rekurzió - eltealgtan1.elte.hu/downloads/eloadas/rekurzio2.pdf2 2020. 11. 09. rekurzió és...

Rekurzió

(Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai

felhasználásával)

22020. 11. 09.

Rekurzió és iteráció

BalrekurzióHa az eljárás első utasításaként szerepel a rekurzív hívás, akkor

a rekurzió lényegében az első nem rekurzívan számolható érték

megkeresését szervezi. Majd a visszatérés(ek) után végzi el a

transzformációt. Vagyis fordított sorrendű földolgozást végez.

Általános sémája:

R(x,y):

Ha p(x,y) akkor R(f(x),y); S(x,y)

különben T(x,y)

Eljárás vége.

2020. 11. 09. 9:56 Zsakó László:: Rekurzió 2/31

http://ikportal.inf.elte.hu:8080/ELTEInformatikaiKar/elte_ik_2.html

32020. 11. 09.


Balrekurzió – példák a feldolgozandóra

a sorozat elemei egy soros állomány rekordjai,

a sorozat elemeit láncolt ábrázolással tároljuk és az aktuális elemtől csak a következőt lehet elérni, az előzőt nem,

a sorozat elemeit egy sor- vagy veremstruktúrában tároljuk,

a sorozat elemeit mindig az előző elemből számítjuk, s a sorozat előre meg nem állapítható tagjától visszafelé kell kiírni az elemeket,

nyelvünk csak olyan szövegkezelő függvényeket ismer, amelyek a szöveg első karakterét tudják megadni, illetve az első elhagyásával keletkezett részt.



42020. 11. 09.



R(x,y):

Ha p(x,y)

akkor R(f(x),y); S(x,y)

különben T(x,y)

Eljárás vége.


52020. 11. 09.


Balrekurzió általános átírása

Ha feltehetjük, hogy az f függvénynek létezik inverze:

R(x,y):

N:=0

Ciklus amíg p(x,y)

x:=f(x); N:=N+1

Ciklus vége

T(x,y)

Ciklus i=1-től N-ig

x:=f-1(x); S(x,y)

Ciklus vége

Eljárás vége.


R(x,y):

Ha p(x,y)


különben T(x,y)

Eljárás vége.


62020. 11. 09.


Balrekurzió általános átírása

Ha az f függvénynek nem létezik inverze:

R(x,y):

N:=0

Ciklus amíg p(x,y)

Verembe(x); x:=f(x); N:=N+1

Ciklus vége

T(x,y)


Veremből(x); S(x,y)

Ciklus vége

Eljárás vége.


R(x,y):

Ha p(x,y)


különben T(x,y)

Eljárás vége.


72020. 11. 09.


Balrekurzió példa

Egy szó „tükrözve” kiírása, azaz betűi sorrendje megfordítása:

Tükröz(szó):

Ha nem üres?(szó) akkor Tükröz(elsőutániak(szó))

Ki: első(szó)

Eljárás vége.


R(x,y):

Ha p(x,y)


különben T(x,y)

Eljárás vége.


82020. 11. 09.


Balrekurzió példa

Egy szó „tükrözve” kiírása, azaz betűi sorrendje megfordítása:

Tükröz(szó):

N:=0

Ciklus amíg nem üres?(szó)

Verembe(első(szó)); N:=N+1

szó:=elsőutániak(szó)

Ciklus vége


Veremből(B); Ki: B

Ciklus vége

Eljárás vége.



92020. 11. 09.


Balrekurzió példa

M-nél kisebb 2-hatványok visszafelé:

Hatványok(K,M):

Ha KM akkor Hatványok(2*K,M); Ki: K

Eljárás vége.

Hatványok(K,M):

N:=0

Ciklus amíg KMK:=2*K; N:=N+1

Ciklus vége


K:=K/2; Ki: K

Ciklus vége

Eljárás vége.


R(x,y):

Ha p(x,y)


különben T(x,y)

Eljárás vége.



Balrekurzió példa

Az inverz függvényt sokszor mi alkotjuk meg:

Eljárás Valami(K,M):

Ha KM akkor Valami(köv(K),M); Ki: K

Eljárás vége.

