rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión markowitz

Evaluación Alternativa TEORÍA DE LA INVERSIÓN

- TEMA 5. RENTABILIDAD Y RIESGO DE LAS CARTERAS DE INVERSIÓN

- TEMA 6. EL MODELO DE MARKOWITZ

Profesora: Elo San Miguel Moreno

Alumno: Antonio Lorente Cuesta

(Grupo A CAG)(2011/2012)

Evaluación Alternativa

ÍNDICE

-Tema 5: Rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión……………………………………………………………………………………….…. 3

5.1.- El comportamiento del consumidor y la función

de utilidad……………………………………………………………………………... 3

5.2.- Rentabilidad y riesgo…………………………………………….……….. 6

5.3.- Ventajas de la diversificación………………………………………... 18

-Tema 6: El modelo Markowitz……………………………………………………….. 25

6.1.- Introducción………………………………………………………………….. 25

6.2.- Conjunto variable y conjunto eficiente.

Curvas de indiferencia………………………………………………….. 26

6.3.- La cartera óptima del inversor.………………………………………. 38

6.4.- Introducción del título sin riesgo:

el modelo de Tobin.......................................................... 38

Bibliografía…………………………………………………………………………………….. 42

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TEMA 5: Rentabilidad y Riesgo de las Carteras de Inversión

5.1.- El comportamiento del inversor y la función de utilidad.

Ante una situación de riesgo, partiendo de la hipótesis de que los individuos tienen aversión al riesgo (preferencia por una inversión con un grado de riesgo antes que otra con mayor riesgo y mayor rentabilidad), y desde un punto de vista racional, el inversor intentará maximizar la utilidad esperada de su riqueza.

Una clasificación fundamental de las diferentes posibilidades de inversión1

se deriva del objeto de la inversión. Podemos considerar dos tipos:

- Inversiones reales- Inversiones financieras, tema a tratar.

Las inversiones financieras vienen determinadas por cuatro parámetros:

- Rentabilidad- Riesgo- Liquidez- Control

La utilidad esperada de un inversor teniendo en cuenta que los rendimientos de los títulos siguen una distribución normal se puede expresar en función de la media y de la varianza de los rendimientos de los títulos en cuestión:

E[U(Řp)]=ƒ[E((Řp), σ2(Řp)] (1)

Markowitz (1952, 87)2 señaló la necesidad de considerar la función de utilidad de los inversores para determinar la combinación óptima entre rentabilidad-riesgo. Para ello ante un riesgo dado, el decisor buscará maximizar el rendimiento esperado y minimizar el riesgo:

∂ f∂ E(Řp) >0 ; ∂ f

∂σ 2(Ř p) <0 (2)

Es necesario que realicemos una serie de reflexiones análisis y consideraciones2:

1.- La utilidad que le reporta al inversor la rentabilidad y el riesgo se pueden medir con funciones de utilidad total y marginal.

3


2.- El inversor siempre puede pronunciarse con relaciones de indiferencia o preferencia entre dos estados concretos de rentabilidad-riesgo, aunque no puede precisar la cuantía de tal indiferencia.

3.- Las curvas de indiferencia en Teoría de Cartera, al trabajar con rentabilidad y riesgo, son ascendentes con riesgo en abscisas y rentabilidad en ordenadas:

Ilustración 1

La expresión analítica de la familia de curvas de indiferencia vendría cuantificada por la función índice de utilidad que tienen como misión establecer relaciones de indiferencia o preferencia pero no de utilidad:

I= F[U(Ep;σp)]=F(ф(Ep;σp)]= ƒ(Ep;σp) (3)

Siendo I el índice de utilidad rentabilidad-riesgo, ф(Ep;σp)= U(Ep;σp)=U y F(U) representa la función de utilidad.

Introduciendo elementos objetivos, debemos introducir el concepto de relación marginal de sustitución, que sería el límite de la relación por el cociente en los intercambios rentabilidad-riesgo para que la satisfacción del inversor permanezca invariable:

R(E p;σ p)=limn→∞ ( ΔEpΔσp )=¿ dEp

dσp¿

Todos los expertos en gestión de carteras indican que, para que la utilidad del inversor con aversión al riesgo permanezca constante, la variación incremental rentabilidad-riesgo debe ser creciente: in incremento dado del nivel de riesgo, el inversor con aversión al riesgo exigirá incrementar

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más que proporcional la rentabilidad del título. Un ejemplo podría ser si un inversor ve incrementada la rentabilidad de una cartera del 3,9% al 5,7% (180 puntos básicos) estando dispuesto a asumir un incremento del riesgo del 3,4% al 8,5% (510 puntos básicos), por otros 510 puntos básicos de aumento en el riesgo exigirá una compensación de más de 180 puntos básicos si se pretende que las combinaciones reporten el mismo nivel de utilidad.

De aquí se dice que los rendimientos marginales son crecientes representándose por unas curvas similares a la ilustración 1.

En el caso de que los rendimientos marginales fuesen constantes las curvas se sustituirían por rectas:

Ilustración 2

Esto nos obliga a afirmar las siguientes expresiones:

Postulado (a): Rendimientos marginales estrictamente crecientes con el riesgo: al aumentar el riesgo el aumento de rentabilidad son más que directamente proporcionales.

d2E pd (σ )2

> 0

Postulado (b): Rendimientos marginales crecientes o constantes en el riesgo: al aumentar el riesgo el aumento de rentabilidad crecen de una manera directamente proporcional o más que directamente proporcional.

5


d2E pd (σ )2

≥ 0

Por lo que no tiene lógica afirmar lo siguiente:

d2E pd (σ )2

< 0

Indicando unos rendimientos marginales decrecientes.

Los lugares geométricos de los puntos (Ep,σp) que dan la misma utilidad se denomina función de indiferencia de utilidad, curva de indiferencia de utilidad o curva isoutilidad. Cuanto mayor pendiente y/o convexidad de dichas líneas o curvas de indiferencia indica mayor aversión al riesgo y por lo tanto la exigencia de mayores primas de rentabilidad.

Ilustración 3

Hay que ser riguroso respecto al principio de rendimientos marginales estrictamente crecientes por el riesgo, por lo cual en nuestro análisis de eficiencia sólo incluiremos este tipo de situaciones.

5.2.- Rentabilidad y Riesgo.

Los inversores están dispuestos a colocar sus ahorros o parte de ellos adquiriendo títulos de la empresa i por un precio unitario (Pio) si tienen la esperanza de que suba su cotización y las pueda vender por un precio

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unitario ¿it) más elevado. Además el inversor tiene en cuenta un dividendo por acción incierto ¿, siendo la rentabilidad aleatoria (por moverse dentro del espacio de las probabilidades):

Ři= ~

(P¿¿ – P io)+~ditPio

¿ (4)

Dónde Ři representa la rentabilidad de un título expresado en tanto por uno o por ciento y

~(P¿¿ – P io)¿ representa la plusvalía por la venta del

título.

