Reaalianalyysin kehittyminen

Pro Gradu

Miika Polso

Matemaattisten tieteiden laitos

Oulun yliopisto

14. toukokuuta 2009

Sisällysluettelo

1 Johdanto 3

2 Varhaisen ajan analyysi 4

2.1 Eudoksos Knidoslainen ja ekshaustiomenetelmä . . . . . . . . 5

2.2 Arkhimedes Syrakusalainen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Kehityksen taantuminen 12

4 Analyysin uusi nousu 1600-luvulla 13

4.1 Bonaventura Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Pierre de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Gottfried Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Valistusajan matematiikka 28

1

5.1 Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Analyysistä tulee täsmällistä 1800-luvulla 33

6.1 Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.2 Fourier-sarja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.3 Augustin-Louis Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.4 Bernhard Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.5 Riemannin integraali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.6 Karl Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7 Moderni reaalianalyysi 48

7.1 Mitta- ja integraaliteoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2

Luku 1

Johdanto

Reaalianalyysin tutkimuskohteita ovat esimerkiksi reaaliarvoisten funktioi-den derivaatat ja integraalit, raja-arvo, potenssisarjat ja mittateoria. Tässämatematiikan historiaa tutkivassa työssä käydään läpi keskeisiä ajanjaksoja,henkilöitä ja heidän saavutuksiaan, jotka liittyvät reaalianalyysin kehittymi-seen kohti nykyistä formaalia muotoa.

Useassa kohtaa tutkielmassa on historiallista aineistoa lähestytty moderneinmerkinnöin. Ei ole syitä palata aiemmin käytössä olleisiin merkintätapoihin,ja onkin tehokkaampaa esittää asiasisältö paremmin ymmärretyssä kieliasus-sa.

Yleisesti ottaen taustatietojen ja yleisen juonen seuraamista on tutkittu läh-teestä [1], ja tarkennuksia tehty tarvittaessa lähteestä [2]. Lauseiden todis-tuksissa on hyödynnetty molempien lähteiden [1] ja [2] tietoja, joskin nyt en-sisijainen lähde on yleisesti ollut lähde [2]. Muut viittaukset löytyvät tekstinlomasta.

3

Luku 2

Varhaisen ajan analyysi

Taustatilanne

Kreikkalainen matematiikka syntyi joonialaisen ja pythagoralaisen koulukun-tien ympärille. Näiden koulukuntien tärkeimmät edustajat, Thales ja Pytha-goras vaikuttivat kuudennella vuosisadalla ennen ajanlaskumme alkua. His-toriallisesti he ovat kiistanalaisia henkilöitä, legendoihin kiedottuja salape-räisiä hahmoja. Thales oli käytännön mies, mutta Pythagoras oli mystikonmaineessa. Pythagoralaisten pidetäänkin käynnistäneen uudenlaiseen mate-matiikkaan painottavan kulttuurin. Heille matematiikka liittyi läheisemminviisauden rakkauteen kuin käytännön elämän tarpeisiin. Tämä asenne on jat-kunut muodossa tai toisessa aina nykyaikaamme asti.

Vuonna 427 eKr syntyi filosofi Platon. Matemaattisia lähteitä ja asiakirjoja eiole juuri säilynyt Platonia edeltävältä ajalta, ei siis Pythagoraankaan ajalta.Asiakirjojen sijaan pythagoralaisten ansiot ovat välittyneet perimätietona.

Platon oli Sokrateen kuuluisin oppilas ja Aristoteleen opettaja. Vaikka So-krateen vaikutus matematiikan kehittymiseen oli olematon, Platonista tuli

4

300-luvun eKr matematiikan innoittaja. Platon ei itse yltänyt suuriin ma-temaattisiin tuloksiin, mutta hänen työnsä merkitys tuli Ateenaan perusta-mansa akatemian kautta.

2.1 Eudoksos Knidoslainen ja ekshaustiomene-

telmä

Akatemian suurin matemaatikko Eudoksos Knidoslainen todisti lemman, jo-ka tunnetaan nykyään myös jatkuvuusaksiooman nimellä, ja joka on kreik-kalaisten integraalilaskennan vastineen, ekshaustiomenetelmän perusta.

Määritelmä 2.1. (Jatkuvuusaksiooma).Kun kahdella annetulla suureella on suhde (eli molemmat ovat nollasta eriä-viä), toisella on monikerta, joka on toista suurempi.

Määritelmä 2.2. (Ekshaustio-ominaisuus).Jos annetusta suureesta vähennetään vähintään sen puolikas ja jäljelle jää-neestä osasta vähennetään taas vähintään sen puolikas ja jos tätä vähennys-prosessia jatketaan, päädytään lopulta suureeseen, joka on pienempi kuinmikä tahansa annettu samankaltainen suure.

Modernisti määritelmä 2.2 voidaan esittää määritelmän 2.3 muodossa.

Määritelmä 2.3. Olkoon M annettu suure, ε samanlainen ennalta määrät-ty luku ja suhteelle r on voimassa 1

2≤ r ≤ 1. Tällöin on olemassa sellainen

positiivinen kokonaisluku N, että M(1 − r)n < ε kaikille positiivisille koko-naisluvuille n > N . Siis

limn→∞

M(1− r)n = 0 .

Kreikkalaiset käyttivät tätä ominaisuutta käyräviivaisten kuvioiden aloja jatilavuuksia koskevien teoreemojen todistamiseen. Vaikka Eudoksoksen kaikki

5

työt ovat hävinneet aikojen saatossa, on olemassa viitteitä siitä, että juurihän kehitti ekshaustiomenetelmän. Sen ansiosta Eudoksosta voidaan pitääintegraalilaskennan käynnistäjänä.

Lause 2.4. Ympyröiden alat suhtautuvat toisiinsa kuin niiden halkaisijoidenneliöt.

Todistus. Olkoot ympyrät c ja C, niiden halkaisijat d ja D ja alat a ja A. Onsiis todistettava, että a

A= d2

D2 . Käytetään epäsuoraa todistusta ja osoitetaan,että vaihtoehdot a

A< d2

D2 ja aA

> d2

D2 eivät ole tosia.

Oletetaan aluksi, että aA

> d2

D2 . On olemassa sellainen luku a′ < a, ettäa′A

= d2

D2 . Olkoon a−a′ ennalta annettu luku ε > 0. Ympyröiden c ja C sisäänpiirretään säännölliset monikulmiot, joiden aloista käytetään merkintöjä pn

ja Pn, ja joiden sivujen lukumäärä n on yhtä suuri. Tutkitaan monikulmioidenja ympyröiden väliin jääviä aloja (kuva 2.1).

Kuva 2.1: Ympyrän sisällä olevat monikulmiot

Jos sivujen lukumäärä kaksinkertaistetaan, on ilmeistä, että näistä näistäkuvioiden väliin jäävistä aloista on vähennettävä yli puolet. Tästä seuraaekshaustio-ominaisuuden mukaan, että kuvioiden väliin jääviä aloja voidaanpienentää toistuvilla monikulmioiden sivujen lukumäärän kaksinkertaistuk-silla (eli antamalla luvun n kasvaa) kunnes a − pn < ε. Koska a − a′ = ε,saadaan pn > a′. Eudoksos tunsi tuloksen pn

Pn= d2

D2 , joten oletuksestamme

6

a′A

= d2

D2 saadaan, että pn

Pn= a′

A. Koska olemme osoittaneet, että pn > a′, niin

täytyy olla Pn > A. Monikulmio Pn on kuitenkin ympyrän sisällä, joten edel-linen päätelmä ei voi päteä. Ristiriidasta seuraa, että mahdollisuus a

A> d2

D2 eiole tosi. Vastaavalla tavalla nähdään, että mahdollisuus a

A< d2

D2 ei myöskäänvoi olla tosi. Ainoaksi mahdollisuudeksi jää siis a

A= d2

D2 .

Huomautus. Lauseen 2.4 väite voidaan esittää myös muodossa

4a

d2=

4A

D2. (2.1)

Kaavassa (2.1) yhtälön molemmat puolet antavat lukuarvoksi luvun π, janykyään tiedämme ympyröitä koskevan tuloksen A = πr2 = π(d

2)2 = 1

4πd2.

Kreikkalaiset eivät kuitenkaan kyenneet tekemään tätä päätelmää, koska heil-le yhtälö (2.1) oli alojen suhde eikä numeerinen yhtälö. Siksi luku π ei esiinnytässä yhteydessä kreikkalaisessa matematiikassa.

2.2 Arkhimedes Syrakusalainen

Vaikka Aleksandria oli hellenistisen kauden matemaattisen toiminnan keskus,Arkhimedes ei asunut siellä vaan Syrakusassa. Syrakusan joutuessa Roomanja Karthagon valtataistelun kohteeksi ja vuosina 214-212 eKr Rooman pii-rittämäksi, Arkhimedeen kerrotaan keksineen jatkuvasti nerokkaita laitteitavihollisen kukistamiseksi: katapultteja, väkipyöriä ja koukkuja roomalaistenlaivojen merestä kohottamiseksi ja murskaamiseksi. Tämä kertoo Arkhime-deen luovasta ja soveltavasta toiminnasta, ja häntä pidetäänkin matemaat-tisen fysiikan perustajana. Arkhimedes ei kuitenkaan arvostanut mekaanisialaitteita yhtä paljoa kuin ajattelunsa tuotteita. Hän oli kiinnostuneempi ylei-sistä periaatteista kuin käytännön sovelluksista.

Arkhimedeen kuuluisiin töihin kuuluu lukuisia geometrisiä tuloksia, vipulaki

7

ja lause hydrostaattisesta nosteperiaatteesta. Jälkimmäisen keksiessään hä-nen kerrotaan huudahtaneen ”Heureka” (olen keksinyt sen) ja juosseen kyl-vystä kotiinsa.

Seuraavassa käsitellään kuitenkin niitä tuloksia, jotka selkeästi johtavat dif-ferentiaali- ja integraalilaskennan piiriin.

Määritelmä 2.5 (Arkhimedeen spiraali, käyrän tangentin määrääminen).Arkhimedeen spiraali on sellaisen tasopisteen ura, joka lähtee tasaisella no-peudella liikkeelle puolisuoran päätepisteestä, kun puolisuora pyörii pääte-pisteensä ympäri tasaisella kulmanopeudella. Liikkuvan pisteen napakoor-dinaatit ajan hetkellä t ovat r = vt ja θ = ωt, joten spiraalin yhtälö onnapakoordinaatistossa r = aθ, missä a = v

ω.

