representación de funciones€¦ · 1 representación de funciones ejercicio nº 1.- representa...
TRANSCRIPT
1
Representación de funciones Ejercicio nº 1.- Representa gráficamente la siguiente función:
y x3 3x2 2 Ejercicio nº 2.- Estudia y representa la función:
y x4 2x2 1 Ejercicio nº 3.- Estudia la siguiente ecuación y dibuja su gráfica:
Ejercicio nº 4.- Estudia y representa la siguiente función:
Ejercicio nº 5.- Representa la función:
Ejercicio nº 6.- Estudia y representa la función:
Ejercicio nº 7.- Representa gráficamente la función:
Ejercicio nº 8.- Representa la siguiente función:
xxx
y 323
23
642
24
xx
xf
xxxxf 43
2 23
2
2
4
1
x
xxf
2
22
3
x
xy
2
12
x
xxy
2
Ejercicio nº 9.- Haz la gráfica de la siguiente función:
Ejercicio nº 10.- Dibuja la gráfica de la función:
Ejercicio nº 11.- a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) 2 2sen x; x [0, 2]
b) Represéntala gráficamente: Ejercicio nº 12.- Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) 1 sen2 x; x [0, 2] Dibuja su gráfica, utilizando la información obtenida. Ejercicio nº 13.- Dada la función:
f (x) cos x sen x , x [0, 2] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica. Ejercicio nº 14.- Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:
y 2 sen2 x, x [0, 2] Utilizando la información obtenida, representa la función. Ejercicio nº 15.- Dada la función:
y 1 2 cos x , x [0, 2] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente.
1
222
x
xxxf
22
4
)(
x
xxf
3
Ejercicio nº 16- Representa gráficamente la función:
y e1x2
Ejercicio nº 17- Dibuja la gráfica de la función:
f (x) xex2 Ejercicio nº 18- Estudia y representa:
f (x) x2ex Ejercicio nº 19- Representa:
Ejercicio nº 20.- Estudia y representa la siguiente función:
y (x 1)ex
Ejercicio nº 21- Representa la función:
y x2lnx Ejercicio nº 22- Representa gráficamente:
Ejercicio nº 23- Estudia y representa la siguiente función:
y ln(x2 9) Ejercicio nº 24- Estudia y representa la función:
Ejercicio nº 25- Estudia y representa:
1
1
2
xxf
4
1
2
xxf
2x
1xlnxf
1
x
exf
x
4
Solución Representación de funciones Ejercicio nº 1.- Representa gráficamente la siguiente función:
y x3 3x2 2 Solución:
Dominio= R
Simetrías:
f (x) x3 3x2 2. No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
Ramas infinitas:
Puntos singulares:
f ' (x) 3x2 6x
Puntos singulares: (0, 2); (2, 2)
Cortes con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 2 Punto (0, 2)
Con el eje X x3 3x2 2 0 (x 1)(x2 2x 2) 0
Puntos (1, 0); (2,73; 0); (0,73; 0).
Puntos de inflexión:
f '' (x) 6x 6 0 x 1 Punto (1, 0)
Gráfica:
xflímxflímxx
,
202
0030230'
xx
xxxxxf
73,0
73,2
2
122
2
842022
101
2
x
xxxx
xx
5
Ejercicio nº 2.- Estudia y representa la función:
y x4 2x2 1 Solución:
Dominio= R
Simetrías:
f (x) x4 2x2 1 f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
Ramas infinitas:
Puntos singulares:
f ' (x) 4x3 4x 4x (x2 1)
Puntos singulares: (0, 1); (1, 0); (1, 0)
Cortes con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 1 Punto (0, 1)
Con el eje X y 0 x4 2x2 1 0
Cambio: x2 z z2 2z 1 0
Puntos (1, 0) y (1, 0).
Puntos de inflexión:
f '' (x) 12x2 4
Puntos (0,58; 0,44) y (0,58; 0,44)
Gráfica:
xflímxflímxx
,
1
101
004
0140'2
2
x
xx
xx
xxxf
1
111
2
442 2
x
xxz
58,03
1
3
1
12
404120'' 22 xxxxf
6
Ejercicio nº 3.- Estudia la siguiente ecuación y dibuja su gráfica:
Solución:
Dominio= R
Simetrías:
ni respecto al origen.
