relatório leito fixo
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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Química
Departamento de Operações e Projetos Industriais
Laboratório de Engenharia Química I
Determinação Experimental
da Permeabilidade de Leitos
24 de Junho de 2010
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO...............................................................................................2
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...........................................................................2
2.1 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE.............................................................4
2.2 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO..................................................................6
2.3 PROPRIEDADES ESTRUTURAIS DA MATRIZ POROSA......................7
2.4 MODELO DO CAPILAR PARA OBTENÇÃO DE k E C...........................8
3. METODOLOGIA.............................................................................................9
4. MEMÓRIA DE CÁLCULO............................................................................10
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES.................................................................11
6. CONCLUSÕES............................................................................................15
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................16
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1. INTRODUÇÃO
O escoamento de fluidos (líquidos ou gases) através de leitos de partículas (leito fixo) é
uma prática muito comum. Em muitas operações industriais a fase fluida escoa através de uma
fase sólida particulada (fase sólida estacionária).
O estudo desse escoamento de fluidos em meios porosos granulares (leito fixo) apresenta
grande importância, devido a sua vasta aplicabilidade industrial e tecnológica, tais como: na
Engenharia Petrolífera, com o escoamento de óleo, água e gás nos reservatórios subterrâneos; na
Hidrologia, em leitos de areia para a purificação de água; na Engenharia Química, em reatores de
leitos catalíticos (catálise heterogênea), torres de absorção, dessorção e adsorção, na
transferência de calor e massa em leitos de partículas, filtração de gases e líquidos (purificadores)
e processos de secagem. A sua vasta aplicabilidade faz com que o estudo de escoamento de um
fluido por através deste e a predição da perda de carga proporcionada, por consequência, sejam
imprescindíveis[1]
.
A caracterização da estrutura física de tais meios representa um passo importante na
seleção, projeto e construção de materiais porosos, de modo a maximizar o seu desempenho e
otimizar as propriedades dos materiais. Esta caracterização se dá por três parâmetros:
permeabilidade (k), porosidade ( ) e fator C, que são constantes em qualquer posição do leito,
em qualquer tempo e para qualquer condição de operação[2]
. Esta abordagem matemática está
baseada na mecânica do contínuo, aplicando-se as equações constitutivas das leis de
conservação de massa e de momento, em paralelo ao estudo de permeametria do processo, que
será descrita neste experimento.
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Em diversos problemas onde se tem escoamento de fluido em engenharia química é
possível utilizar a hipótese da partícula isolada como ponto de partida na análise de sistemas
diluídos. A utilização dessa mesma estratégia no estudo de sistemas densos em partículas
oferece, no entanto, dificuldade de tal ordem de grandeza que tornaria, por exemplo, a simples
estimativa da relação vazão e queda de pressão no escoamento em meios porosos um problema
transcendental[3]
. Desta forma, deve-se propor expressões que relacionem as propriedades do
fluido em escoamento e do meio poroso com a queda de pressão gerada pela passagem do fluido
pelo leito de partículas para então conhecer a posição e a velocidade de cada partícula em um
sistema particulado tridimensional e estabelecer as interações destes com o fluido em escoamento.
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Adota-se então um modelo matemático com base na extensão da Mecânica do Contínuo
para contemplar as misturas. As leis básicas de conservação, que formam o núcleo da Teoria do
Transporte em misturas, foram estabelecidas por Truesdell (1957) e generalizadas mais tarde por
Kelly (1964). Partindo destas equações e na expressão do crescimento da entropia na forma da
desigualdade de Clausius-Duhem, diversos autores desenvolveram uma Teoria de Misturas capaz
de descrever diferentes fenômenos com a difusão molecular, as reações químicas e o escoamento
de fluidos em meios porosos[3]
.
Para as deduções subsequentes utilizou-se o modelo físico das partículas sólidas que
constituem uma matriz porosa indeformável, como pode ser observado na figura 2.1 a seguir. Um
meio deformável é aquele que tem suas propriedades constantes.
