regulación automática
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Respuesta en frecuenciaDiagramas de BodeDiagramas de NyquistSistemas de controlTRANSCRIPT
Gijón - Junio 2005 1
Tema 4
Análisis de Sistemas en el Dominio de la Frecuencia
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 2
Indice
• 4.1. Respuesta en frecuencia• 4.2. Representaciones de la respuesta frecuencial
– 4.2.1. Diagrama de Bode– 4.2.2. Diagrama Magnitud-Fase– 4.2.3. Diagrama Polar
• Apéndice I: Relación Análisis Temporal-Análisis Frecuencial• Apéndice II: Aplicación del diagrama de Bode
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 3
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Análisis en el Dominio de la Frecuencia
• Respuesta de los sistemas ante entradas de tipo senoidal.• Entrada: Señales senoidales de distinta frecuencia f (o pulsación ω=2π·f)
y, generalmente, de la misma amplitud M.
• Salida:Régimen transitorio: La señal se va convirtiendo poco a poco en una senoide. Régimen permanente: La señal es una senoide de igual frecuencia que la
entrada, pero con distinta amplitud y fase. La diferencia es función dela frecuencia.
∞→= 0:)()··(·)( 0 ωω tutsenMtx
))(·(··)()( ωωω jGtsenMjGtyRP +=
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Respuesta a una Entrada Senoidal (I)
)()···sen()( 0 tutMtx ω=
]/[51 sradM == ω
Y(s)X(s)G(s)
x(t) y(t)
15575)( 2 ++
=ss
sG
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
]
][·)(
)(
)()(
radtjGMNjG
sGjG
o
js
ωω
ω
ω ω
=
=
= =
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3
-2
-1
0
1
2
3
4Transitorio Permanente
M =
N |G(jω)|=N/M |G(jω)= to·ω [rad]
to<0 T=2π/ω=1/f
π/ω 2·π/ω 3·π/ω
y(t)
x(t)
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Respuesta a una Entrada Senoidal (II)
)()···sen()( 0 tutMtx ω=
Y(s)X(s)G(s)
x(t) y(t)
15575)( 2 ++
=ss
sG
]/[101 sradM == ω
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
]
][·)(
)(
)()(
radtjGMNjG
sGjG
o
js
ωω
ω
ω ω
=
=
= =
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y(t)
x(t)
Transitorio Permanente
M =
N
to<0 T=2π/ω=1/f
|G(jω)|=N/M
|G(jω)= to·ω [rad]
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Representaciones de la Respuesta Frecuencial
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
• Diagrama de Bode: Dos curvas en función de la frecuencia f [Hz] o de la pulsación ω [rad/s], enescala logarítmica.–Relación de amplitudes A(ω) = 20·log|G(jω)| [dB]–Angulo de fase Ψ(ω) = |G(jω) [º]
• Diagrama Magnitud-Fase:Relación de amplitudes A(ω) [dB] en función del Angulo de fase Ψ(ω) [º]con la frecuencia o pulsación como parámetro.
• Diagrama Polar:Lugar geométrico de los afijos de los vectores G(jω) cuando ω:0→∞
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Diagrama de Bode (I)
][)(·log20)( dBjGA ωω =
• La relación de amplitudes en decibelios [dB]:
• El ángulo de fase en grados [º]:
•La frecuencia f [Hz] o la pulsación ω [rad/s] en escala logarítmica
•Multiplicar o dividir por 10 a |G(jω)| supone sumar o restar 20 dB a A(ω).
• Multiplicar por 10 la frecuencia supone subir una década y por 2 una octava.
