokutnoga trokuta s hipotenuzom 10 i

katetom 8.

y2 = 102 – 82 = 100 – 64 = 36

y = 36 = 6.

Sada računamo katetu x iz trokuta s hipotenuzom

6.5 i drugom katetom y = 6.

x2 = 6.52 – 62 = 42.25 – 36 = 6.25

x = 6 25. = 2.5

6.5

8

10

x

y

Na CDu Petice 8 koji dolazi uz udžbenik nalazi se još nekoliko zanimljivih dokaza Pitagorina poučka.

Dokaz Pitagorina poučka

Na slici se nalazi dokaz da Pitagorin poučak vrijedi za

svaki pravokutni trokut. Objasni!

Objašnjenje:

Na obje se slike nalaze dva sukladna kvadrata sa

stranicom dugom a + b. Oba kvadrata sastoje se od četiri

sukladna pravokutna trokuta koji su na slici označeni

plavom bojom. To znači da i preostali žuti dijelovi moraju biti jednakih površina. U prvom kvadratu to je a2

+ b2, a u drugom c2. Stoga zaključujemo da je

a2 + b2 = c2. Time je pokazano da Pitagorin poučak vrijedi za bilo koji pravokutni trokut.

b

a

b2

a2

c

c2

b

a

111


Z a d a c i1. Iskaži Pitagorin poučak nad ovim stranicama:

2. Nacrtaj pet različitih pravokutnih trokuta, izmjeri

im duljine stranica i uvjeri se da vrijedi Pitagorin

poučak.

3. Iskaži Pitagorin poučak za svaki pravokutni trokut:

a)

b)

c)

4. a) Izračunaj duljinu hipotenuze c pravokutnoga

trokuta ako su zadane duljine kateta

a = 40 cm i b = 30 cm;

b) Izračunaj duljinu hipotenuze m pravokutnoga


k = 2 cm i l = 2.1 cm;

c) Izračunaj duljinu hipotenuze t pravokutnoga

trokuta ako su zadane duljine kateta m = 2.2 cm i

n = 4.1 cm.

5. a) Izračunaj duljinu katete k pravokutnoga trokuta

ako je zadana hipotenuza b = 3.7 cm i kateta

c = 1.2 cm;

b) Izračunaj duljinu katete d pravokutnoga trokuta

ako je zadana hipotenuza h = 2 cm i kateta

e = 1.2 cm.

c) Izračunaj duljinu katete d pravokutnoga trokuta

ako je zadana hipotenuza h = 20 cm i kateta

e = 11.25 cm.

Izračunaj površinu svakog od ovih trokuta.

6. Izračunaj duljinu x na svakoj slici:

7. Ljestve su naslonjene uza zid kao na slici. Koliko su

duge ljestve?

8. Ljestve duge 1.3 m prislonimo uza zid tako da im

je donji kraj na podu od zida udaljen 0.5 m. Koliku

visinu dosežu ljestve na zidu? Nacrtaj skicu.

9. Ljestve duge 5.5 m prislonjene su uza zid.

Koliku će visinu doseći na zidu ako ih od zida

odmaknemo:

a) 1 m; b) 2.5 m; c) 0.7 m?

10. Maja živi na prvom katu zgrade, na visini

3 m iznad tla. Ana živi na šestom katu susjedne

zgrade, na visini 19 m iznad tla. Udaljenost

između njihovih stanova zračnom linijom je 50 m.

Kolika je horizontalna udaljenost između njihovih

zgrada? Nacrtaj skicu.

11. Izračunaj duljine dužina x i y:

a) b) c)

d) e) f)

d

b

a

e

c

2.5 m

0.8 mu

s

rt

p

z

x hy

g

x

2.5y

2.1

2.9

x

29

y

2135 x

9

y

20

15

y

x

15

2029

x

2.5

y

1.5

2.9

y

0.5

0.3

0.5

5

15

3

4

x

xx

x

x

xx

x

2425

12

21

20

263

1

216

1

2.9

a)

e)f)

g) h)

d)c)

b)

d

fe

b

ac d

b

c

q

p sl

j

k

s

r

t

x

12. Zadan je pravokutni trokut s katetama a i b te

hipotenuzom c. Prepiši u bilježnicu i ispuni tablicu

približnim vrijednostima na dvije decimale:

a 2 5 6.2 11b 2 1.3 2.6c 12 5 12

a 4.2 2.45 3b 5.5 4 7c 19 9.8 14 8.13

13. Izračunaj duljinu x sa svake slike s točnošću od

dvije decimale:

a) b)

c) d)

e) f)

14. Katete pravokutnoga trokuta duge su 3 i 4 cm.

Kolika je visina spuštena na hipotenuzu tog

trokuta?

15. Katete pravokutnoga trokuta duge su

2.7 i 3.6 cm.

a) Kolika je visina spuštena na hipotenuzu tog

trokuta?

b) Konstruiraj taj trokut i mjerenjem se uvjeri da

je tvoj rezultat iz zadatka a) točan.

16. Luka u geometrijskom priboru ima trokut

kojem je hipotenuza dvostruko dulja od

jedne katete. Kolika je površina toga trokuta

ako je duljina druge katete 10 cm?

17. Majina mama ispekla je biskvit za trokutiće

od lješnjaka. Kolač treba rezati u obliku

pravokutnih trokuta kojima je jedna kateta

za 1 cm kraća od hipotenuze, a druga je

kateta duga 3 cm. Kolike će biti dimenzije

svake kriške?

18. U pravokutnom trokutu duljina jedne katete i

hipotenuze nalaze se u omjeru 5 : 13. Opseg

toga trokuta iznosi 90 m. Izračunaj duljine

svih triju stranica i površinu zadanoga trokuta.

112


x

9.9 7

x

9y

2318

y

x

15

27

344.4x

1.2

x

15y

8

10

9

6

x

Primjer 4. Obrat Pitagorina poučkaZadan je trokut sa stranicama duljina:

a) 24 cm, 25 cm i 7 cm;

b) 13 dm, 16 dm i 18 dm.

Kako ćemo bez konstruiranja znati jesu li ti

trokuti pravokutni?

Rješenje:Naučili smo da za svaki pravokutni trokut vrijedi

da je zbroj površina kvadrata nad katetama

jednak površini kvadrata nad hipotenuzom. No

može se pokazati da vrijedi i obrat Pitagorinog

poučka: Ako za duljine stranica trokuta a, b i

c vrijedi da je a2 + b2 = c2, tada su to duljine

stranica pravokutnog trokuta s hipotenuzom c.

a) Sada nije teško riješiti zadatak. Hipotenuza

pravokutnoga trokuta njegova je najdulja

stranica. To bi morala biti stranica duljine 25 cm

jer je najdulja između 24 cm, 25 cm i 7 cm.

Izračunajmo 252 = 625. Provjerimo:

242 + 72 = 576 + 49 = 625 = 252.

Obrat Pitagorina poučka:

Ako za duljine stranica a, b i c nekoga

trokuta vrijedi da je

a2 + b2 = c2,

tada je taj trokut pravokutni trokut s

hipotenuzom c.

113


Zaključujemo da je trokut sa stranicama duljina

24 cm, 25 cm i 7 cm pravokutni trokut s

hipotenuzom 25 cm.

b) Najdulja je stranica 18 cm, 182 = 324.

132 + 162 = 169 + 256 = 425

Budući da je 425 ≠ 324, zaključujemo da zadani

trokut nije pravokutni trokut.

19. Dokaži da je egipatski trokut pravokutni trokut.

20. Dokaži da je indijski trokut pravokutni trokut.

21. Provjeri jesu li pravokutni trokuti sa stranicama

duljina:

a) 6 cm, 8 cm, 10 cm;

b) 5 cm, 8 cm, 12 cm;

c) 4.5 cm, 7.5 cm i 6 cm;

d) 13.5 cm, 11 cm i 12 cm.

22. Zadani su trokuti sa stranicama duljina:

a) 3 cm, 4 cm, 6 cm;

b) 35 mm, 21 mm, 28 mm;

c) 2.5 cm, 1.5 cm i 2 cm;

d) 13 cm, 5 cm i 12 cm.

Za svaki trokut računski i grafički (konstrukcijom)

provjeri je li pravokutan.

23. Izračunaj površinu trokuta ako su mu duljine

stranica:

a) 6 cm, 8 cm i 10 cm;

b) 12 cm, 5 cm i 13 cm.

24. Nacrtaj nekoliko šiljastokutnih trokuta, izmjeri

im duljine stranica i provjeri je li kvadrat najdulje

stranice veći ili možda manji od kvadrata zbroja

preostalih dviju stranica. Zatim isto napravi i za

nekoliko tupokutnih trokuta. Možeš li nakon toga

izvesti zaključak: kako računski možemo odrediti

je li trokut šiljastokutan, pravokutan ili tupokutan

ako su mu zadane duljine svih triju stranica?

Z a d a c i

Skulptura posvećena

Pitagori koja je

podignuta na njegovu

rodnom otoku Samosu,

koji danas pripada

Turskoj.

Ako j e trokut sa stran icama a, b i c pravokutan kao na slici ,

onda vr ij edi a2 + b2 = c2.

Ako za neka tr i broj a vr ij edi a2 + b2 = c2, tada su to dulj ine stran ica

pravokutnoga trokuta kao na slici .

114

1. Konstruiraj pravokutan trokut ABC s katetama


a) a = 2.5 cm, b = 3.2 cm;

b) a = 4.3 cm, b = 37 mm;

c) a = 48 mm, α = 40º;

d) a = 2.8 cm, α = 45º.


katetom duljine 45 mm.


hipotenuzom duljine 6 cm.

4. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je polumjer

opisane kružnice jednak 7.5 cm, a duljina jedne

katete je 3 cm.

5. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je duljina

hipotenuze 65 mm, a visina na hipotenuzu duga

3.5 cm.

6. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je visina na

hipotenuzu 52 mm, a jedan šiljasti kut iznosi 50º.

7. Izračunaj duljinu hipotenuze c pravokutnog

trokuta ako su zadane duljine kateta a = 8 cm i

b = 6 cm.

8. Izračunaj duljinu hipotenuze m pravokutnog

trokuta ako su zadane duljine kateta k = 1.1 cm i

l = 6 cm, i izračunaj površinu tog trokuta.

9. Izračunaj duljinu hipotenuze t pravokutnog

trokuta ako su zadane duljine kateta m = 13 mm i

n = 84 mm, i izračunaj površinu tog trokuta.

10. Izračunaj duljinu katete k pravokutnog trokuta je

zadana hipotenuza b = 3.3 cm i kateta c = 6.5 cm,

i izračunaj površinu tog trokuta.

11. Izračunaj duljinu katete d pravokutnog trokuta je

zadana hipotenuza h = 53 mm i kateta e = 2.8 cm,

i izračunaj površinu tog trokuta.

12. Izračunaj duljinu katete d pravokutnog trokuta je

zadana hipotenuza h = 3.7 cm i kateta e = 0.35 m.

13. Zadan je pravokutan trokut s katetama a i b,

te hipotenuzom c. Prepiši tablicu pa je ispuni

približnim vrijednostima na dvije decimale:

a 2 5 6.2 5 3.2 4 4.2b 3 2.2 3.4 5.5 4 6c 10 5 12 20 9.8 14 8.5

14. Izračunaj duljine nepoznatih dužina sa slike:

a) b)

c) d)

e) f)

15. Ljestve duge 5.3 m prislonimo uza zid tako da

im je donji kraj na podu udaljen od zida 2.8 m.

Koliku visinu dosežu ljestve na zidu? Nacrtaj

skicu.

16. Ljestve duge 2.9 m su prislonjene uza zid.

Koliku će visinu doseći na zidu ako ih od zida

odmaknemo 2?

17. Računski provjeri jesu li trokuti pravokutni ako

su im stranice duljina:

a) 6 cm, 8 cm, 11 cm; b) 5 cm, 13 cm, 12 cm;

c) 2.5 cm, 7 mm i 2.4 cm; d) 4.1 cm, 4 cm i 2.5 cm.


a) 12 cm, 16 cm, 20 cm; b) 12 cm, 0.35 m, 375 mm;

c) 9 cm, 4.1 dm i 0.4 m; d) 24 cm, 25 cm i 23 cm.

Računski provjeri jesu li ti trokuti pravokutni.


Vježbalica50

22.5

3x

yx15

12

37.7

19.5 11.6

6

33

0.9

17.5

20.3

14.7

1026

13

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

y

Z a d a c i

3.3. Realni brojevi na brojevnom pravcu

Otkriće iracionalnih brojevaPitagorejci su bili učenici i sljedbenici Pitagore koji je na jugu Italije osnovao filozofsku školu. Matematiku su dijelili na aritmetiku, geometriju, astronomiju i glazbu. U središtu njihova promatranja bio je broj, i to prirodni broj. Brojevima su pridavali ljudske osobine. Tako su, primjerice, razlikovali muške i ženske brojeve, prijateljske brojeve, savršene brojeve itd.

Po njihovu shvaćanju jedini brojevi bili su prirodni i racionalni brojevi, koje su promatrali preko omje ra prirodnih brojeva. Brojeve su

uvijek prikazivali geometrijski. Tako su došli i do zaključka da broj 2 nije racionalni broj. Taj se zaključak kosio s cijelim njihovim učenjem i otkriće iracionalnih brojeva toliko ih je pogodilo da su se bojali da će cijelo njihovo dotadašnje naučavanje i vjerovanje propasti. Zato su to svoje saznanje čuvali u strogoj tajnosti kako bi i dalje mogli slijediti svoje ideje. No isti na je na kraju izišla na vidjelo i morali su priznati činjenicu da postoje i brojevi koji nisu racionalni.

U poglavlju 2.3. smo naučili da se skup realnih brojeva R

sastoji od skupa racionalnih brojeva Q i skupa iracionalnih

brojeva I.

Racionalne brojeve smo naučili smještati na brojevni pra vac

još u šestom razredu. Evo nekoliko primjera pridruživanja

racionalnih brojeva točkama brojevnog pravca:

U ovom poglavlju ćemo naučiti kako i neke od iracionalnih brojeva smjestiti na

brojevni pravac. Tek kada i iracionalne brojeve smjestimo na brojevni pravac ćemo

moći reći da smo svim realnim brojevima pridružili točke pravca, a i obrnuto. No,

prvo ćemo se zapitati može li duljina neke dužine biti iracionalni broj.

Primjerice, može li duljina neke dužine biti točno 2 cm? Riješimo sljedeći

problem: Zadan je jednakokračni pravokutni trokut sa stranicom duljine 1 cm.

Pitamo se kolika je duljina njegove dijagonale d.

Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2. Zaključujemo

da je duljina dijagonale kvadrata d = 2 cm, a to je iracionalni broj. Dakle, duljina

dužine može biti iracionalni broj.

3 2 1 0 1 2 3

O E

QZ

R

NI

-3.1-3 -2 -1 0 1 2 3 4

EO

-6

11

2.5

43

29

4-1

343

-231

d1

1

Nacrtaj brojevni pravac poput ovog na slici i na njemu pronađi točke pridružene brojevima:

1 , -2, 1.3, , -0.7, 2 4

56

-125

.

115


116

3 . 3 . R e a l n i b r o j e v i n a b r o j e v n o m p r a v c u

Primjer 1. Konstrukcija dužine duge 2 cmKonstruiraj kvadrat površine 2 cm2.

Rješenje:Tražimo duljinu stranice kvadrata s površinom

2 cm2. Kako je P = a2, zaključujemo da je

a2 = 2

a = 2 cm.

Treba konstruirati stranicu kvadrata duljine 2

cm. Nju ćemo nacrtati tako da prvo konstruiramo

jednakokračni pravokutni trokut s katetom duljine

1 cm. Kao što je gore pokazano, duljina njegove

hipotenuze je 2 cm.

Sada nije teško prenošenjem dužina i

konstrukcijom kuta od 90º konstruirati preostale

stranice kvadrata sa stranicom 2 cm.

1

1 √2√2

1

1 √2

Primjer 2. Spirala drugog korijenaOdaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim kon strui

raj dužine duljina

2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ... itd.

Rješenje:Odaberimo neku jediničnu du

žinu OE = 1. Zatim konstrui

rajmo jednakokračni pravokutni

trokut s katetama duljine 1.

Hipotenuza tog trokuta će biti

duga 2 .

Sada nad hipotenuzom dugom 2 konstruirajmo

okomicu dugu 1. Dobit ćemo pravokutni trokut

kojem je jedna kateta duga

2 , a druga kateta 1. Izračunajmo duljinu njegove

hipotenuze d:

d2 = 22( ) + 12 = 2 + 1 = 3

d = 3 .

Na taj smo način konstruirali dužinu dugu 3 .

Ako sada nad njom konstruiramo okomicu dugu

1, dobit ćemo hipotenuzu h, takvu da je:

h2 = 32( ) + 12 = 3 + 1 = 4,

h = 2.

Možemo provjeriti da je duljina h zaista dvostruko

dulja od jedinične dužine. Taj postupak možemo

nastaviti. Na taj ćemo način za svaki prirodni broj

a moći konstruirati bilo koju dužinu duljine a .

Tako nastaje tzv. spirala drugoga

korijena (naziva se još i Pitagorinom

spiralom ili Pitagorinim pužem).

1

1 √2√2

1

1 √2

1

1 √2

√10

√9 = 3

√8 √7√6

√5

√4 = 2

√3

1

11 1

1

1

1

1

spirala

drugoga

korijena

1

1 √2

√4 = 2

√3 1

1

1

1 √2

√3

1

1. Konstruiraj dužinu duljine 2 cm.

2. Konstruiraj kvadrat s dijagonalom duljine 2 2 cm.

3. Nacrtaj spiralu drugoga korijena do hipotenuze

duljine 20 .

4. Konstruiraj dužinu duljine:

a) 3 cm; b) 7 cm; c) 8 cm;

d) 6 cm; e) 9 cm.


a) 2 cm; b) 2 2 cm; c) 5 2 cm;

d) 1 5 2. cm; e) 14

2 cm.

Primjer 3. Konstrukcija dužina s iracionalnom duljinomKonstruiraj kvadrat površine 47 cm2.

Rješenje:Površina zadanoga kvadrata je 47 cm2. To

znači da stranica kvadrata treba biti duga

47 cm. Ako konstruiramo tu stranicu, lako

ćemo konstruirati i zadani kvadrat. Ispada da

bismo morali konstruirati veći niz koraka spirale

da dođemo do duljine 47 cm. No pronađimo

prvi broj manji od 47 koji je potpun kvadrat, a to

je 36. Primijenimo Pitagorin poučak: 47 = 36 +

11, tj. 472( ) = 62 + 11

2( ) . Prvo konstruirajmo

11 cm. I za dužinu od 11 cm morali bismo

konstruirati veći niz koraka, stoga pronađimo

prvi broj manji od 11 koji je potpun kvadrat,

a to je 9. Kako je 9 = 3, nad dužinom duljine

3 cm konstruirajmo okomicu duljine 1 cm.

Hipotenuza će biti duga 10 cm. U sljedećem

koraku hipotenuza će biti duga 11 cm.

Nad katetom duljine 11 cm konstruirajmo

drugu katetu duljine 6 cm. Njihova hipotenuza

bit će duga 47 cm jer je 472( ) = 62 + 11

2( ) .

Z a d a c i

Z a d a c i6. Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstruiraj

dužinu duljine:

a) 3 ; b) 17 ; c) 24 ; d) 29 ; e) 57 .

7. Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstruiraj

dužinu duljine:

a) 39 ; b) 47 ; c) 54 ; d) 59 ; e) 67 .

8. Konstruiraj dužinu zadane duljine. (Napomena:

prvo djelomično korjenuj zadane brojeve).

a) 12 cm; b) 20 cm; c) 72 cm;

d) 18 cm; e) 75 cm.

9. Konstruiraj kvadrat površine:

a) 3 cm2; b) 5 cm2; c) 8 cm2;

d) 18 cm2; e) 31 cm2.

Koliki je opseg svakog zadanoga kvadrata?

10. Zadan je pravokutni trokut s hipotenuzom dugom

4 2 cm i katetom od 4 cm.

a) Kolika je duljina druge katete toga trokuta?

b) Kojoj vrsti pripada taj trokut?

c) Konstruiraj taj trokut.

√10

√9 = 3

√11

1

1

√10

√9 = 3

√11

√47

1

1

6

117


Z a d a c i

118


11. Površina pravokutnika je 6 5 cm2, a jedna

njegova stranica duga je 3 cm.

a) Kolika je duljina druge stranice pravokutnika?

b) Izračunaj opseg toga pravokutnika;

c) Konstruiraj taj pravokutnik.