Kuva 2.2: Arkhimedeen spiraali

Ajattelemalla että spiraalilla r = aθ oleva piste on kahdessa samanaikaisessaliikkeessä, koordinaatiston origosta loittonevassa tasaisessa suoraviivaisessaliikkeessä ja tasaisessa origoa kiertävässä ympyräliikkeessä, Arkhimedes näyt-tää löytäneen liikkeen suunnan (joka on käyrän tangentti) siten, että hän piir-si liikkeen komponenttien resultantin. Tässä ensimmäistä kertaa määritettiinkäyrälle tangentti.

Määritelmä 2.6. Termi konoidi tarkoittaa paraabelin pyörähdyskappalees-ta, paraboloidista, leikattua segmenttiä.

Lauseessa 2.7 esitetään Arkhimedeen todistus, joka on menetelmältään erit-täin lähellä nykyistä integraalilaskentaa.

8

Lause 2.7. Konoidin ympärille asetettu lieriö on tilavuudeltaan kaksi kertaaniin suuri kuin konoidin tilavuus.

Todistus. Olkoon ABC paraboloidin segmentti ja CD sen akseli (poikki-leikkaus segmentistä on esitetty kuvassa 2.3). Kappaleen ympäri piirretäänympyräpohjainen lieriö (johon kuuluu poikkileikkauskuvan pisteet A, B, F

ja E), jonka akseli on myös CD. Akseli jaetaan yhtäsuuriin osiin siten, et-tä osien lukumäärä on n ja pituus h. Jakopisteiden kautta piirretään kannansuuntaiset tasot. Tasojen paraboloidista leikkaamien ympyräpohjaisten osiensisään ja ympäri piirretään kuvassa näytetyllä tavalla lieriöt. Sisään mahtuulieriöitä (n − 1) kappaletta ja ympärillä olevien lieriöiden lukumäärä on n.Olkoot lieriöiden pohjan säteet r1, r2, r3, . . . , rn, missä rn = R.

Kuva 2.3: Poikkileikkaus segmentistä

Verrataan sisään ja ympäri piirrettyjen kappaleiden tilavuuksia (joista käy-tetään merkintöjä V (S) ja V (Y )) ison lieriön ABFE tilavuuteen (josta käy-tetään merkintää V (L)).

V (S)

V (L)=

hπr21 + hπr2

2 + hπr23 + . . . + hπr2

n−1

nhπR2=

∑n−1i=1 r2

i

nR2. (2.2)

Paraabelin yhtälöstä seuraa, että r2i

R2 = ihnh

= in. Siksi yhtälö (2.2) saadaan

aritmeettista summaa hyväksi käyttäen muotoon∑n−1

i=1 r2i

nR2=

1 + 2 + 3 + . . . + (n− 1)

n2=

(n− 1)1+(n−1)2

n2=

n(n−1)2

n2=

1

2− 1

2n2<

1

2.

9

Vastaavasti voidaan arvioida ympäri piirretyn kappaleen tilavuutta lieriöntilavuuteen:

V (Y )

V (L)=

hπ∑n

i=1 r2i

nhπR2=

1 + 2 + 3 + . . . + n

n2>

1

2,

sillä1

2<

1

2+

1

2n=

n2

2+ n

2

n2=

n2(n + 1)

n2=

1 + 2 + 3 + . . . + n

n2.

Ulko- ja sisäpuolelle piirrettyjen kappaleiden tilavuuksien erotus on yhtä suu-ri kuin kuvion ympäri piirretyn sylinterin alimman viipaleen tilavuus:

πh

n∑i=1

r2i − πh

n−1∑i=1

r2i = πhr2

n = πhR2 .

Tästä syystä voidaan päätellä, että jakotiheyttä n kasvatettaessa, eli viipalei-den ohentuessa, ympäri ja sisään piirrettyjen kappaleiden tilavuuksien erotussaadaan annettua lukua pienemmäksi. Tällöin epäyhtälöt

V (S)V (L)

< 12

V (Y )V (L)

> 12

todistavat väitteen.

Huomautus. Lauseen 2.7 todistuksessa esitetty menetelmä eroaa modernistaintegroinnista siinä, että se ei käytä raja-arvon käsitettä. Antiikin matemaa-tikot olivat hyvin lähellä sitä, mutta kukaan heistä ei määritellyt raja-arvoa.

Raja-arvon määritelmän puuttumisen lisäksi puuttuivat myös yleiset lasken-nalliset algoritmit, joilla olisi voitu laskea pinta-aloja ja tilavuuksia. Arkhime-des aloitti uudet laskut yleensä kokonaan alusta käyttämättä aikaisemmistaja vastaavista ongelmista saatuja ratkaisuja hyväkseen.

10

Varhaisen kreikkalaisen analyysin puutteisiin voidaan lukea myös tangetti-suorien ajatteleminen pelkästään käyrää koskettavana suorana. Tämä oli riit-tämätön näkemys todistamaan muutosnopeus-esityksiä.

Arkhimedeen työt antoivat sysäyksen vasta 1600-luvulla kehittyneelle diffe-rentiaali- ja integraalilaskennalle. Hänen edistymisensä matemaattisten työ-kalujen hyödyntämisessä teki hänestä suuren maamerkin matematiikan his-toriaan.

11

Luku 3

Kehityksen taantuminen

Kreikkalaisen matematiikan kulta-ajan päättymisen jälkeen reaalianalyysinkehittymisessä tulee huomattavan pitkä tauko. Suuret teoriat tulevat esiinseuraavaksi lähinnä keskiajan loppuvaihella. Keskiajalla matematiikassa lois-taneet kirjoittivat arabiaksi ja elivät islamilaisessa Afrikassa ja Aasiassa, kuntaas uuden ajan johtavat matemaatikot kirjoittivat latinaksi ja asuivat kris-tillisessä Euroopassa. Voidaan tarkentaa, että viisi suurta kulttuuria keskia-jalla olivat Kiina, Intia, Arabia, Itäinen valtakunta eli Bysantti ja Läntinenvaltakunta eli Rooma. Useimmat kiinnostuksen kohteet liittyivät tuolloin al-gebraan ja lukuteoriaan.

Modernimman matematiikan alkusoittoa oli, kun käytännön miehet SimonStevinius, Johannes Kepler ja Galileo Galilei tarvitsivat Arkhimedeen me-netelmiä 1500 ja 1600-lukujen taitteessa. He kuitenkin halusivat kiertää eks-haustiomenetelmän loogiset hienoudet, josta seurasi antiikin infinitesimaa-listen menetelmien muuntautuminen differentiaali- ja integraalilaskentaan.Sata vuotta ennen Newtonin ja Leibnizin julkaisuja ilmestynyt StevinuksenStatiikka vuodelta 1586 todistaa, että kolmion painopiste on sen mediaanilla.

12

Luku 4

Analyysin uusi nousu 1600-luvulla

4.1 Bonaventura Cavalieri

Galilein oppilaasta Cavalieristä tuli Bolognan yliopiston matematiikan pro-fessori vuonna 1629. Hän tutki ajalleen tyypillisesti geometriaa, trigonomet-riaa, tähtitiedettä ja optiikkaa.

Cavalieri keskittyi geometrian teemaan, joka vastaa nykyisin differentiaali-ja integraalilaskennan lausetta

∫ a

0

xndx =an+1

n + 1.

Lauseen ilmaiseminen poikkeaa kuitenkin olennaisesti nykyisestä muodos-taan. Cavalieri vertasi suunnikkaan kanssa samansuuntaisten janojen pituuk-sien potensseja vastaaviin janojen pituuksien potensseihin jommassa kum-massa kolmiossa, jotka suunnikkaan lävistäjä muodostaa. Jakakoon lävistäjäCF suunnikkaan AFDC kahdeksi kolmioksi ja jakakoon jana HE kolmionCDF siten, että se on samansuuntainen kuin kanta CD (Kuva 4.1).

13

Kuva 4.1: Cavalierin suunnikas

Asetetaan piste B janalle AC siten, että janat BC ja FE ovat yhtä pitkiä.Piirtämällä jana BM samansuuntaiseksi kuin jana CD, voidaan todistaa, et-tä jana BM on yhtä pitkä kuin jana HE. Niinpä kolmioon CDF piirretytjanat, jotka ovat kannan CD suuntaisia, voidaan asettaa pareittain yhtey-teen kolmion ACF vastaavien janojen kanssa. Tästä seuraa, että kolmiotovat yhtä suuret. Koska suunnikas on kahden kolmion kannan suuntaistenjanojen summa summa, on selvää, että yhden kolmion janojen pituuksienensimmäisten potenssien summa on puolet suunnikkaan janojen pituuksienensimmäisten potenssien summasta. Toisin sanoen

∫ a

0

x dx =a2

2.

Myöhemmin Cavalieri osoitti todistukset korkeammille potensseille ja esit-ti vuonna 1647 yleistyksen, jonka mukaan potenssille n suhde saa muodon

1n+1

. Vaikka Ranskassa matemaatikot tunsivat myöskin tämän tuloksen, avasiCavalierin teoreema tien moniin differentiaali- ja integraalilaskennan algorit-meihin.

14

4.2 Pierre de Fermat

Italialaiset matemaatikot Cavalieri ja Evangelista Torricelli kuolivat mo-lemmat vuonna 1647. Matematiikan keskukseksi muodostui selkeästi Rans-ka 1600-luvun toisella kolmanneksella. Johtavat matemaatikot olivat RenéDescartes (1596-1650) ja Pierre de Fermat (1601-1665), mutta merkittäviinsaavutuksiin ylsivät myös Gilles Persone de Roberval (1602-1675), GirardDesargues (1591-1661) sekä Blaise Pascal (1623-1662). Tästä ajanjaksostalähtien matematiikka alkoi kehittyä ennemminkin sisäisen logiikkansa kuintaloudellisten, sosiaalisten tai teknisten paineiden alaisena.