Figura 2.1: Modelo para meio poroso rígido
O fato do meio ser fixo implica que a velocidade do sólido é nula e o fato do meio ser rígido
implica que a porosidade é constante. Supondo que as densidades do sólido e do fluido também
são constantes e que o estado é estacionário, aplica-se a equação da continuidade e do
movimento às fases sólida e fluida[4]
.
A velocidade superficial do fluido q, utilizada amplamente em substituição à velocidade
intersticial u, é medida desconsiderando a presença da matriz porosa, conforme equação 3.1.
onde (Equação 2.1)
O sistema pode ser considerado como uma fase contínua formada por dois componentes:
Sólido + Fluido. As Leis de Conservação de Massa e de Movimento podem ser aplicadas no
volume de controle para o fluido e para o sólido. Porém estas leis serão aplicadas somente para o
fluido, de forma a se chegar numa relação entre vazão e queda de pressão.
2.1 Equação da Continuidade
A Lei da Conservação de Massa é representada pela Equação da Continuidade, aplicada
ao fluido é representada conforme equação:
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t q 0
(Equação 2.2)
onde é
q a velocidade superficial e é a massa específica do fluido.
Algumas hipóteses simplificadoras foram utilizadas de forma a tornar essa equação
possível de resolver: Fluido Newtoniano e incompressível, meio poroso rígido, meio poroso fixo e
escoamento isotérmico.
Figura 2.2 Sentido do fluxo do escoamento[5]
Esta é uma simplificação que transforma o problema tridimensional em unidimensional no
sentido do fluxo. A desvantagem é a perda de informação sobre a velocidade no interior dos poros.
A vantagem é que a condição de contorno para a velocidade superficial do fluido tornou-se
simples[5]
.
Desta forma a equação 3.2 resume-se em:
0dq (Equação 2.3)
isto é, a velocidade superficial q do fluido independe da posição no meio poroso, logo pode ser
considerada constante.
2.2 Equação do Movimento
A Lei da Conservação de Movimento é representada pela Equação do Movimento e
aplicada ao fluido é representada conforme a equação:
(Equação 2.4)
onde é a porosidade do meio poroso, é a força resistiva (por unidade de volume de mistura)
que o fluido exerce sobre o sólido, é a tensão de cisalhamento do fluido no meio poroso e é a
massa específica do fluido.
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Houve o acréscimo do termo à equação, de forma a representar a perda de momento
do fluido para o sólido. O sinal negativo deste termo deve-se à convenção que este termo refere-se
a uma força que o fluido exerce sobre o sólido[2]
. A força não inclui o empuxo do fluido sobre o
sólido, por isso aparecem os termos referentes à força de campo na equação 3.4. Ele está sempre
apontado na direção do escoamento e pode ser representado pela Equação de Forchhaimer[2]
,
conforme abaixo:
(Equação 2.5)
(Equação 2.6)
onde é a viscosidade do fluido newtoniano, é a permeabilidade do meio poroso, com dimensão
L2 e é o fator adimensional de Forchheimer, que dependem apenas de fatores estruturais da
matriz porosa quando não ocorrem interações físico-químicas entre matriz e fluido. Tais fatores
dependem apenas da porosidade.
A equação 3.5, a forma quadrática de Forchheimer, é válida para o escoamento viscoso
em meios isotrópicos homogêneos ou heterogêneos, isto é, meios em que e são,
respectivamente, constantes ou variáveis com a posição no sistema. A equação é válida também
em condições não isotérmicas, verificando-se a variação da viscosidade e da densidade do fluido
ao longo do escoamento.
No caso em que ReMP<<1 , (quando q for pequeno, próximo a regime laminar, e
escoamento lento), a equação 3.5 recai no modelo de Darcy, representada conforme abaixo:
(Equação 2.7)
2.3 Propriedades Estruturais da Matriz Porosa
Conforme comentado anteriormente, a porosidade, a permeabilidade e o fator são os
parâmetros que caracterizam matriz porosa a percolação de um fluido homogêneo através deste
meio.
A porosidade pode ser determinada com o auxílio da picnometria simples, sendo
necessária a picnometria com vácuo nas medidas com meios consolidados que apresentam
porosidade reduzida[2]
.
