relation entre les modes propres des structures et les
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UNIVERSITĂ DE SHERBROOKE
Faculté de génie
Département de génie civil
RELATION ENTRE LES MODES
PROPRES DES STRUCTURES ET LES
MESURES DE SAUT TEMPOREL
ULTRASONORE
MĂ©moire de maĂźtrise
Spécialité : génie civil
Mohammed Cherif
Jury : Patrice RIVARD (directeur)
Serge Apedovi KODJO
Charles-Philippe LAMARCHE
Sherbrooke (Québec), CANADA Juillet 2017
i
Résumé
Le prĂ©sent mĂ©moire a pour objet dâĂ©tudier la relation entre les modes propres de vibration
avec les mesures de saut temporel ultrasonore. La méthode de saut temporel est une
technique de lâacoustique non linĂ©aire qui sâintĂ©resse Ă lâĂ©valuation des dommages internes
dans le béton notamment à un jeune ùge. Elle est basée sur le décalage temporel dans le
temps dâarrivĂ©e des ondes ultrasonores aprĂšs que le milieu de propagation ait Ă©tĂ© soumis Ă
une excitation mécanique par laquelle le réseau de microfissuration interne est perturbé.
Son application in situ avait Ă©tĂ© testĂ©e, mais il y avait un consensus gĂ©nĂ©ral que lâamplitude
du saut temporel pouvait dépendre de la nature du mode propre excité de la structure. La
méthode a donc été appliquée au laboratoire sur des poutres en béton armé (non
endommagĂ©) afin dâĂ©tudier cette influence. Les ondes de surface ont Ă©tĂ© Ă©tudiĂ©es Ă cause
de leur sensibilité aux variations de propriétés mécaniques du béton. Les résultats obtenus
montrent que les valeurs de saut temporel dépendent fortement du mode excité, les modes
ayant manifestĂ© dâune façon notable et Ă©nergĂ©tique dans le spectre de Fourrier
dâaccĂ©lĂ©ration sont ceux ayant provoquĂ© un dĂ©calage temporel significatif. De plus,
lâexcitation de deux modes par une mĂȘme amplitude ne produit pas le mĂȘme effet. Par
ailleurs, les résultats indiquent que le choix du mode à exciter est important, car
lâexcitation dâun mode inappropriĂ© ne rĂ©vĂšle pas lâĂ©tat rĂ©el du bĂ©ton/de lâouvrage auscultĂ©.
Enfin, la prĂ©sente Ă©tude conclut quâil y a une dĂ©pendance entre les modes propres des
structures sur les mesures de saut temporel ; la prise en compte de telle dépendance
amĂ©liore lâefficacitĂ© de la technique de saut temporel, et tout dans une configuration simple
et optimale.
Mots clés : saut temporel, modes propres, acoustique non linéaire, poutre, ondes
ultrasonores, béton.
iii
Abstract
The purpose of this project is to study the relationship between of eigenmodes of vibration
and ultrasonic time shift measurements. Indeed, the method of time shift is a technique of
nonlinear acoustics which is interested in the evaluation of the internal damage in the
concrete especially at early age. It is based on the time shift in the arrival time of the
ultrasonic waves after the medium has subjected a mechanical excitation by which the
internal microcracking network is disturbed. Its application in situ was recently
experienced, but there was a consensus that the amplitude of the time shift could depend on
the nature of the excited eigenmode of the structure. The method was applied in the
laboratory on reinforced concrete beams (undamaged) to assess their influence. The
surface waves were thus investigated in this experiment because of their sensitivity to the
variation of the mechanical properties of concrete. The results show that the time shift
values depend strongly on the excited mode; the modes which have manifested in a notable
and energetic manner in the acceleration spectrum are those which have caused a
significant time shift. Moreover, the excitation of two modes by the same amplitude does
not produce the same effect. Also, the results indicate that the choice of the mode to be
excited is important, because the excitation of an inappropriate mode does not reveal the
actual condition of the concrete or examined structure. Finally, the present study concludes
that there is dependence between the eigenmodes of the structures on the time shift
measurements; the taking into account of such dependence improves the efficiency of the
time shift technique, all in a simple and optimal configuration.
Keywords: time shift, eigenmodes, nonlinear acoustic, beam, ultrasonic waves, concrete.
v
Remerciements
Tout dâabord, je tiens Ă remercier vivement mon directeur de mĂ©moire, Pr Patrice Rivard,
qui mâa lancĂ© sur ce sujet passionnant avec enthousiasme et qui a, par la suite, dirigĂ© mes
travaux de recherche. Jâai eu un grand plaisir Ă travailler avec Pr Rivard et apprĂ©ciĂ© son
soutien et ses conseils qui ont permis Ă ma formation dans le domaine du contrĂŽle non
destructif de prendre son envol avec succÚs dÚs mon arrivée, en janvier 2015. Je lui
témoigne ma sincÚre gratitude.
Le prĂ©sent travail est aussi le fruit dâune sĂ©rie de sĂ©ances qui se sont dĂ©roulĂ©es au sein
dâune Ă©quipe pluridisciplinaire que je remercie chaleureusement. Mes vives
reconnaissances et remerciements vont au Dr Serge Apedovi Kodjo pour son soutien
technique et scientifique dont lâassistance est lâune des raisons de ma rĂ©ussite dans ce
projet de recherche. Sa grande disponibilitĂ© et ses judicieux commentaires ont contribuĂ© Ă
mener Ă terme ce projet dâenvergure.
Je transmets Ă©galement mes remerciements Ă nos techniciens du groupe, Danick
Charbonneau et Ghislaine Luc, qui mâont beaucoup aidĂ© Ă la prĂ©paration de mon travail
expĂ©rimental. Je leur en serai toujours reconnaissant. Il mâest particuliĂšrement agrĂ©able
dâadresser mes remerciements au personnel du groupe du bĂ©ton et, en particulier, Ă Olivier
Bonneau, pour son aide précieuse au départ de cette expérimentation.
Mes vifs remerciements sâadressent Ă©galement au personnel de la bibliothĂšque des sciences
et de gĂ©nie qui nâont jamais hĂ©sitĂ© Ă me venir en aide dans ma recherche de documents
disponibles sur place et en ligne. Je vous suis reconnaissant.
Je remercie aussi mes collĂšgues du groupe de recherche (Farid M.-Marani, Samuel Faucon,
Ghasem Shams, Samuel Bauret et Ali Fathi), mes amis (Djamel Magramane, Mohamed
Nesmene, Senhadji A. Abdessamad, Olivier Gauron, Kamel Benmiloud, etc.) et, dâune
façon toute particuliĂšre, mon Ă©quipe dâACI Section Sherbrooke (Jean-Martin Lessard,
William Wilson, Ablam Zidol, Joris Deschamps, Redha Esselami et Hessam Azarijafari).
Enfin, ce travail nâaurait pas Ă©tĂ© impossible sans le soutien et lâaide incessante des
membres de ma famille, mes parents, mes frĂšres et mes sĆurs : quâils trouvent ici
lâexpression de toute ma gratitude. Câest Ă vous que je dĂ©die le fruit du prĂ©sent travail.
vii
Table des matiĂšres
1 INTRODUCTION .................................................................................... 1
1.1 Contexte de la recherche ......................................................................................... 1
1.2 Problématique ......................................................................................................... 3
1.3 Objectif général et objectifs spécifiques ................................................................. 4
1.4 Organisation du texte .............................................................................................. 5
2 APPLICATION DE LâACOUSTIQUE DANS LE CONTRĂLE NON
DESTRUCTIF â ĂTUDE BIBLIOGRAPHIQUE â ................................... 7
2.1 Introduction ............................................................................................................. 7
2.2 Les méthodes acoustiques appliquées au CND ...................................................... 8
2.3 Les méthodes acoustiques non linéaires ............................................................... 15
2.4 Conclusion ............................................................................................................ 26
3 COMPORTEMENT MODAL DES POUTRES ................................. 27
3.1 Introduction ........................................................................................................... 27
3.2 Analyse modale des structures .............................................................................. 27
3.3 Modes propres des poutres ................................................................................... 32
3.4 RĂ©ponse dynamique des poutres ........................................................................... 40
3.5 Analyse modale expérimentale ............................................................................. 45
3.6 Conclusion ............................................................................................................ 50
4 ANALYSES MODALES EXPĂRIMENTALES ................................. 53
4.1 Introduction ........................................................................................................... 53
4.2 Formulation des bétons ......................................................................................... 53
4.3 Analyse modale expérimentale ............................................................................. 60
4.4 Conclusion ............................................................................................................ 82
5 EFFET DES MODES PROPRES EXCITĂS SUR LA
PROPAGATION DES ONDES ULTRASONORES ................................. 83
viii
5.1 Introduction ........................................................................................................... 83
5.2 Montage et paramÚtres de réglage ........................................................................ 83
5.3 Procédure de traitement ........................................................................................ 89
5.4 Analyse des résultats ............................................................................................. 93
5.5 Ătude paramĂ©trique ............................................................................................. 110
5.6 Conclusion .......................................................................................................... 123
6 DISCUSSION GĂNĂRALE ................................................................ 125
6.1 Introduction ......................................................................................................... 125
6.2 Rappel des méthodes utilisées ............................................................................ 125
6.3 Discussion des résultats ...................................................................................... 126
6.4 PortĂ©e de lâĂ©tude et ses limites ............................................................................ 136
6.5 Recommandations ............................................................................................... 137
7 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES ............................................. 139
7.1 Conclusions ......................................................................................................... 139
7.2 Impact du travail ................................................................................................. 141
7.3 Perspectives ........................................................................................................ 142
8 ANNEXES ............................................................................................. 143
8.1 Annexe A.1 : Dimensionnement des poutres ...................................................... 143
8.2 Annexe A.2 : ModĂšle dâĂ©lĂ©ments finis de poutre ............................................... 147
8.3 Annexe A.3 : Détermination du champ de déformation ..................................... 152
8.4 Annexe B : RĂ©sultats dâanalyse modale des poutres 2 et 3 ................................ 153
8.5 Annexe C : RĂ©sultats de la technique de FDD .................................................... 156
8.6 Annexe D : Variation des sauts temporels obtenus en fonction de lâamplitude du
déplacement ................................................................................................................... 159
9 RĂFĂRENCES BIBLIOGRAPHIQUES ........................................... 160
ix
Liste des figures
Figure 2-1 Mode de configuration de lâessai UPV (a) transmission directe (b) transmission
indirecte [38].......................................................................................................................... 9
Figure 2-2 (a) essai pulse-Ă©cho destinĂ© Ă mesurer lâĂ©paisseur et la profondeur des dĂ©fauts
dans les dalles (image tirĂ©e de [7]) (b-d) configuration de lâessai dâimpulse-Ă©cho (tirĂ©e de
[5]) ....................................................................................................................................... 10
Figure 2-3 DĂ©termination du coefficient de Poisson dynamique par la mesure de vitesses
des ondes longitudinales et la vitesse des ondes de surface [59]......................................... 12
Figure 2-4 Montage de lâessai de rĂ©ponse impulsionnelle [5] ............................................ 13
Figure 2-5 principe de lâessai dâĂ©missions acoustiques [5] ................................................. 13
Figure 2-6 â Principe de technique de modulation non linĂ©aire [94] .................................. 15
Figure 2-7 â Exemple de modulation des ondes acoustiques [95] ...................................... 17
Figure 2-8 â MĂ©thode de balayage des frĂ©quences [99] ...................................................... 18
Figure 2-9 â DĂ©calages temporels des ondes directes (Ă gauche) et de la coda (Ă droite) [13]
............................................................................................................................................. 20
Figure 2-10 Niveaux de diffusions des ondes ultrasonores selon les fréquences de
propagations [109] ............................................................................................................... 21
Figure 2-11 â Exemple de dĂ©termination du dĂ©calage temporel maximal par saut le ST
[114] .................................................................................................................................... 23
Figure 2-12 Montage de lâessai de saut temporel in situ (a)positions des capteurs (b)
camion dâexcitation et le dispositif dâobstacle [13]............................................................. 25
Figure 3-1 Amortissement de Rayleigh [119] ..................................................................... 32
Figure 3-2 Poutre dâEuler-Bernoulli.................................................................................... 33
Figure 3-3 Les quatre premiers modes propres de flexion dâun Ă©lĂ©ment poutre. ................ 35
Figure 3-4 PolynĂŽmes hermitiens dâinterpolation ............................................................... 36
Figure 3-5 ĂlĂ©ment fini de poutre dâEuler-Bernoulli .......................................................... 37
Figure 3-6 Déformées propres de six premiers modes propres obtenues par approche
dâĂ©lĂ©ments finis comparĂ©es avec la solution exacte correspondante (axe horizontal
représente la position relatives) ........................................................................................... 39
Figure 3-7 Amortissement proportionnel de Rayleigh ........................................................ 40
Figure 3-8 Mouvement de poutre sous rĂ©gime libre dissipatif (Ο=5%) ............................... 43
Figure 3-9 Facteur de rĂ©ponse dynamique du dĂ©placement (Ο=5%) ................................... 45
x
Figure 3-10 Pont-arc de Rialto Ă Venise (Italie) [130] ........................................................ 47
Figure 3-11 Vibreurs à masses excentrées : (a) vue extérieure et (b) intérieure du vibreur
[137]. ................................................................................................................................... 49
Figure 3-12 modÚle réduit de pont suspendu proposé par [138] ......................................... 50
Figure 4-1 â (a) Coupe transversale typique dâune poutre - (b) coffrage et coulage du bĂ©ton
des poutres ........................................................................................................................... 55
Figure 4-2 â Mesures dâUPV sur poutres (a) : points de mesure (unitĂ©s en cm),
(b) :configuration de lâessai (unitĂ©s en mm) ........................................................................ 58
Figure 4-3 â Variation de vitesse dâultrasonore dans les poutres 1 (a), 2 (b) et 3 (c) ......... 59
Figure 4-4 â (a) Dispositif dâinstrumentation (unitĂ©s en cm) â (b) Amplificateur â (c)
AccéléromÚtre typique de classe 4395 [148] ....................................................................... 61
Figure 4-5 â Effet de fenĂȘtrage par une fonction de Hanning sur le signal (a) avant
multiplication (b) aprĂšs multiplication ................................................................................ 63
Figure 4-6 â Spectres de Fourrier en accĂ©lĂ©ration obtenus avec impact au : (a) section 2, (b)
section 3 et (c) section 4 ...................................................................................................... 65
Figure 4-7 â DĂ©placements modaux de poutre #1 (point dâimpact #3) ............................... 69
Figure 4-8 â Amplitude maximale de dĂ©placement vertical de poutre 1 (mm) ................... 70
Figure 4-9 â Spectre de Fourrier de lâaccĂ©lĂ©ration transversale Ă mi-travĂ©e de poutre 2 .... 72
Figure 4-10 â Modes propres de la poutre #1 ...................................................................... 73
Figure 4-11 âPĂ©riodogramme modifiĂ© dĂ» aux impacts appliquĂ©s au : (a) section 2, (b)
section 3 et (c) section 4. (d) zoom de (c) entre 0 et 500 Hz ............................................... 76
Figure 4-12 â Vecteurs propres obtenus par la mĂ©thode de FDD ....................................... 77
Figure 4-13 â Ăvaluation de niveau de complexitĂ© dâune dĂ©formĂ©e modale dâune poutre
simplement appuyée : (a) déformée réelle (b) déformée complexe [32] ............................. 78
Figure 4-14 â Extraction des propriĂ©tĂ©s modales par la mĂ©thode de FDD.......................... 80
Figure 4-15 â Taux dâamortissement modaux de quatre premiers modes .......................... 81
Figure 5-1 â (a) Montage expĂ©rimental, (b-f) Appareillage utilisĂ© ..................................... 85
Figure 5-2 â Position du pot vibrant aux modes (a) 1, 3 et 5 et (b) aux modes 2 et 4 ......... 86
Figure 5-3 â Disposition des capteurs ultrasonores ............................................................. 87
Figure 5-4 â Signal typique dâun paquet dâondes Ă©mis Ă une frĂ©quence centrale de 250 kHz
et dâune frĂ©quence de rĂ©currence de 2 kHz ......................................................................... 88
Figure 5-5 â MĂ©thodes de calcul de saut temporel (a) MĂ©thode de subdivision (b) MĂ©thode
de fenĂȘtre mobile (tirĂ©es de [13]) ........................................................................................ 90
xi
Figure 5-6 â ProcĂ©dure de fenĂȘtrage de signal dâintĂ©rĂȘt ...................................................... 90
Figure 5-7 â ReprĂ©sentation graphique de propagation des ondes ultrasonores par rapport
aux périodes naturelles des modes étudiés : (a) 1e mode, (b) 2e mode, (c) 3e mode, (d) 4e
mode et (e) 5e mode ............................................................................................................. 92
Figure 5-8 â RĂ©sultats de sauts temporels dĂ©terminĂ©s par la 1re mĂ©thode de traitement (a)
modes 1 et 2 (b) modes 3 et 4 (c) mode 5............................................................................ 96
Figure 5-9 â RĂ©sultats de sauts temporels dĂ©terminĂ©s par la 2e mĂ©thode de traitement (a)
modes 1 et 2 (b) modes 3 et 4 (c) mode 5............................................................................ 99
Figure 5-10 Distribution du champ de déformation dans les cinq modes étudiés (les
rectangles en jaune indiquent la position des capteurs dans cet essai). ............................. 103
Figure 5-11 â Amplitude maximale de dĂ©formation longitudinale de la zone de propagation
pendant la vibration des modes 1, 2 3, 4 et 5..................................................................... 103
Figure 5-12 - Histogramme des valeurs maximales et minimales des ST obtenues par (a &
c) la 1re méthode et (b & d) la 2e méthode (en haut, les valeurs maximales, et en bas, les
valeurs minimales) ............................................................................................................. 104
Figure 5-13 â Variation des ST en fonction des modes et du facteur dâamplification,
obtenus par (a) la 1re méthode et (b) la 2e méthode ........................................................... 106
Figure 5-14 â Valeurs maximales (en haut) et minimales (en bas) de ST obtenues dans les
ondes de Rayleigh et de coda selon le mode et lâamplitude dâexcitation : (a) FA=57%, (b)
FA=76% et (c) FA=100%. ................................................................................................ 109
Figure 5-15 â Variation de ST dans les deux situations de dilatation et de compression du
béton pendant la vibration du mode #3. ............................................................................ 110
Figure 5-16 â Configuration de test A ............................................................................... 113
Figure 5-17 â Subdivision du signal ultrasonore en fenĂȘtres : fenĂȘtre #1 : ondes de
Rayleigh et fenĂȘtres #2, 3 et #4 ondes de coda. ................................................................. 113
Figure 5-18 âValeurs maximales (en haut) et minimales (en bas) de ST obtenues, avec le
test A, dans les ondes de Rayleigh et de coda selon le mode et lâamplitude dâexcitation : (a)
FA=57%, (b) FA=76% et (c) FA=100%. .......................................................................... 114
Figure 5-19 â Amplitude maximale de dĂ©formation longitudinale de la zone de propagation
des ondes ultrasonores du test A pendant la vibration des modes 1, 2 3 et 4. ................... 115
Figure 5-20 â Configuration de test B. .............................................................................. 116
xii
Figure 5-21 â Comparaison des valeurs maximales (en haut) et minimales (en bas) de ST
obtenues dans les ondes de Rayleigh et de coda pendant la vibration des modes 2 (a) et 4
(b) aux tests A et B. ........................................................................................................... 117
Figure 5-22 â Comparaison de forme de dĂ©formation longitudinale dans la zone de
propagation pendant la vibration du mode #2 aux tests A et B (les rectangles en jaune et en
vert indiquent la position des capteurs dans le test A et B respectivement). ..................... 119
Figure 5-23 â Comparaison de lâamplitude de dĂ©formation longitudinale dans la zone de
propagation pendant la vibration du mode #2 et #4 aux tests A et B. ............................... 120
Figure 5-24 â Configuration du test C (a) et D (b). ........................................................... 121
Figure 5-25 â Comparaison des valeurs maximales (en haut) et minimales (en bas) de ST
obtenues dans les ondes de Rayleigh et de coda, aux tests C et D pendant la vibration du
mode #2 et mode #4 (FA =100%). .................................................................................... 122
Figure 5-26 â Amplitude maximale de dĂ©formation longitudinale dĂ©terminĂ©e dans le test C
et D (FA =100%). .............................................................................................................. 122
Figure 6-1 â Spectre de Fourrier de rĂ©ponse en accĂ©lĂ©ration obtenu par lâaccĂ©lĂ©romĂštre #4
avant et aprĂšs la mise en place du pot vibrant ................................................................... 127
Figure 6-2 â Amplitude de lâaccĂ©lĂ©ration obtenue dans lâaccĂ©lĂ©romĂštre (a) #1, (b) #2, (c)
#3 et (d) #4 selon le mode et le taux de chargement (FA)................................................. 132
Figure 6-3 â Variation des sauts temporels obtenus en fonction des accĂ©lĂ©rations mesurĂ©es
........................................................................................................................................... 133
Figure 6-4 Comparaison du rapport đą/đ2avec les dĂ©formations de la poutre obtenues par
un impact mené au point #6. .............................................................................................. 135
Figure 8-1 Poutre simplement appuyée (les dimensions sont en cm) ............................... 143
Figure 8-2 Diagramme de dĂ©formation et de contrainte typique dâune section en bĂ©ton sous
armée [143] ........................................................................................................................ 143
Figure 8-3 ModĂšle dâĂ©lĂ©ments finis de poutre. ................................................................. 147
Figure 8-4 Conversion en section Ă©quivalente .................................................................. 148
Figure 8-5 Comparaison des modes propres obtenues par la modélisation de poutre par
éléments finis (en bleu) à la solution théorique (en rouge) ............................................... 151
Figure 8-6 Distribution typique de déformation axiale par rapport à la profondeur de la
poutre ................................................................................................................................. 152
Figure 8-7 Spectre de Fourrier de réponse en accélérations des poutres 2 et 3 ................. 153
Figure 8-8 Modes propres de poutre 2 .............................................................................. 154
xiii
Figure 8-9 Modes propres de poutre 3 .............................................................................. 155
Figure 8-10 RĂ©sultats de technique de FDD (a) 1e mode, (b) 2e mode, (c) 5e mode, (d) 6e
mode, (e) 7e mode, ............................................................................................................. 158
Figure 8-11 Variation des sauts temporels obtenus en fonction de lâamplitude du
déplacement ....................................................................................................................... 159
xv
Liste des tableaux
Tableau 1-1 â Ăvolution du pourcentage des structures en bon Ă©tat depuis 2008 [3]. .......... 1
Tableau 3-1 FrĂ©quences naturelles obtenues par approche dâĂ©lĂ©ments finis comparĂ©es avec
les solutions exactes ............................................................................................................ 39
Tableau 4-1 â Constitution des mĂ©langes utilisĂ©s pour un m3 du bĂ©ton .............................. 53
Tableau 4-2 â CaractĂ©ristiques du bĂ©ton Ă lâĂ©tat frais ......................................................... 56
Tableau 4-3 â PropriĂ©tĂ©s physiques et mĂ©caniques des bĂ©tons Ă 21j et 28 j ....................... 57
Tableau 4-4 â Comparaison des rĂ©sultats obtenus sur Ă©prouvettes avec ceux des poutres . 60
Tableau 4-5 â FrĂ©quences naturelles des poutres Ă©tudiĂ©es (Hz) .......................................... 66
Tableau 4-6 â Ăvolution des constantes de dĂ©placement modal en frĂ©quence .................... 71
Tableau 4-7 â DĂ©placement transversal de poutre 2 (Ă 10 â 6 đđ) ................................ 71
Tableau 4-8 â Comparaison de frĂ©quences naturelles dĂ©terminĂ©es Ă partir de spectres de
Fourrier dâaccĂ©lĂ©ration (Yn) et de FDD (unitĂ©s : Hz) ......................................................... 74
Tableau 4-9 â Valeurs de MAC ........................................................................................... 78
Tableau 4-10 â Niveau de complexitĂ© des modes obtenus par la mĂ©thode de FDD ........... 79
Tableau 5-1 â Facteurs dâamplification ............................................................................... 87
Tableau 5-2 â Configuration adaptĂ©e aux nouveaux essais rĂ©alisĂ©s. ................................. 111
Tableau 5-3 â Amplitudes dâexcitation appliquĂ©e et les facteurs dâamplification
correspondants ................................................................................................................... 112
Tableau 8-1 Propriétés mécaniques des matériaux............................................................ 144
Tableau 8-2 propriétés mécaniques et géométriques de poutre ......................................... 147
Tableau 8-3 Comparaison des fréquences naturelles obtenues dans les deux approches par
rapport à la solution théorique. .......................................................................................... 150
Chapitre 1 Introduction
1.1 Contexte de la recherche
En ingĂ©nierie civile, un ouvrage dâart est implantĂ© pour rĂ©pondre aux besoins vitaux pour
lesquels il est conçu. Pendant sa durée de vie utile, il est sujet aux différentes actions
provenant en interaction avec son environnement, actions par lesquelles lâouvrage est
susceptible de subir certaines détériorations structurales. Un programme de suivi
périodique est donc nécessaire pour entretenir et maintenir son comportement structural et
assurer également un déplacement sécuritaire des usagers. Dans cette vision, une grande
partie du parc dâouvrages dâart du QuĂ©bec, dont la majoritĂ© est en bĂ©ton, fait face Ă une
dégradation croissante sous plusieurs agents environnementaux [1]. Compte tenu de ses
besoins vitaux pour lâĂ©conomie du pays ainsi que pour le bien-ĂȘtre de la population, il est
capital de surveiller continuellement cette infrastructure puisque la dĂ©tĂ©rioration dâun
ouvrage représente un fardeau financier important. Par exemple, le coût de réhabilitation
requise seulement pour les différents réseaux routiers (routes et ponts) du Canada a été
estimĂ© Ă plus dâune centaine de milliards de dollars. Dâailleurs, au QuĂ©bec seulement, le
plan québécois des infrastructures prévoit un investissement de 88,4 milliards de dollars au
cours des dix prochaines annĂ©es (2015 â 2025) [2]. En effet, il y a plus de 10 000 ponts
faisant partie du portefeuille du ministÚre des Transports du Québec (MTQ), dont la valeur
sâĂ©lĂšve Ă prĂšs de 30 milliards de dollars [3]. En 2014, 51,7 % des structures du rĂ©seau
municipal étaient considéré en bon état, comparativement à 72,6 % pour le réseau
supérieur [3]. Bien que ces rapports aient évolué depuis 2008, il reste encore une bonne
partie du réseau à maintenir opérationnel (Tableau 1.1). Les chercheurs sont alors
impĂ©rativement appelĂ©s Ă dĂ©velopper des techniques dâauscultation robustes permettant de
caractĂ©riser lâĂ©tat de cette infrastructure et de construire des ouvrages durables.
Tableau 1-1 â Ăvolution du pourcentage des structures en bon Ă©tat depuis 2008 [3].
Chapitre 1
2
Dans la pratique, les mĂ©thodes dâĂ©valuation courantes de la condition du bĂ©ton sont
souvent rudimentaires. Les diagnostics du contrĂŽle des ouvrages reposent en grande partie
sur les rĂ©sultats dâinspections visuelles rĂ©alisĂ©es Ă intervalles rĂ©guliers. Cependant, ces
mĂ©thodes ne fournissent que des informations partielles et apparentes sur lâĂ©tat de la
structure. La plupart sont limitĂ©es aux relevĂ©s visuels rĂ©alisĂ©s sur lâenveloppe extĂ©rieure de
lâouvrage et les parties visibles [4]. Dâailleurs, la qualitĂ© de lâexamen est subjective plutĂŽt
que qualitative et dĂ©pend grandement de la qualification et de lâexpĂ©rience de lâinspecteur
dans le comportement structurel et matériel et dans les méthodes de construction [5], [6].
Pour confirmer ces observations, lâingĂ©nieur aura gĂ©nĂ©ralement recours aux essais rĂ©alisĂ©s
sur des carottes prĂ©levĂ©es Ă mĂȘme lâouvrage. Celles-ci sont toutefois limitĂ©es dans le temps
et dans lâespace (quantification locale). Une troisiĂšme piste consiste Ă rĂ©aliser des essais
non destructifs afin de connaĂźtre lâĂ©tat global de lâouvrage. Cela offre davantage dâĂȘtre
rĂ©pĂ©titif dans le temps et permettre une plus grande couverture dâinvestigation, Ă la fois en
surface et en profondeur [7]. Parmi ces essais, on note lâapplication des techniques
acoustiques [5], [8], [9]. Les techniques acoustiques sont développées en différents
concepts afin dâidentifier certaines pathologies recherchĂ©es. Dâune maniĂšre gĂ©nĂ©rale, elles
sont utilisĂ©es pour mesurer une dimension gĂ©omĂ©trique (Ă©paisseur dâune dalle, profondeur
dâun pieu, volume des vides, etc.) ou pour Ă©valuer un dĂ©faut prĂ©judiciable par Ă©valuation
dâun paramĂštre physique (vitesse moyenne, attĂ©nuation, frĂ©quence de rĂ©sonance) [5], [8],
[9]. Bien quâelles soient rapides, elles sont nĂ©anmoins peu efficaces pour Ă©valuer lâĂ©tat
prĂ©liminaire dâun bĂ©ton affectĂ© par exemple, par la rĂ©action alcali-granulat (RAG) ou la
corrosion Ă Ăąge prĂ©coce [10]â[12] ; de tels phĂ©nomĂšnes touchent une grande partie des
ponts du Québec.
LâĂ©tude de la RAG montre que cette rĂ©action conduit Ă la formation dâun gel
potentiellement gonflant qui peut créer des réseaux de microfissuration/fissuration au sein
du matĂ©riau [13]â[15]. Quant Ă la corrosion, la rĂ©action chimique conduit Ă©galement Ă la
microfissuration interne du bĂ©ton par lâexpansion des produits dâoxydation [16]â[19]. Ces
réactions affectent ainsi les propriétés élastiques non linéaires du béton. De nombreux
travaux de recherche sont menés pour tenter de lier les symptÎmes observés, depuis
lâinitiation de ces processus, au comportement non linĂ©aire du matĂ©riau [11], [15]â[17],
[20]â[22]. LâĂ©valuation des propriĂ©tĂ©s Ă©lastiques non linĂ©aires peut ĂȘtre Ă©tudiĂ©e au moyen
des techniques dâacoustique non linĂ©aire (ANL) [11], [20], [23]â[25]. Les expĂ©riences
prĂ©cĂ©dentes du groupe de recherche en auscultation et en instrumentation (GRAI) Ă
Chapitre 1
3
lâUniversitĂ© de Sherbrooke dĂ©montrent que la variation des paramĂštres acoustiques
linĂ©aires est souvent faible comparativement Ă lâĂ©valuation du niveau de
lâendommagement par rapport aux techniques dâANL.
Les méthodes ANL présentent en effet une trÚs grande sensibilité face à la détection des
microdĂ©fauts de sorte quâon puisse Ă©tablir une corrĂ©lation Ă©troite entre les paramĂštres non
linéaires et les faibles dégradations internes du matériau internes [23], [26], [27]. Le défi
majeur de ces techniques demeure cependant la façon de produire, in situ, la non-linéarité
dans le béton, surtout pour un élément à trÚs grande dimension. DerniÚrement, cette
difficultĂ© a Ă©tĂ© surmontĂ©e par la mise en Ćuvre dâun essai-pilote dĂ©coulant de la mĂ©thode
du saut temporel (ANL), réalisé sur un pont en service [11], [28]. Simple et rapide, cette
technique prĂ©sente un potentiel dâapplication sur site trĂšs intĂ©ressant.
La mĂ©thode du saut temporel est en outre basĂ©e sur le dĂ©calage temporel de lâarrivĂ©e des
ondes acoustiques lorsque le milieu est perturbĂ© [10]â[12]. Cette perturbation est rĂ©alisĂ©e
par une excitation mĂ©canique Ă basse frĂ©quence et dâamplitude suffisamment Ă©levĂ©e. Le
principe consiste à sonder le matériau par une onde haute fréquence de faible amplitude
(ondes ultrasonores) pendant quâune onde basse frĂ©quence de forte amplitude (onde
mécanique) perturbe le milieu, modifiant de façon locale et temporelle les propriétés
élastiques du matériau [29]. Cela permet de provoquer une non-linéarité dans le milieu
(ouverture de microfissures). Cette technique a récemment été testée sur un simple pont-
dalle en béton excité par une source naturelle (passage de camions) aprÚs avoir été simulé
au laboratoire [13]. Les résultats obtenus ont montré la faisabilité de cette méthode sur site
et la fiabilité des mesures dans une plage de températures comprise entre 10 et 30°C [28].
Il a également été démontré la capacité de cette technique à détecter la microfissuration du
béton vis-à -vis de la RAG à ùge précoce [11].
1.2 Problématique
Devant la sensibilitĂ© de cette technique, les mesures peuvent ĂȘtre altĂ©rĂ©es par des
paramĂštres secondaires tels que les dĂ©formations propres de la structure sous lâeffet de
lâexcitation mĂ©canique Ă basse frĂ©quence. En effet, lâexcitation appliquĂ©e libĂšre une
Ă©nergie qui peut engendrer la vibration de plusieurs modes de la structure, notamment ceux
Ă basse frĂ©quence [30]â[32]. La distribution du champ de dĂ©formations suit, de ce fait,
lâallure de dĂ©formĂ©es modales de lâouvrage et son amplitude Ă©tant fonction de lâamplitude
de chargement et de(s) mode(s) propre(s) excité(s). Donc, les déformations structurales de
Chapitre 1
4
lâouvrage pourraient ĂȘtre plus accentuĂ©es en cas de dĂ©gradation locale des propriĂ©tĂ©s du
matériau. Les déformations propres sont incorporées dans les mesures, dans ce cas. Par
contre, aucune dĂ©formation structurale ne pourrait ĂȘtre dĂ©tectĂ©e si les mesures sont faites
au niveau des nĆuds. Par consĂ©quent, la mesure directe de lâamplitude de dĂ©formation sans
tenir compte de la déformée propre de la structure ne peut pas fournir une information
fiable de lâĂ©tat de lâouvrage ni du matĂ©riau en particulier. Câest dans ce contexte que
découle la problématique de ce projet.
Le sujet traitĂ© dans ce projet de recherche consiste Ă Ă©tudier lâeffet des modes propres des
structures sur les mesures de lâacoustique non linĂ©aire (saut temporel). Lâinteraction
acousto-élasto-dynamique a récemment été abordée pour certaines applications (sur des
prismes en béton [33], [34], une plaque en aluminium [35] voire aussi en mécanique des
automobiles [36]). Un modĂšle numĂ©rique de mesure de contraintes, basĂ© sur lâacousto-
élasticité a été proposé par Albakri et Tarazaga [37]. Dans le présent projet, nous allons
étudier cette interaction sur des poutres en béton armé impliquant les ondes de surface.
Avant dâentreprendre les mesures acoustiques, il faut connaĂźtre les dĂ©formĂ©es propres de
structure. Cela requiert la rĂ©alisation dâessais dynamiques (analyse modale opĂ©rationnelle).
La connaissance des modes propres permettra dâoptimiser lâemplacement des capteurs
(transducteurs dâultrasonore) et de dĂ©terminer les frĂ©quences naturelles de la structure Ă
exciter. Ensuite, chaque mode est excité séparément pour étudier son effet sur les mesures
de lâANL (saut temporel).
1.3 Objectif général et objectifs spécifiques
Lâobjectif de cette maĂźtrise est de dĂ©terminer la façon dont les modes propres peuvent
influer sur les résultats de la méthode de saut temporel. Les ondes de surface sont
impliquées dans cette étude grùce à leurs avantages présentés au chapitre suivant. Ensuite,
de faire ressortir les paramÚtres qui peuvent influer cette mesure dans le béton (position des
capteurs, fréquences naturelles, propriétés physiques et mécaniques du béton, etc.).
LâĂ©tablissement dâun protocole de mesure est au cĆur du prĂ©sent projet. Ăgalement, on
vise par cette Ă©tude Ă mettre en Ă©vidence cette interaction en :
Examinant lâĂ©volution du dĂ©calage temporel par rapport aux dĂ©formĂ©es modales et
les fréquences naturelles de la structure ;
Chapitre 1
5
Ătablissant des liens entre les propriĂ©tĂ©s modales et les caractĂ©ristiques acoustiques
abouties.
On peut également souligner les objectifs spécifiques au développement de cette
technique :
La performance : pouvoir détecter, localiser et évaluer un microdéfaut dans une
structure en béton à ùge précoce ;
La simplicitĂ© : maĂźtriser la mise en Ćuvre de cette technique in situ par rapport aux
modes propres de la structure ;
LâĂ©conomie : rĂ©duire dâune façon comparable le coĂ»t et le temps dâintervention.
Lâinnovation technologique : prĂ©senter aux gestionnaires dâouvrages une
technique de CND in situ simple et efficace.
Autrement dit, la méthode de saut temporel est une nouvelle piste de recherche qui pourra
ĂȘtre dĂ©veloppĂ©e pour lever, par la suite, certaines difficultĂ©s rencontrĂ©es dans la pratique du
contrĂŽle non destructif, telles que :
DĂ©tecter et quantifier sur site le degrĂ© dâendommagent dâun ouvrage affectĂ© par la
corrosion ;
Ătre en mesure de dĂ©terminer les dĂ©fauts dans les matĂ©riaux composites utilisĂ©s
dans les ouvrages civils.
1.4 Organisation du texte
LâĂ©tude expĂ©rimentale, rĂ©alisĂ©e au laboratoire, est centrĂ©e sur des poutres en bĂ©ton armĂ© de
deux mĂštres de longueur. Outre ce chapitre dâintroduction, la prĂ©sentation des dĂ©marches
entreprises dans cette étude est répartie sur six chapitres :
En premier lieu, une Ă©tude bibliographique de lâapplication de lâANL au contrĂŽle
non destructif est élaborée afin de tenir en compte les avancées réalisées dans le
domaine et de tirer les expériences de la pratique actuelle menées dans cet axe de
recherche (chapitre 2).
En second lieu, on se focalise sur lâĂ©tude de comportement modal des poutres et les
mĂ©thodes dâanalyse associĂ©es (chapitre 3). Lâobjectif est de formuler un modĂšle
théorique de calcul dynamique des poutres et les principales caractéristiques
modales Ă examiner.
Chapitre 1
6
En troisiĂšme lieu, on prĂ©sente lâensemble des propriĂ©tĂ©s mĂ©caniques et dynamiques
des spĂ©cimens rĂ©alisĂ©s (chapitre 4). Cela aide Ă sĂ©lectionner les modes propres Ă
Ă©tudier (qui contribuent dâune façon significative Ă la rĂ©ponse dynamique) dâune
part et la maniĂšre dâinstrumentation (mĂ©thode de ST) dâautre part. Aussi,
lâidentification des caractĂ©ristiques dynamiques appuie Ă lâinterprĂ©tation des
rĂ©sultats dâinteraction acousto-Ă©lastique de la prochaine Ă©tape.
Au chapitre 5, nous allons Ă©tudier lâeffet de chaque mode sur les paramĂštres ANL.
En effet, nous avons appliqué la technique de saut temporel pour une
configuration des ondes de surface.
Le chapitre 6 comporte une discussion générale des résultats obtenus dans les deux
volets (dynamique et acoustique) et de la méthodologie suivie ainsi que les
recommandations tirées de cette étude.
Finalement, la conclusion de travail présente le bilan global des différentes
remarques est donnĂ©e au chapitre 7. Lâimpact de cette Ă©tude sur le cĂŽtĂ© scientifique
et technologique est ainsi discuté, y compris les suggestions et les perspectives
conclues pour les travaux futurs.
Chapitre 2 Application de lâacoustique
dans le contrĂŽle non
destructif
â Ătude bibliographique â
2.1 Introduction
Ătant donnĂ© que les ponts sont des points nĂ©vralgiques pour le rĂ©seau de transport routier,
il est capital de maintenir leur fonctionnement et la sécurité des usagers. à cet égard, un
programme dâauscultation rĂ©gulier est nĂ©cessaire.
Lâauscultation dâun ouvrage dâart comprend une mission dâinspection visuelle, un examen
de santĂ© de lâouvrage Ă lâaide dâessais destructifs ou non destructifs puis une
instrumentation afin de surveiller lâouvrage en temps rĂ©el [7]. Les techniques de contrĂŽle
non destructif (CND) sont largement utilisées dans cet objectif. Les différentes techniques
du CND sont classées par rapport à la source du test, la nature ou la méthodologie adaptée
ou par rapport au but visé [5].
Le contenu du prĂ©sent chapitre est consacrĂ© Ă lâĂ©tude bibliographique des techniques
acoustiques rĂ©alisĂ©es dans le cadre du CND des ouvrages civils. En raison de lâĂ©tendue de
ces techniques et des domaines dâapplication, lâĂ©tude est essentiellement portĂ©e sur les
mĂ©thodes acoustiques appliquĂ©es Ă lâauscultation des ponts en bĂ©ton. Elle ne traite
cependant pas les autres techniques ni les ponts autres quâen bĂ©ton (charpente mĂ©tallique
ou en maçonnerie).
Le but de ce chapitre est de résumer les principaux avancements théoriques et pratiques
menĂ©s jusquâĂ prĂ©sent. Cela permet dâenrichir, par la suite, les dĂ©marches expĂ©rimentales Ă
entreprendre dans ce projet de recherche. Le contenu de ce chapitre est partagé en deux
parties. La premiÚre tient à rapporter les différentes applications actuelles des techniques
acoustiques dans le CND. La seconde traite, en particulier, les techniques acoustiques non
linĂ©aires et son champ dâapplication.
Chapitre 2
8
Aussi, dans la littérature, on a un grand nombre des travaux qui traitent cette thématique
(méthodes acoustiques). La présentation ici donne quelques références pour chaque sujet.