Ramas infinitas:
Puntos singulares:
f ' (x) x2 4x 3
Cortes con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 0 Punto (0, 0)
x3 6x2 9x 0 x(x2 6x 9) 0 x(x 3)2 0
Puntos de inflexión:
f '' (x) 2x 4
Gráfica:
xxx
y 323
23
Yxfxxx
xf eje al respecto simétrica es no :impar ni par es No . 323
23
xflímxflímxx
,
3
1
2
24
2
44
2
121640'
x
xxxf
3
4,1;0,3 :Puntos
32Con el eje 0 2 3 0
3
xX y x x
0,3,0,0 Puntos3
0
x
x
3
2,2 Punto20'' xxf
7
Ejercicio nº 4.- Estudia y representa la siguiente función:
Solución:
Dominio= R
Simetrías:
Ramas infinitas:
Puntos singulares:
f ' (x) 2x3 8x
Puntos singulares: (0, 6); (2, 2); (2, 2)
Cortes con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 6 Punto (0, 6)
x4 8x2 12 0. Cambio: x2 z
Puntos de inflexión:
f '' (x) 6x2 8
642
24
xx
xf
. eje al respecto simétrica :par Es . 642
24
Yxfxx
xf
xflímxflímxx
,
2
204
0
0420'2
2
x
xx
x
xxxf
42Con el eje 0 4 6 0
2
xX y x
22
66
2
48
2
168
2
48648
xz
xzz
0,2,0,6,0,2,0,6 Puntos
15,13
4
3
4
6
80860'' 22 xxxxf
8
Puntos: (1,15; 1,56); (1,15; 1,56)
Gráfica:
Ejercicio nº 5.- Representa la función:
Solución:
Dominio= R
Simetrías:
Ramas infinitas:
Puntos singulares:
f '(x) 2x2 2x 4
Cortes con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 0 Punto (0, 0)
2x3 3x2 12x 0 x (2x2 3x 12) 0
Puntos: (0, 0); (1,81; 0); (3,31; 0)
Puntos de inflexión:
f '' (x) 4x 2
xxxxf 43
2 23
3 224 . No es par ni impar no es simétrica respecto al eje ni al origen.
3f x x x x Y
xflímxflímxx
,
1
2
2
31
2
91
2
8110220' 2
x
xxxxxf
3
20,2;
3
7,1 :singulares Puntos
3 22 Con el eje 0 4 0
3X y x x x
81,1
31,3
4
1053
4
969301232
0
2
x
xxxx
x
9
Gráfica: Ejercicio nº 6.- Estudia y representa la función:
Solución:
Dominio= R {2, 2}
Simetrías:
Asíntotas verticales:
Asíntota horizontal:
Si x y si x , f (x) < 1 la curva está por debajo de la asíntota.
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (, 2) (2, 0); es creciente en (0, 2) (2, ).
Corte con los ejes:
6
13,
2
1 Punto
2
1
4
20'' xxf
2
2
4
1
x
xxf
Yxfx
xxf eje al respecto simétrica :par Es .
4
12
2
vertical asíntota es 2
2
2
xxfl ím
xfl ím
x
x
vertical asíntota es 2
2
2
xxfl ím
xfl ím
x
x
horizontal asíntota es 11
yxflímxflímxx
2222
33
22
22
)4(
10
)4(
2228
)4(
)2(·)1()4(2'
x
x
x
xxxx
x
xxxxxf
00100' xxxf
.4
10, en mínimo un Tiene
1 1Con el eje 0 Punto 0,
4 4Y x y
10
Con el eje X y 0 x2 1 0 No corta al eje X
Puntos (0,62; 0); (1,62; 0).
Gráfica:
Ejercicio nº 7.- Representa gráficamente la función:
Solución:
Dominio= R
Simetrías:
No tiene síntotas verticales.
Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota:
f (x) 2x > 0 si x (curva por encima).
f (x) 2x < 0 si x (curva por debajo).
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) > 0 para todo x 0 f (x) es creciente. (Hay un punto de inflexión en (0, 0)).
Corte con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 0 Punto (0, 0)
Con el eje X y 0 x 0 Punto (0, 0)
Gráfica:
2
22
3
x
xy
origen al respecto simétrica :impar Es . 2
22
3
xfx
xxf
oblicua asíntota es 22
42
2
222
3
xyx
xx
x
xy
22
24
22
424
22
322
)2(
122
)2(
4126
)2(
2·2)2(6'
x
xx
x
xxx
x
xxxxxf
00621220' 2224 xxxxxxf
11
Ejercicio nº 8.- Representa la siguiente función:
Solución:
Dominio= R
Simetrías:
al origen.
