UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANNFACULTAD DE INGENIRAESCUELA ACADMICO PREFESIONAL DE INGENIERA QUMICA

CAPTULO 03

REOLOGA DE ALIMENTOS PROCESADOS

REOLOGA DE ALIMENTOS PROCESADOS____________________________________________________

1. INTRODUCCIN AL ESFUERZO CORTANTE EN EL COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES:

Los tres parmetros fundamentales son: elasticidad, plasticidad y viscosidad.

El comportamiento elstico existe cuando el esfuerzo que acta sobre un cuerpo es directamente proporcional a la deformacin (). La expresin de esta relacin es conocida como la ley de Hooke y se da como sigue:

(3.1)

Donde E es el mdulo de elasticidad de Young. La ecuacin (3.1) solo se aplicar cuando el cuerpo que est siendo considerado est bajo fuerzas de tensin o compresin. (Esfuerzos cortantes). El mismo tipo de relacin se aplicar cuando el cuerpo est bajo esfuerzos cortantes o presin hidrosttica, los coeficientes comprendidos vienen a ser el mdulo de corte y el mdulo global respectivamente.

El comportamiento plstico ideal es descrito mejor mediante la visualizacin de un block de un material sobre una superficie plana. La aplicacin de una fuerza a este block no resulta en movimiento hasta que sea alcanzado algn campo de esfuerzos. Despus de alcanzar este campo de esfuerzos, el flujo o movimiento del material contina indefinidamente.

El comportamiento no elstico y no plstico puede ser descrito por el comportamiento viscoso ideal.

Figura 3.1. Ilustracin esquemtica de las condiciones que describen un comportamiento viscoso ideal

La Figura 3.1, ilustra la respuesta de un fluido viscoso ideal cuando es aplicada una fuerza sobre un plano a una distancia (dy) sobre la superficie inferior. Si la superficie superior se est moviendo a una velocidad y la superficie inferior se est moviendo a una velocidad (u), la respuesta de un fluido viscoso ideal entre las dos superficies ser como sigue:

(3.2)En la ecuacin (3.2), es el esfuerzo cortante o fuerza por unidad de rea, es el coeficiente de viscosidad, y /dy es el gradiente de velocidad que existe entre las dos superficies y es equivalente a la velocidad de corte (Rate of shear). El comportamiento de un fluido descrito por la ecuacin (3.2) es conocido como comportamiento Newtoniano. El agua y fluidos similares son conocidos como fluidos Newtonianos.

Muchos productos alimenticios tienen un comportamiento que es una combinacin de materiales plsticos y viscosos (y la relacin esfuerzo velocidad de deformacin es ms compleja). Si la relacin del esfuerzo a la velocidad de corte es una funcin del tiempo solamente, el material se dice que tiene un comportamiento viscoelstico lineal. Sin embargo si dicha relacin es una funcin del esfuerzo como del tiempo, se dice que el comportamiento es viscoelstico no lineal. (La mayora de productos alimenticios se caracterizan por este comportamiento).

2. PROPIEDADES DE LOS ALIMENTOS FLUIDOS:

El diseo de sistemas de transporte para alimentos fluidos es dependiente de la descripcin de las caractersticas del flujo en la tubera de transporte que est siendo utilizada. Puesto que las caractersticas del flujo son dependientes de las propiedades del fluido es necesario tener conocimiento de los mtodos utilizados en la medicin de estas propiedades. Debido a la variabilidad entre, los fluidos y en las condiciones que ellos existen, los mtodos a ser presentados no sern adecuados para todas las situaciones. Estos mtodos y los parmetros usados para describir las propiedades de los fluidos son los mejores que se disponen y debern conducir a aceptables resultados en la mayora de situaciones de diseo.

2.1. MODELOS REOLGICOS:

La definicin estricta de la viscosidad es la resistencia al flujo indicada por el coeficiente de viscosidad tal como se dio en la ecuacin (2). En la industria (de alimentos), sin embargo el trmino es utilizado ms ampliamente como un simple parmetro para describir la consistencia del producto bajo alguna condicin dada. Esta aproximacin conduce a una considerable confusin debido al comportamiento no Newtoniano de la mayora del esfuerzo cortante a la velocidad de corte (gradiente de velocidad) para una variedad de fluidos considerados como no newtonianos se ilustra en la Figura 2.