12. Površina manjega kruga je 3π mm, a većega

kruga 9π mm.

a) Konstruiraj te krugove;

b) Koliko je puta polumjer većega kruga dulji od

polumjera manjega kruga?

c) Za koliko je veći polumjer dulji od manjeg?

Rješenja prvo prikaži točnim brojem, a zatim

zapiši približnu vrijednost zaokruženu na dvije

decimale.

Primjer 4. Realni brojevi na brojevnom pravcuNa brojevnom pravcu jedinične dužine

OE = 1 cm pronađi točke:

A( 2 ), B( − 3 ), C( 11 ), D(2 2 ).

Rješenje:Sve zadane točke pridružene su iracionalnim

brojevima. Pitamo se ima li točaka na brojevnom

pravcu koje su pridružene iracionalnim brojevima.

Odgovor je potvrdan iako nam se možda ranije

činilo da samo racionalni brojevi zauzimaju sve

točke na pravcu. No sada kada znamo konstruirati

dužine s realnim duljinama a za prirodni broj

a, zaključujemo da i točkama brojevnoga pravca

možemo pridruživati iracionalne brojeve.

Konstruirajmo dužinu duljine 2 pomoću

pravokutnoga trokuta s katetama duljine 1. Zatim

tu dužinu nanesimo na brojevni pravac udesno

od ishodišta. Na taj je način broju 2 pridružena

jedna posve određena točka brojevnoga pravca.

Nanesemo li je dvaput, odredit ćemo točku koja

je pridružena broju 2 2 .

Pomoću spirale drugoga korijena možemo

odrediti točke B( − 3 ) i C( 11 ). Primijetimo da

bismo morali konstruirati veći niz koraka da

dođemo do duljine 11 . Zato se poslužimo prvim

manjim brojem od 11 koji je potpun kvadrat, a

to je 9. Kako je 9 = 3, nad dužinom duljine 3

konstruirajmo okomicu duljine 1. Hipotenuza će

biti duga 10 . U sljedećem koraku hipotenuza

će biti duga 11 .

Ovdje smo vidjeli kako realnim brojevima oblika

a pridružujemo točke pravca. I svakom drugom

realnom broju pridružena je po jedna određena

točka pravca. Tek sada, kada osim racionalnim i

iracionalnim brojevima pridružimo njihove točno

određene točke pravca, bit će popunjene sve

točke na brojevnom pravcu.

1

E

√2

10 √2 2√2 42

DAO

1

E

√2

√3 10 √2 √112√2

√3

42

B CDAO

Pravac i skup R

Svakom realnom broju pridružena je točno

određena točka na brojevnom pravcu.

Vrijedi i obratno: svakoj točki pravca

pridružen je jedan točno određen realan broj.

√10

√9 = 3

√11

1

1Pomoćna slika

Z a d a c i

Z a d a c i13. Na brojevnom pravcu jedinične dužine


A( 3 ), B( −2 3 ), C( 12 ), D( − 27 ).

14. Na brojevnom pravcu pronađi točke:

A( 5 ), B( − 17 ), C(3 11), D( −3 20 ).

15. Na brojevnom pravcu jedinične dužine


A(22

), B(−3 3

4), C(

273

), D(−3 19

2).

16. U koordinatnoj ravnini pronađi točke:

A( 2 , 2 ), B( − 3 , 0.5), C( 11 , 0),

D( −3 2 , 5 ).

17. U koordinatnoj ravnini nacrtaj graf kvadratne

funkcije. Za točke uzmi brojeve iz tablice:

x 0 2 − 2 1 1 2 2 − 3

x2

Primjer 5. Kvadratura krugaOvdje donosimo jedan od najvećih matematičkih

problema u povijesti. To je problem tzv.

kvadrature kruga koji je postavljen prije

otprilike 2000 godina:

Zadan je krug polumjera r. Ravnalom i

šestarom treba konstruirati kvadrat čija je

površina jednaka površini zadanoga kruga.

Rješenje:Taj problem stoljećima je bio izazov za

matematičare, koji su pokušavali konstruirati

taj kvadrat, ali nikako nisu uspijevali. Tek je

1882. godine njemački matematičar Lindemann

dokazao da je nemoguće konstruirati taj kvadrat

jer je nemoguće točno konstruirati broj π.

U ovom poglavlju pokazali smo da je moguće

konstruirati duljine dužina koje su iracionalni

brojevi oblika a . No nije moguće konstruirati

dužinu duljine π iako je i broj π iracionalni broj.

To znači da je neke iracionalne brojeve moguće

konstruirati ravnalom i šestarom (primjerice,

one oblika a ), dok neke i nije (primjerice, π,

3π, 2∏

itd.). No bez obzira na (ne)mogućnost

matematičke konstrukcije važno je naglasiti da

se svakom realnom broju (pa čak i broju π) može

pridružiti točno određena točka brojevnoga

pravca. I obratno, svakoj točki pravca može se

pridružiti točno određen realni broj.

1 0 1 2 3

E0Skup Q

èak i kada bismo sve racionalne broj eve smj estil i na pravac, ostalo bi beskonaèno mnogo

nepopunj en ih toèaka. . .

Tek kada racionaln im broj evima na pravcu dodamo

i iracionalne broj eve, bi t æe ispunj en cij eli broj evn i

pravac.

119


120



2. Konstruiraj kvadrat s dijagonalom duljine

5 cm.

3. Nacrtaj spiralu drugog korijena do hipotenuze duljine 22 .


a) 6 cm; b) 8 cm; c) 3 cm;

d) 12 cm; e) 15 cm.


a) 5 cm; b) 3 5 cm; c) 1

22

cm;

d) 2

23

cm; e) 3

22

cm.

6. Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstruiraj dužinu duljine:

a) 6 ; b) 18 ; c) 26 ; d) 40 ; e) 20 .

7. Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstruiraj dužinu duljine:

a) 37 ; b) 10 ; c) 63 ; d) 60 ; e) 23 .

8. Konstruiraj dužinu zadane duljine. (Napomena: prvo djelomično korjenuj zadane brojeve).

a) 32 cm; b) 48 cm; c) 24 cm;

d) 28 cm; e) 125 cm.



A(– 8 ), B(2 8 ), C( 0.5 10 ), D( 15− ).

10. Na brojevnom pravcu pronađi točke:

A(–2 10 ), B( 14− ), C(3 13 ), D( 3 24− ).

11. Na brojevnom pravcu jedinične dužine OE = 1 cm pronađi točke:

A(32

), B(3 35

−), C(

274 ), D(

5 192

−).


A( 2 , 8 ), B( 4 3− , 2.5), C( 12 , 0),

D( 4 2 ,– 6 ).


A(– 3 ,– 4 ), B( 4 3− , 402

),

C( 10 , 2 2 ), D(3 3 ,4).

14. Izračunaj duljinu hipotenuze pa je zatim i konstruiraj. Zadane su duljine kateta.

a) 1 i 1 cm; b) 1 i 2 cm; c) 2 i 2 cm;

d) 2 i 3 cm; e) 3 i 1 cm; f) 3 i 2 cm.

15. Izračunaj duljinu katete pa je zatim i konstruiraj. Zadane su duljine hipotenuze i druge katete.

a) 5 i 4 cm; b) 3 i 2 cm; c) 6 i 4 cm;

d) 3 i 1 cm; e) 5 i 1 cm; f) 6 i 2 cm.

16. Poredaj brojeve po veličini pa ih zatim prikaži na brojevnom pravcu.

a) 5 , 1.99, 2, 3π

i 6 ;

b) 2 3 , 3.5, – 1.3, 227 i 2− ;

c) 2 5− , 3.6, 3.5, 72

− i 3 2− .

17. Konstruiraj kvadrat površine 10 cm2.

18. Konstruiraj kvadrat s duljinom stranice 3 .

19. Konstruiraj kvadrat s duljinom dijagonale 3 .

Vježbalica

Z a d a c i

121


3.4. Primjena Pitagorinog poučka na pravokutnik i kvadrat

Pravokutnik i kvadrat

Iskaži Pitagorin poučak na ovim trokutima:

a) b)

Pitamo se kako izračunati duljinu dijagonale pravokutnika ili kvadrata ako

su zadane duljine njegovih stranica. Na gornjim slikama primjećujemo da

dijagonala siječe pravokutnik i kvadrat na dva sukladna pravokutna trokuta, a

na pravokutnom trokutu možemo primijeniti Pitagorin poučak. Kroz sljedeće

primjere uvježbat ćemo primjenu Pitagorinog poučka na pravokutnik i kvadrat.

Pravokutnik je paralelogram s pravim kutom. Kvadrat je pravokutnik koji ima

susjedne stranice jednakih duljina.

d

b

c d

x

x

Primjer 1. Primjena Pitagorinog poučka na pravokutnikMatija je na nogometnom treningu dobio

zadatak pretrčati nogometno igralište po

dijagonali. Koliki put će pretrčati Matija ako su

dimenzije nogometnog igrališta 45 m . 90 m?

Rješenje:Na slici primjećujemo pravokutni trokut s

katetama duljine 45 m

i 90 m, a treba izraču

nati njegovu hipo te

nuzu koja je dijagonala

pravokutnika.

d 2 = 452 + 902 = 2025 + 8100 = 10 125

d = ≈10 125 100 62 m..

Matija će trebati pretrčati 100.62 m.

d

90 m

45 m

Primjena Pitagorinog poučka na

pravokutnik:

d 2 = a 2 + b 2

d a b= +2 2

d

a

b


122

3 . 4 . P r i m j e n a P i t a g o r i n o g p o u č k a n a p r a v o k u t n i k i k v a d r t a t

Z a d a c i1. Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika sa slike:

a) b)

c)

d)

2. Izračunaj duljinu stranice pravokutnika sa slike:

a) b)

c)

d)

3. Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika kojem su

duljine stranica jednake:

a) 6 cm i 8 cm; b) 7 cm i 9 cm;

c) 1.6 dm i 1.9 dm; d) 2 2 mm i 5 mm.

4. Izračunaj duljinu stranice a pravokutnika kojem su

zadane dijagonala d i druga stranica b:

a) d = 15 cm, b = 12 cm;

b) d = 3 cm, b = 1 cm;

c) d = 2.6 cm, b = 0.8 cm;

d) d = 5 cm, b = 3 cm.

5. Može li se nesklopivi kišobran dug 1.24 m spremiti

na dno kofera pravokutnog oblika duljine 113 cm i

širine 45 cm?

6. Izračunaj duljinu dijagonale d pravokutnika sa slike:

a) b)

7. Izračunaj duljinu stranice x pravokutnika sa slike:

a) b)

8. Izračunaj opseg i površinu pravokutnika kojem je

dijagonala duga 5 3 cm, a jedna stranica duga

4 3 cm.

9. Površina papira pravokutnog oblika je 300 cm2.

Kolika je njegova dijagonala ako mu je jedna

stranica duga 15 cm?

10. Matija i Luka se nalaze u jednom kutu parka

pravokutnog oblika sa stranicama duljine 19 m

i širine 10 m. Lopta se nalazi u nasuprotnom

vrhu dvorišta kao na slici.

Luka je odlučio doći do lopte stazicom koja

ide rubom parka, a Matija je odlučio ići po

dijagonali. Tko je prešao veći put i za koliko?

√2

1c

d

16

12 d

2

1.5

a

2√5

3√3

25

20

a 1.5

1.2

b

x

1 √2

a3√2

2√2

d

4a

3ad

3b

2b

10a

8a

x13a

x

7a

Matija i Luka

Lopta

možda sam ipak

trebao prvo zaklopi ti

k išobran. .?


123

11. Konstruiraj pravokutnik kojem je jedna stranica

duga 2 cm, a druga 3 2 cm. Kolika je duljina

njegove dijagonale?

12. Luka ima u kuhinji okrugli stol promjera 2.2 m.

Može li gornja ploča tog stola proći kroz vrata

dnevne sobe (visina vrata: 2 m; širina vrata:

80 cm)?

13. Majin otac želi vrata ormara unijeti u sobu.

Vrata sobe su visoka 205 cm i široka 90 cm, a

krilo ormara je visoko 243 cm i široko

220 cm. Hoće li moći unijeti krilo ormara kroz

vrata sobe?

14. Nesklopivi kišobran je dug 1.24 m. Može li se

on spremiti u kofer duljine 113 cm, širine 45 cm

i visine 25 cm?

15. Dijagonala ekrana televizora je 54 cm, a

susjedne stranice ekrana se odnose u omjeru

4 : 3.

a) Kolike su dimenzija stranica ekrana?

b) Kolika je površina ekrana?


susjedne stranice ekrana se odnose u omjeru

16 : 9.



c) Po preporukama, daljina iz koje gledamo

televizor trebala bi biti najmanje 3 puta veća

od duljine dijagonale ekrana. Na koju najbližu

udaljenost od TVa bismo stoga trebali staviti

naslonjač iz kojeg ćemo gledati programe?

17. Građevinsko zemljište ima oblik pravokutnika.

Dijagonala se prema manjoj stranici odnosi u

omjeru 25 : 7. Izračunaj površinu tog zemljišta

i iskaži je u arima ako je kraća stranica

pravokutnika duga 28 m.

18. Konstruiraj pravokutnik sa stranicama duljina

4.2 cm i 2.8 cm. Zatim konstruiraj krug opisan

tom pravokutniku.

a) Za koliko je površina kruga veća od površine

pravokutnika?

b) Koliko puta je površina kruga veća od

površine pravokutnika?

c) Koliki postotak od površine kruga čini

površina pravokutnika?

19. Površina kruga opisana pravokutniku je

36π cm2.

a) Konstruiraj taj pravokutnik ako mu je jedna

stranica duga 4.1 cm;

b) Kolika je duljina druge stranice pravokutnika?

Odgovor pronađi na dva načina: računanjem i

mjerenjem.

20. Nogometaši su

svakoga jutra tri puta

na pripremama trebali

pretrčati označenu

udaljenost.

Koliko metara su prešli

svakoga jutra ako je

nogometno igralište dugo 90 m i široko 45 m?

Početak

Primjer 2. Primjena Pitagorinog poučka na kvadratKolika je duljina dužine FH sa slike?

Rješenje:Treba izračunati duljinu dijagonale zadanog

kvadrata. Primijetimo da dijagonala dijeli svaki

kvadrat na dva sukladna pravokutna, jednakokračna

trokuta. Primijenimo li Pitagorin poučak, dobit

ćemo:

FH 2 = 202 + 202 = 400 + 400 = 800

FH = 800 400 2 2= = 20 ≈ 28.3 m•

H G

E

20 m

20 m F



124


Primjer 3. Dijagonala kvadrataIzračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa stra

nicom duljine a.

Rješenje:Gledajući sliku, primijenimo Pitagorin poučak

na jednakokračni pravokutni trokut s katetama

duljine a.

d2 = a2 + a2

d2 = 2a2

d = 2 2a .

Djelomično korjenujemo dobiveni izraz

2 2 2 22 2a a a a= ⋅ = ⋅ = i

dobit ćemo korisnu formulu za

dijagonalu kvadrata:

d a= 2 .

dijagonala

kvadrata

d

a

a

Primjena Pitagorinog poučka na kvadrat:

d2 = a2 + a2

d2 = 2a2

Dijagonala kvadrata:

d a= 2

d

a

a

Z a d a c i

21. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa slike:

a) b)

c) d)

22. Izračunaj duljinu stranice kvadrata sa slike:

a) b)

c) d)

23. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata ako mu je

stranica duga:

a) 3 cm; b) 1 cm; c) 0.6 m; d) 2 2 mm.

24. Izračunaj duljinu stranice kvadrata ako mu je

dijagonala duga:

a) d = 15 2 cm; b) d = 2 cm;

c) d = 12.5 2 cm; d) d = 5.5 cm;

e) 7.865 cm.

25. Izračunaj duljinu stranice kvadrata, njegov opseg

i površinu, ako mu je dijagonala duga:

a) 5 2 cm; b) 3 2 dm; c) 6 2 m;

d) 10 2 cm; e) 10 cm f) 12 dm;

g) 6 m h) 100 cm.

d

2

2

d

2.5

2.5

d

1

1

d

7

7

112

5√22√2


125

26. Izračunaj duljinu stranice pravokutnika, njegov

opseg i površinu, ako su mu dijagonala i jedna

stranica duge:

a) d = 34 cm a =16 cm; b) d = 13 cm a =5 cm;

c) d = 82 m a =18 m; d) d = 2 6 mm a = 2 2 mm;

e) d = 7 2 mm b= 5 2 mm;

f) d = 60 m b = 36 m; g) d = 45 cm b = 36 cm;

h) d = 2 m b = 12

m.

27. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa slike:

a) b)

c) d)

28. Izračunaj duljinu stranice kvadrata sa slike:

a) b)

c) d)

29. Izračunaj opseg i površinu kvadrata kojem je

dijagonala duga 5 2 cm.

30. Konstruiraj kvadrat kojem je dijagonala duga:

a) 3 2 cm; b) 4 5 2. cm; c) 8 cm.

31. Površina papira kvadratnog oblika je

400 cm2. Kolika je njegova dijagonala?

32. Opseg kvadratne kule je 40 m. Kolika je duljina

dijagonale kvadrata u njenom tlocrtu?

33. Površina kvadrata je 8 cm.

a) Koliki je polumjer tom kvadratu opisane

kružnice?

b) Konstruiraj taj kvadrat i njemu opisanu

kružnicu.

34. Matematički diktat:

Konstruiraj kvadrat stranice 2.5 cm;

Izračunaj njegov opseg i površinu;

Izračunaj duljinu njegove dijagonale;

Konstruiraj kvadrat nad dijagonalom kvadrata;

Izračunaj opseg i površinu novog kvadrata;

Kolika je duljina dijagonale novog kvadrata?

Kako se odnose opsezi, površine i dijagonale

novog i starog kvadrata?

35. Kolika je površina osjenčanog kružnog vijenca:

Duljina stranice kvadrata je:

a) 2 cm;

b) a cm.

36. Površina manjeg kvadrata je 2 cm2, a površina

većeg kvadrata je 4 cm2.

a) Konstruiraj te kvadrate;

b) Kolike su dijagonale tih kvadrata?

c) Koliki je omjer stranica manjeg i većeg

kvadrata? Rješenje prikaži prvo točnim brojem,

a zatim rješenje prikaži u obliku približne

vrijednosti s točnošću od dvije decimale;

d) Koliki je omjer dijagonala manjeg i većeg

kvadrata?

e) Koliki je omjer površina manjeg i većeg

kvadrata?

x

√2a

p

x

2a

7a2a

2a√2a√2


126

1. Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika kojem su duljine stranica jednake:

a) 5 cm i 12 cm; b) 2 cm i 2.1 cm;

c) 3.3 dm i 5.6 dm; d) 5 cm i 2 3 cm.

2. Izračunaj duljinu stranice a pravokutnika kojem su zadane dijagonala d i druga stranica b:

a) d = 17 cm, b = 15 cm; b) d = 29 cm, b = 2.1 dm; c) d = 8.5 cm, b = 8.4 cm; d) d = 13 cm, b = 2 cm.

3. Može li se nesklopivi kišobran dug 1.3 m spremiti na dno kofera pravokutnog oblika duljine 120 cm i širine 50 cm?

4. Izračunaj opseg i površinu pravokutnika kojem je dijagonala duga 3 5 cm, a jedna stranica duga 2 5 cm.

5. Lukin otac želi vrata ormara unijeti u sobu. Vrata sobe su visoka 210 cm i široka 95 cm, a krilo ormara je visoko 235 cm i široko 220 cm. Kako će unijeti krilo ormara kroz vrata sobe?

6. Nesklopivi kišobran je dug 1.1 m. Može li se on spremiti u kofer duljine 100 cm, širine 50 cm i visine 25 cm?

7. Dijagonala ekrana televizora je 56 cm, a susjedne stranice ekrana se odnose u omjeru 4 : 3.



8. Dijagonala ekrana televizora je 45 cm, a susjedne stranice ekrana se odnose u omjeru 3 : 4.



9. Konstruiraj pravokutnik sa stranicama duljina 4.5 cm i 2.8 cm. Zatim konstruiraj krug opisan tom pravokutniku.

a) Za koliko je površina kruga veća od površine pravokutnika?

b) Koliko puta je površina kruga veća od površine pravokutnika?

c) Koliki postotak od površine kruga čini površina pravokutnika?

10. Površina kruga opisana pravokutniku je 2.89 π cm2.

a) Konstruiraj taj pravokutnik ako mu je jedna stranica duga 3 cm;

b) Kolika je duljina druge stranice pravokutnika?

c) Za koliko je površina kruga veća od površine pravokutnika?

d) Koliko puta je površina kruga veća od površine pravokutnika?

e) Koliki postotak od površine kruga čini površina pravokutnika?

11. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata ako mu je stranica duga:

a) 5 cm; b) 1.5 cm; c) 5 2 m; d) 2 8 mm.

12. Izračunaj duljinu stranice kvadrata ako mu je dijagonala duga:

a) d = 7 2 cm; b) d = 18 cm; c) d = 34

2 cm;

d) d = 4 cm; e) 6 cm.

13. Izračunaj opseg i površinu kvadrata kojem je dijagonala duga 6 2 cm.

14. Konstruiraj kvadrat kojem je dijagonala duga:

a) 5 2 cm; b) 2.5 2 cm; c) 4 cm; d) 5 cm.

15. Površina papira kvadratnog oblika je 361 cm2. Kolika je njegova dijagonala?

16. Opseg kvadrata je 4.8 dm. Kolika je duljina dijagonale kvadrata?

17. Površina manjeg kvadrata je 12 cm2, a površina većeg kvadrata je 16 cm2.



c) Koliki je omjer stranica manjeg i većeg kvadrata?

d) Koliki je omjer dijagonala manjeg i većeg kvadrata?

e) Koliki je omjer površina manjeg i većeg kvadrata?

18. Opseg manjeg kvadrata je 16 cm, a površina većeg kvadrata je 32 cm2.






19. Površina manjeg kvadrata je 8 cm2, a opseg većeg kvadrata je 4 2 cm.






20. Opseg manjeg kvadrata je 12 cm, a opseg većeg kvadrata je 16 cm.







Vježbalica

127


3.5. Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut

Jednakokračni i jednakostranični trokut

a) Na kojoj se slici nalazi jednakokračni, a na kojoj jednakostranični

trokut?

b) Što je jednakokračni trokut? Kako glasi formula za njegov

opseg?

c) Što je jednakostranični trokut? Kako glasi formula za njegov

opseg? Kolike su veličine njegovih kutova?

d) Gdje na ovim trokutima možeš primijeniti Pitagorin poučak?

Jednakokračni trokut je trokut koji ima

dvije stranice jednakih duljina. Te se

stranice nazivaju krakovima, a preostala

stranica trokuta naziva se osnovicom.

Kutovi uz osnovicu jednakokračnoga

trokuta jednakih su veličina.

Spustimo visinu v iz vrha jednakokračnoga trokuta koji se nalazi nasuprot

osnovice. Ta će visina dijeliti jednakokračni trokut na dva sukladna pravokutna

trokuta. Kako krajnja točka visine leži u polovištu osnovice jednakokračnoga

trokuta, katete dobivenoga pravokutnoga trokuta su visina v i polovica osnovice a2

, dok je hipotenuza krak b.

vb

a—2

v

a

b b

Primjer 1. Jednakokračni trokutLuka je izmjerio da je krovna ploča planinske

kućice duga 9 m, a da je kućica sprijeda

široka

6 m. Kolika je visoka kućica?

a) Procijeni njezinu visinu;

b) Izračunaj njezinu visinu.

9 m

6 m

Rješenje:Primjećujemo da kućica sprijeda ima oblik

jednakokračnoga trokuta i da se traži njezina

visina. Povucimo visinu v.

Primijenimo Pitagorin poučak:

v2 = b2 – a2

2

v2 = 92 – 32 = 81 – 9 = 72

v = 72 8 5≈ . m.

Planinska kućica visoka je oko 8.5 m.

Primjena Pitagorina poučka na

jednakokračni trokut:

b2 = a2

2

+ v2

bv

a—2

a

v

a

b b

v

6m

9m 9m

3m

9m 9mv

Z a d a c i1. Izračunaj duljinu visine jednakokračnoga trokuta

sa slike:

2. Izračunaj duljinu kraka jednakokračnoga trokuta

sa slike:

3. Izračunaj duljinu osnovice jednakokračnoga

trokuta sa slike:

4. Dvokrake ljestve razmaknute su kao na slici:

Kolika je visina ljestava?

7

17

2

4√2

8

v5

2.4

1.3

a) d)c)b)

21.5

14.1

4

8

8

12 5

4√2

a) d)c)b)

13

a

18.5

15a

b25

4a

4√2

a

21.5

25

a) d)c)b)

1.5 m

4 m 4 m

v v

128

3 . 5 . P r i m j e n a P i t a g o r i n a p o u č k a n a j e d n a k o k r a č n i i j e d n a k o s t r a n i č n i t r o k u t

Z a d a c i5. Ploča krova planinske kućice duga je 8 m, a kućica

je sprijeda široka 6.5 m. Koliko je visoka kućica?

a) Procijeni njezinu visinu;

b) Izračunaj njezinu visinu.

6. Kolika je visina jednakokračnoga trokuta ako su

zadani krak b i osnovica a:

a) b = 13 cm; a = 10 cm; b) a = 40 mm; b = 5 cm;

c) b = 1.3 cm; a = 0.6 cm; d) b = 2 cm; a = 2 cm;

e) b = 3 3 m; a = 2 6 m.

7. Kolika je osnovica jednakokračnoga trokuta ako su

zadani krak b i visina v:

a) b = 13 cm; v = 12 cm; b) v = 30 mm; b = 5 cm;

c) b = 17 cm; v = 7 cm; d) b = 2 6 cm; v = 4 cm;

e) b = 3 2 m; v = 2 2 m.

8. Koliki je krak jednakokračnoga trokuta ako su

zadani osnovica a i visina v:

a) v = 6 cm; a = 16 cm; b) a = 13 mm; v = 7 cm;

c) v = 4 cm; a = 4 cm; d) a = 2 2 cm; v = 4 cm;

e) a = 3 2 m; v = 2 3 m.

9. Koliki su površina i opseg jednakokračnoga trokuta

ako je:

a) visina v = 4 cm, krak b = 5 cm;

b) osnovica a = 6 cm, krak b = 6.5 cm.

10. Opseg jednakokračnoga trokuta je 18 cm. Kolika

je površina toga trokuta ako je:

a) krak b = 50 mm;

b) visina v = 4 cm, osnovica a = 5 cm.

11. Osnovica jednakokračnoga trokuta iznosi

48 mm. Pritom je krak za 8 mm dulji od visine

toga trokuta. Izračunaj opseg i površinu toga

trokuta.

12. Konstruiraj kružnicu polumjera r = 4.2 cm i

jednu njegovu tetivu duljine t = 2.5 cm. Koliko je

središte kružnice udaljeno od tetive t?

13. Površina jednakokračnoga trokuta s osnovicom

duljine 9 cm iznosi 27 3 cm2.

a) Kolika je duljina visine na tu stranicu?

b) Kolika je duljina kraka?

c) Koliki je opseg toga trokuta?

d) Konstruiraj taj trokut.

14. Površina jednakokračnoga trokuta s osnovicom

duljine 3 3 cm iznosi 9 cm2.



c) Koliki je opseg toga trokuta?

d) Konstruiraj taj trokut.

15. Zadan je jednakokračni trokut s krakom duljine

5 cm i osnovicom 6 cm. Kolika je duljina visine na

krak toga trokuta?

Primjer 2. Jednakokračni pravokutni trokutDuljina visine pravokutnog jednakokračnoga

trokuta je 3 2 cm.

a) Kolike su duljine njegovih stranica?

b) Koliki je opseg toga trokuta?

c) Kolika je površina toga trokuta?

Rješenje:Nacrtajmo skicu.

Jednakokračni pravokutni trokut dobiva se

dijeljenjem kvadrata jednom dijagonalom na

dva sukladna dijela. Primijetimo da je visina

na osnovicu jednakokračnoga pravokutnoga

trokuta jednaka polovici dijagonale kvadrata.

a) Zadana visina na osnovicu duga je 3 2 cm

pa zaključujemo da je dijagonala d kvadrata

dvostruko dulja, tj. d = 6 2 cm. To je ujedno i

duljina osnovice pa je a = 6 2 cm. Prisjetimo

se, ako je b stranica kvadrata, tada je formula

za duljinu dijagonale kvadrata d = b 2 pa

zaključujemo da je b = 6 cm.

b) Kako je a = 6 2 cm i b = 6 cm, izračunajmo

opseg.

o = a + 2 · b = 6 2 + 2 · 6 = 6 2 + 12 cm

To je točna vrijednost opsega, a ako je za

praktične primjene približna vrijednost, dobije

se o ≈ 20.49 cm.

c) Površina kvadrata sa stranicom duljine

b = 6 cm je 36 cm2. Stoga je površina zadanoga

trokuta dvostruko manja, tj. P = 18 cm2.

a

3√2a

a

3√2a

129


16. Izračunaj opseg i površinu pravokutnog

jednakokračnoga trokuta kojem je svaka kateta

duga:

a) 6 cm; b) 3.5 mm; c) 2 dm.


jednakokračnoga trokuta kojem je osnovica duga:

a) 4 2 cm; b) 2 mm; c) 6 dm.

18. Duljina visine pravokutnog jednakokračnoga

trokuta je 5 2 cm.




19. Duljina visine pravokutnog jednakokračnoga

trokuta je 9 cm.




Z a d a c i

Primjer 4. Jednakostranični trokutIzračunaj duljinu visine jednakostraničnoga

trokuta sa stranicom a = 6 cm. Prvo procijeni

rezultat.

Rješenje:Jednakostranični trokut je trokut koji ima

sve stranice jednakih duljina. Svi kutovi u tom

trokutu imaju veličinu 60º.

Primijetimo da nam je u zadatku zadan samo

jedan poznat podatak – duljina stranice trokuta.

U jednakostraničnom trokutu taj je podatak

dovoljan da se nađu visina i površina trokuta.

Gledajući sliku, zaključujemo da je zaista

dovoljan samo jedan poznat podatak jer je

kod jednakostraničnoga trokuta duljina kraka

jednaka osnovici, tj. b = a.

v2 = a2 – a2

2

= 62 – 32 = 36 – 9 = 27

v = 27 cm ≈ 5.2 cm.

Primjer 5. Visina jednakostraničnoga trokutaIzračunaj duljinu visine jednakostraničnoga

trokuta sa stranicom duljine a.

Rješenje:Ovaj zadatak jednak je onome iz prethodnog

primjera, samo što sada nemamo zadane mjere

u cm, nego opći broj a.

Postupimo na isti način.

v2 = a2 – a2

2

Kvadrirajmo izraz u zagradi i svedimo umanjenik

i umanjitelj na zajednički nazivnik.

v aa a a a2 2

2 2 2 2

44

434

= − = − =

va= 34

2

Kako faktore a2 i 4 možemo korjenovati,

pristupimo djelomičnom korjenovanju.

Tako dobivamo formulu za visinu

jednakostraničnoga trokuta uz zadanu stranicu a.

va=2

3visina

jednakostraničnoga

trokuta

av

a

a a—2

av

130



Primjer 6. Površina jednakostraničnoga trokutaPronađi formulu za površinu jednakostraničnoga

trokuta ako mu je zadana samo duljina stranice a.

Rješenje:Površina bilo kojega trokuta je P

a v= ⋅2

, pri

čemu je a duljina stranice, a v visina trokuta. U

prethodnom smo primjeru naučili da je visina

jednakostraničnoga trokuta

va=2

3 . Uvrstimo je u

formulu za površinu

Pa v= ⋅

2.

Pa

a aav

va= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

212

12

342

32

Tako dobivamo formulu Pa=

2 34

. To je formula

za površinu jednakostraničnoga trokuta uz

zadanu stranicu a.

površina

jednakostraničnoga

trokuta

Primjena Pitagorina poučka na jednakostranični trokut:

a2 = v2 + a2

2

Visina jednakostraničnoga trokuta va=2

3

Površina jednakostraničnoga trokuta: Pa=

2 34

Z a d a c i20. Izračunaj duljinu visine jednakostraničnogaa

trokuta ako je njegova stranica:

a) 1 cm; b) 2.5 cm; c) 3 cm;

d) 27 dm; e) 2 2 m.

21. Izračunaj duljinu stranice jednakostraničnoga

trokuta ako je njegova visina:

a) 6 3 cm; b) 3 cm; c) 4 cm;

d) 27 dm; e) 2 2 m.

22. Izračunaj površinu jednakostraničnoga trokuta

ako je njegova stranica:

a) 2 cm; b) 3.5 cm; c) 3 cm;

d) 27 dm; e) 2 2 m.


ako je njegova visina:

a) 4 3 cm; b) 5 3 cm; c) 3 cm;

d) 27 dm; e) 2 2 m.

24. Izračunaj duljinu stranice, visinu i opseg

jednakostraničnoga trokuta ako mu je zadana

površina:

a) 25 3 cm2; b) 4 3 cm2; c) 4 cm2;

d) 27 dm2; e) 2 m2.

25. Izračunaj površinu pravilnoga šesterokuta sa

stranicom duljine 2 cm.

26. Izračunaj površinu pravilnoga šesterokuta

upisanog polumjera 10 cm.

27. Pravilni šesterokut ima stranicu duljine 8 cm.

a) Kolika je njegova površina?

b) Koliki su polumjer i površina njemu upisanoga

kruga?

28. Lukin djed želi oko drveta u vrtu složiti klupu u

obliku šesterokuta, kao na slici. Kolika je površina

drvene ploče potrebne za tu klupu? (Napomena:

dopuni trapeze do jednakostraničnih trokuta kao

na drugoj slici.)

50 c

m

30 c

m

a—2

av

av

a

a

131

132


Primjer 7. Nadopunjavanje do jednakostraničnoga trokutaOdredi duljine m i n u trokutu sa slike:

Rješenje:Zadan je pravokutni trokut kojem je jedan kut

uz hipotenuzu 60º. To znači da je drugi kut uz

hipotenuzu jednak 30º. Nadopunimo ovaj trokut

uz pravi kut do jednakostraničnoga trokuta kao na

slici.

Sada je jasno da je

nepoznata stranica

n zapravo visina

jednakostraničnoga

trokuta sa stranicom

75. Formula za visinu

jednakostraničnoga trokuta je va=2

3 . Zato je

n = = =752

375 3

237 5 3. .

Duljina nepoznate stranice m dvostruko je

manja od stranice a pa je

m = 752

= 37.5.

75

60°

mn

75

60°

mn

60°

60°

Z a d a c i29. Odredi duljine m i n sa slika:

30. Odredi duljine m i n sa slika:

31. Izračunaj duljinu stranice, opseg i površinu jednakostraničnog trokuta kojemu je visina duga:

a) 3 3 cm; b) 4 3 m; c) 12 dm;

d) 75 m; e) 15 cm; f) 9 mm.

5

30°m

n

a)

10

30°

m

n

b)

a)

30°m

n7√3

c)

5120°

m

5

nm

7√3

45°

b)

Matematički origami:

Papir oblika kvadrata sa stranicom 40cm

režemo po dijagonali, a zatim dobivene

jednakokračne pravokutnike režemo na

polovice kao na slici:

Izračunaj:

a) duljine kateta i hipotenuze crvenoga trokuta

sa slike;

b) površinu crvenoga trokuta sa slike;

c) Koliki je dio od površine kvadrata površina

crvenoga trokuta?

133


1. Kolika je visina jednakokračnog trokuta ako su zadani krak b i osnovica a:

a) b = 6.1 cm; a = 12 cm;

b) a = 60 mm; b = 5 cm;

c) b = 8.5 cm; a = 2.6 cm;

d) b = 34 cm; a = 6 cm;

e) b = 30 m; a = 2 5 m.

2. Kolika je osnovica jednakokračnog trokuta ako su zadani krak b i visina v:

a) b = 41 cm; v = 40 cm;

b) v = 37 mm; b = 3.5 cm;

c) b = 12 cm; v = 8 cm;

d) b = 10 cm; v = 2 cm;

e) b = 2 3 m; v = 3 m.

3. Koliki je krak jednakokračnog trokuta ako su zadani osnovica a i visina v:

a) v = 12 cm; a = 10 cm;

b) a = 80 mm; v = 9 cm;

c) v = 8 cm; a = 8 cm;

d) a = 6 3 cm; v = 3 cm;

e) a = 4 5 m; v = 2 2 m.

4. Koliki su površina i opseg jednakokračnog trokuta ako je:

a) visina v = 12 cm, krak b = 15 cm;

b) osnovica a = 5.6 cm, krak b = 5.3 cm.

5. Koliki su opseg i površina jednakokračnog trokuta ako je:

a) visina v = 16 mm, krak b = 20 mm;

b) visina v = 4.8 cm, osnovica a = 2.8 cm.

6. Osnovica jednakokračnog trokuta iznosi 24 mm. Pritom je krak za 2 mm dulji od visine tog trokuta. Izračunaj opseg i površinu tog trokuta.

7. Osnovica jednakokračnog trokuta iznosi 66 mm. Pritom je krak za 9 mm dulji od visine tog trokuta. Izračunaj opseg i površinu tog trokuta.

8. Površina jednakokračnog trokuta s osnovicom duljine 56 cm iznosi 1260 mm2.



c) Koliki je opseg tog trokuta?

8. Površina jednakokračnog trokuta s osnovicom duljine 6 2 cm iznosi 6 cm2.



c) Koliki je opseg tog trokuta?

9. Izračunaj opseg i površinu pravokutnog jednakokračnog trokuta kojem je svaka kateta duga:

a) 5 cm; b) 2.4 mm; c) 4 2 dm.

10. Izračunaj opseg i površinu pravokutnog jednakokračnog trokuta kojem je osnovica duga:

a) 6 2 cm; b) 8 mm; c) 8 dm.

11. Duljina visine pravokutnog jednakokračnog trokuta je 4 2 cm.


b) Koliki je opseg tog trokuta?

c) Kolika je površina tog trokuta?

12. Duljina visine pravokutnog jednakokračnog trokuta je 8 cm.


b) Koliki je opseg tog trokuta?

c) Kolika je površina tog trokuta?

13. Izračunaj duljinu visine jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica:

a) 6 cm; b) 5.6 cm; c) 3 3 cm;

d) 48 dm; e) 2 m.

14. Izračunaj duljinu stranice jednakostraničnog trokuta ako je njegova visina:

a) 8 3 cm; b) 12 3 cm; c) 6 cm;

d) 48 dm; e) 2 m.

Vježbalica

15. Izračunaj površinu jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica:

a) 3 cm; b) 10 cm; c) 6 3 cm;

d) 75 dm; e) 6 m.

16. Izračunaj površinu jednakostraničnog trokuta ako je njegova visina:

a) 10 3 cm; b) 3 3 cm; c) 5 cm;

d) 27 dm; e) 6 m.

17. Izračunaj duljinu stranice, visinu i opseg jednakostraničnog trokuta ako mu je zadana površina:

a) 64 3 cm2; b) 81 3 cm2; c) 3

34

cm2;

d) 108 dm2; e) 5

33

m2.

18. Izračunaj površinu pravilnog šesterokuta sa stranicom duljine 2 3 cm.

19. Izračunaj površinu pravilnog šesterokuta opisanog u krug polumjera 10 cm.

20. Pravilni šesterokut ima stranicu duljine 8 6 cm.

a) Kolika je njegova površina?

b) Koliki su polumjer i površina njemu upisanog kruga?


a)

b)


a)

b) c)


a)

b)


a) b)

c)


a) b)


a) b)

134


n

n

m

m

7

12n

30°

30°

m

n

60°

2√3

m n

45°

3√2

m n

45°

5√2

m

√8 √8120°

m

4 4120°

m

n

30°

7√3

m

n

60°

4√3

m

n30°

√18

8mn

45°

n

45°

m n√12

60°

2m

30°

n m3√3

60°

45°

Z a d a c i

3.6. Primjena Pitagorina poučka na romb i trapez

Romb i trapez

Pogledaj ove četverokute.

a) Koji je od njih romb, a koji trapez?

b) Što je romb? Kako glasi formula za njegov opseg?

c) Što je trapez? Kako glasi formula za njegov opseg?

d) Što misliš, gdje na ovim četverokutima možeš primijeniti Pitagorin poučak?

Romb je paralelogram kojemu su susjedne stranice jednakih duljina.

Prisjetimo se gradiva šestog razreda: dijagonale svakog romba su okomite i

raspolavljaju se.

Uočavamo četiri sukladna pravokutna trokuta s katetama d1

2 i

d2

2 i

hipotenuzom a.

1 32

d1

d2

a

a

d1 d2

Primjer 1. Primjena Pitagorina poučka na romba) Konstruiraj romb kojem su zadane duljine

dijagonala d1 = 8 cm i d2 = 6 cm.

b) Izmjeri duljine njegovih stranica. Zatim

izračunaj duljinu stranice i provjeri s podatkom

dobivenim mjerenjem.

c) Kolika mu je površina?

Rješenje:a) Nacrtajmo skicu romba.

Kada bismo konstruirali

jedan od pravokutnih

trokuta, lako bismo ga

nadopunili do romba.