Por lo tanto a priori se dice que la rentabilidad de un título es una variable aleatoria que puede tomar diferentes valores en función de sus probabilidades y que se pueden calcular dos estadísticos:

1.- la media o rendimiento esperado del título (E(Ři)):

E(Ři)= ∑j=1

m

R ijP j (5)

Siendo Rij la rentabilidad del activo i en el estado de la naturaleza j y Pj es la probabilidad de que ocurra el estado de la naturaleza j.

2.- la varianza de dicho rendimiento: σ2(Ři), que mide la variabilidad de la rentabilidad del título i. Para interpretar este estadístico contra mayor sea ésta, mas dispersos estarán los posibles valores de la rentabilidad, siendo más incierta y arriesgada la rentabilidad del activo:

σ2(Ři) = E[(Ři – E(Ři))2] = E(Ři)2 – [E(Ři)]2 =∑j=1

m

(R¿¿ ij−E(Ř i))¿2Pj (6)

Se expresa como el sumatorio de la diferencia de cuadrados entre cada valor posible de la rentabilidad y la rentabilidad media, todo ello multiplicado por las respectivas probabilidades.

Tanto la rentabilidad media como la varianza están expresadas en porcentaje o tanto por uno. La desviación típica de los rendimientos como medida de dispersión también estará expresada en porcentaje y se calcula como la raíz cuadrada de la varianza:

σ (Ři) = σi = √σ2(Ř i) (7)

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Las desviaciones negativas son las que tienen que preocupar a un inversor con aversión al riesgo ya que el rendimiento del título alcanzará un valor menor de lo esperado. Utilizar tanto varianza como desviación típica sólo tiene sentido si la función de distribución de los rendimientos es simétrica, como por ejemplo una distribución normal ya que tanto la probabilidad acumulada a la derecha e izquierda del punto medio es la misma.

En el caso de que la función sea asimétrica utilizaremos el concepto de semivarianza:

S= ∑j=1

k

(R¿¿¿ij−¿ E (Ř i))2 ¿¿Pj (8)

Dónde R¿ij son los valores posibles por debajo de la media que puede

tomar un título i en los k estados de la naturaleza.

Para calcular rentabilidad y riesgo se puede tomar un único título o una cartera de valores o conjunto de combinaciones diferentes de títulos o activos financieros con unas determinadas proporciones o ponderaciones.

El objetivo de la formación de carteras es reducir el riesgo mediante la diversificación, es decir, que la desviación estándar de los rendimientos sobre la cartera de activos Rp puede ser menor que la suma de las desviaciones estándar provenientes de los activos3. Podemos poner un ejemplo: sabemos que cuando la economía está en auge la demanda de automóviles nuevos es alta, y los rendimientos de la industria automotriz son grandes, pero a medida que el crecimiento económico tiende a bajar la gente no podrá cambiar con facilidad su automóvil y tendrá que mantenerlo con demanda de recambios. Entonces la industria de recambios, en este periodo, obtendrá altos rendimientos. Debido al comportamiento cíclico de la industria automotriz, y anti cíclico de la industria de recambios, un inversor con títulos en las dos industrias puede tener rendimientos más estables por la diversificación que si invirtiera sólo en una industria.

Por lo tanto la rentabilidad de la cartera vendrá dada por la media ponderada de las rentabilidades aleatorias de los títulos que la componen:

Řp=w1Ř1+ w2Ř2+…+ wNŘN=∑i=1

N

wiŘi (9)

8


∀ w1…… wj dónde ∑j=1

N

wi = 1

Si aplicamos el operador esperanza matemática a (9) podemos llegar a la conclusión de que la esperanza matemática de una suma de variables aleatorias ponderadas por sus respectivas constantes, es la media ponderada de los rendimientos esperados de los títulos que integran la cartera:

E(Řp)= ∑i=1

N

wiE(Ři) (10)

Exactamente lo mismo pasa con el riesgo, un inversor querrá saber el riesgo que asume con la cartera que ha formado y para ello aplicará el operador varianza:

σ2(Řp)= w12 σ2(Ř1)+ w2

2 σ2(Ř2)+ … + wN2 σ2(ŘN)+2w1w2Cov(Ř1, Ř2)+

2w1w3Cov(Ř1, Ř3)+ … +2wn-1wnCov(Řn-1, Řn) (11)

De esta expresión podemos obtener dos más equivalentes:

- σ2(Řp)=∑i=1

N

wi2 σ2(Ři)+∑

i=1

N

∑j=1

N

wiwj cov(Ři, Řj) (12)

Si i=j cov (Ři, Řj) = σ2(Ři)

- σ2(Řp)=∑i=1

N

∑j=1

N

wiwj cov(Ři, Řj) (13)

Si i≠j cov (Ři, Řj)= cov(Řj, Ři)

La varianza del rendimiento de la cartera también depende de las covarianzas entre los rendimientos de los diferentes títulos y obligan al inversor tratar los títulos de forma conjunta, ya que las covarianzas negativas o reducidas disminuyen la varianza del rendimiento de la cartera en su conjunto.Recordemos que la covarianza se calcula de la siguiente forma:

cov(Ři, Řk)=E[(Ři – E(Ři)( Řk – E(Řk)]=∑j=1

m

(Řij – E(Ři))( Řkj – E(Řk))Pj (14)

(nota: tener en cuenta que al ser dos títulos el denominador de la fórmula debe ser: n-1=1)

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Dado que el coeficiente de correlación se expresa como:

ρij = cov (Ři ,Řj)σ (Ři)σ (Řj ) (15)

los valores y el tipo de correlación quedan expresados en la siguiente tabla:

Coeficiente de Correlación Tipo de Correlación1 Positiva Perfecta-1 Negativa Perfecta-1 < ρij < 1 Lineal no perfecta (incluye ρij=0)

Podemos expresar la covarianza de dos títulos en función de su coeficiente de correlación despejando de la fórmula (15):

cov(Ři, Řj)= ρijσ(Ři) σ(Řj) (16)Sustituyendo en la fórmula (13) la expresión (16):

σ2(Řp)=∑i=1

N

∑j=1

N

wiwj cov(Ři, Řj)= σ2(Řp)=∑i=1

N

∑j=1

N

wiwj ρijσ(Ři) σ(Řj) (17)

Tratándose de una cartera P también podemos reflejarlo en forma matricial: σ2(Ř1) cov(Ř1, Ř2) … cov(Ř1, Řn) w1

σ2(Řp)= (w1, w2,…wn) cov(Ř2, Ř1) σ2(Ř2) … cov(Ř2, Řn) w2 (18)…………………………………………………… ……..cov(ŘN, Ř1) cov(ŘN, Ř2) … σ2(ŘN) wN

(N Varianzas y (N2 – N)/2 covarianzas)

Cuando un título forma parte de una cartera deberá ser valorado según su aportación a la rentabilidad y al riesgo de la misma. Esto significa que la contribución de un título i en una cartera P es:

wiE(Ři) (19)

De la misma manera para ver la contribución de ese mismo título al riesgo de la cartera:

wi conv(Ři, Řp) (20)

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De estas dos expresiones se desprende que si la rentabilidad esperada de un título es positiva y la covarianza de su rendimiento con respecto a la cartera es negativa, el título puede incrementar la rentabilidad de la cartera y disminuir el riesgo de la misma. Decir también que la contribución de un título al rendimiento esperado de una cartera no varía si el peso de dicho título tampoco lo hace y que la aportación al riesgo de la cartera, aún siendo constante el peso del título, si cambia según cuales sean los títulos que le acompañan y las ponderaciones de estos últimos en ella. Dependiendo de qué parámetros para medir rentabilidad-riesgo utilicemos vamos a necesitar unas medidas de riesgo u otras. Así tenemos:

Ejes Rentabilidad Riesgo(Ep , σ2

p) wiE(Ři) wi cov(Ři , Řp)(Ep , σp) wiE(Ři) wi cov(Ři , Řp)/σ(Řp)(Ep , βp) wiE(Ři) wiβi

Podemos señalar que el riesgo de una cartera depende de la porción o peso relativo de cada activo (wi), de la desviación típica de cada título y de la covarianza entre los rendimientos de los títulos.

