realidad tangible del número de oro
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Explicación del Número de Oro.TRANSCRIPT
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EL NÚMERO DE ORO, SU REALIDAD
TANGIBLE Y MATEMÁTICA.
AUTOR: VINICIO VÁSQUEZ BERNAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
EDUCACIÓN DE ECUADOR - UNAE
JAVIER LOYOLA – ECUADOR 2015
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EL NUMERO DE ORO
1,61803398874989490252573887119069695472717285156250….
INTRODUCCION:
En la obra de Malba Tahan, “EL HOMBRE QUE CALCULABA”, se encuentra una regla que
busca explicar a la belleza con una razón matemática “Para que un todo, dividido en
dos partes desiguales parezca hermoso desde el punto de vista de la forma, debe
presentar entre la parte menor y la mayor la misma relación que entre ésta y el todo”,
sentencia, condicionando la percepción de hermosura tangible a la división numérica
de distancias de segmentos, afirmación aparentemente exagerada por su intención de
supeditar lo subjetivo y sublime de la lindeza a una fría operación aritmética, que sin
embargo ha sido y es aceptada y respetada en muchos ámbitos, partiendo de la propia
naturaleza, ésta relación de armonía visual está presente en las formas de los cuerpos
biológicos y en la estructura de las plantas y desde remotos tiempos ha sido emulada
por el hombre en sus construcciones y manifestaciones artísticas, haciendo que su
presencia sea una aproximación a la perfección.
Esta claro eso si, que la armonía visual, por si sola no significa preciosidad en plenitud,
pero si es la forma mas directa para incidir en los sentidos y condicionar una
percepción favorable sobre un objeto, debe anotarse además que la belleza es una
condición intima de sentimiento más que de razón que genera sensación de
satisfacción y bienestar, por tanto va mucho más allá de lo tangible, de lo visible y tiene
su fuente en lo espiritual.
Este trabajo acepta sin cuestionar al número de oro con sus circunstancias “mágicas”,
más busca condiciones, interpretaciones, generalizaciones y propiedades del mismo en
el campo de las matemáticas, intentando que este sea entendido de mejor manera. Se
dice que la matemática es la ciencia que busca interpretar el entorno y las razones de la
materia, este número y la cantidad que representa indudablemente presentan modelos
simplemente concretos de varios fenómenos reales, lo que justifica el por que de esta
propuesta, que encajándose en esa directriz de búsqueda de la verdad se limita a
establecer y entender algoritmos que respetando la paradójico de su realidad haga que
sus circunstancias sean más entendibles por el ciudadano común.
Se debe anotar que muchos trabajos se han realizado sobre este tema, por lo que el
presente busca no ser una más, ni constituirse en la continuidad de los otros, se
propone que los misterios que rodean a la naturaleza de este número sean entendidos
como coincidencias entre guarismos, operaciones y resultados cuyos productos
responden de manera fehaciente a las leyes de la ciencia madre y no ha sortilegios ni
encantamientos.
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EL NUMERO AUREO EN LA VIDA DIARIA:
El número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea,
proporción áurea y divina proporción, representado por la letra griega F (fi) (en honor al
escultor griego Fidias), es el número irracional:
Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la
antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra
tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como
relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas,
nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.
Historia del Número de Oro
El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que aparece
regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y
pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.
En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su
planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial, ya que
era algo tan familiar entre los antiguos griegos que "la división de un segmento en media
extrema y razón" era conocida generalmente como "la sección". En el Partenón, Fidias también
lo aplicó en la composición de las esculturas. (la denominación Fi, por ser la primera letra de su
nombre, la efectuó en 1900 el
matemático Mark Barr en su honor).
El Partenón, mostrando los rectángulos
áureos usados posiblemente en su
construcción.
Platón (circa 428-347 a. C.), consideró
la sección áurea como la mejor de
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todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.
La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la
arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.
Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada
De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus
nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da
Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera
vez el nombre de sectio áurea. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida
con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás
la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
El rostro de la Gioconda proporcionado con rectángulos áureos.
Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples
ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el
equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para
definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última
cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo
y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y
ventanas al fondo.
Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó
rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden
localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo
rostro se encuadra en un rectángulo áureo.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas
de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción: “La geometría tiene
dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el
extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo
lo debemos denominar una joya preciosa”. Y, creyente como era dijo: "no cabe duda de que
Dios es un gran matemático"
Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido
sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro
carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.
