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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones

Regularidad en espacios de Besov yLizorkin-Triebel,

de la descomposicion de Hodge sobre variedadesRiemannianas con frontera

Francisco J. Torres Ayala FC-UNAMMa. de los Angeles Sandoval Romero, FC-UNAM

Miguel A. Ballesteros Montero, IIMAS

ENJIM15IMATE

30 de noviembre del 2015


Plan

Introduccion

Elipticidad

Laplace Beltrami

Descomposicion de Hodge

Generalizaciones


Descomposicion de Helmotz

Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz

Teorema

Sea F : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial C1 (U dominio acotadocon frontera suave). Entonces F se puede descomponer, de maneraunica, como una suma de un gradiente negativo, con potencial φ yel rotacional de un potencial a. Es decir

F = −∇φ+∇× a


Solucion de ecuaciones con valores en la frontera

U ⊆ Rn, abierto acotado con frontera suave:

∇× X = F, en U

X|∂U = 0, en ∂U

PeroF = −∇φ+∇× a

entonces, para tener solucion, necesariamente −∇φ = 0.

Se propone X = a+∇g, con g en C∞(U).El problema es equivalente a :

(∇g)|| = −a|| y (∇g) · N = 0, en ∂U


Y cuando desperte ...

el kernel del operador era distinto de cero

... pero su kernel y co-kernel eran finito dimensionales.


Aσ = η ⇒ σ = A−1η

Definicion Un operador se llama esencialemte invertible si esinvertible modulo operadores compactos.

Algebra de Calkin

C(H) := B(H)/K(H).

B(H)π→ C(H)

A es escencialmente invertible sii π(A) es invertible.


Teorema de Atkinson

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales.


Teorema de Atkinson(WRONG ATKINSON)

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales.


Teorema de Atkinson

Frederic Valentine Atkinson

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales (i.e. T esFredholm).


Problemas con valores en la frontera

Problema con valores en la frontera en U ⊂ Rn

Lu = v, en U

Lju = vj , 1 ≤ j ≤ l, en ∂U

Lu =∑|α|≤d

aα(x)︸︷︷︸matriz N ×N

∂α(u)

Lju =∑|β|≤dj

b(j)β (x)︸︷︷︸

matriz Nj ×N

∂β(u)

El sımbolo principal de L, se define como

pL(x, ξ) =∑|α|=d

aα(x)(ξ)α ∈MN,N


Elipticidad

• Lopatskii-SapiroEl problema con valores a la frontera es elıptico si

1. pL(x, ξ) es invertible sii ξ 6= 0.

2. Para todo x y para todo ξ ∈ Rn \ 0, la transformacion

Mx,ξ →l⊕

j=1

CNj

σ 7→ (pLi(x, ξ + ien∂s)σ|s=0)1≤i≤l

es biyectiva, para todo ξ 6= 0, donde

Mx,ξ = σ : pL(x, ξ + ien∂s)σ = 0 y σ es acotada en R+


Elipticidad

• Boutet de MonvelEl problema con valores a la frontera es elıptico si

1. pL(x, ξ) es invertible sii ξ 6= 0.

2. Para todo x y para todo ξ ∈ Rn \ 0 la transformacion

S(R+) 7→ S(R+)⊕l⊕

j=1

CNj

σ 7→ (pL(x, ξ + ien∂s)σ, pLi(x, ξ + ien∂s)σ|s=0)1≤i≤l

es biyectiva.


Teorema (Hormander, Grubb, Rempel y Schulze)

Para el operador

∆nnd

: W spΩk(D)→

W s−2p Ωk(D)

⊕W

s−1/pp Ωk(D)|∂D

⊕W

s−1−1/pp Ωk+1(D)|∂D

son equivalentes:

1. Es elıptico

2. Es Fredholm, para todo s ≥ 2, 1 < p <∞.


El reparto

• (M, g), variedad Riemanniana, orientada, completa con radioinyectivo positivo y geometria acotada.• D ⊂M , sub-variedad, compacta, conexa con frontera.