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A permeabilidade e o fator são determinados experimentalmente por permeametria
através do conjunto de medidas de vazão e queda de pressão efetuadas com a amostra,
utilizando-se um leito com as mesmas partículas do leito reale com a mesma porosidade, porém
em uma escala menor[2]
.
Figura 2.3: Permeâmetro[2]
De forma a tornar possível a resolução da equação 2.5, algumas hipóteses simplificadoras
deverão ser realizadas, conforme segue: escoamento unidimensional (de baixo para cima), regime
permanente, fluido newtoniano e incompressível, força de inércia desprezível, e
m o que
significa que o efeito do momento do sólido é muito mais importante que o efeito viscoso, pois são
desprezíveis os termos de aceleração, campo e forças viscosas, quando comparados aos efeitos
de interação sólido-fluido ( m ). Sendo assim a equação 2.4 resume-se:
(Equação 2.8)
Substituindo a equação 3.5 na equação anterior temos:
(Equação 2.9)
Resolvendo a integral temos:
(Equação 2.10)
Logo:
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(Equação 2.11)
onde o termo representa a ordenada, o termo representa o coeficiente angular e o termo
representa o coeficiente linear. Vale observar que em regime laminar o segundo termo é muito
maior que o primeiro termo.
2.4 Modelo do capilar para obtenção de e
Apesar de sua simplicidade, o modelo capilar permite correlacionar qualitativamente a
permeabilidade com alguns parâmetros estruturais da matriz porosa. É considerada a hipótese de
que os poros são formados por um feixe de tubos capilares com alguma inclinação[5]
. Através desta
hipótese pode-se determinar os seguintes parâmetros:
(Equação 2.12)
onde leva em conta a deformação da área transversal do capilar; =5 para grãos e =4,16 para
esferas idênticas.
onde ; onde = 10-6
cm2. A equação de é válida para
0,15< <0,75 e 10-9
< <10-3
cm2.
3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL
A Figura 4 ilustra o conjunto didático-experimental para o estudo do escoamento em leito
fixo, que consiste basicamente de um sistema de escoamento de água, um circuito de medida de
pressão no leito e a estrutura de sustentação do kit.
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Vret
Vsist
Dreno
T1
T2
T3
T4
P4
P3
P2
P1
Eq
ValVV
Vret
Vsist
Dreno
T1
T2
T3
T4
P4
P3
P2
P1
Eq
ValVV
Figura 3.1: Vista geral do Leito Fixo, evidenciando as tomadas de pressão
Para as determinações da permeabilidade no leito e do fator “C”, é necessário o
conhecimento da vazão volumétrica do líquido e da queda de pressão entre dois pontos do leito,
separados por uma distância L.
Após o preenchimento da coluna com as partículas, deve-se encher o reservatório com
água “limpa” até aproximadamente 7 cm do seu nível máximo, garantindo que toda a tubulação
também está cheia de fluido. Em seguida, fecham-se as vávulas Vsist, Vex e todas as válvulas do
circuito de medida de pressão (P1 a P4 e Eq), deixando aberta apenas a válvula do tipo gaveta
(Vret) e a válvula esfera (Val).
Seguindo o procedimento, deve-se regular a abertura da válvula (Vsist) na vazão desejada,
mede-se a vazão mássica (W) de água através do leito com o auxílio de um recipiente (balde) e de
um cronômetro. Esta operação é realizada abrindo-se a válvula (Vv) e fechando-se a válvula (Val)
simultaneamente por meio do acionamento da chave braço. Medindo-se a temperatura da água (T)
através de um termômetro, pode-se obter sua massa específica (
) e calcular a respectiva vazão
volumétrica (Q).