En la arquitectura moderna sigue usándose; por ejemplo, está presente en el conocido edificio
de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor
sigue las citadas proporciones.
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La sección áurea en la naturaleza
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:
Según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede
ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que
una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a
reproducir cuando tienen dos meses de edad).
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de
cualquier caracol (no sólo del nautilus)
La relación entre los lados de un pentáculo.
La relación entre los lados de un pentágono.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en
la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo.
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La relación entre las nervaduras de las hojas de los
árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y
el tronco, o entre las ramas principales y las
secundarias (el grosor de una equivale a F tomando
como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una piña.
La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que:
La relación entre la
altura de un ser
humano y la altura
de su ombligo.
En la mano humana,
la distancia entre las
falanges están en la
razón áurea de la longitud del dedo
La relación entre la distancia del hombro a
los dedos y la distancia del codo a los
dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
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La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o
entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.
La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz se aproxima a phi, también la
relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar. Cuando la tráquea
se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea
se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
En relación al rostro humano también se ha visto una estrecha
relación con dicho principio. En general nuestra anatomía
responde de una forma más o menos cercana a dicho número: por
ejemplo, la relación entre las distancias del hombro a los dedos, y
la distancia del codo a los dedos; o la altura de la cadera o la altura
de las rodillas. Según da Vinci la belleza del rostro humano se
basaba en su cercanía a dicha proporción; así la disposición de los
diversos elementos de un rostro se sujetaba a un patrón, que
cuanto más se aproximara a Phi más bello nos resultaría.
Está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el
cuerpo y el rostro hace que la mayoría de las personas
reconozcan a esos individuos como lindos, bellos y
proporcionados. Si se miden los números phi de una
población determinada y se la compara con una población de
modelos publicitarios, estos últimos resultan acercarse más al
número phi.
Es conocido aquel concepto popular de belleza que asocia la
misma a las medidas 90-60-90, donde esta implícito el valor de phi, (90/60 = 1.5 F)
Es evidente que existe una relación entre la belleza (un
rostro bello es un rostro agradable, equilibrado) y la
proporción áurea. En esa máscara todas las líneas son
proporcionales de alguna manera a phi. En esta otra
imagen podemos ver qué pasa cuando aplicamos la
máscara a un rostro bastante antiguo, que podemos
considerar no está influenciado por las modas relativas a la
belleza actuales, la reina Nefertiti:
Encaja a la perfección. De hecho encaja casi perfectamente en las
que actualmente han sido consideradas las mujeres (y hombres)
más bellos del mundo. La máscara para los hombres tiene algunas
diferencias, sobre todo en cuanto a la mandíbula pero en general el
patrón es el mismo.
Para muestra un botón, Britney Spears fue considerada durante un tiempo una de las mujeres
más atractivas del mundo. Lamentablemente el tiempo, el alcohol y las malas compañías hacen
estragos pero la belleza está presente.
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La sección áurea en el arte
Dimensiones: 62 cm x 92 cm
Obra: Calumnia, Nacimiento de Venus
Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.
La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).
En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el
número áureo.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que
aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da
Vinci.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en
obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones
de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada
de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una
pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123
explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
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En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el
genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura
de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.
Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan
en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, el orden del caos el personaje central, Max Cohen, explica la
relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola
incorrectamente como Theta en vez de Phi (F).
El Número Áureo en la Música
Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades
formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su
obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).
El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples
referencias al número áureo y a la secuencia Fibonacci, sobre todo en la canción que da
nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de
sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el
minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número
áureo.
La sección áurea en el pentáculo
Existe la relación del número áureo también en el pentáculo o
pentalfa, un símbolo pagano, más tarde acogido por la iglesia católica
para representar a la Virgen María, y también por Leonardo da Vinci
para asentar en él al hombre de Vitruvio.
Gráficamente el número áureo es la relación entre el lado del
pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de
éste. Si se toma como unidad un lado del pentágono interior, cualquier línea que marca los
brazos de la estrella mide F. También la longitud total de cualquiera de las cinco líneas que
atraviesan la estrella mide F3, mientras que la suma del lado interior y cualquiera de sus brazos
es F2.
Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono
interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo
modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior
de una estrella más grande.
Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la
longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea F.
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SERIE DE FIBONACHI.
En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los
términos de la sucesión.
Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2;
3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....
Es fácil ver que cada término es la suma de
los dos anteriores. Pero existe entre ellos
otra relación curiosa, el cociente entre cada
término y el anterior se va acercando cada
vez más a un número muy especial, ya
conocido por los griegos y aplicado en sus
esculturas y sus templos: el número áureo.
=1.618039....
Pero los números de la sucesión de
Fibonacci van a sorprender a todos los
biólogos.
Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen
buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace
justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas
se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas
de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o
bien 89 y 144.
Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos
términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.
Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los
términos de la sucesión de Fibonacci.
Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero
Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión.
Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.
Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2
x1.
Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de
3x2.
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Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado,
tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13,
13x21...
Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...
Cuanto más avancemos en este proceso más nos
aproximamos al rectángulo aureo.
Hemos construido así una sucesión de rectángulos,
cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan
al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan
de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.
Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va
formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la
espiral de Durero.
Una espiral, que de forma bastante ajustada, está
presente en el crecimiento de las conchas de los
moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la
espiral del crecimiento y la forma del reino animal.
Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del
crecimiento en la Naturaleza.
PHI COMO LÍMITE DE UNA SUCESION.
Recordemos la serie de Fibonachi (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….)
Que matemáticamente se puede entender con las siguientes definiciones:
Como elementos de arranque: a1=1, a2=1,
Y como definición de elemento general: an=an-1+an-2, para n =3,4,5,6,…
Esta sucesión de números naturales, como ya hemos dicho está compuesta por
elementos que coinciden con algunas construcciones naturales, su estudio se ha dado
en múltiples ocasiones generando siempre resultados curiosos, se puede observar por
ejemplo que es divergente, es decir que el elemento siguiente es siempre mayor al
anterior y menor que su doble.
Por lo que para estudiarla construiremos otra (b), en función de la expuesta, siguiendo
la siguiente regla:
bn=an+1/an, para todo n natural.
Entonces la serie b será: (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89,
233/144,…)
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Expresada como una serie de elementos fraccionales, que colocados en forma de
números reales será:
(1, 2, 1.5, 1.66667, 1.6, 1.625, 1.61538462, 1.61904762, 1.61764706, 1.61818182,
1.61797753, 1.61805556, ….).
Que obviamente es una sucesión de razones en donde cada elemento es de la forma:
Que ubicando la relación que existe en esta sucesión tendremos que:
= =
Que puede ubicarse de la forma: bn . bn-1 = bn + 1
Aplicando límites tendremos que:
=
A ese límite se le da el nombre de F
Entonces tendremos: F2=F+1
Ecuación de segundo grado cuya solución es:
F = = = .
De donde se tiene que los dos resultados son F1= , al que se conoce como
NUMERO DE ORO, y que, como hemos visto corresponde a una razón o proporción (an/an-1),
es decir es el límite de una sucesión de razones entre el elemento posterior y el
inmediatamente anterior de la serie de Fibonachi.
Se tiene también que F2= .
Se tiene que F1= -1/F2. ó F1= -(F2)-1
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Es decir el segundo valor es una potencia del primero, por lo que los resultados que se
obtengan para uno, utilizando los métodos o procedimientos adecuados, pueden ser
generalizados para el otro.
OBTENCION GEOMETRICA DEL VALOR DE F.
Existe también una manera geométrica para obtener el número aureo, nos basamos en lo que
expuso al inicio de este escrito, esto es, si se tiene un segmento cualquiera y lo queremos
dividir en dos partes, cuyas dimensiones se sujeta a la proporción divina, en el grafico se
observa como el segmento se divide en dos partes, de dimensión X e Y, de donde se tiene que:
De donde se obtiene que:
Y2 = X2+XY.
Que puede transformarse en la ecuación Y2 – XY –X2 = 0, ecuación de dos variables, de segundo
grado para ambas variables, la expresión está ordenada en función de Y, aplicando el método
de la formula se tendrá que:
, de donde se obtiene:
= = = X
Que concluye que Y/X = .
Es decir la razón entre los segmentos que se sujetan a la proporción divina es justamente el
valor de F.
Se observa que la respuesta coincide con el número de oro, ya indicado, idéntico a los
resultados presentados anteriormente.
PROPIEDADES DE LAS RAICES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO.