Asíntotas verticales:
Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota:
f (x) (x 1) < 0 si x (curva por debajo)
f (x) (x 1) > 0 si x (curva por encima)
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Puntos (1, 1) y (3, 5).
Signo de f ' (x):
2
12
x
xxy
respecto ni eje al respecto simétrica es no :impar ni par es No . 2
12
Yx
xxxf
vertical asíntota es 2
2
2
xxfl ím
xfl ím
x
x
oblicua asíntota es 12
11
2
12
xy
xx
x
xxy
2
2
2
22
2
2
2
34
2
1242
)2(
)1()2)(12('
x
xx
x
xxxxx
x
xxxxxf
3
1
2
24
2
44
2
121640340' 2
x
xxxxxf
12
f (x) es creciente en (, 1) (3, ); es decreciente en (1, 2) (2, 3). Tiene un máximo en (1, 1) y un mínimo en (3, 5).
Corte con los ejes:
Puntos: (0,62; 0); (1,62; 0)
Gráfica:
Ejercicio nº 9.- Haz la gráfica de la siguiente función:
Solución:
Dominio= R {1}
Simetrías:
origen.
Asíntotas verticales:
Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota:
1 1Con el eje 0 Punto 0,
2 2Y x y
62,1
62,0
2
411010 eje el Con - 2
x
xxxxyX
1
222
x
xxxf
2
2
2 2. No es par ni impar: No es simétrica respecto al eje ni respecto al
2
x xf x Y
x
vertical asíntota es 1
1
1
xxflím
xflím
x
x
oblicua asíntota es 31
13
1
222
xy
xx
x
xxy
13
f (x) (x 3) < 0 si x (curva por debajo).
f (x) (x 3) > 0 si x (curva por encima).
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Puntos (0, 2) y (2, 6).
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (, 0) (2, ); es decreciente en (0, 1) ) (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un mínimo en (2, 6).
Corte con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 2 Punto (0, 2)
Puntos: (2,73; 0); (0,73; 0)
Gráfica:
Ejercicio nº 10.- Dibuja la gráfica de la función:
Solución:
Dominio= R {2}
Simetrías:
2
2
2
22
2
2
)1(
2
)1(
222222
)1(
)22()1()22('
x
xx
x
xxxxx
x
xxxxxf
2
00)2(020' 2
x
xxxxxxf
2 2,732 4 8Con el eje 0 2 2 0
0,732
xX y x x x
x
22
4
)(
x
xxf
14
al origen.
Asíntotas verticales:
Asíntota horizontal:
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (, 2) (2, ); es creciente en (2, 2).
Corte con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 0 Punto (0, 0)
Con el eje X y 0 x 0 Punto (0, 0)
Gráfica:
Ejercicio nº 11.- a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) 2 2sen x; x [0, 2]
b) Represéntala gráficamente:
respecto ni eje al respecto simétrica es no :impar ni par es No . )2(
42
Yx
xxf
vertical asíntota es 2
2
2
xxfl ím
xfl ím
x
x
horizontal asíntota es0
encima por curva00
debajo por curva00
yxfxflím
xfxflím
x
x
334
2
)2(
84
)2(
8)2(4
)2(
)2(2·4)2(4'
x
x
x
xx
x
xxxxf
2840' xxxf
.2
12, en máximo un Tiene
15
Solución:
a) Dominio [0, 2]
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 2 Punto (0, 2)
Con el eje X y 0 2 sen x 0
Máximos y mínimos:
f '(x) 2cos x
Estudiamos el signo de f ''(x) 2sen x en esos puntos:
b) Gráfica:
Ejercicio nº 12.- Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) 1 sen2 x; x [0, 2] Dibuja su gráfica, utilizando la información obtenida. Solución:
Dominio [0, 2]
Puntos de corte con los ejes:
0,
2 Punto
2122 xxsenxsen
2
3
200'
x
x
xcosxf
0,
2:Mínimo0
2''f
4,
2
3:Máximo0
2
3''f
16
Con el eje Y x 0 y 1 Punto (0, 1)
Con el eje X y 0 1 sen2 x 0
No corta al eje X.