Si normalizamos el riesgo de la cartera P y decimos que su desviación típica (σp) se corresponde con el 100% del riesgo, podremos evaluar la contribución de cada título a ese 100% del riesgo de la siguiente forma:

1=σ(Řp) / σ(Řp) = ∑i=1

N

wiconv (Ř i, Ř p)σ 2(Řp)

= ∑i=1

N

wiβi = βp (21)

Por lo que el parámetro que mide la pendiente de la regresión lineal entre los rendimientos previstos del título i en los ejes (Ep ,βp) viene determinado por:

βi= conv (Ři ,Ř p)σ 2(Řp)

(22)

(Medida del riesgo de un título en los ejes (Ep,βp). Vamos a ver un par de ejemplos con dos títulos y distintos escenarios:

Ejemplo 1: Dos títulos

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Título Wi E(Ři) σ2(Ři) Pi

A 60% 10% 8% 40%B 40% 15% 6% 60%

El rendimiento esperado de la cartera vendrá dado por las expresiones (5) y (10):

E(Ři)= ∑j=1

m

R ijP j

E(Řp)= ∑i=1

N

wiE(Ři) = 0,6*0,1*0,4+0,4*0,15*0,6 =0,6 (6%)

Suponiendo una covarianza del 3% podremos calcular el riesgo de la cartera con la expresión (11):σ2(Řp)= w1

2 σ2(Ř1)+ w22 σ2(Ř2)+ … + wN

2 σ2(ŘN)+2w1w2Cov(Ř1, Ř2)+ 2w1w3Cov(Ř1, Ř3)+ … +2wn-1wnCov(Řn-1, Řn) σ2(Řp)=0,602*0,08+0,402*0,06+2*0,06*0,04*0,03*0,08*0,06=0,05292 (5,92%)

EL coeficiente de correlación entre ambos títulos vendrá dado por la expresión (15):

ρij = cov (Ři ,Řj)σ (Ři)σ (Řj ) =0,03

√0,08+√0,06 = 0,0568 (correlación lineal no perfecta)

Ejemplo 2: Dos títulos y distintos escenarios

Escenario Probabilidad Rento. Titulo A Rento. Título BExpansión 30% 40% -5%Normal 50% 20% 15%Recesión 20% -20% 20%

A continuación mostraremos los cálculos en una tabla para cada título y en el conjunto de la cartera:Título A: (60% de la cartera)

Escenario P(x) R P(x)*R Desv. (R-E(R)) 2 (R-E(R)) 2 *P(x)

Expansión 30% 40% 0,12 22% 0,048 0,01452

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Normal 50% 20% 0,10 2% 0,000 0,0002Recesión 20% -20% -0,04 -38% 0,14 0,02888

E(R) 18% σ2 0,04360σ 20,88%

Título B: (40% de la cartera)

Escenario P(x) R P(x)*R Desv. (R-E(R)) 2 (R-E(R)) 2 *P(x)

Expansión 30% -5% -0,015 -15% 0,023 0,007Normal 50% 15% 0,075 5% 0,003 0,001Recesión 20% 20% 0,04 10% 0,010 0,002

E(R) 10% σ2 0,01σ 10%

Tabla de ambos títulos: cartera.

Escenario P(x) Desv. A Desv.B Desv. A*B P(x)*Desv.A*Desv.B

Expansión 30% 22% -15% -0,033 -0,0099Normal 50% 2% 5% 0,001 0,0005Recesión 20% -38% 10% -0,038 -0,0076

Covarianza -0,0170

Título

wi E(R) σ 2 σ

A 60% 18% 0,0436 0,2088B 40% 10% 0,01 0,1

E(Rp) 14,8%

σ2(Řp)(1) 0,009136

σ(Rp) 9,56%ρij

(2) -0,8141

(1)Aplicaremos la expresión (11).

(2) Aplicaremos la expresión (15).

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Ejemplo 3: Diez títulos (cartera)

Vamos a realizar un ejemplo utilizando la aplicación Excel (versión 2007).

Tabla de Datos Históricos de rendimientos (datos inventados y al azar)

PeriodosTítulos P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10X1 5% 6% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 6%X2 6% 6% 6% 6% 5% 4% -3% 5% 5% 4%X3 3% 2% 2% -1% 3% 4% 4% 4% -2% 2%X4 1% -2% 2% 0% -1% 5% 5% 6% 6% 6%X5 4% 5% 1% -1% 2% 3% 5% 9% 5% 1%X6 8% 6% 6% 6% 8% 9% 5% 5% 2% 5%X7 10% 5% 2% 6% 10% 6% 15% 5% 2% 10%X8 15% 12% 15% 10% 8% 9% -2% 13% -1% 5%X9 20% 22% 10% 5% 4% 1% -4% -3% -2% 10%X10 6% 6% 6% 0% -1% 4% 6% -2% 5% -4%

Esta tabla representa el rendimiento de un título i en un periodo j, expresada en tanto por ciento.

TítulosPromedio

Rentabilidad Desviación VarianzaX1 4% 0,0190 0,0004X2 4% 0,0272 0,0007X3 2% 0,0208 0,0004X4 3% 0,0316 0,0010X5 3% 0,0284 0,0008X6 6% 0,0200 0,0004X7 7% 0,0409 0,0017X8 8% 0,0608 0,0037X9 6% 0,0918 0,0084X10 3% 0,0392 0,0015

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En esta tabla hemos calculado el promedio de los rendimientos así como la desviación típica y la varianza. Se ha utilizado als siguientes funciones en Excel:

Promedios:

Promedio de los rendimientos de los n títulos: =PROMEDIO(B5:K5)El rango B5:K5 hace referencia a los rendimientos históricos del título X1 para los 10 periodos analizados.

Desviaciones:

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Desviación estándar de los rendimientos según la tabla histórica: =+DESVEST(B5:K5). El rango es similar a la anterior fórmula.

Varianzas:

Varianzas de los rendimientos de cada título en los periodos indicados: =VAR(B5:K5). El rango es similar a la primera fórmula.