Figura 3.2. Composicin de la relacin entre el esfuerzo cortante y la velocidad de corte para fluidos newtonianos y no newtonianos.

2.1.1. Bingham Plstico:

Este comportamiento es uno en el cual un campo de esfuerzo finito (y) es requerido antes que se obtenga descrita por la siguiente ecuacin:

(3.3)

La cual representa un modelo de dos parmetros requerido para describir el material. El parmetro (m), en este modelo es referido como viscosidad plstica.

2.1.2. Pseudoplsticos y dilatantes.Los modelos de dos parmetros del siguiente tipo:

(3.4)donde m = Coeficiente de consistencia n = ndice de comportamiento del flujo pueden ser usados para describir a los fluidos pseudoplsticos y a los fluidos dilatantes.

Como se indica en la Figura 2 una respuesta de un fludo dilatante es una curva la cual es cncava hacia arriba. Los fludos pseudoplsticos, los cuales exhiben una curva cncava hacia abajo al plotear el esfuerzo cortante vs la velocidad de corte, son probablemente los ms comunes de los fludos no newtonianos. Esta respuesta implica un esfuerzo de adelgazamiento como ocurrir con los productos que tienen un menor esfuerzo cortante en tanto se incrementa la velocidad de corte.

2.1.3. Cuasi plsticos Tipos de Mezcla:

Una ecuacin general de la ley de potencia dada como sigue:

(3.5)

Podra ser utilizada para describir fludos que seran llamados cuasiplsticos o tipos mezcla. Es este caso, los fludos podran tener cerca respuesta ya sea pseudoplstica o dilatante despus de que sea alcanzado un punto inicial (de esfuerzo finito). Para este tipo de fludos, tres parmetros son requeridos para describir las caractersticas de flujo del fludo.

PROBLEMA 1. Los resultados experimentales en un viscosmetro de cilindro coaxial usado para el pur de pltano a una temperatura de 340 K, fueron como sigue:

Velocidad de Corte du/dy (10-3 1/s)Esfuerzo Cortante (10-4 Pa)

11.06

1.51.22

21.37

31.62

41.8

52.01

62.1

72.21

Para poder calcular los parmetros reolgicos n y m, se aplica logaritmo en ambos extremos de la ecuacin (4):

Esta ltima ecuacin se asemeja a la ecuacin de una recta. Cuya grafica tendr en el eje de las abscisas el y en el eje de las ordenadas a , con una pendiente n y log m ser la interseccin en el eje de las abscisas. Para poder graficar esta ecuacin se procede a calcular: , y , los resultados se presentan en la tabla siguiente. du/dylog log ( du/dy)

1,06 10-41,00 10-3-3,9747-3

1,22 10-41,50 10-3-3,9136-2,8239

1,37 10-42,00 10-3-3,8633-2,6990

1,62 10-43,00 10-3-3,7905-2,5229

1,80 10-44,00 10-3-3,7447-2,3979

2,01 10-45,00 10-3-3,6968-2,3010

2,10 10-46,00 10-3-3,6778-2,2218

2,21 x 10-47,00 x 10-3-3,6556-2,1549

Se observa de la grfica:

Observacin: Los valores que se graficaron en la anterior grafica se encuentran en el cuarto cuadrante.Hacer mtodo de mnimos cuadrados, para un sistema lineal.Cuya linealizacin refleja la ecuacin:

haciendo un cambio de variable:

se puede determinar m y n:

[=] Pa. sn [=] Adimensional

En la mayora de casos (en la industria), se hace un intento para medir la viscosidad Newtoniana al margen de que las caractersticas del fluido sean conocidas o no. Esto resulta en una medida de una viscosidad aparente la cual representa la viscosidad de un lquido Newtoniano exhibiendo la misma resistencia al flujo a la velocidad de corte elegida.

Si el esfuerzo cortante viene a ser una funcin del tiempo, son usados trminos algo diferentes para describir el comportamiento del fluido. Un comportamiento que puede ocurrir entre los productos alimenticios es una disminucin del esfuerzo cortante con el tiempo, este tipo de material es llamado tixotrpico.

Otros tres modelos que han sido propuestos para ser utilizados en la descripcin del comportamiento no Newtoniano de los materiales, normalmente son: El modelo Eyring El modelo Ellis El modelo Reiner Philippoff

No obstante que estos modelos han sido exitosamente aplicados a otros materiales, su utilizacin para la descripcin de las propiedades de fluidos alimentos no es comn.