Pour plus dâinformation, le lecteur est rĂ©fĂ©rĂ© aux [5], [7], [8], [38]â[41]
2.2 Les méthodes acoustiques appliquées au CND
Les essais par mesures acoustiques sont utilisés dans le CND des infrastructures civiles
dans de nombreuses applications [5], [7], [38], [42]. Habituellement, les essais acoustiques
ont pour but de (a) mesurer une dimension gĂ©omĂ©trique (b) dâĂ©valuer une propriĂ©tĂ©
physique ou mécanique ou (c) de détecter une anomalie ou une pathologie recherchée [5],
[8], [9]. Le choix dâun essai ou dâune technique dĂ©pend de lâobjectif visĂ©, de lâefficacitĂ© et
la simplicitĂ© de la technique, du temps dâintervention allouĂ© et du prix [5]. Dâune maniĂšre
gĂ©nĂ©rale, les techniques acoustiques applicables au gĂ©nie civil peuvent ĂȘtre rĂ©sumĂ©es dans
les points suivants :
1. Techniques basées sur les modes de propagation :
a. Ondes de volume ;
b. Ondes de surface ;
2. Techniques de résonance telles que
a. Les essais de résonance ;
b. Lâimpact-Ă©cho ;
c. La réponse impulsionnelle.
3. Techniques basĂ©es sur lâĂ©mission acoustique.
Dans la premiÚre catégorie, les ondes de volume se propagent dans la matiÚre de trois
façons, soit par : (i) transmission (ii) réflexion ou (iii) réfraction. Chacun de ces modes
révÚle des informations pertinentes sur le milieu sondé. En outre, pour chaque mode, il y a
un ensemble des mĂ©thodes qui sây intĂ©ressent.
En mode de transmission, on trouve lâessai dâimpulsion ultrasonore, mieux connu sous
lâacronyme dâUPV (Ultrasonic Pulse Velocity). Le principe consiste Ă mesurer la vitesse
de propagation dâune onde acoustique (onde de compression) Ă partir de son temps de
parcours (ou temps de vol) entre un Ă©metteur et un rĂ©cepteur [43]. On parle dâultrasonores
puisque la frĂ©quence de lâonde transmise est supĂ©rieure Ă 20 kHz. Cet essai est trĂšs
pratique pour lâauscultation des ouvrages civils notamment les ponts, les tunnels, les dalles
de stationnements multiĂ©tages, etc. Lâobjectif principal est dâestimer lâĂ©tat du bĂ©ton en
Chapitre 2
9
place en corrĂ©lation avec lâUPV (mesure sur Ă©chantillon au laboratoire si nĂ©cessaire). Cette
estimation est souvent basée sur la corrélation de la vitesse de propagation avec la
rĂ©sistance mĂ©canique. Cet essai est largement utilisĂ© (bĂ©ton ordinaire [44]â[46], bĂ©ton
structurel léger [47], béton à poudre de verre [48], béton de pavement [49], etc.).
Lâessai UPV est ainsi utilisĂ© pour Ă©valuer les dommages causĂ©s par la rĂ©action alcali-
granulats [14], [50], [51], le gel-dĂ©gel [52]â[54] ou par le feu [55]â[58]. En mode de
transmission directe (figure 2.1-a), il est aussi capable de localiser et Ă©valuer lâĂ©paisseur
dâune dĂ©lamination interne des dalles [59]. En fait, la diffraction de l'onde longitudinale
aux délaminations diminue la vitesse de l'onde, une corrélation qualitative a été établie
entre le temps de vol du signal UPV et la taille de la délamination [59]. En mode de
transmission indirecte (figure 2.1-b), le temps de propagation des ondes longitudinales
directes et des ondes de Rayleigh permet ainsi dâĂ©valuer le module de Young et le
coefficient de Poisson [59]. En 2016, Saint-Pierre et al. [60] ont Ă©tudiĂ© lâindice
dâendommagement du bĂ©ton des barrages en proposant une approche permettant de laisser
augurer lâĂ©tat initial du bĂ©ton.
Aussi, lâultrason est employĂ© pour lâinvestigation des fondations profondes (profondeur,
anomalies de mise en Ćuvre, vides, discontinuitĂ©s, contamination, etc.) [61]â[63]. Pour les
pieux, on lâimplique sous trois formes : « cross-hole », « down-hole » et « up-hole » [38],
[64]. Et, sur une Ă©chelle plus petite, lâessai sâintĂ©resse aux mesures de lâextension dâune
fissure de surface [65]â[67]. Lâessai est aussi requis pour la vĂ©rification de performance de
scellement des fissures [68], [69].
(a) (b)
Figure 2-1 Mode de configuration de lâessai UPV (a) transmission directe (b) transmission
indirecte [38]
Chapitre 2
10
En mode de rĂ©flexion, il y a les essais de pulse-Ă©cho et de lâimpulse-Ă©cho [7], [38]. Dans
lâessai de pulse Ă©cho, un transducteur est utilisĂ© pour gĂ©nĂ©rer les ondes acoustiques dans le
béton et recevoir les ondes réfléchies (figure 2.2.a) [64]. Dans le second essai (impulse-
écho), les ondes sont générées par un impact mécanique, puis elles se réfléchissent
lorsquâelles rencontrent une discontinuitĂ© [64]. Concernant lâapplication in situ, le pulse-
écho est particuliÚrement adapté pour caractériser les dommages dans les matériaux
composites dans le béton (polymÚres renforcés de fibre de verre, par ex.) [70]. En outre, le
pulse-Ă©cho peut ĂȘtre utilisĂ© soit pour mesurer l'Ă©paisseur et/ou la densitĂ© du matĂ©riau ou
pour chercher un défaut interne (fissure ou décollement) [7]. Cet essai est parfois utilisé
pour Ă©valuer lâĂ©tat dâadhĂ©rence des ancrages rigides ou des cĂąbles de prĂ©contrainte [64]. La
plupart des applications seraient des matériaux en forme de dalle ou bien des conditions
proches de surface [7]. Lâimpulse-Ă©cho, appelĂ© parfois sonique-Ă©cho [5], implique les trois
configurations précédentes (figure 2.2.b). Colla et al. [71] ont utilisé le temps de parcours
pour dessiner lâimage 3D de la distribution de vitesse acoustique, si bien que le diagnostic
graphique relĂšve facilement les altĂ©rations locales de vitesse en cas dâune anomalie.
Cependant, cet essai nâest pas recommandĂ© pour une configuration indirecte en raison de
mauvaises rĂ©solutions obtenues Ă partir de l'Ă©nergie Ă basse frĂ©quence dâune part et de
lâambigĂŒitĂ© de distinguer ces ondes (rĂ©flĂ©chies) par rapport aux ondes de surface, dâautre
part [5], [72].
Figure 2-2 (a) essai pulse-Ă©cho destinĂ© Ă mesurer lâĂ©paisseur et la profondeur des dĂ©fauts dans les
dalles (image tirĂ©e de [7]) (b-d) configuration de lâessai dâimpulse-Ă©cho (tirĂ©e de [5])
Chapitre 2
11
En revanche, les essais basés sur le principe de réfraction des ondes de volume sont
beaucoup plus pratiques pour la quantification du délaminage à l'interface acier-béton [73],
[74]. Quoiquâelles se propagent dans les interfaces de contraste, les ondes rĂ©fractĂ©es sont
rendues plus efficaces pour lâauscultation des joints froids et de problĂšme dâadhĂ©rence
dâun bĂ©ton de rĂ©paration [64]. RĂ©cemment, Guo et al. [75] lâont impliquĂ© pour Ă©tudier la
distribution des bulles d'air aprÚs durcissement du béton (étude menée sur des échantillons
au laboratoire). Cependant, les essais ultrasons, y compris pulse-Ă©cho et lâimpulse-Ă©cho,
nĂ©cessitent un espacement trĂšs Ă©troit entre Ă©metteur/ rĂ©cepteur afin dâobtenir des
informations précises du milieu testé, cela prend beaucoup de temps [76]. La qualité des
donnĂ©es dĂ©pend fortement du couplage de l'unitĂ© de transducteur, ce qui peut ĂȘtre difficile
sur les surfaces rugueuses. En outre, comme lâUPV fonctionne dans le bĂ©ton avec les
frĂ©quences plus basses, certains dĂ©fauts pourraient ne pas ĂȘtre dĂ©tectĂ©s [76].
Dans la mĂȘme catĂ©gorie, on a aussi les techniques dâondes de surface, telle que les ondes
de Rayleigh. Elles se propagent dans la couche superficielle du bĂ©ton, si bien quâelles sont
utilisĂ©es dans lâinvestigation de la qualitĂ© du bĂ©ton de peau qui est souvent sujette au
problĂšme dâĂ©caillage, de gel-dĂ©gel et de la RAG [77]. Ainsi, les ondes de Rayleigh ont
trois avantages principaux : (i) elles se propagent en surface, ce qui permet dâausculter les
structures accessibles sur une seule face (ii) elles sont sensibles à la variation inhérente
dans les propriétés mécaniques du béton et (iii) elles sont caractérisées par son épaisseur de
pĂ©nĂ©tration, Ă©quivalente Ă sa longueur dâonde (â â đ = đ/đ) [8]. La variation dans les
propriĂ©tĂ©s du bĂ©ton (humiditĂ© relative, porositĂ© et module dâĂ©lasticitĂ©) peut ĂȘtre Ă©tudiĂ©e en
fonction de la profondeur de pénétration en rapport avec les fréquences correspondantes
[8]. La mesure de vitesse des ondes longitudinales et la vitesse des ondes de surface
permettent aussi de déduire le coefficient de Poisson (figure 2.3) [59].
Les propriĂ©tĂ©s Ă©lastodynamiques du bĂ©ton peuvent aussi ĂȘtre mesurĂ©es via les techniques
de rĂ©sonance (2e catĂ©gorie). Lâessai de rĂ©sonance, lâimpact-Ă©cho et la rĂ©ponse
impulsionnelle sont les principales techniques employées dans cette catégorie.
DĂ©veloppĂ© dans les annĂ©es 1930, lâessai de rĂ©sonance concerne la mesure de la frĂ©quence
de rĂ©sonance de vibration dâun prisme en bĂ©ton sous une configuration gĂ©omĂ©trique
prescrite [78]. Cette mesure permet dâĂ©valuer les propriĂ©tĂ©s Ă©lastodynamiques qui reflĂštent
la qualitĂ© du matĂ©riau auscultĂ©. Il sâapplique plutĂŽt aux Ă©chantillons du laboratoire et se
focalise beaucoup sur le niveau dâendommagement et la durabilitĂ© des matĂ©riaux.
Chapitre 2
12
Figure 2-3 DĂ©termination du coefficient de Poisson dynamique par la mesure de vitesses des ondes
longitudinales et la vitesse des ondes de surface [59]
En 1988, Sansalone et Carino [79] ont dĂ©veloppĂ© lâimpact-Ă©cho comme un outil trĂšs
pratique sur chantier. Le principe consiste à générer une onde acoustique (généralement de
20 et 30 kHz [80]) Ă lâaide dâun impact mĂ©canique de courte durĂ©e [81]. Lâimpact-Ă©cho est
souvent utilisĂ© pour deux raisons : (a) dĂ©terminer une dimension dâun Ă©lĂ©ment de structure
ou (b) pour dĂ©tecter un dĂ©faut. Dans le premier cas, il offre lâavantage de mesurer une
Ă©paisseur dâune dalle, de recouvrement des barres dâarmature et/ou de profondeur dâune
conduite [76], [82]. En termes de dĂ©tection des dĂ©fauts, lâessai sâintĂ©resse beaucoup plus au
phĂ©nomĂšne de dĂ©lamination et de nids dâabeille [83]. Il peut Ă©galement contrĂŽler la qualitĂ©
dâinjection des gaines des cĂąbles de prĂ©contrainte [64]. Lâessai peut fournir une estimation
du module dâĂ©lasticitĂ© ou de la rĂ©sistance de compression du bĂ©ton [81]. Cependant, sur
des ponts ayant un revĂȘtement dâasphalte, la dĂ©tection est possible uniquement lorsque la
tempĂ©rature de lâasphalte est suffisamment faible [76], de sorte que le matĂ©riau ne soit pas
trĂšs visqueux, ou lorsque les couches sont intimement liĂ©es. Câest pourquoi la technique
dâimpact-Ă©cho est souvent combinĂ©e avec lâessai UPV [80]. Il nâest aussi pas applicable
aux Ă©lĂ©ments de structure tels quâune colonne, une poutre, une pile, etc.âŠ, puisque les
frontiĂšres vont produire des rĂ©flexions supplĂ©mentaires (problĂšme dâinterfĂ©rence) [84]. Les
rĂ©sultats peuvent Ă©galement ĂȘtre affectĂ©s par le champ proche dâune erreur systĂ©matique
estimĂ©e Ă 5â15% [65].
Chapitre 2
13
La technique de réponse impulsionnelle a été développée principalement pour évaluer les
fondations profondes (profondeur des pieux, défauts de construction) par la connaissance
de rigidité dynamique [85]. En 1980, elle est rendue applicable aux dalles des ponts. Le
principe consiste Ă appliquer une force dâimpact (choc mĂ©canique) Ă lâaide dâun marteau
Ă©quipĂ© dâun capteur de force, puis Ă mesurer lâamplitude de lâonde mĂ©canique conduite par
le choc Ă lâaide dâun capteur de dĂ©placement (en gĂ©nĂ©ral un gĂ©ophone ou un
accĂ©lĂ©romĂštre) (figure 2.2). Les donnĂ©es sont traitĂ©es de sorte quâon trace la courbe de
mobilité (rapport vitesse/force vs fréquence) dans laquelle il est possible de déterminer la
longueur des pieux, la raideur (Ă basse frĂ©quence) et lâimpĂ©dance caractĂ©ristique [86]. De
plus, cet essai sert davantage de détecter les défauts dans les bétons [87], voire le
décollement d'asphalte/béton sur les ponts et les trottoirs en béton. En termes de
dĂ©savantages, lâessai peut ĂȘtre utilisĂ© pour dĂ©tecter de gros dĂ©fauts dans la structure tandis
que les petits défauts peuvent passer inaperçus [76].
Figure 2-4 Montage de lâessai de rĂ©ponse impulsionnelle [5]
Figure 2-5 principe de lâessai dâĂ©missions acoustiques [5]
Chapitre 2
14
La troisiÚme catégorie de techniques acoustiques concerne les émissions acoustiques. Dans
cette famille, les ondes acoustiques sont aussi des ondes élastiques mécaniques, se
produisant suite Ă la libĂ©ration dâĂ©nergie des dĂ©formations ou des dommages internes du
matériau et se propageant de la source vers les capteurs (figure 2.5). Les premiers essais
réalisés sur les ponts sont datés de 1939 [88]. Ensuite, de nombreuses applications aux
ouvrages civils ont été réalisées grùce aux avantages majeurs apportés au domaine
dâinvestigation des dommages : localisation, identification et Ă©valuation de la sĂ©vĂ©ritĂ© de la
source [5], [89]â[93]. Ăgalement, lâessai peut ĂȘtre appliquĂ© pour la surveillance globale de
la structure ou pour un dommage local spĂ©cifique. L'inconvĂ©nient majeur de lâĂ©mission
acoustique est qu'aucune procĂ©dure standard nâest disponible pouvant ĂȘtre applicable Ă tous
les types de structures et aux ponts spécifiquement [90]. Cette méthode nécessite ainsi un
personnel expérimenté.
Bien que les techniques précitées présentent certains avantages de rapidité et de facilité de
mise en Ćuvre lors dâun diagnostic dâun dĂ©faut prĂ©judiciable, elles sont plutĂŽt peu
efficaces lorsquâil est nĂ©cessaire de connaitre lâexpansion de la RAG ou de potentiel de
corrosion Ă jeune Ăąge [11], [13]. Une telle pathologie touche une grande partie des
ouvrages dâart au QuĂ©bec. La recherche est donc appelĂ©e Ă trouver une alternative plus
efficace et robuste. En effet, lâessai dâultrasons, comme dâautres essais acoustiques
classiques, nâest pas en mesure de dĂ©tecter ces deux pathologies dĂšs son initiation. Les
mĂ©thodes acoustiques classiques sont gĂ©nĂ©ralement limitĂ©es par le fait quâelles sont axĂ©es
sur la diminution de la vitesse de lâonde en fonction de lâendommagement. Une telle
diminution relativement faible et nécessitant la connaissance à priori des caractéristiques
initiales du bĂ©ton. Or, cette vitesse nâest gĂ©nĂ©ralement pas connue pour un ouvrage existant
et peut ĂȘtre variĂ©e de façon diffĂ©rente selon plusieurs facteurs, Ă lâinstar de la variation de
composition du béton inhérente (porosité, teneur en granulats, etc.). à cet effet, pour
pallier cette limitation, on a recours Ă des mĂ©thodes plus avancĂ©es telles que lâacoustique
non linĂ©aire (ANL). Ces techniques ont retenu plus dâintĂ©rĂȘt grĂące Ă sa sensibilitĂ© face Ă la
dĂ©tection de microdommages dans le bĂ©ton dâune part et sans connaissance prĂ©alable des
propriĂ©tĂ©s initiales dâautre part [10], [11], [13].
Chapitre 2
15
2.3 Les méthodes acoustiques non linéaires
En élasticité linéaire, le principe de superposition stipule que deux ondes acoustiques se
propageant dans un milieu nâinteragissent pas. Le signal de sortie (output) est donc la
somme de deux signaux dâentrĂ©e [94]. Cependant, ce principe nâest plus valide lorsque le
milieu présente une sorte de non-linéarité matérielle [94], [95]. En effet, le champ résultant
sera pour partie la somme de deux contributions, mais avec une contribution
supplĂ©mentaire qui va apparaĂźtre Ă cause de lâinteraction des deux ondes (figure 2.6). Cette
contribution tient compte quâune partie des ondes va subir une distorsion avec laquelle
elles transportent les informations relatives Ă cette perturbation [94]. Ces informations sont
en effet un indice important sur lâĂ©tat de microdĂ©fauts prĂ©sents dans la matiĂšre
(microfissuration, endommagement interne, expansion de RAG, etc.). Ainsi, elles servent Ă
dĂ©terminer lâattĂ©nuation, la rĂ©sonance et autres comportements Ă©lastiques non linĂ©aires du
milieu sondé.
Figure 2-6 â Principe de technique de modulation non linĂ©aire [94]
Autrement dit, le pouvoir de détection de microdéfauts dépend de la technique appliquée et
de la gamme fréquentielle dans laquelle les ondes sont produites. En ANL, les ondes ont
une longueur dâonde suffisamment petite devant la taille de dĂ©faut recherchĂ©. Câest la
raison pour laquelle les ondes ANL sont générées dans les hautes fréquences (au-delà de
20 kHz). Dans la technique de spectroscopie de résonnance ultrasonore non-linéaire
Chapitre 2
16
(Nonlinear resonant ultrasound spectroscopy, NRUS), les ondes sont générées dans les
basses fréquences et à mesure que le niveau d'excitation augmente, la non-linéarité
élastique se manifeste par un décalage de la fréquence de résonance [96], [97].
En général, les techniques classiques (linéaires) sont basées sur les principes de
propagation des ondes acoustiques. Ces techniques sont habituellement appliquées pour
mesurer une dimension gĂ©omĂ©trique (Ă©paisseur dâune dalle, profondeur dâun pieu, volume
des vides, etc.) ou un paramÚtre physique tel que : vitesse moyenne, atténuation ou une
fréquence de résonance. Par ailleurs, les méthodes ANL sont introduites pour évaluer les
paramĂštres de non-linĂ©aritĂ© du bĂ©ton [8], [12]. La particularitĂ© de lâANL par rapport Ă lâAL
est quâil permet dâidentifier lâĂ©tat du matĂ©riau sans faire recours Ă un rĂ©fĂ©rentiel ou une
comparaison entre deux Ă©tats [10].
Les premiÚres applications des méthodes ANL sont réalisées dans la caractérisation des
massifs rocheux ensuite elles sont devenues de plus en plus pratiques pour les matériaux
cimentaires tels que le béton [13]. Van Den Abeele et al. [23] puis Payan et al. [98] ont
appliquĂ© les deux techniques (AL et lâANL), au laboratoire, sur des Ă©chantillons en bĂ©ton
afin de comparer la sensibilité de chacune. Ils ont constaté que les essais ANL relÚvent une
plus grande sensibilitĂ© face Ă lâendommagement mĂ©canique et thermique des matĂ©riaux.
Les travaux du GRAI de lâUniversitĂ© de Sherbrooke ont Ă©galement abouti Ă la mĂȘme
conclusion [10], [12], [13], [26]. Actuellement, les méthodes ANL les plus connues sont :
la résonance non linéaire, la modulation non linéaire et la technique du saut temporel [13].
2.3.1 Technique de modulation non linéaire
La technique de modulation non linĂ©aire sâintĂ©resse Ă lâĂ©valuation de paramĂštre de non-
linĂ©aritĂ©, đœ de lâĂ©quation 2.2, qui il caractĂ©rise la distorsion des ondes. En fait, dans
un milieu non linéaire comme dans le béton par exemple, la vitesse de propagation dépend
de la dérivée de la contrainte par rapport à la déformation, qui dépend également du niveau
de déformations [94]. La figure 2.6 présente un schéma de cette dépendance. En effet, la
contrainte dĂ©veloppĂ©e lors dâune Ă©mission de deux ondes sinusoĂŻdales (stationnaires) de
fréquences différentes dans un milieu non linéaire va produire deux sortes de contraintes :
une linéaire et une non linéaire. La partie linéaire est la superposition des deux ondes
sources, celle-ci est dĂ©tectĂ©e en deux pics de frĂ©quences associĂ©es (đ1 et đ2) alors que
Chapitre 2
17
pour la partie non linéaire, représentant le carré de la somme des deux signaux, son spectre
de Fourrier reflÚte quatre pics de fréquences modulées [94] dont :
Deux frĂ©quences doubles, 2đ1 et 2đ2, appelĂ©es harmoniques, permettant de
calculer le paramĂštre ÎČ par le rapport dâamplitudes ;
Deux autres frĂ©quences, (đ1 + đ2) et (đ2 â đ1).
Cette modulation est utilisĂ©e comme moyen de caractĂ©risation de lâendommagement
(Figure 2.7). Dans ce cas, le paramĂštre ÎČ est dĂ©fini comme suit [99]:
đœ =8
đ2đ đŽđ2
đŽđ12
(2.1)
OĂč k est le nombre dâondes, a : la distance de propagation et đŽđ1 et đŽđ2 sont les
amplitudes relatives aux frĂ©quences fondamentales đ1 et đ2.
Figure 2-7 â Exemple de modulation des ondes acoustiques [95]
Par ce concept, Payan et al. [100] ont étudié la relation entre le degré de saturation et le
paramĂštre de non-linĂ©aritĂ© α du bĂ©ton. Lâobjectif visĂ© est dĂ©terminer les paramĂštres
inhĂ©rents du bĂ©ton (porositĂ© et taux de saturation) Ă partir de la valeur de đœ. Pour cela,
lâidĂ©e est de gĂ©nĂ©rer une onde monochromatique de basse frĂ©quence avec une force
dâimpact. Ătant donnĂ© que le paramĂštre đœ reste quasiment constant pour un degrĂ© de
saturation supérieure à 20%, la technique ne pourra pas fournir des informations fiables
Chapitre 2
18
dans ce cas. Par contre, cette insensibilité rend cette méthode meilleure pour caractériser
les autres types dâendommagement en dessous de ce niveau de saturation. En revanche,
lâessai de modulation non linĂ©aire est utilisĂ© pour caractĂ©riser lâeffet de corrosion des
armatures sur les propriétés élastiques non linéaires du béton [16]. Bouchaala et al. [24] ont
rendu cette technique applicable lors de lâĂ©valuation de la carbonatation du bĂ©ton pour quel
le paramĂštre đŒ est substantiellement amplifiĂ© par cette rĂ©action.
Toutefois, lâapplication de cette technique in situ requiert la mise en excitation suffisante
pour provoquer la non-linĂ©aritĂ©, ce qui est lâun des dĂ©fis majeurs de cette technique,
présentement.
2.3.2 Technique de résonance non linéaire
Le principe de cette technique consiste Ă faire propager une onde continue dans un
Ă©chantillon du bĂ©ton en faisant un balayage de frĂ©quence du signal. Par lâaugmentation de
lâamplitude des ondes Ă©mises, la frĂ©quence de rĂ©sonance dâun bĂ©ton endommagĂ© va se
déplacer vers les basses fréquences (Figure 2.8). En outre, les propriétés élastiques
(module de Young) changent en fonction de lâamplitude du signal [23]. En consĂ©quence,
ce dĂ©calage est plus prononcĂ© dans les matĂ©riaux endommagĂ©s quâen matĂ©riau sain [12].
Par ce principe, la caractĂ©risation de lâendommagement est obtenue. En effet, Kodjo [12],
Lesnicki et al. [20] et Boukari et al. [26] ont utilisé cette technique pour caractériser
lâexpansion de la rĂ©action dâalcalis-silice (RAS) dans le temps. Ils ont constatĂ© que le
degrĂ© dâendommagement dĂ©pend du degrĂ© de saturation des vides en gel de RAS, ce qui se
manifeste dans la rĂ©ponse du milieu Ă la perturbation. Par ailleurs, lâessai permet dâestimer
le niveau de dĂ©gradation dâune maniĂšre « quantitative ».
Figure 2-8 â MĂ©thode de balayage des frĂ©quences [99]
Chapitre 2
19
Dans la suite de ses travaux, Lesnicki et al. [20] a développé plus la résonance non linéaire
afin dâĂ©tablir un lien entre les paramĂštres de non-linĂ©aritĂ© du bĂ©ton et le degrĂ©
dâendommagement du bĂ©ton par la RAG. La sensibilitĂ© de cette technique est ainsi testĂ©e
pour différents échantillons de granulats réactifs. Les résultats montrent la possibilité de
suivre lâĂ©volution des paramĂštres de non-linĂ©aritĂ© dĂšs lâinitiation et le dĂ©veloppement de
microfissures. LâĂ©tude est conclue par lâefficacitĂ© de cette technique Ă distinguer les
granulats rĂ©actifs par rapport aux non rĂ©actifs. Dans le mĂȘme contexte, Eiras et al. [101] a
Ă©galement utilisĂ© cette mĂ©thode pour Ă©valuer lâendommagement du bĂ©ton par la RAG. En
comparaison avec lâUPV et lâessai de rĂ©sonance, la technique de rĂ©sonance non linĂ©aire est
parue plus sensible notamment Ă jeune Ăąge. Dans la mĂȘme pĂ©riode, Park et al. [102] a
Ă©galement pu utiliser la rĂ©sonance non linĂ©aire pour dĂ©terminer lâĂ©tat du bĂ©ton endommagĂ©
par le feu. RĂ©cemment, Boukari et al. [26] ont combinĂ© lâessai de rĂ©sonance non linĂ©aire
avec l'analyse physico-chimique pour évaluer les dommages causés par la RAG. Il a été
remarquĂ© que le paramĂštre de non-linĂ©aritĂ© đŒ, qui tient compte lâeffet hystĂ©rĂ©tique des
microfissures (§ Ăq. 2.3), montre une grande variation (environ 10 fois plus Ă©levĂ©e). La
rĂ©sonance non linĂ©aire a aussi Ă©tĂ© utilisĂ©e au laboratoire pour la dĂ©tection et lâĂ©valuation de
lâattaque de sulfates [103].
Bien que ces avancés soient plus performants notamment pour les échantillons en
laboratoire, il est encore difficile de lâappliquer en pratique sur terrain. Le dĂ©fi majeur de
lâapplication de lâANL in situ demeure, en effet, dans la maniĂšre de produire la non-
linĂ©aritĂ© dans le bĂ©ton, surtout pour un Ă©lĂ©ment de trĂšs grande dimension (barrage, pontâŠ,
etc.).
2.3.3 MĂ©thode de saut temporel
Ătant donnĂ© que les distorsions ayant subi les ondes acoustiques produisent un certain
dĂ©calage dans le temps dâarrivĂ©e, cette idĂ©e a amenĂ© certains chercheurs Ă suggĂ©rer une
nouvelle approche basée sur ce décalage ; un décalage plus remarquable dans les ondes de
coda [12]. En effet, dans son Ă©tude portant sur lâĂ©valuation de lâexpansion de la RAG,
Kodjo et al. [12] a constatĂ© que lorsquâun impact est appliquĂ©, un dĂ©calage temporel du
signal ultrasonore qui sonde le milieu. Ce décalage est plus important dans la partie queue
du signal reçu (ondes de coda). Cette idĂ©e est Ă lâorigine du dĂ©veloppement de la mĂ©thode
de saut- temporel (ST).
Chapitre 2
20
2.3.3.1 Principe de la technique ST
Le principe de ST consiste à appliquer un chargement mécanique ayant une amplitude
suffisamment élevée pour pouvoir provoquer la non-linéarité du milieu sondé (ouverture
de microfissures). Pour Ă©viter lâinterfĂ©rence des frĂ©quences dâexcitation Ă celles des ondes
Ă©mises (de hautes frĂ©quences), lâexcitation devrait ĂȘtre gĂ©nĂ©rĂ©e dans les basses frĂ©quences.
Le rĂŽle de cette excitation est dâinduire des dĂ©formations locales qui vont ensuite modifier
instantanément et temporellement les propriétés mécaniques du milieu (chute rapide) et ce
qui modifie la propagation des ondes dâultrasonores. Dans la pratique, cette modification
est Ă©valuĂ©e par un dĂ©calage temporel (dâordre microseconde), appelĂ© saut temporel (figure
2.9).
Figure 2-9 â DĂ©calages temporels des ondes directes (Ă gauche) et de la coda (Ă droite) [13]
Théoriquement parlant, lorsque le béton est soumis à une onde de forte amplitude, on
constate une chute rapide des propriétés élastiques (en fraction de seconde). Ce phénomÚne
est appelé dynamique rapide. Lorsque la sollicitation est enlevée, le matériau recouvre
lentement ses propriĂ©tĂ©s Ă©lastiques initiales, câest la dynamique lente [94]. Quant Ă la
mĂ©thode ST, elle sâintĂ©resse au comportement rapide du bĂ©ton.
Lorsque lâon applique une perturbation mĂ©canique, le signal aprĂšs propagation prĂ©sente
deux parties différentes. Les ondes directes arrivant en premier temps correspondant à la
Chapitre 2
21
portion des ondes ayant parcouru le chemin le plus court. Ensuite, une seconde partie
dâultrasons ayant subi de multiples rĂ©flexion-diffusion en interaction avec la matiĂšre (les
granulats et les discontinuitĂ©s) vont provenir de toute direction. Ce type dâondes
sâappelle « ondes coda » (figure. 2.9) [12], [105]. Leur parcours est relativement plus
grand. Quoiquâelles subissent de multiples rĂ©flexions-diffusions, elles apportent plus
dâinformations sur lâĂ©tat des microdommages internes [10], [12], [106]â[108]. En se basant
sur cette partie de signal, le décalage des phases est plus prononcé dans les milieux
dĂ©gradĂ©s que dans les milieux sains. Par ce principe, lâĂ©tat du matĂ©riau (bĂ©ton) est Ă©valuĂ©
[29]. La corrélation de ce décalage de temps avec les propriétés non linéaires du matériau
est discutée au paragraphe suivant.
Comme cité plus haut, les ondes ultrasonores sont générées dans les hautes fréquences, soit
supĂ©rieures Ă 20 kHz. PlanĂšs et Larose ont distinguĂ© lâinterfĂ©rence des ondes ultrasonores
avec la matiÚre en quatre niveaux selon la fréquence (figure 2.10) [109]. Ils ont considéré
que les ondes de fréquence de plus de 100 kHz sont celles qui vont subir de multiples
diffusions parce que la longueur dâonde Ă©tant trĂšs petite devant la taille des discontinuitĂ©s
[109].
Figure 2-10 Niveaux de diffusions des ondes ultrasonores selon les fréquences de propagations
[109]
En comparant la sensibilitĂ© de lâimpact-Ă©cho et lâUPV avec lâessai de ST, ce dernier
apparaĂźt plus sensible lorsquâil est utilisĂ© en mode de transmission indirecte [10]. Le ST est
Ă©galement beaucoup plus sensible Ă lâinitiation de lâendommagement du bĂ©ton que les
mĂ©thodes linĂ©aires classiques. En effet, sa sensibilitĂ© est dâun grand intĂ©rĂȘt pour
lâĂ©valuation rapide des structures [10].
Chapitre 2
22
2.3.3.2 Corrélation avec les paramÚtres de non-linéarité
Le comportement non linĂ©aire dĂ©pend des modes dâouverture et de fermeture des
microfissures internes. En effet, selon lâamplitude dâexcitation, les dĂ©fauts et microfissures
sâouvrent et se ferment suivant leur extension et leur connexion. Ainsi, il est constatĂ© que
ces microfissures prĂ©sentent un comportement hystĂ©rĂ©tique [12], [97], [110]â[112]. En
général, quand un matériau hétérogÚne exhibe un comportement non linéaire, la relation
contrainte-déformation pour un état de compression axiale est exprimée par :
Ï = â«E(Δ, ΔÌ) dΔ (2.2)
OĂč E est le module dâĂ©lasticitĂ© non linĂ©aire, il reprĂ©sente le rapport entre lâentitĂ© de
contrainte et la déformation induite :
đž = đž0(1 + đœí + đżí2 + âŻ+ đŒ[âí + í(đĄ) đ đđđ(íÌ)]) (2.3)
đž0 Ă©tant le module dâĂ©lasticitĂ© linĂ©aire (constante). Les paramĂštres ÎČ et ÎŽ reprĂ©sentent les
paramÚtres de non-linéarité du matériau. Le paramÚtre α est la constante non linéaire
tenant compte lâeffet hystĂ©rĂ©tique des microfissures, âΔ = (Δmax â Δmin) 2â et Î”Ì Ă©tant
respectivement lâamplitude et la vitesse de dĂ©formation. Le paramĂštre sign(ΔÌ) reprĂ©sente
lâhistorique du chargement (cycles chargement-dĂ©chargement) :
sign(ΔÌ) = {1, Î”Ì > 0â1, Î”Ì < 00, Î”Ì = 0
(2.4)
La fonction đŒ[âí + í(đĄ) đ đđđ(íÌ)] tient compte du processus de chargement et de lâĂ©tat du
milieu (fermé ou ouvert) [97].
Le module dâĂ©lasticitĂ© dynamique peut entre-autres sâĂ©crire en relation avec la vitesse de
lâonde de compression ultrasonore comme suit :
đž = đđ2 (2.5)
OĂč đ est la masse volumique. Ă partir des Ă©quations (2.3) et (2.5), la variation de la vitesse
est en rapport avec le paramĂštre đœ et lâamplitude de dĂ©formation :
âđ
đ= đœâí (2.6)
Ătant donnĂ© Ă©galement que la variation relative du profil de vitesse est linĂ©aire avec le
dĂ©calage temporel relatif, âđ/đ = ââđĄ/đĄ, le paramĂštre đœ peut sâĂ©crire en relation directe
avec le décalage temporel comme suit [113] :
Chapitre 2
23
ââđĄ
đĄ= đœâí (2.7)
đĄ đđĄ âđĄ reprĂ©sentent respectivement le temps de parcours des ondes ultrasonores et le saut
temporel associĂ©. LâĂ©quation (2.7) montre bien que le dĂ©calage temporel est fonction de
lâamplitude des dĂ©formations locales imposĂ©es (par la force dâimpact) et du paramĂštre de
non-linĂ©aritĂ© du bĂ©ton đœ. En effet, par la mesure de dĂ©formations âí et de saut
temporel âđĄ/đĄ, le paramĂštre de non-linĂ©aritĂ© đœ peut ĂȘtre dĂ©terminĂ© [13]. Pour dĂ©terminer le
décalage temporel maximal par rapport à un signal de référence (avant perturbation), la
fonction dâintercorrĂ©lation suivante est employĂ©e :
đ đ,đâČ(đ) = â« đ(đĄ). đâČ(đĄ â đ)đđĄđĄ+
đđ€2
đĄâđđ€2
(2.8)
S đđĄ đâČ sont respectivement le signal avant et aprĂšs perturbation (figure 2.11). đđ€ Ă©tant la
pĂ©riode de la fenĂȘtre considĂ©rĂ©e.
Figure 2-11 â Exemple de dĂ©termination du dĂ©calage temporel maximal par saut le ST [114]
2.3.3.3 Configuration de ST
En termes de configuration, la fréquence de propagation des ondes ultrasonores est le
paramÚtre clé dans ce processus. En effet, les ondes ultrasonores sont générées dans les
hautes frĂ©quences de sorte que la longueur dâonde (đ = đ/đ) soit suffisamment petite
devant la taille des dĂ©fauts recherchĂ©s et pour surmonter lâattĂ©nuation matĂ©rielle des ondes.
Dâailleurs, lâattĂ©nuation matĂ©rielle des ondes ultrasonores dĂ©pend directement de sa
frĂ©quence, đ, et de la dimension maximale des granulats dans le bĂ©ton (đ·đđđ„). DâaprĂšs [8],
le paramĂštre dâattĂ©nuation đŒ0 est donnĂ© selon les cas de figure suivants :
Chapitre 2
24
đđ âȘ 1 đŒ0(đ) = đ1đ + đ1đ3đ4 Champ de Rayleigh
đđ â 1 đŒ0(đ) = đ2đ + đ2đ1đ2 Champ stochastique
đđ â« 1 đŒ0(đ) = đ3đ + đ3đâ1đ0 Champ gĂ©omĂ©trique
OĂč đ = 2đ/đ đđĄ đ = đ·đđđ„ sont le nombre dâondes et la taille maximale de granulats,
respectivement. Les constantes đđ sont des coefficients attribuĂ©s aux phĂ©nomĂšnes
dâabsorption(1) et les đđ aux phĂ©nomĂšnes de diffusion(2) causĂ©e par les granulats [8]. Dans
la pratique, une gamme de frĂ©quences de 50 Ă 250 kHz (đ = 10 â 100 mm) Ă©mise dans un
bĂ©ton ayant une đ·đđđ„ = 14mm, correspond Ă đđ = 1 â 10 [8]. Donc, dans la plupart de
tests acoustiques, le champ généré est stochastique et le matériau possÚde un
comportement dispersif [8] oĂč la vitesse ultrasonore et le coefficient dâattĂ©nuation varient
en fonction de la fréquence.
Les mesures de ST dans les ondes de coda est aussi sujettes Ă lâeffet de tempĂ©rature du
béton [28]. En, effet, dans des essais réalisés au laboratoire (du GRAI) sur une dalle en
bĂ©ton rĂ©actif (RAG), Moradi-Marani et al. [28] ont dĂ©montrĂ© que lâamplitude de la non-
linéarité diminue pour les températures négatives (entre -10°C et 0°C) de telle maniÚre que
les bĂ©tons endommagĂ©s et non endommagĂ©s se comportent de la mĂȘme façon. Par contre, il
y a moins de fluctuations sur le comportement ANL si la tempĂ©rature varie de 10°C Ă
30°C. Câest pourquoi il est suggĂ©rĂ© de rĂ©aliser lâessai de ST dans une telle plage de
tempĂ©rature. Ăgalement, la sensibilitĂ© de cette technique Ă©tĂ© dĂ©montrĂ© au laboratoire pour
la détection la microfissuration du béton vis-à -vis de la RAG à ùge précoce [11].
Lâapplication de cette technique in situ a Ă©tĂ© rĂ©ussie pour la premiĂšre fois par un essai
pilote réalisé sur un pont-dalle en béton auquel une configuration de transmission indirecte
a Ă©tĂ© adoptĂ©e [13]. Câest-Ă -dire, le dispositif de mesure Ă©tait placĂ© sous lâintrados du tablier
(figure 2.12.a). En effet, deux positions sont testées, à savoir, au milieu du tablier et au
proche de lâune des culĂ©es. Lâexcitation requise a Ă©tĂ© fournie par un camion suffisamment
chargé. Le passage de camion a été essayé avec des vitesses différentes, soit 20, 30, 40 et
50 km/h. Aussi, un systĂšme dâobstacle y Ă©tait mis en place de sorte que lâamplitude
dâimpact soit Ă©levĂ©e (figure 2.12.b). Ils ont constatĂ© que les ST mesurĂ©s dans la 2e position
(mi-portée) étant plus importants que celles de la 1e position. Les mesures sont aussi
fiables pour un trafic normal. Cette remarque est dâune importance significative, car aucun
1 Par la conversion de lâĂ©nergie Ă©lastique en chaleur (par friction causĂ©e par le mouvement de lâeau dans les pores). 2 Par la dispersion de l'onde au contact des constituants du matĂ©riau.
Chapitre 2
25
chargement supplĂ©mentaire ni fermeture du pont nâest requis. Cela simplifie beaucoup le
montage de cet essai in situ.
(a) (b)
Figure 2-12 Montage de lâessai de saut temporel in situ (a)positions des capteurs (b) camion
dâexcitation et le dispositif dâobstacle [13]
DâaprĂšs cette expĂ©rience, il ressort que la mĂ©thode de ST prĂ©sente tant dâavantages sur le
plan dâexĂ©cution que sur le plan dâexploitation des rĂ©sultats. En effet, dans cet essai pilote,
il semble que cette technique est plus rapide et simple à réaliser. Le traitement des résultats
ne demande aussi pas trop de calcul.
En revanche, Ă©tant donnĂ© quâil sâagissait, Ă notre connaissance, du premier test rĂ©alisĂ© in
situ, les mesures peuvent dépendre de plusieurs facteurs tels que le type de déformations
propres de la structure excitĂ© lors de lâessai. Dâailleurs, les signaux enregistrĂ©s dĂ©pendent
de lâemplacement des capteurs ; positions auxquelles la dĂ©formĂ©e du tablier peut ĂȘtre
incorporĂ©e dans les enregistrements. Lâamplitude de dĂ©formation mesurĂ©e est en fonction
de la forme propre de dĂ©formation de lâouvrage. Elle pourrait ĂȘtre Ă©galement plus
accentuĂ©e dans le cas dâun endommagement local. Par contre, cette mesure (ST) pourrait
ĂȘtre sous-estimĂ©e si le montage est placĂ© dans une zone Ă faible dĂ©formation, un nĆud par
exemple. Dâailleurs, ils ont conclu que les modes propres peuvent rĂ©gir ces mesures, ce qui
fait lâobjet de ce projet.
