Ajuste de una curva

Regresin lineal

Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar la distribucin

bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido con el diagrama de

dispersin, cuyo anlisis permite estudiar cualitativamente, la relacin entre ambas

variables tal como se ve en la figura. El siguiente paso, es la determinacin de la

dependencia funcional entre las dos variables x e y que mejor ajusta a la distribucin

bidimensional. Se denomina regresin lineal cuando la funcin es lineal, es decir,

requiere la determinacin de dos parmetros: la pendiente y la ordenada en el origen de

la recta de regresin, y=ax+b.

La regresin nos permite adems, determinar el grado de dependencia de las series de

valores X e Y, prediciendo el valor y estimado que se obtendra para un valor x que no

est en la distribucin.

Vamos a determinar la ecuacin de la recta que mejor ajusta a los datos representados

en la figura. Se denomina error a la diferencia yi-y, entre el valor observado yi, y el

valor ajustado y= axi+b, tal como se ve en la figura inferior. El criterio de ajuste se toma

como aqul en el que la desviacin cuadrtica media sea mnima, es decir, debe de ser

mnima la suma

Los extremos de una funcin: mximo o mnimo se obtiene cuando las derivadas de s

respecto de a y de b sean nulas. Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos

incgnitas del que se despeja a y b.

El coeficiente de correlacin es otra tcnica de estudiar la distribucin bidimensional,

que nos indica la intensidad o grado de dependencia entre las variables X e Y. El

coeficiente de correlacin r es un nmero que se obtiene mediante la frmula.

El numerador es el producto de las desviaciones de los valores X e Y respecto de sus

valores medios. En el denominador tenemos las desviaciones cuadrticas medias de X y

de Y.

El coeficiente de correlacin puede valer cualquier nmero comprendido entre -1 y +1.

Cuando r=1, la correlacin lineal es perfecta, directa.

Cuando r=-1, la correlacin lineal es perfecta, inversa

Cuando r=0, no existe correlacin alguna, independencia total de los valores X e Y

Ejemplo

Obtenga la ecuacin de demanda que se ajusta mejor a los siguientes datos, y sela para

pronosticar ventas anuales de casas preciadas a $140,000.

Precio (Miles de dlares) 160 180 200 220 240 260 280

Ventas de nueva casas este ao 126 103 82 75 82 40 20

Solucin Aqu esta una tabla como la que usamos ms arriba para organizar las

calculaciones:

xx yy xyxy x2x2

160 126 20,160 25,600

180 103 18,540 32,400

200 82 16,400 40,000

220 75 16,500 48,400

240 82 19,680 57,600

260 40 10,400 67,600

280 20 5,600 78,400

x=1540 y=528 xy=107 280 x2=350 000

Sustituyendo estos valores en la formula (con n=7), obtenemos

Observe que usamos el valor ms exacto que pudimos obtener en la calculadora, m 07928571429, en lugar del valor redondeado (0 7929) en la calculacin de b. Eso ilustra la siguiente regla general:

Al calcular, no redondee los resultados intermedios; en vez de eso, utilice los resultados

ms exactos que puede obtener, usando los valores guardados en su computadora o

calculadora si es posible.

Por lo tanto, la recta de regresin es

y=0 7929x+249 9

EJEMPLO 2.

Ajustar los siguientes datos a una lnea recta.

X Y XY 2 1 2 2 1

2 3 6 2

2 4 8 2

3 4 12 9

4 4 16 16

4 6 24 16

5 5 25 25

6 7 42 36

27 35 135 111

= 8(135) (27 35)

8(111) (27)= 0.849

= 35

8

45

53(

27

8) = 1.509

X Y

0 1.5

1 2.358

6 6.603

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

Regresion Lineal