Kako se dijagonale

romba raspolavljaju i okomite su, nije teško

konstruirati pravokutni trokut s katetama duljina d1

2 i

d2

2.

b) Uočavamo četiri sukladna pravokutna trokuta

s katetama d1

2 i

d2

2 te hipotenuzom a.

a2 = d1

2

2

+

d22

2

= 42 + 32 = 16 + 9 = 25

a = 5 cm.

Duljina stranice zadanog romba je 5 cm.

c) Pd d

=⋅

= ⋅ =1 2

28 62

24 cm2.

d1

d2

a

a

Primjena Pitagorina

poučka na romb:

a2 = d12

2

+ d2

2

2

d1

d2

a

a

a2 = d1

2

2

+

d22

2

135


136

3 . 6 . P r i m j e n a P i t a g o r i n a p o u č k a n a r o m b i t r a p e z

1. Izračunaj duljinu stranice romba kojem su

dijagonale duge:

a) 40 mm i 36 mm; b) 3.5 cm i 3 cm.

2. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu

dijagonale duge 24 dm i 18 dm.

3. Površina romba je 45.9 cm2. Kolika je duljina

stranice ako je jedna dijagonala duga 18 cm?

4. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su

duljine dijagonala ako su stranice duge 1 dm?

5. Kut među stranicama romba je 120º. Kolike su

duljine dijagonala ako su stranice duge 3.3 cm?

6. Izračunaj duljinu stranice, opseg i površinu romba kojemu su dijagonale duge:

a) 24 cm i 32 cm; b) 4 m i 4 3 m;

c) 4.2 dm i 5.6 dm; d) 1.4 cm i 4.8 cm.

Z a d a c i

Primjer 2. Primjena Pitagorina poučka na trapezKolika je dubina jarka sa slike?

Rješenje:Presjek jarka je jednakokračni trapez kojem je

kraća osnovica jednaka 1.4 m, dulja osnovica

jednaka 2.2 m, a kraci dugi 0.9 m.

Takav trapez je jednakokračan pa su pravokutni

trokuti sa slike sukladni s jednom katetom

duljine x i drugom katetom koja je visina

trapeza. Iz duljina obiju osnovica možemo

izračunati duljinu x:

xa c= − = − = =

22 2 1 4

20 82

0 4. . .

. m.

Sada možemo izračunati duljinu visine v trapeza

preko pravokutnoga trokuta s hipotenuzom

0.9 m i katetom x.

v2 = b2 – x2 = 0.92 – 0.42 = 0.81 – 0.16 = 0.65

v = 65 m ≈ 0.81 m.

Jarak je dubok oko 81 cm.

2.2 m

0.9 m

1.4 m

0.9 m

2.2 m

0.9 m

1.4 m

0.9 m

1.4 mx x

2.2 m

0.9 m

1.4 m

0.9 m

Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni trapez:

xa c= −

2

b2 = v2 + x2

a

v v bb

c

cx xa

bb

c

Z a d a c i

137


Z a d a c i7. Presjek jarka je jednakokračan trapez kojem je

kraća osnovica duga 2 m, dulja osnovica 4 m, a

kraci 2 m. Kolika je dubina jarka?

8. Kolika je površina jednakokračnoga trapeza s

osnovicama dugim 5 cm i 2 cm te kracima duljine

2.5 cm?

9. Osnovice jednakokračnoga trapeza duge su 17 cm i

11 cm, a visina je 6 cm. Kolika je duljina kraka toga

trapeza?

10. Koliki su opseg i površina presjeka nasipa sa slike?

Širina krune nasipa je 3.5 m, širina dna nasipa

6.5 m i visina nasipa 4 m.

11. Koliki su opseg i površina presjeka kanala sa

slike?

Širina kanala na dnu je 1.5 m, a na vrhu 3.5 m.

Dubina kanala je 2 m.

12.Izračunaj površine ovih cvjetnjaka te koliko je žice

potrebno za njihovo ograđivanje:

a) b)

c)

d)

13. Koliki je opseg jednakokračnoga trapeza s

osnovicama dugim 149 mm i 37 mm te visinom

90 mm? Nacrtaj skicu.

14. Površina jednakokračnoga trapeza je 64 cm2, a

osnovice su duge 20 cm i 12 cm. Koliki je opseg

toga trapeza?

15. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu

162 mm i visinu dugu 85 mm. Dijagonala

toga trapeza iznosi 157 mm. Izračunaj opseg i

površinu trapeza.

16. Kut uz dulju osnovicu jednakokračnoga trapeza je

60º. Kolika je površina toga trapeza ako je dulja

osnovica duga 30 m, a krak 10 m?

17. Izračunaj opseg i površinu paralelograma sa slike.


19. Izračunaj duljinu kraka i opseg jednakokračnog trapeza ako je zadano:

a) P = 6.72 dm2; a = 3.8 dm, v = 2.4 dm;

b) c = 14 cm, v = 12 cm, P =276 cm;

c) a = 20 m, P = 48 m2, c = 12 m;

d) P = 104 cm2, a = 19 cm, v = 8 cm.

20. Izračunaj opseg i površinu jednakokračnog trapeza ako je zadano:

a) a = 9 m, c = 5 m, v = 2 3 m;

b) a = 19 dm, b = 10 dm, v = 8 dm;

c) a = 260 mm, b = 130 mm, c = 20 mm; d) v = 5 cm, b = 13 cm, c = 2 cm.

Kruna nasipa

Visina nasipa

Dno nasipa

Površina vode u kanalu

Dno kanala

Dubina kanala

3.1 cm

2.5 cm0.7 cm

42 mm107 mm

36 mm

138

3 . 6 . P r i m j e n a P i t a g o r i n a p o u č k a n a r o m b i t r a p e z

Zadan je pravilni osmerokut sa stranicom a = 10

2 . Treba izračunati površinu tog osmerokuta.

Jedan je od načina

dolaska do rješenja

nadopunjavanjem

osmerokuta do kvadrata sa

stranicom duljine a + 2x

kao na slici. Površinu toga

kvadrata označimo sa P.

Znamo da jedan kut pravilnog osmerokuta iznosi

a =−( )

=8 2 180

8135

• te je do ispruženoga kuta

ostalo 45º. Zato su četiri trokuta jednakokračni

pravokutni trokuti. Izračunajmo njihove katete:

2x2 = a2

2x2 = 10 22( )

x = 10.

Stoga je površina pravokutnoga trokuta Ptrokuta =

102 : 2 = 50.

Površina traženog osmerokuta je razlika površine

kvadrata i površina četiriju pravokutnih trokuta.

Posmerokuta = P – 4Ptrokuta = (a + 2x)2 – 4 · 50 = (10

2 + 20)2 – 4 · 50 = 400( 2 + 1).

x

x

x

x x

x

x

xaa

aa

a

a a

a

1. Izračunaj duljinu stranice romba kojem su dijagonale duge:

a) 6 cm i 8 cm; b) 6.6 cm i 11.2 cm.

2. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu dijagonale duge 5.6 dm i 9 dm.

3. Površina romba je 1320 cm2. Kolika je duljina stranice ako je jedna dijagonala duga 22 cm?

4. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 4 dm?

5. Kut među stranicama romba je 120º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 8 cm?


a) 16 mm i 3 cm; b) 2.4 cm i 7 cm.

7. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu dijagonale duge 18 cm i 8 dm.

8. Površina romba je 8 3 cm2. Kolika je duljina stranice ako je jedna dijagonala duga 4 cm?


10. Kut među stranicama romba je 120º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 2 3 cm?


a) 8 2 cm i 4 5 mm; b) 2.6 cm i 16.8 cm.

12. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu dijagonale duge 10 5 dm i 10 dm.

14. Površina romba je 8.4 cm2. Kolika je duljina 13 ako je jedna dijagonala duga 24 mm?

14. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 6 3 dm?


16. Kolika je površina jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 66 cm i 44 cm, te kracima duljine 61 cm?

17. Osnovice jednakokračnog trapeza su duge 10 cm i 3 cm, a visina je 1.2 cm. Kolika je duljina kraka tog trapeza?

18. Koliki je opseg jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 200 mm i 88 mm, te visinom 33 mm?

19. Površina jednakokračnog trapeza je 54 cm2, a osnovice su duge 10 cm i 2 cm. Koliki je opseg tog trapeza?

20. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu 21 cm i visinu dugu 8 mm. Dijagonala tog trapeza iznosi 17 cm. Izračunaj opseg i površinu trapeza.

21. Kut uz dulju osnovicu jednakokračnog trapeza je 60º. Kolika je površina tog trapeza ako je dulja osnovica duga 8 m, a krak 4 m?

22. Kolika je površina jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 55 cm i 7 cm, te kracima duljine 25 cm?

23. Osnovice jednakokračnog trapeza su duge 45 cm i 15 cm, a visina je 8 cm. Kolika je duljina kraka tog trapeza?

24. Koliki je opseg jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 62.8 mm i 8.2 mm, te visinom 26 mm?

Vježbalica

Z a d a c i

139


3.7. Ponavljanje

1. Kako glasi Pitagorin poučak?

2. Kako glasi obrat Pitagorina poučka?

3. Kako glasi formula za duljinu dijagonale

kvadrata uz zadanu stranicu a?

4. Kako glasi formula za visinu jednakostraničnoga

trokuta uz zadanu stranicu a?

5. Kako glasi formula za površinu jednakostrani

čnoga trokuta uz zadanu stranicu a?


Z a d a c i z a p o n a v l j a n j e1. Iskaži Pitagorin poučak za svaki pravokutni

trokut:

a) b) c)

2. Izračunaj duljinu hipotenuze c pravokutnoga


a = 32 cm i b = 24 cm.

3. Ako svim racionalnim brojevima pridružimo točke

pravca, jesmo li svim točkama pravca pridružili

neki racionalan broj?

25. Površina jednakokračnog trapeza je 23.6 cm2, a osnovice su duge 6.8 cm i 5 cm. Koliki je opseg tog trapeza?

26. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu 43 mm i visinu dugu 6 cm. Dijagonala tog trapeza iznosi 68 mm. Izračunaj opseg i površinu trapeza.

27. Kut uz dulju osnovicu jednakokračnog trapeza je 45º. Kolika je površina tog trapeza ako je dulja osnovica duga 12 m, a krak 4 2 m?

28. Kolika je površina jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 125 mm i 25 mm, te kracima duljine 17 mm?

29. Osnovice jednakokračnog trapeza su duge 16 cm i 40 cm, a visina je 5 cm. Kolika je duljina kraka tog trapeza?

30. Koliki je opseg jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 60 mm i 18 mm, te visinom 20 mm?

31. Površina jednakokračnog trapeza je 1.825 m2, a osnovice su duge 2.5 m i 1.15 m. Koliki je opseg tog trapeza?

32. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu 12 mm i visinu dugu 4 cm. Dijagonala tog trapeza iznosi 58 mm. Izračunaj opseg i površinu trapeza.

33. Kut uz dulju osnovicu jednakokračnog trapeza je 60º. Kolika je površina tog trapeza ako je dulja osnovica duga 12 m, a krak 8 m?





38.Zadan je pravilni osmerokut stranice a = 4 2 cm. Treba izračunati površinu tog osmerokuta.

39. Zadan je pravilni osmerokut stranice a = 10 cm. Treba izračunati površinu tog osmerokuta

pu

r

v

tz

x

h

y

g

bc

d

e

a

26.4 cm

25 cm7 cm

8.1 cm

36.9 cm 13.5 cm

4.4 cm

3.7 cm1.2 cm

41 cm 15 cm

9 cm

Z a d a c i

140

3 . 7 . P o n a v l j a n j e


5. Ljestve duge 4.5 m prislonimo uza zid tako da im

je donji kraj (na tlu) od zida udaljen 0.65 m. Koliku

visinu dosežu ljestve na zidu? Nacrtaj skicu.

6. Katete pravokutnoga trokuta duge su 5 cm i 6 cm.

a) Kolika je visina spuštena na hipotenuzu toga

trokuta?

b) Konstruiraj taj trokut i mjerenjem se uvjeri da je

tvoj rezultat iz zadatka a) točan.


a) 6 cm, 8 cm, 10 cm; b) 4.5 cm, 7.5 cm i 6 cm.

Za svaki trokut računski i grafički (konstrukcijom)

provjeri je li pravokutan.

8. Nacrtaj spiralu drugoga korijena do hipotenuze

duljine 14 .


a) 3 cm; b) 6 cm; c) 3 2 cm.

10. Konstruiraj kvadrat površine:

a) 2 cm2; b) 8 cm2; c) 9 cm2.



A( 2 ), B( −3 3 ), C( − 12 ).



A(32

), B( − 34

), C(273

).


A( 3 , 2), B( − 2 , 0), C(2 2 , −2 2 ).

14. Izračunaj duljinu stranice x pravokutnika sa slike:

15. Može li se nesklopivi kišobran dug 1 m spremiti

na dno kovčega pravokutnog oblika duljine 90 cm

i širine 15 cm?

16. Luka ima u kuhinji okrugli stol promjera 3 m.

Može li gornja ploča toga stola proći kroz vrata

dnevne sobe (visina vrata: 2.7 m; širina vrata: 80 cm)?

17. Dijagonala ekrana televizora je 38 cm, a susjedne

stranice ekrana odnose se u omjeru 4 : 3.

a) Kolike su dimenzije stranica ekrana?


18. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa

stranicom:

a) 4 cm; b) 1.5 cm; c) 2 mm.

19. Izračunaj duljinu stranice kvadrata s dijagonalom:

a) d = 6 2 cm; b) d = 2 cm; c) d = 9 cm.

20. Izračunaj opseg i površinu kvadrata kojem je

dijagonala duga 8 cm.

21. Kolika je visina jednakokračnoga trokuta ako su

zadani krak b i osnovica a:

a) b = 6cm; a = 5 cm;

b) a = 22 mm; b = 5 2 cm.

22. Kolika je osnovica jednakokračnoga trokuta ako

su zadani krak b i visina v:

a) b = 9 cm; v = 2 2 cm;

b) v = 8.8 mm; b = 1 cm.

23. Koliki je krak jednakokračnog trokuta ako su

zadani osnovica a i visina v:

a) v = 5 cm; a = 16 cm;

b) a = 6 2 mm; v = 7.5 mm.

24. Osnovica jednakokračnoga trokuta iznosi 48 mm.

Pritom je krak za 8 mm dulji od visine toga

trokuta. Izračunaj opseg i površinu toga trokuta.


jednakokračnoga trokuta kojem je osnovica duga

6 2 m.

26. Izračunaj duljinu visine jednakostraničnoga

trokuta ako je njegova stranica:

a) 10 cm; b) 25 cm; c) 3 3 cm.

27. Izračunaj duljinu stranice jednakostraničnoga

trokuta ako je njegova visina 6 3 cm.


ako je njegova stranica:

a) 2 cm; b) 3 cm.

29. Izračunaj duljinu stranice, visinu i opseg

jednakostraničnoga trokuta ako mu je zadana

površina 16 3 cm2.

14.5

10.2

xd)

5x

1

c)x

5.1

5b)10

x

8a)

6

x

1.5x

24

10

√2

x5

a) b) c)

141


30. a) Izračunaj duljinu stranice romba kojem su

dijagonale duge 24 mm i 10 mm;

b) Kolika je površina tog romba?

c) Kolika je visina tog romba?

31. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu

dijagonale duge 40 dm i 30 dm.

32. Presjek jarka je jednakokračan trapez kojem

je kraća osnovica duga 2.1 m, dulja osnovica

jednaka 4.5 m, a kraci dugi 2 m. Kolika je dubina

jarka?

33. Koliki je opseg jednakokračnoga trapeza s

osnovicama dugim 113 mm i 89 mm te visinom

35 mm? Nacrtaj skicu.

1. Iskaži Pitagorin poučak za svaki nacrtani

pravokutni trokut:



a) 8 cm, 6 cm, 10 cm;

b) 3 cm, 7 cm i 6.5 cm.

Koji je od njih pravokutan?




A( 2 ), B(− 33

), C(2 12 ).

6. Dvokrake ljestve

razmaknute su kao na

slici:

Kolika je visina ljestava?

7. a) Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa

stranicom duljine 3 cm;

b) Izračunaj duljinu stranice kvadrata s

dijagonalom duljine 3 2 cm;

c) Izračunaj duljinu stranice kvadrata s

dijagonalom duljine 3 cm.

8. Izračunaj duljinu visine i površinu

jednakostraničnoga trokuta ako je njegova

stranica duga 6 cm.

9. Nesklopivi kišobran dug je 1.1 m. Može li se

on položiti na dno kovčega duljine 103 cm,

širine 55 cm i visine 25 cm?


susjedne stranice ekrana odnose se u omjeru

4 : 3.

a) Kolike su dimenzije stranica ekrana?


11. Izračunaj duljinu

rukohvata za stepenice.

Visina i širina svake

stepenice je 20 cm,

a stepenište ima 50

stepenica.

12. Izračunaj duljinu stranice, opseg i površinu

romba kojemu su dijagonale duge e = 56 cm i

f = 90 cm.

13. Izračunaj opseg i površinu jednakokračnog

trapeza sa osnovicama 25 cm i 5 cm te

krakom 26 cm.


v

x

t

zy

x

7.2

8.9

b)

26

24

x

a)

1.5 m

4 m 4 m

142

R j e š e n j a

0. Ponavljanje gradiva prethodnih razreda

1. a) RIBA; b) GRAD; c) RUŽA.

2. A B C D( ), ( ), ( ), ( ).2

51

1

5

3

51

1

5− −

3. a) (5, 3), (5, 6), (5, 9), (7, 3), (7, 6), (7, 9);

b) x = y.4. A - os x, B - IV kvadrant, C - os y, D - III kvadrant

1

2

–3–1

–2

–1 1 2 3–2 0 x

y

C (0, 1)

D (–2, –2)

A (–3, 0)

B (4, –2)

5.

1

2

–3 –1–2 0 x

y

–3

3

C (0, – )34

B (–3, 3 )23

D (2 , 1 )12

45

A ( , –2)12

6. Trokut je jednakokračan.

0

1

2

3

–3

–1

–2

y

–1 1 2 3–3 –2 x

C’ (–3, 4) C (3, 4)

A’ (3, –2)A (–3, –2)

B (0, –4) B’7. Četverokut je kvadrat

0

1

2

–3

–1

–2

y

–1 1 x

C

B

A

D

C’

D’

A’

B’

8. a) x = 6.4; b) x = 17; c) x = 3.9. a) 3 : 2; b) 8 : 21; c) 1 : 1.

10. a) x = 1.5; b) x = –4.11. 120 km.12. Damir će dobiti 600 kn, a Josip 750 kn.13. α β γ= ° = ° = °70 30 80, , .14. Zupčanik B je napravio 28 okreta. Zupčanik A je napravio 36 okreta.15. Breza je visoka 12 m.16. x = 13.17. 15 kg šećera.18. 42 učenika.19. Za 9.375 sati, tj. 9 sati, 22 minute i 30 sekundi.20. Potrošit će 4.95 kW.21. Završit će 3 sata ranije.22. Posao bi se skratio za 1.5 dan.23. 708 kg grožđa.24. a) 64 dag; b) 46.50 kn.25. Kasnit će 1 sat.26. 10 radnika.27. a)

x 0 1 2 3y 0 4.5 9 13.5

0

4

6

1

2

3

8

7

5

–1 1 2 3

11

13

9

10

12

0

b)

x 0 2 4 6y 0 2.4 4.8 7.2

4 5 60

4

6

1

2

3

8

7

5

–1 1 2 3

9

0

28. 617.3.29. 1560.30. Koštat će 73.96 kn.31. Koštale su 100 kn.32. 60%.33. Opseg će se umanjiti za 25%, a površina za 43. 75%.34.

glavnica 4000 eura 5000 knkamatna stopa 5.2 % 1.7 %vrijeme 7 g 6 gkamate 1456 eura 510 kn

glavnica 9000 kn 8000 eurakamatna stopa 5.7% 4.4 %vrijeme 3 g 2 gkamate 1539 kn 704 eura

35. 6%.36. Treba vratiti ukupno 1550000 kn. Mjesečna rata je 6200 kn.37. 4 godine.38. Uložila je 9000 kn.39. a)

0123456789

10

dovoljan odličanvrlo dobardobar

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

dovoljan odličanvrlo dobardobar

c) Dovoljan - 8%, dobar - 31%, vrlo dobar - 27%, odličan - 34%; d) srednja ocjena je 3.88.40.a)

1,5m

1,48m

1,44m

1,35m

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1.35m 1.5m1.48m1.44m

41.