Plus de détails concernant cette problématique seront évoqués aux chapitres suivants.
Chapitre 2
26
2.4 Conclusion
à la lueur de cette étude bibliographique, il ressort que les techniques ANL présentent plus
dâavantages de performance et dâefficacitĂ© sur le plan technique (identification Ă jeune Ăąge,
pas besoin de connaitre lâĂ©tat initial) que les techniques AL. Cependant, le dĂ©fi majeur de
ces techniques est la mise en pratique sur chantiers, et particuliĂšrement sur le plan de la
production de lâexcitation requise permettant dâinduire la non-linĂ©aritĂ© dans le matĂ©riau.
Avec lâessai pilote rĂ©alisĂ© rĂ©cemment pour la mĂ©thode de saut temporel, la voie de
développement de cette technique est donc ouverte.
Cette technique est par ailleurs entreprise par dâautres groupes de recherche dans le monde
notamment dans le contexte dâacousto-Ă©lasticitĂ©. On comprend ainsi que le travail qui reste
Ă faire maintenant est dâexaminer la relation quâa le type de modes propres excitĂ© sur les
mesures de cette technique (ST). On a aussi vu que les ondes de surface présentent des
avantages particuliĂšrement intĂ©ressants. Câest la raison pour laquelle elles seront utilisĂ©es
aux prochaines démarches expérimentales.
Chapitre 3 Comportement modal des
poutres
3.1 Introduction
Le prĂ©sent chapitre est consacrĂ© principalement Ă lâĂ©tude de comportement modal des
structures, en particulier, les poutres. Le contenu de ce chapitre est scindé en quatre parties.
La premiĂšre traite de la description des diffĂ©rentes Ă©tapes dâune analyse modale et des
considérations rapportées lors de son application aux structures de génie civil. La
deuxiÚme partie est réservée au calcul des modes propres des poutres dans laquelle deux
types de solutions sont présentés. Le premier est la solution théorique de vibration des
poutres tout en sâappuyant sur le modĂšle dâEuler-Bernoulli. Les propriĂ©tĂ©s modales sont
obtenues de façon analytique par la rĂ©solution de lâĂ©quation dâĂ©quilibre dynamique. On
entend par propriétés modales, les fréquences naturelles et les déformées propres
correspondantes. Le second type est lâapproche par Ă©lĂ©ments finis qui sert essentiellement
à concevoir les différentes entités physiques du systÚme et résoudre le problÚme à partir de
relation contraintes-dĂ©formations. Dans la troisiĂšme partie, on Ă©tudie lâĂ©quation du
mouvement pour déterminer la réponse dynamique de poutre dans deux cas de figure :
rĂ©ponse Ă une force dâimpact et rĂ©ponse Ă une force harmonique. Ces deux sujets seront
investigués dans les démarches expérimentales des prochains chapitres. Le phénomÚne de
résonance est également étudié. Le développement de cette partie est inspiré
principalement du livre de dynamique des structures de P. Paultre [115]. La derniĂšre partie
est dĂ©diĂ©e Ă lâexploration des diffĂ©rentes techniques modales appliquĂ©es in situ. Des
exemples pratiques y ont briÚvement été rapportés.
3.2 Analyse modale des structures
Les caractĂ©ristiques dynamiques dâune structure sont explicitement associĂ©es aux
procĂ©dures dâanalyse modale. Les frĂ©quences naturelles de vibration et les formes propres
peuvent ĂȘtre dĂ©terminĂ©es dâune façon analytique si les propriĂ©tĂ©s suivantes sont dĂ©finies :
la rigiditĂ©, la masse et lâamortissement. Les rĂ©sultats de cette analyse, notamment les
Chapitre 3
28
pĂ©riodes modales, sont des paramĂštres clĂ©s du processus dâĂ©valuation de la rĂ©ponse
structurelle [116]. En gĂ©nĂ©ral, le calcul de rĂ©ponse dynamique dâune structure sous
diffĂ©rentes conditions dâexcitation requiert seulement la connaissance de ces paramĂštres
[117]. Les propriĂ©tĂ©s modales sont principalement impliquĂ©es dans les Ă©tapes dâanalyse
spectrale (spectre de Fourrier de rĂ©ponse) et dâanalyse historique temporelle (Time History
Analysis) [116]. Dâailleurs, Ă partir de ces caractĂ©ristiques, la rĂ©ponse de la structure Ă un
tremblement de terre est Ă©valuĂ©e. En effet, lâanalyse sismique dâune structure se base sur
lâune des deux mĂ©thodes suivantes : mĂ©thode de spectre dâaccĂ©lĂ©ration ou mĂ©thode de
simulation directe du mouvement sismique [116]. Un autre type dâanalyse consiste Ă
déterminer la réponse dynamique par la méthode de superposition modale. En effet, la
rĂ©ponse dynamique est reformulĂ©e sous forme dâune combinaison des diffĂ©rents modes
selon le niveau de contribution, qui est discuté en détail dans ce chapitre. De plus, les
propriétés modales sont aussi employées dans certains essais dynamiques in situ comme
Ă©tant un indice rĂ©vĂ©lant lâĂ©tat de la structure. Il est donc capital de reconnaĂźtre ces
propriĂ©tĂ©s afin dâeffectuer toute sorte dâanalyse dynamique associĂ©e.
3.2.1 Calcul des modes propres
En dynamique des structures, lâĂ©quation du mouvement est formulĂ©e par le principe
dâĂ©quilibre dynamique des forces Ă©lastiques, dâinertie et dâamortissement dâune part, et des
forces dues aux sollicitations extĂ©rieures agissantes dâautre part [115]. En effet, lâĂ©quation
gĂ©nĂ©rale du mouvement dâun systĂšme Ă plusieurs degrĂ©s de libertĂ© (N-ddl) sâĂ©crit comme
suit [115]
đŸđ + đ¶ïżœÌïżœ + đïżœÌïżœ = đč(đĄ) (3.1)
OĂč K, C et M sont les matrices de rigiditĂ©, de lâamortissement et de masse respectivement.
đč(đĄ) reprĂ©sente le vecteur des forces appliquĂ©es Ă la structure ou des forces rĂ©sultantes
dâun dĂ©placement dâappuis (cas de sollicitation sismique). Lâanalyse modale consiste Ă
rĂ©soudre lâĂ©quation (3.1) en deux Ă©tapes : (a) rĂ©solution le systĂšme sans tenir compte du
vecteur force pour déterminer les propriétés modales de la structure, ensuite (b)
superposition des modes pour évaluer la réponse dynamique globale. Pour la premiÚre
étape (a), la structure est considérée comme étant un oscillateur libre. Deux types
dâapproches sont proposĂ©es : approche par modes rĂ©els et approche par modes complexes
[118]. Lâapproche par modes rĂ©els consiste Ă enlever le terme dâamortissement de
lâĂ©quation (3.1) et Ă rĂ©soudre le systĂšme comme Ă©tant un oscillateur libre non amorti
Chapitre 3
29
(systÚme libre conservatif). AprÚs avoir déterminé les modes propres, la matrice
dâamortissement sera rĂ©introduite par un rapport linĂ©aire avec la matrice de rigiditĂ© et la
matrice de masse [119], soit
đ¶ = đ0đ + đ1đŸ (3.2)
La seconde approche (modes complexes) consiste Ă rĂ©soudre lâĂ©quation du mouvement
tout en gardant la matrice dâamortissement (systĂšme libre dissipatif), mais le calcul est
relativement complexe au sens algébrique [118] (se fait par intégrale directe). Cependant,
les modes complexes reprĂ©sentent le cas gĂ©nĂ©ral des modes de vibration dâune structure
réelle [120]. Dans la pratique, les modes complexes sont habituellement réservés à des cas
particuliers comme des structures fortement amorties ou pour des structures en torsion
auxquelles la matrice C est antisymétrique [118]. Pour la plupart des cas, le calcul des
modes propres est effectuĂ© par lâapproche rĂ©elle. Donc, la premiĂšre Ă©tape de rĂ©solution de
lâĂ©quation (3.1) par lâapproche des modes rĂ©els consiste Ă omettre le terme
dâamortissement et le vecteur force, le systĂšme se rĂ©duit Ă
đŸđ + đïżœÌïżœ = 0 (3.3)
LâĂ©quation (3.3) admet une solution harmonique de la forme
đ(đđĄ) = {đ}đđđđĄ (3.4)
Ă laquelle tous les degrĂ©s de libertĂ© meuvent en mĂȘme phase đ [119]. Cela signifie, en
consĂ©quence, que tous les points atteignent leur maximum en mĂȘme temps [120]. En
portant la solution (3.4) dans lâĂ©quation (3.3), la rĂ©solution va aboutir au problĂšme aux
valeurs propres linéaire suivant
(đŸ â đ2đ){đ} = 0 (3.5)
Ce systĂšme admet N valeurs propres rĂ©elles đđ et N vecteurs propres đđ oĂč N est le nombre
de degrĂ© de libertĂ© dynamique. La pulsation đđ et le vecteur propre {đđ} dĂ©finissent le
mode propre (i). Les vecteurs propres sont linéairement indépendants et vérifient le
principe dâorthogonalitĂ© qui dĂ©coule de la symĂ©trie des matrices K et M [115], [119]
[Ί]đĄ[đ][Ί] = [đđ]
[Ί]đĄ[đŸ][Ί] = [đđđđ2]
(3.6)
[đđ] reprĂ©sente la matrice des masses gĂ©nĂ©ralisĂ©es. Les vecteurs modaux constituent une
nouvelle base dans laquelle peut ĂȘtre exprimĂ©e la rĂ©ponse de la structure. Souvent, les
Chapitre 3
30
vecteurs propres seront normalisés de telle sorte que la matrice de masse se rendra unitaire.
En effet, les relations précédentes devinent :
[Ί]đĄ[đ][Ί] = [đŒ]
[Ί]đĄ[đŸ][Ί] = [Î] (3.7)
OĂč đŒ est la matrice dâidentitĂ© dâordre N et [Î] est la matrice spectrale, stockant les N
pulsations propres au carrĂ©e, đđ2 [115]. Il est intĂ©ressant de noter quâen cas dâun
oscillateur non amorti ou un oscillateur Ă un taux dâamortissement proportionnel (Ăq. 3.2) ;
on aboutit à un systÚme linéaire à N valeurs propres réelles [118]. En outre, les
composantes des vecteurs propres sont Ă©galement rĂ©elles [120]. Cependant, dans le cas oĂč
lâamortissement est important, le systĂšme admet 2N valeurs propres complexes (valeurs
propres quadratiques). Pour un mouvement de corps rigide, c'est-à -dire, sans déformations,
les modes propres incluent des modes rigides et les pulsations propres correspondantes
Ă©tant nulles [118].
Bien entendu, la deuxiÚme étape (b) consiste à obtenir la réponse du systÚme par la
superposition modale. En effet, le champ de dĂ©placement peut ĂȘtre rĂ©crit dans la nouvelle
base modale sous forme de combinaison linéaire des modes [115], [119]
{đ} = âđ§đ{đđ}
đ
đ=1
= [Ί]{đ} (3.8)
{đ} Ătant le vecteur des coordonnĂ©es gĂ©nĂ©ralisĂ©es, đ§đ, qui dĂ©signent lâamplitude de
participation modale de chaque mode dans la réponse globale. Algébriquement, le vecteur
Z reprĂ©sente les coordonnĂ©es de {đ} dans la base propre [Ί] des vecteurs modaux {đđ}
[121]. En fait, la détermination des taux de participation modale se fait de deux maniÚres :
si les matrices du systÚme (K, C et M) et le vecteur chargement sont définis, il est possible
de dĂ©terminer les valeurs de coordonnĂ©es gĂ©nĂ©ralisĂ©es, đ§đ, en rĂ©solvant lâĂ©quation
différentielle du mouvement comme étant un oscillateur à un degré de liberté, grùce aux
propriĂ©tĂ©s dâorthogonalitĂ© des modes (§ 4.1). La deuxiĂšme façon pour concevoir les đ§đ
consiste Ă utiliser lâorthogonalitĂ© des modes par rapport Ă la matrice de masse lorsque la
rĂ©ponse dynamique {đ} est connue [115]
đ§đ ={đđ}
đĄđ{đ}
{đđ}đĄđ{đđ} (3.9)
En gĂ©nĂ©ral, on cherche un nombre suffisant des modes participants (đ †đ). La mĂ©thode
de superposition modale consiste Ă ne conserver que la liste des đ modes qui contribuent Ă
Chapitre 3
31
la rĂ©ponse dynamique de la structure, qui ne sont donc pas nĂ©cessairement les đ modes
premiers [122]. La détermination de ces modes dépend du contenu fréquentiel de
lâexcitation. En gĂ©nie civil, les sollicitions dĂ©terministes appliquĂ©es sur les structures ont
une gamme de fréquences bien limitée ainsi que les modes sollicités sont ceux renfermés
dans cette gamme dont la réponse dynamique en compose [122]. En cas de sollicitation
aléatoire (vent, séisme, houle), les observations de ces phénomÚnes montrent que le
contenu frĂ©quentiel est significativement dĂ©croissant aux hautes frĂ©quences, dâoĂč la
contribution des modes supĂ©rieurs souvent nĂ©gligĂ©e [122]. Toutefois, lâerreur de cette
troncature est minimale [115].
3.2.2 Matrice dâamortissement
Puisque le coĂ»t dâanalyse augmente de façon notable si la matrice dâamortissement nâest
pas diagonale, on utilise presque toujours un amortissement de type de Rayleigh lors dâune
intĂ©gration directe de lâĂ©quation de mouvement [115]. Comme avantage, le frottement de
Rayleigh rend le systÚme découplé [121]. Considérant la linéarisation rapportée par
Rayleigh (Ă©quation 3.2), les propriĂ©tĂ©s dâorthogonalitĂ© des modes par rapport aux matrices
de masse et de rigiditĂ© sont aussi applicables Ă la matrice dâamortissement [115]
[Ί]T[đ¶][Ί] = [đđ] = (đ0 + đ1đđ2)đđ
(3.10)
Par ailleurs, les coefficients [đđ] sont souvent exprimĂ©s par un taux dâamortissement
critique đđ , couramment appelĂ© taux dâamortissement visqueux ou taux dâamortissement
[115]
[đđ] = [2đđđđđđ] (3.11)
Des deux Ă©quations prĂ©cĂ©dentes, le taux dâamortissement se dĂ©duit,
đđ =đ0
2đđ+
đ1đđ
2 (3.12)
dont le graphe (Figure 3.1) en fonction de la pulsation propre đ met clairement en lumiĂšre
lâimportance de la dissipation aux frĂ©quences extrĂȘmes. Le premier terme tient compte la
proportionnalité par rapport à la masse tandis que le deuxiÚme tient compte de la rigidité.
Quant Ă la masse, le taux dâamortissement est inversement proportionnel Ă la frĂ©quence de
vibration, đđ ; il est plus important aux basses frĂ©quences, mais plus faible aux modes
supérieurs. Quant à la part de rigidité, la variation est proportionnellement linéaire. Les
modes supérieurs sont fortement amortis (rigides) [115], [121]. Connaissant le taux
Chapitre 3
32
dâamortissement modal correspondant aux deux frĂ©quences, đđ et đđ, on peut dĂ©terminer
les constantes de Rayleigh, đ0 et đ1 par [115]
{đ0
đ1} =
2đđđđ
đđ2 â đđ
2 [đđ âđđ
â1/đđ 1/đđ] {
đđ
đđ} (3.13)
En revanche, à cause de la méconnaissance habituelle des mécanismes et des taux
dâamortissement interne dans les structures mĂ©caniques pour lesquelles lâhypothĂšse dâune
faible dissipation est gĂ©nĂ©ralement justifiĂ©e, il est courant dâadopter un amortissement de
type Rayleigh (Ăq. 3.2). Pour cela, les coefficients dâamortissement sont Ă dĂ©terminer Ă
partir les modes qui contribuent à la réponse dynamique de la structure. Ces coefficients
peuvent ĂȘtre dĂ©terminĂ©s dâune façon expĂ©rimentale par des essais de vibrations [121]. En
effet, il est recommandé de choisir la fréquence fondamentale comme premiÚre fréquence
de contrĂŽle (đđ) et de choisir, comme deuxiĂšme frĂ©quence de contrĂŽle (đđ), une des plus
hautes fréquences parmi les modes qui participent le plus à la réponse dynamique [115].
Figure 3-1 Amortissement de Rayleigh [119]
3.3 Modes propres des poutres
La poutre est lâĂ©lĂ©ment structurel le plus courant en gĂ©nie civil et mĂ©canique. Elle se
caractérise par sa dimension longitudinale qui est relativement beaucoup plus grande que
ses dimensions transversales [115]. En général, elle est destinée à supporter les charges
transversales Ă sa dimension longitudinale. LâhypothĂšse de Bernoulli-Euler est la plus
souvent utilisée pour résoudre les problÚmes des poutres quand les déformations en
cisaillement sont négligeables [115]. Elle stipule que les sections planes restent planes et
Chapitre 3
33
normales Ă lâaxe longitudinal aprĂšs dĂ©formation. Le champ de dĂ©placement est le
dĂ©placement transversal, đą = đąđŠ(đ„), en considĂ©rant que lâaxe longitudinal de la poutre est
selon lâaxe des đ„ (Figure 3.2). Nous dĂ©crivons par la suite deux façons de dĂ©terminer les
modes propres dâune poutre de Bernoulli-Euler, soient : la solution thĂ©orique et la solution
par approche dâĂ©lĂ©ments finis.
3.3.1 Solution théorique
Soit la solution analytique de dĂ©formĂ©es propres dâune poutre simplement appuyĂ©e aux
extrĂ©mitĂ©s (Figure 3.2). Selon le modĂšle dâEuler-Bernoulli, lâĂ©quation locale dâĂ©quilibre
dynamique en flexion sâĂ©crit [123], [124]
đ2đą
đđĄ2= â
đžđŒ
đđ
đ4đą
đđ„4 (3.14)
Figure 3-2 Poutre dâEuler-Bernoulli
đž đđĄ đŒ Ă©tant respectivement le module dâĂ©lasticitĂ© et lâinertie de flexion de la poutre. đ đđĄ đ
sont la masse volumique et lâaire de la section transversale. Bien que đą(đ„, đĄ) soit le
dĂ©placement de lâaxe neutre de la poutre Ă la position đ„, Ă lâinstant đĄ, il peut ĂȘtre
décomposée en deux variables [123]
đą(đ„, đĄ) = đŠ(đ„) đđđđĄ (3.15)
đŠ(đ„) reprĂ©sente la flĂšche de la poutre le long de lâaxe đ„. En portant lâĂ©quation (3.15) dans
la relation dâEuler-Bernoulli, on obtient [123]
đ4đŠ
đđ„4â đ4 đŠ = 0, avec đ2 = đâ
đđ
đžđŒ (3.16)
La solution gĂ©nĂ©rale de lâĂ©quation diffĂ©rentielle prĂ©cĂ©dente est donnĂ©e, pour đ â 0, par
[123]
đŠ(đ„) = đŽ sin(đđ„) + đ” cos(đđ„) + đ¶ sinh(đđ„) + đ· cosh (đđ„) (3.17)
Chapitre 3
34
Pour dĂ©terminer les constantes đŽ, đ”, đ¶, đ· đđĄ đ, il suffit dâintroduire (a) les conditions aux
limites géométriques (ou cinématiques) et (b) les conditions aux limites de forces (dites
naturelles), suivantes :
a) Le déplacement vertical et la rotation sont nuls aux appuis :
đŠ(đ„ = 0) = đŠ(đ„ = đż) = 0
(đđŠ
đđ„)đ„=0
= (đđŠ
đđ„)đ„=đż
= 0
(3.18)
b) Le moment de flexion Ă©tant Ă©galement nul aux appuis :
(đ2đŠ
đđ„2)
đ„=0
= (đ2đŠ
đđ„2)
đ„=đż
= 0 (3.19)
Par conséquent, solution générale se réduit à [123]
sin(đđż) sinh(đđż) = 0 (3.20)
En rĂ©sulte, la solution unique lâĂ©quation (3.20) est obtenue lorsque đđż = đđ. En
substituant cette valeur dans lâĂ©quation (3.16), on obtient les đ = 1, 2, 3, ⊠formes des
déformées modales correspondant aux vecteurs propres du problÚme :
đŠ(đ„) = đŽ sin (đđđ„
đż) (3.21)
Donc, la vibration dâune poutre dans le mode đ sâĂ©crit finalement
đąđ(đ„, đĄ) = ïżœÌ ïżœđ sin (đđđ„
đż) đđđđĄ (3.22)
oĂč ïżœÌ ïżœđ est lâamplitude maximale que la flĂšche peut atteindre. Ainsi, les dĂ©formĂ©es modales
dâune poutre simplement appuyĂ©e dĂ©coulent de la forme sinusoĂŻdale qui vĂ©rifie, Ă la fois,
les conditions aux limites géométriques et naturelles (Figure 3.3). En remplaçant la valeur
de đ = đđ/đż dans la formule (3.16), on obtient Ă©galement les n pulsations propres du
problĂšme
đđ = (đđ)2âđžđŒ
đđđż4, đ = 1, 2, 3, ⊠(3.23)
Bien que le premier mode (đ = 1) soit une flexion pure, la flĂšche Ă©tant maximum Ă mi-
travĂ©e et la frĂ©quence fondamentale correspondante sâĂ©crit :
Chapitre 3
35
đ1 =đ1
2đ=
đ
2â
đžđŒ
đđđż4 (3.24)
Figure 3-3 Les quatre premiers modes propres de flexion dâun Ă©lĂ©ment poutre.
Une simple technique de vérification de la solution obtenue consiste à appliquer la
méthode de quotient de Rayleigh. En effet, la méthode de Rayleigh est basée sur le
principe de conservation dâĂ©nergie [115]. LâĂ©nergie potentielle de dĂ©formation en flexion
du systÚme est donnée par la relation suivante [115]
đ =1
2â« đžđŒ(đ„) (
đ2đą
đđ„2)
2
đđ„đż
0
(3.25)
Substituant pour đąđ(đ„, đĄ) et calculant le maximum de đ, qui vaut
đđđđ„ =1
2đžđŒ â« (
đ2đŠ
đđ„2)
2
đđ„đż
0
=1
2đż3ïżœÌ ïżœđđžđŒ(đđ)4 (3.26)
Dâun autre part, lâĂ©nergie cinĂ©tique du mouvement est exprimĂ©e par [115]
đŸ =1
2â« đđ (
đđą
đđĄ)2
đđ„đż
0
(3.27)
Substituons pour ïżœÌïżœđ(đ„, đĄ) et calculons le maximum de K
-1.500
-1.000
-0.500
0.000
0.500
1.000
1.500
0
0.0
4
0.0
8
0.1
2
0.1
6
0.2
0.2
4
0.2
8
0.3
2
0.3
6
0.4
0.4
4
0.4
8
0.5
2
0.5
6
0.6
0.6
4
0.6
8
0.7
2
0.7
6
0.8
0.8
4
0.8
8
0.9
2
0.9
6 1
Am
plit
ud
e
Position
Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4
Chapitre 3
36
đŸđđđ„ =1
2đđđ2 â« (đŠ(đ„))
2đđ„
đż
0
=1
2đżïżœÌ ïżœđ
2đđđđ
2 (3.28)
Puisque đđđđ„ = đŸđđđ„ pour un systĂšme conservatif, on obtient
đđ = (đđ)2âđžđŒ
đđđż4, đ = 1, 2, 3, ⊠(3.29)
qui correspond avec la solution (3.23) obtenue par la rĂ©solution de lâĂ©quation du
mouvement précédente.
3.3.2 Approche par éléments finis
Dans le modĂšle dâĂ©lĂ©ments finis de poutre dâEuler-Bernoulli, le champ de dĂ©placement est
rapportĂ© en lien avec les quatre dĂ©placements nodaux, đą1 = đąđŠ(1)
, đą2 = đđ§(1)
, đą3 =
đąđŠ(2)
, đą4 = đđ§(2)
, en utilisant les polynĂŽmes dâHermite, comme Ă©tant des fonctions
dâinterpolation (Figure 3.4). Le champ de dĂ©placement sâĂ©crit, [115]
đą(đ„) = đ»1(đ„)đą1 + đ»2(đ„)đą2 + đ»3(đ„)đą3 + đ»4(đ„)đą4 (3.30)
avec
đ»1(đ„) = 1 â3đ„2
đż2+
2đ„3
đż3 đ»3(đ„) =
3đ„2
đż2â
2đ„3
đż3
(3.31)
đ»2(đ„) = đ„ â2đ„2
đż+
đ„3
đż2 đ»4(đ„) = â
đ„2
đż+
đ„3
đż2
Figure 3-4 PolynĂŽmes hermitiens dâinterpolation
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x/L
H(x
)
H1(x)
H2(x)
H3(x)
H4(x)
Chapitre 3
37
Soulignons que ces polynÎmes ne sont valables que pour un élément poutre satisfaisant la
thĂ©orie dâEuler-Bernoulli [115]. La contrainte gĂ©nĂ©ralisĂ©e est le moment de flexion, đđ§ ,
lié à la déformation généralisée par la relation suivante [115] :
đđ§(đ„) = âđžđŒđ2đą
đđ„2 (3.32)
Lâaxe đ§ est lâaxe perpendiculaire au plan de dĂ©formation đđ (Figure 3.5). Le champ de
dĂ©placement đą(đ„) est appelĂ© parfois la flĂšche transversale et le terme (đ2đą
đđ„2) reprĂ©sente la
courbure de la poutre (dĂ©formation gĂ©nĂ©ralisĂ©e) [115]. DâaprĂšs lâĂ©quation prĂ©cĂ©dente, la
flĂšche tiendra la forme dâune fonction cubique pour assurer la continuitĂ© inter-Ă©lĂ©ment du
dĂ©placement ainsi que de la dĂ©rivĂ©e premiĂšre (đđ§ =đđąđŠ
đđ„).
Figure 3-5 ĂlĂ©ment fini de poutre dâEuler-Bernoulli
La matrice de rigiditĂ© dâun Ă©lĂ©ment poutre ayant une section uniforme1 est obtenue par
lâintĂ©grale suivante [115]
đđ = â« BđđžđŒ B đđ„đż
0
=đžđŒ
đż3[
12 6đż6đż 4đż2
â12 6đżâ6đż 2đż2
â12 â6đż6đż 2đż2
12 â6đżâ6đż 4đż2
] (3.33)
OĂč B est la dĂ©rivĂ©e seconde de la matrice de polynĂŽmes hermitiens (B =đ2H
đđ„2). Dans le
mĂȘme contexte, la matrice de masse cohĂ©rente dâun Ă©lĂ©ment se calcule par [115]
đđ = â« đđ HđH đđ„đż
0
=đđŽđż
420[
156 22đż22đż 4đż2
54 â13đż13đż â3đż2
54 13đżâ13đż â3đż2
156 â22đżâ22đż 4đż2
] (3.34)
1 La section est homogĂšne et constante (pas de barres de renforcement).
Chapitre 3
38
On note que le calcul de matrice de masse tient plusieurs formes. En effet, en plus de la
forme cohĂ©rente, il y a la matrice de masse concentrĂ©e oĂč la masse de lâĂ©lĂ©ment est
considĂ©rĂ©e comme Ă©tant localisĂ©e aux nĆuds (avec ou sans effet dâinertie). Aussi, il y a
également la matrice de masse diagonale HRZ proposée par Hinton, Rock et Zienkiewicz
[115]. Dans une Ă©tude comparative portant sur lâinfluence du choix de la matrice de masse,
il ressort que la matrice de masse cohérente donne une bonne estimation de fréquence
fondamentale (erreur de 0.4%) par rapport aux autres approches (matrice de masse
concentrĂ©e et celle de HRZ) [115]. Par contre, lâerreur vaut 11% pour la deuxiĂšme
fréquence et augmente rapidement dÚs la troisiÚme fréquence (24% et plus). Cependant,
lâerreur diminuerait rapidement avec un raffinement du maillage [115]. Lâexemple de
simulation ci-dessous montre ce constat.
Tenant un exemple typique dâune poutre ayant 2 m de longueur et possĂ©dant une section
rectangulaire de đ Ă â = 15 Ă 18 đđ2, constitue dâun matĂ©riau homogĂšne ayant un
module dâĂ©lasticitĂ©, đž = 35 đșđđ et une masse volumique, đ = 2400 đđ/đ3. Un taux
dâamortissement de đ = 5% est considĂ©rĂ©. Concernant le maillage, la poutre est subdivisĂ©e
en 2, 4, 6 puis 8 Ă©lĂ©ments pour pouvoir estimer lâerreur induite. Les frĂ©quences naturelles
sont calculĂ©es par la mĂ©thode des Ă©lĂ©ments finis sous lâhypothĂšse dâEuler-Bernoulli, et
comparĂ©es avec la solution exacte (Ăq. 3.23). Les matrices de masse et de rigiditĂ© globales
sont montées par assemblage des matrices élémentaires. Ensuite, les conditions aux limites
gĂ©omĂ©triques seront introduites. La matrice dâamortissement C est construite par les
coefficients de Rayleigh (Ăq. 3.2) en considĂ©rant que les deux premiers modes ont le mĂȘme
taux dâamortissement, câest-Ă -dire, đ1 = đ2 = 5%. Le tableau (3.1) monte les rĂ©sultats
obtenus. En effet, un maillage de 2 éléments est suffisant pour estimer la fréquence
fondamentale du systĂšme. Lâerreur augmente cependant rapidement Ă partir la deuxiĂšme
frĂ©quence. ComparĂ©e aux autres cas, lâerreur est grandement diminuĂ©e avec le raffinement
du maillage.
La figure (3.6) prĂ©sente lâallure des modes propres de la poutre auquel les dĂ©formĂ©s
propres sont parfaitement semblables à celles obtenues par la solution théorique (Figure
3.3). La variation de taux dâamortissement par rapport Ă la frĂ©quence est dessinĂ©e dans le
graphe (3.7) dans lequel on voit bien que lâamortissement de deux premiers modes est
identique. Notons que lâamortissement de Rayleigh nâa pas dâinfluence sur les frĂ©quences
naturelles et les modes propres puisquâil est proportionnel Ă la masse de masse et Ă la
rigidité de la structure.
Chapitre 3
39
Tableau 3-1 FrĂ©quences naturelles obtenues par approche dâĂ©lĂ©ments finis comparĂ©es avec les
solutions exactes
Modes
Fréquences naturelles
2 éléments 4 éléments 6 éléments 8 éléments
[Hz] [Hz] Erreur
relative (%) [Hz]
Erreur relative (%)
[Hz] Erreur
relative (%) [Hz]
Erreur relative (%)
1 78 78 0% 78 0% 78 0% 78 0%
2 312 346 11% 313 0% 312 0% 312 0%
3 701 870 24% 714 2% 704 0% 702 0%
4 1 247 1 585 27% 1 384 11% 1 262 1% 1 252 0%
5 1 948 - 0 2 200 13% 2 000 3% 1 966 1%
6 2 805 - 0 3 478 24% 3 114 11% 2 857 2%
7 3 818 - 0 5 211 36% 4 211 10% 3 937 3%
8 4 987 - 0 6 342 27% 5 790 16% 5 535 11%
9 6 312 - 0 - 7 826 24% 6 892 9%
10 7 792 - 0 - 10 359 33% 8 798 13%
Figure 3-6 DĂ©formĂ©es propres de six premiers modes propres obtenues par approche dâĂ©lĂ©ments
finis comparées avec la solution exacte correspondante (axe horizontal représente la position
relatives)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
1e mode (f = 78 Hz)
Position (x/L)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
2e mode (f = 312 Hz)
Position (x/L)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
3e mode (f = 702 Hz)
Position (x/L)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
4e mode (f = 1252 Hz)
Position (x/L)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
5e mode (f = 1966 Hz)
Position (x/L)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
6e mode (f = 2857 Hz)
Position (x/L)
Solution EF(8 ĂlĂ©.)
Solution exacte
Chapitre 3
40
Figure 3-7 Amortissement proportionnel de Rayleigh
3.4 RĂ©ponse dynamique des poutres
AprÚs avoir déterminé les propriétés modales, on veut maintenant calculer la réponse
dynamique dâune poutre par la mĂ©thode de superposition modale (2e Ă©tape). Dans cette
partie, on tient compte de vecteur des forces appliquées à la poutre duquel la solution
dépend. En effet, on introduit les propriétés des modes pour arriver à une équation
caractĂ©ristique par laquelle lâamplitude modale sera Ă©valuĂ©e. Rappelons que les solutions
décrites ici sont pour un systÚme linéaire, qui est le cas de la plupart des structures en génie
civil (taux dâamortissement faible). Un systĂšme est dit linĂ©aire si les propriĂ©tĂ©s du systĂšme
ne dépendent pas de la réponse ni du temps. En conséquence, dans un systÚme non linéaire,
le principe de superposition nâest plus valable. La seule gĂ©nĂ©ralement utilisĂ©e pour analyse
non linĂ©aire de la rĂ©ponse est lâintĂ©gration directe dâĂ©tape par Ă©tape [119].
3.4.1 Ăquation caractĂ©ristique de lâamplitude modale
Bien que lâĂ©quation (3.8) soit la solution de vibration de poutres, par remplacement Ă (3.1),
on aboutit Ă lâexpression suivante
đŸÎŠđ§(đĄ) + đ¶ÎŠïżœÌïżœ(đĄ) + đÎŠïżœÌïżœ(đĄ) = đč(đĄ) (3.35)
Ainsi, il est intĂ©ressant de relever quâune version voisine de lâĂ©quation (3.35) peut ĂȘtre
obtenue en prémultipliant les deux membres par ΊT, de la façon suivante
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
0.05
0.1
Fréquences (Hz)
Rayle
igh d
am
pin
g
M
K
Chapitre 3
41
ïżœÌïżœ đ§(đĄ) + ïżœÌïżœ ïżœÌïżœ(đĄ) + ïżœÌïżœ ïżœÌïżœ(đĄ) = ïżœÌïżœ(đĄ) (3.36)
OĂč
ïżœÌïżœ = ΊTđŸÎŠ (3.37)
ïżœÌïżœ = ΊTđ¶ÎŠ (3.38)
ïżœÌïżœ = ΊTđΊ (3.39)
et
ïżœÌïżœ = ΊTđč(đĄ) (3.40)
Utilisant les propriĂ©tĂ©s dâorthogonalitĂ© des modes propres par rapport aux matrices de
masse et de rigiditĂ©, la relation (3.36) peut sâĂ©crire comme suit,
ïżœÌïżœđ đ§đ(đĄ) + ïżœÌïżœđđ§ïżœÌïżœ(đĄ) + ïżœÌïżœđ đ§ïżœÌïżœ(đĄ) = đïżœÌïżœ(đĄ), đ = 1, 2, 3, ⊠(3.41)
dans laquelle
ïżœÌïżœđ = đđđđđđ
(3.42)
ïżœÌïżœđ = đđđđŸđđ = đđ
2ïżœÌïżœđ (3.43)
ïżœÌïżœđ = đđđđ¶đđ = 2đđđđïżœÌïżœđ
(3.44)
et
đđ = đđđđč(đĄ) (3.45)
Lâintroduction des relations prĂ©cĂ©dentes dans lâĂ©quation (3.41) va rĂ©duire significativement
le problĂšme dâun systĂšme Ă plusieurs degrĂ©s de libertĂ© Ă un systĂšme Ă un degrĂ© de libertĂ©
(đ§đ) qui donne finalement lâĂ©quation caractĂ©ristique sous la forme diffĂ©rentielle suivante
đđ2 đ§đ(đĄ) + 2đđđđđ§ïżœÌïżœ(đĄ) + đ§ïżœÌïżœ(đĄ) = đïżœÌïżœ(đĄ)/ïżœÌïżœđ, đ = 1, 2, 3, ⊠(3.46)
Rappelons que le calcul de đ§đ sert Ă calculer la rĂ©ponse globale dans le systĂšme de
coordonnĂ©es gĂ©omĂ©triques Ă partir de lâĂ©quation (3.8). La solution de lâĂ©quation (3.46)
dĂ©pend la forme de force appliquĂ©e. Puisquâon va analyser au chapitre suivant les rĂ©sultats
expĂ©rimentaux dâune excitation par impact et par pot vibrant, nous allons Ă©tudier ici le
contexte théorique de ces deux expériences. En effet, on entretient la réponse de poutre
prĂ©cĂ©dente dans deux cas de figure : cas dâune force dâimpact et cas dâune excitation
harmonique. Les résultats développés ici servent à déterminer les différents paramÚtres
rĂ©gissant la rĂ©ponse expĂ©rimentale. Ă cet Ă©gard, la solution de lâĂ©quation (3.46) est
examinĂ©e. La prĂ©sence ou lâabsence de sollicitation pendant le mouvement produit deux
sortes de régime : régime libre dissipatif et régime forcé dissipatif.
Chapitre 3
42
3.4.2 RĂ©gime libre dissipatif
En premier lieu, lorsque lâon applique un coup de marteau, la force se transmet Ă la poutre
sous forme dâun impact ou impulsion qui se caractĂ©rise par un changement brusque dans
un intervalle de temps trÚs serré, de surcroßt, la réponse qui en résulte décroit vers zéro
aprĂšs un certain temps [120]. Câest une excitation Ă caractĂšre transitoire, trĂšs commune
dans les tests dynamiques expĂ©rimentaux grĂące Ă sa simplicitĂ©. Lâavantage de ce type
dâexcitation est quâelle permet dâexciter toute une gamme de frĂ©quences avec sensiblement
la mĂȘme Ă©nergie et dâeffectuer une sĂ©rie de tests avec un temps trĂšs court [120]. La
dĂ©croissance observĂ©e dans la rĂ©ponse dĂ©coule de lâamortissement visqueux du milieu
excitĂ© ; câest la raison pour laquelle le mouvement est appelĂ© dissipatif. Cet amortissement
est souvent petit par rapport Ă lâamortissement critique, si bien que les oscillations sont
dites sous-amorties [115]. Puisque lâimpact se produit dans un dĂ©lai relativement trĂšs court
par rapport à la réponse de poutre qui suit, le mouvement de la poutre est appelé un régime
libre dissipatif1 (dĂ©croissant avec le temps Ă cause de lâamortissement). En effet, la
solution gĂ©nĂ©rale de lâĂ©quation du mouvement est obtenue en enlevant le terme de force
dans lâĂ©quation (3.46)2 [115] :
Le paramĂštre đđ· = đâ1 â đ2 est appelĂ©e la pulsation propre amortie et đ§0 dĂ©signe
lâamplitude de mouvement, qui peut ĂȘtre exprimĂ© par les conditions initiales de
dĂ©placement, đ§(0), et de vitesse, ïżœÌïżœ(0),
đ§0 = â(đ§(0))2+ (
đđ đ§(0) + ïżœÌïżœ(0)
đđ·)
2
(3.48)
đ Ă©tant le dĂ©phasage du mouvement, qui vaut
đ = tanâ1 (đđ đ§(0)+ ïżœÌïżœ(0)
đđ·đ§(0)) (3.49)
En revanche, lâamplitude đ§0 et lâangle đ peuvent ĂȘtre dĂ©terminĂ©s dâune façon
expérimentale dont on peut alors en déduire les conditions initiales du systÚme comme suit
{đ§(0) = đ§0 cosđ
ïżœÌïżœ(0) = đ§0(đđ· sinđ â đđ cosđ) (3.50)
1 Le rĂ©gime est dit dissipatif quand lâamortissement est non nul.
2 Afin dâallĂ©ger lâĂ©criture, lâindice đ de lâĂ©quation (3.46) est abrĂ©gĂ© dans tout le dĂ©veloppement qui suit.
đ§(đĄ) = đ§0đâđđđĄ cos(đđ·đĄ â đ) (3.47)
Chapitre 3
43
Donc, la réponse de poutre est une contribution des modes inclus dans la marge de
fréquences excitées sous forme des régimes oscillatoires décroissants, (Figure 3.8)
{đ(đĄ)} = âđ§đ{đđ}
đ
đ=1
= âđ§0đđâđđđđđĄ cos(đđ·đđĄ â đđ) {đđ}
đ
đ=1
(3.51)
Figure 3-8 Mouvement de poutre sous rĂ©gime libre dissipatif (Ο=5%)
3.4.3 Régime forcé dissipatif
Quand la poutre est soumise Ă une force continue dans le temps, comme dans le cas de
vibrations gĂ©nĂ©rĂ©es par un pot vibrant, la rĂ©ponse de la poutre suit le rĂ©gime dâun
oscillateur forcĂ©. Par consĂ©quent, tous les paramĂštres de lâĂ©quation (3.46) sont prĂ©sents
pendant le mouvement. Ce dernier est composé de deux types de mouvement, solutions de
lâĂ©quation diffĂ©rentielle : la solution complĂ©mentaire et la solution particuliĂšre. La
premiĂšre correspond Ă un rĂ©gime dissipatif libre solution de lâĂ©quation homogĂšne sans
second membre (Ă©quation (3.47)). La deuxiĂšme est une solution particuliĂšre qui tient
compte de la forme de lâexcitation appliquĂ©e.