Peso5% 10% 5% 5% 4% 15% 15% 15% 15% 11%

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Títulos X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10X1 0,000360 0,000244 -0,000184 -0,000232 -0,000306 -0,000020 -0,000254 0,000254 0,001078 0,000126X2 0,000244 0,000738 -0,000194 -0,000332 -0,000146 0,000080 -0,000704 0,001044 0,001158 -0,000144X3 -0,000184 -0,000194 0,000432 0,000052 0,000196 0,000220 0,000389 0,000286 -0,000013 -0,000016X4 -0,000232 -0,000332 0,000052 0,000996 0,000288 -0,000260 0,000022 -0,000852 -0,001694 -0,000218X5 -0,000306 -0,000146 0,000196 0,000288 0,000804 -0,000140 -0,000024 -0,000106 -0,000552 0,000146X6 -0,000020 0,000080 0,000220 -0,000260 -0,000140 0,000400 0,000200 0,000610 0,000560 0,000020X7 -0,000254 -0,000704 0,000389 0,000022 -0,000024 0,000200 0,001677 -0,000794 -0,000203 -0,000186X8 0,000254 0,001044 0,000286 -0,000852 -0,000106 0,000610 -0,000794 0,003693 0,002968 -0,000014X9 0,001078 0,001158 -0,000013 -0,001694 -0,000552 0,000560 -0,000203 0,002968 0,008423 0,000802X10 0,000126 -0,000144 -0,000016 0,000146 0,000146 0,000020 -0,000186 -0,000014 0,000802 0,001538

Posteriormente pasaremos a calcular la matriz de varianzas y covarianzas. Se trata de una matriz simétrica dónde en la diagonal aparecen las N varianzas (1 por cada título) y las 45 covarianzas (N(N-1)/2). La fórmula empleada en Excel debe respetar los subíndices de la matriz: Cov(X1,X2), Cov(X1,X3), Cov(X1,X4)….. Cov(X9X10). Al ser simétrica, la segunda parte de la tabla es copia de la primera.Utilizaremos la fórmula:

Covarianzas de la cartera: =COVAR($B$5:$K$5;$B$6:$K$6), dónde $B$%:$K$ representan los rendimientos del título X1 en los periodos considerados y $B$6:$K$6 los correspondientes al título X2, y así sucesivamente.

Ahora calcularemos los riesgos y rentabilidades de cada título en la cartera y el de la cartera en su conjunto:

Títulos Peso (Wi)Promedio

RentabilidadSuma

ProductosCálculo del

ReisgoX1 5% 4% 0,00018 0,00001

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X2 10% 4% 0,00027 0,00003X3 5% 2% 0,00013 0,00001X4 5% 3% -0,00042 -0,00002X5 4% 3% -0,00008 0,00000X6 15% 6% 0,00027 0,00004X7 15% 7% 0,00005 0,00001X8 15% 8% 0,00105 0,00016X9 15% 6% 0,00191 0,00029X10 11% 3% 0,00027 0,00003

100% Varianza 0,00054

Rentabilidad de la Cartera (Rp): 5,50%

Riesgo de la Cartera: 2,33%Desviación Típica

La columna Peso representa el % de participación de cada título en la cartera. En realidad esta columna debería ser nuestra incógnita para poder calcular la cartera con mayor rentabilidad posible, pero en este punto no se va a considerar de esa forma. La siguiente columna: Promedio Rentabilidad ya la hemos comentado anteriormente. La cuarta columna es la suma de productos del peso de cada título multiplicado por cada fila de la matriz de varianzas y covarianzas. Representa el paso intermedio para el cálculo del riesgo de cada título y de la cartera. Utilizaremos la fórmula: =SUMAPRODUCTO($H$30:$Q$30;H32:Q32) dónde $H$30:$Q$30 representa el peso de cada título en la cartera y la expresión H32:Q32 representa la fila del título X1 de la matriz de varianzas y covarianzas. Se debe continuar con todos los títulos hasta acabar la tabla.

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La última columna representa el producto del peso de la cartera por la columna suma de productos. La suma (0,00054) representará la varianza de la cartera. La raíz de la varianza nos mostrará la desviación típica o riesgo de la cartera.

5.3.- Ventajas de la diversificación

Una primera aproximación se va a realizar con la diversificación del riesgo al combinar dos títulos.

En una cartera de dos o más títulos si exceptuamos el caso de correlación perfecta (ρ=1), habrán ventajas en esa diversificación porque el rendimiento esperado de la cartera será igual a la media ponderada de los rendimientos de los títulos que se mezclan. Además la desviación típica de rendimiento de la cartera será inferior a la media ponderada de las desviaciones típicas de los títulos a combinar.

La diversificación reduce la variación y el riesgo. La caída brusca en el precio de un título puede corresponder a una caída menos pronunciada que otra e incluso el aumento en el precio de una tercera. Con carteras más abultadas (quince, veinte títulos o más) la contribución marginal a la reducción del riesgo será sumamente pequeña. Una cartera con bajas covarianzas corresponden a títulos con desviaciones estándares pequeñas

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o con una baja correlación en los cambios en sus precios, por lo que deben buscarse títulos con bajas covarianzas para incorporarlas a una cartera de inversión o portafolio y reducir el riesgo total.

Supongamos dos títulos arriesgados cuyos rendimientos guardan una correlación según la expresión (15):

ρ12 = cov (Ř1, Ř2)σ (Ř1)σ (Ř2)

Partiendo de que la desviación típica del rendimiento de cualquier título siempre es positiva, el signo del coeficiente de correlación dependerá de la covarianza de los rendimientos aleatorios de estos títulos. El coeficiente

de correlación ρ12 puede tomar los valores: -1≤ ρ12≤+1.

Vamos a ver uno a uno los valores posibles y el significado de cada uno:

1: ρ12=1, correlación perfecta y positiva. Los rendimientos se mueven en el mismo sentido con relación lineal de pendiente positiva. La relación entre rentabilidad y riesgo es lineal y no hay ventajas en la diversificación.El valor de la covarianza entre dos títulos es:

Cov(Ř1, Ř2)=σ(Ř1) σ(Ř2) (23)

En este supuesto el rendimiento de la cartera P quedará de la siguiente forma:

σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w2

2σ2(Ř2)+2w1w2Cov(Ř1,Ř2)=w12σ2(Ř1)+w2

2σ2(Ř2)+2w1w2ρ12

σ(Ř1)σ(Ř2)= w12 σ2

1+ w22 σ2

2+2w1w21 σ1σ2= (w1 σ1+ w2 σ2)2 (24)

Por lo tanto las expresiones que nos miden el rendimiento esperado y riesgo en este supuesto serán:

E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2) (25)

σp= w1 σ1+ w2 σ2 (26)

En este supuesto no habrá ventajas en la diversificación, el riesgo no se diversificará y la relación entre rentabilidad y riesgo será lineal como

20


hemos comentado porque tanto el rendimiento esperado como la desviación típica del rendimiento de la cartera son igual a la media ponderada de los respectivos rendimientos esperados y desviaciones típicas.