Un parmetro medioambiental (externo) que influye en la viscosidad considerablemente sobre cualquier parmetro reolgico es la temperatura. Cuando consideramos productos alimenticios existen muy pocos intentos para explicar la influencia de la temperatura sobre los parmetros reolgicos sobre una base terica. Una de las propuestas ms comunes en el rea general de la reologa es la utilizacin de la ecuacin de Arrhenius como se dio en la ecuacin siguiente:

(*) (Describe la influencia de la temperatura sobre la constante de la velocidad de reaccin)

En esta ecuacin T es la temperatura absoluta y E0 es la energa de activacin. La integracin de la ecuacin (*) conduce a esta otra ecuacin:

Donde B: Es una constante de integracin y usualmente es referida como un factor de frecuencia cuando se discute la ecuacin de Arrhenius.

Ploteando la constante de velocidad de reaccin (k) versus la inversa de la temperatura absoluta en coordenadas semi logartmicas conduce a la evaluacin de la energa de activacin ().En esta aplicacin particular, un parmetro reolgico podra ser utilizado como la constante de velocidad de reaccin en la determinacin de la energa de activacin para el flujo viscoso. Mediante la obtencin de datos en un nmero ms bien limitado de temperaturas puede ser predicha la influencia de la temperatura sobre un rango de temperaturas.

PROBLEMA 2. El coeficiente de consistencia (m) para un pur de durazno vara con la temperatura de la siguiente manera:Temperatura (K)Coeficiente de Consistencia (Pa sn)

27713,0

2989,0

3274,5

3333,8

Desarrolle una relacin entre la temperatura y el parmetro reolgico usando la ecuacin tipo Arrhenius.

SOLUCIN:La ecuacin de Arrhenius (*) puede ser escrita de la siguiente forma:

Del cuadro anterior hallamos la inversa de la temperatura, y lo expresamos de la siguiente manera:

Temperatura (K)Coeficiente de Consistencia (Pa sn)Inversa de la Temperatura Absoluta x10-3

277133,61

29893,36

3274,53,06

3333,83,00

Mediante el ploteo de los datos en coordenadas semilogartmicas como se ilustr en la Figura 4; la pendiente de la curva es .

Figura 3.4. Uso de un ploteo Arrhenius para describir la influencia de la temperatura sobre el coeficiente de consistencia.

Usando el ploteo de la Figura 3.4

y

Usando la forma anterior de la ecuacin de Arrhenius se encuentra el valor del intercepto (y un valor m y TA):

La influencia de la temperatura sobre el coeficiente de consistencia (m) para el pur de damasco viene a ser:

La expresin anterior puede ser usada para calcular el coeficiente de consistencia a cualquier temperatura dentro del rango de los datos experimentales.

2.2. MEDICIN DE LOS PARMETROS REOLGICOS

Un nmero significativo de instrumentos han sido utilizados para medir la viscosidad y ms generalmente, las propiedades reolgicas de los productos alimenticios fluidos. Estos instrumentos caen en dos clasificaciones como sigue:

(a) Remetros de tubos capilares, (b) Remetros rotacionales incluyendo el tipo cilindro coaxial y el tipo cono y plato.

2.2.1. REMETROS DE TUBO CAPILAR

En general los remetros de tubo capilar incluyen una variedad de instrumentos, todos los cuales evalan la fuerza del fluido a travs de un tubo de geometra conocida. Para estos tipos de remetros la relacin entre la velocidad de corte (gradiente de velocidad) y el esfuerzo cortante es obtenida a partir de la medicin del gradiente de presin y la velocidad de flujo volumtrico del fluido a travs del tubo.Las siguientes suposiciones son comunes para todos los instrumentos que miden propiedades reolgicas por este mtodo:

(a) El flujo es estacionario, (b) Las propiedades son independientes del tiempo, (c) El flujo es laminar, (d) La velocidad del fluido no tiene componentes radial o tangencial, (e) El fluido no resbala en la pared, (f) El fluido es incompresible, (g) La viscosidad del fluido no es influenciada por la presin, (h) La medicin es conducida bajo condiciones isotrmicas.

La relacin entre el esfuerzo cortante y la presin requerida para forzar al fluido a travs del tubo capilar es obtenida mediante un balance de fuerzas sobre la seccin transversal del tubo.