Descartes oli luultavasti matemaattisilla taidoilla mitaten aikansa kyvykkäinajattelija, mutta sydämeltään hän ei ollut matemaatikko. Hänen työnsä geo-metrian ja analyyttisen geometrian parissa oli ikään kuin vain elämän eräänvaiheen tulos, jonka hän tieteelle omisti.

Fermat oli Descartesin ainoa kilpailija matemaattisten taitojen suhteen, mut-ta hänkään ei ollut ammattimatemaatikko. Analyysin puolella Fermat kehittimuotoa y = f(x) oleville käyrille menetelmän, jolla löydetään pisteet, joissafunktio saavuttaa maksimi- tai minimiarvon. Päättelyn taustalla on geomet-riset oivallukset, ja formaalimpi määrittely sai odottaa vielä 1600-luvun lop-pupuolta. Myös Fermat’n tangentteja koskeva tarkastelu vastaa oleellisestisitä, että

lime→0

f(a + e)− f(a)

e

on käyrän kaltevuus pisteessä x = a. Tätä menetelmäänsä Fermat ei kuiten-kaan selittänyt tyydyttävästi, ja se saikin kritiikkiä etenkin Descartesilta.

Fermat’n saavutukset analyyttisessä geometriassa ja infinitesimaalisessa ana-lyysissä olivat vain kaksi hänen tutkimustensa suuntausta, ja merkittäväätyötä Fermat teki etenkin lukuteorian saralla. Tästä esimerkkinä olkoon kieh-tova ja kuuluisaksi tullut Fermat’n suuri lause, jonka todistuksen esitti eng-

15

lantilainen Andrew Wiles vasta vuonna 1995 [3]. Fermat’n kuoltua löytyihänen sivun marginaaliin kirjoittamansa toteamus, että hänellä on nerokastodistus teoreemaan. Todistusta ei ole kuitenkaan löydetty, ja monet uskovatsen olevan virheellinen.

Fermat’n maksimien ja minimien löytämisen menetelmä

Verrataan tietyssä pisteessä olevaa funktion arvoa f(x) sen läheisessä pistees-sä saamaan arvoon f(x + e). Tavallisesti nämä arvot poikkeavat toisistaanselvästi, mutta sileän käyrän laaksoissa ja huipuissa arvojen muutosta tuskinhuomaa (kuvan 4.2 vasen puoli). Kun luku e pienenee, funktioiden arvot tu-levat lähemmäksi todellista yhtäsuuruutta, toisin sanoen f(x+e)−f(x) ≈ 0.Jos f(x) on polynomifunktio, voidaan suorittaa jakolasku

f(x + e)− f(x)

e≈ 0 .

Kuva 4.2: Fermat’n maksimien ja minimien löytämisen menetelmä

Fermat ei vaatinut, että luku e olisi pieni, eikä sanonut mitään raja-arvostaluvun e lähestyessä nollaa. Hän ajatteli termit x ja x+ e algebrallisesti yhtä-lön f(x) = c juurina (kuvan 4.2 oikea puoli). Kirjoittamalla f(x+ e) = f(x),jakamalla luvulla e ja vasta sen jälkeen merkitsemällä luvun e nollaksi, Fer-

16

mat sai ratkaisuksi, että kaksi juurta ovat yhtä suuret, kun c = f(x) onfunktion f maksimiarvo.

Fermat’n ajatus antaa muuttujalla hieman toisistaan poikkeavat arvot on hä-nen ajoistaan lähtien ollut infinitesimaalisen analyysin olennaisin osa. Myö-hemmin Laplacen mielestä Fermat oli differentiaalilaskennan todellinen kek-sijä.

Fermat keksi myös menetelmän käyrän tangentin määräämiseksi.

Määritelmä 4.1. Alitangentiksi sanotaan tangentin projektiota x-akselilla.

Lause 4.2. Käyrän y = f(x) alitangentti s saadaan yhtälöstä

s ≈ e f(x)

f(x + e)− f(x).

Todistus. Fermat’n menetelmässä approksimoidaan, että tangentin käyränsivuamispisteen läheisyydessä käyrällä y = f(x) oleva piste on sekä käyrälläettä tangentilla.

Kuva 4.3: Käyrän tangentti

Niin saadaan yhdenmuotoiset kolmiot (kuva 4.3), joista saadaan suhde

s + e

s=

k

f(x). (4.1)

17

Ratkaisemalla alitangentti s yhtälöstä (4.1) saadaan

s =e f(x)

k − f(x),

johon sijoittamalla k ≈ f(x + e) saadaan väite.

Lause 4.3. Käyrän y = f(x) tangentti f ′(x) saadaan yhtälöstä

f ′(x) =f(x)

s,

missä s on alitangentti.

Todistus. Lausetta 4.2 muokkaamalla saadaan yhtälö

s ≈ f(x)f(x+e)−f(x)

e

.

Kun nyt otetaan nykymerkinnöin raja-arvo e → 0, saadaan

s =f(x)

f ′(x), josta f ′(x) =

f(x)

s.

Esimerkki. Olkoon f(x) = x2. Tällöin

s ≈ ex2

(x + e)2 − x2=

x2

2x + e→ x2

2x=

x

2, kun e → 0 .

Siisf ′(x) =

f(x)

s=

x2

x/2= 2x .

Fermat’n integraalilaskenta

Fermat’lla ei ollut vain menetelmää muotoa y = xm olevien käyrien tangent-tien määrittämiseksi, vaan vuoden 1629 jälkeen hän keksi myös käyrien ra-joittamia aloja koskevan teoreeman, saman, jonka Cavalieri julkaisi vuosina1635 ja 1647.

18

Lause 4.4. Pisteiden x = 0 ja x = a välissä oleva käyrä y = xn ja x-akselirajoittavat pinta-alan an+1

n+1, missä n ∈ Z, n 6= −1 ja n 6= 1.

Todistus. Jaetaan väli [0, a] äärettömän moneen osaan siten, että jakopisteinäovat a, ae, ae2, ae3, . . ., missä 0 < e < 1. Piirretään näistä pisteistä käyrällekuvan 4.4 mukaiset suorakulmiot ja lasketaan niiden avulla likiarvo pinta-alalle.

Kuva 4.4: Fermat’n integrointi

Suorakulmioiden alat suurimmasta lähtien ovat

an(a− ae), anen(ae− ae2), ane2n(ae2 − ae3), . . . ,

ja ne muodostavat geometrisen sarjan

an+1[(1− e) + (e− e2)en + (e2 − e3)e2n . . .] .

Järjestelemällä hakasuluissa olevia termejä, saadaan

an+1[1 + en+1 + e2(n+1) + . . . + (−e (1 + en+1 + e2(n+1) + . . .))]

= an+1[(1− e) (1 + en+1 + e2(n+1) + . . .)] .

Geometrisen summan kaavalla sievennettynä lauseke tulee muotoon

an+1 (1− e)1− (en+1)n

1− en+1= an+1 1− e

1− en+1(1− (en+1)n) .

19

Kun n kasvaa rajatta, termi (1 − (en+1)n)) lähestyy arvoa 1. Olemme siistilanteessa

an+1(1− e)

1− en+1eli

an+1

1 + e + e2 + . . . + en.

Kun suure e lähestyy arvoa 1, eli kun suorakulmiot kapenevat, niiden alo-jen summa lähestyy käyrän rajoittamaa alaa. Merkitsemällä suorakulmioidenalojen summaan e = 1 saadaan an+1

n+1.

Huomautus. Jos modernein merkinnöin halutaan laskea integraalin∫ b

axn dx

arvo, riittää, että huomaamme tämän lausekkeen vastaavan integraaleja∫ b

0

xn dx −∫ a

0

xn dx .

Huomautus. Fermat’n vanhempi aikalainen Gregorius St. Vincentläinen sel-vitti lauseessa 4.4 olevan ongelmatapauksen n = 1. Hän osoitti, että josx-akselilla merkitään arvosta x = a lähtien pisteet, joiden välit kasvavat jat-kuvassa geometrisessä suhteessa ja jos näistä pisteistä piirretään y-akselinsuuntaiset suorat hyperbelille xy = 1, käyrän peräkkäisten y-akselin suun-taisten suorien ja x-akselin väliin jäävät alat ovat yhtäsuuret. Kun siis x-akselilla jakopisteiden arvot kasvavat geometrisesti, käyrän rajoittama alakasvaa aritmeettisesti. Niinpä Gregorius tunsi kaavan

∫ b

ax−1 dx = ln b− ln a

vastineen.

4.3 Isaac Newton

Isaac Newton syntyi joulupäivänä 1642. Lahjakkaan pojan varttuessa hänenenonsa taivutteli Isaacin Cambridgeen 1661. Aluksi kemia näytti olevan New-tonin suurin mielenkiinnon kohde, mutta hän luki myös matemaattista kir-jallisuutta ja kuunteli professori Lucas Barrownin luentoja, jotka ennakoivatuutta analyyttistä struktuuria.

20

1660-luvun puolivälin koittaessa Newton oli saavuttanut aikansa matemaatti-sen tietämyksen huipun. Tästä lähtien hän kehitti itsenäisesti analyysiä, en-simmäisinä keksintöinään funktioiden ilmoittaminen päättymättöminä sar-joina. Newtonin kiinnostuksen kohteena olivat erityisesti jatkuvasti muuttu-vat suureet eli fluentit ja niiden muutosnopeudet eli fluksit.

Trinity College Cambridgessä oli ruton takia suurimmaksi osaksi suljettunavuosina 1665-1666. Tällä välin Newton teki kotonaan ajatustyötään, mistäseurasi matematiikan historian hedelmällisimpänä tunnettu kausi. Newtoninneljä suurinta keksintöä näkivät päivänvalon ensikertaa:

1. binomilause

2. differentiaali- ja integraalilaskenta

3. gravitaatiolaki ja

4. värien luonne.

Newtonin ensimmäinen painettu diffrentiaali- ja integraalilaskennan esitysPhilosophiae naturalis principia mathematica ilmestyi vuonna 1687. Sen alus-sa määritellään raja-arvo seuraavalla tavalla.

Määritelmä 4.5. Suureet, ja suureiden suhteet, jotka äärellisessä ajassakonvergoivat jatkuvasti toisiaan kohti, ja jotka ennen tämän ajan loppumis-ta ovat lähempänä toisiaan kuin yksikään annettu ero, tulevat lopulta yhtäsuuriksi.