Máximos y mínimos:
f '(x) 2sen x cos x
Estudiamos el signo de f ''(x) 2 (cos2 x sen2 x) en esos puntos:
f ''(x) > 0 en x 0, x y x 2
Mínimos: (0, 1), (, 1), (2, 1)
Gráfica:
Ejercicio nº 13.- Dada la función:
f (x) cos x sen x , x [0, 2] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica. Solución:
Dominio [0, 2]
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 1 Punto (0, 1)
solución. tiene No112 xsenxsen
2
3,
20
2,,00
020'
xxxcos
xxxxsen
xcosxsenxf
2
3 y
2 en 0''
xxxf
2,
2
3,2,
2 :Máximos
17
Con el eje X y 0 cos x sen x 0 1 tg x 0
Máximos y mínimos:
f ' (x) sen x cos x
f ' (x) 0 sen x cos x 0 tg x 1 0 tg x 1
Estudiamos el signo de f '' (x) cos x sen x en esos puntos:
Gráfica:
Ejercicio nº 14.- Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:
y 2 sen2 x, x [0, 2] Utilizando la información obtenida, representa la función. Solución:
Dominio [0, 2]
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 2 Punto (0, 2)
Con el eje X y 0 2 sen2 x 0 sen2 x 2
No corta al eje X.
Máximos y mínimos:
0,
4
5,0,
4 Puntos
4
5,
41 xxxtg
4
7,
4
3
xx
2,
4
3 en Mínimo0
4
3''f
2,
4
7 en Máximo0
4
7''f
solución. tiene No2 xsen
18
y' 2sen x cos x
Estudiamos el signo de y'' 2 (cos2 x sen2 x) en esos puntos:
y'' < 0 en x 0, x y x 2:
Máximos: (0, 2); (, 2); (2, 2)
Gráfica: Ejercicio nº 15.- Dada la función:
y 1 2 cos x , x [0, 2] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. Solución:
a) Con el eje Y x 0 y 3 Punto (0, 3)
Con el eje X y 0 1 2 cos x 0
b) y' 2 sen x
y' 0 sen x 0 x 0, x , x 2
Signo de y':
Máximos en (0, 3) y en (2, 3).
Mínimo en (, 1).
2
3,
20
2,,00
020'
xxxcos
xxxxsen
xcosxseny
:2
3 y
2 en 0''
xxy
1,
2
3;1,
2 :Mínimos
0,3
4,0,
3
2 Puntos
3
4
3
2
2
1
x
x
xcos
19
c)
Ejercicio nº 16- Representa gráficamente la función:
y e1x2
Solución:
Dominio= R
Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y 0 es asíntota horizontal (la curva está por encima)
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
y' 2xe1x2
y' 0 2x 0 x 0
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (, 0); es decreciente en (0, ). Tiene un máximo en (0, e).
Gráfica:
Ejercicio nº 17-
xxfxflímxflímxx
todo para 0 0
20
Dibuja la gráfica de la función:
f (x) xex2 Solución:
Dominio= R
Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y 0 es asíntota horizontal si x (f (x) < 0)
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) ex2 xex2 (1 x)ex2
f ' (x) 0 1 x 0 x 1
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (, 1); es creciente en (1, ). Tiene un mínimo en (1, e).
Corta a los ejes en (0, 0).
Gráfica:
Ejercicio nº 18- Estudia y representa:
f (x) x2ex Solución:
Dominio= R
Asíntotas:
02
2
xx
x
xx e
xlímxelímxflím
parabólica Rama,
x
xflímxflím
xx
21
No tiene asíntotas verticales.
y 0 es asíntota horizontal cuando x (f (x) > 0)
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) 2xex x2ex (2x x2)ex
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (, 2) (0, ); es decreciente en (2, 0). Tiene un máximo en
Corta a los ejes en (0, 0).
Gráfica:
Ejercicio nº 19- Representa:
Solución:
Dominio= R {1}
Asíntotas:
02
2
xx
x
xx e
xlímexlímxflím
parabólica Rama,
x
xflímxflím
xx
2
002020' 2
x
xxxxxxf
2
42, y un mínimo en 0, 0 .
e
1
x
exf
x
vertical. asíntota es 1
1
1
xxflím
xflím
x
x
22
y 0 es asíntota horizontal si x (f (x) < 0)
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) 0 ex(x 2) 0 x 2
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (, 1) (1, 2); es creciente en (2, ). Tiene un mínimo en
(2, e2).
Corta al eje Y en (0, 1). No corta al eje X.