Eljárás Valami(K,M):

N:=0

Ciklus amíg KMhonnan(köv(K)):=K

K:=köv(K); N:=+1

Ciklus vége


K:=honnan(K); Ki: K

Ciklus vége

Eljárás vége.


R(x,y):

Ha p(x,y)


különben T(x,y)

Eljárás vége.


Iteráció és rekurzió

Problémák a ciklussal:

Vannak programozási nyelvek, ahol nincs ciklus, csak

rekurzió.

Nem mindig hatékony egy rekurzívan definiált függvény

összes értékét kiszámolni.

Az alábbi példában Rek(999999) kiszámításához rekurzívan

csak 2 belső eljáráshívás kell, nemrekurzívan pedig 999999

értéket számíthatnánk ki:

1000)1000mod(Re)1000(Re

1000)(:)(Re

NhaNkdivNk

NhaNfNk




Elöltesztelős ciklus átírása

Eljárás R(x):

Ciklus amíg p(x)

T(x)

Ciklus vége

Eljárás vége.

Eljárás R(x):

Ha p(x) akkor T(x); R(x)

Eljárás vége.

Azaz az átírás eredménye egy jobbrekurzió.




Hátultesztelős ciklus átírása

Eljárás R(x):

Ciklus

S(x)

amíg p(x)

Ciklus vége

Eljárás vége.

Eljárás R(x):

S(x)

Ha p(x) akkor R(x)

Eljárás vége.

Azaz az átírás eredménye egy jobbrekurzió.




Számlálós ciklus átírása

Eljárás R(x):


S(x,i)

Ciklus vége

Eljárás vége.

Először írjuk át elöltesztelősre!

Eljárás R(x):

i:=1

Ciklus amíg iN

S(x,i); i:=i+1

Ciklus vége

Eljárás vége.




Számlálós ciklus átírása

Erre már van átírási szabályunk:

Eljárás R(x):

i:=1; RR(x,i) {lehetne RR(x,1)}

Eljárás vége.

Eljárás RR(x,i):

Ha iN akkor S(x,i); i:=i+1; RR(x,i)

Eljárás vége.

Egyszerűbb az i növelése paraméterátadásnál:

Eljárás RR(x,i):

Ha iN akkor S(x,i); RR(x,i+1)

Eljárás vége.



Programozási tételek

rekurzívan

Ciklus és rekurzió

Megadtuk a ciklusok átírási szabályait, amivel minden ciklust

alkalmazó program átírható rekurzívra. Ez az algoritmusok

átírási szabályain alapult.

Lehetséges másik út is: a nemrekurzív specifikációt írjuk át

rekurzívra, majd abból készítsünk rekurzív algoritmust!




rekurzívan

Sorozatszámítás

Bemenet: NN, XHN, F:HNHKimenet: SHElőfeltétel: –

Utófeltétel: S=F(X1,…XN)

Definíció:

0,,...,

0,...,

11

0

1 NhaXXXFf

NhaFXXF

NN

N




rekurzívan

Sorozatszámítás

F(N,X):

Ha N=0 akkor F:=F0

különben F:=f(F(N-1,X),X(N))

Függvény vége.

0,,...,

0,...,

11

0

1 NhaXXXFf

NhaFXXF

NN

N




rekurzívan

Eldöntés

Bemenet: NN, XHN, T:HLKimenet: VanLElőfeltétel: –

Utófeltétel: Van=eldönt(X1,…XN)

Definíció:

egyébkéntXXeldönt

XThaigazNhahamis

XXeldönt

N

NN

11

1

,...,

0,...,




rekurzívan

Eldöntés

eldönt(N,X):

Ha N=0 akkor eldönt:=hamis

különben ha T(X(N)) akkor eldönt:=igaz

különben eldönt:=eldönt(N-1,X)

Függvény vége.

egyébkéntXXeldönt

XThaigazNhahamis

XXeldönt

N

NN

11

1

,...,

0,...,




rekurzívan

Kiválasztás

Bemenet: NN, XHN, T:HLKimenet: SNElőfeltétel: i (1iN): T(Xi)

Utófeltétel: S=kiválaszt(X1,…XN)

Definíció:

egyébkéntXXkiválaszt

XThaNXXkiválaszt

N

N

N

11

1 ,...,,...,




rekurzívan

Kiválasztás

kiválaszt(N,X):

Ha T(X(N)) akkor kiválaszt:=N

különben kiválaszt:=kiválaszt(N-1,X)

Függvény vége.