Pour une force harmonique, đ(đĄ) = đ0 sinđđĄ, la poutre aura comme solution particuliĂšre
[115]
đ§đ(đĄ) =đ0đ
1
(1 â đœ2)2 + (2đđœ)2((1 â đœ2) sinđđĄ â 2đđœ cosđđĄ) (3.52)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
z(t
)/z
0
z(t)
exp(- t)
-exp(- t)
Chapitre 3
44
Le paramĂštre đœ = đ/đ Ă©tant un rapport adimensionnel de frĂ©quence dâexcitation sur celle
de mouvement (pulsation relative). Pour un đœ = 1, on se rend Ă une situation de rĂ©sonance,
expliquée au paragraphe suivant. La solution complÚte est donc la somme de deux
mouvements, complémentaire et particulier [115]
đ§(đĄ) = đâđđđĄ(đŽ cosđđ·đĄ + đ” sinđđ·đĄ)
+đ0đ
1
(1 â đœ2)2 + (2đđœ)2((1 â đœ2) sinđđĄ â 2đđœ cosđđĄ)
(3.53)
Le premier terme correspond au régime transitoire qui disparaßt rapidement à cause de
terme dâamortissement đâđđđĄ tandis que le deuxiĂšme correspond au rĂ©gime permanent
[115], [121]. Les constantes A et B peuvent ĂȘtre Ă©valuĂ©es par les conditions initiales. Bien
que le régime transitoire disparaisse aprÚs un certain temps, le mouvement permanent de la
poutre est un régime harmonique, oscillant à la fréquence de force appliquée, mais
déphasée par rapport à cette derniÚre. Toutefois, le déplacement maximum peut se produire
avant lâĂ©tablissement du rĂ©gime permanent [115]. De façon similaire de lâĂ©quation (3.47),
on peut récrire la solution permanente de la forme harmonique suivante [115]
đ§đ(đĄ) = đ§đ0 sin(đđĄ â đ) (3.54)
oĂč đ§đ0 reprĂ©sente son amplitude,
đ§đ0 =đ0đ
1
â(1 â đœ2)2 + (2đđœ)2 (3.55)
et đ le dĂ©phasage correspondant,
đ = tanâ1 (2đđœ
1 â đœ2) (3.56)
Ce déphasage par rapport à la force modale associée est comprise entre 0 et 180° [121].
Puisque notre Ă©tude porte sur lâeffet des modes propres, on va examiner la rĂ©ponse de
poutre lorsquâun mode est excitĂ©. Cela nous ramĂšne Ă lâĂ©tude du phĂ©nomĂšne de rĂ©sonance
(đ = đ).
3.4.4 RĂ©sonance
Revenons Ă la relation exprimant la rĂ©ponse totale du systĂšme (Eq. 3.53) ; en mettant đœ =
1, lâĂ©quation du mouvement aura lâĂ©criture suivante
Chapitre 3
45
đ§(đĄ) = đâđđđĄ(đŽ cosđđ·đĄ + đ” sinđđ·đĄ) âđ0đ
cosđđĄ
2đ (3.57)
Bien que le mouvement transitoire ne dĂ©pende que des conditions initiales, il nâest pas
entretenu par lâexcitation [115]. Par contre, la rĂ©ponse forcĂ©e dĂ©pend uniquement de force
extĂ©rieure. Pour des conditions initiales du repos, et un taux dâamortissement plus petit
(cas plus pratique), le mouvement deviendra, aprÚs avoir noté que la pulsation amortie
devienne đđ· â đ â đ, [115]
đ§(đĄ) â1
2đ
đ0đ
(đâđđđĄ â 1) cosđđĄ (3.58)
Le facteur de réponse dynamique du déplacement aura donc pour expression [115]
đ (đĄ) â1
2đ(đâđđđĄ â 1) cosđđĄ (3.59)
En effet, dans le cas de résonance, le mouvement dynamique de la poutre est amplifié
continuellement jusquâĂ atteindre son maximum, et ce, aprĂšs un certain nombre des cycles,
selon le degrĂ© dâamortissement du systĂšme [115]. Dans les cas courants, une structure
ayant un taux dâamortissement de 5% a besoin quatorze cycles pour amener la rĂ©ponse Ă
un rĂ©gime permanent (Figure 3.9) [115]. On verra plus tard lâexploitation de ce facteur
dans les démarches expérimentales.
Figure 3-9 Facteur de rĂ©ponse dynamique du dĂ©placement (Ο=5%)
3.5 Analyse modale expérimentale
En plus des mĂ©thodes dâanalyse suscitĂ©es, les propriĂ©tĂ©s dynamiques dâune structure
peuvent aussi ĂȘtre Ă©valuĂ©es par voie expĂ©rimentale. Les essais dynamiques in situ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
t
R(t
)
R(t)
[exp(-t)-1]/(2)
-[exp(-t)-1]/(2)
Chapitre 3
46
permettent dâĂ©valuer les formes modales, les frĂ©quences naturelles de vibration,
lâamortissement structural ainsi que les facteurs dâamplification dynamique [31], [125].
Les tests de vibration modale sont développés dans les trois derniÚres décennies,
occasionnés par le développement en matiÚre de fabrication des transducteurs spécialisés et
des systĂšmes dâacquisition et des algorithmes de calcul sophistiquĂ©s [42]. Ces techniques
sont appliquées dans tous les domaines parmi lesquels le génie civil et mécanique,
lâaĂ©rospatial, lâaĂ©ronautique, etc. Dans la plupart de ces tests, un modĂšle d'Ă©lĂ©ments finis
est établi pour fournir une premiÚre approximation des fréquences naturelles et des formes
modales de la structure. Ce modÚle aide, en conséquence, à spécifier la bande de fréquence
d'excitation et les positions des capteurs pour une application in situ [30]. En génie civil, il
y avait un intĂ©rĂȘt considĂ©rable dans lâusage des tests de vibration dynamique notamment
dans le monitorage dâidentification structurelle (Structural Health Monitoring) de sort que
sa pratique a poussé constamment son évolution [42]. En général, les différentes
techniques dâessais dynamiques appliquĂ©es aux ouvrages civils peuvent ĂȘtre regroupĂ©es en
deux catégories : les essais sous vibrations ambiantes et les techniques modales
opĂ©rationnelles [7], [31], [125]. Lâune des raisons les plus avantageuses est quâil est
faisable de mesurer dâune façon expĂ©rimentale les propriĂ©tĂ©s modales qui reflĂštent en effet
les propriĂ©tĂ©s structurelles associĂ©es pour Ă©valuer un niveau dâendommagement donnĂ©
[42].
3.5.1 Essais sous vibrations ambiantes
Lâessai sous vibrations ambiantes consiste Ă mesurer les dĂ©formations, les dĂ©placements et
les accĂ©lĂ©rations dâune structure sous des conditions normales dâutilisation, câest-Ă -dire, les
vibrations ambiantes dues Ă la circulation et/ou au vent. Les vibrations induites par le vent
sont prĂ©fĂ©rables dans le cas oĂč le vent contient un contenu frĂ©quentiel de large bande et une
amplitude de vibration trĂšs faible [126]. Cela est mieux pour des structures plus flexibles
telles que les ponts suspendus [31], [125]. Comme avantage, il nâest pas nĂ©cessaire de
contrĂŽler la circulation ni de concevoir un dispositif dâexcitation coĂ»teux [126]. Cet
avantage est particuliÚrement important avec la majorité des ponts à grande portée qui sont
difficiles Ă exciter [127]. Dâailleurs, le viaduc de Millau (parmi les plus longs ponts au
monde) a été ausculté par cette technique [128]. En revanche, le défi de cette technique
rĂ©side dans la caractĂ©risation de la source de vibration dont lâamplitude, la durĂ©e, la
direction et le contenu fréquentiel sont sujets de variabilité [30]. Ainsi, les caractéristiques
de véhicules (masse et amortissement) peuvent biaiser les résultats pour un pont à portée
Chapitre 3
47
modérée [127]. Cependant, les tests à vibrations ambiantes ont généralement une longue
durĂ©e dâacquisition qui aide Ă compenser ces dĂ©savantages et vĂ©rifier les hypothĂšses
dâanalyse [30].
De nombreux travaux ont abordĂ© lâĂ©tude de cette technique lors de diagnostic des ponts,
notamment les ponts suspendus et les ponts Ă caractĂšre historique. On peut citer quelques
exemples réalisés récemment. En 2014 [129] ont mené une étude sur la sécurité structurale
dâun pont arc en bĂ©ton par un modĂšle d'Ă©lĂ©ments finis calibrĂ© par les rĂ©sultats du test Ă
vibrations ambiantes. Ils ont optĂ© sur lâaction du vent et des piĂ©tons pour identifier les
paramÚtres modaux tels que les fréquences naturelles, les déformées propres et les taux
d'amortissement modaux. Dans le mĂȘme contexte [130] a prĂ©sentĂ© une Ă©tude dynamique du
pont de Rialto Ă Venise (Italie), par les vibrations ambiantes en se basant sur la charge du
trafic, de piétons, de vent et de vagues marines (Figure 3.10). Des essais non destructifs
incluant le gĂ©oradar et lâessai sonique ont Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©s pour complĂ©ter le modĂšle dâĂ©lĂ©ments
finis. Au cours de la mĂȘme annĂ©e, Li et al. [131] ont rĂ©alisĂ© une Ă©tude portĂ©e sur lâanalyse
des vibrations ambiantes du pont de French Creek (BC, Canada) par laquelle le modĂšle
dâĂ©lĂ©ment fini associĂ© est utilisĂ© pour Ă©valuer la performance sismique du pont
conformément au nouveau code canadien de conception des ponts routiers, 2015[132].
Figure 3-10 Pont-arc de Rialto Ă Venise (Italie) [130]
Aussi, Chen et al. [133] ont pu analyser le phĂ©nomĂšne dâaffouillement de piliers de pont de
Kao-Ping-Hsi (Taïwan) à partir des données de vibrations ambiantes. Raeesi et al. [134]
ont présenté un modÚle aérodynamique de vibration des cùbles de suspension des ponts
lorsque lâaction de vent est retenue pour calibrer les rĂ©sultats expĂ©rimentaux. On peut citer
Chapitre 3
48
également les travaux de Perez-Ramirez et al. [135] qui ont proposé une nouvelle
mĂ©thodologie de calibration et dâamĂ©lioration de la qualitĂ© dâinformations recollĂ©es lors de
cet essai.
Ă lâuniversitĂ© de Sherbrooke, lâessai Ă vibrations ambiantes est Ă©galement investiguĂ© dans
les protocoles de dĂ©tection de lâendommagement in situ. En effet, [136] ont menĂ© une
étude réalisée sur un pont routier en service (pont Est de la RiviÚre-aux-Mulets, Sainte-
AdĂšle, QC). Le protocole dâessai sâappuie sur la mise Ă jour automatique des propriĂ©tĂ©s
physiques dâun modĂšle numĂ©rique de façon Ă reproduire les frĂ©quences et les modes
propres de la structure, mesurées expérimentalement.
3.5.2 Techniques modales opérationnelles
Le principe de ces techniques consiste à faire vibrer une structure de façon à exciter les
différents modes simultanément ou successivement [31]. Trois principales techniques sont
utilisĂ©es dans ce processus dâidentification modale [125] :
1. Excitation harmonique Ă lâaide dâun gĂ©nĂ©rateur de vibrations (excitation Ă masses
excentrées ou agitateur harmonique) pour laquelle la structure tient un régime de
mouvement forcĂ©. Ces tests sont fondĂ©s sur le balayage de frĂ©quences oĂč tous les
paramÚtres sont contrÎlés.
2. Excitation Ă lâaide dâun marteau pour caractĂ©riser le mouvement libre de la
structure. La magnitude et la gamme des fréquences excitées dépendent de la taille
de masse et lâembout du marteau [30], [120]. [127] suggĂšre lâutilisation de cet essai
pour des ponts ayant une portée moins de 30 m.
3. LĂąchement puis relĂąchement soudain de la structure de maniĂšre Ă produire des
vibrations dans la structure (Sudden Release Method) [125].
En effet, lâavantage des essais par excitation harmonique comparativement aux essais Ă
vibrations ambiantes rĂ©side dans le fait que les paramĂštres de lâessai sont bien maĂźtrisĂ©s
[30]. La réponse du pont est ainsi au-dessus des bruits inhérents. Cependant, la réalisation
de cet essai in situ requiert la fermeture de lâouvrage et parfois la dĂ©viation du trafic. Aussi,
lâessai Ă vibration forcĂ© nâest praticable que dans certaines situations, car câest un test plus
onéreux, plus difficile à déplacer et nécessitant une source d'alimentation supplémentaire
[30], [39]. Toutefois, les résultats correspondants sont concluants.
Chapitre 3
49
Les essais réalisés avec impact sont par ailleurs des essais simples à exécuter ; leur
mobilité et leur coût relativement moindre les rendent plus pratiques. Néanmoins, il est
difficile de contrĂŽler de façon prĂ©cise la bande de frĂ©quence et lâamplitude de lâexcitation
[30].
En ce qui concernant les essais de relùchement, le déplacement initial imposé à la structure
requiert un support massif ou une structure adjacente trĂšs rigide. Ils sâappliquent seulement
dans certaines conditions strictes, puisque son mode opérationnel demande une grande
quantitĂ© dâĂ©nergie pour lĂącher toute une structure entiĂšre [30].
Sur le terrain, Chen et al. [137] ont Ă©tudiĂ© dâune façon expĂ©rimentale lâeffet dâamplitude de
force et de rĂ©ponse sur la variabilitĂ© des paramĂštres modaux dâun ouvrage Ă lâaide dâun
vibreur à masses excentrées (Figure 3.11). En effet, la technique de balayage de fréquence
(au voisinage de résonance) est employée pour déterminer la fonction de réponse en
fréquence à partir de laquelle les propriétés modales sont identifiées.
(a) (b)
Figure 3-11 Vibreurs à masses excentrées : (a) vue extérieure et (b) intérieure du vibreur [137].
CotĂ© laboratoire, [138] ont construit un modĂšle rĂ©duit dâun pont suspendu sur lequel ils ont
analysé la réponse modale par le régime de vibration forcé sous différentes configurations
(figure 3.12). Ils ont utilisĂ© cette maquette pour calibrer le modĂšle dâĂ©lĂ©ments finis ainsi
que pour rĂ©aliser le processus de dĂ©tection des dommages via la technique dâindice
dommage. Au laboratoire des structures de lâUniversitĂ© de Sherbrooke, [32] ont rĂ©alisĂ© une
Ă©tude de suivi de lâĂ©volution des propriĂ©tĂ©s dynamiques de poutres en bĂ©ton armĂ© en
fonction de diffĂ©rents niveaux dâendommagement qui leur sont infligĂ©s. En effet, les types
Chapitre 3
50
dâendommagement considĂ©rĂ©s sont lâendommagement dĂ» Ă la fatigue en flexion-
cisaillement et lâendommagement associĂ© Ă la corrosion des armatures de flexion.
Lâanalyse modale est portĂ©e sur les rĂ©sultats des tests rĂ©alisĂ©s Ă lâaide du marteau dâimpact
et dâune sĂ©rie dâaccĂ©lĂ©romĂštres. LâĂ©tude conclut que les frĂ©quences naturelles et les
dĂ©formĂ©es modales sont des indicateurs trĂšs clairs de lâaltĂ©ration des conditions dâappuis et
de la fissuration en flexion-cisaillement. Par contre, la corrosion des armatures est un
dommage beaucoup plus difficile Ă saisir Ă travers lâĂ©volution des propriĂ©tĂ©s modales.
Ainsi, lâensemble des analyses expĂ©rimentales montre que les taux dâamortissement
modaux seuls ne constituent pas des indicateurs fiables des endommagements suscités.
Figure 3-12 modÚle réduit de pont suspendu proposé par [138]
3.6 Conclusion
De façon gĂ©nĂ©rale, lâanalyse modale est lâune des Ă©tapes essentielles dans le processus
dâanalyse des structures. La connaissance de propriĂ©tĂ©s modales dâune structure permet de
rĂ©aliser diverses formes de calcul dynamique. Selon le modĂšle dâEuler-Bernoulli, les
modes propres dâune poutre prennent la forme sinusoĂŻdale vĂ©rifiant les conditions aux
limites cinématiques et naturelles.
La rĂ©ponse dynamique de poutres soumises Ă une charge dâimpact ou harmonique est
dĂ©veloppĂ©e. Comme nous le verrons au chapitre 4 de ce mĂ©moire, il sâagit des exemples
dâessais rĂ©alisĂ©s Ă lâaide dâun marteau ou dâun pot vibrant. Ces deux essais sont retenus
Chapitre 3
51
dans cette Ă©tude grĂące Ă leur simplicitĂ© et leur rĂ©pĂ©tabilitĂ© (essai dâimpact) et Ă la maĂźtrise
de leurs paramĂštres de contrĂŽle (pot vibrant).
DâaprĂšs un aperçu bibliographie de lâapplication des mĂ©thodes modales aux ouvrages en
services, on comprend bien de lâimportance de cette Ă©tape dans le processus de diagnostic
des structures. La connaissance des propriĂ©tĂ©s modales permet dâĂ©valuer lâĂ©tat global de la
structure sous des charges normales ou accidentelles dâune part et de localiser et quantifier
certains dommages, dâautre part. On apprĂ©hende Ă©galement que la simulation par Ă©lĂ©ments
finis soit toujours nĂ©cessaire pour Ă©laborer un modĂšle plus rĂ©aliste. Dâailleurs, la
modélisation préalable de la structure fournit une bonne approximation des fréquences
naturelles et des dĂ©formĂ©es propres qui aide Ă prĂ©ciser la bande dâexcitation et les positions
des capteurs lors de son instrumentation.
Chapitre 4 Analyses modales
expérimentales
4.1 Introduction
Ce chapitre prĂ©sente la premiĂšre partie des rĂ©sultats dâĂ©tude expĂ©rimentale rĂ©alisĂ©e portant
sur lâidentification des propriĂ©tĂ©s modales des poutres. Pour des fins dâorganisation, ce
chapitre est scindé en deux parties : la premiÚre expose la formulation des mélanges de
béton et les essais de caractérisation physico-mécanique des spécimens. La seconde partie
est consacrĂ©e au traitement des rĂ©sultats dâanalyse modale expĂ©rimentale.
4.2 Formulation des bétons
Les mélanges de béton utilisés dans cette étude sont présentés dans le tableau 4.1. Nous
avons préparé deux types du béton ayant des rapports E/C de 0,68 et de 0,47. Pour chacun,
la pĂąte de ciment occupe environ 25 % du volume total. Les critĂšres de formulation sont
basĂ©s sur la performance mĂ©canique (rĂ©sistance Ă la compression et module dâĂ©lasticitĂ©)
que sur la durabilitĂ©. Par consĂ©quent, aucun ajout cimentaire ni entraineur dâair nây est
introduit.
Tableau 4-1 â Constitution des mĂ©langes utilisĂ©s pour un m3 du bĂ©ton
BĂ©ton A BĂ©ton B
E/C 0,68 0,47
Eau (L) 172,5 155,5
Ciment GU (kg) 253,8 327,5
Granulats grossiers 10/20 (kg) 211,5 208,6
Granulats grossiers 5/14 (kg) 796 792
Sable (kg) 1 009 995
Superplastifiant (ml/100 kg de liant) 1 042 1 274
Un ciment GU (General User) du Groupe CRH Canada Inc. (anciennement Holcim) a été
utilisé avec un superplastifiant à base polynaphtalÚne de type EUCON 37 [139] pour
amĂ©liorer la plasticitĂ© des mĂ©langes. LâEUCON 37 est un adjuvant Ă haut degrĂ© de
rĂ©duction dâeau ; câest pourquoi, il est recommandĂ© pour un bĂ©ton Ă faible rapport E/C
Chapitre 4
54
[140]. Le dosage en superplastifiant peut varier selon la consistance souhaitée, soit de 400
à 1170 ml pour 100 kg de liant [140]. Il est versé, pendant le malaxage, par volumes
typiques de 100 ml afin de contrĂŽler son effet dispersif [139].
Les gros granulats (origine calcaire dolomitique) proviennent de carriĂšre de St-Dominique
tandis que les granulats fins (sable) proviennent de la carriÚre Saint-François. La
combinaison de granulats fins et de gros granulats (GN10/20 et GN5/14) est mise Ă lâessai
de sorte que lâĂ©cart par rapport Ă la courbe moyenne soit minimum. Lâoptimisation des
deux mélanges a été faite selon la méthode de volume absolu dans laquelle le volume des
granulats est déterminé en fonction de quantité du sable utilisé [141].
Les spĂ©cimens de notre Ă©tude sont des poutres simples au sens de lâarticle 10.2.2 du code
CSA/CAN A23.3-14. Elles ont une longueur de 2100 mm et une section rectangulaire de
180x150 mm. Concernant le ferraillage, chaque poutre est dotĂ©e de deux barres dâarmature
longitudinales de 10 mm de diamĂštre (10M) afin de reprendre les contraintes permanentes
(poids propre). Les critÚres de dimensionnement et de ferraillage sont décrits ci-dessous et
le calcul correspondant est prĂ©sentĂ© en dĂ©tail dans lâannexe A (8.1) :
Le dimensionnement de poutre est réalisé vis-à -vis des efforts de flexion ;
Les sections restent ductiles. En effet, les barres dâarmature sont considĂ©rĂ©es Ă©lastiques
parfaitement plastiques [115] ;
Le mode de rupture de poutre étant la plastification des armatures (section sous armée) ;
Les contraintes de cisaillement devraient ĂȘtre reprises par le bĂ©ton et les barres
dâacier (sans Ă©triers) ;
Respect du pourcentage minimal dâarmature fixĂ© par CSA A23.3-14 [142].
Par ailleurs, aucune armature de cisaillement nâest utilisĂ©e. La reprise de contraintes de
cisaillement doit toutefois ĂȘtre assumĂ©e par le bĂ©ton et les barres dâacier longitudinales. Il
est intéressant de noter que ces poutres vont ainsi servir à la poursuite des études
ultĂ©rieures portĂ©es sur des thĂ©matiques de corrosion pour lesquelles on nâa pas prĂ©vu des
armatures comprimĂ©es (nappe supĂ©rieure) ni dâĂ©triers.
Ainsi, la diffĂ©rence dans le rapport E/C permet dâavoir deux mĂ©langes Ă caractĂ©ristiques
Ă©lastiques et dynamiques diffĂ©rentes. LâidĂ©e consiste Ă construire des poutres constituĂ©es
de deux couches de béton différent (figure 4.1a). La premiÚre couche couvre la partie
inférieure sur une épaisseur moyenne de 65 mm, du béton A (E/C=0.68). Ensuite, la
couche suivante, constituée du béton B (E/C=0.47), remplit tout le reste des spécimens
Chapitre 4
55
(figure 4.1-a). En effet, le mĂ©lange A est coulĂ© en premier lieu afin dâavoir un bĂ©ton
relativement poreux qui facilite la pénétration des ions de chlorures lors des futurs essais
(suivi de corrosion). De plus, on arrive avec cette idée à simuler un cas plus ou moins réel
dâune structure partiellement endommagĂ©e (bĂ©ton Ă propriĂ©tĂ©s modĂ©rĂ©es). Une autre raison
découle du calcul du béton armé qui considÚre la contribution du béton à la résistance par
traction, dans cette partie, est négligeable [142], [143].
En conséquence, les volumes de béton nécessaires pour la fabrication de ces poutres sont
de 62 (béton A) et 110 litres (béton B). La norme A23.2-2C décrit la séquence de malaxage
Ă suivre [144].
(a) (b)
Figure 4-1 â (a) Coupe transversale typique dâune poutre - (b) coffrage et coulage du bĂ©ton des
poutres
4.2.1 Essais de caractĂ©risation Ă lâĂ©tat frais
Des essais de caractĂ©risation prĂ©liminaire du bĂ©ton Ă lâĂ©tat frais ont Ă©galement Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©s.
Il sâagit en effet des tests suivants [145]:
Détermination de la teneur en air conformément à la norme CSA A23.2-4C [144]. La
teneur en air est habituellement exprimée en pourcentage du volume total de béton ;
Mesure de lâaffaissement par la mĂ©thode dâAbram selon la procĂ©dure CSA A23.2-5C
[144] ;
Détermination de la masse volumique du béton suivant la CSA A23.2-6C [144] ;
Confection des Ă©prouvettes cylindriques selon la norme CSA A23.2-3C [144].
Chapitre 4
56
Les résultats sont récapitulés dans le tableau 4.2. Le béton A (E/C=0.68) possÚde une
masse volumique de 2368 đđ/đ3 Ă lâĂ©tat frais avec un affaissement de 175 mm, car le
rapport massique Eau/Ciment est relativement élevé. Par contre, le béton B, dont le rapport
E/C=0,47, lâaffaissement obtenu est de 45 mm, en dĂ©pit de dosage Ă©levĂ© en superplastifiant
(jusquâĂ 1274 ml/100 kg du liant). Sa masse volumique est de 2436 đđ/đ3 . Aussi, ce
mĂ©lange dĂ©tient 2,5 % du volume dâair, Ă©tant donnĂ© que les granulats fins (sable)
entrainent beaucoup dâair dans le bĂ©ton [146].
Tableau 4-2 â CaractĂ©ristiques du bĂ©ton Ă lâĂ©tat frais
Essai BĂ©ton A BĂ©ton B
E/C 0,68 0,47
Masse volumique kg/m3 2386 2436
Affaissement mm 175 45
Teneur en air (%) 2,0 2,5
Concernant le coulage, on a suivi la mĂ©thode de consolidation par pilonnage, de mĂȘme
pour les éprouvettes que les poutres, telle que spécifié dans la CSA A23.2-3C [144] (figure
4.1-b). Puisque lâaffaissement est supĂ©rieur Ă 40 mm, une tige ronde droite peut servir
comme bourroir pour consolider le béton (CSA A23.2-3C art. 8.4) [144]. Il est intéressant
de souligner que les deux bĂ©tons sont coulĂ©s dâune maniĂšre consĂ©cutive (subsĂ©quente), de
surcroĂźt, les deux couches auront un bon accrochage (adhĂ©rence), notamment Ă lâĂ©tat frais.
Les poutres sont ensuite gardées dans un environnement à température ambiante avec un
murissement assurĂ© aux premiers jours dâhydratation. Six Ă©prouvettes de 100x200 mm ont
également été prélevées de chaque mélange et préservées dans une chambre à température
et humidité contrÎlées (température de 23 °C ± 2 °C et humidité relative > à 95 %) [144].
4.2.2 Essais de caractĂ©risation Ă lâĂ©tat durci
AprÚs murissement du béton (des éprouvettes), on a réalisé les essais ci-dessous pour
identifier les propriétés mécaniques et physiques des bétons réalisés.
4.2.2.1 Essais sur Ă©prouvettes
Ă 21 jours, trois Ă©prouvettes de chaque mĂ©lange sont surfacĂ©es, afin dâobtenir deux faces
réguliÚres sur lesquelles sera appliquée une force axiale perpendiculaire et homogÚne
Chapitre 4
57
(CSA A23.2-9C). Ensuite, elles ont été soumises aux essais suivants : détermination de la
masse volumique et des vitesses ultrasonores (UPV) puis aux essais mécaniques :
rĂ©sistance Ă la compression non confinĂ©e (CSA A23.2-9C) et module dâĂ©lasticitĂ© (ASTM
469). La mĂȘme sĂ©quence dâessais est appliquĂ©e aux autres trois Ă©prouvettes Ă 28 jours. Le
tableau 4.3 résume les résultats obtenus.
Tableau 4-3 â PropriĂ©tĂ©s physiques et mĂ©caniques des bĂ©tons Ă 21j et 28 j
Ăge DensitĂ© UPV fc' E statique
(Jours) (kg/mÂł) (m/s) (MPa) (GPa)
BĂ©ton A 21 2441 4993 27,2 33,4
28 2426 4965 28,2 33,4
BĂ©ton B 21 2497 5106 45,7 37,2
28 2455 5053 47,0 37,8
La mesure de temps de propagation des ondes ultrasonores entre deux faces dâĂ©prouvettes
relĂšve quâil nây a pas de diffĂ©rence significative entre les deux bĂ©tons. Nous avons donc
mesuré les vitesses ultrasonores (UPV) directement sur les poutres. Les vitesses mesurées
sur le béton A sont légÚrement plus faibles que sur le béton B, en raison de sa densité
moins élevée.
Le béton B (E/C=0.47) a donné une meilleure résistance à la compression par rapport au
béton A (E/C=0.68), étant donné que le rapport E/C joue un rÎle crucial concernant la
rĂ©sistance. Aussi, le module dâĂ©lasticitĂ© du bĂ©ton B est un peu plus Ă©levĂ© que celui du
béton A.
4.2.2.2 Essais sur poutres
On a procĂ©dĂ© Ă la caractĂ©risation du bĂ©ton des poutres par mesure dâUPV selon la norme
ASTM 597 [43]. Le but est de vĂ©rifier lâhomogĂ©nĂ©itĂ© des piĂšces et la correspondance en
matiĂšre de confection du bĂ©ton de poutres Ă celui dâĂ©prouvettes. En effet, on mesure le
temps de propagation des ondes ultrasonores entre les deux faces latérales des poutres
(mode de transmission directe), soit dans neuf sections espacées chacune de 25 cm (figure
4.2.a). Puisque les poutres ont été coulées à partir de deux bétons différents, on a effectué
deux mesures par section (figure 4.2.b). La premiÚre est située à 30 mm de profondeur
(béton B), tandis que la deuxiÚme est à 150 mm de profondeur (béton A), pour un total de
dix-huit points de mesure par poutre.
Chapitre 4
58
(a)
(b)
Figure 4-2 â Mesures dâUPV sur poutres (a) : points de mesure (unitĂ©s en cm), (b) :configuration
de lâessai (unitĂ©s en mm)
Ătant donnĂ© que lâacier dâarmature a une grande incidence sur les rĂ©sultats dâessais, les
valeurs de vitesses mesurées dans le béton A sont ensuite corrigées par la formule suivante
[38] :
đđ = [1 â2đ
đ(1 â
đđ
đđ)] đđđ (4.1)
OĂč đ et đ sont respectivement le diamĂštre de barres dâacier et la largeur de poutre. đđ et
đđđ Ă©tant respectivement les vitesses de propagation des ondes ultrasonores dans lâacier et
dans le bĂ©ton armĂ©, avec đđ = 5900 đ/đ .
La figure 4.3 (a, b, c) illustre les résultats obtenus. Les deux bétons sont bien distingués par
la valeur de vitesse ultrasonore. En fait, la partie infĂ©rieure de la poutre, composĂ©e dâun
béton relativement poreux, donne des valeurs inférieures par rapport à celles de la partie
supérieure (béton sain). Donc, on peut déduire que les propriétés de deux bétons, à savoir
la densitĂ© et le module dâĂ©lasticitĂ©, sont Ă©galement diffĂ©rentes. Cependant, dans chacun de
ces deux bĂ©tons, ces propriĂ©tĂ©s varient trĂšs peu par rapport Ă la moyenne ; dâailleurs, le
coefficient de variation est trÚs faible (CV < 2.5 %). Cela permet de déduire de
lâhomogĂ©nĂ©itĂ© des spĂ©cimens. Les valeurs de vitesse dans le bĂ©ton A (partie infĂ©rieure) et
B (partie supĂ©rieure) sont notĂ©es par đđđđ et đđ đąđ respectivement.
Chapitre 4
59
(a)
(b)
(c)
Figure 4-3 â Variation de vitesse dâultrasonore dans les poutres 1 (a), 2 (b) et 3 (c)
4 300
4 400
4 500
4 600
4 700
4 800
4 900
5 000
5 100
5 200
5 300
0 50 100 150 200
UP
V (
m/s
)
position (cm)
V1 (sup.)
V2 (inf.)
4 300
4 400
4 500
4 600
4 700
4 800
4 900
5 000
5 100
5 200
5 300
0 50 100 150 200
UP
V (
m/s
)
position (cm)
V1 (sup.)
V2 (inf.)
4 300
4 400
4 500
4 600
4 700
4 800
4 900
5 000
5 100
5 200
5 300
0 50 100 150 200
UP
V (
m/s
)
position (cm)
V1 (sup.)
V2 (inf.)
đđđđŠđ đąđ
= 5038 đ/đ
đ¶đđ đąđ = 1.1%
đđđđŠđđđ
= 4732 đ/đ
đ¶đđđđ = 1.3%
đđđđŠđ đąđ
= 4986 đ/đ
đ¶đđ đąđ = 0.8 %
đđđđŠđđđ
= 4680 đ/đ
đ¶đđđđ = 0.9%
đđđđŠđ đąđ
= 5010 đ/đ
đ¶đđ đąđ = 1.1%
đđđđŠđđđ
= 4767 đ/đ
đ¶đđđđ = 2.5%
Chapitre 4
60
Par ailleurs, le rapport entre les vitesses moyennes de deux bĂ©tons đđđđ/đđ đąđ vaut
respectivement 94 %,95 % et 94 % pour la poutre 1, 2 et 3. Cela indique que les poutres
ont les mĂȘmes quantitĂ©s du bĂ©ton A et B. Ainsi, par comparaison avec les rĂ©sultats obtenus
sur Ă©prouvettes, les valeurs moyennes dâUPV du bĂ©ton A sont relativmenet plus fortes que
celles obtenues sur poutres (tableau 4.4). LâĂ©cart1 Ă©tant de 5% environ. Concernant le
béton B, les valeurs de vitesse UPV obtenues sur poutres sont presque identiques à celles
obtenues sur Ă©prouvettes. Dâailleurs, le ratio de vitesses moyennes et de modules statiques
est presque identique (đđ đąđ/đđđđ)2 â đžđ”/đžđŽ. Cela permet de conclure que les poutres sont
plus ou moins identiques.
Tableau 4-4 â Comparaison des rĂ©sultats obtenus sur Ă©prouvettes avec ceux des poutres
Ăge
Sur Ă©prouvettes
Poutre 1 Poutre 2 Poutre 3
(Jours) V (m/s) V (m/s) Ăcart V (m/s) Ăcart V (m/s) Ăcart
BĂ©ton A 28 4965 4 732 4,7% 4 767 4,0% 4 680 5,7%
BĂ©ton B 28 5053 5 038 0,3% 5 010 0,9% 4 986 1,3%
4.3 Analyse modale expérimentale
On a vu au chapitre 3 quâil y a plusieurs techniques de reconnaissance des modes propres
dâune structure. La plus simple dans notre cas, consiste Ă mesurer les vibrations induites
par un impact quelconque. En effet, lâacquisition dâune accĂ©lĂ©ration, dâune vitesse ou dâun
dĂ©placement permet de reconnaĂźtre les frĂ©quences naturelles grĂące Ă lâanalyse de Fourier.
Lâexcitation de la poutre par un impact gĂ©nĂšre des coups Ă courte durĂ©e et la rĂ©ponse
dynamique suit un régime libre amorti (dissipatif) [120]. Cela dépend des conditions
initiales du mouvement. Aussi, lâimpact excite gĂ©nĂ©ralement plus dâune frĂ©quence propre
[147]. Lâavantage du test par impact est que ce type dâexcitation permet dâexciter toute une
gamme de frĂ©quences avec sensiblement la mĂȘme Ă©nergie [120] et dâeffectuer ainsi une
série de tests dans un temps relativement court.
1 LâĂ©cart de valeurs dâUVP sur poutre est calculĂ© par rapport Ă la moyenne obtenue sur Ă©prouvettes.
Chapitre 4
61
4.3.1 Instrumentation et procédure de traitement
Pour dĂ©terminer les dĂ©formĂ©s propres dâune façon plus prĂ©cise, il nous faut un nombre
suffisant des capteurs pour couvrir toute la zone dâintĂ©rĂȘt. Dans notre dispositif, on a utilisĂ©
sept accĂ©lĂ©romĂštres (capteurs dâaccĂ©lĂ©ration), placĂ©s le long de la portĂ©e de poutre
(sections 1 Ă 7) avec un espacement de 25 cm, ainsi on mesure les vibrations verticales
induites (figure 4.4.a). On veille à ce que le dispositif soit symétrique afin de pouvoir
comparer la qualitĂ© des informations rĂ©coltĂ©es et ainsi optimiser le protocole dâessai.
Un amplificateur à huit canaux, avec des gains de 1, 10, 100 y est également attaché
(figure 4.4.b). Le tout est reliĂ© Ă un ordinateur muni dâune carte dâacquisition par lequel on
peut contrĂŽler certains paramĂštres (frĂ©quence dâĂ©chantillonnage, longueur de signal
numĂ©risĂ© âŠetc.).
(b)
(a) (c)
Figure 4-4 â (a) Dispositif dâinstrumentation (unitĂ©s en cm) â (b) Amplificateur â (c)
AccéléromÚtre typique de classe 4395 [148]
Les accéléromÚtres utilisés sont de type 4395 de marque DeltaTron (figure 4.4.c). Ils
fonctionnent selon le principe de conduite de courant Ă ligne constante [148], câest-Ă -dire
quâils sont conçus pour fonctionner sur une alimentation Ă©lectrique Ă courant constant.
Lâavantage de cette catĂ©gorie est de dĂ©livrer des signaux de sortie proportionnels Ă
lâaccĂ©lĂ©ration sous forme de modulation de tension. Ces accĂ©lĂ©romĂštres disposent de
fréquences de résonance du mode longitudinal (37 kHz) et du mode transversale (13 kHz),
Chapitre 4
62
qui sont nettement supérieures aux fréquences de résonance des spécimens étudiés
(poutres). Cette catĂ©gorie dâaccĂ©lĂ©romĂštres est principalement destinĂ©e Ă mesurer
lâaccĂ©lĂ©ration normale Ă une surface de contact, oscillant typiquement entre 0.3Hz et
18kHz. En outre, le mouvement transversal nâaffectera pas beaucoup cette mesure, Ă©tant
donnĂ© que les vibrations transversales maximales susceptibles dâĂȘtre captĂ©es est trĂšs faible
(<4%) par rapport aux vibrations transversales [148]. La conversion du signal acquis (en
volt) en un signal rĂ©el (accĂ©lĂ©ration ms-2) se fait Ă lâaide de relation suivante :
đŽđđ. (đ/đ 2) =đđđđđđ(đ)/đșđđđ
đđđđ đđđđđđĄĂ© (4.2)
Le gain étant la valeur par laquelle le signal initial est amplifié ; autrement dit, le ratio du
signal de sortie sur celui d'entrĂ©e de lâamplificateur. Selon le catalogue fourni, la sensibilitĂ©
de cette classe est de 1 mV/ms-2, soit (1/g). Cette catégorie de capteurs est recommandée
par Green [127] pour les essais dynamiques des structures civiles [30].
Par ailleurs, pour avoir un nombre suffisant des modes, on applique lâimpact (coup de
marteau) à différents points. Les poutres sont simplement appuyées aux extrémités sur
deux appuis rotulés et trÚs rigides dans la sens vertical. En raison de la symétrie de piÚce,
on a choisi les sections # 2, 3 et 4, situĂ©es Ă lâabscisse x = 55, 80 et 105 cm par rapport Ă
lâextrĂ©mitĂ© gauche (figure 4.4-a). On a vu au chapitre prĂ©cĂ©dent que les modes propres
dâune poutre simplement appuyĂ©e sont dus au mode de flexion qui tient une forme
symétrique (sinusoïdale). Chaque essai est répété trois fois pour vérifier la répétabilité de
lâessai et obtenir des rĂ©sultats moyens.
De plus, vu que lâamplitude dâexcitation nâaffecte pas les propriĂ©tĂ©s modales, il nâest donc
pas nĂ©cessaire de produire un impact important, afin dâĂ©viter que le signal acquis soit
saturĂ©. Câest-Ă -dire, lâamplitude du signal acquis par les accĂ©lĂ©romĂštres (en volt) ne devrait
pas dĂ©passer la capacitĂ© limite de la carte dâacquisition (+/- 5 V). Le bĂ©ton exhibe ainsi un
comportement linĂ©aire. On a Ă©galement choisi une frĂ©quence dâĂ©chantillonnage de đđ =
500 đđ»đ§, avec une longueur de đ = 215 points avec lesquelles toute lâinformation
concernant les accélérations est entiÚrement contenue dans les valeurs échantillonnées
đŠđ(đâđĄ) pourvu que â𥠆1/(2đđ) [32]. Les informations recherchĂ©es sont en effet les
premiÚres fréquences propres des poutres. Une partie pré-trigger est également enregistrée.
Il sâagit dâun nombre d'Ă©chantillons acquis juste avant le dĂ©clenchement du systĂšme
dâacquisition. Le systĂšme dâacquisition est dĂ©clenchĂ© au moment dâexcitation. Dans ces
Chapitre 4
63
essais, lâun des accĂ©lĂ©romĂštres placĂ©s soit sur le spĂ©cimen (dont le signal est amplifiĂ©) ou
soit sur la tĂȘte du marteau sert comme dĂ©clencheur de lâacquisition.
Ensuite, un traitement de signal a lieu, qui consiste dâabord Ă enlever la partie prĂ©-trigger
du signal puis le convertir en accĂ©lĂ©ration Ă lâaide de relation prĂ©cĂ©dente (Ăq.4.2). Ensuite,
on transforme le signal dâaccĂ©lĂ©ration du domaine temporel au domaine des frĂ©quences par
lâanalyse de Fourier. Puisque ce signal est Ă durĂ©e finie (par nature fenĂȘtrĂ© par la fenĂȘtre
rectangulaire), la transformation de Fourier peut entrainer des erreurs systématiques, mais
on peut choisir des formes particuliĂšres de fenĂȘtre qui auront moins dâimpact sur la
transformée de Fourier. Cette idée consiste en la multiplication des sous-intervalles par une
fenĂȘtre rendant ainsi le signal plus apte Ă la transformĂ©e de Fourier discrĂšte [149]. La
fonction de fenĂȘtrage la plus utilisĂ©e dans le cas des vibrations alĂ©atoires est la fonction de
Hanning qui a pour effet dâenrayer la discontinuitĂ© entre le dĂ©but et la fin de fenĂȘtre du
signal (figure 4.5) [149]. Son expression mathĂ©matique sâĂ©crit,
đ(đ + 1) =1
2(1 â cos (
2đđ
đđ â 1)) đ = 0,1,2, ⊠,đđ (4.3)
đđ Ă©tant la longueur de fenĂȘtre de Hanning.
(a)
(b)
Figure 4-5 â Effet de fenĂȘtrage par une fonction de Hanning sur le signal (a) avant multiplication
(b) aprĂšs multiplication
5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps dâacquisition (ms)
Accélé
ration
5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Accélé
ration
Temps dâacquisition (ms)
Acc.
W(t)
Acc.*W(t)
5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps dâacquisition (ms)
Accélé
ration
5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Accélé
ration
Temps dâacquisition (ms)
Acc.