SI sustituimos en las expresiones (25) y (26) la igualdad w2=1-w1 (ya que w1+w2=1) tendremos la relación lineal que se ha comentado (supone una combinación lineal entre rendimiento y riesgo):

E(Řp)= E(Ř2)+ E (Ř1 )−E(Ř2)σ 1−σ2 (σp-σ2) (27)

2: ρ12=-1, correlación perfecta y negativa. Los rendimientos de los títulos se mueven en sentido opuesto a través de una recta con pendiente negativa.El valor de la covarianza entre dos títulos es:

Cov(Ř1, Ř2)=-σ(Ř1) σ(Ř2) (28)

Como la rentabilidad de una cartera no depende del coeficiente de correlación, la expresión de los rendimientos esperados de la cartera será similar a la expresión (25).

En cuanto al riesgo y sustituyendo en la expresión (24) el valor -1 en el coeficiente de correlación llegaremos a la siguiente expresión:

σ2p= (w1 σ1- w2 σ2)2 (29)

Que extrayendo raíces cuadradas llegaremos a dos soluciones posibles:

σp= ±(w1 σ1- w2 σ2) (30)Como σp debe ser positiva obtendremos dos expresiones sustituyendo w2=(1-w1):

σp= -σ2 + w1 (σ1 + σ2) (31)σp= σ2 - w1 (σ1 + σ2) (32)

21


De estas dos expresiones se obtienen dos ecuaciones de dos líneas rectas: una con pendiente positiva y otra con pendiente negativa:

3: -1< ρ12<1, Como en los dos casos anteriores la rentabilidad esperada seguirá siendo la misma, pero la varianza del rendimiento de la cartera será modificada. Las expresiones ya las hemos visto en las expresiones (24) y (25):

E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2) (33)σ2(Řp)=w1

2σ2(Ř1)+w22σ2(Ř2)+2w1w2ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=

w12σ2

1+(1-w12)σ2

2+2w1(1-w1) ρ12σ1σ2 (34)

Por lo que σp=√ σ 2

Como ρ12<1 la varianza será menor que cuando la correlación era perfecta y positiva, con lo que el inversor reducirá el riesgo invirtiendo en una cartera en lugar de un activo individual.

Podremos obtener de la expresión 34, despejando w1 la ponderación que debe alcanzar el título 1 dentro de la cartera P para que la cartera así formada sea de mínima varianza:

W1=σ22−ρ12 σ1σ2

σ12+σ2

2−2 ρ12 σ1σ2(35)

Expresión 31Linear (Ex-presión 31)

σp

E(Rp

)

Ilustración 4

22


Si los títulos tuviesen una correlación perfecta y negativa la expresión (35) se simplificaría:

W1=σ2

σ1+ ¿σ 2¿ (36)

Disminución del riesgo cuando se reduce el coeficiente de correlación

ρ12 E(Řp)(%) σ2(Řp) σ(Řp) (%)

1 14 0,0361 19 0,5 14 0,0271 16,46 0 14 0,0181 13,45 -0,5 14 0,0091 9,54 -1 14 0,0001 1

Vamos a ver un ejemplo dónde trataremos de revisar todos los casos:

Ejemplo 4:

E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2)E(Řp)=0,4*20%+0,6*10%=14%

ρ12=1

σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w2

2σ2(Ř2)+2w1w2ρ12 σ(Ř1)σ(Ř2)=

0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*1*25%*15%=0,0361

σ(Řp)= √0,0361=19%

ρ12=0,5

σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w2

2σ2(Ř2)+2w1w2ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=

0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*0,5*25%*15%=0,0271

σ(Řp)= √0,0271=16,46%

ρ12=0

σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w2

2σ2(Ř2)+2w1w2ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=

23


0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*0*25%*15%=0,0181

σ(Řp)= √0,0181=13,45%

ρ12=-0,5

σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w2

2σ2(Ř2)+2w1w2ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=

0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*-0,5*25%*15%=0,0091

σ(Řp)= √0,0091=9,54%

ρ12=-1

σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w2

2σ2(Ř2)+2w1w2 ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=

0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*-1*25%*15%=0,0001

σ(Řp)= √0,0001=1%

W1=

W1=15%/(25%+15%)=37,50%

W2=(1-W1)=(1-37,5%)=62,5%σ2(Řp)=w1

2σ2(Ř1)+(1-w2)σ2(Ř2)+2w1(1-w1)ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=0,3752(25%)2+(1-0,375)2(15%)2+2*0.375(1-0.375)(-1)25%15%=0ρ12=-1

E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2)E(Řp)=0,375*20%+0,625*10%=13,75%

Por lo que el par de rentabilidad-riesgo (13,75%, 0%) coincide con el punto dónde se cortan las dos rectas en la ilustración 4.

La diversificación ingenua

Como ya vimos en la expresión (12) la medida adecuada del riesgo de una cartera P es la varianza de su rendimiento, por lo que el riesgo de una cartera no sólo depende de las varianzas de los rendimientos de los

24


títulos, sino también de las covarianzas por la correlación que mantienen entre sí los rendimientos de los títulos:

σ2(Řp)=∑i=1

N

wi2 σ2(Ři)+∑

i=1

N

∑j=1

N

wiwj cov(Ři, Řj)

La primera parte de la expresión se le llama riesgo propio de los títulos o riesgo diversificable y la segunda es el riesgo sistemático o no diversificable. Un inversor ingenuo que desconozca el mercado financiero puede eliminar el riesgo propio de los títulos invirtiendo la misma cantidad de dinero en distintos títulos elegidos al azar. La única condición es que la cartera de ser grande para que el efecto de la diversificación se produzca.El segundo sumando no se puede eliminar, ya que los rendimientos de los diferentes títulos no se pueden abstraer de los movimientos generales al alza o a la baja del mercado que afectan a cualquier título que guarde una determinada correlación con el mismo.

La situación se puede resumir del siguiente modo:

1. Los inversionistas deben preocuparse de la rentabilidad esperada y del riesgo de su cartera. El riesgo se indica por medio de la desviación estándar.

2. El riesgo de una acción depende cómo ésta afecta a las demás acciones de la cartera. La volatilidad de las acciones individuales tiene poca importancia.

¿Qué pasa si aumento el número de acciones distintas en mi cartera? Si en vez de dos acciones, ¿qué pasa si compongo mi cartera con tres, cuatro,... acciones de empresas distintas? En este caso se puede eliminar el riesgo único, pero no el riesgo de mercado.

El riesgo único lo constituyen los innumerables factores específicos de riesgo que afectan a cada empresa. También se llama riesgo diversificable.

El riesgo de mercado lo constituyen los factores de riesgo de una economía (en general, macroeconómicos) que afectan a todos los activos

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del mercado. También se le conoce como riesgo sistemático. No es posible de diversificar este tipo de riesgo.

Diversificación de la Cartera de Inversiones

Desviación

Estándar

Cartera

1 5 10 15 20 n

Acciones de n empresas distintas en la Cartera

Ilustración 5

TEMA 6: El Modelo de Markowitz

6.1.- Introducción

Ya hemos visto que al combinar de forma adecuada dos títulos podemos obtener una cartera con un mejor comportamiento que el que ofrecen separadamente. En el presente tema vamos a estudiar un análisis de carteras con N títulos basados en la teoría de selección de carteras de Markowitz.

Esta teoría nació en 1952 con el trabajo Portafolio Selection de Harry Markowitz. En 1959 el autor publicó la obra Portafolio Selection: Efficient Diversification of Investments.