Newtonin menetelmä yhtälöiden likimääräiseksi ratkaisemiseksi

Newtonin teoksista De analysi ja Methodus fluxionum et serierum infitorumlöytyy tehokas algoritmi funktion nollakohtien likimääräiseen ratkaisuun.

21

Lause 4.6 (Newtonin menetelmä). Olkoon f(x) = 0 ratkaistava yhtälöja f : [a, b] → R Cn-funktio. Jos tunnetaan arvo xn väliltä (a, b), saadaanratkaisulle tarkempi likiarvo

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn).

Kuva 4.5: Newtonin menetelmä

Todistus. Derivaatan määritelmän mukaan funktion derivaatta pisteessä xn

on sama kuin funktiolle kohtaan xn piirretyn tangentin kulmakerroin. Siispäkuvan 4.5 mukaisesti kulmakertoimeksi tulee

f ′(xn) =0− f(xn)

xn+1 − xn

eli xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn).

Huomautus (1). Menetelmää voidaan käyttää toistuvasti, kunnes approksi-maatio saavuttaa halutun tarkkuuden.

Huomautus (2). Jos f(x) on polynomi, Newtonin menetelmä on olennaises-ti sama kuin kiinalais-arabialainen approksimaatio, joka tunnetaan Hornerinnimellä. Newtonin menetelmän etu on siinä, että se soveltuu myös transsen-denttifunktioita sisältäviin yhtälöihin.

22

Newtonin ja Leibnizin tulokset

Newton ei derivoinut tai integroinut ensimmäisenä, mutta hän vakiinnuttikyseisen teorian yhdeksi algoritmiksi. Samoihin aikoihin Saksassa GottfriedLeibniz kehitti vastaavasti differentiaali- ja integraalilaskentaa, ja muodostuiepäselvyys siitä, kenelle kuuluu kunnia teorian muodostamisessa. Leibnizillaon julkaisemisen prioriteetti, sillä hänen tuloksensa ilmestyivät kolme vuottaennen Principiaa. Kuitenkin pidetään melko selvänä, että Newtonin keksin-nöt tapahtuivat jo 10 vuotta aiemmin - ja toisaalta Leibniz teki keksintönsäNewtonista riippumatta. Epäselvyys asiasta johti kuitenkin avoimeen riitaan.

Prioriteettikiista vieraannutti brittiläiset matematiikot manner-Euroopan ke-hityksestä 1700-luvulla. Näin Englantilainen matematiikka jäi muusta eu-rooppalaisesta matematiikasta jälkeen.

4.4 Gottfried Leibniz

Saksalainen Lebniz (1646-1716) kirjoittautui Leipzigin yliopistoon ollessaan15 vuotias. Hänen laajat opintonsa olivat poikkitieteellisiä ja hän onkin yksiviimeisimmistä henkilöistä, joka on yltänyt universaaliin tietämykseen. Leib-nizistä tuli vaikutusvaltainen diplomaatti, joka matkusteli paljon.

Differentiaalilaskenta

Leibniz ymmärsi hyvien merkintätapojen tärkeyden ajattelun apuvälineenä,ja erityisesti differentiaali- ja integraalilaskennassa hän teki erittäin onnistu-neita valintoja. Esimerkiksi merkintä

∫y dx on jäänyt meidänkin käyttööm-

me Leibnizin perintönä.

23

Vuonna 1684 Leibniz julkaisi uuden menetelmänsä maksimien ja minimiensekä tangenttien määrittämiseksi. Siinä hän esitti esimerkiksi kaavat osamää-rän ja potenssien derivaatoille:

dx

y=

y dx− x dy

y2ja dxn = nxn−1.

Tulon derivointikaavan hän perustelee lauseen 4.7 mukaisesti.

Lause 4.7. Tarkastellaan muuttujia x ja y. Tällöin dxy = x dy + y dx.

Todistus. Muuttujien x ja y pienimmät muutokset dx ja dy ovat äärettömänpieniä. Siksi tulo dx dy voidaan jättää huomiotta ja voidaan kirjoittaa tulonxy pienimmäksi muutokseksi dxy = (x + dx)(y + dy)− xy = x dy + y dx.

Leibnizin muunnoskaava

Kuvassa 4.6 pisteet P (x, y) ja Q(x + dx, y + dy) ovat käyrällä y = f(x), x ∈[a, b]. Leibniz määritteli kuvasta infinitesimaalisen kolmion OPQ. Infinitesi-maalinen kaari ds kulkee käyrällä pisteiden P ja Q välillä ja määrittää tan-genttisuoran, joka leikkaa y-akselin pisteessä T (0, z). Jana OS on tangentillepiirretyllä origon kautta kulkevalla normaalilla ja sen pituus on p.

Lause 4.8 (Leibnizin muunnoskaava). Välillä [a, b] määritellyille jatku-ville funktioille y = f(x) ja z = g(x) on voimassa yhtälö

∫ b

a

y dx =1

2

([xy]ba +

∫ b

a

z dx

). (4.2)

Todistus. Kuvan 4.6 tangenttisuoralle pätee yhtälö

y = xdy

dx+ z eli z = y − x

dy

dx. (4.3)

24

Kuva 4.6: Infinitesimaalinen kolmio OPQ.

Yhdenmuotoisten kolmioiden OST ja PRQ vastinsivujen suhteista saadaanverranto

dx

p=

ds

z⇔ p ds = z dx.

Täten kolmion OPQ alaksi saadaan a(OPQ) = 12p ds = 1

2z dx. Jos lasketaan

yhteen kaikki ne alat, jotka muodostuvat vastaavalla tavalla määritetyistäinfinitesimaalisista kolmioista käyrän pisteiden P ja Q välillä, saadaan inte-graali

a(OAB) =1

2

∫ b

a

z dx, (4.4)

missä funktio z = g(x) on määritelty yhtälön 4.3 mukaisesti.

Määritetään sitten integraali∫ b

ay dx. Olkoon piste C = (a, 0) ja piste

25

D = (b, 0). Kysytty integraali saadaan laskemalla yhteen kolmion OBD jasektorin OAB alat ja vähentämällä tästä kolmion OBC ala.

∫ b

a

y dx =1

2bf(b)− 1

2af(a) + a(OAB) =

1

2[xy]ba + a(AOB),

johon sijoittamalla tulos 4.4 päädytään väitteeseen.

Huomautus. Sijoittamalla muunnoskaavaan yhtälö 4.3 saadaan osittaisin-tegroinnin kaava ∫ b

a

y dx = [xy]ba −∫ f(b)

f(a)

x dy.

Leibniz määritteli muunnoskaavan avulla päättymättömiä sarjoja. Seuraavakuuluisa esimerkki kantaa hänen nimeään.

Esimerkki. Kuvan 4.7 a-kohdan yksikköympyrän y-akselin yläpuolinen osanoudattaa funktiota y =

√2x− x2. Derivointi muuttujan x suhteen antaa

tulokseksidy

dx=

1− x√2x− x2

=1− x

y,

joten nyt

z = y − x1− x

y=

√x

2− xeli x =

2z2

1 + z2.

Nyt neljännesympyrän pinta-ala voidaan laskea muunnoskaavan avulla.

26

Kuva 4.7: Esimerkkitehtävä.

π

4=

∫ 1

0

y dx || Käytetään muunnoskaavaa

=1

2

([x√

2x− x2]10 +

∫ 1

0

z dx

)

=1

2

[1 +

(1−

∫ 1

0

x dz

)](Kuva 4.7 b-kohta.)

= 1−∫ 1

0

z2 dz

1 + z2

= 1−∫ 1

0

z2(1− z2 + z4 . . .) dz

= 1−[1

3z3 − 1

5z5 +

1

7z7 . . .

]1

0

= 1− 1

3+

1

5− 1

7. . . .

27

Luku 5

Valistusajan matematiikka

1700-luvulla oli syytä selkeyttää differentiaali- ja integraalilaskennan teoriaa.Esimerkiksi ranskalainen matemaatikko Michel Rolle kuului Acadèmie desSciencesin ryhmään, joka kritisoi differentiaali- ja integraalilaskennan teo-riaa. Hän kuvasi differentiaali- ja integraalilaskennan nerokkaiden virheidenkokoelmaksi. Pierre Varignon oli Leibnizin kanssa kirjeenvaihdossa ja antoivastauksen Rollelle. Keskeisimpiä ongelmakohtia oli differenssin ymmärtämi-nen hyvin pieneksi mutta kaikesta huolimatta vakiosuureeksi. Varignon selittiettä differentiaali muuttuu eikä se ole vakio, ja että uuden analyysin perustaon oleellisesti aukoton. Vastustuksen romahdettua analyysi kehittyi nopeastiManner-Euroopassa.

Valistusajalla Bernoullien suvusta nousi esiin runsaasti lahjakkaita mate-maatikkoja. Leibnizin seuraajiksi tulivat sveitsiläiset veljekset Jakob ja Jo-hann Bernoulli. Heistä vanhempi, Jakob, ehdotti ”integraali”-sanan käyttöäLeibnizille ja hän huomautti muun muassa, että derivaatta ei välttämättähäviä funktion maksimi- tai minimipisteessä, vaan se voi saada myös ”ääret-tömän arvon” tai olla määrittämätöntä muotoa.

28

Johann Bernoulli opetti ranskalaiselle G. F. A. L’Hospitalille Leibnizin ke-hittämän analyysin salaisuuksia. Markiisi L’Hospital teki sopimuksen Ber-noullin kanssa, jonka mukaan Johann Bernoulli lähettäisi hänelle säännöllis-tä palkkaa vastaan matemaattiset keksintönsä. Tästä johtuen eräs Bernoullinkeskeisimmistä keksinnöistä kantaa nimeä L’Hospitalin sääntö.

Lause 5.1 (L’Hospitalin sääntö). Olkoot funktiot f(x) ja g(x) differentioi-tuvia pisteessä x = a. Jos f(a) = g(a) = 0 ja limx→a

f ′(x)g′(x)

on olemassa,niin

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x).

Todistus. Kun x 6= a ja x on riittävän lähellä pistettä a, niin Cauchyn vä-liarvolauseen nojalla pisteiden a ja x välistä löytyy sellainen tx, että

(g(x)− g(a))f ′(tx) = (f(x)− f(a))g′(tx).