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
][ºº180·)()(rad
radjGπ
ωω =Ψ
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Diagrama de Bode (II)
∏ ∏
∏ ∏
= =
= =
+++
+++
=L
l
M
m nmnm
ml
N
P
p
Q
q nqnq
qp
sssTs
sssTK
sG
1 1
2
1 1
2
··21)··1(·
··2
1)··1(·
)(
ωωξ
ωωξ
( ) ∏ ∏
∏ ∏
= =
= =
+++
+++
=L
l
M
m nmnm
ml
N
P
p
Q
q nqnq
qp
jjjTj
jjjTK
jG
1 1
2
1 1
2
··21)··1(·
··2
1)··1(·
)(
ωωω
ωξωω
ωωω
ωξ
ω
ω
• Para trabajar con el diagrama de Bode se sustituye s=jω en la función de transferencia del sistema y se expresa con los términos independientes de cada polinomio iguales a 1.
• Se puede estudiar la respuesta en frecuencia del sistema analizando por separado la respuesta de cada uno de los elementos de la función de transferencia. La suma de todos los resultados será la respuesta del conjunto.
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
( )
++
+
+++
2
2
··21
1;)·1(
1;1;··21;)·1(;
nn
Nnn jj
jTjjjjTK
ωωω
ωξωωω
ωωωξω
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Respuesta de un término constante
10-1 100 101ω (rad/s)
Bode (Amplitudes)
AsintóticoReal
10-1 100 101-270
-180
-90
0
90
ω (rad/s)
Bode (Fases)
AsintóticoReal
A(ω)=20·log|K| [dB]
K>0
K<0
KjGKsG == )()( ω
KjGA ·log20)(·log20)( == ωω
<−>
==0º180
0º0)()(
KsiKsi
jG ωωψ
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 10
Respuesta de un polo en el origen
10-1
100
101
-20
-10
0
10
20
ω (rad/s)
Bode (Amplitudes)
AsintóticoReal
10-1 100 101-270
-180
-90
0
90
ω (rad/s)
Bode (Fases)
AsintóticoReal
-20 dB/dec
ωω
jjG
ssG 1)(1)( ==
ωω
ωωω
·log20·log201·log20
1·log20)(·log20)(
−=−=
===j
jGA
∞→∀
−=−===Ψ
0:;
º9011)()(
ωω
ωω
ωω jj
jG
−=⇒==⇒=
=⇒=
dBAdBA
dBA
20)10(100)1(1
20)1.0(1.0
ωωω
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Respuesta de más de un cero o polo en el origen
10-1
100
101ω (rad/s)
Bode (Amplitudes)
AsintóticoReal
10-1 100 101ω (rad/s)
Bode (Fases)
AsintóticoReal
±N·20 dB/dec0
±N·90º
NN jjGssG ±± == )()()( ωω
( ) ωω
ωω
·log20··log20
)(·log20)(
Nj
jGAN ±==
==±
º90··
)()()(
NjN
jjG N
±=±=
===Ψ ±
ω
ωωω
)0)1(1( dBA =⇒=ω
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Respuesta de un polo realω
ωjT
jGsT
sG·11)(
·11)(
+=
+=
2)·(1·log20)( TA ωω +−=)·arctg()( Tωω −=Ψ
10-2
10-1
100
101
102
-40
-20
0
20
ω (rad/s)
Bode (Amplitudes)
Asintótico
Real
-20 dB/dec
Error max. 3 dB
1/T
10-2
10-1
100
101
102
-180
-90
0
90
ω (rad/s)
Bode (Fases)
Asintótico
Real
-45º/dec
0.1/T 10/T
(Ejemplo para T=1)
−→Ψ⇒∞→→Ψ⇒→
º90)(Siº0)(0Si
ωωωω
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Respuesta de un cero real ωω jTjGsTsG ·1)(·1)( +=+=
2)·(1·log20)( TA ωω +=)·arctg()( Tωω =Ψ
10-2
10-1
100
101
102
-20
0
20
40
ω (rad/s)
Bode (Amplitudes)
Asintótico
Real
+20 dB/dec
1/T
10-2
10-1
100
101
102
-90
0
90
180
ω (rad/s)
Bode (Fases)
Asintótico
Real
+45º/dec
0.1/T 10/T
(Ejemplo para T=1)
→Ψ⇒∞→→Ψ⇒→
º90)(Siº0)(0Si
ωωωω
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Respuestas de otros ceros o polos reales
• Para N polos o ceros con la misma frecuencia de corte, las pendientes de los trazados asintóticos de cada representación se multiplican por N. También se multiplica por N el error de representación.
