reglas del algebra

8/18/2019 reglas del algebra

1/75

1SISTEMA

CAPÍTULO

0 7

OBJETIVOS

– Del mismo modo, para determinar el conjunto solución de las inecuacionespolinomiales de la

forma: P x !"#, se re$uiere factori%ar P, para u&icar los puntos cr'ticos so&re larecta num(rica real)

– * corto pla%o, este ac+pite ser+ importante para la simplificación de una fracciónreducti&le)

*-TO.I/*-I01II

E) -riterio del aspaSon un conjunto de modelos matemáticosque nos permiten descomponer unpolinomio en factores,

Se!n el esquema"

#$ x , y % & A x 'm ( ) x m y n ( C y 'n

dependiendo su aplicaci*n, del n!mero det+rminos de la forma que presenta dic-opolinomio.

Los modelos dise/ados por este criterioson "

a1 x

a2 x

c1 y

c2 y

a2c1 x y

a1 c2 x y

(+ )

El Aspa simple $para 0t+rminos%.

El Aspa do1le $para 2

t+rminos%.

Tcen tral= B x y

El Aspa do1le especial $para 3t+rminos%.

El Aspa triple $para 45t+rminos%.

En este ni6el, nos centraremos enestudiar detalladamente los tresprimeros, por su maor utilidad.

2) * s p a S im ple

Se utili7a para factori7ar polinomios de laforma

08 Los t+rminos de los factoreso1tenidos, se toman -ori7ontalmente. Tal como se muestra"

#$ x , y % & $a4 x m ( c4 y

n% $a' x m ( c' y

n%

* P 3 I - * - IO1 E S D I V E . S* S

2) 9actorice " #$ x , y % & 4' x ' ( '0 xy (45 y '

4' x ' ( '0 xy ( 45 y '

eneral"

#$ x , y % & A x 'm ( ) x m y n ( C y 'n : ; x , y , z ,< χ

o de e=presiones enteras reduci1les a +l.

4 x 5 y

3 x 2 y

15 x y

=

8 x y

23 x y

(+ )

P . O -E D I 4 I E 1 T O 5 E 1 E . * 3

#ara factori7ar el polinomio $A x 'm (

) x m y n(C y 'n% Se de1en seuir los

m

m

n

n

m n

m n

m n


2/75

2 #ASC>AL SACO

siuientes pasos " #or lo tanto "

#$ x , y % & $ x (3 y % $0 x (' y %

6) 9actorice " B$ x % & 4 x ( ' x ' FF48 Se ordena el polinomio de acuerdo a la

forma eneral.4 x A

2

(' x '

FF

2

'8 Se descompone los t+rminos e=tremosen dos factores cada uno, de talmanera que la suma de los productosde dic-os factores en aspa, seaequi6alente al t+rmino central.

13 x

27 x

#or lo tanto"

– 11

+ 8

–77 x

2+ 104 x

23 xy

B$ x % & $40 x '44% $ x '(F%

Compendio de Ciencias III-D Álgebra


3/75

lgebr Compendio de Ciencias

7) 9actorice " @$a, b, c% & 43a2 0a0bc' (42b'c

43a2 0a0bc' ( 42b'c

P . O -E D I 4 I E 1 T O 5 E 1 E . * 3

#ara descomponer en factores el polinomio#$=,%,

325a

– 8b c

32

32

– 24

abc

32

(+

se de1enseuir lossiuientespasos"

48 Se ordenael polinomiode acuerdo ala forma

3a

– 2b c

– 1

eneral.

3 2

#orlotanto "

– 3 '8 Defaltar al!nt+rmino, sesustituirácon un

cero, elespaciocorrespondiente delt+rminoquefaltase

en laordenaci*nmencionada.

@$a,b, c%&$3a0Fbc'%$0a0'bc'%

8)

9actorice" 9$ x % & x ' ( abx $a' b2%2

x ' (abx $a( b%'

$a b%'

08 Seaplicarán

sucesi6amente tres aspas

simples.

AS#A$I%

→ alos

t+rminos48,'8 08

AS#A $II%→ a los

t+rminos48, 8 28 elaspa

simple

2


4/75


au=iliar"

x

+(a+b)

+(a+b)x

(+

AS#A $III% → alos t+rminos08, 38 28Se!n elesquemamostrado"

x

–(a – b)

PLee

– +

'm()

x m

y n(C y

'n(D x m

(E y n(9

Lueo"9$ x %&G x ($a(b%'G x $a

b%'

c1 y

f 1

I II

IIIc2 y

f 2

9)

9actorice "$ x , y % & x

( x ' y ' (' x ' y 0 ( 4

AS PA IASPA IIASPA III

x ($ y '('% x ' $ y 04%

a fxm

c f yn

22

m nmn x

– ( y – 1)

( –

a f x c f y

1 21 21 2

x

+ ( y

+ y+ 1) 2

2

Bx m yn

Dx m Ey n

9inalmente"

+

8 Lost+rminosde losfactoreso1tenidos se

toman-ori7ontalmente. Tal comosemuestra"

$ x , y % &

$ x '

(4% $ x '

( y '

( y (4%

#$ x , y % &$a x m(c y n(f % $a x m(c y n(f %

)

9actorice "H$m% & m ('m3 ( 'm0 4

#ara elcaso depolinomios deradoimpar, loque sede1e-acer, es

A D A# TA @ la

e=presi*nparaaplicarelcriteriomencionado.En elpolinomioespue=

to,desco

2

2

n

n

2

2 2

2

m

2


5/75


mponiendo

'm0 arupandocon6enientemente, setiene"

m

( 'm3

( m0

( $m0

4%

$J% Si en laformaeneralm&n&4 #$ x , y %&5, esdecir "A x '() xy (C

y '(D x (E y (9&5.Se enerauna relaci*nmuimportanteen la e o met rK a an alKt ic a, d eno m in ad ala EC>ACIEE@AL

DE >ACICA, dependiendodel 6alor deunparámetrocrKticollamadoin6ariante,estaecuaci*ndará luar ala co ns

trucci* n dedi6 ers os L> A@ ESEOMNT@ICOS, llámesecircunferencia,

m

m – 1

4

2

m

m+m+1

m – m

543

m +m +

m53

( elipse,pará1ola e-ip+r1ola.

* P 3 I - * - IO1 E SD I V E . S* S

#orlotan

t

o " Tcentral = 2m + m

2)

9actorice "

#$ x , y %& x '

( xy (0 y ' ( 2 x( 45 y ( F

H$m%&$m0(

m4%$m(m'(m(4%

6) * s p aD o & le

Se utili7aparafactori7arpolinomios de seist+rminos

de laformaeneral "

x

3 y

4

x

y

2

ASPA I

ASP A I

I ASPA III

#$ x , y %

&A x 'm() x m y n

(C y 'n

(D x m(E y n(9$J%

xy

2x y

odee=presiones

entera

4 xy x

5 4

3


6/75


10 y


7/75

#or lo tanto "#$ x , y % & $ x (0 y (% $ x ( y ('%

6) 9actorice "B$ x , y % & 2 x ' ( 3 xy y ' ( 40 x ( 45 y ( 2

Entonces "

T$ x , y % & x ' ( 5 xy y ' ( 2 x ( 5 y(

x –2 y + 3

x + 2 y + 3

3 x + 4 y

2 x – y

AS PA IASP A IIASP A III

+ x0 y

4 x

! x

+1

3

x

– ++

9inalmente,resulta"

T$ x , y % &$ x

' y

(0%$ x (' y (0%

Losfactoreso1tenidos son "

B$ x , y

% & $0 x ( y ('%

$' x y (0%

7) 9actorice"

@$ x , y % &4F x '

' xy (45 y ' ( y 0'Seo1ser6aque faltael to.t+rmino,se!n la

formaeneral,lueotenemos"@$ x , y % &4F x ' ' xy (45 y ' (5 x ( y 0'


8/75

En laprácticapermanente, a6eces sepresentanpro1lemasde maordificultad. Tal comomostraremos acontinuaci*n "

) 9actori7ar "#$ x , y % &a1$ x '( y '%$a'(1'% xy ($a1% $ x ( y %4

Efectuand

o ordenandocon6enientemente,se tiene "