Koska limx→af ′(x)g′(x)

on määritelty, niin g′(x) 6= 0, kun x 6= a ja x − a onriittävän pieni. Erityisesti g′(tx) 6= 0, kun erotus x− a on riittävän pieni.

Koska f(a) = g(a) = 0 ja g(x) 6= 0, saadaan

f(x)

g(x)=

f ′(tx)g′(tx)

.

Kun x → a, niin myös tx → a ja siten

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(tx)g′(tx)

.

Huomautus. L’Hospitalin verbaalisen argumentoinnin seurauksena saadaanväite

f(a + dx)

g(a + dx)=

f(a) + f ′(a)dx

g(a) + g′(a)dx=

f ′(a)dx

g′(a)dx=

f ′(a)

g′(a),

kun f(a) = g(a) = 0. [4]

29

Johann Bernoullin vaikutus 1700-luvulla oli suurempi kuin vanhemman vel-jensä Jakobin, sillä Johann eli 43 vuotta kauemmin kuin Jakob. Tästä huoli-matta Johann Bernoullin kuuluisimman oppilaan Leonhard Eulerin vaikutusoli paljon suurempi jo ennen Bernoullin kuolemaa vuonna 1748. Eulerin saa-vutukset analyysin alalla olivat keskeinen osa 1700-luvun matematiikassa.

5.1 Leonhard Euler

Baselissa syntynyt Leonhard Euler (1707-1783) on merkittävin sveitsiläinenmatemaatikko. Eulerin suorittamista laaja-alaisista opinnoista oli hyötyä,kun hän vuonna 1727 matkasi Venäjälle Pietarin akatemiaan Bernoulliensuosittelemana. Kolmen vuoden kuluttua siirtymisestään luonnonfilosofianoppituoliin Eulerista tuli 26-vuotiaana akatemian johtava matemaatikko. Hä-nen tutkimustulostensa julkaisuvauhti oli huikea: Euler tuotti elinaikanaannoin 800 matemaattista tekstiä sisältävää sivua vuodessa, yhteensä yli 500kirjaa ja artikkelia. Euler laajensi miltei kaikkien puhtaan ja sovelletun ma-tematiikan alojen tietämystä.

Matemaattisten merkintöjen kehittäjistä Euler on suurin: hänen viimeistelyäovat nykyään lukiossa ja yliopiston peruskursseilla käytettävä matemaattinensymboliikka, esimerkiksi luonnollisen logaritmin kantaluku e, ympyrän kehänja halkaisijan suhde π, imaginääriyksikkö i, summan symboli

∑ja suureen

x funktio f(x).

Eksponenttifunktio ex

Euler hyväksyi epäröimättä sekä äärettömän pienen että äärettömän suu-ren luvun olemassaolon. Käytetään näistä luvuista merkintöjä ε ja N . Mer-kinnällä lx Euler tarkoitti luvun x logaritmia loga x, missä a on logartimin

30

kantaluku. Eksponentin y avulla voidaan esittää yhtälö muodossa ay = x.Huomioimalla, että a0 = 1, Euler kirjoitti

aε = 1 + kε, (5.1)

missä ε on mielivaltaisen pieni luku. Osoittautuu että vakio k riippuu luvustaa.

Euler esitti, että annettua äärellistä lukua x vastaa äärettömän suuri lukuN = x

ε. Siten

ax = aNε = (aε)N || ilmoitetaan yhtälön 5.1 avulla

= (1 + kε)N

=

(1 +

kx

N

)N

|| käytetään binomikaavaa (5.2)

= 1 + N

(kx

N

)+

N(N − 1)

2!

(kx

N

)2

+N(N − 1)(N − 2)

3!

(kx

N

)3

+ . . .

= 1 + kx +1

2!

N(N − 1)

N2k2x2 +

1

3!

N(N − 1)(N − 2)

N3k3x3 + . . . (5.3)

Koska N on äärettömän suuri, saadaan

1 =N − 1

N=

N − 2

N= . . . .

Tällöin yhtälö 5.3 yksinkertaistuu muotoon

ax = 1 +kx

1!+

k2x2

2!+

k3x3

3!+ . . . . (5.4)

Kun k = 1 ja annetaan kantaluvulle symboli e, saadaan eksponenttifunktio

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!+ . . . . (5.5)

31

Muuttujan arvolla x = 1 saadaan likiarvo e ≈ 2, 718. Samalle tuloksellesaadaan yhtälöstä 5.2 toinen esitysmuoto:

e = limn→∞

(1 +

1

n

)n

.

32

Luku 6

Analyysistä tulee täsmällistä

1800-luvulla

1800-luku ansaitsee nimen matematiikan kulta-aika paremmin kuin yksikäänsitä edeltänyt vuosisata. Edeltäneen vuosisadan loppupuolella johtavat ma-temaatikot tulivat Ranskasta, mutta nyt matemaattisen toiminnan keskuksiasyntyi runsaasti muuallekin. Kenties kauden suurin matemaatikko oli saksa-lainen Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Hän ei mielellään julkaissut tut-kimustuloksiaan, elleivät ne olleet äärimmilleen hiottuja. Sen sijaan Rans-kassa 1800-luvun toisella ja kolmannella vuosikymmenellä huippumatemaa-tikon mainetta niittänyt Augustin-Louis Cauchy julkaisi heti, kun oli saanuttuloksia. École Polytechniquein opettajana toiminut Cauchy oli merkittäväpedagogi, kun taas Gauss inhosi opetustyötä.

Romanttisen kauden todellista perinnettä matematiikan alalla edustivat nor-jalainen Niels Henrik Abel (1802-1829) ja ranskalainen Évariste Galois (1812-1832). Molemmat olivat nuoria algebran neroja, molempien suhde analyysinjättiläiseen Cauchyyn oli epäonnistunut ja molempien elämä päättyi lyhyeen.

33

Abelin elämää varjosti köyhyys, ja hänelle jäi kahdeksantoistavuotiaana vas-tuu perheensä huoltamisesta isänsä kuoleman takia. Vaikka Abel keksi ensim-mäisenä, että viidennen asteen yhtälölle ei ole yleistä algebrallista ratkaisua,ei hän saanut huomiota Académien jäseniltä Pariisin vierailullaan. Vasta tu-berkuloosiin menehdyttyään Abelin tulokset saivat tunnustusta laajemmalti.

Galois puolestaan kirjoitti (ollessaan vasta 17-vuotias) Académielle artik-kelin, jonka Cauchy luultavasti hukkasi. Hän kirjoitti toisenkin artikkelin,jonka Fourier arvosteli Académien sihteerinä, mutta Fourier kuoli pian senjälkeen ja niin tämäkin kirjoitus joutui hukkaan. Nuoren matemaatikon ala-mäki jatkui, kun hänet haastettiin pistoolikaksintaisteluun 20-vuotinaana.Kohtalokasta taistelua edeltävänä yönä hän ennätti kirjoittaa keksintöjäänystävälleen, ja pyysi että kirje julkaistaisiin.

6.1 Carl Friedrich Gauss

Gauss oli jo lapsena poikkeuksellisen lahjakas ja hän nautti numeerisistalaskutoimituksista. Tarinan mukaan opettaja oli antanut toimettomuudestakärsivälle luokalle tehtäväksi laskea yhteen luvut yhdestä sataan. Muiden op-pilaiden laskiessa ahkerasti opettaja katsoi pilkallisesti kun kymmenvuotiasCarl ilmoitti pian ratkaisseensa tehtävän. Kävi kuitenkin ilmi, että ainoas-taan hän oli saanut oikean tuloksen 5050, vieläpä ilman ainuttakaan lasku-toimitusta. Gauss oli ilmeisesti laskenut summan 1 + 2 + 3 + . . . + 99 + 100

päässään kaavan m(m+1)2

avulla. Gaussin koulutusta alettiin tukea ja Göttin-genin yliopistoon hän kirjoittautui lokakuussa 1795.

Jo seuraavana vuonna hän osoitti, että 17-sivuisen säännöllisen monikulmionvoi piirtää harpilla ja viivoittimella. Tämä oli todistamatta, vaikka yli kah-den tuhannen vuoden ajan oli vastaavasti osattu piirtää tasasivuinen kolmioja säännöllinen viisikulmio, mutta ei muita monikulmioita, joiden sivujen

34

lukumäärä oli alkuluku.

Geometrian ja differentiaaligeometrian lisäksi nuorella iällään Gauss tekimerkittävää tiedettä etenkin lukuteorian ja tähtitieteen aloilla.

6.2 Fourier-sarja

Jean Fourier (1768-1830) jäi lapsena orvoksi ja sai koulutuksensa kirkonavustuksella. Vuonna 1822 hän kehitti kirjassaan Théorie analytique de lachaleur varhaisemmassa lämmön matemaattista teoriaa käsittelevässä es-seessään julkaistuja ajatuksia, joilla hän aiemmin oli voittanut Académienpalkinnon. Silloiset tuomarit Lagrange, Laplace ja Legendre olivat kritisoi-neet päättelyn väljyyttä, ja Fourier’n ajatusten myöhempi täsmentäminenon yksi syy siihen, että 1800-lukua kutsutaan matemaattisen täsmällisyydenkaudeksi.

Fourier’n keskeinen saavutus on Daniel Bernoullin alkujaan hahmottelemaajatus, että jokainen funktio y = f(x) voidaan esittää trigonometristen funk-tioiden sarjana

y =1

2a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + . . . + an cos nx + . . .

+ b1 sin x + b2 sin 2x + . . . + bn sin nx + . . . ,

joka tunnetaan nykyään Fourier-sarjana.

Vaikka funktiolla on useita pisteitä, joissa derivaatta ei ole olemassa (kutenkuvan 6.1 a) kohdassa) tai joissa funktio ei ole jatkuva (kuten kuvan 6.1 b)

35

Kuva 6.1: Funktioesimerkkejä.

kohdassa), funktiolla voi silti olla Fourier-sarja. Se löydetään kertoimien

a0 =1

π

∫ π

−π

f(x) dx, an =1

π

∫ π

−π

f(x) cos nx dx ja

bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sin nx dx

avulla.