Hemos visto que la razón aurea, se obtiene de una ecuación de segundo grado, por lo que es
importante analizar unas propiedades de la ecuación de segundo grado, para ello recordemos
que una ecuación de segundo grado en general se expresa de la siguiente manera:
ax²+bx+c = 0,
Donde x es la variable y a,b,c son números complejos, con a≠0.
X
Y
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Que aplicando el método de la formula los resultados para X son:
Es decir se tienen dos resultados:
X1 , y X2
Buscaremos aquí generar un desarrollo que nos permita visualizar el resultado de:
( (X1)n +(X2)n ) y ((X1)n – (X2)n )
SUMA DE LAS RAICES ((X1)n +(X2)n):
Veamos primero que pasa con la suma de las potencias de las soluciones de la ecuación de
segundo grado.
Pero:
Entonces:
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Es decir se eliminan los términos cuando n-k sea impar, entonces podemos hacer el siguiente
cambio de variable:
n - k = 2i, con i tomando valores desde 0 hasta la parte entera de ((n-1)/2)
i) Ahora supongamos además que n es impar. Por tanto k también debe tomar valores
impares. Por tanto definiremos j=2k+1,
Luego tenemos:
Como n es impar, n-2j-1 es un número par que puede indicarse como 2((n-1)/2 –j)
Por tanto: = =
Entonces:
De donde:
Ó
La ecuación de donde se obtiene el numero de oro es: X²-X -1= 0.
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Es decir una ecuación donde a =1, b= -1 y c = -1
Tomando eso en cuenta se tendrá:
Que simplificando da:
Ó
Es decir tendremos las respuestas de X1n + X2
n, para valores de n impares,
Así tenemos la tabla:
N X1n + X2
n
1 1
3 4
5 11
7 29
9 76
Y así sucesivamente.
ii) Veamos ahora que pasa cuando n es par, para este caso definiremos j = 2i, con i
que va desde cero hasta (n/2).
Por tanto:
Ahora como n es par n-2j =(n/2-j)2
Entonces = (b² - 4ac)1/2(n/2-j)*2 = (b²- 4ac)n/2-j
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Luego:
Que se reduce a:
Ahora particularizamos para ecuación característica del número de oro, donde a
a =1, b =-1 y c =-1, tendremos:
Que simplificando es:
Es decir tendremos las respuestas de X1n + X2
n, para valores de n par,
Así tenemos la tabla:
N X1n + X2
n
0 2
2 3
4 7
6 18
8 47
10 123
Y así sucesivamente.
Cuadro que si unimos al cuadro anterior, que se obtuvo para los valores que resultan pan n
impar se tiene el siguiente cuadro general:
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N X1n + X2
n
0 2
1 1
2 3
3 4
4 7
5 11
6 18
7 29
8 47
9 76
10 123
Pudiendo continuar sucesivamente.
Con los resultados, formamos la serie:
Ln = , vemos que los primeros elementos cumplen la
condición de la serie de Fibonachi, esto es:
Ln + Ln+1 = Ln+2
Recordemos ahora que: = , y
=
Entonces, construimos una nueva serie , donde: = +
= +
Se tiene que: = + + +
= + + +
= +
= +
19
= +
= +
=
Es decir se cumple la condición de los elementos de Fibonachi.
Con lo cual queda demostrado que una serie similar a la serie de FIBONACHI, a la que
se le conoce como serie de LUCAS, construirse con la suma de las potencias de las
raíces de la ecuación de segundo grado x²-x-1=0.
DIFERENCIA DE LAS RAICES ((X1)n - (X2)n):
Veamos primero que pasa con la suma de las potencias de las soluciones de la ecuación de
segundo grado.
Pero:
Entonces:
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Limitando únicamente a los valores k, siempre que sea impar, es decir se eliminan los términos
cuando k sea par.
Remplazando los valores de a, b y c que caracterizan la ecuación del número de
oro F, se tiene que:
, tomando únicamente los valores impares para k, es
obvio que si n=0, el resultado es cero.
En general se tendrá que:
+ + 0
= ,
Entonces se puede tener: =
Como k es impar y toma valores desde 1, podemos remplazar: k por 2j+1, donde
j toma valores desde cero hasta n si (n-1)/2 es par ó hasta n/2-1 si n es par, es
decir en general, hasta la parte entera de (n-1)/2.