La Figura 3.5 ilustra los parmetros clave comprendidos en el balance que conduce a la siguiente expresin:

Figura 3.5. Balance de fuerzas y perfil de velocidad del fluido que permitan medir las propiedades reolgicas en un tubo capilar.

(3.6)

En la ecuacin (6), es la cada de presin aplicada, resultante del movimiento del fludo a travs del tubo, mientras que r es la variable distancia desde el centro del tubo, en el cual resulta el esfuerzo cortante ().

Si el tubo capilar es usado para medir las propiedades reolgicas de un fludo, el cual puede ser descrito por la ley de potencia (4), la expresin resultante es:

de la ecuacin (3.4)

(3.7)

Cuando la velocidad de corte para el tubo capilar es .

La integracin de la ecuacin (7) es conducida de la siguiente manera:

(3.8)

Y resulta en la siguiente expresin para la distribucin de velocidad en el tubo capilar:

veamos:

(3.9)

La velocidad volumtrica de flujo es obtenida por integracin de la distribucin de velocidad, de la siguiente manera:

NOTAS:

luego:

de donde:

luego:

Por tanto:

(3.10)

Utilizando los datos obtenidos del remetro de tubo capilar y la ecuacin (10), pueden ser evaluados los parmetros reolgicos (m y n). Esto es completado mediante el ploteo del logaritmo de la velocidad de flujo volumtrico (Q) contra el logaritmo de (P/2L).

El parmetro (n) ser la pendiente de la lnea recta obtenida de las coordenadas log log mientras que el parmetro (m) puede ser evaluado del intercepto.

PROBLEMA 3. Un viscosmetro de tubo con 0,267 cm de dimetro y 0,91 m de longitud fue usado para obtener los siguientes datos de composta de manzana:

P(105 Pa)Q(10-4 m3/s)

1,30.,1

1,452,5

2,562,1

1,993,2

2,135,2

2,418,5

2,7012,49

SOLUCION:La ecuacin (3.10)

Logaritmo en ambas secciones:

Ordenando la ecuacin para una representacin lineal:

1) Por el ploteo de log (P/2L) contra Q, puede ser determinado el valor del ndice del comportamiento del flujo n a partir de la pendiente; y luego puede ser calculado de la ecuacin el coeficiente de consistencia (m).

2) Basados en los datos proporcionados: se calcula lo siguiente, sabiendo L=0,91m

Q( m3/s)P(Pa)(P/2L)log Qlog(P/2L)

0,9110-41,3010571428,571-4,04094,85387

1,5 10-41,4510579670,329-3,82394,90129

2,1 10-41,5610585714,285-3,67774,93305

3,2 10-41,99105109340,659-3,49485,03878

5,2 10-42,13105117032,967-3,28405,06830

8,5 10-42,41105132417,582-3,07055,12194

12,49 10-42,70105148351,648-2,90345,17129

3) Se grafica al representacin de la tabla anterior

Figura 3.6: Evaluacin De Los Parmetros Reolgicos A Partir De Datos De Viscosmetro De TuboEstos son ploteados en la figura anterior puesto que la pendiente de la curva es 0.28 entonces:

4) el coeficiente de consistencia m puede ser evaluado como sigue en log Q=-3.0

Despejando da:

Puesto que la ecuacin (3.10) fue obtenida a partir de la ley de potencia, se aplicara a fluidos Pseudoplasticos y dilatantes. en adicin , es una ecuacin mas general que ser usada para describir fluidos Newtonianos, si n=1 la ecuacin (3.10) se reduce a:

Que ser usada para evaluar la viscosidad si el remetro de tubo capilar estuviese siendo usado para un fluido Newtoniano . En esta situacin el coeficiente de consistencia m viene a ser idntico a la viscosidad .

Similares ecuaciones pueden obtenerse para fluidos con otras caractersticas. por ejemplo , la relacin entre la velocidad de flujo volumtrico y la cada de presin para un fluido plstico Bingham descrita por la ecuacin (3.3)seria :

(3.12)donde:

= esfuerzo cortante en la pared

=esfuerzo cortante de referencia para la coordenada y

El mismo tipo de expresin seria obtenida a partir de la ley de potencia general, ecuacin (3.5), pero es muy complejo y no sera presentado igual. Esta ecuacin o juego de expresiones es dado por Charu (1978).