-15-10

-505

1015202530

I II III IV VIV VII VIII IX XIX XII

a) Srednja temperatura te godine u Ogulinu je 5.5 °C; b) najniža temperatura je u siječnju, najviša u kolovozu i rujnu, a najbliža srednjoj je u svibnju; c) razlika u temperaturi najhladnijeg i najtoplijeg mjeseca je 40 °C.

143

R j e š e n j a

42. a) 15.67; b) 65.28%.

0

2

4

6

8

10

12

0 do 4 15 do 1910 do 145 do 9 20 do 24

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 do 4 15 do 1910 do 145 do 9 20 do 24

43. Srednja težina učenika je 57.8 k

0

2

4

6

8

10

12

50 do 5940 do 49 60 do 69

0%

10%

20%

30%

40%

50%

50 do 5940 do 49 60 do 69

44. Elementarnih događaja ima 25; a) 0.4; b) 0.04; c) 0.4; d) 0.16.

45. a) 1

2; b)

3

8; c)

7

16; d)

3

16; e)

7

16.

46. a) Žutih ima 60, bijelih 18, crvenih 3, plavih 36 i zelenih 33; b) 0.4; c) 0.14; d) 1; e) 0.

47. a) 1

3; b)

2

3.

48. a) 1

18; b)

1

18; c)

5

36; d)

5

6; e)

1

6; f)

5

6.

49. a) x = 16; b) x = 14; c) x = 4; d) x = 2.5; y = 6.50.

A10 cm

B

C

51.

15 cm

52. a) a’ = 2.4 cm, b = 2.3 cm, c = 2.1 cm; b) a = 35 mm, b’ = 20 cm; c) b = 1.5 cm, a’ = 4 cm, c = 2.1 cm.53. Bor je visok 6 m.54. 15 dijagonala.55. 20 kutova.56. 252 dijagonale.57. Da, osmerokut.

58. 3240°.59. a) 25; b) 44.60. 20-erokutu.61. 13 stranica.62. α12 = 150°.63. A = 2.5 cm.64. 18 vrhova.65.

r = 5 cm

66.

2 cm

75°75°

67.

a = 4 cm68. 96 ruža.69. Potrebno je 4152 cm2 drveta.70. a)

r = 3.5 cm

r = 2.3 cm

B

A

b)

r = 3.5 cmr = 2.3 cmBA

c)

r = 3.5 cm

r = 2.3 cm

B

A

Udaljenost središta mora biti manja od 1.2 cm ili veća od 5.8 cm.71.

S

C

B

A

Pravci sijeku tu kružnicu u dvije točke.72. α = °126 .73. β = °84 .74. a)

S

K

M 3.4 cm B

2.1 cm

b)

40°S

C

A c = 5.3 cm B

75.

S

d = 67 mm

76. Bicikl prijeđe 512.448 m.

77. l = =4

5

π2.512 cm.

78. P = 56.71625 cm2 .79. P = 63.585 dm2.80. P = 2.0096 cm2.

144

R j e š e n j a

81. Nije.82. a) (0.5, 3); b) ( 1, 1). 83. a) (2, –2); b) (0, 3).84. a) (2, –1); b) (3, 2); c) (3, –4); d) (1, 1).85. 8 djevojčica i 56 dječaka.86. Duljine stranica su 3.7 cm i 4.5 cm, a površina tog pravokutnika je 16.65 cm2.87. Ana je radila 42 dana, a Luka 7 dana.88. To je broj 67.89. To su brojevi 15 i 18.90. Kilogram krušaka košta 12 kn, a kilogram banana 3 kn.91. Treba 50 g 22-postotnog i 100 g 34-postotnog srebra.92. Prvog metala treba 120 dag, a drugog 45 dag.93. a)

–1 0 1 2

1

2

3

–1

y

x

b)

1

–3

–1

–2

–1 1 2 3 x 0

y

94. Pripadaju točke: A i D.95.

jednadžba pravca

a b rast ili pad

y = 3x + 5 3 5 raste

y = -7x – 11 –7 –11 pada

y = –4.6x + 1.5 –4.6 1.5 pada

2.6 raste

jednadžba pravca

sjecište s osi ordinata

nul-točka

y = 3x + 5 (0, 5) (–53

, 0)

y = -7x – 11 (0, –11) (– , 0)

y = –4.6x + 1.5 (0, 1.5) ( , 0)

(0, 2.6) (– , 0)

96.

0

1

2

3

–3

–1

–2

–4

y

–1 1 2 3–6–5 –4 –3 –2 x

x = – 6

y = – 4

97. a)

1

2

–3–1

–1 3–2 0 x

y

–3

3

S (2, 1)

–2y = 2x – 3

y = –1x + 321

b)

1

2

–3–1

Ð–1 3–2 0

y

–3

3

S (–1, 1)

–2

2x + 5y = 3

–4 21 3x – y = –4

98.

0

1

2

3

–1

–2

y

–1 1 2 3–4 –3 –2 x

y = – x + 112

y = – x + 4.512

y = – x + 312

99. a) 20 km je povoljnije kod Jure, a 5 km kod Marka; b) na 15 km uštedjeli bi 2.5 kn, a na 45 km 47.5 kn.

1. Kvadriranje racionalnih brojeva0. Uvod

1. 10, 100, 1000, ...2. 1 = 1 ⋅ 1, 4 = 2 ⋅ 2, 9 = 3 ⋅ 3, 16 = 4 ⋅ 4,...3. 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

4. cm je mjerna jedinica za duljinu, cm2 je mjerna jedinica za površinu i znači cm ⋅ cm, cm3 je mjerna jedinica za obujam(volumen) i znači cm ⋅ cm ⋅ cm.5. 128, 256, 512, 1024, 2048, ...6. 243, 729, 2187, 6561, ...7. 216, 343, 512, 729, 1000, ...

1.1 Kvadriranje racionalnih brojeva

1. a) 81, 1, 100, 9, 64; b) 1, 81, 9, 36, 4.2. a) 16.81, 2.56, 0.81, 9, 72.25; b) 1.2321, 845.0649, 0.1225, 0.502681, 4.024036.

3. a) 4

81,

1

49,

4

25,

64

49,

36

25;

b) 4

49,

16

25, 121,

100

81,

16

9.

4. a) 27

9, 28

4

9, 5

19

25, 2

1

4, 23

1

25;

b) 2329

49, 5

29

100, –12

52

81, 1

19

81, 97

33

64.

5. a) 1

9

1

3, ; b)

4

25

4

5, ; c) 17 64 17 64. , .− ;

d) –625, 625.

6. a) 16, –36, 25, 10.24, 49

5, 0;

b) 0.09, 121

4, 55.3536, 4225,

1

4.

7. a) 4

9; b) 42

1

4; c) 9; d) 6

1

4; e) 17

16

25.

8.

a 0 1 –1 1.5 –1.5 2 –2

a2 0 1 1 2.25 2.25 4 4

9. a) 3

5

9

25

2

= ; c)

9

6

81

36

2

= .

10. a) Rješenja su ista; b) rješenja su ista; c) rješenja su ista.11. Tri, pet, sedam, devet, trinaest znamenaka.12. a) 900, 100, 4900, 3600, 6400; b) 160 000, 40 000, 250 000, 640 000, 810 000; c) 4 000 000, 2500, 490 000, 1 000 000, 8100.13. a) Između 502 i 602, između 702 i 802, između 802 i 902, između 102 i 202; b) između 402 i 502, između 602 i 702, između 702 i 802, između 102 i 202.14. a) 1764, 3721, 324, 5329, 7225; b) 20736, 123904, 996004, 3041536, 1024704121.15. a) 144, 121, 100, 169, 324; b) 196, 256, 225, 361, 289, 400.16. a) 144, 441; b) 169, 196.

17. a) 144

361,

1

121,

196

225,

324

49,

36

225;

b) 4

256,

1

169,

121

289,

169

361,

324

9.

18. Dvije, četiri, četiri, osam, šest decimala.y x= +3

42 6.

y x= +34

2 6.

34

117

1546

5215

... nastavak tablice

145

R j e š e n j a

19. a) 0.04, 0.0004, 0.000004, 0.01, 0.000001; b) 0.16, 0.36, 0.0025, 0.00000064, 0.000049, 0.0000000081.20. a) 144, 1.44, 0.0144, 0.000144, 0.00000144; b) 1.96, 0.0361, 0.0000000324, 2.89, 0.000225.21. a) P = 1 cm2; b) P = 36 cm2;

c) P = 0.04 dm2; d) P = 9

81 mm2;

e) P = 0.0025 m2.22. a) P = 0.25 cm2; b) P = 1.44 cm2; c) P = 6.4009 cm2; d) P = 2.25 dm2; e) P = 0.758641 m2.23. a) P = 4 π cm2 ≈ 12.56 cm2; b) P = 10.89 π mm2 ≈ 34.2 mm2; c) P = 0.0144 π cm2 ≈ 0.045 cm2; d) P = 5

19

25π m2 ≈ 18.09 m2;

e) P = 0.000004 π dm2 ≈ 0.000013 dm2.24. a) P ≈ 52.78 cm2; b) P ≈ 5631.66 mm2; c) P ≈ 39212.52 mm2; d) P ≈ 4225.78 cm2; e) P ≈ 56.89 dm2.25. a) Površina jedne pločice je 272.25 cm2; b) površinu od 32670 cm2; c) hodnik je dug 363 cm.26. a) Površina je 441 cm2; b) površina kvadrata je 81 cm2, a površina otpadnog papira je 108 cm2. 28. a) 12.25; b) 1.69; c) 6

30

49; d) 23.8144;

e) 0.002809; f) 0; g) 873

144; h) 250000;

i) 9486.76.

29. a) −

=

1

2

1

4

2

; b) − = −8 642 ;

c) ( . ) .− =0 2 0 042 ; d) ( . ) .− =0 03 0 00092 ;

e) − = −3

8

9

8

2

.

30. a) ( . ) .− =0 81 0 65612 ; b) 11

29

121

841

2

= ;

c) – 0 74 0 54762. .= − ; d)

57

44

3249

44

2

= .

31. 32.

x x2

0 0

–3.2 10.24

−4

9

16

81

0.22 0.0484

–160 25600

26

78

1

2−

1

4

x x2

–28 784

–13.5 182.25

−1711

19309

7

361

0.082 0.006724

4.833 23.357889

76

761

36

49

−51

1610

41

256

33. Površina plavog kvadrata je 36 puta manja od površine crvenog.

34. Površina žute pruge je 3

16

2a.

35. P = 42.24 cm2 = 0.42 dm2.36. Duljina stranice treba biti 210 cm.

1.2. Kvadratna funkcija

1. a) Kvadrirali smo 0, 02 = 0; b) bilo koji broj, jer kad množimo dva pozitivna ista broja dobijemo pozitivan broj; c) ne postoji takav broj jer kad množimo dva ista negativna broja rješenje je pozitivan broj.2. b).3. a) Linearna ( x nema kvadrata);

0

1

2

3

–1

–1 1 2 3–2

y

x

b) kvadratna ( x ima kvadrata);

0

2

4

1

y

x

y = x2

c) linearna ( x nema kvadrata);

0

1

2

3

–1

–1 1 2 3–2

y

x

d) linearna ( x nema kvadrata).

1

2

–1

Ð–1 0

y

–3

3

–2

21 x

4. a) parabola (kvadratna); b) parabola (kvadratna); c) pravac (linearna);d) pravac (linearna).

5. Pripadaju točke (1, 1), (–10, 100), (2, 4), (0, 0).6. Pripadaju točke (0.3, 0.09), −( )0 12 0 0144. , . ,(100, 100 000).

7.A B C D E F G( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( . ,2 4 2 4 0 01

4

1

161 1 1

1

22

1

41 5− − − 22 25. ).

A B C D E F G( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( . ,2 4 2 4 0 01

4

1

161 1 1

1

22

1

41 5− − − 22 25. ).

0

2

4

1

y

x

AB

FG

ED

C

8.

x x2

0 0

–0.5 0.25

0.5 0.25

1 1

2.5 6.25

–2.5 6.25

–1 1

0

2

4

6

1

y

x

9. Vidi 8. zadatak.849

146

R j e š e n j a

10. 0

–2

–4

–6

yx1–1

1.3. Zbrajanje i oduzimanje matematičkih izraza

1.

Rečenica:Matematički izraz:

Nekom broju dodaj 1 x + 1

Dvostruka vrijednost nekog broja

2x

Neki broj umanji za 223 x – 223

Od nepoznatog broja oduzmi njegovu dvostruku vrijednost

x – 2x

Od nepoznatog broja oduzmi 8 pa razliku kvadriraj

(x – 8)2

Kvadriraj zbroj nepoznatog broja i broja 3

(x + 3)2

2.

Rečenica:Matematički izraz:

Od broja 5 oduzmi nepoznati broj

5 – x

Nepoznatom broju dodaj 2 x + 2

Nepoznati broj uvećaj 9 puta 9x

Od sedmerostruke vrijednosti nepoznatog broja oduzmi 2

7x – 2

Kvadriraj zbroj nepoznatog broja i 9

(x + 9)2

Kvadriraj razliku peterostruke vrijednosti nepoznatog broja i 3

(5x – 3)2

3. a) –2; b) –2; c) –3; d) 22; e) 33.4. a) –1; b) –1; c) –17; d) –3.5; e) 0.5.

5. a) 38; b) 2; c) –4; d) −31

4; e) −3

5

9.

6. a) 9x; b) –3a; c) –2a; d) –x2; e) 0.7. a) 4a = 4; b) 7x – 11 = –11; c) b2 = 4; d) 3x2y2 = 0; e) –2ax2 = 0.8. a) 3y – 5x; b) 2; c) –p2; d) 12ab + 4a2b; e) 6x2y –2xy2.9. a) 0.5d – c; b) 9y – 10x2; c) 1.1ab; d) 9.4xyz –13.2ab2; e) x2y2 – 6.6xy2.10. a) –2m –24n; b) –x2; c) –6a2; d) 7ab2 –6a2b; e) 2x2y2 + 3xy2.11. a) 6a – 5b + c; b) 6y – 2z; c) 11+ 2c – 5d + 6e; d) 14z2 – 7y2 – 8; e) 8ax2 + 2a2x – 5a2x2.12. a) Nedostaje a2; b) –23 –15 = –38; c) ne možemo oduzimati y i y2; d) ne možemo zbrajati a i b; e) a + a = 2a.13. Točni su a) i b). Točna rješenja ostalih

trebala bi biti c) 5

6x ; d) x; e) 3a.

14. 0.25a + 6.25a + a = 7.5a.15. a) –5x; b) 2a – 7b; c) –x2 – 1; d) –5a2b2; e) 10 – 3xyz.16. a) 6a + 2b = 54; b) –6x = –13.2; c) 5 – y2 = 4.75; d) 15x2 = 72.6; e) –8a2b2 –ab2 = –7290.17. a) 7x – y ; b) 3x + y; c) 4a – 3b + c; d) y2; e) 3a2b – ab2.18. a) –4x – y; b) x + 2y; c) –a – 6b; d) 5 – 7x2 + y2; e) 4.9ab2 + a2b.19. a) 10 + 4a; b) 3x + y; c) 15ab + 3a; d) 3x2 +2y2; e) 0.1 – 1.51xy2z.20. a) 11a+4b; b) 4; c) 10xy;d) -5y2;e) xy2-4yx2

1.4. Množenje izraza

1. a) 2ab; b) 12x; c) 5x2; d) 6xy; e) 56y.2. a) xy; b) –27x; c) –30d; d) 14a; e) 56y.3. a) 6x2; b) 4a2.4. a) 15a2; b) 8a; c) 15ab; d) 5a + 3b; e) 2a.5. a) 4a2; b) 5a; c) 4; d) 3a; e) 4ab; f) 4a + b.6. a) 12xyz; b) 5ax2; c) –30xy;

d) -14xy2 ; e) 10x2y2.

7. a) 63a2bc; b) 2.4a2b; c) 3.2uvw; d) –36x2y2.8. a) –12a2x2; b) a2x2; c) –27d2x; d) 16.25x2y2a2m; e) 15x2y2z2.9. 2 7a ab⋅ ; 4 7yz x⋅ ; 6 7ab ab⋅ −( ) ; −0 66 2 2. d ef .10. a) O = 32 m, P = 64 m2; b) O = 40 cm, P = 100 cm2;

c) O = 2 m, P = 1

4m2;

d) O = 8a , P = 4a2.11. d = 2 dm.12. a) 3x – 18; b) –2 – 2y2; c) 17a – a2; d) 2x2 + x; e) x2y2 – 5y.13. a) –5 + 10a + 5y2; b) 10a2 – 80a –20ay2; c) –3x2 + 3xy2 + 3xz2;

d) -4x2-16x-2xy2

e) -6x - 12x2 - 6a2x + 6xy2.14. a) a2b + 2a2b2; b) 3xz + 15xzy2; c) –10x2a – 5xay2 – 30xaz2; d) 2x2yz – 15xy2z + 10xyz; e) 30xyb2 – 10x2yb2 + 5a2xyb2 + 15xy2b2.15. a) –10ax + 5a2x + 15axy2; b) –2ax + 10a + 8ay2; c) x2 + xy2 + xz2; d) 16x2 – 64x + 8xy2; e) 42x – 14x2 + 7xa2 +7xy2.16. a) 12ax+18ay-24az; b) –xy2 + x2 – 2x; c) 12x2 – 3x2y + 6x2y2.17. a) y; b) 5; c) 1; d) 2x; e) –4x.18. a) 3x2 + 30x – 4; b) –x2 – 8x – 2; c) 8x2 – 7x + y; d) -30a2;

e) –3y2 – 2y.19. a) xy + 5x + y + 5; b) 2b + ab – 14 – 7a; c) 8 – 2x – 4d + xd; d) –4x – 4y – ax – ay; e) xy – y2 +2x – 2y;

f) fg – 8f + 7g – 56.

20. a) x2 + 4x +3; b) a2 – 8a + 15; c) 2 – 3y + y2; d) –x2 – 9x – 20;

e) 36 – y2.

21. a) 3x2 + 5x + 2; b) –5y2 + 28y – 15; c) 1 – 6y + 8y2; d) –15x2 + 11x +12; e) 42a2 – 40a + 8.

22. a) 2x2 + 2x – 4; b) 3ab – 5a – 2; c) x2+4xy–36x+6y; d) x2+4xy–6x+6y–30x; e) 2ab + b – b2.

23. a)– x2; b) –6a + ab +9; c) z2 – 12z + 12t – t2; d) 0.24. a) a; b) g; c) (7 + b); d) (x + c)(4 + z).25. a) 2x – 2; b) –4x2 – 5x + 11; c) –14a2 + 4a + 29; d) 17.8x2 + 606.54xy – 34y2;

e) 8 121

40

39

402x x+ − .

1.5. Kvadriranje matematičkih izraza

1. a) 64; b) 144; c) 36; d) 144; e) 100.2. a) 9a2; b) 81x2; c) 4b2; d) b2x2; e) x2y2.3. a) 16a2b2; b) 100x2y2; c) 25y2b2; d) 81x2m2; e) 169c2d2e2f2.4. a) 42; b) (4a)2; c) (xa)2; d) (5x)2; e) (10ab)2; f) (11xyz)2.

5. a) y2

25; b)

12x

; c) 42n

; d) a2

169; e)

x2

625.

6. a) 4

9

2x; b)

1

36 2x; c)

25

9

2

2

x

y; d)

16

49

2 2

2

a c

b;

e) 121

64

2

2 2 2

x

a b y.

7. a) x

y

2

; b) x

2

2

; c)

3

2

2x

; d)

9

4

2a

b

;

e) 12

13

2ab

xy

.

8. a) 9; b) 36; c) 4; d) 16; e) 9.

9. a) 4

9; b)

1

4; c)

1

81; d)

9

100; e)

64

81.

10. a) 1 210 000; b) 44100; c) 2 025 000 000; d) 1 690 000; e) 122 500 000 000.

11. a) 441; b) 16

225; c) 0.16; d) 6

1

4; e) 182

1

4.

12. a) 223

49; b)

9

4096; c) 16; d) 2

463

529; e) 16.