Entonces si definimos m = parte entera de (n-1)/2.
Diremos que: =
= = = =
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Con lo cual podemos ya obtener algunos resultados, así si n=1.
= = 1
= = = 1
= =
= =
= =
= =
= =
= =
Ahora, construimos una nueva serie , donde: Li. = -
= -
Se tiene que: = - + -
= + - -
= -
= -
= -
= -
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=
Con lo cual queda demostrado que la serie de FIBONACHI puede construirse con la
diferencia de las potencias de las raíces de la ecuación de segundo grado x²-x-1=0.
SERIES SIMILARES.
1) SERIE DE LUCAS: Como ya se indicó es una serie similar a la de Fibonachi, que tiene
como elementos iníciales al 2 y al 1, entonces esta serie es:
RELACIÓN ENTRE LA SERIE DE FIBONACHI Y LA SERIE DE LUCAS:
Notaremos a la serie de Fibonachi de la forma:
F = , donde F0 =0, F1= 1, y Fi = Fi-1 + Fi-2, para i de 2 en adelante.
De igual forma la serie de Lucas se denotará:
, donde L0 =2, L1= 1, y Li = Li-1 + Li-2, para i de 2 en adelante.
Inicialmente expondremos que L0 = F0 +2 y L1 = F1.
Y como L2 = L0 + L1, se tiene que: L2 = F0 +2 +F1 = F2 + 2
Luego: L3 = L1 + L2, se tiene que: L3 = F1 +F2 +2 = F3 + 2, y
L4 = L2 + L3, se tiene que: L4 = F2 +2 +F3 +2 = F2 + 4,
L5 = L3 + L4, se tiene que: L5 = F3 +2 +F4 +4 = F5 + 6,
L6 = L4 + L5, se tiene que: L6 = F4 +4 +F5 + 6 = F2 + 10,
Se observa que un elemento de serie de Fibonachi es igual al respectivo de la serie de
Lucas más 2 veces el elemento anterior de la misma serie de Lucas, es decir:
L i= Fi + 2xFi-1, para i 1 (para i = 1 L1 = 1)
Luego se tiene que: L i= Fi + 2xFi-1 , entonces: L i= Fi+1 – Fi -1+ 2xFi-1 = Fi+1 + Fi -1,
Donde: L i - Fi-1 = Fi +1 = Fi + Fi-1,, luego: Li - Fi = 2Fi-1 = 2(Fi+1 – Fi),
Entonces: Li - Fi + 2Fi= 2Fi+1, consecuentemente: Li + Fi = 2Fi+1,
Entonces: Fi+1 = (Li + Fi)/2.
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Si, además recordamos que: L i= Fi + 2xFi-1, tendremos que Li+1 = (Li + Fi)/2 + 2Fi
Entonces: Li+1 = (Li + 5Fi)/2.
Con lo cual se obtiene tres relaciones importantes entre las dos series.
2) Existe otra forma de presentar la serie de las razones expuesta anteriormente, esta
es la definida de la siguiente manera:
A1=1
An=1+1/An-1 , n es cualquier numero entero positivo mayor que uno.
Así se generara la serie:
Esta serie genera elementos del tipo:
A1 = 1
A2 = 1+ 1/1
A3 = 1
A4 = 1 +
A5 = 1+
A6 = 1 + y así sucesivamente.
Obviamente tiene como limite también al número de oro.
3) Curiosamente si se tiene la serie:
A1=1
A2 = p (p entero positivo)
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A3 = A1 + 1/A2
Y An = A1 + 1/An-1, n es cualquier numero entero positivo mayor que uno.
Los elementos resultantes son:
Si partimos de que An=A1+1/An-1
=A1+
( ( ) = +1
Si = m (m cualquier valor)
Remplazando:
m² = m +1
Entonces m = F (es también el numero de oro).
En consecuencia para una serie como la indicada, sea cual sea el valor de n, esta
siempre converge al numero F.
Nota: se observa que los coeficientes de n
Como también los términos independientes
Son variaciones de la serie de Fibonachi.
4) Una generalización de las series indicadas es la siguiente:
Se puede pensar en una serie de fibonachi que no inicie en 1 y 1 sino mas bien
en a y a, manteniendo eso si el proceso de construcción de la serie, esto es que:
A1 = a
A2 = a
25
An+2 = An+1 + An , para los elementos subsiguientes, entonces tendremos la
serie:
Que sea cual fuese el valor de a, las razones tendrán un comportamiento
idéntico a los anteriormente demostrado, y su limite será el número F.