#$ x , y %&a1 x '$a'(1'% xy (a1 y '($a1% x ($a1% y 4

x –5 y

+ 8

3 x

–2 y –4

–

" y

–

1


9/75

A S P A IAS PA IIAS PA III

"x

–a y+ 1

–

–

–2

9inalmente"

+

2 4

x

– 0 x

– ++

#or lotanto "

#$ x , y %&$a x 1 y 4%$1 x a y (4%

;) 9actori7ar"

9$ x %& 2 x 2

( ' x

( x 0

F x '

4 x 3

@$ x , y % &$2 x 3 y (F%$0 x ' y %

8) 9actorice"

9$=,%&F xy 2 y '

( =( ( 3

Completando

con ceroel 4er.

t+rmino,

asK "9$=,%& 5='

(F= 2' (= ( (3

Ordenando lo adaptándolo paraque6erifique larela delaspa do1le,se tiene "

9$ x % &2 x 2 (' x F x ' ( x 0 4 x 3

33 x

+ 4 x

+ 5

32 x

–2 x – 1

4x#3y

+ 5

0x

#or lotan

t

o"9$

x

%&$0

x 0

( x( 3%$' x 0

' x 4%

A

S

P A

IASPAI IASPAII I

7) *s p aDo &leE s pe c ial

#orlotanto

"

0 x

4

x

4 x

1 – 7

Se utili7aparafactori7arpolinomiosde cincot+rminosde la formaeneral "

#$ x % &A x n() x

0n(C x 'n(D x n

(E: A ≠5 $J%

o dee=presionesenterasreduci1les a+l.

9$ x , y % &$ x 0 y (3%$' y (

4%

9) 9actorice"

T$ x , y % & x ' y '

( 2 x (

9altan el'do.rado

3to.

t+rmino,se!n laformaeneral.


10/75

# @ O C E D I M I E TO E E @ A L

#aradescomponeren factores elpolinomio #$=%,se de1enseuir los

siuientespasos "48 Se ordena

elpolinomiodeacuerdo a

la formaeneral.


11/75

'8 De faltar al!n t+rmino, se sustituirácon un cero, el espaciocorrespondiente del t+rmino quefaltase en la ordenaci*n mencionada.

08 Se descompone los t+rminos e=tremos$48

38% en dos factores cada uno.

Seuidamente, se calcula la suma delos productos de dic-os

x 2x 4

2x x 2

TSC " F x ' $('% x ' & ' x '

factoresen aspa,o1teni+ndose unresultado.

8 #ara-allar elt+rmino quesustitue alcentral

$TSC%, seresta delt+rminocentral,el

resultado

AS#

A $I% " 2

x 3

AS#A $II%" 4 x

4 x

8 x

o1tenidoanteriormente.

38 Sedescomponecon6enientementeel TSC,tratandoque

6erifiquensimultáneamentedosaspassimples "

#or lotanto "#$ x , y % &$ x '(' x (%$ x '( x ('%

6) 9actorice "

AS#A$I%

→

a lost+rminos 48,'8 TSC.

( x 0

x

AS#A

$II% → a lost+rminos TSC,8 38Se!nelesquemae=plKcito

mostrado "

#$ x %&

A x n

(

) x 0n

(

C x 'n

( D x n

( E

2


12/75

Como falta elt+rminocuadrático,completamoscon un ceroen elespacio

correspondiente a +l.AsK "

B$=% & 2 x ( x 0 ( 5 x ' x

a

$ 1

3 x

+ 5 x+ 4

I

$ 2

x

e2

2 x – x – 1

TSC

"

C x 'n

$a'e

4 (a4e'

% x 'n

&

9 x 'n

TSC " 5 x '

$F 0% x '

& 3 x '

Lueo,sedescompone 9 x 'n

en elrecuadro, del

modosiuiente" 9 x 'n &$f 4 x

n%

$f ' x n%

AS#A$I%"

+1

0 x

3

AS#A $II%" –4 x

– 5

x

– ! x

tratandode6erificarpormediode lasaspas,lost+rmino

s ) x 0n

D x n. Talcomo semuestran"

+ 7 x

#or lo tanto"

B$ x % &$0 x '(3

x (%$' x ' x 4%

AS#A $I%" a f

x

3 n

a3

(+1

B

AS#A$II%" fe xn 2 1

f e xn

(+)1 2

Dxn

El seundofactor,descomponiendolo por

aspasimple,resulta "

B$ x % &$0 x '(3 x (%$' x (4%$ x 4%

28 Lost+rminosde losfactoreso1tenidos

setoma

n

-ori7

o

ntal

m

ente

.

n

2

2

2nn 2

2n


13/75


14/75

@$ x % &$2 x '( x 0%$' x '(3

x 0%

9inalm

ent

e,

des

comp

onien

do

am1os

factor

es"

@$ x %

&

$0 x 4%

$' x (0

% $

' x 4%

$ x (0

%

8) 9actorice "9$ x % & x (0 x ''


15/75

Completando con ceros, los t+rminosc!1ico cuadrático respecti6amente, setiene "

9$ x % & x ( 5 x 0 ( 5 x ' ( 0 x ''

) -riterio de los Di


16/75

"

7 x+ 4 x+ 5

%0 $4%'( & 5

#$'% $& 5

20'7 x

–4 x+ 5

#$

'0%& 0$'0%

$'0%

( &5

TSC "3 x '

$03 (03% x ' &42 x '

#or lotanto "

$ x % &$ x ' ( x ( 3%$ x ' x ( 3%

)

9actorice "#$ x % &4' x F ( x 2 x ( 4

#$ x % &4' x F ( x 2 x (5 x ' ( 4

D E T E @M I AC I D E L O S

# O S I) L E SC E @ O S O @ AP C E S @ A C I O A L E S $ # . C. @ . % D E > # O L I O M I O#ara conocerlos posi1lescerosracionales deun polinomio#$=% de

coeficientesenteros, talcomo" #$ x % &

a5 x n(a4 x

n

4(a' x nQ'(.....

(an4 x (an: a5 ≠

5

4 x

– 4

x

+ 1

Coeficiente

principal de#$ x %

2 x

2

2 2


17/75

+4

x

+1

TSC" x

$0(% x

& 42 x

Lae=presi*n

factori7adaes "

an

÷ T+rmino

independi

ente de

#$ x % Se

utili7ará la

siuente

propiedad

"

#$ x % &$ x x ' (4% $0 x ( x '( 4%

%&'&re *ea n

Lueo"

#$ x % &$' x ' 4%'

$0 x ' (4% $ x '

( 4%

#o

%&'&re * ea 0

;) 9actorice"

9$ x , y % & x ( x 0 y (0 x ' y ' 3 xy 0 0 y

2

4 x xy

2

2 x

2 x y

+ y

TSC "0 x ' y ' $0(% x ' y '

& ' x ' y '

Losfactoresresultantes serán "9$ x , y % &$ x ' ( xy 0 y '%$ x '(' xy ( y '%

Losposi1l

esceros

racion

ales

del

polino

mio "#$ x % &

x 3

' x 0

' x ' ( x ( 2

Es decir, losposi1les6aloresracionales que

anulen dic-ae=presi*n, secalculanmediante lapropiedadmencionada.

I

dentif iq

uemos "

R

Coeficienteprincipal de#$ x % &

R T+rmino

independiente de #$ x % & 2

Lueo "

4 x –3 y

x

+ y

%&'&re *e()

Lueo "

9$ x , y %& $ x 0 y %$ x ( y %$ x ( y %'

#or lotanto "

%&'&r e * e(4)

1, 2, 3,

9$ x , y %& $ x 0 y %$ x ( y %0

1, 2, 4

2 2


18/75


19/75

#or lo tanto "

1 3 1 3

por el Teorema T @ E S 9 A C T O @ ES. asK sucesi6amente para lospolinomios de

P-.-/- =± 1,

2, 3, ,,,

,

2

2

4

4

Es decir,tenemos 42

posi1lesceros $porel do1lesino% paraelpolinomio.En elprocesoe6aluati6o,alunos deestos6aloresA > L A @

realmentedic-ae=presi*n.