W(t)
Acc.*W(t)
Chapitre 4
64
4.3.2 Détermination des fréquences naturelles
En utilisant le spectre de Fourrier du signal de lâaccĂ©lĂ©romĂštre, les frĂ©quences propres
peuvent ĂȘtre dĂ©terminĂ©es graphiquement en se basant sur la variation de lâamplitude
dâaccĂ©lĂ©ration en fonction de la frĂ©quence. Elles se manifestent plutĂŽt sous forme des pics
attestant gĂ©nĂ©ralement la prĂ©sence dâun mode propre. On identifie donc les frĂ©quences
naturelles sur le spectre de Fourrier par inspection des maximas. Rappelons que
lâexcitation (impact) est appliquĂ©e dans trois positions (sections #2, #3 et #4, voir figure
4.4) dont nous obtenons trois spectres différents. Le contenu fréquentiel de ces spectres
montre les modes excités dans chaque cas. Comme nous cherchons à identifier les premiers
modes pour Ă©tudier leurs effets sur la propagation des ondes ultrasonores, nous allons
considérer, dans cette étude, seulement les modes vibrant dans la marge comprise entre 0 et
3.5 kHz.
Nous avons aussi appliquĂ© le mĂȘme protocole aux trois poutres. Le graphe prĂ©sentĂ© ici est
limitée aux résultats obtenus sur la 1Úre poutre. Les autres graphes sont toutefois présentés
dans lâannexe de ce mĂ©moire (§ 8.4).
Les figures (4.6-a-c) présentent les spectres de Fourrier en accélération de poutre #1 dans
le domaine des frĂ©quences. Le premier graphe correspond Ă lâapplication de lâimpact au
niveau de la section #2 dans lequel plusieurs pics sont révélés (figure 4.6.a). Dans cette
figure, les fréquences naturelles correspondent aux sept pics manifestés au niveau des
fréquences : 91.6, 511.2, 885, 1358, 1934.1, 2487,2 et 3059.4 Hz. Ces fréquences
correspondent aux modes propres qui contribuent Ă la vibration de poutre dans ce cas. La
premiÚre fréquence représente la fréquence fondamentale de la poutre. On constate aussi
que lâamplitude de maxima nâest pas identique. En effet, lâamplitude relative Ă la
frĂ©quence 885 Hz paraĂźt plus prononcĂ©e, suivie de celle de frĂ©quence 511.2 et 91.1 Hz. Ă
un degré moindre, on retrouve le reste des modes. Cela nous permet de conclure que le
mode associé à la fréquence 885 Hz est le plus excité dans cet essai.
Chapitre 4
65
(a)
(b)
(c)
Figure 4-6 â Spectres de Fourrier en accĂ©lĂ©ration obtenus avec impact au : (a) section 2, (b) section
3 et (c) section 4
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3 Impact au niveau du noeud # 2
Fréquences (Hz)
Accélé
ration,
Am
plit
ude [
1/g
]
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3 Impact au niveau du noeud # 3
Fréquences (Hz)
Accélé
ration,
Am
plit
ude [
1/g
]
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3 Impact au niveau du noeud # 4
Fréquences (Hz)
Accélé
ration,
Am
plit
ude [
1/g
]
Chapitre 4
66
En variant, le point dâapplication de lâimpact, les amplitudes de pics changent Ă©galement.
En effet, les 2e et 3e graphes correspondent à un impact appliqué respectivement au niveau
de sections #3 et #4 (figures 4.6.b et 4.6.c). On voit dans la figure (4.6.b) que lâamplitude
relative Ă la frĂ©quence 1387 Hz devient la plus Ă©nergĂ©tique. Par contre, quand lâimpact est
appliqué au milieu de la poutre (section #4), les modes associés aux fréquences 511.2,
1358 et 2587.2 Hz ont presque disparu et celui de fréquence 885 Hz parait le plus
important (figure c). Cela nous permet de dĂ©duire que la section #4 reprĂ©sente un nĆud
pour ces modes de vibration.
Par ailleurs, les résultats obtenus sur les poutres #2 et #3 sont presque similaires. Le
tableau 4.5 regroupe les fréquences propres obtenues lors de cette reconnaissance. En effet,
les premiers modes vibrent presque dans les mĂȘmes frĂ©quences naturelles. Cela suggĂšre
quâil y a certainement une ressemblance dans les propriĂ©tĂ©s du bĂ©ton. En revanche, les
fréquences des modes supérieurs sont légÚrement différentes.
Aussi, les fréquences sont comparées à la solution théorique correspondante, déduite de
lâĂ©quation (2.23). En effet, la solution thĂ©orique est calculĂ©e Ă la base des propriĂ©tĂ©s
Ă©quivalentes de la poutre telles que expliquĂ©es en annexe A.2. DâaprĂšs cette comparaison,
on remarque que les fréquences des modes #1, 4 et 7 correspondent plus ou moins aux
valeurs théoriques. Par contre, la fréquence du troisiÚme mode est plus basse que celle
obtenue par lâexpĂ©rimentation. Le mode # 2 est par contre incomparable. Cela reflĂšte de
conditions dâappui qui peuvent varier lors de lâinstallation des poutres ou de la diffĂ©rence
dans les propriétés intrinsÚques du béton entre les éprouvettes et les poutres. Ainsi, la
solution théorique donne une premiÚre approche de fréquence fondamentale de la poutre.
Cette approche sâapplique pour les modes de flexion des poutres. En effet, le mode #6
nâest pas un mode de flexion, câest plutĂŽt un mode de dĂ©placement longitudinal dâaprĂšs
une modélisation par éléments finis, expliquée en annexe A.2 (§ 8.2).
Tableau 4-5 â FrĂ©quences naturelles des poutres Ă©tudiĂ©es (Hz)
Poutre 1 Poutre 2 Poutre 3 Solution théorique
Mode 1 91,6 99,2 93,5 85,8
Mode 2 511,2 509,3 511,2 342,5
Mode 3 885,0 885,0 865,9 768,7
Mode 4 1358 1356 1328 1363,2
Mode 5 1934 1885 1928 2125,4
Mode 6 2487 2468 2428 /
Mode 7 3059 3052 3006 3054,9
Chapitre 4
67
Il est toujours faisable de dessiner les modes propres associés aux fréquences naturelles
obtenues, et ce, en tenant compte de la relation entre le dĂ©placement et lâaccĂ©lĂ©ration.
Ăgalement, on peut dĂ©duire lâexpression analytique de la variation du champ de
déplacement de façon approximative, comme expliqué à la section 4.3.3.
4.3.3 Détermination du champ de déplacement
Par lâapplication dâune force harmonique, la rĂ©ponse rĂ©sultante est aussi de la mĂȘme forme.
En effet, le champ du déplacement (vertical) tient de la déformée modale associée au mode
propre excitĂ©. La vibration verticale de poutre autour de sa position dâĂ©quilibre est
exprimĂ©e par lâĂ©quation (3.4). Lâallure dâun mode propre peut ĂȘtre dessinĂ©e en se basant
sur les valeurs de lâamplitude du dĂ©placement mesurĂ©es au niveau des sections choisies.
Nous avons donc sept points auxquels on peut dĂ©terminer la valeur de lâamplitude de
dĂ©placement. Ainsi, le vecteur dĂ©placement dans un mode m peut sâĂ©crire,
{đ}đ = {ïżœÌ ïżœ1, ïżœÌ ïżœ2, ïżœÌ ïżœ3, ïżœÌ ïżœ4, ïżœÌ ïżœ5, ïżœÌ ïżœ6, ïżœÌ ïżœ7}đĄđ
(4.4)
Les ïżœÌ ïżœđ reprĂ©sentent lâamplitude de dĂ©placement vertical du point (đ) qui peut ĂȘtre
dĂ©terminĂ©e Ă partir de lâamplitude de lâaccĂ©lĂ©ration correspondant, soit
ïżœÌ ïżœđ = âïżœÌ Ìïżœđ
(đđ)2 (4.5)
OĂč đđ est la frĂ©quence angulaire propre du mode m, (đđ = 2đđđ) en rad/s. Les ïżœÌ Ìïżœđ=1,7Ì Ì Ì Ì
reprĂ©sentent lâamplitude de lâaccĂ©lĂ©ration Ă la frĂ©quence modale đđ. Les deux paramĂštres
(ïżœÌ Ìïżœi=1,7Ì Ì Ì Ì et đđ) peuvent simplement ĂȘtre tirĂ©s de spectres de Fourrier prĂ©cĂ©dents. On peut
alors tracer la courbe de déplacement vertical de la poutre à chaque fréquence propre
(figure 4.7). Aussi, une façon plus pratique pour dĂ©terminer lâexpression de lâamplitude du
dĂ©placement par rapport Ă lâabscisse đ„ sous forme analytique est de lâapprocher par une
fonction sinusoĂŻdale (Ăq. 3.21). En effet, lâexpression gĂ©nĂ©rale de dĂ©formĂ©e propre des
poutres telle quâĂ©tudiĂ©e au chapitre prĂ©cĂ©dent, peut ĂȘtre approximĂ©e par :
đŠ(đ„) = ïżœÌ ïżœ0đ sin(đŽđ„ + đ”) + đąđ (4.6)
ïżœÌ ïżœ0đ, đŽ, đ” et đąđ sont des constantes Ă retenir par cette approximation. La valeur de ïżœÌ ïżœ0đ
tient compte de lâamplitude du dĂ©placement modal (flĂšche) tandis que le paramĂštre đąđ
reprĂ©sente le dĂ©placement rĂ©siduel issu de cette approximation. Lâerreur est optimisĂ©e au
sens du moindre carrée, soit
Chapitre 4
68
Ï” = â(ïżœÌ ïżœđ â đŠ(đ„đ))2
7
đ=1
(4.7)
La figure (4.7) présente le champ du déplacement modal des sept premiers modes.
Lâapproche par fonction sinusoĂŻdale y est Ă©galement dessinĂ©e. En effet, tous les modes
obtenus sont associĂ©s au mode de flexion, puisquâon a instrumentĂ© la poutre de sorte que la
vibration verticale soit retenue. Dans ces figures, on constate que :
Dâune façon gĂ©nĂ©rale, lâĂ©volution de lâallure dĂ©placement selon la frĂ©quence suit une
forme sinus telle que dĂ©montrĂ© analytiquement au chapitre prĂ©cĂ©dent (Ăq. 3.21).
ConformĂ©ment aux constats prĂ©cĂ©dents, la section mĂ©diane (#4) reprĂ©sente un nĆud
au sens de déformée de modes 2, 4 et 6 associés respectivement aux fréquences 511.2,
1357.6, et 2491 Hz.
On remarque aussi quâil y a une grande correspondance avec les amplitudes calculĂ©es
et les fonctions approchĂ©es, lâerreur Ă©tant donnĂ© trĂšs petite (tableau 4.6).
Mode 1 Mode 2
Mode 3 Mode 4
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0fr = 91.1 Hz
Uz(
x) [
mm
]
x(m)
Impa
ct p
ositi
on
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6fr = 511.2 Hz
Uz(
x) [
mm
]
x(m)
Impa
ct p
ositi
on
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8fr = 887.4 Hz
Uz(
x) [
mm
]
x(m)
Impa
ct p
ositi
on
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15fr = 1357.6 Hz
Uz(
x) [
mm
]
x(m)
Impa
ct p
ositi
on
Chapitre 4
69
Mode 5 Mode 6
Mode 7
Figure 4-7 â DĂ©placements modaux de poutre #1 (point dâimpact #3)
Aussi, lâamplitude du dĂ©placement varie dâun mode Ă lâautre. Elle rĂ©sulte de lâintensitĂ© de
force dâimpact et du taux de participation de chaque mode. Dans ce cas, on est tenu Ă
normaliser les résultats par rapport au premier mode pour pouvoir comparer la flÚche
maximale relative de chaque mode (figure 4.8). En effet, quand lâexcitation est appliquĂ©e Ă
la section #2 (test 1), lâamplitude du dĂ©placement des modes 1 (91 Hz), 2 (511 Hz) et 3
(887 Hz) est relativement plus importante. Les trois premiers modes contribuent dâune
façon significative Ă la rĂ©ponse dynamique, dans ce cas. En revanche, quand lâimpact est
menĂ© Ă la section #3 (test 2), le 4e mode contribue dâune façon majoritaire Ă la rĂ©ponse de
la poutre, conjuguĂ©e Ă degrĂ© moindre avec le 2e mode. Lorsque lâimpact est appliquĂ© au
milieu de la poutre (test 3), la participation du 3e mode domine le mouvement. La
contribution des autres modes Ă©tant cependant plus faible. On verra Ă la section 3.4
comment dĂ©terminer lâĂ©volution du taux de participation modale dâune façon plus
dĂ©taillĂ©e. Ce quâil faut retenir dans cette partie, câest que la rĂ©ponse dynamique de poutre
est principalement formée des quatre premiers modes de flexion ; la contribution des
modes supĂ©rieurs (5e mode et plus) est relativement nĂ©gligeable (en raison dâune faible
amplitude).
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15fr = 1937.9 Hz
Uz(
x) [
mm
]
x(m)
Impa
ct p
ositi
on
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2fr = 2491 Hz
Uz(
x) [
mm
]
x(m)
Impa
ct p
ositi
on
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15fr = 3058.9 Hz
Uz(
x) [
mm
]
x(m)
Impa
ct p
ositi
on
Chapitre 4
70
Am
p. re
lati
ve
Modes
Figure 4-8 â Amplitude maximale de dĂ©placement vertical de poutre 1 (mm)
Le tableau 4.6 montre lâĂ©volution des paramĂštres de lâĂ©quation (Ăq. 4.6) selon la
fréquence. On constate que le déplacement résiduel est relativement important dans le 1er
mode. On peut lâexpliquer par les vibrations au niveau des appuis. Dâune façon globale,
lâamplitude du mouvement de la poutre est relativement petite, câest pourquoi, il y a des
petits dĂ©placements au niveau des appuis qui nuisent ces rĂ©sultats. On peut lâaisĂ©ment
constater sur lâallure de dĂ©formĂ©e propre du mode 1 (figure 4.7) oĂč lâamplitude de
déplacement au niveau de sections #1 et #7 ne tend pas à zéro (sections à proximité des
appuis). Ensuite, ce résidu est presque nul dans le reste des modes, étant donné que le ratio
entre le dĂ©placement rĂ©siduel et lâamplitude du mouvement est trĂšs faible. Cela reflĂšte
lâefficacitĂ© de lâapproximation proposĂ©e. Du cĂŽtĂ© de lâerreur, on constate quâil y a une
bonne approximation pour les trois premiers modes, alors que pour les modes suivants,
lâerreur relative dĂ©passe les 10%. Cela nâaffectera pas significativement les calculs qui
suivent car lâamplitude de ces modes est nĂ©gligeable.
Chapitre 4
71
Tableau 4-6 â Ăvolution des constantes de dĂ©placement modal en frĂ©quence
Mode đđ [đ»đ§]
đđ
[đđđ/đ ] đŽ đ”
đ0đ [đđ]
đąđ
[đđ]
đąđ
đđ
đ
[10â10] âđ
đ0đ
1 91,6 572 0,98 -2,55 0,68 0,43 63% 0,32 1%
2 511 3 212 4,27 -4,27 0,53 0,00 0% 24,42 9%
3 885 5 576 5,52 -7,11 0,78 -0,03 -4% 19,43 6%
4 1358 8 530 6,77 -6,77 0,13 0,00 1% 3,11 13%
5 1934 12 176 8,33 -6,70 0,14 -0,01 -5% 3,08 13%
6 2487 15 651 9,60 -6,38 0,16 -0,01 -3% 13,20 23%
7 3059 19 220 13,94 -9,15 0,12 -0,01 -5% 4,48 18%
Il y a lieu de vĂ©rifier si une partie dâĂ©nergie du mouvement Ă©tait dissipĂ©e sous forme de
vibration transversale parasitaire. Un accĂ©lĂ©romĂštre a Ă©tĂ© placĂ© sur lâune des faces latĂ©rales
de 2e poutre pour enregistrer ce type de vibration. Les rĂ©sultats dâanalyse de Fourier nous
ont donné les spectres de Fourrier présentés dans la figure 4.10. Les spectres de Fourrier
montrent quâil y a de nouveaux pics par rapport aux spectres prĂ©cĂ©dents du mouvement
vertical. Les plus prononcés se sont manifestés au niveau des fréquences 101, 750, 1192 et
1631 Hz. Les amplitudes de déplacement correspondant sont données dans le tableau 4.7.
On constate que les maximas varient selon le point dâimpact ; quand lâexcitation est
générée au milieu de la poutre, ce type de vibration est relativement amplifié. Toutefois,
les valeurs sont trĂšs faibles par rapport Ă celles du mouvement vertical (ïżœÌ ïżœđĄđđđđ †5 Ă
10â6 đđ) ; le ratio par rapport Ă lâamplitude de mouvement vertical Ă©tant trĂšs petit
(ïżœÌ ïżœđ§/ïżœÌ ïżœđŠ â 7 Ă 10â6). Cela indique que la quantitĂ© de mouvement transversal dissipĂ©e
pendant les essais est négligeable. Enfin, il y a toujours des vibrations parasitaires (dans la
direction transversale), mais sa grandeur est beaucoup plus faible par rapport Ă celle du
mouvement vertical.
Tableau 4-7 â DĂ©placement transversal de poutre 2 (Ă 10â6 đđ)
Fréquence (Hz)
Test 1 Test 2 Test 3
101 1,20 1,98 5,02
511 0,01 0,01 0,01
750 0,03 0,02 0,10
1192 0,00 0,00 0,01
1631 0,01 0,00 0,01
Chapitre 4
72
Figure 4-9 â Spectre de Fourrier de lâaccĂ©lĂ©ration transversale Ă mi-travĂ©e de poutre 2
4.3.4 DĂ©termination des vecteurs propres
AprÚs avoir déterminé le champ de déplacements modaux, on peut déduire la base des
vecteurs modaux correspondants. Lâexpression analytique du dĂ©placement prĂ©cĂ©dente
permet de déduire les vecteurs propres. En effet, le déplacement résiduel étant négligeable,
les vecteurs propres sont obtenus par la normalisation du vecteur dĂ©placement par rapport Ă
son amplitude crĂȘte, soit,
{đ}đ = sin(đŽđ„ + đ”) (4.8)
Pour rappel, cette fonction satisfait lâĂ©quation dâĂ©quilibre dynamique de poutre dâEuler-
Bernoulli ainsi que les conditions aux limites, discutées au chapitre précédent (§ 3.3.1). La
figure 4.10 prĂ©sente lâallure de base modale obtenue. Dâune façon gĂ©nĂ©rale, il y a une
bonne correspondance entre les modes obtenus et les modes calculés par la solution
analytique.
Il y a aussi un autre moyen pour vĂ©rifier les rĂ©sultats obtenus. Il sâagit en effet dâune
méthode basée sur la décomposition de la matrice de densité spectrale de puissance,
dénommée, la méthode de décomposition dans le domaine des fréquences (FDD,
Frequency Domain Decomposition). Câest une mĂ©thode gĂ©nĂ©ralement utilisĂ©e dans les cas
des vibrations ambiantes.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
2
Fréquence (Hz)
Am
plit
ude a
cc.
trans.
x10
-3
Point d'impact : 2
Point d'impact : 3
Point d'impact : 4
Chapitre 4
73
Figure 4-10 â Modes propres de la poutre #1
4.3.5 Méthode de décomposition FDD
La mĂ©thode FDD consiste Ă extraire les propriĂ©tĂ©s modales dâune structure Ă partir de la
décomposition de la matrice de densité spectrale de puissance (PSD, Power Spectral
Density) en valeurs singuliÚres. En effet, la décomposition en valeurs singuliÚres (SVD,
Singular Value Decomposition) du PSD permet de déduire les fréquences naturelles et les
vecteurs propres du systÚme. La premiÚre étape consiste, bien évidemment, à déterminer la
matrice de PSD des rĂ©ponses (accĂ©lĂ©rations), notĂ©e đșđŠđŠ. Cette derniĂšre peut ĂȘtre exprimĂ©e
en rapport avec les accĂ©lĂ©rations par lâĂ©quation suivante [32], [149]:
đșđŠđŠ =2
đ({
đ1â
đ2â
âźđđ
â
} [đ1 đ2 ⊠đđ]) =
(
đșđŠ1đŠ1đșđŠ1đŠ2
đșđŠ2đŠ1đșđŠ2đŠ2
⊠đșđŠ1đŠđ
⊠đșđŠ2đŠđ
âź âźđșđŠđđŠ1
đșđŠđđŠ2
â± âźâŠ đșđŠđđŠđ)
(4.9)
đđ Ătant le vecteur complexe issue de la transformĂ© de Fourrier du vecteur dâaccĂ©lĂ©ration.
đđâ dĂ©signe le conjuguĂ© complexe de đđ. La dĂ©composition SVD sâĂ©crite comme suit [32],
[149]
0 0.5 1 1.5
-1
-0.9
-0.8
-0.7
x (m)
1e mode (fr = 90 Hz)
0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
x (m)
2e mode (fr = 509 Hz)
0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
x (m)
3e mode (fr = 885 Hz)
0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
x (m)
4e mode (fr = 1356 Hz)
0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
x (m)
5e mode (fr = 1928 Hz)
0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
x (m)
6e mode (fr = 2474 Hz)
0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
x (m)
7e mode (fr = 3057 Hz)
Chapitre 4
74
đșđŠđŠ = đ Î đđ» (4.10)
La lettre đ» indique la transposĂ©e et conjuguĂ©e complexe. Î est une matrice diagonale
contenant les đ valeurs singuliĂšres đđ(đ) i = 1,2, ..., đ ; classĂ©es en ordre dĂ©croissant. Elles
ont les mĂȘmes unitĂ©s que la densitĂ© spectrale. đ est le nombre des valeurs singuliĂšres
correspond au nombre de points de mesure, dans notre cas ( đ = 7). La matrice đ se
compose de đ vecteurs colonnes orthogonales, les uns par rapport aux autres. La premiĂšre
colonne reprĂ©sente le vecteur propre du mode đ au niveau de frĂ©quence naturelle đđ (cas
de modes éloignés). Les fréquences naturelles sont à déterminer par inspection du maxima
de PSD. Puis, les vecteurs propres seront Ă©valuĂ©s Ă lâaide de la SVD du PSD au niveau de
ces fréquences.
En termes de rĂ©sultats, la figure 4.12 prĂ©sente la variation de đșđŠđŠ(đ) en fonction de la
fréquence. Les graphes (a, b et c) montrent six maximas (pics) au niveau des fréquences
propres déterminées précédemment. Concernant la premiÚre fréquence, elle est présentée
séparément dans le graphe (d), puisque son amplitude est relativement petite. Les courbes
sont relativement lisses. On a obtenu les mĂȘmes frĂ©quences naturelles que trouvĂ©es
précédemment (tableau 4.8).
Tableau 4-8 â Comparaison de frĂ©quences naturelles dĂ©terminĂ©es Ă partir de spectres de Fourrier
dâaccĂ©lĂ©ration (Yn) et de FDD (unitĂ©s : Hz)
Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Mode 6 Mode 7
Yn 91,6 511 885 1358,0 1934 2483 3059
FDD 87,7 511 885 1358,0 1934 2483 3059
Diff. 3,81 0 0 0 0 0 0
Chapitre 4
75
(a)
(b)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
100
200
300
400
500
600
Fréquence (Hz)
Gyy
Gy1y1
Gy2y2
Gy3y3
Gy4y4
Gy5y5
Gy6y6
Gy7y7
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Fréquence (Hz)
Gyy
Gy1y1
Gy2y2
Gy3y3
Gy4y4
Gy5y5
Gy6y6
Gy7y7
Chapitre 4
76
(c)
(d)
Figure 4-11 âPĂ©riodogramme modifiĂ© dĂ» aux impacts appliquĂ©s au : (a) section 2, (b) section 3 et
(c) section 4. (d) zoom de (c) entre 0 et 500 Hz
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
100
200
300
400
500
600
700
800
Fréquence (Hz)
Gyy
Gy1y1
Gy2y2
Gy3y3
Gy4y4
Gy5y5
Gy6y6
Gy7y7
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gyy
Fréquence (Hz)
Acc. 1
Acc. 2
Acc. 3
Acc. 4
Acc. 5
Acc. 6
Acc. 7
Chapitre 4
77
Figure 4-12 â Vecteurs propres obtenus par la mĂ©thode de FDD
La décomposition de la matrice spectrale (PSD) en valeurs singuliÚres permet également
de déterminer les vecteurs propres correspondants. Ces résultats sont absolument
conformes à ce que nous avons obtenu précédemment (figure 4.13). En outre, les vecteurs
propres devraient dâabord ĂȘtre linĂ©airement indĂ©pendants et vĂ©rifier les critĂšres
dâorthogonalitĂ© (pour constituer une base modale). Lâune des techniques dâĂ©valuation du
degrĂ© dâindĂ©pendance des modes est le critĂšre dâassurance modale (Modal Assurance
Criterion, MAC). Elle sâĂ©crit, pour deux vecteurs modaux đđ đđĄ đđ comme suit [32],
[149] :
đđŽđ¶đđ =|đđ
đ»đđ|2
(đđđ»đđ)(đđ
đ»đđ) (4.11)
La valeur de MAC varie entre zĂ©ro et lâunitĂ©. Une valeur nulle signifie que les deux
vecteurs sont linĂ©airement indĂ©pendants alors quâune valeur unitaire signifie que les deux
vecteurs sont parfaitement colinéaires [149], [150]. Une valeur intermédiaire entre zéro et
lâunitĂ© signifie que les vecteurs comparĂ©s dĂ©tiennent un certain degrĂ© de corrĂ©lation [149].
Lâapplication de ce critĂšre pour nos rĂ©sultats nous a donnĂ© les valeurs prĂ©sentĂ©es dans le
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.5
0
0.5
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.5
0
0.5
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.5
0
0.5
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.5
0
0.5
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.5
0
0.5
1
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Chapitre 4
78
tableau 4.9. On constate que les valeurs de MAC sont presque nĂ©gligeables devant lâunitĂ©
sauf le đđŽđ¶24 (đđŽđ¶24 = đđŽđ¶42 = 0.21). Par ailleurs, les vecteurs propres sont alors
indépendants.
Tableau 4-9 â Valeurs de MAC
Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Mode 6 Mode 7
Mode 1 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Mode 2 0,00 1 0,00 0,21 0,00 0,07 0,00
Mode 3 0,00 0,00 1 0,00 0,07 0,00 0,01
Mode 4 0,00 0,21 0,00 1 0,00 0,01 0,00
Mode 5 0,00 0,00 0,07 0,00 1 0,00 0,00
Mode 6 0,00 0,07 0,00 0,01 0,00 1 0,01
Mode 7 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 1
Les vecteurs propres calculés par la FDD sont complexes (modes complexes). Une
dĂ©formĂ©e complexe signifie quâil y a un certain dĂ©phasage entre les vibrations des
différents degrés de liberté [32]. Par contre, dans les structures civiles, les méthodes
dâanalyses modales par FDD devraient toujours fournir des dĂ©formĂ©es rĂ©elles [32]. La
complexité rencontrée dans les solutions de FDD est cependant attribuée à la proximité de
certains modes et aux erreurs expĂ©rimentales liĂ©es aux faibles niveaux dâĂ©nergie, ou encore
le non-respect des hypothÚses de la théorie engendrant certains niveaux de complexité dans
les dĂ©formĂ©es modales [32]. Ce niveau de complexitĂ© peut ĂȘtre Ă©valuĂ©e par la mĂ©thode de
diagramme dâArgand [151].La procĂ©dure consiste Ă dĂ©terminer lâaire de polygone formĂ©
par les points ayant pour coordonnées les parties réelle et imaginaire normalisées de
vecteur propre (déformée modale) (figure 4.14).
Figure 4-13 â Ăvaluation de niveau de complexitĂ© dâune dĂ©formĂ©e modale dâune poutre
simplement appuyée : (a) déformée réelle (b) déformée complexe [32]
Chapitre 4
79
LâexpĂ©rience montre quâun mode est bien dĂ©fini si son niveau de complexitĂ© est infĂ©rieur Ă
10%, correct sâil est situĂ© entre 10% et 20%, et potentiellement trĂšs erronĂ© sâil est supĂ©rieur
Ă 20% [32]. Le niveau de complexitĂ© de la dĂ©formĂ©e dâun mode expĂ©rimental peut ĂȘtre
utilisé comme indicateur de la précision du mode mesuré expérimentalement [32]. Dans
notre cas, les modes calculés sont bien définis puisque leurs niveaux de complexité sont
trĂšs faibles (Tableau 4.10).
Tableau 4-10 â Niveau de complexitĂ© des modes obtenus par la mĂ©thode de FDD
Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Mode 6 Mode 7
Test 1 0,52% 0,03% 0,19% 0,24% 1,80% 1,07% 0,21%
Test 2 0,40% 0,11% 0,18% 0,31% 1,79% 1,12% 0,15%
Test 3 0,02% 0,06% 0,20% 0,26% 1,89% 1,14% 0,21%
Ensuite, nous pouvons Ă©galement extraire les autres paramĂštres modaux tels que le taux
dâamortissement modal. Comme mentionnĂ©e plus haut, la premiĂšre colonne de la matrice
đ reprĂ©sente la dĂ©formĂ©e propre Ă la frĂ©quence đ. Câest Ă la base de ce vecteur que la
frĂ©quence naturelle estimĂ©e au dĂ©but de lâanalyse est recorrigĂ©e et que les taux
dâamortissent modal seront dĂ©terminĂ©s, par la suite [149]. En fait, la procĂ©dure dâextraction
est la suivante [32], [149].
- Pour une frĂ©quence naturelle, đđ, la premiĂšre valeur singuliĂšre associĂ©e Ă ce mode
est đ1(đđ) = đ(1,1) et sa dĂ©formĂ©e modale est estimĂ©e par le vecteur de premiĂšre
colonne de đ, notĂ© {đą1(đđ)}. Le spectre de Fourrier de đ1(đ) est reprĂ©sentĂ© dans le
graphe (a) de figure 4.14.
- Ensuite, ce spectre est balayĂ© de part et dâautre de la frĂ©quence đđ en vue de chercher
les autres valeurs singuliÚres qui définissent le mode étudié. On atteint cet objectif en
comparant le vecteur {đą1(đđ)} aux vecteurs {đą1(đ)} par le biais du critĂšre de MAC
(figure 4.14.b).
- Les frĂ©quences đïżœÌïżœ , pour lesquelles la valeur du MAC excĂšde une valeur minimum
spĂ©cifiĂ©e par lâutilisateur (gĂ©nĂ©ralement, on utilise une valeur de 0.8), sont retenues
(zone grise de graphe -b-)
- La cloche spectrale (figure 4.14.c) correspondant Ă lâensemble de ces valeurs
singuliĂšres (đ1(đđ) đđĄ đ1(đïżœÌïżœ)) est ensuite ramenĂ©e dans le domaine temporel via
la transformée inverse de Fourrier. Elle a pour nom, la pseudo-fonction de
Chapitre 4
80
corrĂ©lation, notĂ©e đŒđčđčđ[đ đąđ(đ1)] (figure 4.14.d). Cette derniĂšre permet de
rĂ©Ă©valuer la frĂ©quence naturelle identifiĂ©e au dĂ©part ainsi que dâestimer les taux
dâamortissement modaux correspondants. Ce dernier est comparĂ© avec ceux
obtenus par la mĂ©thode de lâacuitĂ© de rĂ©sonance (Ă lâusage de spectre de Fourrier en
accélération). Cette comparaison est reprise au paragraphe 4.3.6.
N.B : Lâexemple de 3e mode est utilisĂ© juste pour des fins dâillustration de dĂ©marches
dâextraction. Toutefois, les rĂ©sultats obtenus sont prĂ©sentĂ©s dans lâannexe 8.5.
Figure 4-14 â Extraction des propriĂ©tĂ©s modales par la mĂ©thode de FDD
4.3.6 Ăvaluation des taux dâamortissement modaux
Les taux dâamortissement modaux peuvent ĂȘtre dĂ©terminĂ©s de trois façons :
- à partir de la méthode de FDD (par le décrément logarithmique) ;
- Ă partir des fonctions dâapproximation de coordonnĂ©es gĂ©nĂ©ralisĂ©es, đ§(đĄ) (par
lissage) ;
- Par la mĂ©thode de lâacuitĂ© de rĂ©sonance Ă partir des spectres de Fourrier des
accĂ©lĂ©rations (đđ) ;
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-20
-10
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
1,(
no
rma
lisé
e)
Impact au niveau du noeud # 4
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
Fréquence (Hz)
MA
C[u
1(f
1),
u1(f
)]
MAC = 0.8
700 800 900 1000 1100 12000
500
1000
1500
2000
Fréquence (Hz)
su
b(
1),
(no
rma
lisé
e)
3e Mode, fréquence 869 Hz
0 0.5 1 1.5 2
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
IFF
T[s
ub
( 1)]
Chapitre 4
81
Dans cette derniĂšre, le taux dâamortissement modal peut ĂȘtre calculĂ© Ă partir de deux
valeurs des frĂ©quences pour lesquelles lâamplitude de dĂ©placement ïżœÌ ïżœđ est rĂ©duite Ă
(ïżœÌ ïżœđ)đđđ„/â2 [115],
đ(%) =đ2 â đ1
2đ0 (4.12)
OĂč đ0 est la frĂ©quence propre du mode considĂ©rĂ©, đ1 đđĄ đ2, les frĂ©quences associĂ©es Ă
lâamplitude rĂ©duite (ïżœÌ ïżœđ)đđđ„/â2. Il est Ă©galement rapportĂ© que cette estimation est encore
valable pour le cas dâune accĂ©lĂ©ration (pour des systĂšmes Ă faible amortissement) [115].
La figure 4.15 prĂ©sente les valeurs de đ(%) dĂ©terminĂ©es par ces trois mĂ©thodes. En effet,
lâestimation du taux dâamortissement Ă partir des spectres de Fourrier dâaccĂ©lĂ©ration et de
déplacement donne des résultats similaires. Les amortissements calculés par la FDD sont
nĂ©anmoins un peu plus petits par rapport Ă ces derniers, lâĂ©cart est de 20%. Dâune façon
générale, les deux premiÚres méthodes donnent une bonne évaluation du paramÚtre
dâamortissement.
Figure 4-15 â Taux dâamortissement modaux de quatre premiers modes
Chapitre 4
82
4.4 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté les premiers résultats expérimentaux de ce projet de
recherche. En effet, nous avons déterminé les propriétés modales des poutres réalisés. Les
frĂ©quences naturelles sont, presque dans le mĂȘme intervalle pour les 3 spĂ©cimens testĂ©s.
Ăgalement, les modes propres identifiĂ©s sont semblables puisque les poutres sont
constituĂ©es de mĂȘmes mĂ©langes. La mĂ©thode de dĂ©composition FDD est ainsi employĂ©e
pour vérifier ces propriétés. Elle est généralement appliquée aux problÚmes de vibrations
ambiantes.
Le mouvement étant constaté majoritairement dominé par les quatre premiers modes. Le
reste des modes participent dâune faible amplitude. Ainsi, les amortissements visqueux
modaux sont Ă©valuĂ©s par trois mĂ©thodes qui ont abouti au mĂȘme rĂ©sultat.
Les modes retenus sont de flexion simple. Cela correspond en analogie en quelque sort
avec les modes propres dâun pont Ă poutres. Les cinq premiers modes sont Ă©tudiĂ©s au
chapitre suivant pour voir leurs effets sur les ondes ultrasonores.
Chapitre 5 Effet des modes propres
excités sur la propagation
des ondes ultrasonores
5.1 Introduction
Dans ce chapitre, on Ă©tudie la relation des modes propres des poutres avec la propagation
des ondes de surface dans le béton. La question traitée dans ce contexte est de savoir si les
mesures de saut temporel (ST) ultrasonore dépendent de tels modes excités. Si oui, de
quelle façon et Ă quel niveau dâimpact ?
En effet, les modes propres des poutres déterminés au chapitre 4 sont étudiés ici. On
travaille sur des bĂ©tons non endommagĂ©s afin de comprendre sâil y a un effet sur les
mesures rĂ©alisĂ©es par la mĂ©thode de ST mĂȘme si lâĂ©chantillon est intact.
Avant la mise en exergue des tests acoustiques, il y a lieu de vérifier ces modes et les
frĂ©quences naturelles associĂ©es, puisque lâattache du pot vibrant peut altĂ©rer la frĂ©quence
propre du spĂ©cimen Ă©tudiĂ© [147]. La vĂ©rification des modes propres peut ĂȘtre rĂ©alisĂ©e de
deux maniĂšres : soit par la technique dâexcitation par impact ou soit par un balayage des
frĂ©quences Ă lâaide du pot lui-mĂȘme. Le montage expĂ©rimental et les paramĂštres de mesure
appliqués dans cette étude sont expliqués dans la section suivante.
5.2 Montage et paramÚtres de réglage
Le dispositif de mesure adopté dans cette expérimentation est composé de deux parties :
1- Dispositif de mesure de réponses dynamiques : on a utilisé un pot vibrant, un marteau
dâimpact, un gĂ©nĂ©rateur, un amplificateur et sept accĂ©lĂ©romĂštres. Lâensemble est reliĂ©
Ă un ordinateur muni dâune carte dâacquisition. Le mode de fonctionnement de cet
appareillage est expliqué au chapitre précédent (§ 4.3.1). Ce dispositif sert à (i)
identifier les propriĂ©tĂ©s modales des spĂ©cimens, (ii) Ă fournir lâexcitation requise et
(iii) à mesurer la réponse dynamique résultante.
2- Dispositif de gĂ©nĂ©ration des ondes acoustiques : un gĂ©nĂ©rateur dâimpulsion et de deux
transducteurs piézoélectriques (émetteur /récepteur), de fréquence centrale de 250 kHz
Chapitre 5
84
sont utilisés pour générer les ondes ultrasonores dans le béton. Le paragraphe 2.3.3
explique le principe de la technique de ST ainsi que la configuration requise.
La configuration de ce dispositif est présentée dans la figure 5.1-a. Les accéléromÚtres sont
placés en dessous de la poutre, sauf celui du milieu (#4) qui est collé au-dessus, puisque le
pot est attaché en dessous pour exciter les modes impaires (modes 1, 3 et 5) (figure 5.2-a).
Toutefois, lâespacement des accĂ©lĂ©romĂštres est identique, soit de 25 cm. La tĂȘte du pot est
munie dâune barre horizontale permettant un bon contact avec la poutre et une rĂ©partition
uniforme de la force vibratoire gĂ©nĂ©rĂ©e. On se veille Ă ce que la tĂȘte du pot ne soit pas trop
comprimée ni tirée pour de ne pas créer une force supplémentaire (offset) dans le
mouvement vibratoire de poutre, étant donné que cet offset peut créer un décalage temporel
initial [33], [104]. Concernant les conditions dâappui, on garde les mĂȘmes dispositions que
celles prises au début de ce projet (§ 4.3.1) : les poutres sont maintenues sur des appuis
simples et trĂšs rigides dans la direction verticale.
Il est intĂ©ressant de noter que lâacquisition des deux mesures (rĂ©ponses dynamiques et
ondes acoustiques) est synchronisée. On utilise souvent un appareil de déclenchement
instantanĂ© qui sert Ă lancer lâenregistrement de deux paquets simultanĂ©ment (photo 5.1-f).
On gÚre ainsi cette acquisition par des interfaces de contrÎle développées dans le langage
LabVIEW par lâĂ©quipe du GRAI.
Pour la premiÚre partie de ce montage, le pot est utilisé pour produire les vibrations
dynamiques dans la poutre et est placé selon le mode étudié (figure 5.2-a, b). Concernant la
chaine de gĂ©nĂ©ration des ondes dynamiques, elle est composĂ©e dâun gĂ©nĂ©rateur (photo 5.1-
d), dâun amplificateur analogique et du pot vibrant. Les vibrations induites sont des ondes
harmoniques monochromatiques de fréquence égale à plus ou moins la fréquence naturelle
du mode propre investigué, si bien que la réponse est ramenée à un régime de résonance (§
3.4.4). Son amplitude dépend de la capacité de composantes matérielles utilisées. En effet,
le modÚle du pot est de type MB Dynamic, SS250 VCF qui possÚde une capacité de 200 N
(50 lb) et une cadence maximale de 25 mm et pouvant produire des excitations jusquâĂ 5
kHz (1). Lâamplificateur est de type MB500VI avec une capacitĂ© maximale RMS (Root
Mean Square) de +/- 10 V. Donc, lâamplitude Peak-to-peak de lâonde Ă la sortie du
gĂ©nĂ©rateur ne devrait pas dĂ©passer la limite matĂ©rielle de lâamplificateur ni celle du pot
vibrant.
1 Selon le manuel dâutilisation fourni.
Chapitre 5
85
(a)
(b) Générateur des pulses ultrasonores (c) Oscilloscope analogique
(d) Générateur des ondes dynamiques (e) Amplificateur (f) Synchroniseur
Figure 5-1 â (a) Montage expĂ©rimental, (b-f) Appareillage utilisĂ©
Chapitre 5
86
(a)
(b)
Figure 5-2 â Position du pot vibrant aux modes (a) 1, 3 et 5 et (b) aux modes 2 et 4
Pour cela, une amplitude de đŽđđâđđ = 2 đ est le maximum Ă pouvoir gĂ©nĂ©rer, dans ce cas.
Cette limite est jugée suffisante pour produire les perturbations nécessaires (préalablement
vĂ©rifiĂ©e). Rappelons que la relation dâĂ©quivalence entre lâamplitude Peak-to-peak et celle
du RMS sâĂ©crit,
đŽđđâđđ = 2â2 đ đđ (5.1)
Cela permet de choisir aussi dâautres amplitudes dâexcitation, soit đŽđđâđđ =
1.10, 1.50 đđĄ 2 đ. Un oscilloscope (figure 5.1-c) est ainsi attachĂ© au dispositif pour servir
au contrĂŽle de ces paramĂštres.