5) Ahora veremos que pasa si se inicia con dos elementos
diferentes.
A1 = a
A2 = b
An+2 = An+1 + An , para los elementos subsiguientes, entonces tendremos la
serie:
Se puede observar que los términos que asoman en la serie, son
acumulaciones de fibonachi, es decir los términos de a y de b, que se
presentan en los elementos siguen esa estructura.
Que genera la siguiente serie de razones:
Un elemento característico será:
Que, usando la norma de construcción de la serie inicial se tiene:
Que, obviamente si se aplican limites, el resultado nuevamente será el numero de oro
F.
6) Ahora veamos la serie:
A1 = 1
26
An =
Los elementos de la serie serian:
Recordando que An = , y si elevamos ambos términos al
cuadrado, se obtendrá:
An² = 1+ An-1
Aplicando n-1 )
Suponiendo que:
Entonces también, remplazando estos
límites al infinito se tendrá:
S² = 1+S,
Cuya solución, como ya hemos visto tiene como solución:
S = F (el numero de oro).
7) Consideremos ahora la serie:
A1 = 1
A2 = , para cualquier valor real de p.
= , para n, entero mayor que 2.
La serie generada es:
27
Al buscar la convergencia de esta serie, el procedimiento
será similar al del caso anterior dando como resultado que
estas series también converjan hacia F.
8) Estudiemos ahora otra serie:
A1 = p, para un valor variable de p.
A2 = , para cualquier valor de q.
, para n entero, mayor que 3.
Que es equivalente a:
La serie será de la forma:
Aplicando límites al infinito se tendrá que:
=
Suponiendo que: y remplazando se
tendrá:
S2 = p + qs.
Ecuación de segundo grado en s, que resolviendo con el
método de la formula se tendrá:
28
Nota: para obtener valores reales se deberá cumplir que q² + 4p ≥ 0
Que es una generalización de las razones de los números de
fibonachi.
9) Veamos ahora A1=p
An=p+q/An-1 , n es cualquier numero entero positivo mayor que uno.
Asi se generara la serie:
A1 = p
A2 = p + q/p
A3 = p
A4 = p +
A5 = p +
A6 = p + y así sucesivamente.
Del termino general se tiene que: An.An-1 = p An-1 + q
Aplicando límites al infinito, suponiendo que: y
remplazando se tendrá:
S² -pS –q = 0, ecuación de segundo grado es S, que al ser resuelta se tiene que:
Nota: para obtener valores reales se deberá cumplir que p² + 4q ≥ 0
CURIOSIDADES DEL NUMERO FI.
29
El número de oro es una razón o proporción donde la parte mayor es veces en
menor y a su vez el menor es la parte de la mayor,
por tanto x = (5-1)/4 = 1.
Potencias del número de oro:
Recordando que denotamos F,al numero de oro , a continuación revisaremos
algunas propiedades que resultan curiosas, pero que simplemente responden a la
naturaleza de la expresión matemática,
Asi: F0=1=
F1=
F2= = F1+F0
F3= = F2+F1
F4= = F3+F2
F5= = F4+F3
F6= = F5+F4
F7= = F6+F5
Permitiendo suponer que Fn+2= Fn+1+Fn
Lo que se demuestra de manera simple ya que la ecuación que genera el numero de
oro es justamente: F2= F+1, ò F2=F1+F0
Expresión cuyos miembros al ser multiplicados por F, ó una de sus potencias
presenta el resultado indicado.
30
Además se puede también expresara las potencias del número áureo: Fn= ,
donde Ln, representa los elementos de la serie de Lucas y Fn, los elementos de la serie
de Fibonachi, es decir:
Ln =
Fn =
Si partimos de los primeros elementos de las dos series, vemos que la expresión
cumple, sin embargo deberíamos buscar la generalización, para que la aseveración
tenga fundamentada aceptación, es decir demostraremos que Fn= , para
cualquier valor de n, así.
Sabemos que es verdad para i = 0, es decir: F0= = ,
Luego supondremos verdad pan n = i, es decir como hipótesis de inducción
utilizaremos que : Fi= ,
Con lo cual intentaremos mostrar para n = i+1.