Fourier’n menetelmän ansiosta kyettiin nyt käsittelemään myös funktioita,jotka eivät ole hyvin käyttäytyvää muotoa. Niin sanottu Dirichlet’n funktioon esimerkki ”huonosti käyttäytyvästä” funktiosta.

Esimerkki (Dirichlet’n funktio). Kun muuttuja x on rationaalinen, olkoon y

vakiofunktio y = C ja kun x on irrationaalinen, olkoon y = D, missä vakioD 6= C.

Huomautus. Dirichlet’n funktio ei ole jatkuva yhdelläkään muuttujan x ar-volla.

36

6.3 Augustin-Louis Cauchy

Ranskan vallankumouksen vuonna 1789 syntynyt Cauchy oli 21 vuotta Fou-rier’ta nuorempi. Hänen 1820-luvulla julkaisemat differentiaali- ja integraali-laskennan oppikirjat perustuivat raja-arvon määritelmään.

Määritelmä 6.1. Kun muuttujalle annetut peräkkäiset arvot lähestyvätkiinteää arvoa rajatta ja ne poikkeavat siitä viimein niin vähän kuin ha-lutaan, tätä kiinteää arvoa sanotaan kaikkien muiden raja-arvoksi.

Huomautus. Määritelmässä 6.1 Cauchy luopui geometrisesta lähestymista-vasta. Raja-arvolle muodostui näin aikaisempaa täsmällisempi aritmeettinenluonne.

Raja-arvon määritelmän avulla Cauchy esitti aiemmista käsityksistä poike-ten, että infinitesimaali riippuu muuttujasta, eikä se siten ole pieni kiinteäluku.

Määritelmä 6.2. Muuttuja tulee äärettömän pieneksi, kun sen numeerinenarvo pienenee rajatta supetessaan kohti raja-arvoa nolla.

Määritelmä 6.3 (Cauchyn derivaatan määritelmä). Funktion y = f(x) de-rivaatta muuttujan x suhteen saadaan, kun muuttuja x kasvaa pienellä mää-rällä ∆x = i. Tällöin funktion y derivaatta f ′(x) muuttujan x suhteen saa-daan erotusosamäärän

∆y

∆x=

f(x + i)− f(x)

i

raja-arvona, kun i lähestyy nollaa.

Huomautus. Derivaatta ei ole olemassa pisteessä, jossa funktio on epäjatkuva.

37

Cauchyn integraali

1700-luvulla integrointi käsiteltiin yksinkertaisesti derivoinnin käänteisenälaskutoimituksena. Funktio f(x) integroitiin etsimällä sellainen primitiivi-funktio F (x), että F ′(x) = f(x). Integroitaessa funktio f(x) muuttujan x

suhteen yli välin [a, b], saatiin tulos∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Pinta-alaan ja summien raja-arvoon perustuvaa määritelmää pidettiin lä-hinnä approksimaationa tilanteisiin, joissa oli mahdotonta löytää tarvittuaantiderivaattaa.

Fourier’n tuloksista kävi ilmi, että integroiminen täytyi tehdä selväksi myösepäjatkuville funktioille. Epäjatkuva käyräkin voi määrittää hyvin määritel-lyn pinta-alan. Cauhcy tarttui haasteeseen käyttäen hyväksi integraalisum-mien raja-arvoa.

Määritelmä 6.4 (Cauchyn määrätty integraali). Olkoon funktio f(x) jat-kuva välillä [x0, X]. Tämä väli voidaan jakaa jakopisteillä x0, x1, . . . , xn = X

osaväleihin, joiden lukumäärä on n. Jos

S =n∑

i=1

f(xi−1)(xi − xi−1), (6.1)

niin integraali∫ X

x0f(x) dx saadaan summan 6.1 raja-arvona (mikäli se on

olemassa), kun n kasvaa rajatta.

Huomautus (1). Kanta [xi−1, xi] ja korkeus f(xi−1) määrittelevät suorakul-mion, jonka leveys lähestyy nollaa jakopisteiden tihentyessä.

Huomautus (2). Cauhcy käytti funktion arvona aina välin vasemmanpuolisenjakopisteen antamaa arvoa.

38

Huomautus (3). Riemann yleisti Cauchyn integraalin korvaamalla pisteenxi−1 välille [xi−1, xi] kuuluvalla mielivaltaisella pisteellä x̄i. Lisäksi Riemannkäsitteli jakovälin pituutta pisteiden x̄i valinnasta riippumattomalla symbo-lilla δ, kun jakovälin pituudet lähestyvät nollaa (tästä tarkemmin kappaleessa6.5).

Nyt kun Cauhcy oli määritellyt differentioinnista riippumattoman integraa-lin, joutui hän todistamaan tavanomaisen integraalin ja antiderivaatan yh-teyden. Tässä hän onnistui väliarvolauseen avulla: jos f(x) on jatkuva sulje-tulla välillä [a, b] ja differentioituva välillä (a, b), on olemassa sellainen välille(a, b) kuuluva piste x0, että f(b)− f(a) = (b− a) f ′(x0).

6.4 Bernhard Bolzano

Prahassa elänyt pappi ja matemaatikko Bernhard Bolzano (1781-1848) kehit-ti vastaavanlaisia teorioita kuin Cauchy. Kuitenkin heidän raja-arvon, deri-vaatan, integraalin ja suppenevuuden määritelmien samankaltaisuus oli sat-tumaa.

Bolzano jäi ajatuksineen yksin, ja monet hänen tuloksistaan keksittiin myö-hemmin uudelleen. Esimerkiksi hän keksi vuonna 1834 funktion, joka on jat-kuva tietyllä välillä, mutta jolla ei ole derivaattaa ainoassakaan välin pistees-sä. Kolmekymmentä vuotta myöhemmin Karl Weierstrass sai kunnian sa-man funktion 6.3 keksimisestä. Vastaavasti Cauchyn suppenemiskriteeriotaei tunneta Bolzanon nimellä, vaikka hän tunsi sen jo ennen Cauchya.

Määritelmä 6.5. Lukujono (xn) on Cauchyn jono, jos jokaista lukua ε > 0

kohti on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku nε, että |xn − xm| < ε

aina, kun n,m ≥ nε.

Lause 6.6 (Cauchyn suppenemiskriteerio). Reaalilukujono (xn) suppenee josja vain jos se on Cauchyn jono.

39

Todistus. Osoitetaan ensimmäisessä vaiheessa, että jokainen suppeneva jo-no on Cauchyn jono. Olkoon luku a jonon (xn) raja-arvo. Tällöin jokaistalukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku n ε

2, et-

tä |xn − a| < ε2aina, kun n ≥ n ε

2. Tällöin lukujonon (xn) termien xn ja xm

avulla saadaan seuraava epäyhtälö:

|xn − xm| = |xn − a + a− xm| ≤ |xn − a|+ |xm − a| < ε

2+

ε

2= ε.

Kun n,m ≥ n ε2, jono (xn) on määritelmän 6.5 mukaan Cauchyn jono.

Todistetaan seuraavaksi, että Cauchyn jono (xn) suppenee. Voidaan osoittaaensin, että Cauchyn jono on rajoitettu, ja hyödyntää sen jälkeen Bolzanontuntemaa lausetta, jonka mukaan rajoitetulla jonolla on suppeneva osajono.

Cauchyn jonolle pätee erikoistapaus ε = 1. Tällöin on olemassa sellainenpositiivinen kokonaisluku n1, että |xn − xm| < 1 aina, kun n,m ≥ n1. Koskaerityisesti pätee |xn−xn1| < 1, voidaan esittää lukujonon termille xn seuraavaepäyhtälö:

|xn| = |xn1 − xn1 + xn| ≤ |xn1|+ |xn − xn1| < |xn1|+ 1,

kun n > n1. Koska kaikille lukujonon termeille on voimassa

|xn| ≤ max{|x1|, |x2|, . . . , |xn1−1|, |xn1|+ 1} = M,

missä n on positiivinen kokonaisluku, niin jono (xn) on rajoitettu. Tästä seu-raa, että on olemassa suppeneva osajono (xnk

), jonka raja-arvo on reaalilukua.

Koska jono (xn) on Cauchyn jono, jokaista lukua ε > 0 vastaa sellainen posi-tiivinen kokonaisluku n′ε, että |xn − xnk

| < ε2aina, kun n, nk ≥ n′ε. Osajonon

(xnk) suppenemisesta puolestaan seuraa, että jokaista lukua ε > 0 vastaa

sellainen positiivinen kokonaisluku n′′ε , että |xnk− a| < ε

2aina, kun nk ≥ n′′ε .

40

Edellisistä huomioista johtuen saadaan viimein raja-arvoksi

limn→∞

xn = a,

sillä

|xn − a| = |xn − xnk+ xnk

− a| ≤ |xn − xnk|+ |xnk

− a| < ε

2+

ε

2= ε,

kun n ≥ n′ε ja nk ≥ max {n′ε, n′′ε} .

Huomautus (1). Vastoin edellä esitettyä formaalia ε-tekniikkaa hyödyntäväätodistusta Bolzanon alkuperäinen todistus (kuten myös Cauchyn) oli puut-teellinen: reaalilukujen ominaisuuksia ei tunnettu vielä tuolloin tarkasti.

Huomautus (2). Todistuksesta nähdään, että Cauchyn jono suppenee, jossillä on yksikin suppeneva osajono.

Bolzano ja äärettömyyden käsite

Bolzano osoitti riippuvuuksia äärettömän joukon alkioiden ja sen aidon osa-joukon alkioiden välille.

Esimerkki. Lineaarinen yhtälö y = 2x luo kääntäen yksikäsitteisen kuvauksenesimerkiksi välin (0, 2) reaalilukujen y ja tämän välin puolikkaan reaaliluku-jen x välille. Toisin sanoen sentin mittaisessa janassa on yhtä monta pistettäkuin kahden sentin mittaisessa janassa.

Bolzano huomasi myös, että reaalilukujen äärettömyys on erilainen kuin ko-konaislukujen äärettömyys, sillä edellinen ei ole numeroituva. Näillä notaa-tioillaan Bolzano pääsi lähemmäksi modernia matematiikkaa kuin aikalaisen-sa Gauss ja Cauchy.