TEO.E4*DE

3*-TO.3I1E*3Dado un

polinomio

#$ x % derado UnU $n≥ 4%, si eln!meroracional UaUes un ceroo raK7 dedic-ae=presi*n,entonces $ x a% será unfactorracional de#$ x %.

#o

r e jemplo"Enelpolinomio#$

x %&0 x 0

x '

(Sa1emosque 4, ' '0 sonceros oraKces de#$ x %.Entonces,por elteorema


20/75

e=puest

o,podemosafir

marque$ x

4%,$ x

'%$ x

('0%s

onf actoresraci

onalesd

elae=presi*n.

#@O CEDIM IE TO EE@AL#

A@A9AC TOQ@IV

A

@#

ar

af acto

ri7

arelpo

lin

om

iodeco

e

ficiente

se

nteros

"#

$ x

%& a

5

x n

(a

4

x n

4

(a

'

x n

'

(..

..

.

(a

n

4

x

(a

n:

a

5

≠

5

Se siuen l

os siuientes

p

asos "

48 Se

determinan losposi1lesceros oraKcesdelpolinomio.

'8 Tomando los6aloresdel

#.C.@.,empe7amos ae6aluarlae=presi*n #$ x %,-astaencontrare=actamentelos

ceros oraKcesdelpolinomio.

08 #araaplicarelteorema delfactor,de1emo

sesta1lecer elsiuientecriterioeneral"

rado su

perior.

8 #ara elprimerasterisco, losotrosfactores

se-allanutili7ando elA S # AS IM # L E.

A partirdeltercerasterisco, losotrosfactoressedeterminanaplicando elA S #AD O ) L EE S # E CI AL o laarupaci*n det+rmino

s, si elpolinomiocuárticoresultante essencillo.Entodosloscasos,e=cepto

en el


21/75

seundoasteris

co,aplicaremosunaom

ás6eceslarelade#aolo@

uWinipara-allarelotrofa

ctordelpolinomio#$

x %,

qu

efaltadescom

ponerenfactores.

*P

3 I-*- IO1ESDIVE.S

*S4.

9actorice"#$

x %& x 0

x(2

Comoelpo

lin

omioenMI

CO,losposi1lescerosra

cionales6endrándadose=clusi6amenteporlosdi6i

soresdelt+rminoindepe

nd

iente2.

Esdeci

r "#.C.@.&X;4,',0,2<

E6

aluando,seo1tienendirectamentelostrescerosra

cionalesdelae=presi*n.?

ea

mos "

x &4

"

#$4%&

$4%0

$4%( 2& 5

#or lo tanto, $ x 4% es

un f actor.

x &'

"

#$'%&$'%0

$'%( 2& 5

Se o1

t

iene, $ x

'% como otro f actor.

x &0

"

#$0% &$0%0 $0% (2 & 5

resulta c

omo tercer f ac

t


22/75

or$ x (0%finalmente"#$

x %&$ x 4%$ x '%$ x (

0%

6)

9actorice

"#$

x %&2 x 0

(4 x '

( x

45

J

Si #$

x % es un polinomio

de 0er. rado

1,2,5,10

Se 1usc un cer

es decirseo1tienepor elteorema> 9 AC TO @

P-

= ±

%&'&re*e

1

,2,3,

0


23/75

JSi#$ x %esunpolinomiodeto.rado no

= ±

1,

2,

5,

1

0, 1,

5

,1

,

2

,5

,

1

,

1

, 5

1usquescero

s,aquesepuedeaplicar

3

directamente elA S # AD O ) LEE S # E CIAL.JSi#$ x %es

unpolinomiode3to.rado

Se 1uscun ceroes decirseo1tienepor el

teorema

> 9 AC TO

JSi#$ x %esunpolinomi

o de2to.radoSe1uscandosceros:decir, so1tienepor el Teorem

D O S

9 A C T O @S.

E6 x

#

o

ecir " #$ x %

& $ x (4%

9$ x %

'do. rado

#ara -allar

el otro

factor

9$ x %,

aplicamo

s la rela

de @uffini,de1ido aque 9$ x %es elcocientede

J Si#$ x %es unpolinomiodemo.rado

Se1u

scantresceros:esdecir:seo1tienen

ladi6isi*nindicada"

P ( x )

x + 1


24/75

– 1↓

17 1

– – 11

11 – 10

F

– 10

10

0

8) 9actorice "

#$ x % & x 2 ' x 3 x ( x 0 ( ' x ' ( x '

Como el polinomio es MICO, losposi1les ceros racionales 6endrándados por los di6isores del t+rmino

independiente $'%.Lueo "#$ x % &$ x (4% $2 x '

( 44 x 45%

3 x –2

2 x+ 5

#$

x % & $ x (4%

$0 x '%

$' x (3%

O1ser6ar

que estos

!ltimos

factores se

eneran

a partir delos cerosracionales'0 3',quesonelementosdel #.C.@.

Es decir"

#.C

.@. & X ;4, '<

#or

sim

ple

ins

pec

ci*

n,

se

o1s

er6

a

que

"

#$4

% &

5

#$

4%

& 5


25/75

En

to

nc

es

,

$ x

4%

$ x

(

4%

so

n

fa

ct

or

es

de

#$

x %.

Es

de

cir

"

#$

x %

&

$ x

4%

$ x

(

4%

x !

t

o.

r

ad

o

Ap

lic

a

n

d

o

d

o

s

6

e

c

e

s

la

@

e

l

a

d

e

@

u

Wi

ni

,

s

o

1

reun mismo diar

ama, se tiene "

7)

1

−

2

#$

− 1

− 2 − 1

1

2

%P- %&'re *

1, 24, 8

1

−

2

2

0

P-=

1,

2, 3, ,1

,3

,1

,3

,1,

3F2

Eudop"

4

ue x &

#EA

fact

porarupaci*ndet+rminos,asK" #$ x % &$ x 4%

$ x (4% G x 0

$ x '% $ x '% #$ x % &$ x 4%$ x (4% $ x

'% G x 0 4 Como "

x 0 4 &$ x 4%

$ x '( x

(4%Seo1tienefinalmente"

#$ x % & $ x 4%' $ x (4%$ x '%$ x '( x (4%

↓

8

−1

5

−

−21

F

20

7 −

− 21

− 1

−1

0

9) 9actorice"#$ x % & F x 2 x 3(F x

0 x 0(25 x '

('4 x 4Flueo dedeterminar los#.C.@.,seuidamente em

pe 7 a mo s a e6al ua r elp o l in om io ,


26/75

Lueo "#$ x %&$ x

4%GF x

2 x 0'4 x '

x (2

4 x

+ 7 x3

2 x

–5 x2

Tomando-o

ri7ontalmentelosfactores

de9 "#$ x %&$ x 4%$

x '

(

x

(%$'

x '

3(%

o

#$4% & 5 : #$'% & 5

: #$0% & 5##

A

9amn"

21

−18 −

8 0#$ x % & $ x 4% $ x (0%$ x (4% $' x 4% $ x '%O1ser6arque los!ltimosfactoreso1tenidosse enerande loscerosracionales0, 4,4' ',que sonelementosdel #.C.@.

1

24

−2

40

48

20

0

10

30− 3

0− 30

0

100− 3

F

− − 18

− !

0

!

0

2

2


27/75

27SISTEMA

Lueo " #$ x % & $ x 4%$ x '%$ x (0%GF x (45 x '0

nDemuestre que " a + " + c =

4 x2

– l

2 x+ 3

#$ x % &$ x 4%$ x '%$ x (0%

$ x '4%

$' x '(0% Descomponiendo

elcuartof actor, po r

diferenciadecuadrados,resulta"

R

In6estiue

usted

elsiuien

teteorem

a "

Si $ x k %es unfactor demultiplicidad UrUde un polino m io. Secumplen lasrelacionessimultáneas "

#$ x %& $ x 4%$ x '%

$ x (0%$' x (4%$' x 4%$' x '

(0%

P() = P '() = P ''() =P '''()= =

P

()= 0

=P*

.* E

JE.-IT*.S

E =

R

De

muestreustedqueal

2


28/75

28 #ASC>AL SACO

factori7arelpolinomio

" #$ x % & x F

( x 3 x 2

( x

x 0

x '

(F x

Seo1tiene$ x (4% $ x 4%0

$ x ('%'

$ x ' x (4%

R De laidentidadmostrada "

0 x 3 (45 x (45 x 0 3 x '

≡ $ x (c%n

$a x (1%

Siendo UYUuna de lasraKces delpolinomio#$ x %, lasnotacionesdel cálculo

diferencial "

))

)#r4 " $r4%a6a deri6adade #.