Megjegyzés: Ez a megoldás az utolsó T tulajdonságú elemet

adja meg.

egyébkéntXXkiválaszt

XThaNXXkiválaszt

N

N

N

11

1 ,...,,...,




rekurzívan

Keresés

Bemenet: NN, XHN, T:HLKimenet: VanL, SNElőfeltétel: –

Utófeltétel: (Van,S)=keres(X1,…XN)

Definíció:

egyébkéntXX

XThaNigaz

Nhahamis

XX

N

NN

11

1

,...,keres

),(

0),(

,...,keres




rekurzívan

Kereséskeres(N,X):

Ha N=0 akkor keres:=(hamis,-)

különben ha T(X(N)) akkor keres:=(igaz,N)

különben keres:=keres(N-1,X)

Függvény vége.

keres(N,X,Van,S):

Ha N=0 akkor Van:=hamis

különben ha T(X(N)) akkor Van:=igaz; S:=N

különben keres(N-1,X,Van,S)

Eljárás vége.


egyébkéntXX

XThaNigaz

Nhahamis

XX

N

NN

11

1

,...,keres

),(

0),(

,...,keres



rekurzívan

Megszámolás

Bemenet: NN, XHN, T:HLKimenet: DbNElőfeltétel: –

Utófeltétel: Db=számol(X1,…XN)

Definíció:

egyébkéntXXzámol

XThaXXzámolNha

XXzámol

N

NNN

11

111

,...,s

1,...,s00

,...,s




rekurzívan

Megszámolás

számol(N,X):

Ha N=0 akkor számol:=0

különben ha T(X(N))

akkor számol:=számol(N-1,X)+1

különben számol:=számol(N-1,X)

Függvény vége.

egyébkéntXXzámol

XThaXXzámolNha

XXzámol

N

NNN

11

111

,...,s

1,...,s00

,...,s




rekurzívan

Maximumkiválasztás

Bemenet: NN, XHN

Kimenet: MaxNElőfeltétel: N>0

Utófeltétel: Max=maximum(X1,…XN)

Definíció:

egyébkéntXX

XXXXhaN

Nha

XX

N

NNN

11

111

,...,maximum

,...,maximum

11

,...,maximum




rekurzívanMaximumkiválasztásmaximum(N,X):

Ha N=1 akkor maximum:=N

különben Ha X(N)>X(maximum(N-1,X))

akkor maximum:=N

különben maximum:=maximum(N-1,X)

Függvény vége.

maximum(N,X):

Ha N=1 akkor maximum:=N

különben M:=maximum(N-1,X)

Ha X(N)>X(M) akkor maximum:=N

különben maximum:=M

Függvény vége.




rekurzívan

Kiválogatás

Bemenet: NN, XHN, T:HLKimenet: DbN, YNN

Előfeltétel: –

Utófeltétel: (Db,Y)=válogat(X1,…XN)

Definíció:

egyébkéntXX

XThaNXX

Nha

XX

N

NNN

11

111

,...,válogat

),1(,...,válogat

0),0(

,...,válogat




rekurzívanKiválogatásválogat(N,X):

Ha N=0 akkor válogat:=(0,-)

különben ha T(X(N))

akkor válogat:=válogat(N-1,X)(1,N)

különben válogat:=válogat(N-1,X)

Függvény vége.

Válogat(N,X,Db,Y):

Ha N=0 akkor Db:=0

különben Válogat(N-1,X,Db,Y)

Ha T(X(N)) akkor Db:=Db+1; Y(Db):=N

Eljárás vége.



Rekurzió előadás vége

rekurzió - eltealgtan1.elte.hu/downloads/eloadas/rekurzio2.pdf2 2020. 11. 09. rekurzió és...

Documents