El autor nos plantea las mejores combinaciones entre activos (títulos) en un conjunto dado de activos financieros para escoger y decidir cual tomar. Propone un modelo matemático que maximiza la utilidad esperada de un inversor racional con aversión al riesgo resolviendo el problema de diversificación de activos arriesgados. Esta composición es una función que depende del rendimiento esperado y de la varianza de la rentabilidad de la cartera como apuntamos en el capítulo anterior.

26


6.2.- Conjunto variable y conjunto eficiente. Curvas de indiferencia

Para comenzar el análisis tenemos que detallar los supuestos fundamentales de los que parte el modelo:

- Respecto al comportamiento y horizonte temporal del inversor:

a. El inversor tiene un comportamiento racional: prefiere más riqueza a menos riqueza. Su función de utilidad está definida sólo por la esperanza y la desviación típica de la rentabilidad.

b. Las decisiones del inversor se basan en dos parámetros: la media y la varianza (o desviación típica).

c. El inversor es averso al riesgo por lo que sus funciones de isoutilidad o curvas de indiferencia (ver tema anterior) han de ser crecientes y convexas:dE(Ř p)d σ p

2 > 0d2E (Ř p)d σ2p

2 > 0

d. El horizonte temporal de todos los inversores incluye un único periodo.

- Respecto a las características de los activos y mercados financieros:

a. En el mercado existen N activos financieros arriesgados.b. Las características relevantes de los activos son su rentabilidad

esperada y su riesgo.c. El rendimiento de los activos para un periodo de tiempo dado es

una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad el inversor conoce. Esto permite estimar tanto rendimientos como la matriz de varianzas-covarianzas. Se supone que el rendimiento de cada título sigue una distribución normal.

d. Estamos ante mercados de capitales perfectos: información asequible para todos los agentes; ningún inversor puede influir en los precios; se puede prestar y pedir prestado sin limitaciones al tipo de interés libre de riesgo; no hay impuestos; no hay inflación ni

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costes transaccionales; se permiten ventas en descubierto y todas las inversiones son divisibles.

Según Markowitz una cartera es eficiente si se cumple simultáneamente estas condiciones:

a. Para su rendimiento esperado: no existe otra cartera con riesgo inferior.

b. Para el riesgo que soporta: no existe otra cartera que ofrezca un rendimiento esperado mayor.

Supongamos tres activos según la ilustración 6: A, B, C, y D. Se puede comprobar que el inversor rechazará las carteras C y D por ser ineficientes. La cartera A ofrece igual rendimiento que la D pero con menor riesgo. La cartera B conlleva el mismo riesgo que la C pero con mayor rendimiento siendo preferible para el inversor:

E(Řp)

A B • D

C

σp

Ilustración 6

De todas las carteras que se pueden plantear al inversor, sólo es interesante analizar las eficientes. A partir de esta hipótesis, el modelo de Markowitz determina la composición de la cartera que maximice la utilidad esperada del inversor denominándola cartera óptima.

El modelo de Markowitz sigue las siguientes pautas para encontrar la cartera óptima:

1. Determinar el conjunto de oportunidades del inversor, conjunto posible o variable.

2. Determinar el conjunto eficiente o frontera eficiente.3. Especificar las preferencias del inversor a través del mapa de curvas

de isoutilidad o curvas de indiferencia en los ejes media-varianza.4. Determinar la cartera óptima del inversor a partir del conjunto

eficiente y sus preferencias particulares

28


En el supuesto que estamos analizando tenemos que tener en cuenta todas las combinaciones posibles de rendimiento esperado y desviación típica que se pueden lograr dado un número N de activos con riesgo.

Debemos estimar para cada título su rentabilidad esperada, su riesgo (σ2, σ) y sus covarianzas con respecto a los títulos de la cartera.

Una vez conocidas todas estas variables podemos representar gráficamente el conjunto de combinaciones posibles de oportunidades de inversión en el mercado:

Ilustración 7

Las posibles carteras cubrirán por entero alguna región del espacio rentabilidad-riesgo y esta región será cóncava. Conviene recordar lo visto en el anterior capítulo sobre las tres situaciones posibles en función del coeficiente de correlación ρij entre los rendimientos de dos títulos.

Como se puede apreciar en la ilustración 8 tenemos los tres casos estudiados: ρij=+1, ρij=-1 y -1<ρij<+1. A

B

29


Ilustración 8

En la siguiente gráfica podemos observar combinaciones factibles representadas por los puntos

Ilustración 9

La Frontera Eficiente:

Se puede definir como el conjunto de combinaciones de títulos que maximizan la rentabilidad esperada para un nivel determinado de riesgo o bien minimizan el riesgo soportado para un nivel determinado de rentabilidad esperada. Todo ello, teniendo en cuenta las restricciones presupuestarias y siempre en base al supuesto de racionalidad del inversor, es decir, que la rentabilidad esperada es un elemento positivo para dicho inversor mientras que el riesgo es un elemento no deseado4.

30


En la figura 10, las carteras A, B y C son carteras eficientes puesto que entregan el máximo retorno con un nivel de riesgo mínimo, o análogamente, el menor riesgo para un retorno máximo. Si miramos la cartera D nos daremos cuenta enseguida de que esta cartera entrega, para un nivel de riesgo σ1, un retorno esperado E(Ri)1 menor que el entregado por la cartera B, la cual posee el mismo nivel de riesgo pero entrega un retorno esperado E(Ri)2 mayor. Por lo tanto la zona superior de la figura (trazo ABC) corresponde a la frontera eficiente, donde la cartera A recibe el nombre de cartera de mínima varianza global.

Ahora bien, como sabemos, la teoría financiera supone que el general de los inversionistas son aversos al riesgo, razón por la cual, estarán dispuestos a aceptar un mayor riesgo siempre que se les premie con un mayor retorno. Entonces, ¿cuál es la combinación óptima entre riesgo y rendimiento que estaría dispuesto a aceptar un inversionista dado? La elección óptima entre riesgo y retorno dependerá de cuan averso al riesgo sea nuestro inversionista. Conceptualmente dependerá de sus preferencias, las que pueden graficarse por medio de curvas de indiferencia que nos muestran todas las posibles combinaciones entre riesgo y retorno que mantienen al inversionista con un nivel de utilidad constante y cuya forma dependerá de la función de utilidad particular de cada individuo.

Ilustración 10

La cartera B es una cartera eficiente que domina a la cartera D en el sentido que aún teniendo igual riesgo, la cartera B tiene un rendimiento esperado más elevado. El tramo de la frontera que comprende las carteras eficientes debe ser necesariamente cóncavo. En la figura anterior no

31


existen carteras con desviación típica igual a cero. Esto implica que en dicho conjunto de opciones de inversión no hay activos o carteras con coeficiente de correlación -1. Tampoco hay activos o carteras en la frontera de menor varianza cuya correlación sea +1 (no hay segmentos rectos).