2) De

m os t

ra r

qu e

facto

ri7a1

le en

B.

Resolución

?eamos

Ν k ∈ 1 x 2

+ (k + l

) x + ke s

6)

Leco

rr

es

po

nd

e

al

al

u

m

no

"

C

on

si

d

e

r

e

m

o

s

e

l

p

o

l

i

n

o

m

i

o

e

n

.

P (

x , y , z )

= x 2 y + x y 2 + x y z− x 2 − x y + zy +

z2

Encuentre eln!mero defactoresprimos

(k + l)2 − 4

(l)(k ) = k2+

2k + l − 4 k

=

k2− 2k + l =

(k − l)2 , es

uncuadradoperfecto

Ν k ∈

Resolución

∴ x2+

(k +

l) x+ k

es factori7a1le en .

#' " #rimera deri6ada de

#'' " Seunda deri6ada de

#''' " Tercera deri6ada de


29/75

2) #or el criterio del Aspa Simple: transformar aproducto

los siuientes polinomios"

/ ( x ) = x3− x

2+ ll x −

P (

x )

= x2

+ 20 x + !l

A( x ) = 20 x 4 + 3 l x 2 − !

( x )

( x )

= x 3 + 3 x 2 − 4

= x 3 − 25 x 2 − 2 4 x − 5

( x ) = 25 x4 − 2 ! x 2 +

4

( x ) = 8 a− 3 a

3− 8

@pta." ....................................................................

9) 9actori7ar el polinomio"

L ( x ) = (3 x2 − 4 x )

2− l! (3 x

2 − 4 x ) + 0

x3 − 2 x 2 − l 5 x

−a x

2 + 2 a + l5 a en tres

A( x ) = (a + b + 5 2 ) + (a + b ) + 23

@pta." ....................................................................

6) 9actori7ar los siuientes polinomios:aplicándolo el criterio del Aspa Do1le"

P ( x ) = 2 x2− 7 x y + 3 y

2− x + l 3 y − l 0

( x ) = x2 + 3 x y + 2 y

2 − 5 x − 7 y +

/ ( x ) = x2+ 7 x y + 2 y

2+ l l x y + y z + 4 z

2

factores lineales. La suma de dic-osfactores, es"

@pta." ....................................................................

) Al factori7ar lae=presi*n"

x4 + 2 x 3 − 2 x − l :

la suma de sus factores primos es"

@pta." ..................................................................

;) Se/alar un factor primode"

( x + l)( x + 2)( x + 3 )( x + 4 ) − l5

@pta." ....................................................................

7) 9actori7ar polinomios por medio del criterio

del Aspa do1le Especial"

( x ) = x4+ x

3+ 7 x

2+ x + l

( x ) = x4− 4 x

3+ l l x

2− l 4 x + l 0

( x ) = l0 x4− l 3 x

3+ 8 x

2− 8 x + 3

/ (m ) = m4 + 2 m 3 + m 2 + 5 m +

@pta." ..................................................................

@) 9actori7ar"

l + x ( x + l)( x + l)( x + 3 )

@pta." ...................................................................

A) Se/alar uno de los factores primos de"

x2 − 20 y 2 − l4 z 2 + 7 xy + 38 yz − l7 xz

@pta." ...............................................................

..... 8) Descomponer en factores primos lospolinomios mostrados: aplicando el


30/75

criterio de los di6isores 1in*micos"

P ( x ) = x5+ 4 x

4− l 0 x

3− x +

( x ) = x4− 4 x

3− x

2+ l x − l 2

@pta." ................................................................

2#) Se/alar un factor primo de"

l2 x2 − 7 xy − l0 y

2 + 5! y − l5 x − 3

@pta." ..................................................................


31/75

22) Se/alar uno de los factores primos de"

( x2 + 7 y + 5 )2 + 3 x

2 + 2l x + 5

@pta." .................................................................

26) #ara qu+ 6alor de UnU el siuiente n!mero

trinomio es un cuadrado perfecto.

2;) Lueo de factori7ar" P ( x ) = x5+ x

4+ l

Indique uno de sus factores primos"

@pta." .................................................................

2@) 9actori7ar"

n

x

+8

n

+ !

⋅ x3

⋅ y

+ 2

5

y2

e indique unfactor primo.

@pta." .................................................................

27) Indique unfactor primo de"

2 ( x +

2l )2

+

( x + 2 0

)2 − ( x

+ l ! )2

− l

@pta." .................................................................

28) 9actori7ar se/alar el n!merode factores primos"

4 ( x − l)4

− 5 ( x −

l)2

⋅ (

x +

2 )2 − ( x

+ 2 )4

@pta." .................................................................

29) Al factori7ar" 6 (

x ) = 2 x4 + 3 x

3 − x2

+ 7 x − 3

se o1tiene unfactor primo dela forma"

ax2 + bx − c .

Calcular" $a ( b( c%

@pta." .................................................................

2) 9ac to ri 7 ar s e /ala r un f ac

to r prim o "


32/75

( x − l )

− ( x − l

)3

− 2

@pta." .................................................................

2A) Al descomponerla e=presi*n"

= (a + 4 b )(a − 3 b

)(a + 5 b )(a − 2 b ) −

l 44 b4

se o1tiene como

resultado 6 - S-

A2

: determine el

factor primo 9.

@pta." .................................................................

6#) Sa1iendo que elpolinomio"

P ( x , y ) = 2 x2+ m

xy + 3 y2− 3 x − 5 y

− 2

es factori7a1le

por el criterio del

aspa do1le,

calcule UmU.

@pta." ..................

.............................

..................

62) Lueo defactori7ar elpolinomio"

P ( x ) = ( x − 5 )( x −

7 )( x + )( x + 4 )

−

504

Indique el

factor lineal

de ma or s

uma de

coeficientes"

A%

x2

− 3 x −3

) @pta." .................................................................

@pta." .................................................................


33/75

2) Al factori7ar un polinomio de 'do. radopor el

7) Indicar el factor primo"

m+todo del aspa simple se o1tu6o elsiuiente esquema"

P ( x , y )= x2 + l ! x y + l 5 y 2 − l l x − l 7 x +

4

P( x) = 8

xa

ax

+ l0 x + (c – 2)

3

@pta." ...............................................................

bx c

Hallar" $a ( b ( c%.

@pta." .............................................................

6) Lueo de factori7ar"

( x) = 4 x 4 – 2! x 2 + 25

indicar el n!mero de factores lineales.

@pta." .............................................................

8) Hallar uno de los factores primos"

( x + 8 )( x + 8 ) + 3 ( x + 8 )(! − y ) + 2 (! − y )2

@pta." ...............................................................

9) Se/alar el factor primo cuadrático demaor suma de coeficientes en"

P( x ) = x 4 − 4 x 3 + ll x 2 − l4 x +l0

@pta." ...............................................................


34/75

34 #ASC>AL SACO

CAPÍTULO

0 8

OBJETIVOS

– Tener el conocimiento concreto de sus sinificados C de sus di


35/75


36/75


4)-)D) 4)-)4) DE EP.ESIO1ES*35EB.KI-*S .*--IO1ES*35EB.KI-*S

I) 4KI4O -O4L1 DIVISO. 4)-)D!Dado dos o más e=presiones enteras derados no nulos. El MCD de dic-ase=presiones, es otra e=presi*n de MAO@@ADO A)SOL>TO que está contenidae=actamente en dic-as e=presionesenteras. #ara determinar el MCD, sefactori7an las e=presiones, lueo este6endrá dado por el producto de los factorescomunes ele6ados a sus menorese=ponentes.