• Si los signos del los coeficientes del polinomio que representa al polo o cero real cambian, la curva de relación de amplitudes no cambia, pero la de fases si.
Ceros ω→0 ω→∞ Polos ω→0 ω→∞
(1+T·jω) 0º → 90º 1/(1+T·jω) 0º → -90º(1-T·jω) 0º → -90º 1/(1-T·jω) 0º → 90º(-1+T·jω) 180º → 90º 1/(-1+T·jω) -180º → -90º(-1-T·jω) -180º → -90º 1/(-1-T·jω) 180º → 90º
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Respuesta de un par de polos complejos (I)2222 )·()/1()·/·2(1
1)(·)/1()·/·2(1
1)(ωωωωξ
ωωωξ jj
jGss
sGnnnn ++
=++
= ( )[ ] ( )2222 /··4/1·log20)( nnA ωωξωωω +−−=
( )( )
−−=Ψ 2/1
/··2arctg)(n
n
ωωωωξ
ω
10 << ξ
10-2
10-1
100
101
102
-40
-20
0
20
ω (rad/s)
Bode (Amplitudes)
Asintótico
Real20·logMr
ωr
ωn
Pico de Resonancia
-40·dB/dec
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
90
ω (rad/s)
Bode (Fases)
Asintótico
Real
0.1·ωn 10·ωn
-90º/dec
−=
−=
<<2
2
·21·
1··2
1
707.00
ξωω
ξξξ
nr
rMsi
← Pico de Resonancia
← Frecuencia de Resonancia(Ejemplo para ωωωωn=1, ξξξξ=0.1)
−→Ψ⇒∞→→Ψ⇒→
º180)(Siº0)(0Si
ωωωω
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Respuesta de un par de polos complejos (II)
22·)/1()·/·2(11)(
sssG
nn ωωξ ++=
Comparación de la respuesta en frecuencia cuando se modifica el parámetro ξ
22 )·()/1()·/·2(11)(
ωωωωξω
jjjG
nn ++=
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Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (I)
)·25.0·5.01)·(·101·()·41·(20)(
)4·2)·(1.0·()25.0·(32)( 22 ssss
ssGssss
ssG+++
+=
++++
=
Fase
))·(25.0·5.01)·(·101·()·41·(20)( 2ωωωω
ωωjjjj
jjG+++
+=
Amplitud
=========
Ψ
20·102.0·1.025.2·10025.0·1.025.01·1001.0·1.01.0
)()(cortedesFrecuencia
nnn
zzz
ppp
A
ωωωωωωωωω
ωω
=⇒=
⇒==
sraddBM
r
rn
/41.124.115.1
5.02
ResonanciadePicoωξ
ω
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (II)
Elemento Frecuencia de corte Cambio dependiente
Pendiente acumulada
K=20 ≡ 26 [dB] 0 dB/dec
1/(j·ω) (ω=1 ⇒ 0 dB)
No tienen, frecuencia de corte.Su representación es una rectade pendiente -20db/dec quepasa por 26 dB para ω=1
-20 dB/dec -20 dB/dec(pendiente inicial)
1/(1+10·j·ω) ωp=0.1 -20 dB/dec -40 dB/dec(1+4·j·ω) ωz=0.25 +20 dB/dec -20 dB/dec
1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) ωn=2 -40 dB/dec -60 dB/dec
Elemento ω→0 ω→∞K=20>0 0º → 0º1/(j·ω) -90º → -90º
1/(1+10·j·ω) 0º → -90º(1+4·j·ω) 0º → 90º
1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 0º → -180ºTotal -90º → -270º