La formulación analítica para obtener la frontera eficiente la plantea Marcowitz como un problema de optimización de la rentabilidad esperada de la cartera para cada uno de los valores posibles del riesgo de ésta:

max E(Řp)=∑i=1

N

wi E(Ři) (37)

Con las siguientes restricciones:

σ p2=∑

i=1

N

∑j=1

N

wiw j σ ij=¿V ¿¿

∑i

N

wi=1

wi≥0

Siendo V ¿ un valor fijado de antemano para la varianza del rendimiento de la cartera. Se trata de un problema de programación cuadrática (porque la primera restricción contiene términos cuadráticos) y paramétrica (porque la primera restricción establece un determinado valor para la varianza). La segunda restricción es presupuestaria ya que exige el agotamiento de todo el presupuesto y la tercera hace referencia a una restricción de no negatividad. En el caso de que wi<0 implicaría una venta en descubierto del título i sólo si se admiten, teniendo que tomar posiciones a corto plazo.

Por otra parte al igual que la frontera eficiente se puede establecer maximizando la rentabilidad esperada y fijando un riesgo, podemos calcularla fijando una rentabilidad esperada y minimizando el riesgo para esa rentabilidad:

minσ 2(Ř p)=∑i=1

N

∑j=1

N

w iw jσ ij (38)

Sujeto a:

32


E(Řp)= ∑i=1

N

wi E (Ři )=E¿

∑i

N

wi=1

wi≥0

Las características de este problema son similares al anterior.

Vamos a ver un ejemplo práctico dónde analicemos ambas ecuaciones. Para ello vamos a utilizar la aplicación Solver de Excel. Solver se puede definir como una de las herramientas más potentes de Excel, ya que permite hallar la mejor solución a un problema, modificando valores e incluyendo condiciones o restricciones.

Utilizaremos el ejemplo desarrollado en la unidad anterior para 10 títulos:

Títulos Peso (Wi)Promedio

Rentabilidad

Suma Producto

sCálculo del

RiesgoX1 5% 4% 0,00018 0,00001X2 10% 4% 0,00027 0,00003X3 5% 2% 0,00013 0,00001X4 5% 3% -0,00042 -0,00002X5 4% 3% -0,00008 0,00000X6 15% 6% 0,00027 0,00004X7 15% 7% 0,00005 0,00001X8 15% 8% 0,00105 0,00016X9 15% 6% 0,00191 0,00029X10 11% 3% 0,00027 0,00003

100% Varianza 0,00054

Rentabilidad de la Cartera (Rp): 5,50%

Riesgo de la Cartera: 2,33%

Desviación Típica

A partir de esta tabla construiremos el modelo con Solver:

1.- Maximización de rendimientos esperados sujetos a las siguientes restricciones:

a) El sumatorio de los pesos debe ser igual a 1 (100%):

33


b) La rentabilidad de la cartera debe ser mayor o igual a la esperada:

c) El riesgo de la cartera debe ser menor o igual al esperado:

Este parámetro para maximizar el rendimiento podría ser no necesario aunque estimo que es conveniente porque a la vez minimizas riesgo.

Además el peso de cada título debe ser mayor o igual a cer por lo que en opciones selecciopnaremos Adoptar no negativos:

La celda objetivo seré la rentabilidad de la cartera pero estará en función de las celdas cambiantes que son los pesos de cada título en la cartera (wi)

34


Seleccionaremos el valor de la celda objetivo máximo para poder calcular el rendimiento esperado máximo sujeto a las restricciones comentadas.

Títulos Peso (Wi)

Promedio Rentabilida

dSuma


ReisgoX1 21% 4% 0,00002 0,00001X2 5% 4% 0,00002 0,00000X3 0% 2% 0,00016 0,00000X4 8% 3% -0,00016 -0,00001X5 1% 3% -0,00009 0,00000X6 19% 6% 0,00021 0,00004X7 30% 7% 0,00033 0,00010X8 15% 8% 0,00048 0,00007X9 0% 6% 0,00065 0,00000X10 0% 3% -0,00002 0,00000

100% 0,00021

Rentabilidad de la Cartera (Rp): 6,00% Celda ObjetivoMínima rentabilidad de la Cartera (Rp): 6,00% Restricción (dato manual)Riesgo de la Cartera: 1,44% Riesgo a tolerar: 0,50% Restricción (dato manual)

2.- Minimización de varianzas sobre rendimeintos esperados:

Las restricciones son similares lo único que hay que cambiar el parámetro Maximizar por minimizar y la celda objetivo es el riesgo de la cartera:

35


Títulos Peso (Wi)

Promedio Rentabilida

dSuma


RiesgoX1 33% 4% 0,00003 0,00001068X2 9% 4% 0,00003 0,00000302X3 0% 2% 0,00004 0,00000000X4 14% 3% 0,00003 0,00000447X5 17% 3% 0,00003 0,00000543X6 18% 6% 0,00003 0,00000594X7 9% 7% 0,00003 0,00000282X8 0% 8% 0,00009 0,00000000X9 0% 6% 0,00022 0,00000000X10 0% 3% 0,00006 0,00000000

100% 0,00003237

Rentabilidad de la Cartera (Rp): 4,54% Mínima rentabilidad de la Cartera (Rp): 3,00% Restricción (dato manual)Riesgo de la Cartera: 0,57% Celda ObjetivoRiesgo a tolerar: 0,50% Restricción (dato manual)

Repitiendo varias veces cambiando los parámetros de restricción rentabilidad y riesgo podremos obtener una tabla de datos para poder realizar el gráfico correspondiente:

36


0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

0.060.070.080.09

0.10.110.120.130.140.150.16

Efficient Frontier

Variance

Re

turn

Ilustración 11

Especificación de las curvas de indiferencia del inversor.

Aunque hemos visto en el tema anterior las curvas de indiferencia vamos a ampliarlo aún mas.

Cualquier inversor racional en situación de riesgo lo que pretende es maximizar su propia función de utilidad. Dado que los inversores son aversos al riesgo sus funciones de utilidad serán crecientes y cóncavas.

Ya que la utilidad esperada de la riqueza se puede expresar en función de la media y la varianza de los títulos, este criterio no nos permite establecer comparaciones entre dos carteras eficientes, pues la mas arriesgada ofrecerá mayor rendimiento esperado que la otra. Sólo podremos conocer la elección de la cartera óptima si sabemos el grado de aversión al riesgo del inversión, en otras palabras sus preferencias.

Resuminedo tenemos que especificar la función de utilidad del inversor, y en base a ella susu curvas de indiferencia. Por lo tanto, la función de utilidad, medido en el espacio media-varianza, se traduce en una determinada relación marginal de sustitución o intercambio entre dos elementos que conforma un mapa de curvas de indiferencia. L curva de indiferencia es la representación del conjunto de combinaciones rendimeinto esperado-riesgo que proporcionan al inversor la máxima utilidad.

37


La pendiente de una curva de indiferencia en uno de sus puntos refleja el aumento en el rendimiento esperado por unidad de riesgo adicional.

Podemos hacer las siguientes consideraciones:

a) Deben ser crecientes. Su utilidad esperada aumento a medida que aumenta la rentabilidad esperada y disminuye al incrementarse el riesgo.

b) Para un inversor averso al riesgo a medida que el riego crece será necesario un crecimiento mas que proporcional en el rendimiento esperado para que la utilñidad esperada se mantenga constante.

c) Las curvas de indiferencia no se pueden cortar.