Gráfica:
Ejercicio nº 20.- Estudia y representa la siguiente función:
y (x 1)ex Solución:
Dominio= R
Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y 0 es asíntota horizontal cuando x (y < 0)
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
y' ex (x1)ex (x2)ex
y' 0 x 2 0 x 2
Signo de y':
01
x
elímxflím
x
xx
parabólica Rama,
x
xflímxflím
xx
22 )1(
)2(
)1(
)1('
x
xe
x
exexf
xxx
01
1
xx
x
xx e
xlímexlímxflím
parabólica Rama,
x
xflímxflím
xx
23
f (x) es decreciente en (, 2); es creciente en (2, ). Tiene un mínimo en
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y x 0 y 1 Punto (0, 1)
Con el eje X y 0 x 1 Punto (1, 0)
Gráfica:
Ejercicio nº 21- Representa la función:
y x2lnx Solución:
Dominio (0, )
Asíntotas:
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Signo de y ':
2
12, .
e
.verticales asíntotas tiene No .00
xflímx
parabólica Rama,
x
xflímxflím
xx
1221
·2' xlnxxxlnxx
xxlnxy 2
2
1
2
1
vale) (no 0
0120'
exxln
x
xlnxy
24
Puntos de corte con los ejes:
No corta al eje Y, pues no está definida en x 0.
Con el eje X y 0 x2lnx 0
Gráfica:
Ejercicio nº 22- Representa gráficamente:
Solución:
Dominio (, 1) (1, )
Simetrías:
f (x) f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
Asíntotas:
y 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para toda x).
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
mínimo un Tiene ., en creciente es y 0, en edecrecient es 2
1
2
1
eexf
.2
1, en 2
1
ee
0,1 Punto10
vale) (no 002
xlnx
xx
1
1
2
xxf
vertical asíntota es 11
xxflímx
vertical asíntota es 11
xxflímx
0
xflímxflímxx
25
f ' (x) 0 x 0 (no vale)
f (x) no tiene puntos singulares (en x 0 no está definida).
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (, 1); y es decreciente en (1, ).
f (x) no corta a los ejes.
Gráfica:
Ejercicio nº 23- Estudia y representa la siguiente función:
y ln(x2 9) Solución:
Dominio (, 3) (3, ).
Simetrías:
f (x) f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
Asíntotas:
2
12 1
xxf
32
2
32
)1(2·1
2
1'
x
xxxxf
vertical. asíntota es 33
xxflímx
vertical. asíntota es 33
xxflímx
sparabólica Ramas
0,
0,
x
xflímxflím
x
xflímxflím
xx
xx
26
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
y' 0 2x 0 x 0 (no vale)
No tiene puntos singulares (en x 0 no está definida f (x)).
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (, 3); y es creciente en (3, ).
Puntos de corte con los ejes:
No corta al eje Y, pues f (x) no está definida en x 0.
Gráfica: Ejercicio nº 24- Estudia y representa la función:
Solución:
Dominio= R
Simetrías:
f (x) f (x) Es simétrica respecto al eje Y.
Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para todo x).
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
9
2'
2
x
xy
2 2Con el eje ( 9 0 9 1 10X ln x x x
0,10;0,10 :Puntos
4
1
2
xxf
0
xflímxflímxx
27
Signo de f '(x):
f (x) es creciente en (, 0) y es decreciente en (0, ).
Puntos de corte con los ejes:
No corta al eje X.
Gráfica: Ejercicio nº 25- Estudia y representa:
Solución:
Dominio:
D (, 1) (2, )
Asíntotas:
2/12
24
4
1
x
xxf
3232
2/32
)4()4(2
22·4
2
1'
x
x
x
xxxxf
000' xxxf
.2
1,0 en máximo un Tiene
1 1Con el eje 0 Punto 0, .
2 2Y x y
2x
1xlnxf
:es dominio el Luego .02
1 si definida está función La
x
x
vertical. asíntota es 11
xxflímx
vertical. asíntota es 22
xxflímx
28
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f '(x) 0 para todo x f (x) no tiene máximos ni mínimos.
Signo de f '(x):
f (x) es decreciente en (, 1) (2, ).
La curva no corta a los ejes.
Gráfica:
.horizontal asíntota es 0
)0)(,(si0
)0)(,(si0
yxfxxflím
xfxxflím
x
x
)2()1(
3
)2(
12·
)1(
1
)2(
)1(2·
2
1
1'
2
xxx
xx
xx
xx
x
xxf