41

6.5 Riemannin integraali

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) oli alkujaan ujo ja hentosaksalainen matemaatikko, joka kehitti geometriaa, lukuteoriaa ja analyy-sia. Hänen dosentin väitöskirjastaan tuli matematiikan historian kuuluisinpätevyysvaatimuksia mittaava esitelmä, sillä se sisälsi syvällisen katsauksenkoko geometrian perushypoteeseihin ilman ainuttakaan erikoistapausta. Rie-mannin hypoteesina tunnetaan nykyäänkin ratkaisematon lukuteoreettinenongelma. Matemaattisen fysiikan puolella Riemannin nerous tuotti käsitteenmoniston kaarevuus, jota ilman yleistä suhteellisuusteoriaa ei olisi voitu ra-kentaa.

Määritelmä 6.7 (Riemannin integraali). Olkoon välille [a, b] kuuluvat ja-kopisteet x1 < x2 < . . . < xn−1. Merkitään jakovälien pituuksia seuraavasti:x1 − a = δ1, x2 − x1 = δ2, . . . , b − xn−1 = δn. Mielivaltaiselle positiivisellemurto-osalle käytetään merkintää εi. Tällöin summan

S = δ1 f(a + ε1δ1) + δ2 f(x1 + ε2δ2) + . . . + δn f(xn−1 + εnδn).

arvo riippuu välien δi ja suureiden εi valinnasta. Jos summalla on ominaisuus,että riippumatta valinnoista δi ja εi se saa raja-arvon A, kun väleistä δi tuleeinfinitesimaalisen pieniä, niin tämä arvo on määrätty integraali

∫ b

af(x) dx.

Jos summalla ei ole tätä ominaisuutta,∫ b

af(x) dx on merkityksetön. [5]

Huomautus. Riemann käyttää mielivaltaista pistettä x̄i = xi−1 + εiδi antaes-saan määritelmän

∫ b

a

f(x) dx = limδ→0

n∑i=1

f(x̄i)(xi − xi−1). (6.2)

Tämä on yleistetty muoto Cauchyn integraalista.

Sivuttaen kysymyksen reaalilukujen täydellisyydestä Riemann todistaa, ettävälillä [a, b] integraali 6.2 on olemassa jos ja vain jos

limδ→0

(D1δ1 + D2δ2 + . . . + Dnδn) = 0,

42

missä Di määrittelee funktion f(x) suurimman ja pienimmän arvon erotuk-sen välillä [xi−1, xi]. Tämä voidaan esittää lauseen 6.10 tavoin.

Määritelmä 6.8. Välin [a, b] jako on äärellinen joukko D,

D = {x0, x1, x2, . . . xn}, missä a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.

Määritelmä 6.9. Olkoon f : [a, b] → R rajoitettu funktio ja D välin [a, b]

jako. Tällöin funktion f yläsumma jaon D suhteen on

SD =n∑

k=1

supx∈[xk−1,xk]

f(x) δk

ja alasumma on

sD =n∑

k=1

infx∈[xk−1,xk]

f(x) δk,

missä δk on jakovälin pituus.

Lause 6.10 (Riemannin ehto). Rajoitettu funktio f : [a, b] → R on in-tegroituva jos ja vain jos jokaiselle luvulle ε > 0 on olemassa sellainen välin[a, b] jako D, että

SD(f)− sD(f) < ε.

Todistus. Olkoon luku ε > 0 mielivaltainen, ja merkitään määrättyä inte-graalia I =

∫ b

af(x) dx. Oletetaan aluksi, että funktio f on integroituva. Täl-

löin supD sD = I = infD SD, joten on olemassa sellaiset jaon D = D1 ∪ D2

osajaot D1 ja D2, että

SD1 < infD

SD +ε

2= I +

ε

2ja

sD2 > supD

sD − ε

2= I − ε

2.

Koska D = D1 ∪D2, niin

SD − sD ≤ SD1 − sD2 < I +ε

2− (I − ε

2) = ε.

Todistetaan seuraavaksi, että ehdosta SD − sD < ε, missä ε > 0, seuraaintegroitavuus.

43

Koska 0 ≤ infD SD − supD sD ≤ SD − sD < ε kaikilla luvuilla ε > 0, niininfD SD − supD sD = 0 eli infD SD = supD sD.

6.6 Karl Weierstrass

Karl Weierstrass (1815-1897) oli 1800-luvun viimeisen kolmanneksen yksijohtavista analyytikoista, vaikka hän tuli akateemiseen maineeseen vasta 40-vuotiaana. 1800-luvulla ajateltiin yleisesti, että jokainen jatkuva funktio ondifferentioituva paitsi ehkä yksittäisissä pisteissä, kuten x = 0 funktiollef(x) = |x|. Weierstrass yllätti luennoillaan Berliinissä, kun hän esitti funk-tion, joka oli jatkuva kaikkialla, muttei differentioituva missään. Hänen esi-merkkifunktionsa oli

f(x) =∞∑

n=0

bn cos(anπx), (6.3)

missä a on pariton kokonaisluku ja b on sellainen välin (0, 1) vakio, ettäab > 1+ 3π

2. Tämä päätymätön sarja suppenee tasaisesti, mutta osoittautuu,

että mille tahansa pisteelle x0 ja positiiviselle luvulle M on olemassa sellaisetpisteet x1 ja x2 mielivaltaisen lähellä pistettä x0, että

f(x1)− f(x0)

x1 − x0

> M samalla kunf(x2)− f(x0)

x2 − x0

< −M.

Näin ollen f ei ole differentioituva pisteessä x0.

Weierstrassin esimerkin vaikutuksesta ymmärrettiin nyt uudelleenjärjestel-lä analyysin perusteita. Tämä oli välttämätöntä analyysin aritmetisoinnissa.Erityisesti sen sijaan, että reaalilukujärjestelmää käytettiin kuin annettu-na, täytyi määritellä reaaliluvut sellaisella tavalla, että irrationaalilukujenolemassaolo ja ominaisuudet voitaisiin täsmällisesti todistaa. Vuonna 1872

44

lähestulkoon samanaikaisesti julkaisivat reaalilukujen konstruoinnin Weier-strass, Richard Dedekind (1831-1916), Georg Cantor (1845-1918), CharlesMeray (1835-1911) ja Edward Heine (1821-1881). Dedekindin ja Cantorinkonstruoinnit ovat nykyään yleisimmin käytössä.

Näiden konstruointien jälkeen Weierstrass muotoili puhtaasti aritmeettisenraja-arvon käsitteen.

Määritelmä 6.11. Luku L on funktion f(x) raja-arvo kun x lähestyy pis-tettä a, jos mitä tahansa lukua ε > 0 vastaa sellainen luku δ > 0, että

|f(x)− L| < ε aina, kun 0 < |x− a| < δ.

Dedekindin leikkaus

Rationaalilukujen alueen voi laajentaa reaalilukujen jatkumoksi, jos olete-taan Cantor-Dedekindin aksiooma: suoran pisteillä ja reaaliluvuilla on kään-täen yksikäsitteinen vastaavuus. Aritmeettisesti ilmaistuna jokaisessa sellai-sessa rationaalilukujen jaossa kahteen luokkaan A ja B, että jokainen ensim-mäisen luokan A luku on pienempi kuin jokainen luokan B luku, on täsmäl-leen yksi luku joka tuottaa tämän Dedekindin leikkauksen.

Jos luokassa A on suurin luku tai luokassa B pienin luku, leikkaus määritteleerationaaliluvun, mutta jos luokassa A ei ole suurinta lukua eikä luokassa B

ole pienintä lukua, leikkaus määrittelee irrationaaliluvun.

Esimerkki. Olkoon luokassa A kaikki negatiiviset rationaaliluvut ja ne po-sitiiviset rationaaliluvut, joiden neliö on pienempi kuin kaksi, ja luokassa B

kaikki positiiviset rationaaliluvut, joiden neliö on suurempi kuin kaksi. Täl-löin rationaalilukujen jako määrittelee irrationaaliluvun

√2.

45

Weierstrassin analyysi inspiroi Cantoria

Sekä teologiassa että matematiikassa äärettömyyden olemusta oli runsaastipohdittu, mutta ei osattu määritellä, mistä on kysymys.

Määritelmä 6.12 (Dedekindin määritelmä äärettömälle). Järjestelmä S onääretön, kun se on samankaltainen aidon osansa kanssa; päinvastaisessa ta-pauksessa S on äärellinen järjestelmä.

Toisin kuin Dedekind, Cantor oivalsi, että kaikki äärettömät joukot eivät olesamanlaisia. Hän todisti, että positiivisten kokonaislukujen joukko on yhtämahtava kuin rationaalilukujen joukko, eli niissä on sama määrä alkioita.Tämän osoittamiseksi hän antoi kuvan 6.2 mukaisesti murtoluvuille järjes-tysnumerot nuolien osoittamassa järjestyksessä.

Kuva 6.2: Rationaalilukujen järjestyksen määrittäminen.

Rationaalilukuja on niin tiheässä, että riippumatta siitä, miten lähellä toi-siaan kaksi rationaalilukua on, niiden välissä on aina kolmas rationaalilu-ku. Kaikkien lukujoukkojen mahtavuus ei kuitenkaan ole sama, sillä Can-

46

tor osoitti, että reaalilukujen joukko on mahtavampi kuin rationaalilukujenjoukko.

Lause 6.13. Reaalilukujen joukko on mahtavampi kuin rationaalilukujenjoukko.

Todistus. Oletetaan, että lukujen 0 ja 1 välissä olevat reaaliluvut ovat nu-meroituvia, että ne ilmaistaan päättymättöminä desimaaleina (esimerkiksi12

= 0, 499 . . .), ja ne on asetettu numerojärjestykseen:

a1 = 0, a11a12a13 . . . ,

a2 = 0, a21a22a23 . . . ,

a3 = 0, a31a32a33 . . . ,

.

.

. ,

jossa aij saa numeroarvon 0-9 nämä mukaan luettuina. Kuitenkin luku b =

0, b1b2b3 . . ., jossa bk = 9, jos akk = 1, ja bk = 1, jos akk 6= 1. Tämä reaalilukuon lukujen 0 ja 1 välissä, mutta se on eri kuin mikään kaavion luvuista.