DEMOSTRACION:
Fi+1= Fi F = , por la hipótesis de inducción.
Fi+1= , utilizando las relaciones entre las series de Fibonachi y
Lucas se tendrá que: Fi+1= ,
Que reduciendo resulta: Fi+1= , Lqqd.
Con lo cual queda debidamente demostrado lo aseverado.
GENERALIZACION DE LAS POTENCIAS DE SOLUCIONES DE ECUACIONES X² = aX +b.
La forma X² = aX +b. es una ecuación de segundo grado, cuya soluciones son:
,
Dando los dos resultados anotados, para el análisis tomaremos la solución con el signo de
suma, es decir:
31
Sabemos además que X0 = 1.
Si desarrollamos tendremos que:
Donde se puede observar que todos los resultados tienen la estructura de un numero más otro
multiplicado por , y dividido para dos.
Se podría decir que Xi = (Ai + Bi )/ 2.
Donde A y B son dos series de números reales de la forma:
Se observa que A0 = 2, A1 = a y Ai+2 = axAi+1 + bxAi , para i desde cero en adelante.
Generalizando se puede decir que Xi = (Ai / 2) + (Bi )/ 2
Sabemos que Xi+1 = X.Xi, entonces: Xi+1 = (Ai + Bi )/ 2.)
32
Luego: Xi+1 = ((aAi + Bi (a² + 4b)) + ((aBi + Ai) ))/4
Xi+1 = ((aAi + a²Bi + 4bBi) + ((aBi + Ai) ))/4
Recordando nuestra notación: Xi+1 = (Ai+1 + Bi+1 )/2
Donde: Ai+1 =((aAi + (a² + 4b)Bi)/2
Bi+1 =((aBi +Ai)/2
Y además: Xi+2 = Xi+1.X, remplazando:
Xi+2 = ((aAi + a²Bi + 4bBi) + ((aBi + Ai) ))/4 .
Xi+2 = (((a(aAi + a²Bi + 4bBi)+ (aBi + Ai)(a²+4b))+( (aAi + a²Bi + 4bBi)+a((aBi + Ai) )))/8
Xi+2 = ((a²Ai + a3Bi + 4abBi+a3Bi + a²Ai+4abBi +4bAi)+(aAi + a²Bi + 4bBi+a²Bi + aAi) )/8
Xi+2 = ((2a²Ai + 2a3Bi + 8abBi+4bAi)+(2aAi + 2a²Bi + 4bBi) )/8
Xi+2 = ((a²Ai + a3Bi + 4abBi+2bAi)+(aAi + a²Bi + 2bBi) )/4
Xi+2 = (a(aAi + a²Bi + 4Bib)+b(2Ai))+(a(Ai + aBi) +b(2Bi)) )/4
Remplazando los resultados obtenidos:
Xi+2 = (aAi+1+b(2Ai))+(a(Bi+1+b(2Bi)) )/4
Que, recordando la notación:
Xi+2 = (Ai+2+Bi+2 )/ 2
Dando como consecuencia que:
Ai+2= aAi+1+bAi, y
Bi+2= aBi+1+bBi l.q.q.d.
SERIES QUE PERMITEN CALCULAR POTENCIAS DE CUALQUIER NUMERO.
Una aplicación de lo anteriormente obtenido, es el calculo de cualquier potencia de un numero
que resulte como solución de la ecuación X² = aX +b.
Sabemos que para esa ecuación una solución es: X =
Y además se conoce que X0 = 1 = 2/2.
También debemos recordar que las potencias de X, se pueden indicar de la forma:
33
Xi = (Ai+Bi )/ 2i
Y vimos como se calculan las series de A y B, cuyos elementos son los números Ai y Bi, que se
calculan con las relaciones: Ai+2= aAi+1+bAi, y Bi+2= aBi+1+bBi
Para facilitar los cálculos lo que haremos es modificar las series A y B, mediante las siguientes
relaciones:
Ci = Ai / 2 y Di = Bi / 2.
