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RCG0148- AULA4

03 e 5 de Marco de 2020

Bioestatıstica - RCG0148 03 e 5 de Marco de 2020 1 / 41

REVISAO-AULA3

Sumario

1 REVISAO-AULA3


REVISAO-AULA3

Distribuicao de Probabilidades

PESSOAS SELECIONADAS ALEATORIAMENTE NUM ESTUDO

VARIÁVEL ALEATÓRIA

DISCRETA CONTÍNUA

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS ~


REVISAO-AULA3

Bernoulli

Variável aleatória de Bernoulli (ou com distribuição de Bernouli) de parâmetro p – representa-se X ~ Ber(p)

X = nº de sucessos numa prova de Bernoulli, em que P(sucesso) = p (0 < p <1)

! " = 0 = 1 − '! " = 1 = ' ! " = ( = ')(1 − '), -), ( = 0, 1

/ " = 0 . 1 − ' + 1 . ' = '

/ "2 = 0² . 1 − ' + 1² . ' = '

4 " = / "2 − /2 " = ' − '2 = '(1 − ')

Esperançae

Variância


REVISAO-AULA3

Binomial

Variável aleatória binomial (ou com distribuição binomial) de parâmetros n e p – representa-se X ~

Bin(n,p)

X = nº de sucessos em n provas de Bernoulli independentes e com P(sucesso) = p em cada uma (X

= 0, 1, 2, ..., n)


REVISAO-AULA3

Poisson

Se o número médio de ocorrências no intervalo total for λ > 0 e

se X – número de ocorrências no intervalo total, então X tem

distribuição de Poisson com parâmetro λ.

Ex: nº de acidentes por semana

num cruzamento ou numa

secção de estrada (excetuando-

se acidentes em cadeia).

Ex: nº de clientes que chegam a uma

loja ou a um serviço em determinado

intervalo de tempo (excetuando-se

chegadas em grupo).


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NormalA distribuicao normal tambem e chamada distribuicao gaussiana,distribuicao de Gauss ou distribuicao de Laplace–Gauss, em referencia aosmatematicos, fısicos e astronomos frances Pierre–Simon Laplace (1749 –1827) e alemao Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).

** https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribuicao-normalBioestatıstica - RCG0148 03 e 5 de Marco de 2020 7 / 41

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Normal PADRONIZADAA distribuicao normal com media 0 e desvio padrao 1 e chamada dedistribuicao normal padrao.

Z = X − µσ

Z


REVISAO-AULA3

Normal PADRONIZADA acumulativa

A distribuicao normal com media 0 e desvio padrao 1 e chamada dedistribuicao normal padrao.

Z

Z

Φ(x) = P (X ≤ x)


REVISAO-AULA3

Tabela da Normal Padrao


REVISAO-AULA3

Atividade para Memorizar

● Sabe-se que o tempo gasto no exame de um paciente tem distribuicaoaproximadamente Normal, com media 30 min e desvio padrao de 5min.

1 Sorteando-se um medico residente ao acaso, qual e a probabilidade deleterminar o exame antes de 24 minutos?

2 Qual deve ser o tempo de exame, de modo a permitir que 95% dosresidentes terminem no prazo estipulado?

3 Qual e o intervalo de tempo, simetrico em torno da media tal que 80%dos residentes gastam para completar o exame?


REVISAO-AULA3

Solucao

1 P (X < 24min) = P (Z < −1,2) = 11,5%

2 Z = X−µσ e X = µ +Z × σ =>X = 30 + 1,64.5 = 38,2min

3 P (a <X < b) = 80% so uma cauda P (X < b) = 90%O Z correspondente e: P (Z < 1,28) = 90% assima = 30 − 1,28.5 = 23,6 e b = 30 + 1,28.5 = 36,4


REVISAO-AULA3

Atividade para Memorizar

1 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 100 e desviopadrao 10. Qual P (95 <X < 105)?

2 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 10 e desviopadrao 1. Qual P (X > 7)?


REVISAO-AULA3

Solucao

1 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 100 e desviopadrao 10. Qual P (95 <X < 105)?Basta transformar para Z P (−0,5 < z < 0,5) = 38,3%

2 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 10 e desviopadrao 1. Qual P (X > 7)?Basta transformar para Z, P (Z > −3) = 0.9986%?


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Amostragem

TECNICAS DE AMOSTRAGEM E SEUS USOS

● I) Aleatoria simples Populacoes ricamente homogeneas.

● II) Sistematica Populacoes ordenadas.

● III) Estratificada Populacoes heterogeneas.

● IV) Conglomerado Subgrupos de populacoes.

● V) Nao-probabilıstica Amostragem acidental, intencional ou porquotas.


REVISAO-AULA3

Aleatoria simples

AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES

População finita (n:N) ou população infinita (n:∞).

SORTEIOCOMPUTADOR COM REPOSIÇÃO SEM REPOSIÇÃO

Dados gerados num sistema de

referência.