• d : Ωk(M)→ Ωk+1(M), t,n : Ωk(D)→ Ωk(D)|∂D


y como estrella principal ...El operador de Hodge

∗ : Ωk(M)→ Ωn−k(M)

Si (Ei)1≤i≤n es un marco g-ortonormal (local):

∗(E∗i1 ∧ · · ·E∗ik

) = εE∗i′1∧ · · · ∧ E∗i′n−k

E1i1

E2i′1

E3i2

E4i′2

E5i′3

E6i′4

ε = ε(1, 3, 2, 4, 5, 6) = −1

Producto interior

〈η, ω〉 :=

∫Mη ∧ ∗ω


La co-diferencial

δ : Ωk(M)→ Ωk−1(M)

δ(ω) = (−1)nk+n+1 ∗ d ∗ (ω)

Formula de Green

Para ω ∈ Ωk−1(D), η ∈ Ωk(D)

〈dω, η〉 = 〈ω, δη〉+

∫∂D

tω ∧ ∗nη

En un mundo sin fronteras (∂D = ∅)

〈dω, η〉 = 〈ω, δη〉

Entonces d y δ son adjuntos uno del otro.


El operador de Laplace-Beltrami∆ := dδ + δd

• Laplaciano de Neumann:

∆(k)N :=

∆nnd

: Ωk(D)→ Ωk(D)⊕ Ωk(D)|∂D ⊕ Ωk+1(D)|∂D

• Laplaciano de Dirichlet:

∆(k)D :=

∆ttδ

: ΩK(D)→ Ωk(D)⊕ Ωk(D)|∂D ⊕ Ωk−1(D)|∂D

• Equivalentes

∗n = t∗, ∗t = n∗, nδ = δn, td = dt, ∗∆ = ∆∗


El operador de Laplace-Beltrami

s ∈ N0, p ≥ 2

• Laplaciano de Neumann:

∆(k)N :=

∆nnd

: W spΩk(D)→

W s−2p Ωk(D)

⊕W

s−1/pp Ωk(D)|∂D

⊕W

s−1−1/pp Ωk+1(D)|∂D


Potenciales y regularidad

HkN(D) = ω ∈ H1Ωk(D) : dω = δω = nω = 0

Teorema

Dado η ∈ HkN(D)⊥ exsite una unica k-forma φN tal que

∆φN = η, en D

nφN = 0, en ∂D

ndφN = 0, en ∂D

Ademas, si η es de clase W sp entonces φN es de clase W s+2

p .


Ek(D) = dα : α ∈ H1Ωk−1(D), tα = 0Ck(D) = δβ : α ∈ H1Ωk+1(D),nβ = 0Hk(D) = ω ∈ H1Ωk(D) : dω = δω = 0


Descomposicion de Hodge

Teorema (Hodge-Morrey)

L2Ωk(D), se descompone, como la suma L2-ortogonal de:

L2Ωk(D) = Ek(M)⊕ Ck(M)⊕Hk(D)


En W sp

W spEk(D) = Ek(D) ∩W s

pΩk(D)

W spCk(D) = Ck(D) ∩W s

pΩk(D)

W spHk(D) = Hk(D) ∩W s

pΩk(D)

Teorema (Hodge-Morrey-Schwarz)

W spΩk(D) (s ∈ N0, p ≥ 2), se descompone, como la suma

L2-ortogonal de:

W spΩk(D) = W s

pEk(M)⊕W spCk(M)⊕W s

pHk(D)


Extenciones• Schwarz, Gunter. Hodge Decomposition-A method for Solving

Boundary Value Problems. Lecture Notes in Mathematics.Springer-Verlag, 1995.

• Jonhsen, Jon. Elliptic boundary problems and the Boutet deMonvel Calulus in Besov and Triebel-Lizorkin spaces.Math.Scand. 79. pp. 25-28, 1996.