13. a) x2 + 2xy + y2; b) a2 + 10a + 25; c) 49 + 14b + b2; d) 100 + 20x + x2; e) y2 + 2yb + b2.14. a) 25 – 10y + y2; b) x2 – 2x + 1; c) 9 – 6b + b2; d) d2 – 2dx + x2; e) y2 – 24y + 144.15. a) 1 + 2z + z2; b) 25 – 10c + c2; c) 36 – 12x + x2; d) a2 + 2ax + x2; e) b2 – 14b + 49.16. 1. (x + 4)2 = x2 + 8x + 16; 2. (a – 2b)2 = a2 − 4ab + 4b2; 3. (9 − p)2 = 81 – 18p + p2.17. a) 4x2 + 4xy + y2; b) 9a2 + 24a + 16; c) 4 + 12b + 9b2; d) y2 + 10yx + 25x2; e) 1 + 8b + 16b2.18. a) 9a2 – 6ab + b2; b) a2 – 8ab + 16b2; c) 1 – 6b + 9b2; d) x2 – 16xy + 64y2; e) 36x2 – 48x + 16; f) 9.19. a) a2 + 22ay + 121y2; b) 9x2 – 6x + 1; c) 36 – 96m + 64m2; d) x2 + 24xy + 144y2; e) 25x2 – 50x + 25; f) 4a2.

20. a) 9

16

3

22 2a ab b+ + ; b) 0.25x2 – 3x + 9;

c) 1

252 25 2− +a a ;

d) 12.25x2 + 70x + 100;

e) 49

1447 362x x− +

147

R j e š e n j a

21. a) 9a2 + 24ab + 16b2; b) 49x2 – 84xy + 36y2; c) 36n2 – 36nm + 9m2; d) 144x2 + 288xy + 144y2; e) 16x2y2 – 40xyab + 25a2b2; f) 9a2 – 2a +

1

9.

22. a) 4

9

4

9

1

92 2x xy y+ + ;

b) 0.25x2 – 2xy + 4y2;

c) 16

81

8

392 2 2 2a b a b a− + ;

d) 36x2 + 8x2y + 4

92 2x y ;

e)

9

1004

400

92 2x xy y− + .

23. a) a ab b

a b

2 2

2 2

2

4

+ +; b)

a ab b

a ab b

2 2

2 2

2

2

+ +− +

;

c) a

a ab b

2

2 22+ +; d)

2 4

4 12 9

2 2

2

a ab b

c c

+ ++ +

;

e) a ab b

b bd d

2 2

2 2

4 4

9 30 25

− +− +

.

24. a) 1 – 2ab; b) 12ab – 9; c) a2 – 20ab + 100b2 + 49a2b2 ; d) 2a2 + 18b2; e) –8ab; f) x2.25. a) 400 + 40 + 1 = 441; b) 2500 + 300 + 9 = 2809; c) 4900 – 140 + 1 = 4761; d) 10 000 – 400 + 4 = 9604.26. a) 1089; b) 8281; c) 841; d) 2209; e) 6724.27. a) a2 – 2ab + b2; b) x2 + 2xy + y2; c) n2 – 4mn + 4m2; d) 4x2 – 40xy + 100y2; e) 16y2 + 40xy + 25x2.28. a) (a + b)2; b) (x – y)2; c) (b + 2)2; d) (5x + 3y)2; e) (10m – 9n)2.

29. a) (10 – b)2; b) 3

5

2

x y−

; c) (0.1b + 0.2)2;

d) (0.5x + 0.3y)2; e) 2

39

2

m n−

.

30. a) 5a2 – 2ab + 2b2; b) 2x2 + 2y2; c) 8a2 + 12ab – 8b2; d) 5a2 – 22ab + 34b2; e) 5y2 + 56xy – 48x2.31. a) 2a2 + ab + b2; b) y2 – 4xy – x2; c) 4a2 – 30a + 33; d) –14a2 – 4a + 17; e) –53x2 + 26xy – 173y2.32. a) (c – d)(c + d); b) (x – y)(x + y); c) (m – n)(m + n); d) (x – b)(x + b); e) (z – t)(z + t).33. a) (8 – a)(8 + a); b) (x – 5)(x + 5); c) (6 – y)(6 + y); d) (x – 1)(x + 1); e) (2 – b)(2 + b).34. Imaju iste površine.35. a) (5x – y)(5x + y); b) (a – 7b)(a + 7b); c) (10 – 7n)(10 + 7n); d) (9 – 3y)(9 + 3y); e) (12c – d)(12c + d).36. a) (4x – 7y)(4x + 7y); b) (5b – 8a)(5b + 8a); c) (11m – 13n)(11m + 13n); d) (x – 3y)(x + 3y); e) (12c – d)(12c + d).37. a) (0.4x – 0.1y)(0.4x + 0.1y);

b) 2

58

2

58b b−

+

;

c) 1

4

1

8

1

4

1

8a b a b−

+

;

d) 1 512

131 5

12

13. .x y x y−

+

;

e) (0.3y – 3)(0.3y + 3).38. a) c2 – d2; b) x2 – 36; c) 1 – y2;

d) 10 000 – a2; e) m2 256

6561− .

39. a) (50 – 1)(50 + 1) = 2500 – 1 = 2499; b) (10 – 2)(10 + 2) = 100 – 4 = 96; c) (100 + 3)(100 – 3) = 10000 – 9 = 9991; d) (200 + 4)(200 – 4) = 40000 – 16 = 39984; e) (30 – 1)(30 + 1) = 900 – 1 = 899.

40. a) 9a2 – b2; b) 4x2 – 9; c) 1 – 36y2;

d) 25

925 2− a ; e)

25

9

4

1212m − .

41. a) 4x2 – 64y2; b) 49a2 – 81b2;

c) 196

3612x –

121

1442y ; d) 0.01b2 – 0.09a2;

e) 364

492 2 2m n k− .

42. a) (5a – 2b); b) (a + 0.3b).44. a) 5x2 – 4xy; b) 50a2 – 28a; c) 25d2 – 10dc + 2c2 – 5c; d) a2 + 6b2; e) 9y2 – 13x2 – 2ax.

45. a) x = –2; b) x = – 41

13; c) x = 0.9; d) y = 1;

e) a = 3.

1.6. Potencije

1. a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128; b) 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187; c) 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384.2. a) 0.2, 0.04, 0.008, 0.0016, 0.00032; b) 1.3, 1.69, 2.197, 2.8561, 3.71293, 4.826809, 6.2748517;

c) 1

8

1

64

1

512

1

4096

1

32768, , , , .

3. a) 125; b) 6561; c) 16; d) 5; e) 36; f) 4096; g) 81; h) 729; i) 1024; j) 823543.4. a) 0.125; b) 7.1289; c) 4.29981696; d) 1157.625; e) 2839.8241.

5. a) 27

64; b)

4

81; c)

16

87; d)

1024

59049;

e) 2401

14641.

6. a) 32 i 25; b) 36 i 64; c) 125 i 243; d) 2187 i 343; e) 59049 i 1000.

7. a) 34; b) 27; c) 2.84; d) 5

11

1

; e) 18.

8. a) 53; b) 33; c) 34; d) 54; e) 36; f) 26;

g) 1bilo koji broj; h) 0.22; i)1.52; j) 1

3

3

.

9. a) a6; b) x11; c) m4; d) y2; e) b8.10. a) (a + b)3; b) (x – y)2; c) (2c – 3d)5; d) (2a)1; e) (a + 6)5.11. Na drvetu je 8 listova.12. Ukupno je 343 latice.13. Ukupno je 6561 rečenica.15. Dobit ćemo 729 komada papira.16. Bit će 256 bakterija.17. Imao je 1024 potomka.18. a) 945; b) 784; c) 941201; d) 0; e) 3100.

19. a) 610; b) 1010; c) 1

2

22

; d) 1.339; e) 3434.

20. a) 109; b) 74; c) 51; d) 1.63; e) 3

10

23

.

21. a) 88; b) 119; c) 316; d) 102; e) 556.22. a) 55; b) 84; c) 101; d) točno; e) 188.23. a) a18; b) b1; c) x11; d) y4; e) b11.24. a) 3a2; b) 2a2; c) 210; d) 3a4; e) a12.25. a) (a – 5)5; b) (x + b)7; c) (3x)13; d) (2y + b)1; e) (b – 3a)2.26. a) 2 + 8 = 10; b) a b≠ ; c) a b+( ) ≠ +( )1 1 .

27. a) točno; b) točno; c) točno; d) 7 : 7 = 1; e) točno.28. a) x14; b) x15; c) 215; d) (4a)15; e) (x + y)8.29. a) 2 2 22 6 8⋅ = ; b) a a a9 1 8: = ; c) 10 10 108 2 6: = ; d) 59 ⋅ 53 = 512; e) x x x x6 4 3 13⋅ ⋅ = .30. a) 25; b) 34; c) 106; d) 71; e) 915.31. a) xn+ m; b) x12a; c) z6 + 14k; d) x15m – 10n; e) 311a .32. a) xn – 3; b) x5a – 9; c) 56a – 6b; d) 21+ 2n; e) a5m + 5n + 1.33. a) a3 + a4; b) 7a3 + 21a5 + 7a2; c) 5x7 – 4x6; d) xy7 + x3y2; e) 3x3y6 – x2y4 – 3xy.34. a) –20x3 + 36x4; b) –4a3 – 2a5 + 12a2; c) –3a3x7 – 4a3x6; d) –42a5y7 + 6a4y4; e) –9x3y6 + 9x2y4 – 27x2y.35. a) a4 – 8a3 – 9a2; b) 21a5 – 3a4 + 7a3 + 6a2 – a; c) –6x7 – 8x2 – 18x6 – 24x; d) 7xy6 + xy7 + 7x3y + x3y2; e) 27x3y5 – 15x3y6 – 9x2y3 + 5x2y4 – 27x + 15xy.

1.7. Potencije s bazom 10

1. a) 102; b) 105; c) 101; d) 109; e) 104.2. a) 10 000; b) 10 000 000; c) 100 000; d) 100 000 000; e) 10.3. Znanstveni nije zapis a) jer je 12 > 10 i c) jer je 0.3 < 1.4. a) 50 000 000; b) 3 000; c) 20 000; d) 500 000; e) 90.5. a) 18 000 000 km; b) 59 000 000 dolara; c) 120 000 km; d) 140 000 000 000 000 000 litara; e) zakuca 2 575 000 000 puta, potisne 180 000 000.6. a) 2 ⋅ 104; b) 5 ⋅ 102; c) 9 ⋅ 101; d) 7 ⋅ 107; e) 3 ⋅ 1015.7. a) 6.377397 ⋅ 106 m; b) 1.082841322036 ⋅ 1024 litara; c) 9.4608 ⋅ 1012 km; d) 1.4 ⋅ 1021 litara.8. a) 3.6 ⋅ 103; b) 8.64 ⋅ 105; c) 4.59 ⋅ 108; d) 1.01 ⋅ 107; e) 7.86 ⋅ 109.9. a) 3.675 ⋅ 103; b) 3.4762 ⋅ 107; c) 4.33876112 ⋅ 108; d) 1.1001552 ⋅ 107; e) 1.123231451267 ⋅ 1012.10. a) 2.6011 ⋅106 ; b) 4.13788 ⋅ 106; c) 4.0972 ⋅105 ; d) 5.3126176 ⋅109 ; e) 1.1227278 ⋅105 .11. a) 1.98999403 ⋅1030 ; b) 5.33 ⋅1024 ; c) 1.88403 ⋅1027 ; d) 8.123 ⋅1025 .12. a) 10–2; b) 10–3; c) 10–6; d) 10–1; e) 100.13. a) 10–7; b) 10–3; c) 10–11; d) 100; e) 10–1.14. a) 0.000001; b) 1; c) 0.0001; d) 0.0000000000000000000000000001; e) 0.0000000000000001.15. Znanstveni nije zapis b) jer je 899 > 10; c) jer je 0.3 < 1 i e) jer nema potencije broja 10 i 53 > 10.16. a) 0.000000000000000000000001637 g; b) 0.00523 A; c) 0.2642.17. a) 0.00000052366; b) 0.000000003404; c) 0.000215555; d) 0.00000000053511; e) 0.999.18. a) 2 10 4⋅ − ; b) 5 10 1⋅ − ; c) 4 ⋅100 ; d) 8 ⋅ −10 11 ; e) 5 ⋅ −10 13 .19. a) 4.5 ⋅ −10 2 m; b) 2.1 ⋅ −10 4 m; c) 6.7 ⋅ −10 10 s; d) 3.3 ⋅ −10 9 s; e) 3.03 ⋅ −10 3 .20. a) 6.78 ⋅ −10 3 ; b) 3.46 ⋅ −10 1 ; c) 1.05 ⋅ −10 2 ; d) 8.99 ⋅ −10 11 ; e) 4.43 ⋅ −10 1 .

⋅

148

R j e š e n j a

21. a) 7.774 ⋅ −10 1 ; b) 4.000000001 ⋅ −10 2 ; c) 5.62316 ⋅ −10 13 ; d) 1.000000078 ⋅ −10 1 ; e) 5.62006 ⋅ −10 6 .22. a) 0.1; b) 1; c) 0.001; d) 107; e) 1010.23. a) 350 000; b) 10; c) 2.4 ⋅1012 ; d)

7

3108⋅ ;

e) 3.6 ⋅109 .

1.8. Ponavljanje

1. Kvadrirati neki broj znači pomnožiti ga sa samim sobom.2. Kvadrati suprotnih brojeva su jednaki, npr. 52 = (–5)2 = 25.

3. 3

8

9

64

3

8

9

8

2 2

= =, .

4. (–6)2 = 36, –62 = –36.5. cm2, m2,...6. Kvadrat racionalnog broja je uvijek pozitivan broj ili nula. Kvadriramo li bilo koji pozitivan racionalan broj, dobit ćemo pozitivan broj. Primjerice, 4 162 = . Iz prethodnog primjera vidimo da i kvadrat negativnog broja daje pozitivan broj. Primjerice, ( )− =4 162 . Zaključujemo da ne postoji racionalan broj koji nakon kvadriranja daje negativan broj.7.

0

2

4

1

y

x

y = x2

8. Graf kvadratne funkcije zove se parabola, a graf linearne funkcije zove se pravac.9. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.10. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.11. a2 – b2 = (a + b) (a – b) .12. Potencija je a a a an

n

= ⋅ ⋅ ⋅... faktora

� �� .

Broj a se pritom naziva baza potencije an , a n je njen eksponent.13. dm3, mm3,...

Zadaci za ponavljanje:

1. a) 81; b) 4

25; c) 14.44; d) 0.000169;

e) 979

169.

2. a) Između 702 i 802; b) između 302 i 402; c) između 82 i 92.3. a) 0.0009; b) 0.36; c) 0.000081.4. P = 61.7796 cm2.5. P = 6.76 π ≈ 21.23 dm2.6. a) Linearna funkcija, graf je pravac

1

2

–130 x

y

3

–2

f(x) = 2x – 6

21

b) kvadratna funkcija, graf je parabola

0

2

4

1

y

x

y = x2

7. a) 7; b) 4; c) –1.33.8. a) 9a – 5; b) 6ab + 2a2b.9. a) –10x – 3y; b) x – 3y.10. a) 3a – 7; b) 2xy + 9y; c) 3x2 – 3y2 + 3.11. a) 2x2y; b) –18fP2; c) 1.8ax2y.12. a) –y + 4ay + 3y2; b) 12a2 – 10a + 6ax2.13. a) y2 + 7y + 10; b) 12y2 – 26xy + 12x2.14. a) 6x + 5xy + 2y; b) x2 – 15y2.

15. a) 9x2; b) 12 2a x

; c) 4

9

2

2 2

x

a y.

16. a) a

b

2

; b) 3

4

2x

.

17. a) 5

6; b)

256

1225.

18. a) x2 + 2xy + y2; b) 4x2 – 4xy + y2; c) 64m2 – 48my + 9y2.19. a) (4x + 5y)(4x – 5y); b) (10b + 8)(10b – 8).20. a) e2 – d2; b) 0.25x2 – 0.36y2.

21. a) 1024; b) 1

29; c) 0.039304.

22. a) 96; b) y5; c) (2a + 1)3.23. Prabaka ima 27 potomaka.24. a) 157; b) 96.25. a) 69; b) 80; c) 102.26. a) a26; b) (4b)7; c) (3b – 3a)1.27. a) –2x3 + 5x4 + x2; b) –10a8y5 + 35a7y5.28. a) 5.64 ⋅102 ; b) 3.2962 ⋅107 ; c) 7.805663451267 ⋅1012 .29. a) 7.04 ⋅ −10 2 ; b) 1.1 ⋅ −10 10 ; c) 6.98 ⋅ −10 13 .30. a) 1278.6; b) 0.00000454; c) 215 000 000.

Primjerak oglednog testa

1. a) 16; b) 36

49; c) 27.04; d) 0.5041;

e) 1973

144.

2. a) 256; b) 9.

3. a) 100a2; b) 25

81

2 2

2 2 2

x y

a b c.

4. a) 2a – 2b; b) 7x + 5y – 4.5. a) 14 + 7y2 – 21x6; b) 6y2 – 12x2 + 60x – 2xy; c) 6b2 + ab – 40a2.6. a) x2 + 16x + 64; b) 9x2 – 6xy + y2;

c) 4

25

9

252 2m n− .

7. (7a – 4b)(7a + 4b).8. a) 48; b) t4; c) (a + 3)2.9. a) 10-3; b) 10-5; c) 107.10. a) 3.688 ⋅103 ; b) 4.52 ⋅ −10 3 ; c) 3.54 ⋅1012 .

2. Korjenovanje

2.0. Uvod

1. Duljina njegove stranice je 5 cm.2. Duljina njegove stranice je 4 cm.3. Duljina njegove stranice je 10 cm.

x x

0 0

0.5 0 5. ≈0.707

0.75 0 75. ≈0.866

1 1

x x

1.5 1 5. ≈1.2247

1.75 1 75. ≈1.322

2 2 ≈1.4142

4. Duljina njegove stranice je 0.4 cm.5. Kvadrati suprotnih brojeva su jednaki.6. Graf kvadratne funkcije je parabola, a linearne pravac.7. Kvadrat zbroja (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.8. Kvadrat razlike (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.9. Razlika kvadrata a2 – b2 = (a – b)(a + b).

2.1. Korjenovanje

1. b) 152 = 225; c) 0.12 = 0.01; d) 0.132 =0.0169.2. b) 202 = 400; c) 1 1= , 12 = 1; d) 0 0016 0 04. .= jer je 0.042 = 0.0016; e) 1 69 1 3. .= jer je 1.32 = 1.69; f) 25 5= jer je 52 = 25.3. a) 8; b) 10; c) 1; d) 2; e) 4.4. a) 20; b) 100; c) 30; d) 600; e) 70.5. a) 12; b) 13; c) 19; d) 15; e) 11.6. a) 0.4; b) 0.03; c) 2.1; d) 0.00008; e) 0.012.

7. a) 5

2; b)

1

4; c)

7

9; d)

3

2; e)

4

3.

8. a) 0.7 m; b) 60 cm; c) 13 mm; d) 0.012 dm; e) 300 m.

9. a) 0.01; b) 10

3; c) 5 000; d)

12

71

5

7= ;

e) 0.00014.10. a) 8; b) 2; c) 9; d) 2; e) 6.

11. a) 13; b) 81

4; c)

3

10; d)

13

8; e) −

124

7.

12. a) 3

5; b) ; c) ; d)

2500

213;

e) .

13. a) 9 b) 49 c) 19; d) 8933; e) 59 611.14. a) 3; b) 11; c) 2.33; d) 60.56; e) 8911.15. a) 0.25; b) 4.9; c) 511; d) 0.90001; e) 87.551.16. a) 3 i 3; b) 7 i 7; c) 2.56 i 2.56; d) 0.01 i 0.01.

17. a) 5; b) 1; c) 8; d) 5.5; e) 7

13.

18. b) i e) nisu racionalni.19. −25 nije racionalan broj, – 25 = –5.20. c), d) i e) nisu racionalni brojevi.

−3516

1140

117

149

R j e š e n j a

2.2. Približno računanje korijena

3. a) 9.4868; b) 7.615; c) 84.85281374; d) 0.781024967; e) 17.3205808.4. a) 31.607; b) 2.64575; c) 12; d) 1.9; e) 2.6645825.5. a) 22.38; b) 1.58114; c) 0.00700000; d) 9.89; e) 10.3174125.6. a), d).7. a), d).8. a), c), d).9. a) 8 i 9; b) 7 i 8; c) 0 i 1; d) 6 i 7; e) 2 i 3.10. a) 5 i 6; b) –7 i –6; c) –1 i 0; d) 100; e) –8 i –7.11. a) 70 m; b) 3601 cm; c) 55 mm; d) 0 256. dm; e) 45 m.12. a) 8 m; b) 600 cm; c) 13 m; d) 80 6. dm; e) 1 73. m.13. a) 10 m; b) 2 5. cm; c) 7966 mm; d) 99 45. dm; e) 205 25. m.14. Funkcije korjenovanja su a) i c).15. Kvadratna: b) , linearna: a) i d), a funkcija korjenovanja c).16. Pravac: c), parabola: a) i d), dio parabole: b).17. (1, 1), (100, 10), (25, 5), (0, 0).