Lueo " MCM$A,)% & '2 ⋅ 0 ⋅3 x y 2 z 'w

9inalmente"

MCM$A,)% & 25 x y 2 z 'w

El cual, es la e=presi*n de menor .A.que co nt ie ne e = a ct amen te a A )simultáneamente.

R Se tienen los polinomios "0 ' ' D

Ejemplos"

# & 3 x

$ x (4%

$0 x (4% $ x x (4%

R Dados los monomios " A &4' x 3 y ' z 2

) & 4F x 0 y w3

como " A & '' ⋅ 0 x 3 y ' z 2

) & ' ⋅0' x 0 y w3

Lueo " MCD$A : )% & ' ⋅ 0 x 0 y '

9inalmente " MCD$A : )% & 2 x 0 y '

El cual, es la e=presi*n de maor .A.

que está contenida en A )simultáneamente.

R Se tienen lospolinomios "

# & x $ x (4%3 $' x 4% $ x '( x 4%

B & 3 x ' $ x (4%0 $' x (4% $ x '( x E4%2

@esulta " M.C.D.$#:B% & x $ x (4%0

$ x '( x 4%

Siendo este polinomio, el de maor

.A. que está contenida en lase=presiones # B.

II) 4>1I4O -O4L1 4L3TIP3O 4)-)4!Dados dos o más e=presiones enteras derados no nulos. El MCM de dic-ase=presiones, es otra e=presi*n deMEO@ @ADO A)SOL>TO que contienee=actamente a dic-as e=presiones enteras.#ara determ inar el M CM, s e f actori7

an las e=presiones, lueo este 6endrádado por el producto de los factorescomunes no comunes ele6ados a susmaores e=ponentes.

E je m p los "

R Dados losmonomios"

A &425 x D y 0 z '

) &4' x y 2w

como " A & '3 ⋅ 3 x y 0 z '

) & '2 ⋅0 x y 2w


37/75


B & 0 x ' $ x (4% $0 x 4% $ x ' x (4%3

Se o1tiene "

MCM$#,B%&43 x 0$ x (4%$0 x (4%$0 x 4%$ x '

x (4%

Siendo este polinomio, el de menor

rado a1soluto que contiene a lase=presiones # B.

Teorema 1M 2 )=

Dados dos polinomios cualesquiera # B, secumple la siuiente identidad polin*mica"

P( x )( x ) ≡ .% (P, ).(P, )

Demostraci*n "

Sean " #$ x % ≡ A$ x % ⋅ )$ x % ..........

$a% B$ x %≡

A$ x % ⋅ C$ x %.......... $1%

Donde ) C son primos

entre sK. entonces "

MCD$#,B% &

A$ x %

MCM$#,B% & A$ x % ⋅ )$ x % ⋅ C$ x %

Multiplicando m.a.m. $a% $b% "

#$ x % ⋅ B$ x % ≡ A$ x % ⋅ )$ x % ⋅ A$ x % ⋅ C$ x %

#or la propiedad asociati6a "

#$ x % ⋅ B$ x % ≡ A$ x % ⋅ GA$ x % ⋅ )$ x % ⋅

C$ x % #$ x % ⋅ B$ x % ≡ MCD$#,B% ⋅

MCM$#,B%

con lo cual queda demostrado.

E j e m pl o s e G p li c a t i< o s"

R Dados dos polinomios # B, tales

que " MCD$#,B% ⋅ MCM$#,B% ≡ $ x '

%3 $ x '4%0

Si uno de ellos es $ x ('%' $ x '% $ x 4%0.


38/75

Hallar a que es equi6alente el

otro. @ e s o lu c i* n "

#or el Teorema 4, se tiene "

#$ x % ⋅ B$ x % ≡ $ x ' %3 $ x ' 4%0

@eempla7ando el dato para B, resulta "

#$ x % ⋅ $ x ('%'$ x '%$ x 4%0 ≡ $ x ('%3$ x

'%3

$ x (4%0

$=4%0

Simplificando se tiene "#$ x % & $ x ('%0 $ x '% $ x (4%0

R El producto que resulta de multiplicar dospolinomios

@esoluci*n"

x2 – l 02

= x

2 – 22 x + l20

=

x – l2

x – l0

= x + l0 x – l2

(

x + l0 )

(

x – l

0 )

(

x – l 2 )

(

x

– l 0 )

de6aria1leli1re\\ x \\e

s$ x 2

(4%'

x 2

,el

cocientededi6idirelMCMMCDdedic-

o

spolinomioses


39/75

'. Simplificar"

a2 + b 2

– c 2 –

2ab

$ x '(4%' x '. Se/alea que esequi6alenteel MCD.

@ eso luci* n "

L aab

+ abc

Sean #$ x

%

B$ x

% los

polinomios.

#or el teor

e

ma 4"

P(

x)⋅ (

x)≡ . %(P,)⋅

. (P,)]]]]

@e

a2

–

2ab

%AT7 (

a – b – c

)MCD$#,B%⋅ MCM$#,B%≡

$ x 2

(4%'

x 2

..

..$a%

)

()L=


40/75

=

#or el 'do.dato "

.

(P,)≡

( x 2 + a)2

− 4 x 2.%(P,)

(β

a

b

(a

– b

+c)

L=a

ab (a – b

+ c )

como se quieredespejar elMCD, di6idamos$a% entre$1%, asK "

. (P,) ⋅ .

(P,)( x + l)2 −

4 x

Lueo "

222422

B) *dición CSustracción deracciones

Se 1usca uncom!ndenominador$CD% que es

iual alm.c.m. de losdenominadores de lasfraccionespropuestas.Lueo el C.D.se di6ideentre cadadenominadorinicial loscocientesparciales semultiplicanpor losrespecti6osnumeradores: finalmentela sumaale1ráica de

.%(P,)92 = ( x

−l

)

=(

x

−l) ( x

+

los productosparciales esel nue6onumerador.

( x 2l)

2

GMCD$#,B%' &$ x ( x '(4%'

( x

− l)2

E jemp los"

9inalmente"

MCD$#,B%& x

( x '

(4

III) OPE.*-IO1ES

-O1.*--IO1E

S*35EB.*I-*S

l

+ x

– l

. (P,) ( x 2 + l)2 − 4 x.% (P,)


41/75

*) Si m pl if i c a c i ó n o re du cc i ó n ! de

racciones:

@esoluci*n"

l l

3 x – l – ( x+l) + 3

#ara

simplificar unafracci*n$reducti1le%, sefactori7anelnumerador o eldenominador lueo se

eliminanlosfactorescomunesen

x+

l x – l

+=

( x +l)( x – l)

.-%- = ( x+ l)( x –

l)

x –am1aspartes.

Ejemplo s"

= x

2 – l

4.

Simplificar"

x

x – 2 l

= x

2 – 22 x + l20 – – x + 2

x2 – 4


42/75

@esoluci*n"

x + 2 –

x – 2 –

l

D) Di


43/75

enominad

oresentresi"

x2

– 8 x + 7

E

mo x – 3

x +

2=

x 2

– !

x

2

– 2

x

– 8

2) Consideremos lossiuientes polinomios en "

P ( x ) ≡ x − l, ( x ) ≡ x

5

− x 4 + x 3 − x 2 + x + l

encu

entr

e el

MCD

de P

( x )

y

( x ) .