Em seguida, para cada vazão mássica do processo, a queda ou diferença de pressão (ΔP)
entre duas tomadas pode ser determinada através de medidas do desnível entre os meniscos (Δh)
do manômetro de mercúrio. E para isso manipula-se as válvulas (P1) a (P4) de acordo com a
medida da diferença de pressão entre as posições de interesse. A abertura da válvula (P1) dá
acesso à medida na região de entrada do leito, (P4) na região de saída do leito e (P2) e (P3) nas
regiões centrais, com distribuição eqüidistante de aproximadamente 10cm entre as tomadas de
pressão e em torno de 5cm de distância entre tomadas das extremidades e os flanges superior e
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inferior. A ligação mostrada na Figura 4 permite a obtenção entre as diferenças de pressão
relativas à tomada de pressão referente à válvula (P2). Isto é, permite as medidas na composição
P2 com P1/P3/P4. O sistema experimental é capaz de realizar medidas diferencias de pressão
entre as tomadas 2-1, 2-3 e 2-4.
4. MEMÓRIA DE CÁLCULO
Primeiramente, como o leito foi montado no momento da prática, a massa de sólidos, a
densidade do sólido e o volume de leito preenchido são conhecidos, de forma a possibilitar o
cálculo da porosidade do leito fixo. A fórmula para este calculo está descrita a seguir:
(Equação 4.1)
onde é a massa de sólidos, é a densidade do sólido e é o volume de leito preenchido.
Com os dados obtidos experimentalmente é possível calcular a velocidade superficial
através da equação 3.1 e é possível plotar o gráfico vs para cada trecho analisado.
Através dos coeficientes linear e angular de cada reta é possível obter os parâmetros que
caracterizam o leito , e .
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Através dos valores conhecidos da massa de sólidos (0,915 kg), da densidade do sólido
(2600 kg/m3) e do volume de leito preenchido (0,0004562 m
3) foi possível calcular a porosidade do
leito fixo através da equação 4.1, obtendo assim uma porosidade igual a 0,228.
A ordem de grandeza obtida para o valor de permeabilidade está satisfatória, visto que a
porosidade do meio é muito pequena.
Os dados obtidos experimentalmente encontram-se na tabela 5.1. As propriedades físicas
da água como massa específica (1000 kg/m3) e viscosidade (0,001 Pa.s), foram obtidas para uma
temperatura de 25°C.
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Tabela 5.1 Dados experimentais do leito fixo
Pode-se observar através dos dados experimentais da tabela 5.1 que para a maior parte
dos valores das tomadas de pressões estes se comportaram conforme esperado, isto é, para as
mesmas distâncias no leito (P2-P1 ou P2-P3), a perda de carga associada é praticamente igual,
assim como o dobro da distância leva a duplicação da perda de carga. Alguns pontos não
seguiram esta tendência devido à erros associados a prática, tal como erro na leitura do menisco
no manômetro.
A partir dos dados experimentais da tabela 5.1 plotou-se pontos experimentais em gráficos
(ΔP/qL) x q para os três trechos analisados. Vale ressaltar q o termo ρgL da equação da equação
do movimento não foi calculado, pois as tomadas de pressão do tubo em “U” do manômetro já
estão considerando a altura do liquido do leito. Para os 3 gráficos, a partir de um ajuste de reta
tem-se os coeficientes lineares e angulares para se obter os parâmetros que caracterizam o leito, k
e C.
Massa Tempo (s) Vazão (m³/s) Vazão média
Velocidade superficial
(m/s) Pontos
Distância (cm)
h (cmHg)
0,42 24,5 1,71429E-05
1,75076E-05 0,002509843
P1-P2 10 0,3
0,42 23,5 1,78723E-05 P2-P3 10 0,7
P2-P4 20 1,3
0,59 10 0,000059
5,99569E-05 0,008595255
P1-P2 10 2,8
0,72 11,82 6,09137E-05 P2-P3 10 3,2
P2-P4 20 6,3
0,59 7,94 7,43073E-05
7,59348E-05 0,010885813
P1-P2 10 4,4
0,56 7,22 7,75623E-05 P2-P3 10 4,8
P2-P4 20 9,5
0,69 8,31 8,30325E-05
8,46635E-05 0,012137128
P1-P2 10 5
0,68 7,88 8,62944E-05 P2-P3 10 5,4
P2-P4 20 10,7
1 7,37 0,000135685
0,000133092 0,019079697
P1-P2 10 10,5
0,89 6,82 0,000130499 P2-P3 10 10,7
P2-P4 20 20,8
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Figura 5.1 Gráfico para as tomadas de pressão 2 e 1
Figura 5.2 Gráfico para as tomadas de pressão 2 e 3
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Figura 5.3 Gráfico para as tomadas de pressão 2 e 4
Pode-se observar que apenas o gráfico da figura 5 não obteve um R2 tão próximo de 1
devido a alguns pontos que encontram-se um pouco distantes da reta. Isto pode ser resultante de
alguns erros experimentais, como a dificuldade em ler corretamente a altura do mercúrio ou
mesmo erro associado ao próprio equipamento. Os outros gráficos obtiveram-se resultados ótimos.