La siguiente derivacin est basada en la investigacin de Rabinowitsch (1929) y Mooney (1931) y fue presentada en detalle por Skelland (1967) la derivacin requiere las siguientes suposiciones:

a) el flujo es estacionariob) el flujo del fluido es independiente del tiempo c) no ocurre deslizamiento en la pared

las siguientes consideraciones el fluido esta fluyendo en un anillo entre r y r +dr, resulta lo siguiente:

rea del anillo

rea del anillo

(3.13)

donde u es la velocidad del fluido como:

e integrando por partes:

Despejando:

Sean:

Luego a partir de 3.13:

(3.14)Como:

(3.15)Una funcin general entre el esfuerzo constante y la velocidad de corte:Adems:

(3.16)Integrando:

(3.17)Luego de las correspondientes sustituciones puede hacerse dentro de (14).puesto que la suposicin (c) requiere que ur2 en la ecuacin (14) sea cero la sustitucin de las ecuaciones (15),(16) y (17) dar:

Dando:

(3.18)

Si ambos lados de la ecuacin (3.18) son multiplicados por: y es conducida una diferenciacin con respecto al , es obtenida la siguiente ecuacin:

(3.19)donde:

: Ha sido reemplazado por:

La ecuacin (3.19) es la ecuacin de Rabinowitsch Mooney, la cual expresa la velocidad de corte en la pared del tubo en trminos de la velocidad del flujo , el gradiente de presin y la geometra del tubo . Esta ecuacin es suficientemente general para permitir el diseo de sistemas de transporte de fluido a partir de datos experimentales de velocidad de flujo y de cada de presin.

2.2.2. REOMETRO ROTACIONAL

Los remetros rotacionales se someten a prueba a una velocidad de corte casi uniforme , mientras se mide el esfuerzo cortante .fsicamente esto es afectado mediante la medida del torque requerida para hacer girar el cilindro interior en la figura 7 a un numero de revoluciones por unidad de tiempo ,una de las ventajas obvias de este tipo particular de remetros es que permite la medida continua de la relacin del esfuerzo cortante y la velocidad de corte lo que permitir el anlisis del comportamiento respecto del tiempo de prueba.

RoR1h

Fig.3.7 Ilustracin esquemtica de un remetro rotacional

Un tipo particular de remetro rotacional es el remetro de cilindro coaxial las suposiciones listadas para el remetro de tubo capilar tambin se aplica este tipo particular. Uno de los principales factores que deben ser tomados en cuenta cuando se describe la respuesta de un fluido en cualquier tipo de remetro rotacional es la expresin para la velocidad de corte.

Wru+durwr+dr

Fig. 3.8: Desarrollo De Una Expresin Para La Velocidad De Corte En Un Remetro Rotacional

Como se indico en la fig.8, la velocidad lineal en un radio (r) a partir del centro rw, donde w es la velocidad angular del centro del cilindr4o en el radio r+dr ,la velocidad lineal cambia de u a u+du y resulta la siguiente expresin :

Derivando con respecto a r y despreciando los trminos de segundo orden:

(3.21)

Los trminos anulados se tomo con una igualdad a 0

Luego:

(3.22-a)

Puesto que w es la velocidad angular del cilindro central el segundo trmino de la ecuacin (3.21) es el nico que contribuye a la velocidad de corte (gradiente de velocidad)En el producto y es obtenida la siguiente expresin:

(3.22-b)Tomando la derivada de w en la siguiente forma:

(3.23)

Dando de esta manera la expresin ms comn para la velocidad de corte en un remetro rotacional

(3.24)

Si:

Para un fluido no newtoniano, la relacin entre el esfuerzo cortante y la velocidad de corte en este tipo de remetro es:

(3.25)

La relacin entre la velocidad del torque y la velocidad angular en un remetro de cilindro coaxial es obtenida determinando una relacin para la fuerza que acta en el cilindro rotacional. El balance de esta fuerza resulta:

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.32)

PROBLEMA 4. Las siguientes mediciones de viscosidad fueron obtenidas para melazas a 274K usando un remetro de cilindro cnico teniendo el cilindro una longitud 0.1143 m y un dimetro de 0.159 m.N(RPM)Viscosidad(Pa s)

2.516.6

516

1015.5

2015.4

5014.6

10014.2

Determinar los parmetros reolgicos necesarios para describir la melaza.