Dados coletados numa tabela de

números aleatórios.

Um elemento pode ser retirado mais de uma vez.

Cada elemento só pode ser retirado

uma vez.

NnCn

N


REVISAO-AULA3

Aleatoria simples


REVISAO-AULA3

Sistematica

AMOSTRA SISTEMÁTICA

Lista de N elementos da população (p.ex., registros das

internações ou consultas ambulatorio).

Amostra de tamanho n.

Unidade amostral inicial selecionada das primeiras k unidades da lista (k = N/n).

Ex.: seleciona-se, aleatoriamente, a 4ª pessoa da lista; a amostra segue, então, com os elementos

4+k, 4+2k...


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Estratificada

AMOSTRA ESTRATIFICADA

População heterogênea

Estratos mais ou menos homogêneos

Amostragem simples ao acaso


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Por Conglomerado

AMOSTRA POR CONGLOMERADOS

POPULAÇÃO

CONGLOMERADO(ex.: quarteirões, famílias, edifícios,

escolas)

Amostra aleatória simples

Contagem completa dentro do

conglomerado


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Nao Probabilistica

AMOSTRAGEM NÃO-PROBABILÍSTICA(Não-inferência – não se conhece a probabilidade de um indivíduo ser incluído na

amostra)

AMOSTRAGEM ACIDENTAL

AMOSTRAGEM INTENCIONAL

AMOSTRAGEM POR QUOTAS

Coletam-se elementos até se atingir o

número desejado (ex.: pesquisas de opinião).

Os elementos são coletados dentro do grupo de interesse

(ex.: sala de espera da clínica X).

A amostra recebe quotas proporcionais ao total da população

(ex.: pesquisas de mercado).


REVISAO-AULA3

Distribuicao Amostral

● Para fazermos inferencia a populacao, tendo como base a amostraaleatoria representativa e retirada dessa populacao, vamos estudar oque ocorre com o processo.

● Vamos escolher o tipo de inferencia que vamos utilizar. Vamos falarde um valor? De um intervalo? Vamos colocar a prova um valor?

● Isto chamamos de estimacao● estimacao pontual do valor de um parametro da distribuicao,● estimacao de um intervalo de valores provaveis para o parametro, ou● teste de hipoteses estatısticas, por meio da rejeicao ou nao rejeicao de

uma afirmacao, que define um conjunto de valores provaveis para oparametro.


REVISAO-AULA3

Comecamos a falar de inferencia

Nosso objetivo e verificar a qualidade de uma estimativa, uma vez que naoe possıvel dizer-se se a estimativa esta perto ou nao do verdadeiro valor deθ (desconhecido), parametro. Mas antes vamos definir e estimativa!!Um parametro e um valor, um numero que representa uma caracterısticaunica da populacao. Se X uma variavel de uma populacao, os principaisparametros seriam:

● A media de X, anotada por µ

● A variancia de X, anotada por σ2

● O desvio padrao de X, anotado por σ

● A proporcao de elementos de P que apresentam determinadacaracterıstica, anotada por: ρ , entre outros.

A ESTIMATIVA E O VALOR(UM NUMERO) OBTIDO PELA AMOSTRAE ATRIBUIDO AO PARAMETRO.


REVISAO-AULA3

Propriedades legais para o estimador (T)

● A diferenca de T para θ deve ser pequena !

EQM = E[(T − θ)2] = var[T ] + (E[T ])2

● Um estimador cuja tendencia seja nula, chama-se nao tendencioso(ou nao enviesado)!

● Tem que ser mais eficiente. Se um estimador T tem uma EQM menordo que o EQM de outro estimador T*, quando estima o parametro, θ,a partir de uma amostra, dizemos que T faz e mais eficiente!

● Se pensarmos que quanto maior for a amostra, melhor sera ainferencia, entao um bom estimador Tn (baseado numa amostra detamanho n) deve satisfazer a propriedade de que, EQM diminui etende para zero a medida que se aumenta o numero de observacoes.


REVISAO-AULA3

Entendendo

µT

estimativa

estimativa

Varibilidade alta, não viciado


REVISAO-AULA3

Entendendo

µT

estimativaestimativa

Varibilidade baixa, viciado


REVISAO-AULA3

Entendendo

µTestimativa

estimativa

Varibilidade baixa, não viciado


REVISAO-AULA3

Entendendo

MÉDIA E VARIÂNCIA: POPULAÇÃO vs AMOSTRA

Xµ2Xs

população

", $%Número de irmãos


REVISAO-AULA3

Entendendo


24

Xµ2Xs

população

", $%

", $%

", $%

", $%

Número de irmãos

Média e Variância do n. de irmãosPopulação de amostras


REVISAO-AULA3

Entendendo


25

Xµ 2

Xs

2Sµ 22ss

Xµ2Xs

média

variância

população

população

população

", $%

", $%

", $%

", $%

Número de irmãos

Média e Variância do n. de irmãosPopulação de amostras


REVISAO-AULA3

Estimador Media

Para estimar a media da populacao, usando os elementos de uma amostraaleatoria, podemos utilizar a media da amostra, . Meu parametro agora ea media µ e o estimador e :

µX = E[X] = µ

σ2X= V ar[X] = σ

2

n


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Teorema do Limite Central

Seja X uma v.a. que tem media µ e variancia σ2. Para uma amostraX1,X2, ...Xn, retirada ao acaso e com reposicao de X, a distribuicao deprobabilidade da media amostral X aproxima-se, para n grande, de umadistribuicao normal, com media µ e variancia σ2

n , isto e ,

X ∼ N (µ, σ2

n ).