• Mitrea, Marius. Sharp Hodge Decompositions, Maxwell’sEquations, and vector Poisson problems on nonsmooth,three-dimensional riemannian manifolds. Duke Math. J. 125,3. pp. 467-547, 2004.

• Mitrea, Marius. Sharp Hodge decompositions in two and threedimensional Lipschitz domains. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I334. pp. 109-112, 2002.

• Schneider, Cornelia.Traces in Besov and Triebel- Lizorkinspaces on domains. Mathematische Nachrichten 284, 5-6.pp.572-586, 2011.

• Triebel, Hans. Theory of Function Spaces Vol. 1,2,3.


Era un trabajo sucio...

Teorema

Asp,qΩk(D) (s > 0, 2 ≤ p, q ≤ ∞, p finito para Lizorkin-Triebel), se

descompone, como la suma L2-ortogonal de:

Asp,qΩk(D) = Asp,qEk(M)⊕Asp,qCk(M)⊕Asp,qHk(D)

Asp,qEk(D) = Ek(D) ∩Asp,qΩk(D)

Asp,qCk(D) = Ck(D) ∩Asp,qΩk(D)

Asp,qHk(D) = Hk(D) ∩Asp,qΩk(D)


Espacios de Besov y Lizorkin-TriebelPara ındices, 0 < p, q ≤ ∞ y s ∈ R definimos

Bsp,q :=

f ∈ S′(Rn) :

( ∞∑k=0

2sqk‖(ϕkf)∨‖qLp

)1/q

<∞

con las moficicaciones usuales para q =∞.Para ındices 0 < p <∞, 0 < q ≤ ∞ y s ∈ R definimos

F sp,q :=

f ∈ S′(Rn) :

∥∥∥∥∥( ∞∑k=0

2sqk∣∣∣(ϕkf)∨(·)

∣∣∣q )1/q∥∥∥∥∥Lp

<∞

con las moficicaciones usuales para q =∞.Donde (ϕj)j∈N0 , es una particion de la unidad, suave que satisface

1. supp(ϕ0) ⊂ ξ ∈ Rn : ‖ξ‖ ≤ 2,2. para todo j ∈ N, supp(ϕj) ⊂ ξ ∈ Rn : 2j−1 ≤ ‖ξ‖ ≤ 2j+1,3.∑∞

k=0 ϕk(x) = 1, para todo x en Rn.


Espacios de Besov y Lizorkin-Triebel

T : DT ⊆ H → H, operador lineal, no acotado, positivo,ϕ : R→ R continua.

ϕ(T )f :=

∫ ∞0

ϕ(t)dEf (t)

D(ϕ(T )) := f ∈ H :

∫ ∞0|ϕ(t)|2d‖Ef (t)‖ <∞

‖T sf‖ ∼

∞∑j=0

22js‖ϕj(T )f‖21/2


Regularidad

Teorema

Supongamos que v ∈W 22 Ωk(D) resuelve el problema de valores en

la frontera

∆v = η, en U (1)

nv = ηn, en ∂U (2)

ndv = ηnd, en ∂U (3)

para η ∈ AspqΩk(D) ∩HkN(D)⊥, ηn ∈ Asp,pΩk(D)|∂D, ηnd ∈

As−1−1/pp,p Ωk+1(D)|∂D. Entonces, v ∈ As+2

pq Ωk(D).


Descomposicion de Friedrics

Hkex(D) :=ω ∈ Hk(D) | ω = dα, para alguna α ∈W 1

2 Ωk−1(D)Hk

co(D) :=ω ∈ Hk(D) | ω = δβ, para alguna β ∈W 12 Ωk+1(D)

Teorema

AspqHk(D) = AspqH

kex(D)⊕Hk

N(D) = AspqHkco(D)⊕Hk

D(D),

AspqHk(D) = AspqH

kex(D)⊕Hk

N(D) = AspqHkco(D)⊕Hk

D(D),

donde la suma es ortogonal en L2.Los espacios AspqH

kex(D) y AspqH

kco(D) son cerrados con respecto a

la topologıa de Aspq.


G RACIAS

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