Permitiendo que cualquier potencia de X se exprese de la siguiente manera:
Xi = Ci + Di
Entonces si deseamos calcular las potencias de cualquier número, deberemos calcular los
valores de a y b, de forma que su resultado sea ese número, luego en función de estos
valores, calcular las series C y D, para por último únicamente sumando los respectivos
elementos de la serie C y D obtener las potencias:
Ejemplo 1:
Tomemos los valores a=2 y b=3, se tendrá que: = 3
Recordando que C0 = 1, C1=a/2 y Ci+2 = aCi+1 + bCi, con i entero positivo, en nuestro caso:
Ci+2 = 2Ci+1 + 3Ci
Entonces la serie C será: C = (1, 1, 5, 13, 41, 121, 365, 1093,…)
Y también que D0 = 0, D1 = 1 y Di+2 = aDi+1 + bDi, en este caso: Di+2 = 2Di+1 + 3Di
La serie D será: D = (0, 2, 4, 14, 40, 122, 364, 1094,…)
Entonces 30=1+0=1, 31=1+2=3, 32=5+4=9, 33=13+14=27, 34=41+40=81, 35=121+120=241,
36=365+364=729, 37=1093+1094=2187, y sucesivamente.
Consecuentemente podemos construir una serie X, donde X0 = 1, X1 = X, y además:
Xi+2=aXi+1+bXi.
Para el caso del ejemplo: Xi+2=2Xi+1+3Xi
X = (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187,…….), que genera las potencias del 3.
Ejemplo 2.
a=3, b=10, entonces = 5
Entonces se tendría que: X0 = 1, X1=5 y Xi+2=3Xi+1+10Xi , con lo que se puede construir la serie:
X = (1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625,….), que es la serie de las potencias del 5.
34
Ejemplo 3.
Este resultado, que tal vez no sea interesante en casos como los indicados, donde el resultado
del radical es un entero, más cobra interés cuando no es así, para ello proponemos un ejemplo
donde a=4 y b=6, luego:
X = =
Luego X0 = 1, X1 = , X2 = 4( ) + 6(1) = 14 +4 = X²
X3 = 4(14 +4 ) + 6( ) = 68 + 22 = X3, y así sucesivamente.
POTENCIAS NEGATIVAS.
Recordemos que el estudio se basa en la relación Xi+2=aXi+1+bXi , de donde podemos despegar
Xi , y obtener Xi = , lo que permite obtener elementos con índices negativos, X-1,
X-2, X-3, y sucesivamente, dando resultados que corresponden a las potencias negativas de X,
Ejemplo 4.
Retomemos el caso del ejemplo 2, a=3 y b=10, teniendo que X0=1 y X1= 5.
Luego X-1 = (X1 – 3.X0)/10 = (5 – 3.1)/10 = 1/5 = X-1
También: X-2 = ( 1 – 3.1/5 )/10 = 1/25 = X-2.
Y así sucesivamente.
SUMA DE LOS ELEMENTOS DE UNA SERIE TIPO FIBONACHI.
En primer lugar buscaremos el resultado para la serie de Fibonachi:
Aplicando la propiedad de los elementos de Fibonachi:
35
Aplicando la condición de Fibonachi:
Que recordando la equivalencia de los elementos de esa serie:
Fi =
Entonces Fi+2 =
Por tanto:
Ahora si tenemos una serie del tipo:
Xi+2 = a Xi+1 + b Xi
Aplicando la propiedad de los elementos de la serie:
36
ANALISIS DE LAS POTENCIAS DE
La expresión , es la otra solución de la ecuación X² =a X + b, es decir cumple todas las
propiedades de está, lo que deberá tomarse en cuenta es que los coeficientes del radical seran
siempre negativos.
Además se tiene que:
Que si b=1, la primera raíz es la inversa negativa de la otra.
37
Particularmente:
Por lo que las dos forman parte de la serie de potencias, y cumplen las propiedades aquí
enunciadas.
FORMA PARTICULAR DE PRESENTAR EL NUMERO DE ORO:
El número de oro puede presentarse utilizando únicamente el digito 5.
__ . __
38
39
BIBLIOGRAFÍA
El número de oro. Matila C. Ghyka. Ed. Poseidón
Matemáticas e imaginación. E. Kasner/J. Newman. Ed. Salvat
Instantáneas matemáticas. Hugo Steinhaus. Ed. Salvat
Miscelánea matemática. Martin Gardner. Ed. Salvat
Circo matemático. Martin Gardner. Alianza Editorial
DIRECCIONES DE INTERNET
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
http://averroes.cec.junta-andalucia.es/recursos_informaticos/concurso/accesit3
http://www.mathsoft.com/