Pour des fins de prĂ©sentation, on a dĂ©fini un facteur dâamplification (FA) comme Ă©tant le
ratio des amplitudes par rapport Ă lâamplitude maximale gĂ©nĂ©rĂ©e, soit,
đčđŽ (%) =đŽđđâđđ
(đŽđđâđđ)đđđ„
Ă 100 (5.2)
Ce ratio aide aussi à vérifier la proportionnalité entre les amplitudes spécifiées au
gĂ©nĂ©rateur dâune part et celles mesurĂ©es par lâoscilloscope ou enregistrĂ©es par la carte
dâacquisition, dâautre part. Cette proportionnalitĂ© est respectĂ©e dans les trois sources
(tableau 5.1).
Chapitre 5
87
Tableau 5-1 â Facteurs dâamplification
Entrées au générateur Mesurées par oscilloscope Obtenues par acquisition
1,100 55% 5,37 57% 0,0150 56%
1,500 75% 7,19 76% 0,0203 76%
2,000 100% 9,44 100% 0,0268 100%
Concernant la voie dâacquisition, les rĂ©ponses dynamiques (accĂ©lĂ©rations) sont aussi
amplifiĂ©es avant quâelles soient acheminĂ©es Ă la carte dâacquisition (capacitĂ© +/- 5V). Un
amplificateur à gains (X1, X10 et X100) est ainsi utilisé (photo 5.1-e). La fréquence
dâĂ©chantillonnage pour ces signaux est de 500 kHz.
En ce qui concerne la seconde partie du montage (dispositif du test acoustique), les
transducteurs sont placĂ©s au dos de la poutre, sĂ©parĂ©s dâune distance PCS1 (Probe Center
Space) de 61 cm et sont inclinĂ©s de 66Ë par rapport Ă la normale (figure 5.3). Le gĂ©nĂ©rateur
dâimpulsions (photo 5.1-b) gĂ©nĂšre une rafale dâondes Ă haute frĂ©quence dont chaque envoi
comporte quatre pulses successifs (figure 5.4). La fréquence de récurrence des pulses est
de 2 kHz, si bien quâils se rĂ©pĂštent chaque 500 ”s. On a aussi choisi une frĂ©quence
dâĂ©chantillonnage relativement Ă©levĂ©e (đđ = 60 đđ»đ§) afin de pouvoir dĂ©tecter les ST
(dâordre de grandeur en microseconde) [11], [12], [28]. Il faut veiller Ă assurer un bon
contact entre les capteurs et le béton, un bon couplant peut servir (vaseline ou miel par
exemple).
Figure 5-3 â Disposition des capteurs ultrasonores
1 PCS est la distance entre chacun des points dâimpact du faisceau sur la piĂšce
(http://www.extende.com/fr/ut-tofd-generalites)
Chapitre 5
88
Figure 5-4 â Signal typique dâun paquet dâondes Ă©mis Ă une frĂ©quence centrale de 250 kHz et dâune
fréquence de récurrence de 2 kHz
On enregistre les signaux reçus avant et aprÚs la mise en excitation, séparément. En effet,
16 signaux sont acquis avant lâexcitation, alors que 512 le sont aprĂšs. Les signaux reçus
avant lâexcitation permettent de reprĂ©senter un signal moyen du passage des ondes (signal
de référence) tandis que les signaux reçus aprÚs apportent les informations recherchées
(ST). Puisque lâexcitation est harmonique, on recevra donc ces informations dans
différentes situations (dilatation/compression) de la zone sondée (figure 5.3, zone en
couleur grise).
Par ailleurs, on a constaté durant les essais préliminaires que la réponse dynamique de
poutres ne sâidĂ©alise sous forme sinusoĂŻdale (rĂ©gime permanent) quâaprĂšs un certain
nombre de cycles, allant jusquâĂ 30 ms prĂšs (§ 3.4.4). Ă cet effet, on a choisi un dĂ©lai de 35
ms entre le dĂ©but du mouvement et lâacquisition, pour commencer lâenregistrement des
512 signaux (aprĂšs excitation).
Le mode opératoire ci-dessous résume briÚvement le protocole de cet essai.
- PremiĂšrement, on monte le dispositif selon la description plus haut ;
- Ensuite, on vĂ©rifie les propriĂ©tĂ©s modales du spĂ©cimen par un test dâimpact (avant
sonder le milieu) ;
- On vĂ©rifie Ă©galement la charge limite et la dĂ©formation admissible dâune façon
expĂ©rimentale, puisquâon va travailler proche de la rĂ©sonance ;
- On traite ensuite ces données préliminaires pour vérifier le fonctionnement global du
systĂšme ;
AprÚs vérification, on lance les tests.
0 500 1000 1500 2000 2500
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
Temps d'acquisition (s)
Chapitre 5
89
- On envoie les ondes ultrasonores depuis le gĂ©nĂ©rateur. Le systĂšme dâacquisition est
maintenant Ă lâĂ©coute des signaux transmis.
- On spĂ©cifie la valeur de lâamplitude dâexcitation au gĂ©nĂ©rateur puis on lance le
systĂšme de vibration. Le pot vibrant traduit ces signaux en mouvement oscillatoire.
AussitÎt que ce mouvement est détecté par les accéléromÚtres, le déclencheur donnera
le signal aux cartes dâacquisition. Les signaux acoustiques seront enregistrĂ©s dĂšs que
le mouvement dynamique sâidĂ©alise sous forme dâonde harmonique1 (un dĂ©lai de 35
ms en est prévu).
- On rĂ©pĂšte lâessai au moins trois fois pour sâassurer de la qualitĂ© des donnĂ©es acquises.
- On applique la mĂȘme procĂ©dure pour diffĂ©rents niveaux dâamplification et aux autres
modes.
La procédure de traitement suivie dans cette étude est expliquée dans ce qui suit.
5.3 Procédure de traitement
En premier lieu, on regarde les données des accéléromÚtres. Un signal parfaitement continu
signifie que lâĂ©nergie dâexcitation est bien transmise au spĂ©cimen Ă©tudiĂ©. En autres termes,
il nâa y pas un dĂ©tachement ou dĂ©collement entre la tĂȘte du pot et la poutre pendant lâessai.
Ainsi, la vérification de la proportionnalité des amplitudes émises et reçues permet de
conclure de lâĂ©tat de contact (Ă lâaide du facteur FA). Pour vĂ©rifier Ă©galement si bien que la
fréquence spécifiée au vibreur est respectée, on peut avoir recours aux analyses de
Fourrier. Par ces deux aspects, lâĂ©tat de contact poutre-pot est donc dĂ©duit.
En second lieu, on sâintĂ©resse aux donnĂ©es acoustiques. Le ST est dĂ©fini comme le
dĂ©calage temporel dans le temps dâarrivĂ©e des ondes ultrasonores par rapport Ă un signal de
référence. Contrairement aux ondes dynamiques, elle se propageant aux hautes fréquences
et Ă faible amplitude.
En faisant rĂ©fĂ©rence aux travaux de recherche du GRAI [10]â[12], [14], [28], lâanalyse de
ces données se fait selon deux approches. La premiÚre consiste à subdiviser le signal
dâonde en plusieurs fenĂȘtres de longueur temporelle Ă©gale (figure 5.5.a). La seconde
consiste Ă Ă©valuer le ST en faisant un balayage du signal par une fenĂȘtre mobile (figure
5.5.b). Puis, on dĂ©termine le ST dans chaque fenĂȘtre Ă lâaide de la fonction de corrĂ©lation
1 Disparition du régime transitoire.
Chapitre 5
90
donnĂ©e par lâĂ©quation (2.8). Le nombre et la longueur de fenĂȘtre dĂ©pendent de certains
paramÚtres expliqués plus bas.
(a)
(b)
Figure 5-5 â MĂ©thodes de calcul de saut temporel (a) MĂ©thode de subdivision (b) MĂ©thode de
fenĂȘtre mobile (tirĂ©es de [13])
Figure 5-6 â ProcĂ©dure de fenĂȘtrage de signal dâintĂ©rĂȘt
260 280 300 320 340 360 380 400 420
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Temps (s)
Am
plit
ude
FA = 100%
FenĂȘtre 1 FenĂȘtre 2 FenĂȘtre 3 FenĂȘtre 4
Chapitre 5
91
Puisquâon Ă©tudie lâeffet des modes propres sur les ondes de surface, on sâintĂ©resse Ă la
partie du signal qui contient de lâonde directe (pulse) et une partie des ondes de coda. Pour
cela, on a considĂ©rĂ© lâintervalle 290 Ă 410 ”s pour calculer le saut (figure 5.6), le temps de
vol mesurĂ© est de đĄ0 = 288 ”s. Cet intervalle est subdivisĂ© en quatre fenĂȘtres ayant une
longueur identique. Ainsi, la longueur dâune fenĂȘtre (đđ€) est prise cinq fois plus grande
que la frĂ©quence de lâonde sondeuse (đđ = 250 đđ»đ§) [33], soit đđ€ = 30đđ †5/đđ . En fait,
cette durée correspond exactement à la période du maxima du pulse dans laquelle on
voulait examiner si les modes propres ont une influence (figure 5.5).
Vu et al. [34] et Renaud et al. [152] ont prĂ©conisĂ© que le temps de propagation (đĄ0) soit
moins dâun dixiĂšme de la pĂ©riode naturelle du mode Ă©tudiĂ© (đđ). Ces constantes sont prises
en considération dans ce traitement (figures 5.7). Les figures 5.7 montrent également le
nombre des pulses auquel est soumise une particule du béton pendant sa période de
vibration. Le nombre des pulses diminue évidemment avec la réduction de la période
modale. On distingue aussi les pulses qui se propagent dans la peau du béton pendant les
phases de dilatation et de compression, dues aux ondes Ă basses frĂ©quences (dâexcitation).
En général, une phase de dilatation est caractérisée par une ouverture de fissures alors que
la phase de compression lâest par leur fermeture. Pour cela, on aura deux types de saut,
positif et nĂ©gatif. Un saut temporel positif signifie que lâonde ultrasonore perturbĂ©e arrive
aprĂšs lâonde de rĂ©fĂ©rence, Ă©tant donnĂ© que lâouverture de fissures allonge la trajectoire des
ondes ultrasonores [11]. Par contre, lorsque le béton est en phase de compression, les
fissures ont tendance Ă se refermer, et lâonde ultrasonore est relativement accĂ©lĂ©rĂ©e,
puisque son parcours est raccourci. Ce décalage temporel indique ainsi que le
comportement du matériau est non-linéaire. Cette non-linéarité dans la réponse est étudiée
au moyen des valeurs de décalage temporel (ST) selon le signe et la valeur maximale
atteinte, mais on sâintĂ©resse beaucoup plus Ă la grandeur des valeurs absolues mesurĂ©es.
Les analyses suivantes illustrent ces résultats.
Chapitre 5
92
(a) (b)
(c) (d)
(e)
Figure 5-7 â ReprĂ©sentation graphique de propagation des ondes ultrasonores par rapport aux
périodes naturelles des modes étudiés : (a) 1e mode, (b) 2e mode, (c) 3e mode, (d) 4e mode et (e) 5e
mode
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps d'acquisition (ms)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
1e mode (t0/T
m = 0.03)
Signal acoustique
PĂ©riode naturelle
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps d'acquisition (ms)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
2e mode (t0/T
m = 0.15)
Signal acoustique
PĂ©riode naturelle
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps d'acquisition (ms)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
3e mode (t0/T
m = 0.25)
Signal acoustique
PĂ©riode naturelle
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps d'acquisition (ms)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
4e mode (t0/T
m = 0.39)
Signal acoustique
PĂ©riode naturelle
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps d'acquisition (ms)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
5e mode (t0/T
m = 0.88)
Signal acoustique
PĂ©riode naturelle
Chapitre 5
93
5.4 Analyse des résultats
Nous avons abordĂ© lâanalyse des donnĂ©es selon les mĂ©thodes de traitement expliquĂ©es plus
haut. La comparaison de deux résultats est présentée à la fin de ce paragraphe.
Le dĂ©calage temporel est souvent exprimĂ© en rapport avec le temps de parcours (âđĄ/đĄ0).
Dans chaque niveau dâexcitation, on dĂ©termine les valeurs maximales et minimales de ce
dĂ©calage pour chacune des fenĂȘtres. Ainsi, on dessine aussi les limites de fluctuation1,
notĂ©es ±đđĄ/đĄ0, pour distinguer les valeurs de saut temporel.
5.4.1 Résultats obtenus par la 1re méthode
La figure 5.8 montre les sauts détectés dans les signaux perturbés par les vibrations des
diffĂ©rents modes. On remarque que le dĂ©calage obtenu nâest que la fluctuation (đđĄ/đĄ0 =
±0.06 Ă 10â3) dans presque tous les signaux, mĂȘme en augmentant lâamplitude de
vibrations. ParticuliÚrement, on a un saut lorsque le premier mode est suffisamment excité,
soit par une amplitude maximale de đŽđđâđđ = 2đ (FA =100%).
5.4.2 Résultats obtenus par la 2e méthode
En faisant un balayage du signal par une fenĂȘtre mobile, on arrive Ă dĂ©tecter des ST dans
les diffĂ©rentes parties de lâonde (figure 5.9). En effet, une fenĂȘtre de 30 ”s se glisse dâun
pas de 1 ”s pour balayer tout lâintervalle dâintĂ©rĂȘt. On constate que :
- Le balayage permet de détecter des ST entre les signaux ;
- Le rapport (âđĄ/đĄ0) augmente avec le facteur dâamplification (FA) ;
- Les décalages au niveau des maxima sont négligeables (fluctuations), étant donné
que le ST est plus remarquable dans les ondes de coda [12]. Cependant, lâexcitation
du premier mode par un maximum dâĂ©nergie (FA = 100%) engendre un petit
dĂ©calage au niveau du pulse (fenĂȘtre 2). Cela est Ă©galement constatĂ© dans les
résultats de la méthode précédente ;
- Par ailleurs, les sauts (âđĄ/đĄ0) sont relativement importants dans les modes 1, 3 et 4.
On conclut que les ST sont produits dans différentes parties de signal, notamment aux
ondes de coda. Ces derniĂšres sont le sujet des perturbations dynamiques. Les ondes de
surface ne sont généralement pas affectées par ce mouvement, sauf si le mode fondamental
(1re frĂ©quence) est suffisamment excitĂ©. Concernant la dĂ©formation, on nâa pas mis des
1 Présentées par des lignes discontinues aux figure 5.8 et 5.9.
Chapitre 5
94
jauges Ă©lectriques pour en mesurer, mais on peut estimer son amplitude grĂące Ă
lâapproximation du champ de dĂ©placement dans la poutre par une fonction sinusoĂŻdale (§
4.3.3). Cette approche est expliquĂ©e dans lâannexe § 8.3. Les rĂ©sultats obtenus sont
présentés dans le paragraphe suivant.
Mode 1 Mode 2
FA
= 5
7%
FA
= 7
6%
FA
= 1
00
%
(a)
Chapitre 5
96
Mode 5
FA
= 5
7%
FA
= 7
6%
FA
= 1
00
%
(c)
Figure 5-8 â RĂ©sultats de sauts temporels dĂ©terminĂ©s par la 1re mĂ©thode de traitement (a) modes 1
et 2 (b) modes 3 et 4 (c) mode 5.
Chapitre 5
99
Mode 5
FA
= 5
7%
FA
= 7
6%
FA
= 1
00
%
(c)
Figure 5-9 â RĂ©sultats de sauts temporels dĂ©terminĂ©s par la 2e mĂ©thode de traitement (a) modes 1 et
2 (b) modes 3 et 4 (c) mode 5.
Chapitre 5
100
5.4.3 Calcul de déformations
La déformation généralisée dans un élément poutre est la déformation longitudinale
(axiale). Cette déformation est en rapport avec la courbure de la poutre (dérivée seconde de
dĂ©placement) (Ăq. 8.19). Le calcul de son amplitude repose sur lâobtention dâune bonne
approximation de la fonction analytique reprĂ©sentant la variation de lâamplitude de
déplacement dans la poutre. Tel que démontré au chapitre 3, la fonction sinusoïdale est la
solution de lâĂ©quation du mouvement dâune poutre de type Euler-Bernoulli. Elle sâapplique
ici pour exprimer lâamplitude du dĂ©placement de la poutre en tout point. La mĂ©thodologie
de cette approximation est décrite dans la section § 4.3.3.
Dans le cas prĂ©sent, on sâintĂ©resse Ă la distribution de champ de dĂ©formation dans la zone
de passage des ondes ultrasonores. Les déformations sont calculées dans cette zone et
principalement dans la surface du béton supérieur (§ 8.3 Annexe A.3). Compte tenu de la
pĂ©riodicitĂ© des dĂ©rivĂ©es des fonctions trigonomĂ©triques, lâallure de rĂ©partition de
dĂ©formation longitudinale Δxx(x, y) par rapport Ă lâaxe de la poutre est identique Ă la forme
modale du mode considĂ©rĂ© puisquâelle est sa dĂ©rivĂ©e seconde (Ăq. 8.19). Ă cet effet, on
examine lâallure modale spĂ©cifiquement dans cette zone dâĂ©tude.
La comparaison du champ de déformation obtenu dans les différents modes est abordée en
deux volets : soit de lâamplitude maximale enregistrĂ©e, dâune part et de la forme de la
dĂ©formĂ©e associĂ©e, dâautre part.
Concernant la forme de dĂ©formation, on constate quâelle est diffĂ©rente dans lâensemble des
modes investigués. Les figures 5.10 montrent la distribution du champ de déformation dans
les cinq modes Ă©tudiĂ©s. On retient seulement les cas oĂč lâerreur de lâapproximation est
minimale1. Les capteurs sont présentés sous forme de rectangles (jaune) pour des fins de
démonstration.
La comparaison de ces dĂ©formĂ©es nous a permis dâĂ©crire les principaux points de
différence suivants :
- la déformée de la poutre dans les modes impaires (1, 3 et 5) est symétrique, alors
quâelle est antisymĂ©trique dans les modes paires (2 et 4). En outre, toute la zone de
propagation entre Ă©metteur-rĂ©cepteur se dĂ©forme en mĂȘme phase,
1 Les graphes oĂč lâerreur est non-nĂ©gligeable sont omis afin de ne pas biaiser le calcul de dĂ©formations qui
suit.
Chapitre 5
101
dilatation/compression. Par contre, la vibration de modes 2 et 4 y est déphasée ; la
moitiĂ© de cette zone se trouve en dilatation alors que lâautre en compression.
- Dans les modes 2 et 4, les ondes ultrasonores traversent ainsi la section #4
(mĂ©diane) qui en reprĂ©sente un nĆud (dĂ©formation nulle), soit Δxx(x = L/2, y) = 0.
Ăgalement, les ondes ultrasonores vont rencontrer deux nĆuds pendant leur voyage
au mode de vibration #5.
- La déformation maximale est au milieu de la poutre (section médiane) dans les
modes impaires 1 et 3, alors quâelle est maximale au niveau des capteurs
ultrasonores dans les modes paires (2 et 4).
Donc, la façon de dĂ©formation de la zone de propagation des ondes ultrasonores nâest plus
identique dans ces modes.
Regardons maintenant les amplitudes de déformations maximales calculées dans chaque
mode (figure 5.11). On voit que les modes 1, 3 et 4 viennent en premiĂšre place. Ce sont
ceux qui ont induit une déformation maximale dans la surface du béton (surface de
propagation des ondes de Rayleigh). Les déformations maximales obtenues dans ces
modes sont presque de mĂȘme grandeur [6.5 Ă 7.5 x 10-6]. Cependant, il y quelques points
de diffĂ©rence principale entre ces trois modes quâon peut noter :
- La fréquence de vibration : la période de vibration des particules du béton dans
ces trois modes nâest pas identique. Dans le premier mode, la pĂ©riode de vibration
est plus grande que les deux autres modes (3 et 4). En autre mot, une particule du
béton vibre dix fois plus dans le 3e mode que dans le 1e mode, et ce, pour une
amplitude de déformation pratiquement égale. Pour le 4e mode, les particules font
alors plus de 14 cycles de vibration pendant un cycle de vibration dans le 1e mode,
et pour une mĂȘme ampleur de dĂ©formation.
- La forme modale : le troisiĂšme mode dĂ©tient deux nĆuds dans son allure propre,
alors que le 4e détient trois. Les modes 1 et 3 sont symétriques tandis que le 4e est
antisymétrique.
- Lâamplitude de rĂ©ponse en accĂ©lĂ©ration : on remarque que les amplitudes dans le
spectre de rĂ©ponse de Fourrier en accĂ©lĂ©ration dâun impact quelconque menĂ© dans
un point donné de la zone sollicitée ne sont pas identiques (figure 4.6). Le pic de 3e
mode y Ă©tant le plus prononcĂ©. Toutefois, les trois modes participent ensemble Ă
cette réponse.
Chapitre 5
102
Ces remarques aident plus tard Ă lâinterprĂ©tation des rĂ©sultats obtenus sur les mesures
acoustiques, discutés aux prochaines démarches.
On remarque aussi que lâexcitation de diffĂ©rents modes par une mĂȘme amplitude
dâexcitation ne produit pas la mĂȘme dĂ©formation. Cela nous conduit Ă souligner quâil y a
des modes plus sensibles par rapport dâautres (en termes de dĂ©formabilitĂ©). Donc, il est
important de connaĂźtre ces modes.
Ainsi, les dĂ©formations calculĂ©es dans cette zone de vibration sont proportionnelles Ă
lâamplitude dâexcitation appliquĂ©e. Elles augmentent avec lâampleur de chargement dâune
façon monotone. ParticuliÚrement au premier mode, les déformations obtenues avec
FA=57% et FA=76% sont presque pareilles. Cela est dĂ» peut-ĂȘtre par une erreur pendant le
calcul de lâamplitude de dĂ©placement ou de lâaccĂ©lĂ©ration lors de la transformation au
domaine de Fourrier. Dans lâensemble, lâamplitude de dĂ©formation dans la poutre est de
lâordre 10-6. Cette valeur est relativement petite, mais elle est acceptable pour donner des
ST dans le signal ultrasonore (production de la non-linéarité dans le béton). On va voir
dans la deuxiĂšme partie de cette Ă©tude quâon peut aller jusquâĂ une amplitude de 10-5 (§
5.5).
Il est intéressant de noter que les capteurs ultrasonores sont placés au-dessus de deux
nĆuds du 3e mode. Cela favorise peut-ĂȘtre lâobtention des valeurs particuliĂšres de ST dans
ce mode. La discussion de la relation de ST avec les déformations est rapportée au
paragraphe suivant.
Chapitre 5
103
Figure 5-10 Distribution du champ de déformation dans les cinq modes étudiés (les rectangles en
jaune indiquent la position des capteurs dans cet essai).
Figure 5-11 â Amplitude maximale de dĂ©formation longitudinale de la zone de propagation
pendant la vibration des modes 1, 2 3, 4 et 5.
0.5 1 1.5
-5
0
5
xx m
ax [
x10
-6]
Position (m)
1e mode
0.5 1 1.5
-2
0
2
xx m
ax [
x10
-6]
Position (m)
2e mode
0.5 1 1.5
-5
0
5
xx m
ax [
x10
-6]
Position (m)
3e mode
0.5 1 1.5
-5
0
5
xx m
ax [
x10
-6]
Position (m)
4e mode
0.5 1 1.5
-0.5
0
0.5
xx m
ax [
x10
-6]
Position (m)
5e mode
1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
8
Modes
xx m
ax [
x10
-6]
FA=57%
FA=76%
FA=100%
Chapitre 5
104
5.4.4 Comparaison des résultats
En premier lieu, on compare les valeurs de ST obtenues par les deux méthodes de
traitement dans tout le signal ultrasonore. Ensuite, on étudie en détail ces valeurs (ST) par
rapport au mode et Ă lâamplitude et selon le type dâonde (les diffĂ©rentes fenĂȘtres de
subdivision). En effet, comparativement à la 1re méthode, les ST obtenus par la seconde
mĂ©thode sont importants. La figure 5.12 reprĂ©sente lâhistogramme des valeurs maximales
des sauts obtenues. Dans cette figure, on a comparé les valeurs maximales et minimales du
ST obtenus par lâexcitation des cinq modes. Cela permet de conclure que la mĂ©thode de
traitement par fenĂȘtre mobile offre plus de sensibilitĂ© par rapport Ă la mĂ©thode de
subdivision. Dâailleurs, les publications rĂ©centes lâont prĂ©conisĂ© [33], [34]. Dâune façon
générale, le décalage temporel varie de -0.35x10-3 à 0.28x10-3. Ces valeurs sont trÚs petites,
si bien que les tests sont réalisés sur des poutres non endommagées.
(a) (b)
(c) (d)
Figure 5-12 - Histogramme des valeurs maximales et minimales des ST obtenues par (a & c) la 1re
méthode et (b & d) la 2e méthode (en haut, les valeurs maximales, et en bas, les valeurs minimales)
En second lieu, la figure 5.13 montre la marge de variation des ST selon le mode et le taux
dâexcitation exercĂ©e (aire en bleu). En effet, une valeur nulle signifie quâil nây a aucune
perturbation engendrĂ©e, câest plutĂŽt lâonde de rĂ©fĂ©rence (axe Ox oĂč âđĄ/đĄ0 = 0). Une valeur
positive représente un ST maximal obtenu dans tout le signal excité, résultant du retard en
temps dâarrivĂ© par rapport Ă la rĂ©fĂ©rence. De la mĂȘme façon, une valeur nĂ©gative est la
rĂ©sultante de la diminution de temps de parcours (onde arrivĂ©e avant lâonde de rĂ©fĂ©rence).
Par ce concept, on peut considérer les valeurs maximales (absolues) dans les deux cas
Chapitre 5
105
comme Ă©tant des indicateurs sur le maximum et de minium du volume des vides
ouvert/fermĂ© par lâonde mĂ©canique. La mesure de lâaire de variation de ces valeurs peut
donner une information sur ce volume. Pour cela, on définit les deux paramÚtres suivants :
1. La longueur đżâđĄ comme Ă©tant la distance de variation des ST entre ses valeurs
extrĂȘmes :
đżâđĄ = (âđĄ
đĄ0)đđđ„
â (âđĄ
đĄ0)
đđđ
(5.3)
2. Lâaire de variation de sauts par
đŽđđđ = âđżâđĄ
(đ) + đżâđĄ(đ+1)
2
5
đ=1
(5.4)
Dâune façon gĂ©nĂ©rale, on remarque que les ST de la premiĂšre technique de traitement sont
relativement moins importants (figure 5.13-a). Toutefois, lâaire (en couleur bleue)
augmente avec lâaugmentation du niveau dâĂ©nergie Ă©mise. La variation des ST par rapport
aux modes Ă©tant faible, dâailleurs. Ce sont plutĂŽt des fluctuations associĂ©es Ă
lâĂ©chantillonnage des mesures.
Concernant les rĂ©sultats de la 2e mĂ©thode (de traitement), on regarde que la distance đżâđĄ
varie aussi selon le mode et lâamplitude dâexcitation (figure 5.13-b). Lâexcitation des
diffĂ©rents modes par un mĂȘme niveau dâĂ©nergie ne produit pas les mĂȘmes valeurs du ST.
En effet, pour un facteur FA= 57%, on constate que la longueur đżâđĄ est relativement plus
Ă©levĂ©e dans le 3e mode. Câest aussi le mĂȘme constat en amenant lâamplitude de sollicitation
à un niveau plus élevé (FA = 76%). Donc, les valeurs de ST dépendent du mode propre
excitĂ©, et par consĂ©quent, ils rĂ©gissent aussi les dĂ©formations locales liĂ©es Ă lâouverture et
la fermeture de telles fissures. Cela permet de répondre à la premiÚre question évoquée
dans ce projet. On a constaté que les modes peuvent influencer de maniÚre significative les
valeurs de ST, pour un mĂȘme Ă©chantillon et de mĂȘme Ă©nergie de perturbation. Aussi,
lâamplitude de chargement peut augmenter la distance de variation.
Aussi, lâaire augmente lorsque lâamplitude de sollicitation dynamique appliquĂ©e sâaccroit.
En principe, lâaugmentation de lâamplitude dâexcitation engendre plus de dĂ©formation,
câest pourquoi le test pilote de lâapplication de cette technique in situ requiert une Ă©nergie
mécanique plus forte [13]. Par conséquent, cette augmentation sert à provoquer la non-
linéarité dans le milieu (extension des microfissures).
Chapitre 5
106
(a) (b)
Figure 5-13 â Variation des ST en fonction des modes et du facteur dâamplification, obtenus par (a)
la 1re méthode et (b) la 2e méthode
Les valeurs du ST varient aussi dâun mode Ă lâautre et selon lâamplitude de chargement.
Pour cela, on a scindé la présentation de ces valeurs en tenant compte ces facteurs. Les
figures 5.14-a-b-c montrent les valeurs maximales et minimales du ST obtenues dans les
cinq modes étudiés selon le niveau de sollicitation appliquée (FA=57%, 76% et 100%) et
le type dâondes (Rayleigh ou coda). En effet, les colonnes en bleu reprĂ©sentent les valeurs
de ST obtenues dans les ondes de Rayleigh tandis que les colonnes en rouge représentent
ceux des ondes de coda. La ligne discontinue Ă©tant le seuil de fluctuations qui peuvent
avoir lieu.
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Mode
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 57%, Area = 0.06x10-3
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Mode
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 76%, Area = 0.14x10-3
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Mode
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 100%, Area = 0.3x10-3
tmax
/t0
tmin
/t0
dt/t0
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Mode
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 57%, Area = 0.22x10-3
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Mode
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 76%, Area = 0.44x10-3
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Mode
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 100%, Area = 0.28x10-3
tmax
/t0
tmin
/t0
dt/t0
Chapitre 5
107
Concernant les ondes de Rayleigh, les valeurs de ST varient de 0 Ă 0.11 x 10-3. Elles
tiennent son maximum avec le 3e mode dĂšs le premier palier de chargement, FA= 57%. On
peut avoir un décalage temporel maximal avec les autres modes tels que le 1e et le 4e mode
de ST=0.22 x 10-3 et 0.0.11 x 10-3 respectivement avec toute lâamplitude dâexcitation
faisable (FA =100%) (Figure 5.14-c). Dâici, le mode #3 est considĂ©rĂ© comme Ă©tant sensible
(en termes de perturbation des microfissures) quoique les ondes de Rayleigh soient
perturbĂ©es lorsquâelles se propagent pendant la vibration de ce mode, mĂȘme avec les
premiers niveaux dâoscillation. Par ailleurs, on a vu au paragraphe prĂ©cĂ©dent que les
déformations de la zone de propagation sont relativement importantes dans ces trois modes
(1, 3 et 4). Câest pourquoi les ondes de surface y sont perturbĂ©es. Concernant les ondes de
coda, elles sont Ă©galement sujettes de cette perturbation dans ces trois modes. Donc, les
modes pouvant induire une grande déformation dans la poutre sont ceux qui perturbent de
plus le milieu en donnant naissance à son comportement non linéaire. Certes,
lâaugmentation de lâamplitude de sollicitation engendre cette non-linĂ©aritĂ©, mais la
question Ă©voquĂ©e dans ce contexte est comment dâabord dĂ©terminer le mode le plus
Ă©nergĂ©tique qui peut crĂ©er la non-linĂ©aritĂ© dans le bĂ©ton avec une moindre dâĂ©nergie.
Dâailleurs, lâexcitation de deux modes par une amplitude pratiquement identique ne produit
nĂ©cessairement pas la mĂȘme perturbation (dĂ©calage temporel). Le dĂ©calage temporel
ultrasonore (ST) dépend donc aussi du mode excité.
Câest dans ce contexte que la problĂ©matique dâoptimisation de protocole de mesure de la
technique de ST est initiĂ©e. La connaissance de lâamplitude de dĂ©formation des modes
nâest que la moitiĂ© de la rĂ©ponse Ă cette question.
DâaprĂšs les analyses du contenu frĂ©quentiel des rĂ©ponses de poutre en accĂ©lĂ©ration lors
dâun essai dâimpact menĂ© dans la zone dâintĂ©rĂȘt, il ressort que le 3e mode est relativement
plus énergétique (§ figures 4.6). Cela nous permet de déduire que les modes propres
provoquant une déformation maximale dans le chemin de propagation des ondes
ultrasonores sont ceux qui produisent des ST importants, et que le mode le plus
énergétique (parmi ces modes) est celui qui donne les grandes valeurs de ces sauts.
On peut consolider cette idée par le fait que le ST étant un indicateur sur les déformations
internes dans le béton (ouverture/fermeture des microfissures). En effet, les ST
caractĂ©risent lâĂ©tat du rĂ©seau de fissuration, une telle valeur donne de lâinformation sur le
taux dâouverture/fermeture des microfissures/fissures. Les valeurs maximales de ST
Chapitre 5
108
obtenues avec les modes 1, 3 et 4 indiquent aussi que la zone sondée (peau du béton) a subi
des déformations élastiques relativement importantes.
(a)
(b)
1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
Modes
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 57%
1 2 3 4 5-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Modes
t/
t 0 [
10
-3]
ST-Ondes de Rayleigh
ST-Ondes de Coda
1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
Modes
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 76%
1 2 3 4 5-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Modes
t/
t 0 [
10
-3]
ST-Ondes de Rayleigh
ST-Ondes de Coda
Chapitre 5
109
(c)
Figure 5-14 â Valeurs maximales (en haut) et minimales (en bas) de ST obtenues dans les ondes de
Rayleigh et de coda selon le mode et lâamplitude dâexcitation : (a) FA=57%, (b) FA=76% et (c)
FA=100%.
En comparant les ST dans les ondes de Rayleigh par rapport Ă ceux des ondes de coda, ils
sont importants dans les ondes de coda que dans les ondes de Rayleigh. En effet, les
vibrations induites dans la poutre affectent beaucoup plus les ondes de coda. Dans cette
derniĂšre, les valeurs maximales du ST varient du 0.11 x 10-3 Ă 0.35 x 10-3. Compte tenu de
trois essais de chargement, le 3e mode est encore le plus sensible. Le premier mode peut
crĂ©er un dĂ©calage maximal dans ces ondes sâil est excitĂ© Ă FA = 100% dâĂ©nergie (ST =0.35
x 10-3).
On a auparavant eu un ST de 0.22 x 10-3 dans les modes 3 et 4 lorsquâils sont excitĂ©s
respectivement par une amplitude relative de FA =57% Ă 76% (figure 5.14-a-b). Dâun
degré moindre, on a obtenu une valeur de ST de 0.16 x10-3 avec les modes 2 et 5 par
différentes amplitudes de chargement, soit de FA=57% à 100% respectivement. Donc, on
peut avoir des valeurs de ST identiques dans deux modes par un rapport FA différent. Les
modes sensibles (3e mode dans ce cas) requiĂšrent une moindre dâĂ©nergie (dâexcitation)
pour atteindre pratiquement le mĂȘme niveau de perturbation requis. DâoĂč lâimportance de
reconnaßtre les modes énergétiques de la structure étudiée.
1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
Modes
t/
t 0 [
10
-3]
FA = 100%
1 2 3 4 5-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Modes
t/
t 0 [
10
-3]
ST-Ondes de Rayleigh
ST-Ondes de Coda
Chapitre 5
110
Figure 5-15 â Variation de ST dans les deux situations de dilatation et de compression du bĂ©ton
pendant la vibration du mode #3.
En rappel que la perturbation mécanique est une onde monochromatique oscillant dans la
mĂȘme frĂ©quence modale, il est donc prĂ©fĂ©rable que la rĂ©ponse de la poutre soit en
résonance. Dans cette situation, le mouvement dynamique est complÚtement amplifié
(dĂ©formations maximales). Le facteur dâamplification dynamique Ă©tant au maximum (§
3.4.5). La figure 5.15 présente la variation des ST par rapport au taux de chargement
obtenus dans le 3e mode Ă©tudiĂ©. Cette figure montre quâon peut distinguer lâeffet de tel
mode en augmentant lâampleur de chargement. Ainsi, les valeurs sont plus ou moins
consistantes (pas de grande dispersion).
5.5 Ătude paramĂ©trique
Dans ce projet de recherche, nous avons complété cette étude par des essais réalisés sur la
mĂȘme poutre afin dâexaminer quelques paramĂštres qui peuvent influencer les mesures de
ST. Le programme expérimental établi dans ce contexte est résumé dans le tableau 5.2. En
effet, on a changĂ© lâemplacement des capteurs, soit en intrados, et on les a placĂ©s dans
différentes postions, par exemple, centrés par rapport à la section médiane (#4) et #6.
Aussi, on a réalisé des essais avec une nouvelle distance inter-capteurs, soit de 23 cm et 39
cm. Les résultats sont abordés selon le paramÚtre étudié.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Amplitude FA[%]
t/
t 0 [
10
-3]
3e mode
Chapitre 5
111
Lâobjectif de ce programme est de mettre en Ă©vidence les points suivants :
Lâeffet de lâemplacement de tel dispositif de mesure en comparant les valeurs de ST
obtenues sur la face intrados Ă ceux de la face extrados de poutre (Test A et B);
Lâeffet de position des capteurs par rapport Ă la dĂ©formĂ©e modale du mode considĂ©rĂ©
(Test C et D);
Ătudier ainsi la rĂ©pĂ©tabilitĂ© des rĂ©sultats obtenus dans la premiĂšre partie de cette Ă©tude;
Conclure de tels paramÚtres pouvant régir la mesure de ST.
Tableau 5-2 â Configuration adaptĂ©e aux nouveaux essais rĂ©alisĂ©s.
Position des capteurs Emplacement des capteurs
Centré par rapport à : Face intrados Face extrados
Test PCS Modes excités Test PCS Modes excités
la section #4 A 39 cm 1, 2, 3 et 4 C 23 cm 2 et 4
la section #6 B 39 cm 2 et 4 D 23 cm 2 et 4
Dans cette partie du projet, les essais sont réalisés avec de nouvelles dispositions, à savoir :
AprĂšs avoir ramenĂ© la poutre au laboratoire, tout le dispositif a Ă©tĂ© remontĂ© Ă
nouveau, et de la mĂȘme façon auparavant. Cependant, en replaçant la poutre sur
appuis, il est difficile dâobtenir exactement la mĂȘme configuration prĂ©cĂ©dente
(changement dans les conditions dâappuis). En consĂ©quence, les frĂ©quences
naturelles sont légÚrement modifiées, mais les modes propres non plus.
Une nouvelle carte dâacquisition ayant une frĂ©quence dâĂ©chantillonnage peut aller
jusquâĂ 100 MHz, y Ă©tant utilisĂ©e.
Aussi, la façon dâacquisition a Ă©galement Ă©tĂ© modifiĂ©e. En effet, deux signaux, avant
et aprÚs excitation, sont enregistrés. Chaque signal contient un paquet de 20 pulses et
dâune longueur totale de 220 points.
AprĂšs un changement dans la chaine dâexcitation Ă basses frĂ©quences (enlĂšvement de
lâancien amplificateur), on a pu appliquer de nouvelles amplitudes un peu plus
élevées. Le tableau 5.3 montre ces valeurs ainsi que la proportionnalité entre elles.
Chapitre 5
112
Tableau 5-3 â Amplitudes dâexcitation appliquĂ©e et les facteurs dâamplification correspondants
Entrées au générateur Mesurées par oscilloscope
0.300 V 60% 12.7 V 60%
0.400 V 80% 16.9 V 80%
0.500 V 100% 21.1 V 100%
5.5.1 Propriétés modales de poutre
AprÚs avoir monté le dispositif et mise en place du pot vibrant et le systÚme de mesure, une
étude de reconnaissance de propriétés modales de poutre était réalisée. Des impacts par un
marteau sont menés aux différents points de la structure pour faire révéler les modes
présents. Tel que réalisé au chapitre précédent, les fréquences naturelles sont déterminées
par inspection graphique des spectres dâaccĂ©lĂ©ration. Les nouvelles valeurs de frĂ©quences
naturelles de cinq premiers modes sont : 62.4, 477.0, 845, 1315 et 1894 Hz. Ces valeurs
sont légÚrement inférieures à celles étudiées aux premiers essais, mais les déformées
propres sont toujours pareilles.
5.5.2 Effet de lâemplacement des capteurs
Les tests quâon a faits prĂ©cĂ©demment sont montĂ©s sur lâextrados de poutre. En autre mot,
les ondes de Rayleigh propagent dans la surface du béton supérieur (Béton B). On voulait
dans cet essai étudier le cas de propagation en bas. La configuration adoptée est montrée
dans la figure 5.16. En effet le dispositif est installé en intrados à mi-travée. Les
transducteurs sont espacĂ©s dâune distance de 26 cm (PCS = 39 cm). Le pot vibrant est
placé à mi-portée dans les modes impaires et à quad-portée dans les modes paires.
On adapte ainsi la mĂȘme mĂ©thode de traitement (mĂ©thode de fenĂȘtre mobile, § 5.3). Le
signal ultrasonore est subdivisĂ© en quatre fenĂȘtres : la premiĂšre contient lâonde de Rayleigh
et les trois suivantes représentent la premiÚre partie des ondes de coda (figure 5.17).
Comme on a eu des résultats un peu plus biaisés avec le 5e mode, la présentation ci-
dessous concerne alors les résultats obtenus avec les modes 1, 2, 3 et 4, et scindés selon le
cas. Les résultats sont présentés dans les figures 5.18.
Chapitre 5
113
Figure 5-16 â Configuration de test A
Figure 5-17 â Subdivision du signal ultrasonore en fenĂȘtres : fenĂȘtre #1 : ondes de Rayleigh et
fenĂȘtres #2, 3 et #4 ondes de coda.
Dans ces histogrammes, on remarque que les ondes de surface sont également perturbées
en propageant pendant la vibration des modes 1, 2 et 4 et à degré moindre au mode 3. Ce
constat est aussi observable dans les ondes de coda. Cependant, les ST dans le mode 3
augmentent avec lâamplitude. CĂŽtĂ© dĂ©formations, elles sont plus grandes par rapport aux
tests prĂ©cĂ©dents, soit de lâordre 10-5 (figure 5.19). Toutefois, lâallure de dĂ©formations est
similaire à celle présentée à la figure 5.10. Les déformations dans le mode 1 étant plus
importantes par rapport aux autres modes. à degré décroissant, on trouve le 3e mode puis
le 2e et finalement le 4e.