Para cada trecho foi calculada a permeabilidade k e o fator “C”, a partir dos coeficientes
angular e linear de cada tendência (reta de ajuste) dos gráficos anteriores, e os resultados
encontram-se na Tabela 5.2, a partir da equação 2.11.
k (m2) C
Trecho 2-1 1x10-9 9,49
Trecho 2-3 3,33x10-9 11,54
Trecho 2-4 3,33x10-9 11,54 Tabela 5.2 Parâmetros Característicos do Leito
Os valores de k e C deveriam ter sido iguais já que estes não dependem do ponto de
tomada de pressão porém a diferença entre eles não foi tão significativa visto que nesta prática há
erros associados a leitura do manômetro, medida da massa de água no balde e erros do operador
ao controlar o cronômetro.
5. CONCLUSÃO
Foi possível concluir, através deste experimento, que através da aplicação das equações
de continuidade e de movimento ao fluido, e com as devidas simplificações, fornece meios
concretos de relacionar a vazão com a queda de pressão, de forma a tornar possível o cálculo dos
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parâmetros que caracterizam um leito, porém tal cálculo só se torna possível através do
conhecimento dos parâmetros que influenciam o fenômenos, bem como o controle dos mesmo de
forma a não introduzir erros sistemáticos ao resultado final.
A ordem de grandeza obtida para o valor de permeabilidade está satisfatória, visto que a
porosidade do meio é muito pequena. Os valores para o fator “C” também seguem a magnitude
exposta na literatura, para leitos de sílica.
Porém, conforme observado pelos pontos plotados no gráfico e o coeficiente de
distribuição obtido ao ajustarmos uma reta de tendência, poderíamos ter ajustado valores de vazão
mais bem distribuídos entre as capacidades mínima e máxima do conjunto didático-experimental,
somado à aquisição de mais pontos, de forma aos valores atípicos e outros erros imensuráveis não
prejudicarem a regressão final. Isto nos traria um ganho a mais na confiabilidade dos dados
obtidos para os fatores que caracterizam o leito fixo, objetivo da nossa prática.
5. BIBLIOGRAFIA
[1] http://www.feq.unicamp.br/~cobeqic/tPT14.pdf, acessado em 04/06/2010.
[2] MASSARANI, G.; “Fluidodinâmica em Sistemas Particulados”, Editora UFRJ, Rio de Janeiro,
1997.
[3] www.enq.ufsc.br/disci/eqa5313/Fluidizacao.htm, acessado em 05/06/2010.
[4] http://www.ebah.com.br/meios-porosos-doc-a28316.html, acessado em 05/06/2010.
[5] REIS, Rodrigo A.; Operações Unitárias I; Notas de Aula do Departamento de Operações e
Projetos Industriais, Instituto de Química UERJ, 2007.
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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] FOX, Robert W. et al. Introdução à Mecânica dos Fluidos: Rio de Janeiro : LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 6ª edição,2006. p.348-351.
[2] Foust, Alan S. et al. Princípios das Operações Unitárias. Rio de Janeiro, LTC – Livros Técnicos
[3] Duarte Filho, O.B.; Assaf, J.M. Perfis de velocidade para o escoamento turbulento em dutos cilíndricos. In: Tópicos em laboratório didático em fenômenos de transporte, 2a edição, DEQ/UFSCar, São Carlos - SP, 1987.