I1 I2 E(Řp)•A B

σ p

Ilustración 12

Los puntos A y B de la curva I1 proporcionan la misma utilidad a lo mismo que los puntos C y B de la curva I2. Por lo tanto A es indiferente a B y B a C por lo que suponiendo que las preferencias son transitivas no es válido decir que A es preferido a C cuando los rendimientos esperados son distintos.

d) Una curva de indiferencia en su corte con el eje de ordenadas nos proporciona el equivalente cierto de cualquier inversión arriesgada contenida en ella.

e) Las curvas de indiferencia no se prolongan por debajo del eje de abscisas, ya que representan rendimientos esperados negativos y varianzas positivas.

f) Las curvas situadas más arriba y a la izquierda representan niveles esperados de utilidad superiores por el rendimiento esperado mayor.

38


6.3.- La cartera óptima del inversor .

Definimos la cartera óptima como aquella cartera entre todas las que configuran la frontera eficiente correspondiente a la combinación media-desviación típica (o varianza) que maximice su utilidad esperada.

Es necesario especificar previamente sus curvas de indiferencia entre rendimiento esperado y riesgo por lo tanto, la resolución del problema vendrá superponiendo la frontera eficiente y el mapa de curvas de indiferencia de un inversor.

E(Rp)

(Rp)

I2

I1

A

B

C

Ilustración 13

A partir de esta ilustración se puede deducir que la cartera óptima del inversor es la representada por el punto de tangencia entre la frontera eficiente y la curva de indiferencia representativa de un mayor nivel de utilidad esperada (punto C).

6.4.- Introducción del título sin riesgo: el modelo de Tobin.

En este apartado estudiaremos la extensión del modelo de Markowitz planteado inicialmente por Tobin (1958) y posteriormente por Sharpe (1964) y Linter (1965).

Esta extensión consiste en añadir la hipótesis de la existencia de una tasa libre de riesgo a la cual se puede prestar y pedir prestada cualquier cantidad de dinero. Hay que señalar que es una hipótesis que no se ciñe a

39


la realidad ya que los tipos de interés obtenidos al prestar son inferiores a los pagados al obtenerlos del mercado.

Después de esto podemos señalar las alternativas que dispone el inversor:

Invertir todo su presupuesto en el activo libre de riesgo. Invertir todo su presupuesto en activos arriesgados. Determinar parte del presupuesto a un activo libre de riesgo o

ceder en préstamo al tipo de interés sin riesgo. Colocar en los activos arriesgados una parte superior a su

presupuesto de inversión, endeudándose al tipo de interés sin riesgo para financiar la diferencia.

Por lo tanto hablaremos de carteras mixtas cuando hagamos alusión a combinaciones entre títulos libres de riesgo y carteras eficientes. Una vez conocidas la rentabilidad esperada y su riesgo de las carteras mixtas podremos determinar el conjunto de oportunidades del inversor y su frontera eficiente.

Llamaremos Rf a la rentabilidad libre de riesgo la cual será conocida y constante con desviaciones típicas y covarianzas nulas.

Observemos la ilustración:

Ilustración 14

Cuando consideremos la existencia de N activos arriesgados y un activo libre de riesgo con rendimiento igual a Rf la recta Rf-g se convierte en la nueva frontera eficiente, dónde el punto g es la cartera de activos

40


arriesgados situada en la recta que partiendo de Rf es tangente a la frontera eficiente (g).

Para analizar las carteras mixtas sea w la fracción del presupuesto que el inversor destina al activo y (1-w) la parte que destina a la cartera g. Los rendimientos de una cartera mixta con estas características serán:

Řp=wRf+(1-w)Řg (39)

E(Řp)=wRf+(1-w)E(Řg) (40)

Aplicando el operador varianza y después de extraer raíces obtendremos:

σp=[w2σf2+(1-w)2σg

2+2w(1-w)ρfgσfσg]1/2 (41)

Dado que la desviación típica y la correlación del active libre de riesgo son nulos:

σp=[(1-w)2σg2+2w(1-w)ρfgσfσg]1/2 (42)

Despejando (1-w) de (42) y sustituyéndolo en (40) obtendremos el rendimiento esperado de la cartera:

E(Řp)= (1−σ pσg

) Rf + σ pσ g

E(Řg) (43)

Reordenando los términos obtendremos una ecuación lineal que relaciona el rendimiento esperado y el riesgo de todas las carteras mixtas:

E(Řp)= Rf + ( E (Ř g )−Rf

σ g )σ p (44)

Dónde la ordenada en el origen es Rf y la pendiente la expresión entre paréntesis.

Los valores posibles de w serán:

Valor de w Significado1 EL inversor se sitúa en el punto Rf invirtiéndolo

todo en activos libres de riesgo.

41


0 Inversión completa en activos arriesgados (g)0<w<1 Distribución del presupuesto entre ambos activos.

Se situará en algún punto de la recta Rf-g<0 Endeudamiento a la tasa libre de riesgo Rf e

inversión de todos los recursos (presupuesto y préstamo) en la cartera g. Se sitúa a la derecha del punto g (cartera en préstamo, recursos >100%).

Obtenida la frontera eficiente la resolución del problema de selección de la cartera óptima es similar al supuesto de no existencia de activos libres de riesgo. Por lo tanto la cartera óptima será aquella que proporcione el par de rentabilidad esperada-desviación típica localizado en el punto de tangencia entre la frontera eficiente y el mapa de curvas de indiferencia del inversor (punto g).

Tobin (1958) lanzó una proposición que denominó teorema de la separación, por la cual, cualquier inversor maximizará su utilidad esperada, con independencia del grado de aversión al riesgo, repartiendo su presupuesto únicamente entre activos libres de riesgo y la cartera arriesgada (g). El inversor puede tomar dos decisiones:

1. Una única cartera de activos arriesgados, tratándose de determinar la porción de activos teniendo en cuenta las oportunidades de inversión del mercado.

2. La elección por parte de cada inversor particular de su cartera óptima, invirtiendo la cantidad de su presupuesto: (1-w) en activos con riesgo y la cantidad w prestará o pedirá prestado al tipo de interés libre de riesgo.

Bibliografía

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Básica: FERRANDO, M.; GÓMEZ ,A.R.; LASSALA, C. (2005): Capítulo 2 y 3.(1) http://www.5campus.com/leccion/fin010/INICIO.HTML (2) http://redalyc.uaemex.mx/pdf/301/30120109.pdf (3) http://www.azc.uam.mx/publicaciones/etp/num7/a1.htm (4) http://ciberconta.unizar.es/LECCION/fin010/200.HTM

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http://ciberconta.unizar.es/LECCION/fin010/200.HTM

http://www.azc.uam.mx/publicaciones/etp/num7/a1.htm

http://redalyc.uaemex.mx/pdf/301/30120109.pdf

http://www.5campus.com/leccion/fin010/INICIO.HTML

rentabilidad y riesgo de las carteras de inversión markowitz

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