.esolución

#rimero procederemos a resol6er cadapolinomio"

P (

x )

≡ x − l ≡ ( x 3 + l)( x 3 − l)

P (

x )

≡ (

x + l)( x − l)( x 2 − x + l)( x 2 + x +

l)---(l)

Lueo siamos con"

(

x )

≡ ( x 5 − x 4 ) + ( x 3 − x 2 ) + ( x − l)

(

x )

≡ x4

(

x − l) + x 2 (

x − l) + (

x − l) ≡

( x 4 + x 2 + l)( x − l)

(

x )

≡ (

x − l)( x 2 + x + l)( x 2 − x + l)---(2

)

Los factores comunes de" $4% $'%

( x

−

l

),

( x 2 −

x + l)

y

( x 2 + x + l)

Lueo por definici*n de M.C.D. se tiene"

. %[P, ]

≡ (

x − l) ⋅

( x 2 − x + l) y

( x 2 + x + l)


44/75

6) A-ora le corresponde al alumno"

Determinar la suma de los cu1os de los numeradores de las fracciones simples $parciales% en las

que se descompone la fracci*n 9$ x %, siendo"

6 ( x ) = x +3 x − l

(

x − l)4

.esolución

2) Determinar el MCD el MCM en cada unode los

ejercicios siuientes"

6)

@educir"2 2 2

= a − b − ab − b − aA% A( x , y, z ) = 2 4 x 3 y7 z

1 B ( x , y , z ) = 3 x5 y

2

z

ab

seo1tiene

ab − a 2 b

)% . ( x , y, z ) = 5 4 xl0

y8 z

41 % (x,y,:) = 3 0 x 7 y

2 z

3

C% P (

x )

= x 5 − 4 x 3

@pta." ..................................................................

( x ) = x7 − 4 x + 4 x

5

/ ( x ) = 2 x4− 4 x

3

7) Simplificar"

( x =

− l)( x + l)

D% A( x ) = ( x 2 − l0 x + 25 )( x − 3

)3

( )( )

x 2 − l x 4 + x 2 + l

B ( x ) = ( x 2 − 25 )( x − 3 )

. (

x )

= ( x − 5 x 5 )( x 2 − x + !

)

@pta." ..................................................................

8) Efectuar"

E% P ( x ) = x2+ 5 x +

x2 −3 x + 2 ⋅ x

2 − 4 ⋅ x2 −2 x −3

( x ) = 2 x 2 + l 2 x + l

8 x2 − x − x 2 − x − 2

2


45/75

x2 − 4 x + 4

/ ( x ) = 4 x2+ 4 x − 2 4

9% A( x , y ) = 4 x 5 y 2 − 4 x 3 y2

B ( x , y ) = 8 x3 y

3− 8 x

2 y

3

. ( x , y ) = l x4 y

4+ l x

2 y

4− 32 x

3 y

4

@pta." ..................................................................

9) @esol6er"

m2 − n

2

− m n

− n2

m n m n − m 2

@pta." ..................................................................


46/75

) Efectuar"

m2(m − n ) + m ⋅ n (m −

n)

m2

(m 2 − n

2)

@pta." ..................................................................

;) @esol6er"

l − l − 2b

a2 − ab a 2 + ab a3 − ab 2

26) Despu+s de simplificar la fracci*n"

6 = x + a – b – c + 2ax –2b c x

2 + b 2 – a 2 – c 2 – 2bx+ 2 ac

indique la suma del numerador

denominador. @pta."

..................................................................

27) Al simplificar la fracci*n"

( x + y + z + w )3 – ( x + z )

3 – ( y + w )3

=

@pta." ..................................................................

re

( 2 x + y + 2 z + w )2 – ( y + w )2

@)

@pta." ..................................................................

m 2 n 2n − m 2 n

m2

m2

− n

28) Simplificar"

@pta." .................................

......................

...........

A) Simplificar"

ba

–

al

– =

a + b

bl

+ a

2 2 2 2

= − + l

=


47/75

–

b

= a + a− a − l

a3 − a 2

− a + l

@pta." ..................................................................

@pta." ..................................................................

29) Efectuar"

l

ll

x

l

4 –

x2 – l

1 x ≠ l10

2#)Efectu

ar"l +

x −l −

x 3

+ x − x

l –

l + x x

−

l

+ x

Dar comorespuestaelnumerador

de lafracci*nsimplificada.

@pta." ..................................................................

22) Halle el MCD el MCM de"

T(m) = m3

'm m( '

@pta." .................................................................

.

2) De ladescomposici*n

e=puesta en"

4 x 2

– ! x

M

N

P ≡++

S$m% &m m0

(

4F

'5

F

@

p

ta." ..................................................................

(

–

2

)3

Darel

6alorde#

x

– 2

( x

–

2

)2

( x –

2 )3

@pta..................

3 2


48/75

48 #ASC>AL SACO

2;)Efect!e"

2A) SeanPl( x ) = A x

2 + 2 x − B

x 2a

+ x –2b x

– a + x2b

÷

P ( x ) =

A x2 − 4

x + B

xa + x

y P ,-allarelcociente

l

B

.

@

pt

a

.

"

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2


49/75

49SISTEMA

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A

2

@( a – 2) x

5 – (a + 7) x y +( 2a –l) y 7

.............

.............

.............

................

.........

4 x 5

– ( a

+ 2 ) x y + ( 3a

– l4

) y7

P ( x ) = A x2+

2 x − Bl

tomasiempre un6alorconstanteU^U.Calcular dic-o6alor^.

− 4 x + B

A pos− ! x

@pta." ..................................

.............

.............

......es el M.C.Mde l2

():-al

lar

B2 −

A .

@pta.........

2) Halle lasuma de los

factoresprimos delMCM de"

A = a2 + 3a − l0

8)Ef ect!e"

l

l


50/75

50 #ASC>AL SACO

x + 4

B

x2

–l

1 x

≠ l

. = a5 a

@pta."..........

..........

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.

6)

HalleelMCD de

"P( x )3 + x

x + l

x x

darcomore

spuestaelnumerador

delafracci*nsimplific

ada

@pta." .............

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

.

9)Efe

ct!e"

( x ) =

x3 + 3 x

2 + 5 x +3

@pta." ..

........

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

...

x –

2 ⋅l

÷ 2

x + 22 x

x + 2

7)

Ef ect!e

"

x xl

a." ...........................................

......

......

......

(

) ( ) ( )


51/75

51SISTEMA

l – x

@pta.".............................................................


52/75

CAPÍTULO

0 9

OBJETIVOS

– Este tema nos permitir+ conocer la diferencia sustancial entre ra'% aritm(tica Cra'% ale&raica

de un nmero)– Esta&leceremos las propiedades fundamentales de la radicación en el conjunto

de los nmeros reales, C sus respecti


53/75

funci*n.

A1el 6iaj* mu enfermo a 6isitar a su familia para la a6idad de 4F'F en9roland. El comen7* a decaer estu6o seriamente enfermo muri* a los pocos meses despu+s.

Abel, NielsHenrik

Compendio de Ciencias III-D Álgebra


54/75

54 #ASC>AL SACO


DEI1I-I01:

DIVISIBI3ID*D PO3I104I-*

P . O P I E D * D E S 5 E 1 E . * 3 E S D E 3 *. * D I - * =

Es aquella operaci*nale1raica que consiste en-allar

una e=presi*n num+rica llamada@APV, conocidos dos

- I0 1 E 1 E 3 - O1 J ? 1 T O .

cant idades deno m i nadasP DICE CA T IDADS>)@ADICAL, los cuales 6erificanla iualdad "

P2!

Ν (a 1b)∈ 2

UnU un natural impar

na = b ↔ b n = a1

n ∈ ,

n ≥ 2

Donde "

n " Kndice delradical

a " cantidadsu1radical oradicandob " raK7 en+simade _a`

P6!

na ⋅ b =

na ⋅

nb

Ν (a 1 b) ∈ 2 UnU un natural

par

n

a ⋅ b= a ⋅ b

Ν ( a 1 " ) ∈ 2

UnU un naturalimpar

n

D E I1 I- I0 1 D E . * >/* . IT 4 TI - *:

Sea UaU un n!mero realpositi6o _n` un n!mero

n a =a1

b

n

b

b ≠ 0

natural (n ≥ '%, se denomina raK7en+sima aritm+tica de_a`, al n!mero positi6o _1`, talque 1n & a.

Ν (a 1 b) ∈ 2 UnU un naturalpar

Esta raK7 6erificala definici*neneral"

n a =n

a

1

b ≠ 0

n

a

=b

↔

b

n = a

n n


55/75

55SISTEMA


b

1 (m

1

n)∈ 2

E j

IM#A@ " a∈

R 5 243 = 3 ↔ 3

5

=2431

R Si UmnU es #A@ " a ≥5

siendo 0 la raK7

quinta aritm+tica de'0.

P

8!