SOLUCIN

(1) Desde que los valores de la "viscosidad" disminuyen con el incremento de la velocidad angular o velocidad de corte, la melazas deben ser no newtoniano.

(2) Una expresin para describir la relacin entre la viscosidad aparente y los parmetros reolgicos (m y n) pueden obtenerse mediante la comparacin de las ecuaciones (31) y (30) con .Entonces:

(3.30)

(3.31)Reemplazando la ecuacin (3.31) en la ecuacin (3.30), se tiene:

Donde:

Siendo: = y = 1

Por lo tanto:

Luego:

(3) Los logaritmos de la RPM y los valores de la viscosidad aparente son como sigue, donde N valores han sido expresados como revoluciones por segundo:

log(4N)log(A)4N

-0,2811,2200,5236

0,0201,2041,0472

0,3211,1902,0744

0,6221,1884,1888

1,0201,16410,4720

1,3211,15220,9440

Los valores son ploteados en la Figura 3.9.

Figura 3.9: Evaluacin de parmetros reolgicos a partir de valores de viscosidad aparente.

(4) La pendiente de la curva de la Figura 2.9 es: 0.041 = n 1 y n = 0.959

(5) Usando el valor de: en

Luego:

:

(6) Es interesante notar que el coeficiente de consistencia computado corresponde en magnitud a la viscosidad aparente a 10RPM.

PROBLEMA 5. El sistema ilustrado en la siguiente figura est siendo usado para bombear compota de manzana a 25C a travs de una tubera lisa de 5,08 cm de dimetro desde el tanque de almacenamiento A hacia el tanque de almacenamiento B, a una velocidad de 50 kg/min. Calcular la potencia de la bomba requerida para ejecutar el transporte del producto.

Fig.3.10. Esquema ilustrativo del sistema del problema 2.SOLUCION:(1) Basados en los datos de la tabla A-8 ;los valores de las propiedades para la compota o pur de manzana a 25C sern:

Tabla A-8ProductoTemperatura(C)ComposicinCoeficiente de consistencia(m)(Pa sn)ndice de comportamiento de flujo (n)Mtodo de medicin

Pur de manzana24desconocido0,660,408Tubo capilar

Pur de manzana2531,7% T.S.22,00,4Estrecho hueco coaxial del cilindro

Pur de manzana2711,6% T.S.12,70,28Tubo capilar

Pur de manzana24desconocido0,50,645Estrecho hueco coaxial del cilindro

Pur de manzanadesconocidodesconocido5,630,47Estrecho hueco coaxial del cilindro

Pur de pera2714,6% T.S.5,30,38Tubo capilar

Pur de pera2715,2% T.S.4,250,35Estrecho hueco coaxial del cilindro

Pur de pera3218,31% T.S.2,250,486Estrecho hueco coaxial del cilindro

Pur de pera3245,75% T.S.35,50,479Estrecho hueco coaxial del cilindro

Pur de pera2710,0% T.S.4,50,34Tubo capilar

Pur de pera2710,0% T.S.0,940,44Estrecho hueco coaxial del cilindro

Pur de pltano27Desconocido6,50,458Estrecho hueco coaxial del cilindro

Pur de pltano24Desconocido10,70,333Tubo capilar

Pur de pltano20Desconocido6,890,46Tubo capilar

Pur de pltano42Desconocido5,260,486Tubo capilar

Pur de pltano49Desconocido4,150,478Tubo capilar

y

(2) La solucin requiere evaluar todas las partes de la ecuacin de Bernoulli. Tomando como referencia el punto 1 y 2 de la Fig.3.4.

Ecuacin de Bernoulli:

el trabajo conduce al clculo del tamao de la bomba necesaria para lograr el transporte de fluido deseada

puede expresar de esta forma:

De acuerdo con la Fig.3.10, la ecuacin de Bernoulli se puede reescribir como:

ordenando:

(3) Para calcular la energa cintica , calculamos primero la velocidad del producto :

(4) La energa cintica se determina con la expresin siguiente, ecuacin (3.49) (Anexos):

Donde la constante se define con la ecuacin (3.50) de los anexos:

entonces:

Multiplicando por

(5) Calculamos el numero de Reynolds generalizado, a partir de la ecuacin (3.46) (Anexos) :