Cantor oli omaperäinen ja nero matemaatikko, joka koki runsaasti vastustus-ta urallaan. Elämänsä loppupuolella hän alkoi saada tunnustusta, mutta hänkoki runsaasti hermoromahduksia ja Cantor kuolikin mielisairaalassa Halles-sa vuonna 1918.

47

Luku 7

Moderni reaalianalyysi

Matemaatikkojen ajatustenvaihto helpottui 1800-luvulla perustettujen kan-sallisten matemaattisten seurojen ja matemaatikkojen kansainvälisten tapaa-misten seurauksena. Vuonna 1868 perustettu Suomen matemaattinen yhdis-tys on laatuaan kuudenneksi vanhin yhdistys.

Pariisissa vuonna 1900 pidetyssä toisessa kansainvälisessä matemaatikko-kongressissa David Hilbertin (1862-1943) pitämä esitelmä on kenties tunne-tuin tieteellisessä kokouksessa pidetty esitelmä. Sen otsikko oli ”Matemaatti-sia probleemoja”, ja se sisälsi kahdenkymmenenkolmen ongelman luettelon.Hilbert oli valinnut monipuolisesti sellaisia ongelmia, joiden käsittely kehit-täisi kutakin kyseessä olevaa matematiikan alaa. Osa hänen listaamistaanongelmista on nykyäänkin ratkaisua vailla.

1900-luvun yleisluontoisempien teorioiden kehitykselle antoi alkusysäyksenfunktioiden epätavallisten ominaisuuksien tutkimus. Tästä seurauksena Hen-ri Lebesguen (1875-1941) vuonna 1902 hyväksytty väitöskirja rakensi sisäl-löllään integraalilaskennan perusteet uudelleen. Hyvin poikkeava lähestymis-tapa sai osakseen sekä ulkoista kritiikkiä että Lebesguen omia epäilyksiä.

48

Hän nimittäin epäili, että yleisiin teorioihin palautettu matematiikka kuolisinopeasti. Näin ei kuitenkaan käynyt.

Cantor oli jo pohtinut mitallisia joukkoja, ja hänen mielestään funktionaali-suuden perusajatuksena tulee olla pisteittäinen vastaavuus tai ”kuvaus” uu-demmassa mielessä, eikä muutoksen tasaisuus. Lebesgue’in välitön edeltäjäÉmile Borel (1871-1956) jatkoi mittateorian kehittämistä.

7.1 Mitta- ja integraaliteoria

Lebesgue huomasi Borelin joukkoja koskevaa työtä pohtiessaan, että Rieman-nin integraalin puutteena on soveltuminen lähinnä erikoistapauksiin: sen ole-tuksena on, että funktiolla on enintään muutamia epäjatkuvuuspisteitä. Josfunktiolla y = f(x) on monia epäjatkuvuuspisteitä, välin [xi+1, xi] lyhetessäfunktion arvot f(xi+1) ja f(xi) eivät välttämättä lähesty toisiaan.

Lebesgue jakoi funktion f arvojoukon osaväleihin ∆yi ja valitsi kustakin vä-listä arvon ηi. Tämän jälkeen hän etsi mitan m(Ei), jossa funktio f(x) saalikimain arvon ηi. Lebesgue ryhmitteli samansuuruiset suureet ryhmiksi en-nen yhteenlaskua. Riemannin aikaisemman summan Sn =

∑f(xi) ∆xi hän

korvasi summalla Sn =∑

ηi m(Ei) ja antoi välien pituuksien lähestyä nollaa.

Esimerkki. Lauseen 7.1 perusteella välin [0, 1] rationaalilukujen Lebesgue’inmitta on nolla ja saman välin irrationaalilukujen Lebesquen’in mitta on yksi.Jos funktio f(x) saa arvon nolla rationaalilukupisteissä ja arvon yksi irra-tionaalilukupisteissä, niin sen Lebesgue’in integraali on 1, vaikka Riemanninintegraalia ei ole tällä välillä olemassa.

Lebesgue yleisti mitan käsitteen perustaen sen numeroituvasti äärettömiinpeiteluokkiin. Annetulle reaaliakselin osajoukolle E hän määritteli ulkomitan

49

mo(E) summien∞∑

n=1

l(Ii)

suurinpana alarajana, missä {In}∞1 on niiden välien lukujono, joiden leikkaussisältää joukon E. Jos joukko E sisältyy välille [a, b], niin joukon E sisämittami(E) määritellään lausekkeella

mi(E) = (b− a)−mo([a, b]− E).

Rajoitettua joukkoa E kutsutaan (Lebesque) mitalliseksi, ja sen mitta onm(E), mikäli mo(E) = mi(E) = m(E). Lebesgue’in mitta on numeroituvas-ti additiivinen: jos {En}∞1 on jono erillisiä mitallisia joukkoja, niin niidenyhdiste on mitallinen ja

m

( ∞⋃n=1

En

)=

∞∑n=1

m(En).

Esimerkki. Yksikkövälillä rationaalilukujen Q joukko on numeroituva ja

m(Q) = 0.

Numeroituvasta additiivisuudesta seuraa, että

m

( ∞⋃n=1

En

)= lim

n→∞m(En) jos En ⊂ En+1 ja (7.1)

m

( ∞⋂n=1

En

)= lim

n→∞m(En) jos En+1 ⊂ En (7.2)

kaikille luonnollisille luvuille n.

Lause 7.1. Jos E ja F ovat mitallisia joukkoja, joille F ⊂ E, niin erotusE − F on mitallinen ja m(E − F ) = m(E)−m(F ).

Todistus. Koska F ⊂ E, niin E = F ∪ (E ∩ FC), missä F ja E ∩ FC ovaterillisiä joukkoja. Tällöin

m(E) = m(F ) + m(E ∩ FC),

50

jotenm(E − F ) = m(E ∩ FC) = m(E)−m(F ).

Määritelmä 7.2. Funktio f : E → R on mitallinen funktio, jos E ⊂ Rn onmitallinen joukko ja

{x ∈ E|f(x) > a} = f−1((a,∞))

on mitallinen kaikilla reaaliluvuilla a.

Lause 7.3. Rajoitettu mitallinen funktio on (Lebesque) integroituva.

Todistus. Olkoon funktio f rajoitettu seuraavasti: m ≤ f(x) ≤ M pisteellex ∈ [a, b]. Välin [m,M ] jako yhtäsuuriin osaväleihin on:

m = y0 < y1 < . . . < yn = M,

missä jokainen osaväli on pituudeltaan M−mn

. Jos funktio f on mitallinen,niin joukot {Ei} (missä joukko Ei koostuu niistä pisteistä x ∈ [a, b], joilleyi−1 ≤ f(x) < yi) ovat mitallisia. Välin [a, b] joukkoja {Ei} vastaa Lebes-gue’in summat

n∑i=1

yi−1m(Ei) jan∑

i=1

yim(Ei).

Koska näiden summien erotusn∑

i=1

(yi− yi−1)m(Ei) =M −m

n

n∑i=1

m(Ei) =1

n(M −m)(b− a)

saadaan mielivaltaisen pieneksi käyttämällä tarpeeksi suurta arvoa n, ovatLebesque’in ala- ja yläintegraalit funktiosta f yhtäsuuret.

51

Lause 7.4 (Lebesque’in rajoitetun suppenemisen teoreema). Jos {fn}∞1 onsuppeneva jono sellaisia mitallisia funktioita, että |fn(x)| ≤ K eräälle K,jokaiselle x ∈ [a, b] ja f(x) = limn→∞ fn(x), niin

limn→∞

∫ b

a

fn(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx,

missä integraalit ovat Lebesque’in integraaleja.

Todistus. Olkoon En niiden pisteiden x ∈ [a, b] joukko, joille

|fm(x)− f(x)| ≥ ε

jollakin m ≥ n ja ε > 0. Tällöin {En}∞1 on vähenevä jono mitallisia joukkoja,ja leikkaus

⋂∞n=1 En on tyhjä joukko, sillä fn(x) suppenee kohti funktiota

f(x) kaikilla arvoilla x ∈ [a, b]. Siten yhtälöstä 7.2 seuraa, että

limn→∞

m(En) = 0.

Koska |fn(x)− f(x)| < ε jos x /∈ En, ja |fn(x)− f(x)| ≤ 2K kaikkialla, niin∣∣∣∣∫ b

a

fn(x) dx−∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|fn(x)− f(x)| dx

< 2Km(En) + ε(b− a).

Koska limn→∞ m(En) = 0 ja ε > 0 voidaan valita mielivaltaisen pieneksi, niinsaadaan

limn→∞

∫ b

a

fn(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx.

Rajoitetun suppenemisen teoreema on tärkeä työkalu analyysin fundamen-taaliteoriassa.

Lause 7.5 (Analyysin fundamentaaliteoria). Jos f on differentioituva ja f ′

on rajoitettu välillä [a, b], niin f ′ on (Lebesque) integroituva, ja∫ b

a

f ′(x) dx = f(b)− f(a).

52

Todistus. Olkoon gn(x) = f(x+hn)−f(x)hn

, missä hn = 1n. Tällöin {gn}∞1 on ra-

joitettu jono mitallisia funktioita, jotka suppenevat tasaisesti kohti funktiotaf ′ välillä [a, b]. Tällöin lauseen 7.5 mukaan

∫ b

a

f ′(x) dx = limn→∞

∫ b

a

gn(x) dx

= limn→∞

1

hn

∫ b

a

[f(x + hn)− f(x)] dx

= limn→∞

1

hn

∫ b+hn

b

f(x) dx− limn→∞

1

hn

∫ a+hn

a

f(x) dx

= f(b)− f(a).

Koska funktio f on differentioituva, on se myös jatkuva.

53

Lähteet

[1] Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar I & II. WSOY 1994.

[2] C. H. Edwards, Jr.: The Historical Development of the Calculus.Springer-Verlag New York Inc. 1979.

[3] Lehtinen, Matti: Matematiikkalehti solmu. Helsinki 2000.

[4] D. J. Struik: A Source Book in Mathematics, 1200-1800. Cambridge,MA: Harvard University Press, 1969. Sivut 313-316.

[5] B. Riemann: Mathematische Werke. Leipzig: Teubner, 1898, 2. painos,s.239

54