Elemento Frecuencia de corte Cambio de pendiente
Pendiente acumulada
K=20>0 (0º) 0º/dec1/(j·ω) (-90º)
No tienen. Es una horizontal por -90º 0º/dec
0º/dec(inicial)
1/(1+10·j·ω) 0.1·ωp=0.01 -45º/dec -45º/dec(1+4·j·ω) 0.1·ωz=0.025 +45º/dec 0º/dec
1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 0.1·ωn=0.2 -90º/dec -90º/dec1/(1+10·j·ω) 10·ωp=1 +45º/dec -45º/dec(1+4·j·ω) 10·ωz=2.5 -45º/dec -90º/dec
1/(1+0.5· j·ω +0.25·(j·ω)2) 10·ωn=20 +90º/dec 0º/dec
• Tabla para el trazado asintótico de A(ω)
• Tablas para el trazado asintótico de Ψ(ω)
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Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (III)
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Diagrama Magnitud-FaseBodeMagnitud-Fase A(ω) [dB]A(ω) [dB] ψ(ω) [º]
ψ(ω) [º] ω [rad/s]
20
40
0
-20
20
40
0
-20
0
-90
-180
-270-270 -180 -90 0 10-1 101
ψ(ω)
A(ω)
A(ω1)A(ω1)
ψ(ω1)
ψ(ω1)
A(ω2)A(ω2)
ψ(ω2)
ψ(ω2) ω2=4
ω2
ω1
ω1=1
)4·2)·(1.0·()25.0·(32)( 2 +++
+=
ssssssG
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Diagrama Polar
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-3
-2
-1
0
1
2
ψ(ω1)= G(jω1)
ψ(ω2)= G(jω2)
G(jω1)
G(jω2)
ω=0
ω1
ω2
ω=inf
)1·1.0)(1·2.0)(1·4.0)(1()1·5()(
+++++
=ωωωω
ωωjjjj
jjG
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 22
Diagrama Polar (II)
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Frequency (rad/sec)
Magnitude
(dB)
Bode Diagrams
-40
-20
0
20
40
60
80
10-1 100 10 1
-270
-240
-210
-180
-150
-120
-90
10-2
Phase
(deg)A(ω)
ψ(ω)
)4·2)·(1.0·()25.0·(32)( 2 +++
+=
ssssssG
-6 -4 -3 -2 -1 1
-8
-6
-4
0
-2
2
ω→0
ω→∞-5
ω→0
ψ(ω)→-90º
A(ω)→∞⇒|G(jω)|→∞
ω→∞ψ(ω)→-270º
A(ω)→-∞⇒|G(jω)|→0ω=1.9
ψ(1.9)=-180º
A(1.9)≈13 dB⇒|G(j·1.9)|≈4.5
ω=1.9
ψ(ω)→-90º
|G(j·1.9)|≈4.5
ψ(1.9)=-180º
|G(jω)|→0
ψ(ω)→-270º
|G(jω)|→∞
(0º)(-180º)
(-270º)
(-90º)
Gijón - Junio 2005 23
Respuesta en Frecuencia de un Retardo Puro
t
x(t)
t
y(t)=x(t-T)
T
Y(s)X(s)
x(t) y(t)G(s)=e-T·s
Retardo T
T = tiempo de retardo
][·)(][0)(
·1)(X(s)Y(s))(
··
·
radTdBA
TejG
esG
jT
sT
ωωψω
ωω ω
−==
−==
==
−
−
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
BodeA(ω) [dB] ψ(ω) [º]
ω [rad/s]
20
40
0
-20
0
-90
-180
-2700.1/T
ψ(ω)
A(ω)
1/T 10/T
-1 1
-1
0
1DiagramaPolar
Gijón - Junio 2005 24
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 25
Relación Análisis Temporal – Análisis Frecuencial
100100)(+
=s
sGAmplitud 1 Frecuencia 1 Hz.
¿y(t)?