Donde: = 1100 kg/m3, D = 5.08 cm. (Dato del problema)

Fig. 3.11 Factor de friccin-Reynolds generalizado, tabla de nmeros para los flujos no-newtoniano en tubos cilndricos(6) Como el numero de Reynolds generalizado es menor que 2100 entonces se trata de un flujo laminar, por lo cual el factor de friccin de Fanning se puede calcular con la ecuacin:

(7) Para las prdidas por friccin en tuberas se calcula con la ecuacin:

Multiplicando por

(8) Las prdidas por friccin en el interior de la tubera se pueden calcular con la expresin:

donde:

: Constante de friccin en trminos del factor de Fanning

para

Para nuestro caso:

Entonces:

Y la entrada tubera es:

Multiplicando por

(9) Clculo de la prdida de energa por friccin en un codo de 90 largo:

Tabla 3.2LAS PRDIDAS POR FRICCIN PARA EL EQUIPAMIENTO ESTNDAR

EquipamientoConstantes de Friccin ()Longitud equivalente, Dimetros de tubera

Codo,90 estndar 0,7432

Codo,90 medio barrido0,526

Codo,90 largo barrido 0,2520

Codo,90 cuadrado1,560

T, utilizado como codo, entrando en carrera1,560

Vlvula de compuerta abierta0,137

Vlvula de esfera abierta6,0300

Vlvula de ngulo abierto3,0170

= 0,25, se tomo de la tabla 2.2 para un codo de 90 largo.

remplazando:

(10) La prdida de energa por friccin en el intercambiador de calor se puede obtener por:

Multiplicando por

(11) Clculo de la prdida de energa por friccin en las vlvulas de ngulo:

Donde: = 3 para vlvulas de ngulo (De tabla 3.2)

Multiplicando por

(12) Clculo de la prdida de energa por friccin en la (tabla 3.2)

(= 1,5),

Multiplicando por

(13) La prdida de energa por friccin en el sistema es:

(14) Introducimos toda la informacin dentro del balance de energa mecnica:

(15) La potencia requerida puede ser determinada multiplicando por la velocidad de flujo de masa:

ANEXOS

Teora y Formulas Complementarias(Libro: FOOD PROCESS ENGINEERING)

Flujo laminar

El flujo laminar o flujo en lneas de corriente existe en un sistema fluido cuando las partculas se estn moviendo con una fuerza relativamente recta O EN FORMA DE LINEAS DE CORRIENTE. Es especficamente para tipos particulares de sistemas de flujo.

Por ejemplo, el flujo en tubos es usualmente laminar cuando el numero de Reynolds es menor que 2 100. Este nmero variar, dependiendo del sistema de flujo que sea considerad.

En razn a desarrollar expresiones para el factor de friccin del tipo dado por la ecuacin (3.31), el cual ser ms til en el cmputo de la informacin necesaria para describir el flujo de fluidos de productos (alimenticios), las expresiones debern ser desarrolladas para fluidos no Newtonianos.El desarrollo de tales expresiones puede iniciarse con la ecuacin:

La cual relaciona la velocidad de flujo volumtrico al esfuerzo cortante para el flujo laminar en un tubo cilndrico. La anterior ecuacin puede ser expresada en trminos de la velocidad media del fluido en el tubo de la siguiente manera:

(3.41)

La velocidad media puede ser calculada a partir de la ecuacin (3.41) para cualquier tipo de fluido para el cual pueda estar desierta la relacin de esfuerzo cortante velocidad de corte.Utilizando la ecuacin (3.41) y la ecuacin:Especifico para fluidos pseudo-plasticos y Fluidos dilatantes

La velocidad media de un fluido que sigue este modelo en un tubo cilndrico puede ser determinada a partir de la siguiente expresin:

Pero sabemos que:

Entonces acomodando (3.4) para obtener

Entonces en (3.18):

La integracin conduce a:

Resolviendo para el caso del esfuerzo cortante en la pared, es obtenida la siguiente expresin:

(3.44)

La ecuacin (3.35) puede ser utilizada en la ecuacin (3.36) para obtener una expresin para el factor de friccin para fluidos no Newtonianos (que siguen el modelo de la ecuacin 3.4); es decir, los pseudo plsticos y dilatantes.

(3.45)

Diseo de Plantas IndustrialesPgina 1