● Se a distribuicao de X e normal, entao e normal exata, para todo n.

● O desvio padrao da media amostral e√

σ2

n = σ√n

.

● σ√n

, e chamado de ERRO PADRAO.


REVISAO-AULA3

Estimador Variancia

Para estimar a variancia da populacao, usando os elementos de umaamostra aleatoria, podemos utilizar a variancia da amostra, S2.

S2 = ∑ni=1(Xi − X)2n − 1

Meu parametro agora e a variancia σ2 e o estimador e S2 :

E[S2] = σ2

V ar[S2] = 2 × σ4n − 1


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Estimador Proporcao

Para estimar a proporcao da populacao, usando os elementos de umaamostra aleatoria, podemos utilizar a proporcao da amostra (frequencia dedeterminado elemento), X.

p = Xn

Meu parametro agora e a proporcao ρ e o estimador e p :

E[p] = ρ

V ar[p] = ρ(1 − ρ)n

DP [p] =√

ρ(1 − ρ)n


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COMPARE COM O EXERCICIO QUE FIZEMOS

1 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 100 e desviopadrao 10. Qual P (95 < X < 105)?

2 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 10 e desviopadrao 1. Qual P (X > 7)?


REVISAO-AULA3

Anterior

1 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 100 e desviopadrao 10. Qual P (95 <X < 105)?Basta transformar para Z P (−0,5 < z < 0,5) = 38,3%

2 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 10 e desviopadrao 1. Qual P (X > 7)?Basta transformar para Z, P (Z > −3) = 0.9986%?


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Solucao

1 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 100 e desviopadrao 10. Qual P (95 < X < 105)?

Neste caso vamos utilizar X ∼ N (µ, σ2

n ).Portanto Z = X−µ

σ√n

Veja quem sem saber o tamanho da amostra nao podemosresolver o problema, pois a ideia e estimar dois valores para amedia agora!!!!

2 Uma populacao X tem uma distribuicao normal de media 10 edesvio padrao 1. Qual P (X > 7)?Veja quem sem saber o tamanho da amostra nao podemosresolver o problema, pois a ideia e estimar dois valores para amedia agora!!!!


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Aplicacao do Teorema Central do Limite

● Tem-se a distribuicao dos nıveis sericos de colesterol de todos oshomens de 20 a 74 anos (EUA), µ = 211 mg/100 mL e = 46mg/100 mL. Selecionando amostras repetidas de tamanho 25 dapopulacao, que proporcao de amostras tera um valor medio de 230mg/100 mL ou acima?

● Pelo TCL, a distribuicao de medias de amostras de tamanho 25 eaproximadamente normal com media µ = 211 e desvio-padraoσ√n= 9,2mg/100mL. Como Z = X−µ

σ√n

variavel aleatoria normal

padrao, z = (230 − 211)/9,2 = 2,07.

● Acima desse valor, encontra-se 0,019 da area sob a curva normalpadrao, logo 1,9% das amostras tera um valor medio acima de ouigual a 230 mg/100 mL.


REVISAO-AULA3

Aplicacao do Teorema Central do Limite

E possıvel obter, os limites superior e inferior que incluem 95% dasmedias das amostras de tamanho 25 extraıdas da populacao, econforme o tamanho das amostras aumenta, a quantidade devariabilidade entre as medias diminui; consequentemente, os limitesque englobam 95% dessas medias se aproximam.P (a < X < b) = 95%


REVISAO-AULA3

Referencias

●●● BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P. Estatıstica basica. 4 ed. Sao Paulo,Atual, 1987.

● MEDRONHO R; CARVALHO DM; BlOCH KV; LUIZ RR;WERNECK GL. Epidemiologia.Atheneu, 2 ed. Sao Paulo, 2008

● PAGANO, M. e GAUVREAU, K. Princıpios de Bioestatıstica -Traducao da 2ª Edicao Norte Americana, Pioneira ThonpsonLearning, Sao Paulo, SP,2004.

● ROSNER, B.Fundamentos de bioestatistica. 8ª Edicao NorteAmericana, Cengage Learning, 2016.

● SOARES , J. F. e SIQUEIRA, A. L. Introducao a Estatıstica Medica.UFMG, Belo Horizonte,1999.


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