150 200 250 300 350 400 450
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Temps(s)
Am
plit
ude n
orm
alis
Ă©e
FenĂȘtre = 1 FenĂȘtre = 2 FenĂȘtre = 3 FenĂȘtre = 4
Chapitre 5
114
(a)
(b)
(c)
Figure 5-18 âValeurs maximales (en haut) et minimales (en bas) de ST obtenues, avec le test A,
dans les ondes de Rayleigh et de coda selon le mode et lâamplitude dâexcitation : (a) FA=57%, (b)
FA=76% et (c) FA=100%.
1 2 3 40
1
2
3FA = 60%
Modes
t m
ax/t
0
[10
-3]
1 2 3 4
-3
-2
-1
0
Modes
t m
in/t
0
[10
-3]
ST-Ondes de Rayleigh
ST-Ondes de Coda
1 2 3 40
1
2
3FA = 80%
Modes
t m
ax/t
0
[10
-3]
1 2 3 4
-3
-2
-1
0
Modes
t m
in/t
0
[10
-3]
ST-Ondes de Rayleigh
ST-Ondes de Coda
1 2 3 40
1
2
3FA = 100%
Modes
t m
ax/t
0
[10
-3]
1 2 3 4
-3
-2
-1
0
Modes
t m
in/t
0
[10
-3]
ST-Ondes de Rayleigh
ST-Ondes de Coda
Chapitre 5
115
Figure 5-19 â Amplitude maximale de dĂ©formation longitudinale de la zone de propagation des
ondes ultrasonores du test A pendant la vibration des modes 1, 2 3 et 4.
Dans ce test, les valeurs de ST sont relativement plus grandes quâaux tests prĂ©cĂ©dents. Cela
peut ĂȘtre expliquĂ© par les raison suivantes :
Lâamplitude de sollicitation appliquĂ©e dans cet essai est plus grande que le
dernier. Les amplitudes précédentes représentent 25%, 34% et 45% de la force
maximale produite dans cet essai, si bien que les valeurs correspondantes sont
plus petites.
Par conséquent, les déformations dans la région de propagation sont dix fois plus
grandes quâaux derniers tests.
Les essais prĂ©cĂ©dents sont rĂ©alisĂ©s sur lâintrados de poutre oĂč le bĂ©ton est diffĂ©rent
de celui en extrados en termes de rapport E/C (Tableau. 4.2).
La distance inter-capteur est également différente. En effet, dans les tests
précédents le PCS est de 61 cm. Par contre, ici, le PCS est de 39 cm.
La prĂ©sence des barres dâarmatures proches de la surface de propagation peuvent
peut-ĂȘtre influencer ces mesures.
Toutes ces remarques peuvent ĂȘtre un facteur pour obtenir ces nouveaux rĂ©sultats. Les
essais qui suivent tiennent compte de ces facteurs au fur et Ă mesure.
5.5.3 Effet de position des capteurs
On a remarqué que la section #4 (section médiane) représente une déformation maximale
dans les modes impaires 1 et 3, et un nĆud dans les modes paires 2 et 4. Nous voulons
Ă©tudier lâeffet de position des capteurs par rapport Ă la dĂ©formĂ©e modale en deux
1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Modes
xx m
ax [
x10
-5]
FA=60%
FA=80%
FA=100%
Chapitre 5
116
configurations, soit à mi-travée et à quart-travée de la poutre. En effet, les deux capteurs
ultrasonores sont centrés par rapport à la section #6 qui présente selon les déformées
modales une zone Ă dĂ©formation non nulle au sens de mode 2. On a aussi Ă©tudiĂ© lâeffet de
telle position par rapport à la déformée modale de deux modes (2 et 4) en intrados et
extrados de la poutre. LâidĂ©e est de vĂ©rifier si la position des capteurs par rapport aux
nĆuds a une influence sur les mesures de ST. Les rĂ©sultats sont prĂ©sentĂ©s ci-dessous selon
le cas.
5.5.3.1 Capteurs placés en intrados de la poutre
En premier lieu, on traite le cas oĂč le dispositif est placĂ© en intrados de poutre. On a
mesuré les ST à quad-portée de la poutre (figure 5.20) puis les a comparés aux résultats du
test A, obtenus précédemment (à mi-portée). Le pot vibrant est placé en dessous de la
section #6 par rapport à laquelle les capteurs sont centrés. On a gardé, cette fois-ci, les
mĂȘmes paramĂštres dâessai (distance, amplitudes dâexcitation, frĂ©quence de sondage et
dâĂ©chantillonnageâŠ). Les rĂ©sultats sont prĂ©sentĂ©s dans la figure 5.21 dans laquelle les ST
obtenus dans les ondes de Rayleigh sont distingués de ceux des ondes de coda. Il est
important de noter que les valeurs de ST dans les modes 2 et 4 sont obtenues par rapport Ă
une mĂȘme rĂ©fĂ©rence. Ce signal de rĂ©fĂ©rence (avant excitation) est mesurĂ© dans les
situations oĂč aucune excitation ne prĂ©cĂšde (longue pĂ©riode de repos). Les rĂ©sultats sont
ainsi scindés par rapport au mode excité et comparé avec ceux de test A.
Figure 5-20 â Configuration de test B.
Chapitre 5
117
(a)
(b)
Figure 5-21 â Comparaison des valeurs maximales (en haut) et minimales (en bas) de ST obtenues
dans les ondes de Rayleigh et de coda pendant la vibration des modes 2 (a) et 4 (b) aux tests A et B.
RĂ©sultats et discussions
Pour le mode #2, on constate dans le premier cas de chargement (FA=60%) que les valeurs
de ST obtenues dans les ondes de Rayleigh avec le test B (oĂč le dispositif est placĂ© au
niveau de la section #6) sont plus importantes par rapport Ă celles du test A (dispositif
installĂ© Ă mi-portĂ©e). En effet, comme les ST sont aussi liĂ©s Ă lâamplitude de dĂ©formations,
60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
Mode = 2, Ondes de Rayleigh
FA
t m
ax/t
0
[10
-3]
60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
Mode = 2, Ondes de Coda
FA
t m
ax/t
0
[10
-3]
60 80 100-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
FA
t m
in/t
0
[10
-3]
60 80 100-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
FA
t m
in/t
0
[10
-3]
Test A
Test B
60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
Mode = 4, Ondes de Rayleigh
FA
t m
ax/t
0
[10
-3]
60 80 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
Mode = 4, Ondes de Coda
FA
t m
ax/t
0
[10
-3]
60 80 100-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
FA
t m
in/t
0
[10
-3]
60 80 100-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
FA
t m
in/t
0
[10
-3]
Test A
Test B
Chapitre 5
118
la déformée du mode #2 dans la zone de propagation du test B est relativement maximale
par rapport Ă celle du test A (section mĂ©diane), lâobjet quâon peut lâaisĂ©ment constatĂ© dans
la figure 5.22. Cela explique que la mesure de saut temporel dépend de position de capteur
par rapport à la déformée modale. Pour une bonne estimation de ST, il faut alors chercher
lâendroit oĂč la dĂ©formĂ©e de tel mode est maximale. En consĂ©quence, il faut Ă©viter les zones
Ă faibles dĂ©formations ou mĂȘmes nulles (nĆud). Ce constat est Ă©galement facile Ă
remarquer aux résultats du mode #4 (dans les ondes de Rayleigh et de coda, également)
(Figure 5.21-b).
Toujours au mode #2 (Figure 5.21-a), on remarque aussi dans le test A que les ST sont
pratiquement identiques dans les trois cas de chargement. Par contre, dans le test B, on
constate une diminution dans les valeurs de ST par rapport Ă lâamplitude dâexcitation.
Cette remarque est aussi observée dans les ondes de coda. Cela est expliqué par le temps
écoulé entre chaque essai. En effet, le premier essai du test A (mode 2, FA=60%) était
réalisé aprÚs 40 minutes de dernier essai (mode 3, FA=100%). Par contre, le deuxiÚme
essai (de FA=80%) Ă©tait rĂ©alisĂ© dans les quatre minutes suivantes, et lâessai Ă FA=100%
était exécuté aprÚs 1 min du deuxiÚme. Ce délai, comme si petit, il ne permet pas de laisser
au matĂ©riau Ă recouvrir ses propriĂ©tĂ©s non linĂ©aires dâune façon suffisante. Câest pourquoi
on avait de mĂȘmes valeurs de ST dans ces essais (Test A : essais FA=80% et 100%).
Concernant le test B, les essais sont commencés par une amplitude de chargement à 100%,
ensuite Ă 80% et en finissant par 60% (chemin de chargement dĂ©croissant). De plus, lâessai
avec 80% Ă©tait rĂ©alisĂ© aprĂšs 1 min par rapport Ă lâessai prĂ©cĂ©dent (FA=100%), mais lâessai
de FA=60% Ă©tait rĂ©alisĂ© aprĂšs plus dâune heure. Câest pourquoi, on voit que le ST dans ce
dernier (de FA=60%) est relativement plus important, malgré à une amplitude relativement
moindre. Dâailleurs, on voit dans la figure 5.21-a, en particulier les valeurs minimales de
ST dans les ondes de Rayleigh, quâil nây aucun ST pour lâessai 80% et 100%. Cela atteste
que le matĂ©riau nâest pas encore revenu Ă son Ă©tait initial, Ă©tant donnĂ© que les valeurs
négatives de ST découlent du rétrécissement de taille des fissures (voir aussi des
microfissures) par rapport Ă son ouverture initiale. Cependant, pour le test avec FA=60%
oĂč le matĂ©riau est laissĂ© en repos pendant une heure de temps, on remarque un petit
décalage attestant que le matériau est légÚrement contracté. Ces essais nous rapportent
enfin un autre facteur Ă tenir compte. Il sâagit, en effet, du temps entre-essais ou bien le
temps de repos du matériau, puisque les excitations produites sont menées au voisinage de
fréquences propres de la poutre (proche de résonance). Donc, pour avoir des valeurs
Chapitre 5
119
efficaces de ST (particuliĂšrement dans les ondes de Rayleigh), il y a lieu de choisir
lâendroit oĂč les dĂ©formations soient maximales et de donner le temps nĂ©cessaire au
matĂ©riau pour quâil puisse revenir Ă son Ă©tat initial, aprĂšs chaque excitation appliquĂ©e.
Cette pĂ©riode de repos nâest pas Ă©tudiĂ©e dans cette expĂ©rimentation, mais on peut souligner
quelques recommandations au prochain chapitre (§ 6.5).
Figure 5-22 â Comparaison de forme de dĂ©formation longitudinale dans la zone de propagation
pendant la vibration du mode #2 aux tests A et B (les rectangles en jaune et en vert indiquent la
position des capteurs dans le test A et B respectivement).
Dans le mode 4, les déformations dans la section investiguée par le test B sont plus
importantes par rapport Ă celles du test A (Figure 5.23). Câest pourquoi les valeurs de ST
dans cet essai (B) sont relativement grandes (figure 5.21-b). Toutefois, on ne voit pas
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
-5
0
5
x 10-6
xx
Position (m)
2e mode
FA =60%
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-5
xx
Position (m)
FA =80%
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
-1
-0.5
0
0.5
1
x 10-5
xx
Position (m)
FA =100%
Test A
Test B
Test A
Test B
Test A
Test B
Chapitre 5
120
lâeffet de lâamplitude dâexcitation puisque le temps entre-essai est relativement trĂšs court
(4 Ă 8 min). Ăvidemment, le matĂ©riau nâĂ©tait pas encore revenu nâest son Ă©tat initial pour
quâon puisse avoir des ST nĂ©gatives (par contraction de bĂ©ton) (figure 5.21-b).
En regardant maintenant les résultats des ondes de coda, on peut souligner une certaine
proportionnalité dans les valeurs de ST. En effet, les valeurs maximales de ST, dans les
deux modes, sont proportionnelles dans les ondes de Rayleigh par rapport Ă celles des
ondes de coda. Toutefois, les valeurs de ST dans cette derniĂšre (coda) sont relativement
plus importantes.
Figure 5-23 â Comparaison de lâamplitude de dĂ©formation longitudinale dans la zone de
propagation pendant la vibration du mode #2 et #4 aux tests A et B.
5.5.3.2 Capteurs placés en extrados de la poutre
En second lieu, on a investiguĂ© lâeffet de position des capteurs par rapport Ă la dĂ©formĂ©e
propre sur lâextrados de poutre. En effet, deux tests, nommĂ©s C et D, sont rĂ©alisĂ©s avec des
paramÚtres pratiquement identiques. Les modes 2 et 4 y sont investigués dans deux
positions différentes, soit les sections #4 et 6 (figures 5.24). Dans ces tests, les capteurs
sont placĂ©s dâune distance d=10 cm (PCS = 23 cm) pour les deux raisons suivantes :
60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2x 10
-5
xx
FA (%)
Mode 2
60 80 1000
2
4
6
8x 10
-6
xx
FA (%)
Mode 4
Test A (mi-travée)
Test B (quad-travée)
Test A (mi-travée)
Test B (quad-travée)
Chapitre 5
121
- La premiĂšre est pour que les ondes ultrasonores puissent sonder le milieu plusieurs
fois pendant la période de vibration modale (de basse fréquence), notamment pour
le 4e mode ;
- La deuxiĂšme est pour Ă©viter le nĆud qui se prĂ©sente dans la dĂ©formĂ©e du mode 4 Ă
proximité de section 6 (Test D).
Les rĂ©sultats obtenus sont montrĂ©s dans la figure 5.25 de la mĂȘme maniĂšre que la
prĂ©cĂ©dente. Dans cette figure, on constate, dâune façon gĂ©nĂ©rale, que les dĂ©calages ayant
subi les ondes ultrasonores dans ces modes est plus prononcé dans les la section 6 que dans
la section 4 (médiane). Concernant les déformations, elles sont montrées dans la figure
5.26 (amplitude maximale). DâaprĂšs cette figure, les dĂ©formations sont maximales Ă quad-
portĂ©e (test D) quâau milieu de la poutre, et ce, pour les deux modes Ă©tudiĂ©s. Cela indique
pourquoi les ST sont aussi importants dans le second essai (Test D). Comparativement aux
résultats de tests précédents (A et B), les ST sont moins importants, puisque le béton en bas
(face intrados de poutre) est relativement plus poreux quâen haut (§ 4.2.2).
(a)
(b)
Figure 5-24 â Configuration du test C (a) et D (b).
Chapitre 5
122
Figure 5-25 â Comparaison des valeurs maximales (en haut) et minimales (en bas) de ST obtenues
dans les ondes de Rayleigh et de coda, aux tests C et D pendant la vibration du mode #2 et mode
#4 (FA =100%).
Figure 5-26 â Amplitude maximale de dĂ©formation longitudinale dĂ©terminĂ©e dans le test C et D
(FA =100%).
Aussi, en comparant les résultats de deux modes, le décalage temporel est important dans
le mode ayant induit une dĂ©formĂ©e importante dans la section investiguĂ©e. DâoĂč le choix
de monde est ainsi important (§ 5.4.3).
2 40
0.5
1
Modes
t m
ax/t
0
[10
-3]
Ondes de Rayleigh
2 40
0.5
1
Modes
t m
ax/t
0
[10
-3]
Ondes de coda
2 4-1
-0.5
0
Modes
t m
in/t
0
[10
-3]
2 4-1
-0.5
0
Modes
t m
in/t
0
[10
-3]
Test C
Test E
2 40
2
4
6
8
10
max(
xx)x
10
-6
Modes
Test C (mi-travée)
Test D (quad-travée)
Chapitre 5
123
On remarque dans cette étude que les valeurs de ST dépendent du :
- Mode propre ayant une déformation importante ;
- La position par rapport à la déformée propre de ce mode ;
- Temps entre chaque excitation appliquée à la structure ;
- Lâamplitude de cette excitation ;
- Et bien sûr, de la qualité du matériau (béton) investigué.
5.6 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons Ă©tudiĂ© lâeffet des propriĂ©tĂ©s modales des poutres sur la
propagation des ondes acoustique. En effet, les cinq premiers modes que nous avons
déterminés au chapitre 4 ont été examinés afin de déterminer les effets mutuels qui peuvent
avoir lieu quand le milieu est sondĂ© par les ondes de surface. On a constatĂ© que lorsquâune
perturbation dynamique est appliquĂ©e au bĂ©ton, le saut temporel de lâonde ultrasonore
dĂ©pend de la nature du mode excitĂ©. En effet, pour une mĂȘme amplitude de chargement,
une différence dans le ST est observée pour différents modes. Cet effet est plus prononcé
quand cette amplitude est suffisamment élevée (FA =100%).
La modĂ©lisation de poutre par Ă©lĂ©ments finis sert aussi Ă dĂ©terminer les modes propres et Ă
localiser les déformations maximales de chaque mode.
Des essais complĂ©mentaires ont aussi Ă©tĂ© rĂ©alisĂ©s avec des nouvelles dispositions. DâaprĂšs
les résultats obtenus, on a conclu que les valeurs de ST dépendent du :
- Mode propre créant une déformation importante ;
- La position par rapport à la déformée propre de ce mode ;
- Temps entre chaque excitation appliquée à la structure ;
- Lâamplitude de cette excitation ;
- Et évidemment, de la qualité du matériau (béton) investigué.
Cela implique que les mesures de sauts temporels sont affectées par les modes propres de
différentes façons. La discussion de ces résultats en rapport avec les propriétés modales et
dynamiques est menée au chapitre suivant.
Chapitre 6 Discussion générale
6.1 Introduction
Le présent chapitre propose une discussion générale des résultats obtenus au cours des
diffĂ©rentes Ă©tapes de cette Ă©tude. Il prĂ©sente dâabord la mĂ©thodologie suivie lors des
expérimentations réalisées et le traitement des données. Les valeurs obtenues de saut
temporel sont ensuite discutĂ©es en rapport avec les paramĂštres modaux dâune part et avec
le mode dâouverture/fermeture des microfissures dâautre part. Le chapitre conclut aussi
avec la portĂ©e de cette Ă©tude ainsi que les recommandations qui peuvent ĂȘtre tirĂ©es de ces
expériences.
6.2 Rappel des méthodes utilisées
En premier lieu, nous avons réalisé une étude modale expérimentale (analyse modale
opérationnelle) pour reconnaßtre les propriétés dynamiques des poutres (chapitre 4).
LâexpĂ©rience rĂ©alisĂ©e a consistĂ© Ă mesurer les rĂ©ponses en accĂ©lĂ©ration lorsquâune
excitation impulsionnelle (Ă lâaide dâun marteau dâimpact) est appliquĂ©e. Les propriĂ©tĂ©s
modales, telles que les fréquences naturelles, les modes propres et les taux
dâamortissement modaux, ont Ă©tĂ© identifiĂ©es par lâanalyse du contenu frĂ©quentiel des
réponses mesurées (via la transformée de Fourier). Les fréquences naturelles sont, en effet,
déterminées par inspection graphique des maximas des amplitudes du signal résultant
(accélération). Les déformées propres sont également déduites par les amplitudes du
déplacement modal, calculées au niveau de ces fréquences en tenant compte de la relation
dĂ©placement-accĂ©lĂ©ration. Lâapproximation des dĂ©formĂ©es propres obtenues par une
fonction sinusoïdale a donné une meilleure approche, puisque cette fonction remplit, à la
fois, les conditions aux limites naturelles et cinématiques [115]. Les spectres de Fourrier en
accĂ©lĂ©ration permettent aussi de dĂ©duire les taux dâamortissement modaux via la mĂ©thode
de lâacuitĂ© de rĂ©sonance (appelĂ© parfois la mĂ©thode de 3 dB) [115].
En second lieu, les propriétés modales ont été vérifiées au moyen de la technique de
décomposition modale au domaine fréquentiel, appelée FDD [149]. Cette derniÚre est
basée sur la décomposition de la matrice de densité spectrale de puissances des réponses en
valeurs singuliĂšres (valeurs propres du systĂšme). Le critĂšre du Modal Assurance Criterion
Chapitre 6
126
(MAC) a Ă©galement Ă©tĂ© appliquĂ© pour vĂ©rifier lâindĂ©pendance des modes obtenus. La
complexitĂ© des modes est ainsi examinĂ©e Ă lâaide de la mĂ©thode de diagramme dâArgand
(MDA) [32], [151]. Ces vérifications (FDD, MCA, MDA) permettent de recorriger les
propriétés modales obtenues [149].
AprÚs avoir déterminé les modes propres des poutres, nous avons étudié la relation de ces
modes avec la propagation des ondes ultrasonores (chapitre 5). Nous avons choisi comme
premiÚre expérience les ondes de surface (ondes de Rayleigh). Le montage expérimental
comporte deux parties, une concernant la génération des ondes acoustiques et une autre
pour la mise en mouvement des cinq premiers modes, oscillant dans les fréquences
comprises entre 90 Hz et 2 kHz. Dans la premiÚre partie, deux capteurs ultrasonores ont été
placĂ©s sur lâextrados de la poutre, Ă une distance PCS1 = 61 cm (zone dâintĂ©rĂȘt).
LâĂ©metteur gĂ©nĂšre une rafale dâondes ayant pour frĂ©quence centrale 250 kHz. CĂŽtĂ©
excitation, un pot vibrant a été utilisé pour produire la vibration requise. Ensuite, une étude
paramétrique a été réalisée afin de comprendre les facteurs (autres que les modes propres)
qui peuvent influencer les mesures de ST. Les résultats obtenus sont discutés à la section
suivante.
6.3 Discussion des résultats
Nous avons vu au cours de cette Ă©tude que les valeurs de ST dĂ©pendent dâune part de la
dĂ©formation du mode considĂ©rĂ© et des paramĂštres dâessai comme la position des capteurs
par rapport Ă la dĂ©formĂ©e propre, le temps entre chaque excitation appliquĂ©e et lâamplitude
de cette excitation, dâautre part. Nous allons aborder lâinfluence de ces facteurs dans cette
discussion pour comprendre les rĂ©sultats quâon a eus.
6.3.1 Relation de saut temporel â modes propres
En premier lieu, on examine la relation de ST avec les modes propres pour lâobtention des
valeurs efficace de ST (perturbation maximale de microfissures). On a remarqué que les
valeurs de ST sont importantes dans les modes 1, 3 et 4 (figure 5.14). Ils (ST) sont
particuliĂšrement maximaux dans le 3e mode, et ce, depuis les premiers niveaux
dâexcitation. En calculant les dĂ©formations dans ces trois modes, on a constatĂ© que les
1 PCS : Probe Center Space (§ figure 5.3)
Chapitre 6
127
déformations y sont relativement plus importantes (figure 5.11). En effet, les valeurs de ST
ultrasonore dépendent de déformations induites.
Les modes en question ont engendrĂ© des dĂ©formations presque de mĂȘme grandeur dans la
zone de propagation. Cependant, la frĂ©quence de vibration, la forme modale et lâamplitude
de rĂ©ponse en accĂ©lĂ©ration de ces modes Ă©tant diffĂ©rentes. En effet, lorsquâon a fait les tests
dâimpact (sur poutre) pour vĂ©rifier les modes propres aprĂšs la mise en place du pot vibrant,
on a constatĂ© que lâamplitude du 3e mode est relativement la plus prononcĂ©e (figures 6.1).
Câest pourquoi on a obtenu des valeurs de ST maximales dans ce mode. On a donc dĂ©duit
que les modes relativement « énergétiques » (créant une grande déformation et contribuant
dâune façon significative Ă la rĂ©ponse dynamique des structures) sont ceux qui peuvent
conduire Ă des valeurs importantes du ST. Comme lâapplication de la mĂ©thode de saut
temporel in situ requiert lâexcitation de la structure par un impact mĂ©canique relativement
important, on devrait savoir à priori quel est le mode énergétique qui produit la non-
linĂ©aritĂ© dans le matĂ©riau dâune façon maximale. DâaprĂšs ces tests, on peut se baser sur le
spectre de Fourrier dâun accĂ©lĂ©romĂštre placĂ© dans la zone dâintĂ©rĂȘt pour connaĂźtre quels
sont les modes pouvant provoquer un dĂ©calage important. Lâeffet de position de tel
accéléromÚtre est discuté au paragraphe suivant (§ 6.3.2). Pour une intervention in situ,
cette connaissance est dâune importance primordiale, car elle permet de prioriser les modes
Ă exciter afin dâaboutir Ă la perturbation requise (ouverture des microfissures/fissures).
Figure 6-1 â Spectre de Fourrier de rĂ©ponse en accĂ©lĂ©ration obtenu par lâaccĂ©lĂ©romĂštre #4 avant et
aprĂšs la mise en place du pot vibrant
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Fréquence (Hz)
abs(A
cc
4)
[1/g
]
Impact au niveau du point # 4
Acc. 4 avant
Acc. 4 aprĂšs
Chapitre 6
128
En revanche, la connaissance des fréquences naturelles des modes ne suffit pas. Il faut un
nombre suffisant des capteurs de mouvement (accéléromÚtres) pour définir la déformée
propre associée. Le choix du nombre de ces capteurs est discuté plus bas dans ce chapitre.
En second lieu, lâanalyse des rĂ©sultats obtenus dans les diffĂ©rents modes relĂšve deux
points intéressants :
1- Lâexcitation de deux modes par une amplitude pratiquement identique ne produit
pas la mĂȘme perturbation (dĂ©calage temporel) ;
2- On peut avoir un ST identique dans deux modes par un rapport FA différent.
Concernant le premier point, on a constatĂ© que lâexcitation du 3e mode par une amplitude
relative de FA=57% donne un ST relativement important par rapport Ă la mĂȘme amplitude
appliquée au 2e mode. Ce constat est aussi observé entre les modes 3 et 4, et entre les
modes 4 et 5. Les résultats de ST dépendent alors du mode excité. Le choix du mode est
donc important, car lâexcitation dâun mode inappropriĂ© ne pourrait pas rĂ©vĂ©ler toute
lâinformation recherchĂ©e du matĂ©riau (microfissuration, fissuration, dĂ©fauts internes, etc.).
En autre terme, la sélection adéquate du mode à exciter conduit à des mesures efficaces du
ST. Ce point dâune importance significative en cas dâun endommagement prĂ©coce dans le
bĂ©ton (la RAG par exemple). On comprend aussi que lâampleur de lâexcitation nâest pas le
seul paramÚtre déterminant les valeurs du ST.
Le second point est remarquable quand le 2e mode est excité à un niveau FA=76% par
rapport aux 3e ou 4e modes, excités par une amplitude un peu plus basse (FA=57%). Donc,
on peut choisir le mode qui provoque une grande perturbation avec une moindre dâĂ©nergie.
Cela nous ramĂšne Ă reconsidĂ©rer lâĂ©nergie quâon peut Ă©conomiser lors dâun essai in situ.
En effet, la vibration du 3e mode permet dâengendrer la non-linĂ©aritĂ© dans la poutre par une
Ă©nergie relativement moindre (soit de 19% dâĂ©conomie). Cet enjeu (lâĂ©conomie) est
dâailleurs parmi les objectifs spĂ©cifiques au dĂ©veloppement de cette technique (mĂ©thode de
saut temporel), tels que décrits au départ de ce projet de recherche (§ 1.3). Donc, les deux
points prĂ©cĂ©dents permettent de conclure que le choix dâun mode appropriĂ© (mode
sensible) conduit Ă une mesure efficace de ST et Ă un gain Ă©conomique au niveau de
production dâĂ©nergie dâexcitation.
La reconnaissance des modes Ă©nergĂ©tiques permet non seulement dâĂ©conomiser la quantitĂ©
dâĂ©nergie Ă produire, mais aussi dâaboutir Ă un montage convenable de technique de ST.
En effet, la connaissance des périodes naturelles des modes énergiques aide à déterminer
Chapitre 6
129
lâemplacement des capteurs et Ă la configuration des paramĂštres de contrĂŽle tels que : la
fréquence de génération des ondes ultrasonores (ou la durée de récurrence) et le rapport
temps de vol/pĂ©riode modale (t0/Tm). La frĂ©quence de rĂ©currence devrait ĂȘtre assez grande
de telle sorte quâune dizaine dâondes puissent sonder le milieu durant la pĂ©riode de
vibration (pĂ©riode naturelle) tandis que le rapport (t0/Tm) devrait ĂȘtre assez petit pour
assumer une déformation quasi constante pendant le temps de parcours [33], [34]. Le choix
de ces deux paramÚtres est donc relatif à la période naturelle du mode propre investigué.
Ătant donnĂ© que la vitesse de propagation est souvent mesurable in situ, on peut alors jouer
sur la distance inter-capteurs (PCS) pour respecter ce rapport. Concernant la fréquence de
sondage (ou choix des capteurs), cela dĂ©pend de la profondeur dâinvestigation souhaitĂ©e et
de la taille de lâanomalie recherchĂ©e.
Aussi, la connaissance de la dĂ©formĂ©e propre de la zone dâintĂ©rĂȘt (distance PCS) est
nĂ©cessaire pour lâinterprĂ©tation subsĂ©quente des donnĂ©es. En effet, grĂące aux informations
fournies par les accéléromÚtres, les propriétés modales (fréquences naturelles et taux
dâamortissement) et dynamiques (modes Ă©nergĂ©tiques, amplitude de dĂ©placement et
dĂ©formation) sont identifiĂ©es. Un nombre suffisant dâaccĂ©lĂ©romĂštres est donc requis pour
couvrir toute cette zone, car ils permettent de (a) vérifier si le mode excité est bien que
celui identifiĂ© par les accĂ©lĂ©romĂštres, (b) de dĂ©terminer la dĂ©formation de la zone dâintĂ©rĂȘt
pendant lâessai et (c) de servir Ă la confirmation des informations recueillies, ce qui ne peut
ĂȘtre fait avec un seul accĂ©lĂ©romĂštre. Dâailleurs, un accĂ©lĂ©romĂštre ne permet pas de vĂ©rifier
si la zone sondĂ©e ne contenait pas un (des) nĆud(s) (sections Ă dĂ©formation nulle). Dans
les expĂ©riences rĂ©alisĂ©es, on a mis un accĂ©lĂ©romĂštre chaque 25 cm de sorte quâau moins
trois soient dans la zone de propagation (PCS = 61 cm). Le rapport nombre
dâaccĂ©lĂ©romĂštres/portĂ©e de poutre Ă©tant 1/25, si bien que la dĂ©formĂ©e modale soit bien
maßtrisée. Aussi, un nombre minimum de trois accélérations est recommandé pour vérifier
les trois objectifs suscités (a, b, c). Pour une application in situ (un pont ou un
barrageâŠetc.), on peut cependant simplifier le dispositif en mettant trois accĂ©lĂ©romĂštres Ă
lâintĂ©rieur de la zone sondĂ©e et deux Ă lâextĂ©rieur. Câest une question de simplicitĂ© : il faut
assurer que les accéléromÚtres soient bien espacés et bien alignés. Dans le cas des dalles, la
rĂ©partition des accĂ©lĂ©romĂštres doit ĂȘtre faite dans les deux directions horizontales. Pour de
courtes distances (PCS < 1 m), on peut simplifier le dispositif à trois accéléromÚtres tel que
réalisé dans le présent projet. La distance PCS, de laquelle dépend le nombre
dâaccĂ©lĂ©romĂštres, est alors un paramĂštre clĂ© pour la configuration correcte de cet essai.
Chapitre 6
130
Lâidentification de la dĂ©formĂ©e propre du mode Ă investiguer sert entre outre Ă localiser Ă
priori les dĂ©formations maximales. Dans cette Ă©tude, la dĂ©formation gĂ©nĂ©ralisĂ©e dâune
poutre Ă©tant la dĂ©formation longitudinale (axiale) qui peut ĂȘtre obtenue de la dĂ©rivĂ©e
seconde du champ de déplacement. Compte tenu des propriétés des fonctions
trigonomĂ©triques, elle tient de la mĂȘme distribution que le champ de dĂ©placement. Cela
nous permet de déterminer les zones à déformation maximale à partir de modes propres de
la poutre étudiée. Un modÚle numérique peut aussi aider à la détermination de ces modes.
En connaissant la dĂ©formĂ©e de la structure, lâemplacement des capteurs ultrasonores soit
ainsi optimisé. La symétrie du dispositif optimise aussi cette expérience. Cette optimisation
est lâun des soucis majeurs de cette expĂ©rimentation. Question de coĂ»t, lâajout dâun
accĂ©lĂ©romĂštre dans la zone sondĂ©e peut considĂ©rablement rĂ©duire le coĂ»t dâinvestigation in
situ de lâessai ST.
Donc, lâĂ©tude des propriĂ©tĂ©s modales permet dâamĂ©liorer lâefficacitĂ© de la technique de ST,
dâoffrir une Ă©conomie avantageuse et tout dans une configuration simple et optimale.
En guise de conclure cette partie, on peut rĂ©sumer les dĂ©marches dâinvestigation in situ
dans le protocole suivant :
- Localiser lâendroit oĂč on voulait identifier lâĂ©tat du bĂ©ton/ouvrage ; choisir la
direction dans laquelle la dĂ©formĂ©e globale de lâouvrage est dominante ;
- Placer un accĂ©lĂ©romĂštre dans la zone dâinvestigation puis appliquer le test
dâimpact. Le spectre de Fourrier dâaccĂ©lĂ©romĂštre permet de dĂ©terminer les
fréquences naturelles des vibrations induites (réponse de la structure). Aussi, il
permet dâidentifier les modes les plus Ă©nergĂ©tiques (voir la section § 6.3.3). Si
plusieurs modes apparaissent, choisir celui de longue période pour éviter les
sections Ă faibles dĂ©formations (nĆuds), Ă©tant donnĂ© que le nombre des nĆuds se
multiple dans les fréquences des modes supérieurs. Puis chercher le point
(dâimpact) oĂč ce mode devient relativement plus prononcĂ© (en tapant en plusieurs
points dans cette zone). Une modĂ©lisation par Ă©lĂ©ments finis permet aussi Ă
déterminer les modes propres de la structure en question à condition que les
propriétés mécaniques et géométriques (y compris les conditions aux limites) soient
bien définies ;
- Mesurer ensuite la vitesse de propagation des ondes de surface dans le béton puis
réajuster les transducteurs de telle sorte que le temps de propagation soit assez petit
par rapport Ă la pĂ©riode du mode sĂ©lectionnĂ© (đĄ0 †đđ/10) ;
Chapitre 6
131
- AprÚs avoir repositionné les capteurs ultrasonores, installer maintenant des
accĂ©lĂ©romĂštres dans la zone dâintĂ©rĂȘt afin de mesurer Ă la fois la dĂ©formĂ©e propre
de la structure et de sâassurer que le mode propre dĂ©tectĂ© par lâaccĂ©lĂ©romĂštre est
bien que celui du mode investigué. Le nombre des accéléromÚtres dépend
fortement de la distance PCS. Il est recommandé de mettre au moins un
accéléromÚtre chaque 25 cm de long ;
- Concernant la frĂ©quence de rĂ©currence des pulses, elle devrait ĂȘtre assez grande
devant la frĂ©quence du mode excitĂ©, (đđđđ/đđ â„ 10). Câest pourquoi aussi
recommandé de choisir un mode à longue période ;
- On peut maintenant commencer lâessai. Enregistrer des Ă©chantillons du signal avant
et aprÚs impact pour pouvoir déterminer le ST. Pour des fins de qualité, il vaut
mieux dâappliquer lâessai plusieurs fois avec les mĂȘmes paramĂštres et dâun impact
pratiquement en mĂȘme position ;
- Il est intĂ©ressant de signaler quâun certain temps Ă laisser aprĂšs chaque essai pour
que le matériau puisse recouvrir ses propriétés dynamiques (dynamique lente). Ce
dĂ©lai peut varier dâun matĂ©riau Ă un autre. Dans la littĂ©rature, ce sujet est dâun long
dĂ©bat [97], [104]. Dans nos essais, le temps entre les essais Ă©tait en moyenne de 1 Ă
8 min, mais une durĂ©e dâune heure est recommandĂ©e surtout on travaille proche de
la résonance. Ce point est repris au paragraphe de recommandations de cette étude
(§ 6.5).
6.3.2 Relation de saut temporel â accĂ©lĂ©rations
Lâobjectif de ce paragraphe est dâĂ©tudier la relation de ST avec les accĂ©lĂ©rations
enregistrées.
En premier lieu, on examine lâeffet de position des accĂ©lĂ©romĂštres sur la dĂ©termination de
modes dominants de la poutre. En effet, dans les expériences réalisées, on a deux sortes de
capteurs : un accéléromÚtre placé dans la zone de propagation (Acc. #4) et six dehors (en
dessous de la poutre). Par la production dâun impact, chacun dĂ©tecte le(s) mode(s) y
vibrant. La comparaison des spectres permet de déterminer le(s) accéléromÚtre(s) pouvant
déceler le mode recherché (dominant). La figure 6.2 représente les histogrammes des
amplitudes dâaccĂ©lĂ©rations obtenues dans les diffĂ©rents accĂ©lĂ©romĂštres lorsquâun impact
est mené au milieu de la poutre.
Chapitre 6
132
(a) (b)
(c) (d)
Figure 6-2 â Amplitude de lâaccĂ©lĂ©ration obtenue dans lâaccĂ©lĂ©romĂštre (a) #1, (b) #2, (c) #3 et (d)
#4 selon le mode et le taux de chargement (FA).
En raison de la symétrie du dispositif, la présentation est limitée aux résultats de
lâaccĂ©lĂ©romĂštre 1, 2, 3 et 4. On remarque que le 3e mode est dĂ©tectable par les
accĂ©lĂ©romĂštres #2 et #4 tandis que le 4e mode lâest par les accĂ©lĂ©romĂštres #1 et #3. Donc,
lâaccĂ©lĂ©romĂštre #4 (histogramme d) a aisĂ©ment dĂ©tectĂ© le 3e mode dans lequel les valeurs
de ST sont importantes. On peut alors limiter la recherche des modes dominants aux
rĂ©sultats dâun accĂ©lĂ©romĂštre installĂ© dans la zone dâintĂ©rĂȘt (distance PCS).
En second lieu, on présente les valeurs du ST maximales obtenues dans ces modes en
fonction de lâamplitude des accĂ©lĂ©rations correspondantes afin de savoir si les ST
dĂ©pendent du type de mode ou de lâamplitude dâaccĂ©lĂ©ration (figure 6.3).
1 2 3 4 50
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Mode
Am
plit
ude d
'accélé
lration [
1/g
]
FA =57%
FA =76%
FA =100%
1 2 3 4 50
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Mode
Am
plit
ude d
'accélé
lration [
1/g
]
FA =57%
FA =76%
FA =100%
1 2 3 4 50
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Mode
Am
plit
ude d
'accélé
lration [
1/g
]
FA =57%
FA =76%
FA =100%
1 2 3 4 50
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Mode
Am
plit
ude d
'accélé
lration [
1/g
]
FA =57%
FA =76%
FA =100%
Chapitre 6
133
Figure 6-3 â Variation des sauts temporels obtenus en fonction des accĂ©lĂ©rations mesurĂ©es
Les amplitudes dâaccĂ©lĂ©ration sont reprĂ©sentĂ©es sur lâaxe des abscisses Ă lâĂ©chelle
logarithmique. En effet, chaque graphe représente les valeurs de ST obtenues pour un
mode donnĂ© avec trois niveaux dâamplification rĂ©alisĂ©s. On remarque quâil y a trois paliers
du ST distingués.
Le 1er niveau concerne les décalages temporels de 0.16 x 10-3. Ce sont les modes 1,
2 et 5 qui relĂšvent ce niveau de perturbation.
En second degrĂ©, on constate quâil y a un palier intermĂ©diaire ayant un ST = 0.22 x
10-3(1/g). Ce niveau est le rĂ©sultat des modes 1, 3 et 4 qui lâont engendrĂ© avec une
accélération variant de 10-2.2 à 10-1.3 (1/g) ; ces amplitudes étant appréciables sur
lâhistogramme (figure 6.1).
En troisiÚme niveau, on trouve des ST = 0.28 x 10-3 pour une accélération variant de
10-2 Ă 10-1(1/g). Le 3e mode peut engendrer ce niveau de perturbation partir un FA =
76%, alors quâon nâatteint ce dĂ©calage avec le 4e mode que pour un niveau
relativement élevé (FA = 100%).
Dâune façon gĂ©nĂ©rale, les ST Ă©voluent avec lâamplitude dâaccĂ©lĂ©ration. Lâobjet qui nâest
pas apercevable avec les amplitudes du déplacement (figure 8.11 en annexe 8.6). En outre,
le spectre de Fourrier fourni par un accéléromÚtre placé dans la zone sondée permet de
mieux guider au choix du mode plus sensible Ă la vibration et Ă la provocation de
perturbation suffisante dans le béton. La figure 6.3 permet aussi de conclure que dans le
-2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -10.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
log10
[abs(Acc4/g)]
t m
ax/t
0 [
10
-3]
1e mode
2e mode
3e mode
4e mode
5e mode
Chapitre 6
134
cas oĂč deux modes engendrant un mĂȘme niveau de dĂ©formation dans la section considĂ©rĂ©e
(cas de modes 1 et 3), on devrait choisir celui ayant une grande amplitude en accélération
(plus énergétique), puisque les ST y sont maximaux. Le lien entre la déformation et
lâaccĂ©lĂ©ration est discutĂ© au paragraphe suivant.