Νn ∈

,

n≥ ' a ≥ 5

R 4 25 = 5 ↔ 5 4

= 25 1

na

m = n

am

m

= a n

siendo 3 la raK7cuarta aritm+tica de2'3.

Ν n ∈ , UnU un n!mero par a ∈

m

n m nmnE IS TE 1 - I * ? 1 I - I D * D

D E 3 * . *> / E 1 E 3- O1 J ? 1 T O .

a = a

= a

En la iualdad n a = b , si UnU

es un n!mero natural $n ≥ '%

UaU es un 6alor permisi1le para

que n a est+ definida en , el

6alor de UbU e=istirá será !nico.

@edefiniendo este conceptoeneral, se tiene "R Si UnU es #A@ " a

≥

5 b≥

5

P9! Si UnU espar o impar

a 5

n ;

na = a

Si UnU UpUson pares

a b 5

am; = a m

R Si UnU es IM#A@ " a∈

b ∈

Siendo el sino de _b`, elmismo que el de _a`

Ejemplo s"

P!

Ν (a 1 b) ∈ 2 UnU un naturalimpar

am ⋅

nb

; = n

amn ⋅ b ;

Si UnU es par, de1emos teneren cuenta"

R

+72!= +3

RΝ a <0

UmU un n!mero #A@.

R

5

+l02

4 = +4

am ⋅

nb

; = n

am n ⋅ b

;

m; m

; n


56/75


57/75

El sino $% resulta del 6alor a1soluto,6eamos"

donde" Y & 4 : b4

&

Y & ' " b'

& m m mn m

n nmna

=−(−a

)−a = −

(−)

(a

& i

D E I1 I- I0 1 D E. * >/* 35 E B . * I - *

Se denominaraK7ale1raica de

lan

a , dondea

∈ n∈ , n ≥ ': a cada una de

las _n` raKcesdiferentesb

Y, que 6erifican

la iualdad "

nn

Y & " b

& i

, , i i sonlas raKcescuartasale1raicas deln!mero'32.

9inalmente,de1emosconcluir conel siuienteejemplo"

R El radical

4admite seis raKcesale1raicas: losa

= b

↔ ( b

)

= a1 ∈

l

cuales semuestran"

Es importanteresaltar elsiuientedetalle "

R Si el KndiceUnU es par,el elementob

Y, asumirá

dos raKcesreales $n'% raKcesimainarias.

+ 2(/a

.S/ALS

/ A>.S.PL?AS


58/75


59/75

m , (b + c) m y (c + a) m

l 3 2Y& 0

"b

0& 0

−

2−

i=3w2

F O 4 O 5 E 1 I/ *-I0 1 DE. *D I- *3 E S :

Si

endo& = −l

la u nida d ima in aria ,

Estatransformaci*n

elemental sefundamenta en elcriterio " >nradical no alterasu 6alor intrKnsecocuando

con6encionalmente elsKm1olo UwU,nosrepresentaa una de lasraKces c!1icasimainarias de

la unidad. 0, 0w

0w' sonlas raKcesc!1icasale1raicas deln!mero'.

se multiplicasimultáneamentepor un mismon!mero, el Kndicedel radical ele=ponente del

radicando. Esdecir"

R 4 25= b ↔ ( b

)4

= p ≠ 0

m m;


60/75

Ej e m plo :

Homoeni7ar o dar com!n Kndice los siuientesradicales"

(4 ) 5(4 ) 4 () 3( ) x 1 y

8(3 ) 7(3 ) 2(l2) l21 z 1 w4

@esultanlosradicales-om

o+neos "

ElMCMde losKndices 2, ,F 'esiuala '.Lue

o,-omoeni7andosetiene"

24

yl

8

1

2

4

z 2

l

1

wl

2

.*t

/-?*D.*D*D

EPO3I14IOSE1

7

24


61/75

_

Dado unpolinomio #$ x %de rado # A @,determinar

su raK7 cuadrada

consiste en -allarotros dos polinomios

P . O P I E D * D E S D E5 . * D O

llamados raK7cuadrada residuo,denotados por r$ x % @$ x %respecti6amente.De tal manera queestos 6erifiquen laidentidadfundamental de laradicaci*n"

2M0 ≤ [/( x)] ≤ [r ( x)]°

°

P( x) ≡ r 2

( x) + /(x)

6M![r(

x)]° =[P( x)]

= n1 n ∈ 1 n ≥l

Loscualesresultan delalortimo "

P . O - E DI 4I E 1 T O P* . *E T . * E . 3 *. *t /- ? * D . * D *D E ? 1P O 3 I1 O 4 IO

Donde"

r Considerandoque elpolinomio esde rado #A@,se siuen lossiuientespasos"

#$ x

% " #olinomi

o

ra

dicando r$ x

%

"#olinomioraK7

@$ x "#olinomioresiduo

- 3 *SI I- * -I1:2M!

>na raK 7 cuadrada será EAC TA,sisu r

e

siduo e

sun polinomi

o identicame

nte nulo.Esd

ecir"

P

( x

#o

r

e jem p lo "

4 x2 −l2

x +! ≡2 x− 3↔4 x

2

−l2 x+ !

≡ (2 x

− 3

)2

6M!>naraK7cuadradaseráI E

AC TA, sisuresiduon oesunpolinomioidenticamentenulo. Esdecir "

P

( x)≡r

2

(

x

)+

R

( x

) 1 si

e

n

!

R

( x

)≡0

# o re jem p lo "

l

x2

− 8

x

+ 5

noese=acto,de1ido aque"

42 x '

F x ( 3 ≡

$ x


62/75

4%' (

siendo"

r$ x %& x 4 @$ x % &

2M! El polinomioradicandode1e estarordenado,eneralm ente en f o rm adecrec iente

nonecesariamenteser completo.

6M! Se e=trae laraK7 cuadrada alprimer t+rminodel polinomio, elcual será elprimero de laraK7. Lueo,+ste se ele6a al

cuadrado elresultado seresta delpolinomio.

7M! Se 1ajan losdos t+rminossiuientes delradicando, paralelamentese duplica laraK7 encontrada.

Se di6ide el 48t+rmino 1ajadoentre lae=presi*nduplicada,o1teni+ndose elseundot+rmino de laraK7.

8M! Este t+rminoo1tenido se le

adiciona a laraK7 duplicada,o1teni+ndoseun resultado.Este resultadose multiplicapor el seundot+rmino de laraK7, para lueorestarlo de lost+rminos1ajados delpolinomio.

9M!Se 1a

jan los dos t+rminos su1s

iuientes

se repite elp

a

so ante

rior,tantas

6eces -asta q

ue elresiduo

sea de rado

menorqueeldelaraK7

odic-oresto

seaunpolinomioid+ntica

mentenulo.


63/75

E j e mp lo 2!

E=traer la raK7 cuadrada del polinomio "

P( x % & x 4' x 0 ( 40 x ' 2 x ( 4

4 x4

– l2 x3 + l3 x 2 – x +

l

– 4 x4

2 x2 – 3 x + l

– l2 x 3

– l2 x3 + l3 x

2

2 (2 x2 )= –3 x ( x3 + 4 x 2)( – 4 x )

l2 x3− ! x

2

4 x2

– x + l

4 x2

= l2 (2 x2 )

(4 x 2 – x + l)( – l)

@aK7 " r$ x % = 2 x ' 0 x (4

@esiduo" @$ x %≡ 5

E j emplo 6!

− 4 x 2 + x − l

0

Hallar la raK7 cuadrada del polinomio "

#$ x % & x 2 ( ' x 3 4 x 'F x 0 ( 00 x ' 4F x ( 43

! x

+ 2 4 x5

– l4 x4

– 28 x3

+ 33 x2

– l8 x +5

– ! x

3 x3

+ 4 x2

– 5 x + 224 x

52

2 4 x5

– l4 x4

– 2 4 x5

– l x4

– 30 x4

– 28 x3 + 33 x 2

30 x4

+ 40 x3

– 25 x2

2 ( 3 x3 ) –30 x

4

3 ( 3 x3)3

= 4x

= 5 x

( x 3 + 4 x 2 )( – 4 x 2 )

( x 3 + 8 x 2 – 5 x)(5 x

l2 x= 2 ( x 3 + 8 x 2 – l0 x + 2)( –2)l2 x 3 + 8 x 2 – l8 x + 5 2 ( 3 x3 )

– l2 x3

– l x2

+ 20 x – 4 – 8 x

2+ 2 x + l

@aK7 " r$ x % & 0 x 0 ( x ' 3 x ( '

@esiduo" @$ x %≡ F x ' ( ' x ( 4

E j e mp lo 7!