18. 1

36

1

6,

, (1, 1), 0 0144 0 12. , .( ) ,

81

162

1

4,

.

19. A(4,2), B(2, 2 ), C(0,0), D1

4

1

2,

, E(1,1),

F(5, 5 ), G(1.5, ≈1.2247)

0

A F

G BE

DC

2

3

4

1 5 94 10

20.

21.

0

2

3

4

f (x) = √x̄

1 5 94 10

22.

0

–2

–3

–4

f (x) =–√x̄

1 5 94 10

2.3. Realni brojevi1. a) 0.5; b) 1.25; c) 0.3; d) 5.55; e) 0.216; f) 0.12.2. a) 1.16666…; b) 0.66666…; c) 0.11111…; d) 0.944444…. e) 8.833333….3. a) 0.0370370..; b)1.1818… c)0,269230769…; d) 0.153846153;

e) 0.358974359.4. a) 0.45; b) 0.2666…; c) 2.117647059; d)0.08; e)6.55555….5. a) konačni; b) beskonačni periodički; c) konačni; d) konačni; e) beskonačni periodički.6. a) 0 23. ; b) 13 6. ; c) 9 78253. ; d) 0 53. ; d) −13 4481. .7. Racionalni: a), d), e), a iracionalni: b), c).8. Iracionalni su: b), d), e).9. Samo približno možemo odrediti rezultate b), c), d), e).10. 3 ≈ 1.732050808, jer je iracionalan broj.11. a) 2 <1.45; b) 3 < 1.733; c) 3.14 < π; d) 3.9 > 15 ; e) −3 2 < –4.2411.

12. 0.5 < 2 < π2

< 1.73 < 3 .

13. − 6 < –1.1 < 9

7 < 3 < 11 .

14. 3.5 > –3.46 > −2 3 > −7

2 > −3 2 .

2.4. Računanje s korijenima

1. a) 50; b) 12; c) 45; d) 24; e) 48.2. a) 0.12; b) 0.1; c) 0.035; d) 1.08; e) 0.00025.3. a) 15; b) 16; c) 8; d) 22; e) 14.4. a) 20; b) 40; c) 60; d) 30; e)96.5. a) 80; b) 150; c) 308; d) 72; e) 160.6. a) 4ab; b) 5x; c) 10b; d) 12yb; e) 6fg.7. a) 6; b) 4; c) 3; d) 20; e) 48.8. a) 12; b) 12; c) 18; d) 24; e) 12.9. a) xy; b) 4xy; c) 2ay; d) 10xy; e) 6ab.10. a) 12; b) 12; c) 35; d) 30; e) 20.

11. a) 5

7; b)

1

2; c) 2; d)

12

13; e)

20

11.

12. a) 3

2; b)

5

4; c)

3

2; d)

7

5; e)

10

9.

13. a) 6

5; b)

4

5 ; c)

9

8; d)

10

11; e)

12

13.

14. a) 1

5; b)

1

10; c) 2; d)

8

7; e)

10

3.

15. a) 6; b) 5; c) 5; d) 4; e) 18.

16. a) 3

4

x; b)

a

y6 ; c) 14

9; d)

12ax

b; e)

6

5

x.

17. a) 63; b) 8; c) 75; d) 810; e) 125.18. a) 7a2; b) 2a2; c) 3b2; d) 5a2b2; e) 11x2y2.19. a) 63a2b2; b) 2 x2y2z2; c) 24a2; d) 63x3; e) 125a3b3c3.20. a) 6+2 5 ; b) 5+2 6 ; c) 21–4 5 ; d) 12+8 2 ; e) 70+20 10 .21. a) 15 2 15 2 10 15 2 5 3 2+ + = + +( ) ; b) 11 2 5 2 6+ − ; c) 5 4 5 8 3+ − ; d) 8 5 ; e)

46 16 30 20 10 46 4 10 4 3 5+ + = + +( )

46 16 30 20 10 46 4 10 4 3 5+ + = + +( ) .22. a) 3 2 ; b) 9 2 ; c) 0; d) 2 3 ; e) 4 10 .23. a) 14 2 ; b) −6 3 ; c) −3 2 ; d) 4 2 ; e) 505 5 .24. a) 8 2 ; b) −3 3 ; c) 0; d) 3 2 ; e) −20 12 .25. a) 7 2 7 5+ ; b) 9 2 5 5+ ; c) 5−3 3+5 ; d) − +8 8 4 5 ; e) − − +2 7 3 6 6 5 .26. a) 17 3 2 2− ; b) 3 3 5− ; c) 5 + 5; d) 17 2 4 5− ; e) 64 3 2+ .27. a) 14 3 3 2+ ; b) − +31 3 5 2 ; c) − −6 2 3 3 ; d) − +17 2 10 7 ; e) 12 5 11+ .28. a) 17 3 4− ; b) − −117 9 2 ; c) 19 −29 6 ; d) 10 30 6 3− − ; e) 3 3 88 2 12 5 6− + + .

2.5. Djelomično korjenovanje

1. a) 4 2 ; b) 2 2 ; c) 5 3 ; d) 7 2 ; e) 2 3 .2. a) 6 5 ; b) 4 3 ; c) 5 5 ; d) 3 3 ; e) 3 7 .3. a) 10 3 ; b) 4 5 ; c) 3 2 ; d) 2 5 ; e) 3 5 .4.

200 =10 2

27 =3 3

2 6 = 24

8 2 = 128

20 = 2 5

6 2 = 72

5. a) 100 2 ; b) 100 5 ; c) 2 000; d) 3 000 3 ; e) 100 000 5 .6. a) x 5 ; b) x a ; c) 7 a ; d) 10xy 3 ; e) y 6x .7. a) 8 2 ; b) 16 2 ; c) 102 7 ; d) 21 5 ; e) 105 3 .8. a) –7 3 ; b) –9 2 ; c) –37 ; d) –26 5 ; e) –732 2 .9. a) 16 ; b) –6 ;c)6 3 ; d)–16 ; e) –89 2 .10. a) –3 3 –3 11 ; b) 6 10 2 2+ ; c) 17 –8 3 ; d) –4 2 +4 5 ; e) 6 2 21 12 3 4 6+ − − .11. a) x 2 ; b) 2a; c) –6y 3 ; d) 7x–7x 5 ; e) 24x–8x .12. a) 9 6 ; b) 18; c) 69; d) 10; e) –80.13. a) 15 + 35 ; b) –9 +6 6 ; c) 30 –2 15 ; d) − − +4 6 24 8 10 ; e) − + +27 6 6 60 6 .14. a) 10 –5 2 ; b) 6 +10 3 ; c) 0; d) 150 –40 3 ; e) – 3 .15. a) 1– 2 ; b) 6 – 15 – 10 + 25; c) 9 – 12 – 30 + 20 ; d) 0; e) − +6 2 3 3 .16. a) 8 +2 7 ; b) 5 –2 6 ; c) 22 +4 10 ; d) 30 +12 6 ; e) 560 –192 6 .17. a) –3; b) 108; c) 1695 –180 15 ; d) 110 +28 6 ; e) 3 3 5− .

18. a) 3

3; b) ; c) ; d) 5 ; e) 2 2 .

19. a) 3

6; b)

6

9; c)

4 5

15; d)

7

2;

e) 10

4.

20. a) 2

6; b) ; c) −

3

2; d) 5 2 ;

e) 3 5

5.

21. a) NE; b) DA; c) DA; d) DA; e) NE.

22. a) 5 10

5

+; b)

2 2

2

−; c)

10 15

5

+;

d) 2 21 15

3

+; e)

8 3 6 2

3

−.

23. a) 3 6

3

+; b)

2 10

2

−; c)

2 2

4

+;

d) 4 6− ; e) − −1 2 15

9.

24. a) 2 1− ; b) 6 2− ; c) − −1 2 3

11;

d) 2 5 5− ; e) − −2 7 7 2

5.

25. a) 8 12 3

23

+; b) 2 +3 2 3 3 6+ + ;

c) 16 2 2 24 3 3 6

46

+ + +;

d) 19 4 15

11

−; e)

− −45 8 30

3.

3

7

3 2 5

10

35 56 3 2

6 3 2

63

33

x 0 0.5 0.75 1

x 0 0 5. 0.707 0 75. 0.866 1

x 1 1.5 1.75 2

x 1 1 5. 1.2247 1 75. 1.323 21.4142

150

R j e š e n j a

26. a) a

a

+−

1

1; b)

a

a

−−

3

9; c)

2( )a b

a b

+−

;

d) a a ab ab a b

a b

2 2

3 2

+ − −−

;

e) a ab ab b

a b

3 3

3 3

2+ +−

.

2.6. Kvadratna jednadžba

1. a) x1 = 7, x2 = –7; b) x1 = 4, x2 = –4; c) x1 = 10, x2 = –10; d) x1 = 1, x2 = –1; e) x1 = 20, x2 = –20.2. a) a1 = 0.8, a2 = –0.8; b) a1 = 0.003, a2 = –0.003;

c) a1 = 3

11, a2 = –

3

11;

d) a1 = 60

13, a2 = –

60

13;

e) a1 = 13

7, a2 = –1

3

7.

3. a) x1 = 5 , x2 = – 5 ; b) x1 = 13 , x2 = – 13 ; c) x = 0; d) x1 = 15 , x2 = – 15 ; e) x1 = 2 13 , x2 = –2 13 .4. a) x1 = 5 2 , x2 = –5 2 ; b) x1 = 8 5 , x2 = – 8 5 ; c) x1 = 10 6 , x2 = –10 6 ; d) x1 = 40 2 , x2 = –40 2 ; e) x1 = 6 5 , x2 = –6 5 .5. a) Kvadratna, x1 = 7, x2 = –7; b) linearna, x = 7; c) linearna, x = 49; d) kvadratna, x1 = 7 , x2 = – 7 ; e) linearna, x = 18.6. a) Nema rješenja u skupu realnih brojeva; b) jedno dvostruko rješenje x = 0; c) dva rješenja x1 = 3 3 , x2 = –3 3 ; d) jedno rješenje x = 27; e) jedno rješenje x = 27.7. a) x1 = 5, x2 = –5; b) x1 = 5, x2 = –5;

c) x1 = 8

3, x2 = –

8

3; d) x1 =

1

5, x2 = –

1

5;

e) x1 = 17

11, x2 = –

17

11.

8. a) x1 = 1

5, x2 = –

1

5; b) x1 = 25, x2 = –25;

c) x1 = 12, x2 = –12; d) x1 = 3, x2 = –3;

e) x1 = 4

9, x2 = –

4

9.

9. a) x1 = 2, x2 = –2; b) x1 = 2 , x2 = – 2 ; c) nema rješenja u skupu realnih brojeva;

d) x1 = 29

2, x2 = –

29

2;

e) x1 = 5 , x2 = – 5 .10. a) x1 = –2, x2 = –4; b) x1 = 7, x2 = –1;

c) x1 = 10, x2 = –8; d) x1 = 5

2, x2 = –1;

e) x1 = 5 5

5

+, x2 =

5 5

5

−.

2.7. Ponavljanje

1. Kvadratni korijen pozitivnog broja b je pozitivni broj a čiji je kvadrat jednak b.2. Postupak traženja broja kojemu je zadan njegov kvadrat naziva se korjenovanje.3. .4. 0 = 0.5. Imat će 5 decimala.6. Npr. −17 , −25 , −27 ,...

7. Npr. 25

9,

169

196,...

8. Npr. 17 , 22 , 27 ,...9. Npr. 3.5, 4.224, 0.23,..10. Npr. 4.6666...,

5

9, 3.232323..., ...

11. Npr. 4.356782..., 12 , ...12. Iracionalni brojevi su brojevi koje ne možemo točno prikazati u obliku razlomka ili decimalnog broja, tj. to su beskonačni neperiodički decimalni brojevi.13. Skup racionalnih brojeva zajedno sa skupom iracionalnih brojeva čini skup realnih brojeva kojeg označavamo s R.14. Skup racionalnih brojeva zajedno sa skupom iracionalnih brojeva čini skup realnih brojeva.15. Iracionalni su 2 , 3 i π.16. Djelomično se mogu korjenovati 12 , 20 , 18 .17. Postupak proširivanja razlomka (s iracionalnim nazivnikom) do razlomka s racionalnim nazivnikom se naziva racionalizacija nazivnika.

18. Racionalizirati treba 1

3 i

1

24.

19. Kvadratne su a) i c), linearne su d) i e), a jednadžba b) je kubna.20. Ako je b > 0, tada kvadratna jednadžba oblika x b2 = ima dva rješenja, x1 = b , x2 = – b . Ako je b = 0, tada kvadratna jednadžba oblika x b2 = ima jedno rješenje, x = 0. Ako je b < 0, tada kvadratna jednadžba oblika x b2 = nema rješenja u skupu realnih brojeva.

Zadaci za ponavljanje - korjenovanje:

1. a) 5; b) 1

4; c) 0.9; d)

3

2; e) 0.007.

2. a) a = 10 m; b) a = 0.6 cm; c) a = 1.3 mm.

3. a) 6; b) 41

42; c) 500.8.

4. c) nije racionalan.5. a) 1.732051; b) 0.85188.6. a) a = 4.79583 m; b) a = 2.62107 cm.7. a) r = 5 m; b) r ≈ 2 5. cm; c) r ≈ 4 11. mm.8.

0

2 f (x) = √x̄

1 54

9. a) 35; b) 450x.10. a) 3a; b) 6xy.11. a) ab; b) 12ab.

12. a) 5

3; b) 24.

13. a) 18; b) 200; c) 8a2; d) 45c2x.14. a) 27 + 10 2 ; b) 5 – 2 6 ; c) 73 – 12 35 .15. a) 0; b) 5 3 + 5 2 ; c) –9 5 – 7 2 .16. a) 3 6 7 9 3− + ; b) 2 11− ; c) 21 6 9− .17. a) 3 3 ; b) 20 2 ; c) 9 2 .18. a) 6 3 ; b) 8 2 ; c) − −6 3 9 2 .19. a) − −13 3 3 2 ; b) 42 –30 2 .20. a) 2 + 3 10 ; b) –3.21. a) –2 + 3 2 ; b) 60 – 40 3 .

22. a) 3

3; b)

10

5; c) –

3 10

4.

23. a) x1 = 10, x2 = –10; b) x1 = 0.6, x2 = –0.6; c) x1 = 6 , x2 = – 6 ; d) x1 = 3 10 , x2 = –3 10 .24. a) Nema rješenja u skupu realnih brojeva; b) jedno dvostruko rješenje x = 0; c) dva rješenja x1 = 1, x2 = –1; d) jedno rješenje x = 27; e) jedno rješenje x = 3.

Zadaci za ponavljanje – skupovi brojeva

1. a) 15, prirodni; b) 3, prirodni; c) 46.5, racionalni.2. a) –18, cijeli; b) –8.25, racionalni; c) –26, cijeli.3. a) 0, prirodni s nulom; b) 1, prirodni; c) –0.524, racionalni; d) –26.3, racionalni.4. a) n = 2, 1, 0, –1,...; b) n = 4, 5, 6,...;

c) n = 2.1, 1

2,...; d) n = 10 , −2 2 ,...

5. Ne može jer je 139.5 : 9 = 15.5.6. a) 277.4 kg; b) 2 774 dg = 27 740 cg = 277 400 g.7. a) 0.07; b) 0.66666...; c) 2.11111...; d) 1.7; e) 4.8181...; f) 0.428571428...8. a) konačni; b) beskonačni; c) konačni; d) konačni; e) beskonačni.9. a) 0 3. ; b) 0 6. ; c) 0 857142 0 857142. . = ; d) 0. 7 ; e) 0 83. ; f) 2. 6 ; g) 0 4583. ; h) 3 27. .10. a) ; b) ; c) ; d) 0 ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) .11. a) 3 > 1.73; b) 2 > 1.4; c) 3.14 < π; d) 4 = 16 ; e) − +2 1 < –0.414.12.

π2

< 2.449 < 2.44948 < 6 < 2.5.

13. a) 2b – 3a = 0 ∈ 0 ; b) 6a + 9ab – 12a2 = 18 ∈ ; c) 2c2 – 13c + 15 = 72 ∈ ; d) –a – 13c +15 = –38 ∈ ; e) 2ab2 – 11a2b = –96 ∈ .14. a) –3 ∈ ; b) –2ab + 2a2b = − ∈

6

25 ;

c) 18b + 15ab – 6 – 5a = 4 ∈ ; d) –ab – 5a = –2.2 ∈ ; e) 4 – 2c2 + c 2 – 4c 2 + 3a2 – 3a = = –28.72 + 12 2 ∈ .15. a) x = –3 ∈ ; b) x = –7 ∈ ; c) x = 3 ∈ ; d) x = –4 ∈ ; e) x = 6 ∈ ; f) x = 3 ∈ .16. a) x1 = 10, x2 = –10 ∈ ; b) x = 0 ∈ ; c) x1 = 1, x2 = –1 ∈ ;

d) x = – π ∈ I; e) x1 =6

3, x2 = –

6

3 ∈ I.

17. Duljina neke dužine ne može biti negativan broj, ali može biti iracionalan, jer iracionalne duljine možemo konstruirati, a negativne ne.18. a = 2 .20. r = 4, racionalan.

21. r = 4 ππ

,iracionalan.

22. a) x = − ∈1

2 ,y = 0 ∈ 0 ;

b) x y= ∈ = ∈82

95

8

9 , ;

c) x y= − ∈ = − ∈2

13

14

13 , ;

d) x = 3.15 ∈ , y = 0.5 ∈ ; e) x = 0 ∈ 0 , y = 1 ∈ .

151

R j e š e n j a


1. a) 1; b) 0.6; c) 1

2.

2. a) a = 10.6771 m; b) a = 1.8042 cm.3. r = 13 m.

4. a) 54; b) 3ab; c) 6

11; d) 4 3 ab.

5. a) −3 3 ; b) 5 5 5 2− .6. a) 12 + 6 ; b) 3 8 6 3+ − .7. a) 125; b) 28a; c) 21 – 8 5 ; d) 30 + 12 6 .8. a) 2 15 ; b) 10 10 .9. a) 6 3 ; b) 6 2 ; c) –3.

10. a) 3

2; b)

5 5

3.

11. a) x1 = 7

3, x2 = –

7

3;

b) x1 = 6 2 , x2 = –6 2 .12. 1.4 < 2 < 3 < 3.14 < π .

3. Pitagorin poučak

3.0. Uvod

1. Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan pravi kut.2. Stranica nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuza, a druge dvije su katete.3. Najdulja stranica je hipotenuza.4. Katete su stranice uz pravi kut.5. Hipotenuza je stranica nasuprot pravom kutu.6. O = a + b + c.

7. P = a b⋅

2 =

c vc⋅2

.

8. Kvadrat je četverokut koji ima sve četiri stranice jednake duljine i sva četiri kuta prava.9. P = a2.10. Poučak je tvrdnja koju treba dokazati.

3.1. Pravokutni trokut

1. Pravokutni trokuti su 1, 6 i 7, tupokutni su 3 i 5, a šiljastokutni 2 i 4.2. a) Pravokutni trokuti su 2,3 i 7, tupokutni su 3, 5 i 7; a šiljastokutni 1 i 4; b) jednakokračni je 1, jednakostranični 4, a ostali su raznostranični.3. Katete trokuta ABC su AB BC i , trokuta DEF su DE EF i , trokuta BKI su BI i BK , trokuta GMN su MN i NG , trokuta SPB su PB BS i , trokuta JTV su JT JV i , trokuta CLR su CL i LR .6. a) O ≈ 12.4 cm

a = 2 cm

90°

b = 5 cm

B

C A

c

b) O ≈ 13.7 cm, jednakokračan

a = 4 cm

90°

b = 4 cm

B

C A

c

c) O ≈ 11.1 cm

a = 1 cm90°

b = 5 cm

B

C A

c

7. a) P = 5.75 cm2

a = 2.5 cm

90°

b = 4.6 cm

B

C A

c

b) P = 6 cm2

a = 4 cm

90°

b = 30 mm

B

C A

c

c) katetu b treba izmjeriti, P ≈ 2525 mm2

a = 54 mm

90°

b

B C

A

c

60°

d) katetu b treba izmjeriti, P ≈ 1.2 cm2

a = 3.1 cm

90°b

B C

A

c

15°

8.

a = 3.3 cm

90°

b

B C

A

c

45°

9.

c = 4.5 cm

a

B

C

A

b

45° 45°

10.

B S

C

d = 7 cm

2.2 cm

A

11.

BS

C1

57 mm

v = 2.8 cm

A

C2

152

R j e š e n j a

12.