6.3.3 Relation de déformations - accélérations
Dans cette expĂ©rimentation, on a vu que les ST sont en rapport direct avec lâamplitude de
déformations. La question qui se pose maintenant est comment savoir le(s) mode(s)
énergétique(s) qui peut engendrer une grande déformation dans la structure à partir de
données des accéléromÚtres. Pour y répondre, nous allons aborder le modÚle physique du
problÚme qui nous permettra de comprendre le lien entre les déformations et les
accélérations. En effet, tenant compte de la relation déplacement-accélération dans le
domaine de Fourrier et de la relation dĂ©placement âdĂ©formation dâune poutre (de type
Euler-Bernoulli), on peut Ă©crire
{ïżœÌïżœ = âđ2đą(đ„)
íđ„đ„ = đŽ2đŠ đą(đ„)â |íđ„đ„| = đŽ2đŠ
|ïżœÌïżœ|
đ2 (6.1)
đą et ïżœÌïżœ dĂ©signent le dĂ©placement et lâaccĂ©lĂ©ration de la poutre en un point donnĂ©. |íđ„đ„|
reprĂ©sente lâamplitude de dĂ©formation longitudinale de la poutre. đŽ Ă©tant une constante
dĂ©pend du mode et tient compte entre-outre la dĂ©formĂ©e de ce mode (Ăq. 4.6). đŠ est la
position par rapport Ă lâaxe neutre (Ăq. 8.19) et đ la frĂ©quence circulaire du mode. La
dĂ©formation maximale est oĂč la courbure est maximale. En consĂ©quence, pour connaĂźtre
quel est le mode ayant une grande déformation dans structure, il est donc à déterminer :
- Sa frĂ©quence naturelle (đ);
- Son amplitude dâaccĂ©lĂ©ration correspondante (|ïżœÌïżœ|);
- Et sa déformée modale.
Les deux premiĂšres mesures peuvent ĂȘtre directement tirĂ©es du spectre de Fourrier en
accélération. Par contre, pour la derniÚre, une connaissance de la forme propre du mode est
nĂ©cessaire. Câest pourquoi on a recommandĂ© de prĂ©voir plusieurs accĂ©lĂ©romĂštres Ă mettre
en place pour pouvoir dĂ©terminer lâallure propre des modes. LâĂ©quation prĂ©cĂ©dente peut
encore ĂȘtre simplifiĂ©e en remplaçant les constantes du mode, đŽ đđĄ đ, par leurs expressions
données en (3.21) et (3.23). En effet,
Chapitre 6
135
đŽ = (đđ
đż) , đ = (đđ)2â
đžđŒ
đđđż4 (6.2)
AprĂšs remplacement et simplification, lâĂ©quation dĂ©formation-accĂ©lĂ©ration devient :
|íđ„đ„| = đ¶đĄđ|ïżœÌïżœ|
đ2 (6.3)
đ reprĂ©sente le nombre du mode (de flexion) qui tient compte aussi du nombre des nĆuds
prĂ©sents dans le mode propre (đ = đnĆuds + 1). đ¶đĄđ est une constante indĂ©pendante des
modes. De cette Ă©quation, lâamplitude de dĂ©formation est proportionnelle au rapport (|ïżœÌïżœ|/
đ2). Donc, le mode ayant un rapport |ïżœÌïżœ|/đ2 plus Ă©levĂ© est celui qui provoque une
déformation maximale. Dans le spectre de Figure 6.1, on a :
Mode 1 |ïżœÌïżœ|đ=1 = 0.03 |íđ„đ„|đ=1 =0.03
12 = 0.03 đ¶đĄđ
Mode 3 |ïżœÌïżœ|đ=3 = 0.19 |íđ„đ„|đ=3 =0.19
32 = 0.021 đ¶đĄđ
Mode 4 |ïżœÌïżœ|đ=4 = 0.035 |íđ„đ„|đ=4 =0.035
42 = 0.0022 đ¶đĄđ
Mode 5 |ïżœÌïżœ|đ=5 = 0.035 |íđ„đ„|đ=5 =0.035
52 = 0.0014 đ¶đĄđ
En comparant lâamplitude de dĂ©formation dans ces modes mesurĂ©es de ce spectre (section
Ă mi-travĂ©e), les modes 1 et 3 viennent en premiĂšre place. Lâobjet quâon peut le constater
dans lâhistogramme des dĂ©formations de figure 5.11. Aussi, on a eu les mĂȘmes constats
avec les nouveaux essais quâon a rĂ©alisĂ©s aprĂšs, en comparant les rapports |ïżœÌïżœ|/đ2 obtenus
lors dâun impact appliquĂ© Ă une section donnĂ©e avec les dĂ©formations induites (figure 6.4).
Figure 6-4 Comparaison du rapport |ïżœÌïżœ|/đ2avec les dĂ©formations de la poutre obtenues par un
impact mené au point #6.
1 2 3 40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Acc/n
2 [
10
-3]
Impact appliqué à la section #6
Mode
1 2 3 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
xx m
ax [
10
-8]
Mode
DĂ©formations dans la section #6
Chapitre 6
136
Une fois les modes âĂ©nergĂ©tiquesâ dĂ©terminĂ©s, on peut alors augmenter lâamplitude de
sollicitation pour avoir un maximum de perturbation. Donc, la premiĂšre Ă©tape est de
dĂ©terminer ces modes puis dâadapter le dispositif de mesure (de ST) selon la mĂ©thodologie
décrite plus haut.
Ce modĂšle de calcul sâapplique toutefois aux poutres ayant un comportement pareil Ă la
poutre dâEuler-Bernoulli (dĂ©formĂ©e sous forme sinusoĂŻdale). Pour les autres structures, on
peut suivre les mĂȘmes dĂ©marches pour atteindre le lien entre la dĂ©formation et
lâaccĂ©lĂ©ration. LâĂ©quation (6.3) fournit une premiĂšre estimation de modes propres plus
énergétiques qui engendrent des déformations maximales, et par conséquent, des valeurs
de ST plus importantes dans la poutre. Toutefois, les valeurs de ST dépendent aussi de
paramÚtres autres que la déformation, tels que le temps entre essais, la distance inter-
capteurs et leur position par rapport Ă la dĂ©formĂ©e propre. Les rĂ©sultats quâon a eus avec le
3e mode (aux premiers essais) indiquent que la configuration adaptée était plus adaptée
pour le 3e mode que le premier. Dans la seconde partie (étude paramétrique), et aprÚs avoir
que la configuration ait été modifiée, on a constaté que le premier mode y étant le plus
énergétique et les ST y sont importants.
6.4 PortĂ©e de lâĂ©tude et ses limites
La valeur ajoutée de cette étude consiste à mettre en évidence la relation entre ST et les
modes propres présents dans un élément. Elle conclut que les spectres de Fourrier des
accéléromÚtres fournissent des informations utiles sur les propriétés modales de la
structure. La reconnaissance des modes propres permet de franchir un grand pas dans
lâĂ©conomie de rĂ©alisation de cet essai et dâaboutir par la suite Ă des rĂ©sultats rĂ©alistes de la
santĂ© de lâouvrage.
En revanche, cette étude a été réalisée sur des poutres en béton armé non endommagées, si
bien que les valeurs obtenues de ST soient trĂšs petites (dâordre 10-4). Les rĂ©sultats obtenus
ne peuvent cependant pas ĂȘtre directement gĂ©nĂ©ralisĂ©s aux Ă©chantillons endommagĂ©s.
Toutefois, les points traitĂ©s dans ce mĂ©moire peuvent donner des directives relativement Ă
lâinfluence des modes propre sur les mesures de saut temporel. Ainsi, la mĂ©thode de saut
temporel est appliquée pour des essais impliquant les ondes de surface. Il se pourrait que
les modes propres aient eu un effet sur les autres types dâondes.
Chapitre 6
137
Les modes investigués dans cette expérimentation sont les modes de flexion simple. Les
autres modes quâon peut rencontrer aux ouvrages civils (torsion, flambement, flexion
oblique...) nâĂ©taient pas visĂ©s dans ce projet puisque les modes de flexion sont
gĂ©nĂ©ralement toujours prĂ©sents aux ponts en bĂ©ton. Câest la raison pour laquelle que cette
étude est portée sur un élément poutre (en analogie avec le comportement de deux,
pont/poutre).
CĂŽtĂ© instrumentation, le gĂ©nĂ©rateur quâon a utilisĂ© peut gĂ©nĂ©rer des pulses Ă frĂ©quence de
rĂ©currence allant jusquâĂ 2 kHz. Avec cette capacitĂ©, on arrive Ă sonder le matĂ©riau
plusieurs fois pendant ses périodes modales de vibration. Par contre, cette capacité est
réservée aux modes oscillant dans les fréquences inférieures à cette limite (2 kHz). Pour
des modes supĂ©rieurs (structures trĂšs rigides) oĂč les frĂ©quences de vibration dĂ©passent cette
limite (2 kHz), il y a lieu donc dâutiliser un gĂ©nĂ©rateur pouvant produire des ondes Ă une
frĂ©quence de rĂ©currence un peu plus Ă©levĂ©e (đđđđ/đđ â„ 10). Aussi, de prĂ©voir un pot
vibrant ayant la capacitĂ© nĂ©cessaire pour exciter ces modes (đ â„ 2 đđ»đ§).
6.5 Recommandations
Au cours de cette expérimentation, nous avons remarqué que le temps entre essais est un
paramÚtre important à tenir compte. En effet, dans les essais réalisés, on compare le signal
obtenu aprÚs excitation à un signal de référence (avant excitation). Ce dernier, on le mesure
avant lâexpĂ©rimentation, oĂč le matĂ©riau est laissĂ© pour une longue durĂ©e de repos. Ensuite,
on rĂ©pĂšte les tests cinq fois avant de changer lâamplitude dâexcitation dâun niveau Ă lâautre.
Le temps entre ces répétitions y était relativement court, soit de 1 à 8 minutes. On a
remarquĂ© dans les rĂ©sultats que le ST ne sâaccroĂźt parfois pas avec lâaugmentation de
lâamplitude de sollicitation (phĂ©nomĂšne de dynamique lente), ce qui nous a conduits Ă
considĂ©rer ce facteur dans lâinterprĂ©tation des rĂ©sultats obtenus. Toutefois, on nâa pas
Ă©tudiĂ© la durĂ©e nĂ©cessaire pour lâexĂ©cution de chaque essai, lâobjet que lâon souligne
comme recommandation aux prochaines démarches expérimentales de cette technique.
Les essais réalisés pour arriver à ces conclusions ont été effectués avec un pot vibrant par
lequel les modes sont excitĂ©s dâune façon individuelle (cas idĂ©al). Il serait pertinent
dâappliquer cette expĂ©rimentation avec une excitation par impact en simulant un cas dâune
intervention in situ. En effet, lâimpact gĂ©nĂšre la vibration de plusieurs modes
simultanĂ©ment. Il sera capital dâexploiter les rĂ©sultats conclus dans cette Ă©tude pour
comprendre lâeffet global sur les mesures ANL.
Chapitre 6
138
Concernant la mĂ©thode de calcul de saut temporel1, il y a dâautres approches qui sont
récemment impliquées pour estimer le décalage temporel dans les signaux périodiques
[104], [153]. Ces méthodes sont regroupées en trois catégories, à savoir : méthodes
dâinterpolations Ă trois points, mĂ©thode de phases et mĂ©thodes itĂ©ratives. Pour la premiĂšre
catĂ©gorie, le principe est basĂ© sur lâinterpolation de la valeur maximale dĂ©terminant le ST
avec les valeurs secondaires des pics avoisinants. La différence principale réside dans le
type de fonction dâinterpolation Ă considĂ©rer (parabolique, logarithmique ou cosinus). Dans
la 2e catégorie, le calcul du ST est obtenu en rapport avec le déphasage des signaux au
domaine fréquentiel. En ce qui concerne la 3e catégorie, celle-ci est destinée aux signaux
ayant un rapport signal/bruit trĂšs Ă©levĂ© auxquels les mĂ©thodes dâinterpolation peuvent
engendrer des erreurs systématiques pendant cette estimation. Wiens et Bradley [153] ont
comparé la précision de chacune dont ils ont conclu que la méthode de phases est plus
efficace pour un niveau de bruit moyen et une fréquence de coupure relativement faible.
Ainsi, les techniques itératives sont recommandées pour des signaux à faible bruit et une
frĂ©quence de coupure plus Ă©levĂ©e. Entre les deux situations, les mĂ©thodes dâinterpolations
sont vivement envisagées [153]. Lorsque la vitesse de calcul est un facteur, les méthodes
d'interpolation Ă trois points Ă©taient les meilleures, l'algorithme de cosinus Ă©tant le plus
rapide [153]. Pour cela, il est recommandĂ© dâimpliquer ces nouvelles mĂ©thodes pour
réévaluer ce paramÚtre (ST).
1 MĂ©thode de fenĂȘtre mobile.
Chapitre 7 Conclusions et perspectives
7.1 Conclusions
Le travail abordĂ© dans ce mĂ©moire sâinscrit dans le cadre dâune problĂ©matique globale
traitant du développement de la méthode du saut temporel pour des essais in situ. Nous
avions pour objectif principal dâĂ©tudier la relation des modes propres des structures avec
les mesures relevées par cette technique.
Cette problĂ©matique est traitĂ©e de façon expĂ©rimentale oĂč des poutres en bĂ©ton armĂ© ont
été choisies comme un modÚle de travail. Ce choix est motivé par le fait que le
comportement modal des poutres est en gĂ©nĂ©ral similaire dâun pont Ă poutres. Les modes
propres considérés sont ainsi les modes de flexion simple. En effet, nous avons opté pour
les cinq premiers modes en raison de leur participation au mouvement dynamique dâune
part, et de la capacitĂ© des Ă©quipements Ă exciter ces modes dâautre part. La mĂ©thode de saut
temporel (ST) est appliquée pour le cas des ondes de surface.
AprĂšs avoir dĂ©terminĂ© les propriĂ©tĂ©s modales des spĂ©cimens, nous avons procĂ©dĂ© Ă
lâĂ©valuation du dĂ©calage temporel que peut produire lâexcitation de tels modes. Comme
cette derniĂšre est tenue dâune façon harmonique, deux types de valeurs sont alors
observĂ©s : un ST positif et un ST nĂ©gatif. Le premier rĂ©sulte de lâallongement de la partie
sondée de la poutre alors que le second résulte de son raccourcissement. Cela signifie aussi
que la vitesse de propagation des ondes est affectée par les vibrations modales produites.
En effet, un saut positif signifie que le signal dâonde perturbĂ©e arrive aprĂšs le signal de
rĂ©fĂ©rence, Ă©tant donnĂ© que lâouverture de fissures allonge la trajectoire des ondes
ultrasonores. Par contre, lorsque le béton est en phase de compression, les fissures ont
tendance Ă se refermer, et lâonde acoustique est relativement accĂ©lĂ©rĂ©e, puisque son
parcours est raccourci. En termes de grandeur, nous avons obtenu des valeurs de ST
dâordre 10-4 par rapport au temps de propagation (đđ = âđĄ/đĄ0), car le bĂ©ton des poutres en
question est intact (non endommagé). La variation de grandeur de ST par rapport au mode
et Ă lâampleur de chargement est relative au rĂ©seau de microfissuration interne excitĂ© du
béton.
Chapitre 7
140
Concernant la relation entre les modes propres et les mesures de ST ultrasonores, ceci est
résumé dans les points suivants :
- Dâune façon gĂ©nĂ©rale, les ST dĂ©pendent de la nature des modes propres de la
structure. Les modes relativement énergétiques (créant une grande déformation et
contribuant dâune façon significative Ă la rĂ©ponse dynamique des structures) sont
ceux qui peuvent conduire Ă des valeurs importantes du ST ;
- La position de capteurs par rapport à la déformée propre du mode excité est un
paramĂštre clĂ© pour rĂ©ussir cet essai. En effet, il faut toujours chercher lâendroit oĂč
la courbure est maximale. Par consĂ©quent, lâexĂ©cution de lâessai de ST sur des
sections Ă dĂ©formations faibles ou mĂȘme nulles (nĆuds) ne relĂšve pas les valeurs
efficaces de cette mesure (ST) ;
- Le décalage temporel dans le signal ultrasonore est plus prononcé dans les ondes de
coda que dans les ondes de surface, et ce, indépendamment de leurs fréquences de
propagation ;
- Le saut temporel dĂ©pend aussi de lâamplitude dâexcitation appliquĂ©e.
- Le décalage étant constaté relativement important dans les modes énergétiques. La
fourchette de cette mesure [âđĄđđđ/đĄ0 , âđĄđđđ„/đĄ0] Ă©tant plus grande.
- Lâexcitation de deux modes par une amplitude pratiquement Ă©gale ne produit pas la
mĂȘme perturbation. Donc, les valeurs de ST dĂ©pendent au premier lieu du mode
propre excitĂ© plutĂŽt que de lâamplitude dâexcitation. Par consĂ©quent, lâexcitation
dâun mode inappropriĂ© ne rĂ©vĂšle pas lâĂ©tat rĂ©el du bĂ©ton/de lâouvrage auscultĂ©.
Aussi, nous avons conclu que
- La question clé dans cette investigation est comment déterminer in situ les modes
les plus Ă©nergĂ©tiques. Des accĂ©lĂ©romĂštres placĂ©s dans la zone dâintĂ©rĂȘt peuvent
fournir cette information.
- Le choix des modes Ă©nergĂ©tiques permet dâĂ©conomiser la quantitĂ© dâĂ©nergie
dâexcitation ;
- Le ST sâaccroit avec lâamplitude des accĂ©lĂ©rations. Câest pourquoi on se base sur le
spectre de Fourrier des accĂ©lĂ©romĂštres pour sâassurer de lâefficacitĂ© des rĂ©sultats.
Cette croissance nâĂ©tait pas observĂ©e au spectre de Fourrier de rĂ©ponse en
déplacement.
Chapitre 7
141
- La connaissance des modes propres des structures permet enfin dâaboutir Ă une
configuration réussie de cet essai. En effet, la détermination du mode propre
dominant permet de :
Optimiser la position et la distance utile des capteurs ultrasonores ;
Déterminer le nombre des accéléromÚtres nécessaire pour vérifier la déformée
propre correspondante ;
Régler les paramÚtres de contrÎle : fréquence de récurrence, plage des
frĂ©quences de lâexcitation (choix de masse et de rigiditĂ© du marteau dâimpact,
par ex.) ;
Minimiser lâĂ©tendue du problĂšme notamment pour un ouvrage Ă accĂšs limitĂ© ;
Minimiser aussi le temps dâintervention in situ, en cas de nĂ©cessitĂ© de
fermeture temporaire de lâouvrage ;
Rentabiliser la quantitĂ© dâĂ©nergie de mise en mouvement pour une
perturbation maximale ;
Aboutir aux mesures efficaces sur lâĂ©tat de santĂ© de lâouvrage en question ;
De ce fait, lâinvestigation des propriĂ©tĂ©s modales favorise un montage optimal et efficace
de cet essai. Lâimpact scientifique et technologique de ces conclusions est discutĂ© dans ce
qui suit.
7.2 Impact du travail
Ce travail permet de rapporter de nouvelles visions concernant le montage de lâessai de
saut temporel in situ vis-à -vis aux propriétés modales des structures. En effet, les
conclusions citĂ©es plus haut permettent non seulement dâoptimiser la façon dâinstrumenter
cet essai, mais aussi dâamĂ©liorer la performance de la technique de ST.
Sur le plan technique, la compréhension des effets des modes propres et particuliÚrement
des modes Ă©nergĂ©tiques permet dâorienter le montage de la technique de saut temporel in
situ dâune façon judicieuse.
En plus des avantages de la méthode de ST rapportés aux travaux antérieurs du GRAI, la
valeur ajoutée de ce mémoire consiste à incorporer la réponse dynamique dans
lâinterprĂ©tation des mesures. La maĂźtrise de lâexcitation basses frĂ©quences gĂ©nĂ©rĂ©e, de la
rĂ©ponse induite et des effets engendrĂ©s sur lâonde ultrasonore rend cette technique plus
performante.
Chapitre 7
142
à moyen terme ce projet a pour impact de fournir aux gestionnaires du réseau routier, au
Québec, un moyen de contrÎle non destructif simple, efficace et facile à adapter in situ en
fonction de besoin recherché, et avec confiance.
7.3 Perspectives
Pendant lâanalyse des rĂ©sultats obtenus, nous avions quelques idĂ©es complĂ©mentaires Ă
dĂ©velopper. Ăa peut enrichir encore la performance de la technique du saut temporel. Elles
sont décrites ci-dessous sous forme des points de perspectives pour de futurs travaux. En
effet :
- Les spĂ©cimens qui ont fait lâobjet de cette expĂ©rimentation sont des poutres
simplement appuyĂ©es. En modifiant les conditions dâappui (encastrement rigide,
consol libre âŠ, etc.), les propriĂ©tĂ©s modales (frĂ©quences naturelles et dĂ©formĂ©es
propres) seront également modifiées. Le traitement de ces nouveaux modes aide
ainsi à la généralisation des conclusions.
- Bien que les essais aient été menés sur des poutres ayant pour mode de flexion
simple, en similitude dâun pont Ă poutres, il serait convenable dâappliquer les
connaissances acquises dans ce mémoire pour un autre élément de structure tel
quâune dalle (flexion orthotrope) ou une colonne en analogie avec les diffĂ©rentes
composantes dâun ouvrage civil (dalle et pile). Concernant les composantes
rigides comme une poutre dâenchevĂȘtrement ou une fondation de masse, ce sujet
est aussi important, car la connaissance de leurs modes de vibration permet
dâĂ©conomiser vĂ©ritablement lâĂ©nergie dâexcitation Ă dĂ©ployer.
- On a vu au cours de cette expérimentation la dépendance des mesures de saut
temporel aux modes propres, et ce, pour un matériau non endommagé. Il serait
pertinent dâexaminer cette dĂ©pendance pour un matĂ©riau endommagĂ©.
8 Annexes
8.1 Annexe A.1 : Dimensionnement des poutres
Une poutre est distinguée par son élancement géométrique (rapport hauteur/longueur) dont
il est généralement inférieur à 10. En effet, les trois poutres que nous avons construites ont
pour longueur de 2100 mm et une section rectangulaire de 150x180 mm2 (figure 8.1). Pour
le ferraillage, nous avons dotĂ© chacune, de deux barres dâarmature de 10 mm de diamĂštre
dont les recommandations suivantes sâappliquent (figure 8.2).
Section ductile (acier Ă©lastique parfaitement plastique) ;
La reprise des efforts de cisaillement est tenue par le béton et les barres longitudinales
;
Mode de rupture par traction (Section sous armée) ;
Taux dâarmature minimal doit respecter la norme CSA A 23.3-14.
Figure 8-1 Poutre simplement appuyée (les dimensions sont en cm)
Figure 8-2 Diagramme de dĂ©formation et de contrainte typique dâune section en bĂ©ton sous armĂ©e
[143]
Annexes
144
8.1.1 Propriétés des matériaux
Les propriétés des matériaux que nous avons obtenues sont regroupées dans le tableau ci-
dessous
Tableau 8-1 Propriétés mécaniques des matériaux
BĂ©ton
RĂ©sistance spĂ©cifiĂ©e du bĂ©ton Ă la compression (BĂ©ton B) đđâČ = 47 đđđ
Poids volumique Ă©quivalent du bĂ©ton đŸđ = 23.96 kN/m3
DĂ©formation max. de la fibre de bĂ©ton la plus comprimĂ©e đđđą = â0.0035
Acier
Limite Ă©lastique des aciers đđŠ = 400 đđđ
Module de Young des armatures đžđ = 200 000 đđđ
Constantes de calcul
đŒ1 = 0,7795 đœ1 = 0,8525 đđ = 0,65 đđ = 0,85
8.1.2 Calcul des charges pondérées
La charge permanente appliquée à la poutre est son poids propre pondéré à 25%,
đ€đ = 1.25đŸđđ â = 0.81 đđ/đ (8.1)
Le moment fléchissant est maximal au milieu de la portée :
đđ =đ€đđż
2
8=
0.81 Ă 22
8= 0.405 đđ.đ (8.2)
8.1.3 Ferraillage
Pour un enrobage de đ = 30 đđ et des barres dâarmatures de diamĂštre maximal Ί =
10 đđ (10M), la hauteur effective est
đ = 180 â (đ +Ί
2) = 145 đđ (8.3)
Lâaire dâarmature requise en flexion est donc
đŽđ =đđ
đđ đđŠđđ=
0.405
0.85 Ă 400 Ă (0.75 Ă 0.18)= 8.81 đđ2 (8.4)
Soit deux barres de 10M en un seul lit (đŽđ = 2Ί10 = 157đđ2).
N. B. On nâa pas besoin dâarmature de peau puisque la hauteur effective est infĂ©rieure Ă
750 mm (CSA A23.3-14).
Annexes
145
8.1.4 Vérification des hypothÚses de départ
a. Taux dâarmature minimum
Cette section vĂ©rifie ainsi lâaire minimale dâacier fixĂ©e par la CSA A 23.3-14, art.
10.5.1.2 :
đŽđ > đŽđ đđđ =0,2âđđâČ
đđŠđâ = 115.7 đđ2 (8.5)
b. Section sous armée
Ainsi, on devrait vérifier la condition de section sous armée. Par définition, une section est
sous armĂ©e quand lâarmature tendue atteint sa limite Ă©lastique (đđŠ = đđŠ/đžđ ) avant
épuisement du béton en compression, soit avant que le raccourcissement ultime du béton
đđđą = â0.0035 ne soit atteint [115]. La vĂ©rification de cette condition peut ĂȘtre abordĂ©e
par la comparaison de taux dâarmature (đ) par rapport Ă celui dĂ©terminant une section
Ă©quilibrĂ©e (đđ). Soit :
đ =đŽđ
đđ= 0.007 < đđ =
đđ
đđ
đŒ1đœ1đđâČ
đđŠ
700
700 + đđŠ= 0.038 (8.6)
c. Section ductile
Ăgalement, on devrait vĂ©rifier la ductilitĂ© de la section. En effet, on a la dĂ©formation au
niveau des aciers
íđ = 0.0035 (đ â đ
đ) = 0.025 > đđŠ = đđŠ/đžđ = 0.002 (8.7)
OĂč đ est lâĂ©paisseur du bĂ©ton comprimĂ© (figure 8.2),
đ =đđ đđ
đŒ1đđđđâČđ= 17.5 đđ (8.8)
Donc, la déformation des armatures tendues est supérieure à la déformation élastique
limite, đđŠ, câest-Ă -dire, la plastification est atteinte.
d. La résistance et équilibre des forces dans la section
Concernant la résistance, les résultantes des forces sont (figure 8.2) :
- Force de compression dans le bĂ©ton : đ¶đ = đŒ1đđđœ1đđâČđđ = 53.4 kN
- Force de traction dans lâacier : đđ = đđ đđ đŽđ = 53.4 kN
- Moment résistant à mi-travée :
đđ = đđ (đ âđ
2) = 7.34 đđ.đ > đđ = 0.405 đđ.đ (8.9)
Annexes
146
Avec
đ = đœ1đ = 15 đđ (8.10)
Donc, la résistance de la section aux efforts de flexion est vérifiée.
e. Vérification de résistance aux contraintes de cisaillement
L'effort tranchant maximum au nu de l'appui vaut (Figure 8.1) :
đđ =đ€đđđ
2= 0.768 đđ (8.11)
Cependant le code canadien A23.3-14 prĂ©voit la pondĂ©ration de lâeffort tranchant Ă une
distance đđŁ par rapport au nĆud dâappui, appelĂ©e hauteur efficace en cisaillement, donnĂ©
par
đđŁ = đđđ„(0.9d, 0.72h) = 131mm (8.12)
Le cisaillement pondĂ©rĂ© Ă đđŁ est donc
đđ = đđ â đđŁđ€đ = 0.663 đđ (8.13)
Par la mĂ©thode simplifiĂ©e, ÎČ = 0,23 et Ξ = 35° (CSA A23.3-14, art. 11.3.6). La part de
cisaillement reprise par le béton est (CSA A23.3-14, art. 11.3.4) :
đđ = đđđđœ âđđâČđđ = 0.02 đđ (8.14)
La résistance maximum à l'effort tranchant permis est (CSA A23.3-14, art. 11.3.3) :
đđ,đđđ„ = 0.25đđđœ âđđâČđđ€đđŁ = 0.150 đđ (8.15)
Donc, đđ < đđ,đđđ„, la condition de reprise est vĂ©rifiĂ©e.
Annexes
147
8.2 Annexe A.2 : ModĂšle dâĂ©lĂ©ments finis de poutre
Ce paragraphe dĂ©cri le modĂšle dâĂ©lĂ©ments finis des poutres. La poutre est discrĂ©tisĂ©e en dix
éléments barre ayant trois degrés de liberté par extrémité. En effet, le déplacement
horizontal, Ux, vertical, Uy et la rotation dans le plan selon lâaxe Z, đđ§.
On détermine les propriétés modales en considérant les propriétés équivalentes de section.
On entend par les propriétés modales les fréquences naturelles et les modes propres de
déformation. La simulation numérique est modélisée dans le plan de flexion généralisée de
poutre, soit au plan XY (problĂšme 2D). La poutre repose sur deux appuis, simple et
double. Deux hypothÚses de bases sont considérées dabs ce modÚle : (i) les sections planes
restent planes aprÚs déformation et (ii) il y a compatibilité des déformations entre les
armatures et le bĂ©ton qui les entoure. En effet, lâadhĂ©rence entre les barres dâacier et le
béton est considérée parfaite. La figure 8.3 représente le modÚle de calcul adapté.
Figure 8-3 ModĂšle dâĂ©lĂ©ments finis de poutre.
Les propriétés intrinsÚques du béton utilisées dans ce modÚle sont celles obtenues par
essais sur Ă©prouvettes (tableau 8.2).
Tableau 8-2 propriétés mécaniques et géométriques de poutre
Masse volumique Module dâĂ©lasticitĂ© Aire
(kg/mÂł) (GPa) (mm2)
BĂ©ton A 2426 33.4 9593
BĂ©ton B 2455 37.8 17250
Acier 8750 200 157
Annexes
148
Les propriétés équivalentes sont calculées à la base du béton B comme suit [154]:
- Coefficient dâĂ©quivalence entre le bĂ©ton A et B :
đđŽđ” = đžđŽ/đžđ” = 0.8836
- Coefficient dâĂ©quivalence entre lâacier et le bĂ©ton B :
đđ đ” = đžđ /đžđ” = 5.2910
- Aire du bĂ©ton A Ă©quivalente en B, aprĂšs soustraction de lâaire des barres dâacier :
đđŽđĄ = đđŽđ”đđŽ = 0.0085 đ2
- Aire des barres dâacier Ă©quivalente en B :
đđđĄ = đđ đ”đđ = 8.31 10â4 đ2
- LâAire totale Ă©quivalente :
đŽđĄ = âđŽđ = 0.0266 đ2
- Profondeur de lâaxe neutre (par rapport Ă la fibre infĂ©rieure) :
ïżœÌ ïżœ =âđŠđđŽđ
đŽđĄ= 91đđ
- Lâinertie Ă©quivalente de la section
đŒđđ = âđđâđ
3
12+ đŽđđđ
2 = 7.07 10â5 đ4
- La masse volumique est
đđđ =đđŽđđŽ + đđ”đđ” + đđđđ
đđŽ + đđ” + đđ= 2481 kg/m3
đđŽ, đđ” đđĄ đđ sont la masse volumique du bĂ©ton A, B et de lâacier respectivement.
Figure 8-4 Conversion en section Ă©quivalente
Annexes
149
La matrice de rigidité élémentaire utilisée dans cette modélisation est de type concentrée
(cohérente), donnée sous la forme suivante [115] :
đđ =
[
đžđŽ
đż0 0
012đžđŒ
đż3(1 + Ί)
6đžđŒ
đż2(1 + Ί)
06đžđŒ
đż2(1 + Ί)
(4 + Ί)đžđŒ
đż(1 + Ί)
âđžđŽ
đż0 0
0 â12đžđŒ
đż3(1 + Ί)
6đžđŒ
đż2(1 + Ί)
0 â6đžđŒ
đż2(1 + Ί)
(2 â Ί)đžđŒ
đż(1 + Ί)
âđžđŽ
đż0 0
0 â12đžđŒ
đż3(1 + Ί)â
6đžđŒ
đż2(1 + Ί)
06đžđŒ
đż2(1 + Ί)
(2 â Ί)đžđŒ
đż(1 + Ί)
đžđŽ
đż0 0
012đžđŒ
đż3(1 + Ί)â
6đžđŒ
đż2(1 + Ί)
0 â6đžđŒ
đż2(1 + Ί)
(4 + Ί)đžđŒ
đż(1 + Ί) ]
(8.16)
Avec
Ί =12đžđŒ
đșAâČđż2 đș =
đž
2(1 + đŁ) (8.17)
AâČ reprĂ©sente lâaire en cisaillement. En effet, cette Ă©criture est globale que celle de
lâĂ©quation (3.33), dans laquelle on peut introduire lâeffet de cisaillement dans la section.
Dans notre cas, la poutre travaille en flexion sans cisaillement puisque le rapport
dâĂ©lancement (L/h=1920/180) est supĂ©rieur Ă dix, si bien que le terme Ί prend la valeur
nulle. Concernant la matrice de masse, on choisit celle de type « consistante » puisquâelle
est plus adaptée aux problÚmes de flexion des poutres et des dalles [115]:
đđ =đđŽđż
420
[
140 0 00 156 22đż0 22đż 4đż2
70 0 00 54 â13đż0 13đż â3đż2
70 0 00 54 13đż0 â13đż â3đż2
140 0 00 156 â22đż0 â22đż 4đż2 ]
(8.18)
Les fréquences naturelles obtenues sont également comparées avec celles du modÚle
prĂ©sentĂ© dans la section 3.2.2 (ayant deux degrĂ©s de libertĂ© par nĆud, 2DLL) dans le
tableau 8.3.
Annexes
150
Tableau 8-3 Comparaison des frĂ©quences naturelles obtenues dans les deux approches par rapport Ă
la solution théorique.
Solution
théorique ModÚle à 3DDL ModÚle à 2DDL
Différence par rapport à la solution théorique
Mode FrĂ©quence (Hz) FrĂ©quence (Hz) FrĂ©quence (Hz) ModĂšle Ă
3DDL ModĂšle Ă
2DDL
1 85,8 85,8 85,8 0,0 0,0
2 343,0 342,5 342,5 -0,6 -0,6
3 771,9 768,7 768,7 -3,2 -3,2
4 1372,2 1363,2 1363,2 -9,0 -9,0
5 2144,0 2125,4 2125,4 -18,6 -18,6
6 3087,4 3054,9 3054,9 -32,5 -32,5
Concernant les modes propres, ils sont présentés dans la figure 8.5. Dans ces figures, les
modes propres obtenus par modélisation numérique (en bleu) sont comparés aux solutions
théoriques (en rouge). Ce sont, en fait, les six premiers modes de flexion oscillant les
frĂ©quences 0 Ă 3.5 kHz. DâaprĂšs cette figure, on a une correspondance parfaite entre la
solution par éléments finis et la solution théorique.
Annexes
151
Figure 8-5 Comparaison des modes propres obtenues par la modélisation de poutre par éléments
finis (en bleu) à la solution théorique (en rouge)
0 0.5 1 1.5 2-0.15
-0.1
-0.05
0
0.051e mode (fréq.= 86 Hz)
Position (m)
0 0.5 1 1.5 2-0.2
-0.1
0
0.1
0.22e mode (fréq.= 342 Hz)
Position (m)
0 0.5 1 1.5 2-0.2
-0.1
0
0.1
0.23e mode (fréq.= 769 Hz)
Position (m)
0 0.5 1 1.5 2-0.2
-0.1
0
0.1
0.24e mode (fréq.= 1363 Hz)
Position (m)
0 0.5 1 1.5 2-0.2
-0.1
0
0.1
0.25e mode (fréq.= 2125 Hz)
Position (m)
0 0.5 1 1.5 2-0.2
-0.1
0
0.1
0.26e mode (fréq.= 3055 Hz)
Position (m)
Annexes
152
8.3 Annexe A.3 : Détermination du champ de déformation
La transformation de réponse en accélération du domaine de temps au domaine des
fréquences permet de déterminer les amplitudes et les fréquences de vibration de la poutre.
Ă la base de ces deux paramĂštres, lâamplitude de dĂ©placement vertical (đđŠ) peut ĂȘtre aussi
déterminé (§ 4.3.3). Le champ de déformation élastique de poutre étant la dérivée seconde
de la fonction du dĂ©placement (Ăq. 4.6). En effet, la dĂ©formation longitudinale (axiales) est
donnée par [115] :
íđ„đ„(đ„, đŠ) = âđŠđ(đ„) = âđŠđ2đđŠ(đ„)
đđ„2= đŠđŽ2ïżœÌ ïżœ0đ sin(đŽđ„ + đ”) (8.19)
Le paramĂštre đŠ Ă©tant la coordonnĂ©e par rapport Ă lâaxe neutre de la section (figure 8.6).
Pour une rĂ©partition linĂ©aire du champ de dĂ©formation, đŠ varie de đŠđđđ Ă đŠđ đąđ, oĂč
đŠđđđ đđĄ đŠđ đąđ sont respectivement les distances de lâaxe neutre par rapport Ă la fibre
infĂ©rieure et supĂ©rieure du bĂ©ton. Ces paramĂštres sont dĂ©terminĂ©s dans lâannexe A.2 (§
8.2). Pour information, le centre de gravité (c.d.g) de la section est situé à 91 mm par
rapport Ă la fibre infĂ©rieure (figure A2). Le terme đ(đ„) dĂ©signe aussi la courbure de la
poutre.
Figure 8-6 Distribution typique de déformation axiale par rapport à la profondeur de la poutre
Annexes
153
8.4 Annexe B : RĂ©sultats dâanalyse modale des poutres 2 et 3
8.4.1 Spectre de Fourrier de réponse en accélérations des poutres 2 et 3
Les spectres de Fourrier dâaccĂ©lĂ©ration de poutre 2 et 3 sont les suivants
Poutre 2 Poutre 3
Figure 8-7 Spectre de Fourrier de réponse en accélérations des poutres 2 et 3
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Fréquence (Hz)
abs(Y
n)
x 1
0-3
Impact au niveau du noeud # 2
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Fréquence (Hz)
abs(Y
n)
x 1
0-3
Impact au niveau du noeud # 2
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
5
10
15
20
25
30
Fréquence (Hz)
abs(Y
n)
x 1
0-3
Impact au niveau du noeud # 3
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
5
10
15
20
25
30
35
Fréquence (Hz)
abs(Y
n)
x 1
0-3
Impact au niveau du noeud # 3
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
5
10
15
20
25
30
Fréquence (Hz)
abs(Y
n)
x 1
0-3
Impact au niveau du noeud # 4
500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Fréquence (Hz)
abs(Y
n)
x 1
0-3
Impact au niveau du noeud # 4
Annexes
154
8.4.2 Modes propres de poutre 2
Figure 8-8 Modes propres de poutre 2
0 0.5 1 1.5 2-1
-0.9
-0.81e mode
1
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
12e mode
2
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
13e mode
3
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
14e mode
4
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
15e mode
5
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
16e mode
6
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
17e mode
7
x (m)
Annexes
155
8.4.3 Modes propres de poutre 3
Figure 8-9 Modes propres de poutre 3
0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
01e mode
1
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
12e mode
2
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
13e mode
3
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
14e mode
4
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
15e mode
5
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
16e mode
6
x (m)
0 0.5 1 1.5 2-1
0
17e mode
7
x (m)
Annexes
156
8.5 Annexe C : RĂ©sultats de la technique de FDD
(a)
(b)
0 1000 2000 3000-20
-10
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
1,(n
orm
alis
Ă©e)
Impact au niveau du noeud # 2
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
Fréquence (Hz)
MA
C[u
1(f 1
),u1(f)
]
MAC = 0.8
50 100 1500
5
10
15
20
25
Fréquence (Hz)
sub(
1),(
norm
alis
Ă©e)
1e Mode, fréquence 90 Hz
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
IFF
T[s
ub(
1)]
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-20
-10
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
1,(
no
rma
lisé
e)
Impact au niveau du noeud # 3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
Fréquence (Hz)
MA
C[u
1(f
1),
u1(f
)]
MAC = 0.8
400 450 500 550 600 6500
100
200
300
400
Fréquence (Hz)
su
b(
1),
(no
rma
lisé
e)
2e Mode, fréquence 502 Hz
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Temps (s)
IFF
T[s
ub
( 1)]
Annexes
157
(c)
(d)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-20
-10
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
1,(
no
rma
lisé
e)
Impact au niveau du noeud # 4
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
Fréquence (Hz)
MA
C[u
1(f
1),
u1(f
)]
MAC = 0.8
1600 1800 2000 22000
100
200
300
400
Fréquence (Hz)
su
b(
1),
(no
rma
lisé
e)
5e Mode, fréquence 1886 Hz
0 0.5 1 1.5 2
x 10-3
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
IFF
T[s
ub
( 1)]
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-20
-10
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
1,(
no
rma
lisé
e)
Impact au niveau du noeud # 4
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
Fréquence (Hz)
MA
C[u
1(f
1),
u1(f
)]
MAC = 0.8
2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 28000
20
40
60
80
100
Fréquence (Hz)
su
b(
1),
(no
rma
lisé
e)
6e Mode, fréquence 2441 Hz
0 0.5 1 1.5 2
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
IFF
T[s
ub
( 1)]
Annexes
158
(e)
Figure 8-10 RĂ©sultats de technique de FDD (a) 1e mode, (b) 2e mode, (c) 5e mode, (d) 6e mode, (e)
7e mode,
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-20
-10
0
10
20
30
40
Fréquence (Hz)
1,(
no
rma
lisé
e)
Impact au niveau du noeud # 3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
0.5
1
1.5
Fréquence (Hz)
MA
C[u
1(f
1),
u1(f
)]
MAC = 0.8
2400 2600 2800 3000 3200 3400 36000
100
200
300
400
500
600
700
Fréquence (Hz)
su
b(
1),
(no
rma
lisé
e)
7e Mode, fréquence 3004 Hz
0 0.5 1 1.5 2
x 10-3
-1
-0.5
0
0.5
1
Temps (s)
IFF
T[s
ub
( 1)]
Annexes
159
8.6 Annexe D : Variation des sauts temporels obtenus en
fonction de lâamplitude du dĂ©placement
Figure 8-11 Variation des sauts temporels obtenus en fonction de lâamplitude du dĂ©placement
-10.5 -10 -9.5 -9 -8.5 -8 -7.5 -70.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
log10
[abs(U4)]
t m
ax/t
0 [
10
-3]
1e mode
2e mode
3e mode
4e mode
5e mode
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