Determinar la raK7 cuadrada del polinomio "

#$ x % & 42 x 45 ( ' x F x 3 ( x x ' (


64/75

l xl0 + 24 x7

– l xl0

– 8 x5 + ! x 4 – 7 x 2 + 4

– 8 x5

+ ! x4

+

!

x

4

– 8 x5

8 x5

+

–7

x2

+ 4

+

x2

− l

– x2

+ 3

( )()

E j e mp lo 8!

Calcular los 6alores de UaU UbU, si el polinomiomostrado"

#$=% & F4 x ( '42 x 0 ( '42 x ' ( ax ( b tieneraK7 cuadrada e=acta.

8l x4 + 2l x 3 + 2l x 2 + ax + b

− 8l x 4

2l

x

3

+ 2l

x

2

− 2l

x

4 x5 + 3 x2 – l

24 x7

2= "x2 (4 x5 ) (8 x

5 + 3 x 2)( – 3 x 2

–8 x5

= – l2 (4 x5 ) 8 x

5 + x2

– l l


65/75

3

− l

44

x

2

72 x2

+a

x+b

−

7

2

x

2

−!

x

−

l

+ (b – l)

Como es e=acta "

@$ x % & $a 2% x ( $b 42% ≡ 5 x ( 5

Se cumplen " a 2 & 5 → a & 2

b 42 & 5→

b & 42

E j e mp lo 9!

Si la raK7 cuadrada del

polinomio "

#$ x %&

x

( a x 0

( b x '

2

x ( 3

poseecoef iciente

principal t+rminoindependientepositi6o

s.Calcularel6alor de$ba%,si elresto dela

e=tr

acci*n es iual a $0 x (3%.

R Aplicando la siuiente propiedad "

R ADI

CACIÓN

INE

XACT

A

R ADI

CACIÓN

EX

ACTA

r P(

x

)

– / (

x)

r

( x

)

0

#

o

r

e

l

c

r

i

t

e

r

i

o

m

! x2 + l2 x + 4

2l x 3

= l2 x2 ( ! x 2 )

(l8 x 2 + l2 x)( – l2 x)

72 x2

= 42 (! x 2 )

(l8 x 2 + 24 x + 4)( –4)


66/75

e

n

c

i

o

n

a

d

o

"

9

$

x

%

&

#

$

x

%

$

0 x

(

3

%

El nue6o polinomio "

9$ x % & x ( ax 0 (b=' 5 x (

tendrá raK7 cuadradae=acta.


67/75

R >tili7ando la identidad de la radicaci*n e=acta. Se tiene " 9$ x % ≡ Gr$ x %'

x ( ax 0 ( bx ' 5 x ( ≡ $0 x ' ( n x ( %'

Identificando, lueo de desarrollar el 'do. miem1ro, resultan las relaciones"

a & 2n, b & n' ( ', 4n & 5

Lueo " n & 3 por lo tanto" a & 05

" b & 2. 9inalmente b a &

2) Si al e=traer la raK7 cuadrada del polinomio"

P( x ) = 4 x 4 − l2 x3 + l3 x

2 + ax+ b

se o1tu6o de resto / ( x ) = (b − a) x − 3a , calcular (a ( b).

Resolución

Se o1ser6a que el polinomio es completo ordenado.

4 x4 − l2 x 3 + l3 x 2 + ax +

b

−4 x 4

− l2 x 3 + l3 x2

l2 x3 − ! x 2

2 x2 − 3 x + l

( ) C

4 x 2 − 3 x −3 x = −l2 x 3 + ! x 2

4 x2 + ax + b

− 4 x 2 + x − l

(4 x 2 − x + l)(l) = 4 x 2 − x + l

x (a + ) + (b − l) = / ( x ) = (b − a) x − 3 a]]]]]]]]

/ S T 7

por condici*n del pro1lema"

a + = b − a ⇒ 2 a

b − l = −3 a ⇒ 3 l

5 a = − 5 ⇒ a = −l

@eempla7ando en"

2a − b = −

2 (−l) − b = −∴ a + b = −l + 4 = 3

a − b =

− b = −


68/75

− 2 + = b

4 = b


69/75

6) Le corresponde al alumno"

Indicar el denominadorracionali7ante de"

Resolución

= l 3 4! − 3 7 −

2)

@educir"

) Hallar el6alor de lae=presi*n"

=7

+

−

l2

7

esunn!mer

o"

2 − l )(

3 + 8 )

@pta." ..................................................................

@pta." ..................................................................

6)

Efectua

r"

(

! − 4 5

+ 2 ) +

l

4 − 5

;) Si"

a = 2

− l

∧ b = 2 + l

@pta." ..................................................................

7) Hallar el 6alor de"

2 + l 2 −l

Dar el 6alor de" = a 3

b − ab 3

@pta." ..................................................................

= +

++--

----

-

@)

Si"a =

2 1 b =

2


70/75

3 1 ∧ c 1 = 5

@pta." ..................................................................

8) Hallar el6alor de lae=presi*n"

3

2

5

lar" =a b + b a c 2

− 2

c

(2 2 + l)(3

+ 2 ) =

@pta." ..................................................................

( 2 + l)

@pta." ..................................................................

A) Encontrar unequi6alente de"

9)

Si"

a4

= l7 +l

2 2 ,-allarUaU

m3 −

n ⋅ 3

m m

+

m3

− n

@pta." ..................................................................

@pta." ..................................................................

2 2


71/75

2#) Calcular el 6alorde"

29) Calcular $m ( n% si la raK7 cuadrada de"

al +

b + bl + a

= ! x 4 + m x 3 + n x 2

− 7 x + 5 4

l

+ a

deja como

residuo un1inomioiual a" 3 x+ 5 .

Siendo"

a

b

@pta." ..................................................................

@pta." ..................................................................

2) Bu+ 6alorasume" P( x ) = x + 4 x + 2

x2 + 2

22)El6alorde"

= x 3

+ 3 x+ !

s 2 + l −

l

2 +

l

para"

x

= 3

2 +l

− 3

2 @pta." ..........

.....................

.....................

..............

@pta." .................................................................. 2;

)Si"a =

m

− m

2

− 4

2m

26

b =

a +2

4


72/75

la

6alor t

iene 1.

= a +

x +a −

x1

x2a "


73/75

l − aa

"

@pta.".............

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

@pta." ..................................................................

27)

Efectuar laraK7cuadradade"

2@) Dar eldenominadorracionali7ado"

l2

P ( x

) = !

x4 −

l2 x3 + 2

2 x2

− 5 x

+ 3

3 + 5 − 2 2

o1tener suresiduo.

@pta." ..................................................................

@pta." ..................................................................

2A) Indique eldenominadorracionali7ado"

l

28)Calcular$m ( p% sila raK7cuadradade"

7 + l

6 ( x ) = ! x4

− l2 x3+ m

x2+ ( p − 5

) x + 25

es e=acta.

@pta." ..................................................................

@pta." ..................................................................

6#) E6aluar la fracci*n" x − l

x

−

a

+l

x2 − l

2


74/75

@pta." ...................................


75/75

2) Calcular"

4 x 4 – 80 x 3 + 73 x 2 – 28 x + l4

8)

Calcular"

5a ⋅ c ÷

3b .

@pta." ..................................................................

Si" 7c =

5b =

3a

@pta." ..................................................................

6) Hallar el 6alor de"

3 3# = 5 4 + 3 0 3 + 54 – 3 0 3 9) Hallar _B`"

@pta." ..............................................................

....#

= 72

+ 72 + x x

72+ x

= x x x

7)

Calcular"

@pta." ..................................................................

8 + 32 +# =

l28

50 – l8

@pta." ..................................................................

reglas del algebra

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