B

C

60°30°

30°A

vv = 48 mm

3.2. Pitagorin poučak

1. e2 = f2 + d2; a2 = b2 + c2; p2 = s2 + q2; j2 = k2 + l2; t2 = s2 + r2; d2 = c2 + b2.3. a) a2 = b2 + c2, d2 = e2 + c2; b) h2 = g2 + x2, y2 = z2 + x2; c) r2 = s2 + p2, u2 = p2 + t2.4. a) c = 50 cm; b) m = 2.9 cm; c) t ≈ 4.65 cm.5. a) k = 3.5 cm, P = 2.1 cm2; b) d = 1.6 cm, P = 0.96 cm2; c) d ≈ 16.54 cm, P ≈ 93.04 cm2.6. a) x = 3; b) x = 3 2 ; c) x = 20; d) x = 10; e) x = 29; f) x = 20; g) x = 2.1; h) x = 2 .7. Ljestve su duge približno 2.62 m.8. Ljestve dosežu visinu od 1.2 m.9. a) Približno 5.41 m; b) približno 4.9 m; c) približno 5.46 m.10. Horizontalna udaljenost je približno 47.37 m.

50

16

33xx

11. a) x = 28, y = 20; b) x = 12; y = 16; c) x = 25, y = 21; d) y = 2, x = 2.1; e) x = 0.4, y = 0.3; f) y = 2, x = 1.5.12.

a b c

2 2 2.83

5 10.91 12

4.83 1.3 5

6.2 2.6 6.72

11 4.80 12

18.19 5.5 19

4.2 4 5.8

2.45 9.49 9.8

12.12 7 14

3 7.56 8.13

13. a) x = 6.71; b) x = 7; c) x = 4.23; d) y = 22.45, x = 25.53; e) x = 15.59, y = 16.91; f) y = 11.18, x = 13.75.14. v = 2.4 cm.15. a) v = 2.16 cm b)

a = 2.7 cm

90°b = 3.6 cm

B

C A

cv

16. P = 50 3

3 cm2.

17. Dimenzije kriški su 3 cm, 4cm i 5 cm.18. a = 15 cm, b = 36 cm, c = 39 cm, P = 270 cm2.19. 25 = 16 + 9.20. 1521 = 1296 + 225.21. a) da; b) ne; c) da; d) ne.22. a) ne; b) da; c) da; d) da.23. a) P = 24 cm2; b) P = 30 cm2.24. Ako je zbroj kvadrata dviju kraćih stranica manji od kvadrata treće stranice, trokut je tupokutan, ako je jednak kvadratu treće stranice, trokut je pravokutan, a ako je veći trokut je šiljastokutan.

3.3. Realni brojevi na pravcu

1. 2.

1

1

2√¯

1

1

11

22√¯

3.

4. a) b)

1 2√¯

√3̄

1

1

1 2√¯√3̄

√7̄

1

1

1

1

c) d)

8√¯

1

1

11

1

2

√6̄

1

e)

√¯ = 39

5. a)

2√¯1

1

b) Šestarom prenesemo dva puta duljinu 2

2√¯ 2√¯

c) Šestarom prenesemo pet puta duljinu 2

2√¯ 2√¯ 2√¯ 2√¯ 2√¯

d)

1

12–2√¯2√¯

2√¯

21.5√¯

e)

1

1

14– 2√¯

2√¯

2√¯

6. a) 3 2 12 2 2= −

1

23√¯

b)

1 1 1 1

117√¯

c)

51

24√¯ d)

1 1 1 1 1

1

129√¯

8√¯

1 2√¯√3̄

√¯ = 24

6√¯√7̄√¯ = 39

10√¯

11√¯

12√¯

13√¯

14√¯15√¯

16√¯17√¯ 18√¯ 19√¯

20√¯

5√¯

1

1

1

1

1

111

1

1

1

1

1

1

1

11 1

1

153

R j e š e n j a

e) 57 11 82 2 2= −

1

11

8

57√¯

7. a)

1√3̄ 39√¯

1

6

1

b)

1

1

2√¯

47√¯

49√¯ = 7

c)

1

1

7

54√¯

5√¯

d)

1

1

8

59√¯

5√¯

e)

1√3̄ 67√¯

1

8

1

8. a)

1√3̄

1

1

12√¯ = 2√3̄ b)

20√¯ = 2√5̄

1

1

5√¯

c)

1

1

2√¯

72√¯ = 6√2̄

d)

1

1

2√¯

18√¯ = 3√2̄

e)

1√3̄

1

1

75√¯ = 5√3̄

9. a) O = 4 3 cm

1√3̄

1

1

a = √3̄ b) O = 4 5 cm

a = √5̄

1

1

5√¯

c) O = 8 2 cm

1

1

2√¯

a = 2√2̄ d) O = 12 2

1

1

2√¯

a = 3√2̄

e) O = 4 31

1

1

6

31√¯

5√¯

a = 31√¯10. a) Duljina druge katete je također 4 cm; b) to je jednakokračan pravokutni trokut; c)

4 2√¯

4

4

11. a) Duljina druge stranice je 2 5 cm; b) O = 6 + 4 5 cm; c)

a = 2√5̄

3

1

1

5√¯

12. a)

1√3̄

1

1

r = √3̄

r = 3

b) Polumjer većeg kruga dulji je 3 ≈ 1.73 puta; c) dulji je za 3 3− ≈ 1.27 cm.13.

A ( )√3̄B (– )√3̄

D (– 27 )√¯ C ( 12 )√¯1√3̄

–1 0

1

1

154

R j e š e n j a

14.

15.

1√3̄

1

1

1√2̄

1

1√3̄

1

1

4

19√¯

0 1–1

2–2√¯

A ( )

B ( )4–

–3 3√¯

D ( )2–

–3 19√¯

C ( ) =( )3–27√¯

3√¯

16.

1

1

5√¯1√2̄

1

111√¯

1√2̄

1

1

1

√3̄1

B (– , 0.5)√3̄

D (–3 , )√2̄ √5̄

A ( , )√2̄ √2̄

–3√2̄

C ( 11, 0)√¯

11√¯√2̄–√3̄

5√¯

5

–2

2

4

6

17.

x 0 2 − 2 1 -1 2 2 − 3

x2 0 2 2 1 1 8 3

1√3̄

1

1

1 √2̄

1

10 5

1

2

4

3

6

8

10

–1 √2̄√¯– 2

√¯– 3

√¯2 2

3.4. Primjena Pitagorinog poučka na pravokutnik i kvadrat

1. a) d = 20; b) d = 2.5; c) d = 3 ; d) d = 47 .2. a) a = 15; b) b = 0.9; c) x = 1; d) a = 10 .3. a) d = 10 cm; b) d = 130 cm; c) d = 6 17 2 48. .≈ dm; d) d = 13 mm.4. a) a = 9 cm; b) a = 2 2 cm;

c) a = 3 17

5cm; d) a = cm.

5. Ne može, d ≈ 1.22 m.6. a) d = 5a; b) d = 13b .7. a) x = 6a; b) x = 2 30a .8. a = 3 3 cm, O = 14 3 cm, P = 36 cm2.9. d = 25 cm.10. Luka je prešao 29 m, a Matija 461 21 47≈ . m, dakle Luka je prešao dulji put za približno 7.53 m.11. d = 2 5

1

1

2√¯

a = 3√2̄

2√¯

12. d = 40 29 2 15≈ . m, ne može.13. d ≈ 223.89 cm, može samo po širini.14. Može.15. a) Dimenzije su 32.4 cm i 43.2 cm; b) P = 1399.68 cm2.16. a) Dimenzije su približno 30.5 cm i 17.1 cm; b) P = 521.55 cm2; c) najbliža udaljenost treba biti 105 cm.17. P = 2688 m2 = 26.88 ari.

18. d = 7 13

55 05≈ . cm, Pk ≈ 20.02 cm2,

Pp = 11.76 cm2,

2.8 cm

4.2 cm

a) veća je za 8.26 cm; b) veća je 1.7 puta; c) 58.74%.19. r = 6 cm, a)

4.1 cm

b) b ≈ 11.28 cm.20. Pretrčali su 810 + 270 5 ≈ 1413.74 m.21. a) d = 2 2 ; b) d = 2 ; c) d = 7 2 ; d) d = 2.5 2 .

22. a) a = 2; b) a = 5; c) a = 2 ; d) a = 11 2

2.

23. a) d = 3 2 cm; b) d = 2 cm; c) d = 0.6 2 cm; d) d = 4 cm.24. a) a = 15 cm; b) a = 1 cm; c) a = 12.5 cm;

d) a = 11 2

4cm; e) a ≈ 5.56 cm.

25. a) d = x 2 ; b) d = p 2 ; c) d = 2a 2 ; d) d = 2a.26. a) duljina stranice je a; b) duljina stranice je 2a; c) duljina stranice je a 2 ;

d) duljina stranice je 7 2

2a.

27. a = 5 cm, O = 20 cm, P = 25 cm2.28. a) a = 3 cm

a = 3 cm b) a = 4.5 cm

a = 4.5 cm

c) a = 4 2 cm

1

1

2√¯

a = 4√2̄

29. d = 20 2 cm.30. d = 10 2 m.31. a) r = 2 cm; b)

1

1 cm

2√¯

a = 2√2̄ cm

32.

a = 2.5 cm O1 = 10 cm, P1 = 6.25 cm2; d1 = 2.5 2 cm;

22

1

117√¯

1

1

5√¯1√2̄

1

111√¯

A ( )√5̄B (– 17 )√¯D (–3 20=(–6 5) C (3 11)11√¯10–1

155

R j e š e n j a

a = 2.5 cm

d = 2.5√2̄ cm

O2 = 10 2 cm, P2 = 12.5 cm2; d2=12.5 2 ; O1 : O2 = 1 : 2 ,P1 : P2=1 : 2, d1 : d2 = 1: 5.

33. a) P = π cm2; P = a2

4π cm2.

34. a)

1

1 cm

2√¯

a1 =√2̄ cm a2 = 2 cm

b) d1 = 2 cm, d2 = 2 2 cm; c) a1 : a2 = 2 : 2 ≈ 0.71; d) d1 : d2 = 1 : 2 ; e) P1 : P2 = 1 : 2.

3.5. Primjena Pitagorinog poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut

1. a) v = 3; b) v = 0.5; c) v = 3 123

2;

d) v = 31 .2. a) b = 10; b) b = 4 2 ; c) b ≈ 6.18;

d) b = 103

2.

3. a) a = 40; b) a = 8; c) a = 3 77 ;

d) a = 651 .4. v ≈ 3.93 m.5. b) v ≈ 7.31 m.6. a) v = 12 cm; b) v = 21 cm;

c) v = 2 10

5cm; d) v = 1 cm;

e) v = 21 cm.7. a) a = 10 cm; b) a = 8 cm; c) a = 8 15 cm; d) a = 4 2 cm; e) a = 2 10 .

8. a) b = 10 cm; b) b = 365

2cm;

c) b = 2 5 cm; d) b = 3 2 cm;

e) b = 66

2cm.

9. a) O = 16 cm, P = 12 cm2;

b) O = 19 cm, P = 3 133

2 cm2 .

10. a) P = 12 cm2; b) P = 10 cm2.11. O = 128 mm, P = 768 mm2.12. d ≈ 4 cm

r = 4.2 cmS

d

t = 2.5 cm

13. a) v = 6 3 cm; b) b = 3 57

2cm;

c) O = 9 + 3 57 cm;

d)

1√3̄

1

1

v = 6 cm√3̄

a = 9 cm

14. a) v = 2 3 cm; b) b = 5 3

2cm;

c) O = 8 3 cm, d)

1√3̄

1

1

v = 2 cm√3̄

a = 3 cm√3̄B C

A

15. vb = 4.8 cm.16. a) P = 18 cm2, O = 12 + 6 2 cm; b) P = 6.125 mm2, O = 7 +3.5 2 mm; c) P = 1 dm2, O = 2 + 2 2 dm.17. a) P = 8 cm2, O = 8 + 4 2 cm; b) P = 0.5 mm2, O = 2 + 2 mm; c) P = 9 dm2, O = 6 + 6 2 dm.18. a) a = 10 2 cm, b = 10 cm; b) O = 20 + 10 2 cm; c) P = 50 cm2.19. a) a = 18 cm, b = 9 2 cm; b) O = 18 + 18 2 cm; c) P = 81 cm2.

20. a) v = 3

2cm; b) v =

5 3

4cm;

c) v = 1.5 cm; d) v = 4.5 dm; e) v = 6 m.

21. a) a = 12 cm; b) a = 2 cm; c) a = 8 3

3cm;

d) a = 6 dm; e) a = 4 6

3m.

22. a) P = 3 cm2; b) P = 49 3

16cm2;

c) P = 3 3

4cm2; d) P =

27 3

4dm2;

e) P = 2 3 m2.23. a) P = 16 3 cm2; b) P = 25 3 cm2; c) P = 3 3 cm2; d) P = 9 3 dm2;

e) P = 8 3

3m2.

24. a) a = 10 cm, O = 30cm, v = 5 cm; b) a = 4 cm, O = 12 cm, v = 2 cm; c) a ≈ 3.04 cm, O ≈ 9.12 cm, v 2.63 cm; d) a = 2 3 dm, O = 6 3 dm, v = 3 dm; e) a ≈ 1.81 m, O ≈ 5.43 m, v 1.57 m.25. P = 6 3 cm2.

26. P = 200 3 cm2.27. a) P = 96 3 cm2; b) r = 4 3 cm, P = 48 π cm2.28. P = 24 3 dm2.29. a) m = 10, n = 5 3 ;

b) m = 10 3

3, n =

20 3

3.

30. a) m = 14, n = 7; b) m = n = 7; c) m = 5 3 .Matematički origami a) kateta = 10 cm, hipotenuza = 10 2 cm;

b) P = 50 cm2; c) Pc = 1

32P.

3.6. Primjena Pitagorinog poučka na romb i trapez

1. a) a = 2 181 mm; b) a = 85

4 cm.

2. O = 60 dm, P = 216 dm2.3. a ≈ 9.35 cm.4. Dijagonale su duge 1 dm i 3 dm.5. Dijagonale su duge 3.3 cm i 3.3 3 cm.6. Dubina jarka je 3 m.7. P = 7 cm2.8. b = 3 5 cm2.9. O = 10 + 73 m, P = 20 m2.10. O = 5 + 2 5 m, P = 5 m2.11. a) Treba približno 28.26 cm ograde; b) treba približno 17.26 cm ograde; c) treba približno 27.9 cm ograde; d) treba približno 26.89 cm ograde.12. O = 398 mm.13. O = 32 + 8 2 cm.14. O = 264 + 50 13 mm, P = 11220 mm2.15. P = 125 3 m2.

16. O = 31 7 2

5

+cm, P = 2.17 cm2.

17. O ≈ 242.26 mm, P ≈ 2848.68 mm2.

3.7. Ponavljanje

1. U svakom pravokutnom trokutu je površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka zbroju površina kvadrata nad katetama.2. Ako za duljine stranica a, b i c nekog trokuta vrijedi da je a2 + b2 = c2, tada je taj trokut pravokutni trokut s hipotenuzom c.3. Nismo iskoristili sve točke pravca, preostale su točke pridružene iracionalnim brojevima.4. d a= 2 .

5. va

=2

3 .

6. P = 3.8 .

Zadaci za ponavljanje

1. a) c2 = a2 + e2, d2 = a2 + b2; b) x2 = g2 + y2, z2 = h2 + y2; c) u2 = t2 + v2, r2 = t2 + p2.2. c = 40 cm.

3. k = 39 5

10.

4. a) x = 6; b) x ≈ 7.14; c) x = 2 6 ; d) x ≈ 10.31.5. Dosežu visinu približno 4.45 m.

6. a) v = 25 61

613 2≈ . cm.

7. a) 102 = 82 + 62 = 100; b) 7.52 = 4.52 + 62 = 56.25.

33

3061

61≈

156

R j e š e n j a

8.

8√¯

1 2√¯√3̄

√¯ = 24

6√¯√7̄√¯ = 39

10√¯

11√¯

12√¯

13√¯

14√¯

5√¯

1

1

1

1

1

111

1

1

1

1

1

9. a)

1 2√¯√3̄

1

1

b)

1

2

√6̄

√2̄

1 + 2 =√6̄2√2̄2

c)

2√¯1

1

3 2√¯10. a) a = 2 cm,

1

1 cm

2√¯

√2̄ cm

b) a = 2 2 cm,

1

1 cm

2√¯

√¯2 2 cm

c) a = 3 cm,

a = 3 cm11.

A ( )√2̄B (–3 )√3̄ C (– 12 )√¯

1√3̄

–1

–2–3–4–5

0

1

1

√2̄

12.

√3̄√2̄

1

0 2 cm 1–1

2–3√¯

A ( )4–3√¯

B ( – ) C ( = )3–27√¯

3√¯

3√¯– 3√¯

13.

1√2̄

1

1

1

√3̄1

B (– , 0)√2̄

C (2 , –2 )√2̄ √5̄

A ( , 2)√3̄

–2√2̄

2√2̄√3̄–√2̄ 5

–2

2

1

1

14. a) x = 26; b) x = 3 15

2; c) x = 23 .

15. Ne može, d ≈ 91.24 cm.16. Ne može, d ≈ 2.82 m.17. a) Stranice ekrana duge su 30.4 cm i 22.8 cm; b) P = 693.12 cm2.18. a) d = 4 2 cm; b) d = 1.5 2 cm; c) d = 2 mm.19. a) a = 6 cm; b) a = 1 cm; c) a =

9 2

2cm.

20. O = 16 2 cm, P = 32 cm2.

21. a) v = 119

2cm; b) v ≈ 6.99 cm.

22. a) a = 2 73 cm; b) a ≈ 9.5 mm.

23. a) b = 89 cm; b) b = 3 33

2 mm.

24. O = 128 mm, P = 768 mm2.25. O = 12 + 6 2 m, P = 18 m2.

26. a) v = 5 3 cm; b) v = 25 3

2cm;

c) v = 4.5 cm.27. a = 12 cm.

28. a) P = 3 cm2; b) P = 3 3

4 cm2.

29. a = 8 cm, v = 4 3 cm , O = 24 cm.30. a) a = 13 mm; b) P = 120 mm2; c) v ≈ 9.23 mm.31. O = 100 dm, P = 600 dm2.32. Dubina je 1.6 m.33. O = 276 mm.


1. v2 = x2 + z2, t2 = z2 + y2.2. a) x = 10; b) x ≈ 11.45.3. Pravokutan je trokut a).4. 7 3 2

2 2 2= +

12√¯√3̄

√7̄ cm

1cm

2

1

5.

√3̄√2̄

1 cm

0 1–1

A ( )2√¯

3√¯

C ( 2 = 4 )12√¯ 3√¯

– 3√¯3–3√¯

B ( – )

6. v ≈ 3.93 m.

7. a) d = 3 2 ; b) a = 3 cm; c) a = 3 2

2cm.

8. v = 3 3 cm, P = 9 3 cm2.9. Može.10. a) Dimenzije stranica su 57.6 i 43.2 cm; b) P = 2488.32 cm2.

157

B baza potencije, 45

beskonačan

neperiodički decimalni broj, 72

beskonačan periodički decimalni broj, 71

D dijagonala kvadrata, 108, 112

djelomično korjenovanje, 78

drugi korijen, 60

E, F Egipatski trokut, 93

eksponent potencije, 45

funkcija korjenovanja, 68

H, I hipotenuza, 91

Indijski trokut, 93

iracionalni broj, 72, 100

K, M katete, 91

konačan decimalni broj, 71

korjenovanje, 58, 59

kvadrat broja, 18, 19

kvadrat količnika, 39

kvadrat razlike, 41

kvadrat umnoška, 39

kvadrat zbroja, 40

kvadratna funkcija, 25

kvadratna jednadžba, 84

kvadratni korijen, 58, 59

kvadratura kruga, 104

kvadriranje, 18, 19

matematički izraz, 30

O, P obrat Pitagorina poučka, 98

parabola, 27

Pitagora, 95

Pitagorin poučak, 95, 96

Pitagorin teorem, 95, 96

potencija, 44

potencije broja 10, 50

površina jednakostraničnoga trokuta, 114

površina kruga, 23

površina kvadrata, 23

pravokutni trokut, 91

približno računaje korijena, 64

R racionalizacija nazivnika, 81

razlika kvadrata, 43

realan broj, 70, 103

S skup R na pravcu, 103

skup racionalnih brojeva, 70, 100

skup realnih brojeva R, 73, 100

spirala drugog korijena, 101

V, Z visina jednakostraničnoga trokuta, 113

znanstveni zapis, 50

K a z a l o p o j m o v a

razred 8 - petica+ i svezak

Documents