1. Descomposición de Fourier de la señal de excitación.2. Obtención de la respuesta del sistema a cada una de las senoidales.
3. Suma de las respuestas para obtener y(t) según el principio de superposición.
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 26
1. Descomposición de Fourier de la señal de excitación
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 27
2. Obtención de la respuesta del sistema cada una de las senoidales
100100)(+
=s
sG
y1(t)
y2(t)
yn(t)
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 28
3. Suma de las respuestas para obtener y(t)
100100)(+
=s
sG y(t)=sum(yi(t))
Las respuestas temporal y frecuencial de un sistema pueden relacionarse a partir del desarrollo en serie de Fourier.
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 29
Ancho de Banda de un Sistema
Frecuencia en la cual la ganancia está 3 dB por debajo de su valor de frecuencia 0.
Frecuencia superiores al ancho de banda sufren una atenuación proporcional a su alejamiento de tal frecuencia. Frecuencias inferiores pasan casi sin alteración.
(Ganancia K = 1 para el ejemplo)
Y(s)X(s)
x(t) y(t)1·1)(+
=sT
sG
TwRápidoSistemawRápidoSistemaTety
LentoSistemawLentoSistemaT
c
cTt
c
/11)(
=↑↓⇒−=
↓⇒↑⇒−
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 30
Resonancia de un SistemaY(s)X(s)
x(t) y(t)22
2
2)(
nn
n
sssG
ωξωω
++=
)(),()·()/1()·/·2(1
1)(·)/1()·/·2(1
1)( 2222 wwAjj
jGss
sGnnnn
Ψ→++
=++
=ωωωωξ
ωωωξ
==−
=−
=
−=<<
)2(·21
)()··cos(21
)(cos1)··cos(21
1··21
·21·707.00
22
2
ϑϑϑϑϑξξ
ξωωξ
sensenMsi
r
nr
↑↑⇒→= −prp MMeM [%]100·
:aciónSobreoscilcotg· θπ
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
≈≈=
≈≈↓⇒→
−
−=
−−
=−
==
rndd
rnd
rrndp tt
ωπ
ωπ
ωπ
ωωωξ
ξω
ξπ
ξξ
ωπ
ξωπ
ωπ
2
2
2
2
2 1
21
121
1
:picodeTiempo
Gijón - Junio 2005 31
Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (I)AMPLIFICADOR/ECUALIZADOR
MICROFONO ALTAVOZ
SONIDO SONIDO
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 32
Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (II)
MICROFONO
0
0
4
0.01 0.02-4
0
0
4
0.01 0.02-4 500 Hz
0
0
4
0.01 0.02-4 50 Hz
5000 Hz
0
5
0.01 0.020-5
0
0
4
0.01 0.02-4
0
0
4
0.01 0.02-4 500 Hz
0
0
4
0.01 0.02-4 50 Hz
5000 Hz
0
5
0.01 0.020-5
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 33
Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (III)
-4
0
0
4
0.01 0.02-4 500 Hz0.01 0.02-4 500 Hz
0
0
4
0.01 0.02-4 50 Hz0
0
4
0.01 0.0250 Hz
5000 Hz
0
5
0.01 0.020-5
0
5
0.01 0.020-5
0
0
4
0.01 0.02
0
0
4
0.01 0.02-4 500 Hz0
0
4
0.01 0.02-4 500 Hz
0
0
4
0.01 0.02-4 50 Hz0
0
4
0.01 0.02-4 50 Hz
5000 Hz
0
5
0.01 0.020-5
0
5
0.01 0.020-5
0.01 -4
0
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Junio 2005 34
Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (IV)
0.01 0.02-4
0
0
4
0.01 0.02-4 500 Hz0
0
4
0.01 0.02-4 500 Hz
0
0
4
0.01 0.02-4 50 Hz0
0
4
0.01 0.02-4 50 Hz
5000 Hz
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5
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ALTAVOZ
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REGULACIÓN AUTOMÁTICA